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Geofisica Appendici, Bibliografia, Indice Analitico

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Abstract

Appendici 1 – Superficie di riferimento 2 – Funzioni sferiche 3 – Tensioni da variazioni di temperatura 4 – Richiami di termologia 5 – Termodinamica della convezione 6 – Campo magnetico nel vuoto 7 – Errori di misura 8 – Regressione e correlazione 9 – Relazioni tra i parametri elastici di un corpo isotropo 10 – Parametri fisici e struttura della Terra 11 – Dimensioni e principali proprietà fisiche della Terra
Vincenzo Pasquale è Professore di Fisica Terrestre dell’Università di Genova e
autore di oltre 200 articoli di cui circa la metà su riviste internazionali. Nel corso
dei suoi 45 anni di attività di ricerca scientifica si è occupato dell’analisi e metodi
di controllo dei fenomeni sismici, della propagazione delle onde sismiche per lo
studio del meccanismo focale dei terremoti, della struttura termica terrestre, della
radioattività naturale, della reologia della litosfera in relazione all’attività sismica e
delle potenzialità geotermiche del territorio nazionale. Ha inoltre svolto ricerche
sugli aspetti climatici della radiazione solare e sulla sua dipendenza dalle
condizioni meteorologiche.
La geofisica, o fisica terrestre, studia i fenomeni fisici che hanno luogo sia
nell’atmosfera sia alla superficie e all’interno della Terra. Tradizionalmente si
suddivide in tre branche, rispettivamente relative alla parte solida, liquida
(idrosfera) e aeriforme (atmosfera). Questo libro tratta alcuni argomenti di rilievo
riguardanti queste tre branche. Vengono presentate l’origine ed evoluzione, la
gravità e la forma della Terra, le condizioni d’equilibrio isostatico della litosfera e
la teoria delle maree. Dei terremoti sono esaminati le scale di valutazione della loro
intensità, il rischio, la pericolosità e i fenomeni precursori per la loro previsione.
Sono mostrate le caratteristiche di comportamento elastico, la formazione delle
faglie e la flessione della litosfera. Rilievo è dato all’origine e alle variazioni del
campo magnetico terrestre, ai processi di magnetizzazione e al paleomagnetismo,
alla struttura termica interna, al calore radiogenico e alla fisica del vulcanismo, al
comportamento reologico della litosfera, ai meccanismi e alla formazione di risalita
dei magmi, ai fenomeni premonitori e al rischio di un evento vulcanico. Del
sistema fluido terrestre si analizzano i caratteri principali dell’acqua marina, le
correnti e le forze che influenzano il loro regime, il moto ondoso, la composizione
e la struttura dell’atmosfera, la circolazione generale, la radiazione solare, le
variazioni del clima del passato, in epoche storiche e recenti.
Il libro è rivolto a chi si occupa di valorizzare e tutelare il territorio e le sue risorse,
prevedere e mitigare le catastrofi naturali, studiare l’interazione tra ambiente ed
esseri viventi, svolgere attività di informazione e divulgazione concernente le
scienze naturali.
INDICE
I ORIGINE ED EVOLUZIONE DELLA TERRA 9
1.1 Nebulosa protoplanetaria 9
1.2 Moto planetario 13
1.3 Sistema terrestre 16
1.4 Geocronologia 18
1.5 Tettonica globale 23
II GRAVITÀ E FORMA DELLA TERRA 31
2.1 Fluttuazioni dell’asse di rotazione 31
2.2 Gravità ed ellissoide terrestre 34
2.3 Misura e anomalie di gravità 38
2.4 Geoide e compensazione isostatica 41
2.5 Spessore litosferico in aree isostatiche 47
2.6 Coordinate astronomiche e geografiche 49
2.7 Teoria delle maree 52
III SISMOLOGIA E STRUTTURA INTERNA 63
3.1 Deformazioni elastiche 63
3.2 Onde sismiche e sismometri 65
3.3 Propagazione delle onde sismiche 69
3.4 Terremoti 77
3.5 Sismicità e prevedibilità 82
3.6 Onde elastiche 85
IV CALORE INTERNO E FISICA DEL VULCANISMO 93
4.1 Conduzione termica 93
4.2 Flusso di calore terrestre 97
4.3 Temperatura superficiale 102
4.4 Struttura termica della litosfera 104
4.5 Stato termico del mantello e nucleo 110
4.6 Implicazioni geodinamiche della convezione 118
4.7 Reologia della litosfera 122
4.8 Energia geotermica 124
4.9 Fisica del vulcanismo 129
V GEOMAGNETISMO 147
5.1 Magnetizzazione 147
5.2 Magnetizzazione rimanente 155
5.3 Campo magnetico terrestre 161
5.4 Campo di riferimento e anomalie 174
5.5 Variazione secolare 178
5.6 Paleomagnetismo 180
5.7 Variazioni in tempi brevi 190
5.8 Correnti elettriche naturali 199
VI ELASTICITÀ,FLESSIONE E PROCESSI DI FRATTURA 203
6.1 Elasticità lineare 203
6.2 Tensioni e deformazioni monoassiali e piane 209
6.3 Tensioni su un piano inclinato 214
6.4 Taglio puro e taglio semplice 216
6.5 Tensione isotropa e triassiale 217
6.6 Flessione elastica 218
6.7 Flessione di strutture geologiche 223
6.8 Processi di frattura 235
VII SISTEMA FLUIDO TERRESTRE E CLIMI 245
7.1 Caratteri fondamentali dell’acqua marina 245
7.2 Correnti e moto ondoso 248
7.3 Composizione e struttura dell’atmosfera 256
7.4 Circolazione generale dell’atmosfera 262
7.5 Osservazioni meteorologiche 270
7.6 Carte meteo e immagini da satellite 275
7.7 Climi e variazioni climatiche 278
7.8 Energia solare 285
7.9 Energia eolica 297
APPENDICI 299
1 Superficie di riferimento 299
2 Funzioni sferiche 306
3 Tensioni da variazioni di temperatura 312
4 Richiami di termologia 314
5 Termodinamica della convezione 330
6 Campo magnetico nel vuoto 335
7 Errori di misura 343
8 Regressione e correlazione 352
9 Relazioni tra i parametri elastici di un corpo isotropo 356
10 Parametri fisici e struttura della Terra 357
11 Dimensioni e principali proprietà fisiche della Terra 358
BIBLIOGRAFIA 359
INDICE ANALITICO 361
APPENDICI
1. SUPERFICIE DI RIFERIMENTO
Definizione del geoide
La Terra, nonostante i corrugamenti superficiali, ha una forma assai regolare
poiché il rilievo più alto e la fossa oceanica più profonda non superano i due mille-
simi della distanza di un punto qualunque della superficie dal centro terrestre. Essa
può essere perciò rappresentata da una superficie geometricamente semplice, fis-
sando un opportuno sistema di coordinate curvilinee. La scelta di questa superficie
non può però essere fatta in modo arbitrario perché la normale alla superficie deve
essere individuabile materialmente in ogni punto e quindi deve avere una defini-
zione fisica e non prettamente geometrica.
La superficie di riferimento su cui i punti terrestri dovrebbero essere rappresen-
tati è quindi una superficie equipotenziale di gravità normale in ogni punto alla di-
rezione della verticale, che si può materializzare con un filo a piombo, o individua-
re mediante un livello o un pendolo. Questa particolare superficie equipotenziale di
quota zero che coincide con il livello medio dei mari è denominata geoide.
Il potenziale U in un punto P della superficie terrestre è una funzione della posi-
zione del punto
(1)
zyxUU ,,
per la quale si verifica
(2) g = grad U
Geometria per l’in-
terpretazione della
gravità nel punto P.
In generale indicando con ds uno spostamento infinitesimale si ha la relazione vet-
toriale
(3) dU = g ds
APPENDICI
300
ossia la derivata del potenziale secondo una direzione ds la componente della
gravità in quella direzione. In particolare se lo spostamento è tangente alla superfi-
cie equipotenziale passante per P risulta dU=0, da cui si deduce l’ortogonalità della
gravità rispetto alla superficie equipotenziale.
Il potenziale della gravità è quindi la somma del potenziale V relativo alla forza
f d’attrazione newtoniana e del potenziale v relativo alla forza centrifuga sull’unità
di massa c=
2 rp, dovuta alla rotazione terrestre attorno al proprio asse e orientata
verso l’esterno (il modulo rp=(x2 + y2)1/2 è la distanza di P dall’asse di rotazione).
Il potenziale v vale
(4)
22222 2
1
2
1
,yxryxv p
Per calcolare il potenziale V si consideri un elemento di massa terrestre dm posto
nel punto Q di coordinate generiche a, b, c. Questo elemento determina sulla massa
unitaria posta in P della superficie una forza
(5)
2222 cba
dd
d
zyx
m
G
qm
Gf
dove G è la costante gravitazionale universale e q è la distanza di dm da P, e il po-
tenziale
(6)
2
22 cba
dcdbdacb,a,d
d
zyx
G
q
m
GV
con
(a,b,c) la densità di dm di volume dadbdc. L’integrale della (6) è quindi il po-
tenziale dovuto a tutte le masse terrestri
(7)

q
m
GzyxV d
,,
dove le variabili d’integrazione sono a, b e c.
Il geoide è quindi una superficie equipotenziale di gravità sulla quale il poten-
ziale è dato dalla somma delle (4) e (7) per z=0. La scelta della superficie marina
per la sua definizione è dovuta al fatto che le particelle dell’acqua trovandosi in
condizioni d’equilibrio dinamico costituiscono una superficie di livello avente in
ogni punto la risultante di tutte le forze esterne normali.
Potenziale di gravitazione
Per eseguire l’integrazione della (7) occorrerebbe conoscere la legge con cui va-
ria la densità
nell’interno terrestre. La conoscenza dei valori di
è però insuffi-
ciente per una dettagliata ricostruzione della distribuzione delle masse, perciò
l’integrale viene approssimato con uno sviluppo in serie di funzioni sferiche, dopo
aver introdotto in luogo delle coordinate cartesiane le coordinate polari
,
e r (la-
titudine e longitudine geocentriche, distanza del punto P dal baricentro terrestre). A
meno di termini dell’ordine di 1/r4, ossia arrestando lo sviluppo in serie in funzione
solo della latitudine, si ricava l’espressione
APPENDICI
301
(8)
in cui a è il raggio equatoriale, M la massa terrestre e J2 il coefficiente di ellitticità.
La (8) può essere ricavata per altra via. Il potenziale di gravitazione in P dovuto
a dm è esprimibile nel seguente modo
(9)
21
2
2cos21
dd
d
r
s
r
s
r
m
G
q
m
GV
dove r e s rappresentano rispettivamente le distanze di P e dm dal baricentro terre-
stre. Ricorrendo a un’espansione binomiale e trascurando i termini aventi s/r con
potenza maggiore di due si può scrivere
(10)
2
2
2
2
2
21
2
2cos4
8
3
cos2
2
1
1cos21 r
s
r
s
r
s
r
s
r
s
2
2
2
2
2sen
2
3
cos1 r
s
r
s
r
s
e il potenziale dell’intera massa terrestre, ottenuto integrando la (9), è perciò dato
dalla somma dei seguenti quattro integrali
(11)
ms
r
G
ms
r
G
ms
r
G
m
r
G
Vdsen
2
3
ddcosd 22
3
2
32
Posizione della massa dm rispetto
al punto P.
Il primo integrale è il potenziale prodotto dalla massa terrestre M=dm concentrata
nel suo centro; il secondo è nullo in quanto è stato scelto come origine del sistema
d’assi cartesiani il centro di massa. In coordinate cartesiane il terzo termine si tra-
sforma in
zyx III
r
G
mmm
r
G
m
r
G
3
222222
3
222
3
2
dbadcadcb
2
dcba
APPENDICI
302
dove Ix, Iy, Iz sono i momenti principali d’inerzia rispetto agli assi X, Y, Z. L’ultimo
integrale nella (11) è il momento d’inerzia Ir di M rispetto all’asse OP. In definitiva
si ha l’espressione
(12)
rzyx IIII
r
G
r
MG
V3
23
nota come formula di MacCullagh.
La forma del corpo terrestre è assai prossima a uno sferoide schiacciato ai poli
(punti d’intersezione dell’asse di rotazione coincidente con l’asse Z) e avente il se-
miasse equatoriale maggiore del semiasse polare di circa 21.4 km. Ciò comporta
che il momento dinerzia equatoriale Ie è uguale ai momenti d’inerzia principali ri-
spetto agli assi X e Y e il momento polare Ip uguale a quello intorno all’asse Z. Po-
nendo
222 nImIlII zyxr
con l, m, n coseni direttori di OP rispetto agli assi X, Y, Z, legati fra loro secondo la
relazione l2+m2+n2=1, si ha
2222 nIIInIlmlI epeper
che sostituita nell’espressione (12) determina
(13)
2
331
2nII
r
G
r
MG
Vep
Essendo n il coseno direttore di OP rispetto all’asse Z e
la colatitudine, il com-
plemento della latitudine geocentrica
, la (13) si può riscrivere come
(14)
1sen3
22
3
ep II
r
G
r
MG
V
Il potenziale di gravitazione è quindi dato, con buona approssimazione, da un po-
tenziale negativo dovuto a una massa terrestre puntuale o a simmetria sferica e
dall’effetto positivo sul potenziale di una massa terrestre a simmetria assiale
schiacciata dal suo movimento rotazionale.
Il momento d’inerzia polare Ip è più grande di quello equatoriale Ie a causa del-
lo schiacciamento terrestre e la loro differenza, espressa come una frazione J2 del
prodotto M a2, è data da
(15)
2
2aMJII ep
la quale rende la (14) uguale alla (8). Il momento d’inerzia polare (=0.33 Ma2) è
sensibilmente minore di quello di un corpo terrestre sferico omogeneo (=0.4 Ma2).
Ciò dimostra che le parti più interne devono essere molto più dense di quelle ester-
ne. Infatti, la densità media della crosta (2850 kg m3) è poco più della metà di
quella media terrestre (5515 kg m3) ed è dell’ordine di 1/4 di quella del nucleo in-
terno (990013090 kg m3).
Sferoide di riferimento
La superficie equipotenziale di gravità Uo data dalla somma delle (4) e (8)
APPENDICI
303
(16)
22
o
22
2
2
o
2
o
ocos
2
1
1sen3
2
1rJ
r
a
rMG
U
definisce una superficie sferoidale di riferimento di raggio ro. Se si applica la (16)
una volta all’equatore (con ro uguale al semiasse equatoriale a e
=0) e una volta ai
poli (con ro uguale al semiasse polare c e
=90°) e si combinano i risultati si ottie-
ne
(17)
227
2
2
23
2o sm1026.61
2
1
2
1
1
c
a
J
c
MG
MG
a
J
a
MG
U
da cui, ricordando lo schiacciamento terrestre
=(ac)/a e trascurando i termini
quadrati e di ordine maggiore in
e J2, poiché
<<1 e J2<<1, si ricava
l’espressione
(18)
m
2
1
2
3
2
1
2
32
23
2 J
MG
a
J
dove
(19)
MG
a23
m
è la misura all’equatore del peso relativo della forza centrifuga dovuta alla rotazio-
ne terrestre in confronto alla forza di attrazione della massa terrestre puntiforme.
Ora si divida la (16) per la (17)
(20)
1
23
2
2
3
o
2
2
2
2
o
2
o22
1
1cos
2
1sen3
2
1
MG
a
J
MGr
J
r
a
a
r
da cui con il consueto sviluppo e con ro=a al secondo membro si ha, utilizzando la
(19), l’equazione della forma dello sferoide di riferimento di raggio ro in coordinate
polari
(21)
22
32
2o sen1sen
22
3
1
a
MGa
Jar
che in coordinate cartesiane diventa
(22)
222
2
o1zyx z
ar
dove ro2=x2+y2+z2. In conclusione la forma dello sferoide di riferimento è relativa a
un corpo terrestre in equilibrio idrostatico che si comporta come un corpo fluido in
rotazione intorno al proprio asse di raggi equatoriale e polari, velocità angolare, e
massa uguali a quelli reali.
Si dimostra che la (22) non è però molto diversa dalla seguente equazione rela-
tiva a un ellissoide di rotazione avente gli stessi semiassi dello sferoide di riferi-
mento
(23)
1
2
2
2
22
c
z
ayx
APPENDICI
304
Infatti, dalla definizione dello schiacciamento si ha
(24)
1ac
da cui quadrando e trascurando il termine in
2 si ricava
21
22 ac
Con tale approssimazione la (23) diviene
(25)
2
1
222 21 azyx
da cui, sviluppando in serie binomiale (12
)1 e trascurando i termini in
2 e
maggiori, si ottiene
(26)
21 2
2
22
oa
z
ar
I raggi a e ro sono dello stesso ordine di grandezza e si può porre con la stessa
approssimazione
2
2
o
2
2
2sen r
z
a
z
in modo che la (26) diviene
(27)
21
2
osen21
ar
Se si sviluppa in serie binomiale (12
sen2
)1/2 e si trascurano i termini conte-
nenti
2 e maggiori, si ottiene un’equazione che coincide con la (21).
Comunemente è usata la latitudine geografica
al posto di quella geocentrica
Si dimostra che la relazione fra queste due coordinate è
(28)
2sensensen 222
Siccome la differenza fra
e
è piccola e sen2 2
moltiplica
<<1, si può consi-
derare la latitudine geocentrica coincidente con quella geografica. In definitiva,
l’equazione della forma dello sferoide di riferimento diventa
(29)
2
osen1 ar
In alcuni problemi geodetici è utile considerare la Terra sferica, attribuendole un
raggio opportuno. Un raggio medio è quello dato dalla media dei semiassi
(30)
2
12
33 e
acaa
Rm
dove e è l’eccentricità dell’ellissoide terrestre data da [(a2c2)/a2]1/2. Il raggio Rs di
una sfera di superficie uguale a quella dell’ellissoide è deducibile dall’equazione
e
e
e
e
aRs1
1
ln
2
1
124 2
22
da cui
(31)
e
e
e
e
aRs
1
1
ln
4
1
2
12
La sfera di ugual volume ha un raggio Rv dato da
APPENDICI
305
caRv23 3
4
3
4
da cui
(32)
62
321eacaRv
I tre valori Rm, Rs e Rv risultano assai prossimi e per l’ellissoide del sistema geode-
tico internazionale la loro media è
RT=6370.980 km
Gravità normale
Essendo la direzione della normale allo sferoide di riferimento molto prossima a
quella del raggio vettore ro, a meno d’infinitesimi d’ordine maggiore, la gravità su
questa superficie è data da
(33)
o
o
21
2
o
o
2
o
o
oo 1
grad r
UU
rr
U
Ug
il cui modulo, derivando la (16), è
(34)
2
o
22
2
4
o
2
2
o
ocos1sen3
2
3rJ
r
aMG
r
MG
g
Convenzionalmente go è chiamata gravità normale ed è presa positiva, anche se è
diretta in senso contrario a ro.
Con la consueta approssimazione, nella (34) è possibile sostituire a ro nel primo
termine l’espressione (21), sviluppata in serie arrestata al termine lineare, e negli
altri termini il raggio equatoriale. Si ottiene allora
(35)
22
2
2
2
osen1m1sen3
2
3
sen21 J
aMG
g
dove m è la (19). Se in questa equazione si introduce la gravità all’equatore (
=0)
(36)
m
2
3
12
2J
a
MG
ge
e, ancora una volta, si conservano solo i termini del primo ordine si ha
(37)
2
2o senm
2
9
21 Jgg e
In definitiva, la gravità sullo sferoide di riferimento assume la forma
(38)
2
osen1 e
gg
dove la latitudine geocentrica
è stata presa coincidente con la latitudine geografi-
ca
, com’è stato fatto per la (29); la quantità
data da
(39)
m
2
9
22 J
rappresenta l’aumento della gravità dall’equatore ai poli.
Facendo la somma delle (18) e (39) si ricava
APPENDICI
306
(40)
MG a32
2
5
Le quantità
(0.003) e
(0.005) sono piccole e perciò è lecito porre al secondo
membro a2/(GM)1/ge. Si giunge così alla relazione di Clairaut
(41)
e
ga
2
2
5
Ricavando
da questa equazione e sostituendo il suo valore nella (38) si ha la se-
guente formula
(42)
2
2
osen
2
5
1e
ega
gg
Se nella teoria del campo gravitazionale si tiene conto dei termini di secondo
ordine, si dimostra che il coefficiente di ellitticità è espresso da
(43)
3
21008263.1
7
2
m
2
3
1
3
m
2
1
3
2
J
da cui con m=3.46775 103 si ottiene uno schiacciamento
257.298
1
e la gravità normale è data dalla seguente espressione
(44)
2sen
8m5
senm
14
17
m
2
5
12
2
2
oe
gg
che con valori numerici diventa
(45)
2sen0000059.0sen0053024.0178032.9 22
og
m/s2
2. FUNZIONI SFERICHE
Serie di Fourier
L’analisi armonica ha grande utilità in numerosi problemi di geofisica e costi-
tuisce l’introduzione al più complesso argomento delle funzioni sferiche.
Una funzione f(t) è periodica, di periodo 2T, quando assume lo stesso valore a
intervalli separati da 2T, per t (tempo o variabile spaziale) qualsiasi
(1) f(t) = f(t + 2T)
e può essere rappresentata mediante uno sviluppo in serie di funzioni trigonometri-
che, che dicesi serie o sviluppo di Fourier, se vengono soddisfatte alcune condizio-
ni, note come condizioni di Dirichlet. Essenzialmente queste condizioni richiedono
che nell’intervallo di definizione, per esempio a<t<b, la funzione abbia un numero
finito di massimi e minimi e il suo integrale sia convergente in modo assoluto, cioè
b
a
ttf d
APPENDICI
307
sia finito. Nelle applicazioni geofisiche queste condizioni sono di solito soddisfatte.
Nella forma più comune la serie di Fourier si scrive
(2)
1
osencos
2nnn Ttn
b
Ttn
a
a
tf
n=0, 1, 2,…
In questo sviluppo la funzione viene decomposta in un termine costante
(3)
ttf
T
aT
T
d
2
1
2
o
che ne rappresenta il valore medio, e in un termine armonico formato da coppie di
termini cosinusoidali e sinusoidali. Per n=1 si ha la prima armonica (o armonica
fondamentale) di periodo 2T. Per n=2 si ha la seconda armonica di periodo 2T/2
della fondamentale, per n=3 la terza armonica di periodo 2T/3,…, cioè con il cre-
scere di n si hanno armoniche di periodo decrescente.
I coefficienti an e bn si ottengono mediate le integrazioni
(4)
T
T
nt
n
tf
T
ad
Tt
cos
1
T
T
nt
Ttn
tf
T
bdsen
1
Il termine armonico di ordine n può essere espresso mediante un solo coefficiente
cn, che rappresenta l’ampiezza dell’oscillazione di frequenza n/2T, e mediante un
angolo αn, che rappresenta uno sfasamento, nel seguente modo
(5)
22 nnn bac
n
n
na
b
arctan
Quindi ponendo ao/2=co, la serie (2) assume la forma
(6)
n
nnTtn
cctf
cos
1
o
Lo sviluppo di Fourier è espresso anche in forma complessa. L’impiego delle
variabili complesse presenta vantaggi sia per la sua maggior compattezza rispetto
alla forma in termini di seni e coseni sia perché la funzione esponenziale è di più
facile uso dal punto di vista delle operazioni d’integrazione e differenziazione. Se
una funzione non è periodica può essere interpretata come funzione periodica il cui
periodo è T.
È questo il procedimento che sta alla base dell’analisi armonica, mediante la
quale è possibile ottenere l’espressione matematica di una qualsiasi curva periodi-
ca. Ad esempio la seguente figura mostra la funzione
(7)
2
2cos
4
1
cos
xxy
data dalla somma delle prime due armoniche.
Prima armonica (di periodo 2
)
y=cosx, seconda armonica (di
periodo
) y=cos(2x
/2)/4 e
loro somma.
APPENDICI
308
Un altro esempio è mostrato per una retta y=x rappresentata dalla funzione
(8)
xxxxy 4sen
4
1
3sen
3
1
2sen
2
1
sen2
nell’intervallo
<x<
. Essendo il numero dei termini n considerati nello sviluppo
uguale a 4 (le prime quattro armoniche), le due linee coincidono in (2n+1)=9 punti
e divergono appena fuori dell’intervallo considerato.
Retta y=x rappresentata nell’intervallo
dalla somma di 4 armoniche (eq. 8).
La serie (7) è rappresentata solo da termini in coseno e la serie (8) solo da ter-
mini in seno, in quanto esse sono associate rispettivamente a funzioni pari e dispa-
ri. Una funzione si dice pari quando f(x)=f(x) e dispari quando f(x)=f(x).
Polinomi di Legendre
Una curva piana e assai prossima a una circonferenza di raggio R, che si discosti
periodicamente da questa restando simmetrica rispetto all’asse delle z, può essere
rappresentata da un’equazione del tipo
(9)
...
2211oo XcXcXcRr
dove
(10) Xo=1, X1=cos
,
1cos3
2
12
2
X
,
cos3cos5
2
13
3X
,
sono i polinomi di Legendre di grado 0, 1, 2, 3, che comunemente vengono
espressi mediante la formula di Rodrigues
(11)
n
n
n
n
nn
X1
d
d
!212
=cos
Curve di raggio R e di curva-
tura r data dalla (9).
APPENDICI
309
Curve di alcuni polinomi di Legendre. I valori di Xn variano da 1 a 1 e sono uguali a zero in n punti
situati a distanze poco disuguali nell’intervallo 0.
Le funzioni Xn sono anche dette armoniche zonali superficiali. Infatti, facendo
ruotare la curva attorno all’asse delle z (
=0) si ottiene una superficie di rotazione
di raggio r che risulta interna o esterna alla sfera di raggio R. Allo stesso modo Xn
luogo a una superficie di rotazione che sega una sfera secondo paralleli corri-
spondenti ai punti nei quali Xn si annulla e che in zone alternate risulta esterna o in-
terna a detta sfera. È evidente che le armoniche zonali sono simmetriche rispetto
all’asse delle z; il loro valore è funzione soltanto della latitudine, mentre è indipen-
dente dal raggio r e dalla longitudine.
Armonica zonale X7. La funzione è positiva
nelle zone punteggiate.
La ragione per cui conviene utilizzare i polinomi di Legendre, è che Xn è il coeffi-
ciente di (s/r)n o di (r/s)n nello sviluppo del potenziale di gravitazione. È facile veri-
ficare, per i primi termini, che il seguente sviluppo in serie binomiale
APPENDICI
310
...sen
2
3
cos1cos21 2
2
2
2
2
2
1
2
2
r
s
r
s
r
s
r
s
r
s
è dato da
(12)
00 ,n
n
n
n
n
nrs
s
r
Xsr
r
s
X
Fra le proprietà delle funzioni Xn sono notevoli la relazione di ortogonalità
(13)
nm
n
nm
XX nm
12 2
0
d
1
1
e la relazione
(14)
11 1
cos
1
12
nnn X
nn
X
n
n
X
che sussiste tra tre polinomi successivi.
Le funzioni rn Xn e rn+1 Xn, funzioni sia di r che di
, sono dette armoniche zo-
nali di volume; sulla sfera di raggio unitario esse coincidono con le armoniche zo-
nali superficiali Xn. Espresse in coordinate cartesiane esse soddisfano l’equazione
di Laplace 2V(x,y,z)=0 e sono pertanto funzioni armoniche.
Funzioni sferiche di Laplace
La rappresentazione mediante sviluppo in serie di termini armonici di una fun-
zione con nessuna simmetria assiale, variabile cioè anche con la longitudine
, è
più complessa. In questo caso normalmente si ricorre alle seguenti funzioni
(15)
m
n
m
nXmXm
sen,cos
dove
(16)
n
m
m
mmm
nX
mn mn
X
d
d
sen
!
!
δ2
21
o
con
=cos
e nm; n e m sono rispettivamente grado e ordine di ciascun termine. Il
simbolo di Kronecker
m
o
δ
vale 1 per m=0 e 0 per m0, per cui
nn XX
0
. Il fattore
(nm)!/(n+m)! denota che il valore numerico delle (15) varia molto con l’ordine m;
si dimostra che il valore quadratico medio di queste funzioni sulla sfera è
1/(2n+1)1/2.
Le funzioni (15) sono dette armoniche tesserali superficiali perché dividono la
superficie sferica in tanti riquadri (tessere) contenenti alternativamente valori posi-
tivi e negativi. L’armonica in
m
n
X
ha (nm) linee nodali inegualmente distanziate
nell’intervallo
lungo un meridiano, e m linee nodali ugualmente distanziate nello
stesso intervallo
lungo un parallelo. Ossia, su un emisfero, il parametro n deter-
mina il numero totale delle linee nodali e m il numero delle linee nodali meridiane.
APPENDICI
311
Per m=n, si hanno settori verticali (armoniche settoriali) e per 0<m<n si hanno le
tessere armoniche in cui la funzione assume alternativamente valori massimi e mi-
nimi.
Le espressioni dei termini
n
m
m
mX
d
d
sen
(funzioni di Legendre associate di
prima specie) sino al grado e ordine quattro sono riportate nel seguente prospetto:
Per ogni grado n esistono (2n+1) armoniche tesserali, delle quali (n+1) in cos(m
)
e n in sen(m
). Le armoniche tesserali cos(m
)
m
n
X
di ordine m=0 coincidono con
le armoniche zonali
n
X
che sono considerate come particolari armoniche tesserali.
Le armoniche tesserali di ordine m=n si annullano lungo i meridiani. Esse perciò
sono alternativamente positive e negative in fusi alterni e prendono il nome di ar-
moniche settoriali.
In luogo delle (15) spesso vengono utilizzate le funzioni
(17)
m
n
m
nXnmXnm 2121 12sen,12cos
dette armoniche tesserali normalizzate in quanto il loro valore quadratico medio
sulla sfera risulta 1. Moltiplicando ciascuna delle (2n+1) armoniche tesserali di gra-
Armonica tesserale
4
6
4sen X
. n=6 è il nu-
mero totale delle linee nodali e m=4 è il nume-
ro delle linee nodali meridiane. Lungo queste
linee la funzione si annulla; i meridiani nel
piano della figura non sono linee nodali.
do n per una costante (
m
n
m
nBA ,
) e sommando si ottiene la funzione
(18)
n
m
m
n
m
n
m
nn XmBmAY 0sencos
che costituisce la più generale armonica sferica superficiale. Da essa infatti, assu-
mendo uguali a zero tutte le costanti eccetto una, si traggono le armoniche tesserali
(15), e da queste per m=0 le armoniche zonali date dalla (11).
n\m
0
1
2
3
4
0
X0
1
X1
sen
2
X2
3 sen cos
3 sen2
3
X3
(3/2) sen(5 cos21)
15 sen2 cos
15 sen3
4
X4
(5/2) sen (7 cos33 cos)
(15/2) sen2 (7 cos21)
105 sen3 cos
105 sen4
APPENDICI
312
Le Yn sono dette funzioni sferiche di Laplace, e dipendono da (2n+1) costanti A
e B. Qualora si vogliano rappresentare funzioni variabili non solo con la latitudine
e la longitudine, ma con il raggio r, si dovranno introdurre le armoniche sferiche di
volume rnYn e r
(n+1)Yn. Sulla superficie della sfera unitaria esse coincidono con le
armoniche sferiche superficiali Yn. Espresse in coordinate cartesiane, le armoniche
solide soddisfano l’equazione di Laplace e sono pertanto funzioni armoniche.
Come una superficie di rotazione può essere rappresentata da uno sviluppo in
serie di armoniche zonali del tipo (9), così una superficie prossima a una sfera, ma
non dotata di simmetria di rotazione, può essere rappresentata da uno sviluppo in
serie di armoniche sferiche del tipo
(19)
...
2211oo YcYcYcRr
dove per ogni armonica Yn si dovrà, secondo la (17), calcolare (2n+1) costanti.
Benché ciò sia estremamente complesso, sono stati eseguiti studi sulle variazioni di
altitudine, di altezza del geoide, di campo magnetico e di flusso di calore terrestre
attraverso decine di armoniche, anche se i termini fondamentali degli sviluppi, nei
quali è concentrata la massima parte del loro valore numerico, sono i primi cinque.
Per quanto riguarda il campo gravitazionale, una volta stabilita la distribuzione del-
la densità delle masse (o di qualche altro parametro a essa collegata) mediante lo
sviluppo in serie armoniche sferiche, il calcolo del potenziale è immediato. È que-
sta in definitiva la ragione che ha reso opportuna l’introduzione di funzione sferi-
che così complesse.
3. TENSIONI DA VARIAZIONI DI TEMPERATURA
Se si hanno variazioni di temperatura, le leggi dell’elasticità devono essere mo-
dificate per includere le variazioni di volume dovute all’effetto termico. In accordo
con le leggi della termodinamica lo stato di equilibrio di ogni materiale è determi-
nato da due variabili di stato. Esempi di variabili di stato comprendono la tempera-
tura T, la pressione p e la densità
. In termodinamica è spesso conveniente usare il
volume specifico
(=1/
) piuttosto che la densità. Come una variabile di stato, il
volume specifico può essere messo in relazione con la pressione e la temperatura
applicando la regola di differenziazione per funzioni a più variabili
(1)
p
p
υ
T
T
υ
υ
T
pddd
Le due derivate parziali compaiono nelle definizioni del coefficiente di dilatazione
cubica
e del coefficiente di compressibilità isotermica
T che sostituiti nella (1)
determinano
(2)
pT Tddd
Se un materiale è libero di dilatarsi in modo che la pressione non vari (dp=0) al va-
riare della temperatura e del volume, questa equazione porta a
(3)
Tdd
ovvero
APPENDICI
313
(4)
Tdd
Se un materiale è invece confinato cosicché il volume non possa variare (d
=0), le
variazioni di temperatura e di pressione sono in relazione come segue
(5)
Tp Tdd
Con valori tipici di
e
T delle rocce rispettivamente di 105 K1 e 1011 Pa1 e per
una variazione di temperatura di 100 °C, l’aumento della pressione di confine risul-
ta pari a 100 MPa. Ciò significa che le variazioni della temperatura possono pro-
durre variazioni di pressione molto grandi.
Quindi una variazione di temperatura
T produce in un corpo libero di dilatarsi
una variazione di volume specifico
=
T e una deformazione così definita
(6)
TΔ
3
1
321
se il corpo è isotropo. Il segno meno deriva dalla convenzione in geofisica che as-
sume positive le deformazioni di contrazione e il coefficiente di dilatazione termica
lineare è
(7)
3
1
l
ossia la deformazione del materiale per ogni grado di variazione di temperatura.
Le relazioni tra le deformazioni e le tensioni per un solido elastico isotropo e li-
neare in presenza di deformazioni dovute a variazioni di temperatura sono quindi
(8)
T
ElΔ
13211
(9)
T
ElΔ
13212
(10)
T
ElΔ
13213
dove
è il coefficiente di Poisson, E è il modulo elastico e
1,
2 e
3 sono le ten-
sioni principali coincidenti con le deformazioni principali
1,
2 e
3.
Per uno stato di tensione monoassiale,
2=
3=0, dalle (8)(10) si ottiene
(11)
T
ElΔ
1
1
,
(12)
T
ElΔ
132
mentre per una tensione piana,
3=0, si ha
(13)
T
ElΔ
1211
(14)
T
ElΔ
1122
(15)
T
ElΔ
1213
APPENDICI
314
Infine per uno stato di tensione isotropa,
1=
2=
3=p e
1=
2=
3=v/3, si ha som-
mando le (8)(10)
(16)
Tp
Elv Δ321
3
Utilizzando il coefficiente di compressibilità isoterma in relazione alle proprietà
elastiche
(17)
21
3 E
T
e le relazioni
l=
/3 e
v=d
/
si dimostra che la (16) è equivalente alla (2).
Come esempio, si vogliono determinare le tensioni prodotte dalla variazione
della temperatura annua dell’aria. Essendo il sottosuolo confinato nelle direzioni
orizzontali, si ha
1=
2=0 e
3=0. Dalle (13) e (14) si ricava
(18)
1
Δ
21 TE l
La temperatura del suolo varia però nel tempo e lungo la verticale secondo la rela-
zione
(19)
2
cos
2
expΔ,oztzTzGTtzT
dove To e
T sono rispettivamente la temperatura media e l’ampiezza dell’oscil-
lazione termica dell’aria,
=2
/
di cui P il periodo di oscillazione, t il tempo,
e
G rispettivamente la diffusività termica e il gradiente del campo termico staziona-
rio del sottosuolo. Sostituendo l’ultimo termine di questa equazione nella (18) si
ottiene quindi
(20)
2
cos
2
exp
1
Δ
l
21 ztz
TE
La tensione massima si ha per z=0 e t=0
(21)
1
Δ
max TE l
che con E=30 GPa,
=0.15,
l=105 K1,
=106 m2 s1 e
T=10 °C risulta pari a
3.5 MPa. Questo valore decresce con la profondità e diventa 1/100 a circa 15 m di
profondità.
4. RICHIAMI DI TERMOLOGIA
Dilatazione termica
Il coefficiente di dilatazione lineare di un solido la variazione che subisce
l’unità di lunghezza per un aumento di temperatura di 1 °C
T
L
L
ld
d1
analogamente si definisce il coefficiente di dilatazione piana (per i solidi e liquidi)
APPENDICI
315
T
S
S
sd
d1
e il coefficiente di dilatazione cubica
T
V
V
vd
d1
variazioni che subiscono rispettivamente l’unità di superficie e il volume unitario,
sotto pressione costante, per un aumento di 1 °C. Tutti gli aeriformi hanno appros-
simativamente
00366.0273/1
v
.
Per i corpi isotropi è
32 vs
l
I coefficienti di dilatazione dipendono dalla temperatura. Per il ferro e l’acciaio ad
alte temperature si può porre
T
l000008.0011.01000
Di solito si adottano dei valori medi e si scrive
TLL l
1
o
,
TSS s
1
o
,
TVV v
1
o
;
per il peso specifico
si ha
T
v
1o
dove Lo, So, Vo e
o sono rispettivamente lunghezza, superficie, volume e peso spe-
cifico a temperatura ambiente.
Alcuni coefficienti di dilatazione cubica alla temperatura ambiente (
20
C)
Aria e gas 0.00367 Olio d’oliva 0.00072
Glicerina 0.00050 Petrolio 0.00100
Mercurio 0.00018
Coefficienti di dilatazione lineare (valori medi tra 0 e 100
C)
Acciaio, ferro 0.000012 Invar (64% Fe+36% Ni) 0.000002
Alluminio 0.000024 Oro 0.000014
Argento 0.000020 Paraffina a 20
C 0.000200
Bronzo, ottone 0.000018 Rame, zinco 0.000017
Costantana 0.000015 Vetro di quarzo 0.000001
Ghisa 0.000010 Vetro di Jena 0.000006
Abete
fibre 0.000004 Mattoni comuni 0.000006
Abete
fibre 0.000058 Porcellana 0.000003
Caucciù a 20
C 0.000077
Volume specifico dell’acqua (litri/kg)
T in
C 0 20 40 60 80
105 Pa 1.0001 1.0017 1.0077 1.0169 1.0288
108 Pa 0.9579 0.9631 0.9701 0.9792 0.9897
6 108 Pa 0.8481 0.8546 0.8624 0.8703 0.8782
L’acqua presenta un’anomalia: a circa 4
C ha un volume minimo. Anche le solu-
zioni acquose possono presentare un minimo, che si discosta da 4
C verso il basso
quanto più alta è la concentrazione. Fra 0 e 25
C il volume di 1 kg d’acqua corri-
sponde a litri
APPENDICI
316
2
40000075.01 T
I corpi riscaldati o raffreddati, ove siano impedite le corrispondenti dilatazioni o
contrazioni, esercitano tensioni considerevoli. Generalmente i corpi si dilatano
quando la temperatura aumenta. Per i minerali e le rocce anisotrope, la dilatazione
è diversa secondo la direzione. Per la calcite essa è addirittura negativa nella dire-
zione dell’asse ottico.
Cambiamenti di stato
Punto di fusione
Per i corpi allo stato cristallino la temperatura di fusione coincide con la tempe-
ratura di solidificazione. Accade però talvolta che un liquido, raffreddato in quiete,
rimanga liquido sotto la temperatura di solidificazione (sopraffusione).
La pressione ha poca influenza sulla temperatura di solidificazione; invece le
sostanze sciolte producono un abbassamento quasi proporzionale alla concentra-
zione. Abbassando la temperatura di una soluzione acquosa si separa ghiaccio e la
soluzione si concentra, finché si arriva a una temperatura alla quale solidificano in-
sieme acqua e sostanza sciolta, in proporzione ben definita (un crioidrato con 23%
di NaCl ha una temperatura di congelamento di 21
C).
Alcune temperature di fusione e solidificazione, in
C, alla pressione ordinaria:
Acqua 0 Mercurio 38.9
Acqua di mare 2.5 Ossigeno 219
Anidride carbonica 56.5 Porcellana 1550
Azoto 210 Quarzo 1470
Calcio 830 Silicio 1420
Cera 64 Olio di oliva 3
Cloruro di sodio 800 Ferro puro 1530
Alcool etilico 114 Metano 184
Di norma, i corpi solidificando diminuiscono di volume. La diminuzione, riferi-
ta al volume Vl del liquido, si calcola mediante i pesi specifici
l e
s del liquido e
del solido
slslsl VVV
//
l’acqua invece solidificando si dilata: Vs1.09 Vl.
Per i metalli, nella solidificazione dei fusi, si ha una contrazione lineare di
0.52.0% data dalla somma algebrica delle variazioni provocate dal cambiamento
di stato e dal raffreddamento.