Dualidade em modelos de seleção de carteiras de investimento

Full text

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied
Mathematics
Dualidade em modelos de sele¸c˜ao de carteiras de investimento
Patricia Reis Martins1
CEFET-Maracan˜a, Rio de Janeiro, RJ
Patr´ıcia Nunes da Silva2
Departamento de An´alise Matem´atica, UERJ, Rio de Janeiro, RJ
Carlos Frederico Vasconcellos3
UERJ, Rio de Janeiro, RJ
Resumo. O princ´ıpio de maximiza¸c˜ao da utilidade esperada est´a sempre subjacente aos
modelos de sele¸c˜ao de carteiras de investimento. Na dedu¸c˜ao dos modelos, s˜ao conside-
rados momentos centrais da distribui¸c˜ao de retornos dos ativos e ´e feita uma an´alise do
comportamento da fun¸c˜ao utilidade em rela¸c˜ao a esses momentos. Essa an´alise ´e conduzida
sob a condi¸c˜ao ceteris paribus (“tudo o mais constante”) e s˜ao obtidos os problemas de
otimiza¸c˜ao associados aos modelos. Al´em da discuss˜ao sobre existˆencia de solu¸c˜ao, os eco-
nomistas est˜ao interessados na caracteriza¸c˜ao de regi˜oes em que o problema de otimiza¸c˜ao
e seus duais estejam bem postos. Discutiremos a regi˜ao de dualidade do problema de mini-
miza¸c˜ao da variˆancia quando est˜ao fixados o retorno e a assimetria e seu dual, maximiza¸c˜ao
da assimetria quando est˜ao fixados o retorno e a variˆancia. Analisaremos aqui essa regi˜ao de
interesse atrav´es de uma an´alise de sistemas lineares associados aos multiplicadores desses
dois problemas de otimiza¸c˜ao. Faremos uma caracteriza¸c˜ao completa dos sistemas incluindo
os casos degenerados.
Palavras-chave. Sele¸c˜ao de carteiras de investimento, momentos de ordem superior, dua-
lidade, fronteira eficiente.
1 Introdu¸c˜ao
A m´axima “n˜ao coloque todos os ovos em uma mesma cesta” norteia os investidores
ao decidirem como distribuir seu capital entre as aplica¸c˜oes financeiras que comp˜oem sua
carteira de investimento (ou portf´olio). Em 1952, o economista Markowitz [3] apresentou
um modelo matem´atico que confirma esta m´axima: ao investir, ´e fundamental diversificar.
Usando os parˆametros m´edia e variˆancia observados nos retornos dos ativos, ele determinou
a melhor escolha para a distribui¸c˜ao do capital a ser investido de acordo com o perfil de
risco do investidor. Contudo, estudos posteriores apontaram para inconsistˆencias neste
modelo visto que a distribui¸c˜ao dos retornos de ativos raramente segue um padr˜ao de
distribui¸c˜ao normal. Sendo assim, seria necess´ario considerar al´em da m´edia e variˆancia,
outros parˆametros como a assimetria e a curtose da distribui¸c˜ao dos retornos nestes ativos.
1patriciarm75@yahoo.com.br
2nunes@ime.uerj.br
3cfredvasc@ime.uerj.br (Professor Visitante UERJ / FAPERJ)
Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, v. 6, n. 1, 2018.
Trabalho apresentado no XXXVII CNMAC, S.J. dos Campos - SP, 2017.
DOI: 10.5540/03.2018.006.01.0352 010352-1 © 2018 SBMAC

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Diversos trabalhos de pesquisa discutem a incorpora¸c˜ao de momentos de ordem superior a
modelos de sele¸c˜ao de carteiras eficientes. Athayde e Flˆores [1] modelaram o problema de
sele¸c˜ao de carteiras eficientes, utilizando os parˆametros de m´edia, variˆancia e assimetria
da distribui¸c˜ao dos retornos.
O princ´ıpio de maximiza¸c˜ao da utilidade esperada est´a sempre subjacente aos modelos
de sele¸c˜ao de carteiras de investimento. Al´em disso, os problemas de otimiza¸c˜ao associados
a esses modelos correspondem `a an´alise do comportamento da fun¸c˜ao utilidade em rela¸c˜ao
a cada um dos momentos considerados sob a condi¸c˜ao ceteris paribus (“tudo o mais cons-
tante”). Desse modo, al´em da discuss˜ao sobre existˆencia de solu¸c˜ao, os economistas est˜ao
interessados na caracteriza¸c˜ao de regi˜oes em que o problema de otimiza¸c˜ao e seus duais
estejam bem postos.
Com rela¸c˜ao ao problema de minimiza¸c˜ao da variˆancia quando est˜ao fixados o retorno
e a assimetria, Athayde e Flˆores [1] discutiram a regi˜ao de dualidade a partir do estudo
de sinais dos multiplicadores de Lagrange associados ao problema de otimiza¸c˜ao para
caracterizar a regi˜ao em que uma solu¸c˜ao desse problema de minimiza¸c˜ao tamb´em seria
solu¸c˜ao do problema dual: maximiza¸c˜ao da assimetria quando est˜ao fixados o retorno e a
variˆancia. Analisaremos aqui essa regi˜ao de interesse atrav´es de uma an´alise de sistemas
lineares associados aos multiplicadores desses dois problemas de otimiza¸c˜ao. Faremos
uma caracteriza¸c˜ao completa dos sistemas incluindo os casos degenerados que n˜ao foram
tratados por Athayde e Flˆores [1]. Avan¸camos assim na an´alise matem´atica do modelo de
Athayde e Flˆores [1] feita em Martins, Vasconcellos e Silva [4–6] ao atacar quest˜oes deixadas
em aberto. Concentramo-nos agora na discuss˜ao sobre a dualidade a partir dos sistemas
lineares associados aos multiplicadores dos problemas condicionados de minimiza¸c˜ao da
variˆancia e o seu dual, de maximiza¸c˜ao da assimetria. Essa abordagem permite uma
compreens˜ao mais profunda da conex˜ao entre esses dois problemas de otimiza¸c˜ao.
2 O modelo de Athayde e Flˆores
Em resposta `a necessidade de incorporar momentos de ordem superior a modelos de
sele¸c˜ao de carteiras de investimento, Athayde e Flˆores [1] propuseram o seguinte modelo
para nativos de risco e um livre de risco.







min
ααtM2α
αtM3(α⊗α) = σp3
αtx=R
,(1)
onde α∈Rnrepresenta o vetor de pesos dos ativos com risco; M2´e a matriz n×nde
covariˆancias entre os retornos dos ativos; M3´e a matriz n×n2associada ao tensor de
terceiros momentos dos retornos dos ativos; cada coordenada do vetor x∈Rn´e o retorno
m´edio excedente do i-´esimo ativo de risco e ⊗denota o produto de Kronecker. Em [6],
Martins provou existˆencia de solu¸c˜ao para o problema (1). Em (1), a carteira ´otima
´e obtida pela minimiza¸c˜ao da variˆancia (αtM2α) quando est˜ao fixados os momentos de
ordem um e trˆes. Isto ´e, quando est˜ao fixados os valores do retorno (αtx) e da assimetria
(αtM3(α⊗α)).
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3 O problema dual
Seja α∗uma solu¸c˜ao de (1). O problema dual associado ao modelo de Athayde e
Flˆores [1] ´e dado por







max
ααtM3(α⊗α)
αtM2α=σ∗
p2
αtx=R
,(2)
onde σ∗
p2=αt
∗M2α∗. Em (2), a carteira ´otima ´e obtida pela maximiza¸c˜ao da assimetria
(αtM3(α⊗α)) quando est˜ao fixados os momentos de ordem um e dois. Isto ´e, quando est˜ao
fixados os valores do retorno (αtx) e da variˆancia (αtM2α) Martins [5] provou existˆencia
de solu¸c˜ao para o problema (2) e obteve para o problema (2), resultados an´alogos aos de
Athayde e Flˆores [1] para o problema (1).
4 Sistemas para os multiplicadores
Para deduzir sistemas lineares associados aos multiplicadores para os problemas (1) e
(2), vamos utilizar o resultado de Fritz-John ( [2, p. 177], [8, p. 441]) para problemas de
otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes de igualdade.
Teorema 4.1. Sejam Uum aberto do Rneφ0, φ1, . . . , φq,q+1 fun¸c˜oes reais definidas em
Ue continuamente diferenci´aveis em a∈U. Se a´e um ponto de m´ınimo de φ0sujeita `as
restri¸c˜oes φ1=· · · φ1= 0, existem reais λ0, λ1, . . . , λq(n˜ao todos nulos) tais que λ0≥0e
λ0∇φ0(a)−
q
X
i=1
λi∇φi(a) = (0,...,0).
Pelo Teorema 4.1, toda solu¸c˜ao do problema (1) deve satisfazer
2λ0M2α= 3λ1M3(α⊗α) + λ2x. (3)
Usando as restri¸c˜oes associadas ao problema, podemos deduzir o seguinte sistema linear
A4A2
A2A0 3λ1
λ2=2λ0σp3
2λ0R,(4)
onde
A0=xtM−1
2x,
A2=xtM−1
2M3(α⊗α),
A4= (α⊗α)tMt
3M−1
2M3(α⊗α).
Denotaremos por AFa matriz dos coeficientes do sistema linear associado a (4). Athayde
e Flˆores [1] provaram que
A0det AF={M3(α⊗α)A0−xA2}tM−1
2{M3(α⊗α)A0−xA2}.(5)
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Analogamente, toda solu¸c˜ao do problema (2) deve satisfazer
3γ0M3(α⊗α)=2γ1M2α+γ2x
Usando as restri¸c˜oes associadas ao problema, podemos deduzir o seguinte sistema linear
2R A0
2σ∗
p2R γ1
γ2=3γ0A2
3γ0αtM3(α⊗α).(6)
Denotaremos por Aa matriz dos coeficientes do sistema linear associado a (6). Martins [6]
provou que
σ∗
p2det A={σ∗
p2M−1
2x−Rα}tM2{σ∗
p2M−1
2x−Rα}.(7)
Quando o determinante da matriz dos coeficientes ´e n˜ao nulo, sem perda de generalidade,
podemos considerar o multiplicador associado `a fun¸c˜ao objetivo igual a 1 e estamos nas
condi¸c˜oes usuais dos multiplicadores de Lagrange. Para o caso degenerado quando o
determinante da matriz dos coeficientes se anula, observamos que como M2´e a matriz de
covariˆancia, ela ´e positiva definida. Este fato permite com o aux´ılio das rela¸c˜oes (5) e (7),
a an´alise dos casos degenerados.
5 Conclus˜oes
No modelo de Markowitz [3], s˜ao considerados apenas os dois primeiros momentos e
a carteira ´otima ´e determinada pela minimiza¸c˜ao da variˆancia para um valor de retorno
fixado. Neste caso temos um problema de otimiza¸c˜ao quadr´atica e a solu¸c˜ao ´unica do
sistema ´e dada por αM=RM−1
2x
A0.
Sob a perspectiva econˆomica, h´a interesse em caracterizar a chamada fronteira efici-
ente: regi˜ao em que se verifica a dualidade. No modelo de Markowitz, a dualidade entre
o problema de minimizar a variˆancia fixado o retorno e o de maximizar o retorno fixada a
variˆancia repousa em resultados cl´assicos (veja, por exemplo, [7, Theorem 9.12, p. 210]).
Para o modelo que considera os trˆes primeiros momentos: m´edia, variˆancia e assimetria,
a dualidade nos diz que uma carteira ´otima tanto pode ser obtida pela minimiza¸c˜ao da
variˆancia quando est˜ao fixados a assimetria e o retorno como pela maximiza¸c˜ao da assime-
tria quando est˜ao fixados a variˆancia e o retorno. Martins [5, 6] estabeleceu um resultado
de dualidade para o problema de maximiza¸c˜ao da assimetria fixados retorno e variˆancia
mas n˜ao apresentou o estudo de sinal dos multiplicadores que caracterizaria a regi˜ao de
dualidade. Em [1], Athayde e Flˆores provaram um resultado de dualidade que exige o
conhecimento do sinal dos multiplicadores. Eles n˜ao contemplaram os casos degenerados
e algumas das proposi¸c˜oes que fundam a an´alise de sinal dos multiplicadores necessitam
pequenas revis˜oes. Para obter a fronteira eficiente, ´e necess´ario caracterizar o subconjunto
de Rnque cont´em todas as solu¸c˜oes α∗de (1) associadas ao par de restri¸c˜oes (R∗, σ ∗
p3) que
tamb´em s˜ao solu¸c˜oes de (2) associadas ao par de restri¸c˜oes (R∗, σ∗
p2), onde σ∗
p2=αt
∗M2α∗.
A fronteira eficiente tamb´em deve coincidir com o conjunto de solu¸c˜oes α∗de (2) associ-
adas ao par de restri¸c˜oes (R∗, σ∗
p2) que tamb´em s˜ao solu¸c˜oes de (1) associadas ao par de
restri¸c˜oes (R∗, σ∗
p3), onde σ∗
p3=αt
∗M3(α∗⊗α∗).
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Nossa an´alise da dualidade dos problemas (1) e (2) ´e feita a partir dos sistemas (4) e
(6). Procedemos por exaust˜ao e usamos as formas quadr´aticas (5) e (7) associadas respec-
tivamente aos determinantes das matrizes dos coeficientes AFeA. Al´em disso, fazemos
uso da existˆencia de solu¸c˜ao dos problemas (1) e (2) estabelecida por Martins, Vascon-
cellos e Silva [4–6]. A estrutura de nosso argumento consiste basicamente em considerar
uma solu¸c˜ao α∗de um dos problemas (1) ou (2) e discutir se ela resolve o sistema linear
(6) ou (4) respectivamente. Quando α∗n˜ao resolve o sistema, conclu´ımos que este vetor
n˜ao pertence `a regi˜ao de dualidade pois n˜ao h´a solu¸c˜ao simultˆanea dos problemas (4) e
(6). No caso afirmativo, a dualidade ´e vi´avel. Do ponto de vista econˆomico, subjacente
aos problemas (1) e (2), temos o princ´ıpio de maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao utilidade: o inves-
tidor ir´a optar pela carteira de investimentos que maximiza sua fun¸c˜ao utilidade. Scott e
Horvath [9] provaram que quando fixados assimetria e retorno, a utilidade ´e maximizada
quando se minimiza a variˆancia e se fixados variˆancia e retorno, a utilidade ´e maximizada
quando se maximiza a assimetria. Podemos interpretar a eficiˆencia de uma carteira pela
maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao utilidade. Desse modo, fixados assimetria e retorno, uma carteira
s´o ser´a eficiente se n˜ao houver nenhuma outra com variˆancia menor. Analogamente, fixa-
dos variˆancia e retorno, uma carteira s´o ser´a eficiente se n˜ao houver nenhuma outra com
assimetria maior.
Analisaremos em detalhe os casos degenerados. Lembramos que os problemas (1) e
(2) admitem solu¸c˜ao. Considere um elemento α∗do conjunto fact´ıvel do problema (2)
associado ao par de restri¸c˜oes (R∗, σ∗
p2) tal que o determinante de Aseja nulo. Isto ´e,
2(σ∗
p2A0−R2)=0.(8)
Observe que por (7) e (8), temos
α∗=σ∗
p2M−1
2x
R=RM −1
2x
A0
.
Portanto, h´a uma ´unica solu¸c˜ao do problema (6). Consequentemente, a solu¸c˜ao de (2) para
o par (R∗, σ∗
p2) ´e ´unica. Por outro lado, α∗coincide com a solu¸c˜ao cl´assica de Markowitz
para o problema de minimizar a variˆancia quando o retorno est´a fixado em R∗. Logo,
α∗´e tamb´em solu¸c˜ao ´unica de (1) associada ao par de restri¸c˜oes (R∗, σM
p3), com σM
p3a
assimetria de α∗:σM
p3=αt
∗M3(α∗⊗α∗). Vimos que o caso em que o determinante de
A´e nulo est´a associado `a solu¸c˜ao cl´assica de Markowitz para o problema de minimizar
a variˆancia quando o retorno est´a fixado em R∗.´
E poss´ıvel mostrar que o vetor α∗´e
ortogonal a M3(α∗⊗α∗)A0−xA2(α∗).
Considere uma solu¸c˜ao α?do problema (1) associada ao par de restri¸c˜oes (R?, σ?
p3) tal
que o determinante de AF(calculado para α?) seja nulo. Isto ´e,
A0A4−A2
2= 0.(9)
Tratamos separadamente o caso em que A2se anula ou n˜ao em α?. Para A2=A2(α?)6= 0,
resolvendo o sistema (4) e usando (3), deduzimos que
α?=RM −1
2x
A0
.
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Para A2= 0, podemos concluir que M3(α?⊗α?) e novamente usando (4) e (3), deduzimos
que
α?=RM −1
2x
A0
.
Isto ´e, α?coincide com a solu¸c˜ao cl´assica de Markowitz para o problema de minimizar
a variˆancia quando o retorno est´a fixado em R?. Portanto, h´a uma ´unica solu¸c˜ao do
problema (1)para o par (R?, σ?
p3). Note que no problema (2) associado ao par de restri¸c˜oes
(R?, σF
p2), com σF
p2a variˆancia de α?:σF
p2=αt
?M2α?, h´a apenas um elemento no conjunto
fact´ıvel e al´em disso, o determinante de Ase anula.
Em resumo, procedendo exaustivamente, no caso degenerado detAF= det A= 0, h´a
apenas vemos que a ´unica solu¸c˜ao dos problemas de otimiza¸c˜ao (1) e (2) coincide com a
solu¸c˜ao do problema cl´assico de Markowitz. Exceto no caso em que a solu¸c˜ao cl´assica de
Markowitz αM´e ortogonal ao vetor M3(αM⊗αM)A0−xA2(αM), quando det AF·det A= 0
e os determinantes n˜ao se anulam simultaneamente, n˜ao h´a solu¸c˜ao simultˆanea dos dois
problemas e estamos fora da regi˜ao de dualidade. Nos casos em que det AF·det A6= 0,
podemos tomar λ0=γ0= 1, temos necessariamente λ1γ16= 0 e a solu¸c˜ao dos problemas ´e
diferente da solu¸c˜ao do problema cl´assico de Markowitz. Aqui o fato de λ1γ16= 0 permite
que relacionemos diretamente as solu¸c˜oes dos sistemas (4) e (6) explorando o fato de
podermos express´a-las em estruturas de ponto fixo e tamb´em o conhecimento de f´ormulas
expl´ıcitas para os multiplicadores correspondentes.
Referˆencias
[1] G. M. Athayde e R. G. Flˆores Jr., Finding a maximum skewness portfolio – a gene-
ral solution to three-moments portfolio choice, Journal of Economic Dynamics and
Control, 28:1335-1352, 2004.
[2] C. Carath´eodory, Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the
First Order, American Mathematical Society, 1999.
[3] H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, 7:77-91, 1952.
[4] P. R. Martins, C. F. Vasconcellos e P. N. Silva, An´alise de Modelos de Sele¸c˜ao de
Carteiras de Investimento, Cadernos do IME - S´erie Matem´atica, 8: 11-38, 2014.
[5] P. R. Martins, Aplica¸c˜ao de Teorema de Ponto Fixo a um Modelo de Sele¸c˜ao de
carteiras de Investimento, Disserta¸c˜ao de Mestrado, UERJ, 2015.
[6] P. R. Martins, Sele¸c˜ao de carteiras de investimento atrav´es da maximiza¸c˜ao da assi-
metria. Trabalho de Conclus˜ao de Curso, UERJ, 2016.
[7] M. J. Panik, Classical Optimization: Foundations and Extensions, North-Holland
Pub. Co., 1976.
[8] B. H. Pourciau, Modern Multiplier Rules, The American Mathematical Monthly, 87:
433-452, 1980.
Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, v. 6, n. 1, 2018.
DOI: 10.5540/03.2018.006.01.0352 010352-6 © 2018 SBMAC

7
[9] R. C. Scott e P. A. Horvath, On the Direction of Preference for Moments of Higher
Order than the Variance, The Journal of Finance, 35: 915-919, 1980.
Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics, v. 6, n. 1, 2018.
DOI: 10.5540/03.2018.006.01.0352 010352-7 © 2018 SBMAC