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Del 06 al 08 de Marzo de 2013
Memorias Arbitradas
ISBN: 978-980-12-6391-3 / Depósito Legal: LFX0612013500442
ANÁLISIS DE LOS EFECTOS DE DEFORMACIÓN Y REFLEXIÓN EN PARÁBOLAS
DEFINIDAS POR LA EXPRESIÓN 𝒇(𝒙)= 𝒂𝒙𝟐 UTILIZANDO GEOGEBRA
Gutiérrez, Rafael y Prieto, Juan Luis. Estudiante y Docente universitario, Centro de
Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), Grupo TEM: Tecnologías en la Educación
Matemática, rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve.
juan.prieto@aprenderenred.com.ve
RESUMEN
Quienes nos dedicamos a la formación de profesores de matemática vemos con
preocupación cómo éstos enfrentan dificultades para comprender y enseñar algunos
tópicos matemáticos fundamentales. Con el propósito de apoyarles, en este trabajo
describimos una secuencia de análisis para caracterizar las diversas familias de
parábolas correspondientes a la expresión 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, en relación a los efectos de
“deformación” y “reflexión” provocados por la variación del parámetro 𝑎. Para su
descripción nos hemos apoyado en el uso del GeoGebra, un recurso que permite
visualizar y relacionar parábolas pertenecientes a una misma familia con sus
respectivas fórmulas algebraicas. Esta propuesta de análisis busca potenciar la práctica
profesional de los profesores de Matemática que laboran en la Educación Media,
desarrollando en ellos la capacidad de integrar eficientemente recursos tecnológicos en
la dinámica escolar.
Palabras claves: Parámetro, función cuadrática, GeoGebra.
ABSTRACT
Those who are dedicated to the mathematics teacher education view with concern has
they have difficulties to understand and teach some basic mathematical content. In
order to support them in this work we describe a sequence analysis to characterize
various families of parabolas with expression 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, in relation to the effects of
"stretching”, “shrinking” and "reflection" caused by the variation of the parameter 𝑎. To
describe the sequence we have relied on the use of GeoGebra, a resource that allows
viewing and relates parabolas of the same family with their algebraic formulas. This
sequence seeks to enhance analysis professional practice of secondary mathematics
teachers, developing in them the ability to effectively integrate technology resources in
school dynamics.
Keywords: Parameter, quadratic function, GeoGebra.
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INTRODUCCIÓN
Durante los últimos años, en el ámbito de la Educación Matemática se ha considerado
como un propósito de aprendizaje esencial para la escuela media el “reconocimiento de
los efectos que producen los cambios en los valores de los parámetros sobre las
gráficas de las funciones de una misma familia” (NCTM, 2000). Para que los alumnos
logren este aprendizaje, es necesario que sus profesores comprendan adecuadamente
estos efectos, y además sean capaces de integrar con eficiencia diversos recursos en
su práctica de enseñanza de estos contenidos. Un recurso potente para ayudar a
reconocer los efectos geométricos que produce la variación de los parámetros
contenidos en la expresión simbólica de una función (p.e., el caso de 𝑎 en 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2),
sobre su gráfica, es el GeoGebra, un programa informático de acceso libre, de código
abierto, que combina en tiempo real las representaciones gráficas y expresiones
simbólicas de diversos objetos matemáticos, y que actualmente está siendo utilizado
por una comunidad importante de profesores e investigadores alrededor del mundo
(Diković, 2009; Hohenwarter, 2006).
Al respecto, investigaciones realizadas en los últimos años dan cuenta de una mejoría
en el razonamiento matemático del alumno referido a las características y al
comportamiento geométrico de las funciones cuadráticas, como consecuencia de usar
el GeoGebra en las clases de Matemática (Darmawan y Iwan, 2011). Por esta razón,
consideramos de utilidad que el profesor desarrolle conocimiento y destrezas para el
análisis, en sus clases, de las relaciones existentes entre la variación de los parámetros
contenidos en toda expresión que define una función cuadrática, y sus
correspondientes representaciones gráficas. Una manera de lograr esto es mediante la
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participación de los profesores en experiencias formativas que les permitan pensar y
construir rutas de enseñanza con las características antes señaladas, mediante el uso
del GeoGebra.
Teniendo en cuenta lo anterior, en este trabajo se describe una secuencia para analizar
los efectos de “deformación” y “reflexión” sobre distintas familias de parábolas, que se
corresponden con la variación del parámetro 𝑎 en 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, en un entorno dinámico
con GeoGebra. Vale destacar que esta secuencia es parte de un análisis más detallado
de los efectos geométricos asociados a expresiones más generales de una función
cuadrática, tal como 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2+𝑏𝑥 + 𝑐, que se ha reseñado en trabajos previos
(Gutiérrez, Araujo y Prieto, 2012).
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS DEL DISEÑO
El diseño de la secuencia instruccional parte de considerar que los cambios en los
valores del parámetro de 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, con 𝑎 ≠ 0, produce dos efectos geométricos,
conocidos como deformación y reflexión (Darmawan y Iwan, 2011), y que tales efectos
pueden ser visualizados con la ayuda del GeoGebra. Ambos efectos se definen a partir
de las diferentes posiciones que ocupan las ramas de las parábolas que sufren el
efecto, con respecto a otra que actúa como referente. En la mayoría de los casos, la
parábola canónica, aquella cuya expresión es ℎ(𝑥)= 𝑥2, se toma como referente
directo del efecto que se analiza. En otros casos, se toma como referente del efecto
alguna parábola distinta a la canónica.
El análisis de estos efectos tiene en cuenta los siguientes atributos de la familia de
parábolas definidas por 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2: (i) eje de simetría, recta que divide a la curva en
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dos porciones simétricas, en este caso, el eje y; (ii) vértice, punto de intersección de la
parábola con su eje de simetría, en este caso, el origen del sistema; (iii) eje de reflexión,
recta perpendicular al eje de simetría, que pasa por el vértice, en esta caso, el eje x; y
(iv) concavidad, ubicación de los puntos de la parábola con respecto a los semiplanos
determinados por el eje de reflexión. Dado que la variación del parámetro 𝑎 produce
dos efectos sobre las parábolas de la familia 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, se realiza el análisis de éstos
por separado.
En cuanto al GeoGebra, la secuencia se apoya en el uso de un deslizador, construido
para brindar la posibilidad al usuario de realizar los ajustes convenientes sobre el
parámetro de 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, con la intención de visualizar los efectos antes mencionados.
Teniendo en cuenta estas consideraciones metodológicas, se inicia la descripción de la
secuencia.
EFECTOS DE DEFORMACIÓN Y REFLEXIÓN
La variación del parámetro de la expresión 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2 a lo largo del intervalo (−∞,+∞)
permite visualizar dos familias de parábolas claramente diferenciadas por su posición
respecto al eje de reflexión (por encima y por debajo del eje x). Consideramos que las
parábolas que se ubican por encima de este eje han sufrido un efecto geométrico que
denominamos deformación. Análogamente, aquellas parábolas que se encuentran por
debajo de este mismo eje han sufrido un efecto que llamamos reflexión.
El efecto de deformación se relaciona con la posición de las ramas de la parábola que
sufre el efecto, con respecto a la posición que ocupan las ramas de la parábola
canónica. Cuando la parábola se encuentra entre el eje x y la canónica, se dice que
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ésta ha sufrido una deformación de tipo “dilatación”. En la figura 1a se observa la familia
de parábolas asociadas a 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2 que han sufrido este tipo de deformación.
Figura 1. Familia de parábolas dilatadas.
Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
Un aspecto a resaltar de la familia de parábolas dilatadas radica en que la imagen de
cualquier valor no nulo de su dominio siempre es menor que la imagen del mismo valor,
evaluada en ℎ(𝑥)= 𝑥2 (ver Figura 1b).
De igual forma, cuando las ramas de la parábola estudiada se encuentran entre las
ramas de la canónica, es decir, en la región interna
1
que esta última determina, se dice
que la primera ha sufrido una deformación de tipo “contracción”. En la figura 2a se
observa la familia de parábolas asociadas a 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2 que han sufrido este tipo de
deformación.
1
La región interna de la parábola correspondiente a ℎ(𝑥)= 𝑥2 se define como: {(𝑥,𝑦)𝜖𝑅2/ 𝑓(𝑥) > 𝑥2}.
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Figura 2. Familia de parábolas contraídas
Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
En este caso, la imagen de cualquier valor no nulo del dominio de la función que
experimenta la contracción siempre es mayor que la imagen del mismo valor, evaluada
en ℎ(𝑥)= 𝑥2 (ver Figura 2b).
Por su parte, la reflexión se relaciona con la orientación que poseen las ramas de toda
parábola situada por debajo del eje de reflexión (eje x). Debido a su ubicación, se dice
que estas parábolas tienen una concavidad “hacia abajo”, contraria a la concavidad de
las parábolas deformadas (ver Figura 3a). Si bien la concavidad de cualquier parábola
reflejada es contraria a la de todas las parábolas de la familia de deformadas, existe
una correspondencia uno-uno entre ambas familias (reflejadas y deformadas), de
manera que a cada reflejada se le asigna una única parábola deformada, la cual es su
simétrica y referente del efecto. Dada la relación de simetría entre las familias, la
imagen de cualquier valor no nulo del dominio de una función, cuya parábola es una
reflejada, es opuesta aditiva de la imagen del mismo valor, evaluada en la función
correspondiente a su referente (ver Figura 3b).
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Figura 3. Familia de parábolas reflejadas y sus referentes.
Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
Es importante destacar que, dependiendo del intervalo establecido para el deslizador
que se asocia al parámetro, ambos efectos (deformación y reflexión) pueden
visualizarse de manera separada o simultánea.
El efecto de deformación en un entorno de GeoGebra
Para visualizar y analizar el efecto de deformación mediante el GeoGebra, sin que
intervenga el efecto de reflexión, basta con variar el parámetro de 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2 en un
intervalo comprendido en (0, +∞). Para ello se deben realizar ajustes “convenientes”
2
al
deslizador de 𝑎 en un rango comprendido entre 0 y un entero positivo, tan grande
como el programa lo permita y según las particularidades del análisis. Vale destacar
que dentro de este intervalo existe un valor “notable” del estudio, el 1. Lo notable de
este valor se debe a que dicho parámetro sobre el deslizador muestra una gráfica de
2
Esto supone variar el valor del parámetro en intervalos que permitan visualizar la caracterización del efecto que
se estudia con detalle.
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𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, similar a la canónica, que no puede verse como una parábola deformada.
Por esta razón, se sugiere dividir el estudio de la deformación en dos casos:
Caso 1: Dilatación en el intervalo (0, 1)
Para caracterizar el tipo de deformación presente en este intervalo es necesario ajustar
los valores mínimo y máximo del deslizador en 0 y 1, respectivamente. Luego de activar
“Animación Automática” al deslizador, se puede apreciar la familia de parábolas
“dilatadas” con respecto a la canónica (ver Figura 4a). Al observar lo ocurrido tras el
movimiento, se puede concluir que la dilatación en una parábola se hace más notable
cuando el valor del parámetro se aproxima al mínimo del intervalo. En otras palabras,
las ramas de las parábolas correspondientes a funciones del tipo 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, con 0 <
𝑎 < 1, tienden a ser más próximas al eje x en la medida que 𝑎 se aproxima al mínimo
del intervalo. Análogamente, en la medida que 𝑎 se aproxima al máximo del intervalo, la
dilatación en la parábola tiende a ser menos notable con respecto a la canónica.
Figura 4. Efectos de deformación tipo dilatación y contracción sobre ℎ(𝑥)= 𝑥2.
Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
Caso 2: Contracción en el intervalo (1, +∞)
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Para identificar las características de la deformación producida en este intervalo, se
sugiere ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador en 1 y cualquier otro valor
entero mayor que éste, respectivamente. Pero, ¿cuán mayor debe ser este valor?
Consideramos que una respuesta admisible puede encontrarse al observar lo sucedido
al efecto tras la activación de la “Animación Automática” para distintos valores máximos
del intervalo, por ejemplo para 3, 10 y 75. Para cada intervalo, la animación muestra
una familia de parábolas “contraídas”, en donde algunas curvas tienen sus ramas más
próximas al eje y. Sin embargo, en el caso que el máximo del intervalo es 75, la
contracción sobre la familia es “más marcada”, por así decirlo (ver Figura 4b).
El efecto de reflexión en un entorno de GeoGebra
Para observar y analizar el efecto de reflexión se debe variar el valor del parámetro de
𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2 en un intervalo comprendido en (−∞,0). Como en la deformación, en el
estudio de la reflexión existe un valor notable dentro de este intervalo, el -1. Lo notable
del valor se debe a que la gráfica de 𝑓(𝑥), cuando el deslizador se posa sobre éste,
corresponde al reflejo de la parábola canónica. Esta gráfica divide a la familia de
parábolas reflejadas en dos conjuntos, cuyos elementos pueden ser caracterizados a
través de una variación conveniente del deslizador en los siguientes intervalos:
Caso 1: Reflexión en el intervalo (-1, 0)
Para caracterizar la reflexión en este intervalo se deben ajustar los valores mínimo y
máximo del deslizador en -1 y 0, respectivamente. Luego de seleccionar “Animación
Automática” al mismo, es posible observar al conjunto de parábolas reflejadas que se
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ubican entre el eje x y el reflejo de la parábola canónica (ver Figura 5a). Tales curvas
poseen la característica de ser el reflejo de la familia de parábolas dilatadas.
Figura 5. Efecto de reflexión en los intervalos (-1, 0) y (−∞,−1).
Fuente: Gutiérrez, R. y Prieto, J. (2013)
Caso 2: Reflexión en el intervalo (−∞,−1)
En este caso, para caracterizar la reflexión que se manifiesta en este intervalo, se debe
ajustar el mínimo del deslizador en un valor entero negativo menor que -1, y el máximo
en este último valor. Pero ¿qué tan menor debe ser el valor del mínimo? Una respuesta
admisible a lo planteado puede encontrarse al observar la reflexión que se muestra tras
activar “Animación Automática” para distintos valores mínimos del intervalo, por
ejemplo, -80, -35 y -7. Para cada intervalo, la animación muestra un conjunto de curvas
reflejadas, ubicadas en la región interna de la parábola que es el reflejo de la canónica
(ver Figura 5b). Estas curvas tienen la característica de ser el reflejo de la familia de
parábolas contraídas, y además, en el caso en que el mínimo del intervalo es -80, se
observan parábolas reflejadas cuyas ramas se encuentran más próximas al eje y.
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CONCLUSIONES
En este trabajo se describe una secuencia para caracterizar diversas familias de
parábolas correspondientes a la expresión 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥2, en relación a los efectos
geométricos provocados por la variación del parámetro 𝑎 en un entorno dinámico.
Mediante el uso de un deslizador, fue posible establecer relaciones entre los valores
que toma el parámetro, en intervalos establecidos convenientemente, y las parábolas
que se aprecian en la vista gráfica del GeoGebra, relaciones éstas que otorgan un
sentido a los efectos de deformación y reflexión, analizados en la secuencia.
Lo anterior es evidencia de la capacidad que algunos autores le atribuyen al GeoGebra
de conectar dos de las principales representaciones de las funciones (fórmulas
algebraicas y gráficas) tratadas en este trabajo, facilitando con ello la caracterización de
los efectos mencionado (Bayazit y Aksoy, 2010; Hohenwarter, 2006).
Finalmente, nuestra secuencia representa un método de análisis de contenidos
matemáticos que constituye un aporte directo a la práctica del profesor, en tanto es un
insumo que hace posible la integración eficiente de las tecnologías en el aula.
Consideramos que su aprehensión y puesta en práctica coloca al profesor en mejores
condiciones para impartir la enseñanza de este tópico, y así lograr en los alumnos un
aprendizaje significativo. A pesar del esfuerzo realizado para la elaboración de este
trabajo, es necesario realizar este tipo de análisis a expresiones más generales de la
función cuadrática, e inclusive a otras funciones reales, tales como la racional,
irracional, logarítmica, exponencial, trigonométricas, entre otras.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bayazit, I. y Aksoy, Y. (2010). Connecting representations and mathematical ideas with
geogebra. Geogebra International Journal of Romania, 1 (1), 93-106.
Darmawan, D. y Iwan, P. (2011). On the teaching of analyzing the effects of parameter
changes on the graph of function. Trabajo presentado en la Fourth National
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Diković, L. (2009). Applications geogebra into teaching some topics of mathematics at
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Gutiérrez, R., Araujo, Y. y Prieto, Juan L. (2012). Una secuencia para analizar los
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Trabajo presentado en la Conferencia Latinoamericana de GeoGebra, Noviembre,
Montevideo. Disponible en: http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/23.pdf.
Hohenwarter, M. (2006). Dynamic investigation of functions using geogebra. Trabajo
presentado en el Dresden International Symposium on Technology and its
Integration into Mathematics Education, Julio, Dresden.
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
