Content uploaded by Emre Ev Cimen
Author content
All content in this area was uploaded by Emre Ev Cimen on Sep 26, 2018
Content may be subject to copyright.
BİR PROBLEMİ BEŞ FARKLI YOLDAN ÇÖZMEK, BEŞ PROBLEMİ
BİR YOLDAN ÇÖZMEKTEN DAHA MI İYİDİR?
IS IT BETTER TO SOLVE ONE PROBLEM BY FIVE DIFFERENT
WAYS THAN TO SOLVE FIVE DIFFERENT PROBLEMS BY ONE
WAY?
Emre EV ÇİMEN
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
evcimen@ogu.edu.tr
Kürşat YENİLMEZ
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
kyenilmez@ogu.edu.tr
ÖZET: Problem çözme, matematik eğitiminin en temel amaçlarından birisidir ve öğretim programının
içerisinde yer alan her konu için geliştirilmesi gerekli bir beceri olarak ele alınmaktadır. Problem çözme “bir
matematik sorusuna cevap vermek, kısa yoldan ve hızlı işlem yaparak sonucu bulmak” şeklinde basite
indirgenemeyecek kadar önemli bir düşünme becerisidir. Matematik öğretmeni adaylarının problem çözmenin
yapısı ve süreci hakkında doğru bilgilerle donatılmaları, mesleklerinde öğrencilerinin problem çözme
becerilerinin geliştirilmesinde doğru yol yöntem ve yaklaşımı kullanmaları açısından önemli görülmektedir. Bu
düşünceden hareketle, araştırmada, ilköğretim matematik öğretmenliğinde okuyan öğretmen adaylarının George
Polya tarafından söylenen “Bir problemi beş farklı yoldan çözmek, beş problemi bir yoldan çözmekten daha
iyidir" sözü hakkındaki düşüncelerini belirlemek amaçlanmıştır. Araştırma öğretmen adaylarının görüşlerini
betimlemeye yönelik nitel bir çalışmadır ve 41 matematik öğretmen adayı ile gerçekleştirilmiştir. Sonuçta
öğretmen adaylarının yaklaşık %75’i bir problemi farklı yollardan çözmenin birden çok problemi bir yolla
çözmekten daha faydalı olduğunu söyleyerek Polya’nın sözüne katılmışlar ve farklı stratejileri öğrenmenin çok
yönlü düşünme becerisini geliştirdiğini belirtmişlerdir.
Anahtar sözcükler: matematik eğitimi, problem çözme, George Polya.
ABSTRACT: Problem solving is one of the essential objectives of mathematics education and is considered as
a skill to be developed in almost all subjects within mathematics curriculum. Problem solving is a significant
thinking skill that can not be reduced to simply “answering a mathematics question or obtaining the result using
a shorter way or via quicker processing”. We think it is important to train mathematics teacher candidates with
correct information on the structure and process of problem solving so that they can use the correct methods to
improve students’ problem solving skills in their future teaching career. Having this idea as our motivation, we
aimed to determine what elementary mathematics teacher candidates think about George Polya’s famous saying:
“It is better to solve a problem by five different ways than to solve five different problems by one way”. This
research is a qualitative study realized with 41 teacher candidates. As a result, %75 of the teacher candidates
agreed with Polya’s saying by stating that “solving a problem by five different ways is better than solving many
problems by one way” and also stated that learning different strategies improves multi-faceted thinking skill.
Key words: mathematics education, problem solving, George Polya.
GİRİŞ
Problem çözme matematik öğretiminin en temel taşlarındandır. Alanyazın incelendiğinde, matematikte başarılı
olmanın yolunun problem çözme becerisinin gelişimi ile doğrudan ilişkili olduğu görülmektedir (Wilson,
Fernandez & Hadaway, 1993). Öğrencilerin problem çözme becerilerini geliştirmeye yönelik çalışmalarda; (1)
problemi anlama, (2) çözümü planlama, (3) planı uygulama, (4) çözümün doğruluğunu ve geçerliğini kontrol
etme ve (5) çözümü genelleme ve benzer/özgün problem kurma süreçlerinin gözetilmesi gerektiği
vurgulanmaktadır (Polya, 197; Schoenfeld, 1992). Bu süreçlere yönelik beklenen göstergelerden birisinin ulusal
programlarda ve uluslararası matematik öğretim standartlarında “problemin farklı çözüm yollarını
değerlendirme” ye önem verildiği görülmektedir (Xie, 2004).
George Polya (1957) “nasıl çözmeli” eserinde matematik öğretmenlerinin ilk görevlerinin öğrencilerinin
problem çözme becerilerini geliştirmek olduğu vurgusunu yapmıştır. Polya tarafından söylenen “Bir problemi
beş farklı yoldan çözmek, beş problemi bir yoldan çözmekten daha iyidir” sözü Polya’nın problem çözme
konusundaki yaklaşımını ortaya koymaktadır. Dr. Polya Stanford Üniversitesi'nde (1887-1985) görev yapmış
matematik bilimi ve eğitimine önemli katkılar sağlamış bir matematikçidir ve matematik eğitiminde problem
çözmenin babası olarak bilinmektedir. Polya bir diğer veciz sözünde "bir problem 24 saat içerisinde
çözülebiliyorsa problem değildir" demekle problem çözmede iki hususa dikkat çekmek istemektedir . Bunlardan
ilki; kısa sürede çözülen problemin daha önce karşılaşılmış bir durum olması ve artık bu yönü ile güçlük özelliği
taşımamasıdır. İkincisi de benzer bir çözüm yolu ile çözülmüş bir problemle karşılaşılmış olunabileceğidir.
Benzer şekilde aynı yolla çözülen bir başka problemin de gerçek anlamda problem özelliği taşımayacağı
değerlendirilmektedir. Bu bakış açısı ile, matematik derslerinde yer alan pek çok problem gerçek anlamda
problem özelliği taşımamaktadır. Oysa ki, gerçek hayatta karşılaştığımız problemler, nasıl çözüm bulunacağı
bilinmeyen, hatta çözüme nereden başlanacağının dahi kestirilemediği durumlar, güçlüklerdir. Dolayısı ile
matematik eğitiminde öğrencilerin problem çözme becerisini geliştirmenin yolu öğrencileri alışılmış (rutin)
olmayan problemler ile çalıştırmaktan ve problemin farklı çözüm yollarını araştırmalarını sağlamaktan
geçmektedir. Bu aynı zamanda öğrencilerin muhakeme becerilerini de geliştirmekte ve öğrencilerin benzeri pek
çok güçlükle baş edebilmelerini mümkün kılmaktadır. Probleme yönelik farklı çözüm yollarını, startejilerini
araştırmak, öğrencilerin başarılı problem çözen bireyler olmalarına katkı sağlamaktadır (Bransford & Stein,
1984; Soylu & Soylu, 2006). Öğrencilerin problem çözmede tek yol izlemelerinin, öğrencilerin yaratıcı ve esnek
düşünme kabiliyetlerini zamanla kaybetmelerine yol açtığı düşünülmektedir. Benzer şekilde, öğrenciler farklı
yollar aramanın gerekliliğine inançlarını kaybetmekte ve risk alma konusunda daha çekingen olmaktadırlar. Ek
olarak, tek bir yol ile problem çözme çalışmaları yapıldığında öğrenciler, işlemsel bilgi kazanım sürecinde
kavramsal bilgi ve anlayışlarını yüksek bir olasılıkla kaybetmektedirler (Narode, Board & Davenport, 1993).
Bu çalışmada, öğretmenlerin matematik öğretiminde öğrencileri ile yalnız tek çözümü olan, doğru ve hızlı sonuç
bulmaya dayalı bir yaklaşımla çalışmaları yerine, alternatif çözümler barındıran problemlerle çalışmaları önemli
görülmüştür. Buradan hareketle, Geleceğin öğretmenlerinin bu konudaki düşüncelerini ortaya koyarak,
öğretmen adaylarının tek yolla çözülen pek çok problem yerine bir problemin farklı çözüm yollarını önemseyen
bireyler olarak eğitilmelerinin gerekliliğine dikkat çekilmek istenmiştir.
YÖNTEM
Araştırmada, ilköğretim matematik öğretmenliğinde okuyan öğretmen adaylarının Polya tarafından söylenen
“Bir problemi beş farklı yoldan çözmek, beş problemi bir yoldan çözmekten daha iyidir" sözü hakkındaki
düşüncelerini belirlemek amaçlanmıştır. Araştırma öğretmen adaylarının görüşlerini betimlemeye yönelik nitel
bir çalışmadır ve seçmeli bir ders olan Problem ve Problem Çözme Öğretimi dersi kapsamında 2. ve 3. sınıfta
okuyan toplam 41 matematik öğretmen adayı ile gerçekleştirilmiştir. Öğretmen adayları ile gerçekleştirilen yarı
yapılandırılmış görüşmede, öğrencilerden Polya'nın görüşüne katılıp katılmadıklarını gerekçeleri ile birlikte,
ayrıntılı bir biçimde, açık anlaşılır bir dil ile, sunmaları istenmiştir. Verilerin analizinde içerik analizi
uygulanmıştır. İçerik analizinde üç farklı görüşe, temaya ulaşılmıştır. Bunlar " (1) Bir problemin beş farklı
çözüm yolunu bilmek iyidir, (2) Beş problemin bir çözüm yolunu bilmek iyidir ve (3) Her ikisi de iyidir "
biçiminde verilebilir. Bulgular bölümünde her üç temaya ait kategori ve kodlar oluşturulmuş, tablolaştırılmış ve
tabloyu somutlaştırır özellikte seçilen örnek öğrenci görüşleri ile birlikte sunulmuştur. Görüşlerin hangi
öğrenciye ait olduğu bilgisi, öğrencilerin sıralaması Ö-Numara biçiminde (Ö-1: Birinci öğrenci örneğinde
olduğu gibi) sunulmuştur.
BULGULAR
Bulgular bölümünde ulaşılan üç farklı görüş sırası ile "Bir problemin beş farklı çözüm yolunu bilmek iyidir",
"Beş problemin bir çözüm yolunu bilmek iyidir" ve "Her ikisi de iyidir" alt başlıkları ile sunulmaktadır.
Bir Problemin Beş Farklı Çözüm Yolunu Bilmek Daha İyidir
Yapılan incelemeler sonucu, 31 öğretmen adayının “bir problemin beş farklı çözüm yolunu bilmenin daha iyi
olduğu” düşüncesinde George Polya’ya paralel bir düşünce sergiledikleri bulgusuna ulaşılmıştır. Bu her dört
kişiden üçünün bu düşüncede olduğunu göstermektedir. Öğretmen adaylarının bir problemin beş farklı çözüm
yolunu bilmenin beş problemin bir çözüm yolunu bilmekten neden daha iyi olduğu konusundaki açıklamaları
incelenerek aşağıda Tablo 1’de verilen kategoriler ve kodlar oluşturulmuştur. Burada bir problemin beş farklı
çözüm yolunu bilmenin beş problemin bir çözüm yolunu bilmekten daha iyi olması matematiksel bir biçimde
1P 5Ç > 5P 1Ç kısaltması ile verilmiştir.
Tablo 1. “Bir Problemin Beş Farklı Çözüm Yolunu Bilmek Daha İyidir”
Temasına Ait Kategori, Kod ve Temalar
Tema
Kategori
Kod
Frekans
1 P 5Ç > 5P 1Ç
Yaklaşıma
Katkı
Bakış açısını zenginleştirme
Çok yönlü düşünme
31
Alternatif üretme
Ezbercilikten uzaklaştırma
Tekdüzelikten çıkarma
Düşünmeye Katkı
Analitik düşünme
17
Yaratıcı düşünme
Zihinsel Yeteneklere
Katkı
Zihinsel yetenekler
Akıl yürütme yeteneği
29
Muhakeme yeteneği
Yaşama Katkı
Anlayış kazandırma
18
Hayatı kolaylaştırma
Problem Çözmeye Katkı
Farklı problem çözümlerine yardım
16
Özellik
Kolay hatırlanabilir
11
Eğlenceli, zevkli
Nitelik
Az problem çok kazanım
27
Tablo 1'de yer alan kodlara ilişkin örnek öğretmen adayı ifadelerinden bazılarına aşağıda yer verilmektedir.
Tamamen katılıyorum. Tek bir çözüm yolunu bilmek insana tekdüze bakış açısı kazandırır. İnsan farklı çözüm
yollarını araştırdığında normal yaşantısında problemleri daha kolay çözer. Problemlerin çözümleri için farklı
alternatifler kolaylıkla üretebilir. [Ö - 39]
Bir problem için farklı çözüm yolları bulabilmek beş farklı biçimde düşünmek demektir. Farklı yolları bulmaya
çalışmak akıl yürütmemizi sağlar ve farklı problemlerin çözümlerine de yardımcı olur bence. [Ö - 41]
Bir problemin birden çok çözüm yolunu bilmek bizim ileride daha farklı problemlerle karşılaştığımızda daha
kolay sonuca ulaşmamızda yardımcı olur. Yani olaylara sorunlara başka pencerelerden bakma imkanı tanır.
Daha geniş düşünmemizi sağlar. [Ö - 38]
31 öğretmen adayı da farklı ifadelerle de olsa bir problemin beş farklı çözüm yolunu bilmenin öğrencilerin bakış
açısını değiştireceği, çok yönlü düşünme sağlayacağı ve dolayısı ile bireylerin yaklaşımına katkı sağlayacağı
düşüncesindedirler. Öğretmen adaylarının aşağıda örnek verilen ifadelerinden de görüldüğü gibi, problemin
farklı çözüm yollarını araştırmanın, bilmenin öğrencilerin düşünme biçimlerine, zihinsel yeteneklerine ve
dolayısı ile yaşamlarına katkı sağladığı bulgusuna ulaşılmıştır..
Problem çözmek doğru işlemleri kullanarak doğru sonuca ulaşmaktan ziyade kişinin muhakeme yeteneğini
kullanması ve geliştirmesini amaçlamaktadır. Bir problemi çözerken farklı yollar denemek kişinin analitik
düşünmesini sağlar. Analitik düşünen kişi de hayata at gözlükleri ile bakmak yerine farklı farklı pencerelerden
bakar. Beş farklı yol bilmek insanın yaratıcılığını geliştirir. [Ö - 21]
Tek bir çözümün olması o çözüm yolunu bulamayan biri için zordur, çünkü soruyu çözemez. Ama alternatif
çözümler olursa birey sonuca daha kolay ulaşır. [Ö - 9]
Bir problemin 5 farklı çözüm yolunu bilmek bence daha iyidir. Çünkü bazı zamanlarda tek çözümünü biliyorsan
unutabilirsin ama 5 çözümünü de biliyorsan mutlaka biri hatırlanır. [Ö - 40]
Bir konu hakkında farklı ve çeşitli alternatifler türetebilmek daha sağlıklıdır. Ezbercilikten uzaklaştırır. Yaratıcı
düşünmeyi sağladığı için kişisel gelişimimize önemli katkılar sağlar. Bir problemin çözüm yolu diğer
problemlerde uygulanıyorsa bu bişey katmaz, ezberlendiğini gösterir. Bir problemi farklı yollarla çözmek kişiye
zihinsel çok şey katar. Farklı problemlerin de üstesinden gelir. [Ö - 27]
Öğretmen adaylarının düşünceleri incelendiğinde, aynı yolla farklı problemler çözmenin kendilerine çok da
katkı sağlamayacağı düşüncesindedirler. Bunun nedenini iyi puan almak, doğru sonuca en kısa yoldan ulaşmak
amaçlı yetiştirilme biçimlerine bağlamaktadırlar. Aşağıda verilen ifade bu durumu ortaya koyar niteliktedir.
Ben bu söze sonuna kadar katılıyorum. Sebebi şu: Günümüzde hepimiz iyi puanlar alabilmek için sadece doğru
sonuca en kısa yoldan ulaşmak için yetiştirilen bireyler olduk. Bunun için de bir problemin beş farklı çözüm
yolunu bilmekten ziyade beş problemin bir çözüm yolunu bilmeyi hedef edindik. Öyle böyle bir yerlere geldik
ama çoğu kişi üniversite sıralarında yorum yapmaktan aciz. Bizlerin farklı bakış açıları, farklı ufukları, farklı
çözüm önerileri olmazsa bizlerin yetiştireceği öğrencilerden ne beklenir? [Ö - 11]
Beş Problemin Bir Çözüm Yolunu Bilmek Daha İyidir
4 öğretmen adayının beş problemin bir çözüm yolunu bilmenin bir problemin beş farklı çözüm yolunu
bilmekten daha iyi olduğunu düşündüğü bulgusuna ulaşılmıştır. Oluşturulan kategori ve kodlar matematiksel
bir biçimde 5P 1Ç > 1P 5Ç kısaltması ile aşağıda Tablo 2 'de sunulmuştur.
Tablo 2. “Beş Problemin Bir Çözüm Yolunu Bilmek Daha İyidir”
Temasına Ait Kategori, Kod ve Temalar
Tema
Kategori
Kod
Frekans
5 P 1Ç > 1P 5Ç
Deneyim
Tecrübe kazandırma
Pratiklik
Çok soru tipi görme
4
Aynı yolla çözüm
Kolay hatırlama
Zaman
Hızlı çözüm
2
Zaman kaybını önleme
Sınav
Sınav başarısına katkı
3
Nitelik
Çok problem çok
kazanım
3
Beş problemin bir çözüm yolunu bilmek daha iyidir görüşünde olan öğrencilerin problem çözmenin daha çok
sınavlar için öğrencilere gerekli olduğu, farklı çözüm yollarını araştırmanın zaman kaybı olduğu düşüncesinde
oldukları belirlenmiştir. Bu durumun öğrencilerin aldıkları eğitimin bir sonucu olduğu değerlendirilmektedir
(Korkmaz, Gür & Ersoy, 2004). Öğretmen adaylarının niteliğine bakılmaksızın niceliksel açıdan çok problem
çözmenin daha önemli bir kazanım olduğu düşüncesinde oldukları bulgusuna ulaşılmıştır. Aşağıda örnek seçilen
bazı öğrenci ifadelerine yer verilmiştir.
Aslında bu bana pratiklik gibi geliyor. Zamana karşı yarıştığımız sınavlar için aynı tip sorulardan çokça
çözmeliyiz ki kazanabilelim. [Ö - 33]
Katılıyorum çünkü günlük hayatta problem çözmede esas olan problemin çözümüne ulaşmaktır. Hangi yoldan
ulaşıldığı çok önem arz etmez. Ne kadar çok problem çözersek o kadar iyi, yolu önemli değil. [Ö - 21]
Amaç problem çözmek olunca beş farklı çözüm yolunu bilmek ve öğrenmek zaman kaybı olacaktır. [Ö - 23]
Bir problem yerine beş problem çözmek sadece bir çözüm yolu bilinse bile daha çok işimize yarar. Bize
deneyim kazandırır. [Ö - 29]
Her İkisi de İyidir
Burada beş problemin bir çözüm yolunu bilmenin bir problemin beş farklı çözüm yolunu bilmenin her ikisinin
de eşdeğer öneme sahip olması durumu 6 öğretmen adayı tarafından dile getirilmiş olup; oluşturulan kategori ve
kodlar matematiksel bir biçimde 5P 1Ç = 1P 5Ç kısaltması ile Tablo 3'de verilmiştir.
Tablo 3. "Her İkisi de İyidir" Temasına Ait Kategori, Kod ve Temalar
Tema
Kategori
Kod
Frekans
5 P 1Ç = 1P 5Ç
Birini Tercih
İhtiyaca bağlılık
4
Keyfilik
Birlikte Kullanım
Gereksinim
3
Öğretmen adayları, "beş problem bir çözüm veya bir problem beş çözüm"den tercih ve ihtiyaca bağlı olarak
birinin seçilmesi veya her ikisinin birlikte kullanımının gerektiği düşüncesindedirler.
Bu söze katılıyorum çünkü bir problem her zaman aynı yolla çözülemeyebilir, birden fazla yol bilmek çözümü
garantilemektir. Aynı zaman da katılmıyorum çünkü ne kadar çok problem çözersek o kadar iyi. İhtiyaca göre
seçmek ve kullanmak en iyisi. [Ö - 25]
Ben bu söze kısmen katılıyorum. Bir problemin birden çok çözümünü bilmek akıl yürütme açısından gerçekten
güzel. Beş problemin bir çözüm yolunu bilmek daha çok problemi çözüme ulaştırmak demektir. Her iki tür
ihtiyaca bağlı olarak birlikte kullanılmalıdır. [Ö - 26]
SONUÇ VE ÖNERİLER
Yıllar önce Polya, problem çözme becerisinin gelişiminde aynı yoldan ne kadar çok problemin çözülmüş
olmasından ziyade bir probleme yönelik farklı çözüm yollarının araştırılması, stratejilerin geliştirilmesinin
önemini vurgulamıştır. Ancak her ne kadar vurgu bu yönde olsa da, işleyişin ölçme değerlendirme sistemlerinin
yapısının, bireyleri farklı yollarla çözülen problemlerden ziyade sayıca çok problem çözmenin, doğru ve hızlı
sonuç veren yolun önemli olduğu gibi bir düşünceye yönlendirdiği görülmektedir. Bu araştırma öğretmen
adaylarının önemli bir çoğunluğunun bir problemi farklı yollardan çözmenin bireye katkısının pek çok açıdan
daha fazla olacağını düşündüğünü göstermektedir ancak öğretmen adayları bunu nasıl gerçekleştirecekleri
konusunda somut bir bilgiye sahip değillerdir (Korkmaz, Gür & Ersoy, 2004). Araştırmalarda, alışılmış olmayan
problemlerle ve farklı çözüm süreçleri ile uğraşmanın karmaşık gerçek hayat problemleri ile baş edebilmeye
fayda sağlayacağı değerlendirilmektedir (Verschaffel, Greer, Van Dooren & Mukhopadhyay, 2009). Bu
çalışmada, öğretmen adaylarının eğitimlerinde alışılmış olmayan problemlerle çalıştırılmasının gerekliliğine
vurgu yapılmak istenmektedir ve geleceğin öğretmenlerinin "bir problemin beş farklı çözüm yolunun iyi olduğu
düşüncelerini" gerçek uygulamalara dönüştürmeleri amaçlı çalışmalar yapılması önerilmektedir..
KAYNAKLAR
Bransford, J. & Stein, B. (1984). The IDEAL Problem Solver: A guide for improving thinking, learning, and
creativity. New York: W.H. Freeman.
Korkmaz, E., Gür, H. ve Ersoy, Y. (2004). Problem kurma ve çözme yaklaşımlı matematik öğretimi-II:
Öğretmen adaylarının alışkanlıkları ve görüşleri, Matematikçiler Derneği Bilim Köşesi. www.matder.org.tr.
Narode, R., Board, J.& Davenport, L. (1993). Algorithms supplant understanding: Case studies of primary
students' strategies for double-digit addititon and subtraction. In J. R. Becker & B. J. Preece (Eds.),
Proceedings of the 15th Annual Meeting of the North American Chapter of The International Group for the
Psychology of Mathematics Education (Vol 1, pp 254-260). San Jose, CA: Center for MAthematics and
Computer Science Education, San Jose State University.
Polya, G. (1973). How to solve it. (2nd ed). Princeton, NJ: Princeton University Press.
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making
in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (pp.
334-370). New York: MacMillan.
Soylu, Y. & Soylu, C. (2006). Matematik derslerinde başarıya giden yolda problem çözmenin rolü. İnönü
Eğitim Fakültesi Dergisi, 7(11), 97–111.
Wilson, J., Fernandez, M., & Hadaway, N. (1993). Mathematical problem solving. Retrieved December 8, 2008,
from http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/PSsyn/PSsyn.html.
Xie, X. (2004). The Cultivation of Problem-solving and Reason in NCTM and Chinese National Standards.
International Journal for Mathematics Teaching. (October, 12th). Electronic Journal.
Verschaffel, L., Greer, B., Van Dooren, W., & Mukhopadhyay, S. (2009). Words and worlds: Modeling verbal
descriptions of situations. Rotterdam: Sense Publishers.
