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O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração
Cristina Morais
Externato da Luz
Lurdes Serrazina
Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Lisboa
Neste artigo é apresentado parte de um estudo mais amplo realizado, pela primeira au-
tora, no âmbito de uma dissertação de mestrado, que teve como objetivo a compreensão
do tipo de estratégias de cálculo mental utilizadas por alunos do 1.º ano de escolaridade,
aquando da resolução de problemas de adição e subtração, do modo como estas evoluí-
am, bem como a infl uência dos signifi cados das operações na estratégia de cálculo mental
utilizada (Morais, 2011). No estudo analisaram-se as estratégias de três alunos na resolu-
ção de problemas de adição e subtração, contudo, neste artigo, apenas são analisadas as
estratégias de resolução de problemas de subtração de um dos alunos, o André.
Sentido de Número
Numa sociedade cada vez mais dependente da tecnologia onde os computadores e cal-
culadoras parecem estar à disposição de qualquer um, estamos constantemente rodeados
de informação sob diferentes formas: gráfi cos, tabelas, percentagens, números decimais,
números representados sob a forma de fração, entre muitos outros. Para lidar com todas
estas representações, sendo capazes de as compreender, analisar e até mesmo para agir na
sociedade atual, é essencial que tenhamos desenvolvido um bom sentido de número (Al-
bergaria & Ponte, 2008; Castro & Rodrigues, 2008; McIntosh, Reys & Reys,1992).
Este sentido de número, embora de difícil defi nição, uma vez que inclui vários domí-
nios da Matemática, é caracterizado por McIntosh et al. (1992) como:
a compreensão geral dos números e das operações, em paralelo com a ca-
pacidade e inclinação para utilizar este conhecimento de modo fl exível de
forma a fazer julgamentos matemáticos e a desenvolver estratégias efi cazes
para lidar com os números e as operações (p. 3).
Assim, o sentido de número, para além de se constituir como o conhecimento que cada
um possui sobre os números e operações, relaciona-se também com a aptidão e a escolha
de cada um na utilização desse conhecimento de modo ágil, crítico e no desenvolvimen-
to de estratégias cada vez mais efi cientes de cálculo. Deste modo, o sentido de número
é algo pessoal, uma vez que se constitui a partir das ideias sobre os números que um in-
Quadrante, Vol. XXII, Nº 1, 2013
divíduo tem e do modo como essas ideias foram estabelecidas (Cebola, 2002; McIntosh
et al., 1992).
Para além de ser pessoal, o sentido de número é também evolutivo, pois tem início
antes da entrada na escola e desenvolve-se de modo gradual, ao longo de toda a vida e
não apenas ao longo da escolaridade (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999; Castro &
Rodrigues, 2008; McIntosh et al., 1992; Verschaff el, Greer & De Corte, 2007). Reys e
Yang (1998) acrescentam que o sentido de número não é uma entidade fi nita, pois não
é algo que os alunos têm ou não têm, é sim um processo que se desenvolve e amadurece
com a experiência e o conhecimento.
Esta ideia está também presente no Programa de Matemática do Ensino Básico
(ME, 2007), onde os conhecimentos com que os alunos entram no 1.º ciclo se consti-
tuem como uma base importante para a aprendizagem com vista ao desenvolvimento do
sentido de número. Este faz parte de três ideias-chave a serem estudadas no tema Núme-
ros e Operações, juntamente com a compreensão dos números e operações e com o de-
senvolvimento da fl uência no cálculo.
McIntosh et al. (1992) referem ainda a importância do desenvolvimento do senti-
do de número em contraste com a atenção excessiva dada aos procedimentos mecaniza-
dos, como os que são utilizados nos algoritmos usuais, desprovidos de verdadeiro sentido
de número.
Cálculo mental
A operacionalização fl exível do conhecimento dos números e suas relações, caracterís-
tica do sentido de número, refl ete-se no desenvolvimento de estratégias úteis e efi cazes,
próprias do cálculo mental, utilizado no nosso dia-a-dia, quer na nossa vida profi ssio-
nal quer enquanto cidadãos (Brocardo & Serrazina, 2008; Buys, 2008; Castro & Rodri-
gues, 2008; ompson, 2009).
Deste modo, a importância do cálculo mental para o desenvolvimento do sentido de
número é sublinhada por diversos autores (ver, por exemplo, Buys, 2008; Sowder, 1992),
uma vez que “encoraja a procura de processos mais fáceis baseados nas propriedades dos
números e das operações” (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999, p. 59).
Noteboom, Bokhove & Nelissen (2008) defi nem cálculo mental como “um cálcu-
lo pensado (não mecânico) sobre representações mentais dos números. Envolve o uso
de factos, de propriedades dos números e das operações e o modo como estes se relacio-
nam.” (p. 90).
Buys (2008) descreve cálculo mental como “o cálculo hábil e fl exível baseado nas re-
lações numéricas conhecidas e nas características dos números” (p. 121), acrescentando
que se trata de “um movimento rápido e fl exível no mundo dos números” (p. 122), mun-
do esse que resulta do seu próprio sentido de número. Caracteriza-o ainda como: a) o
trabalho com números e não com dígitos, uma vez que os números são vistos como um
todo, mantendo o seu valor; b) a utilização de propriedades de cálculo elementares e de
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
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relações numéricas; c) apoiado num bom conhecimento dos números e num profundo
conhecimento de factos numéricos básicos com números até 20 e até 100; e d) podendo
ser utilizadas notas intermédias de acordo com a situação, mas, principalmente, calculan-
do mentalmente.
Relativamente à utilização de registos intermédios no cálculo mental, também Note-
boom, Bokhove & Nelissen (2008) referem que calcular mentalmente “Não é o mesmo
que fazer os cálculos na cabeça mas sim com a cabeça e registar determinados passos, se
necessário. Neste sentido, não deve ser visto como o oposto ao cálculo escrito.” (p. 90).
Beishuizen (2009) foca a atenção não para um contraste entre cálculo mental e cál-
culo escrito, mas sim para as distinções entre os diferentes tipos de estratégias e procedi-
mentos. Verschaff el, Greer e De Corte (2007) referem que “não é a presença ou ausência
de papel e lápis, mas sim a natureza das entidades matemáticas e as ações que são cruciais
na distinção entre cálculo mental e algoritmos (escritos)” (p. 566).
Em Portugal, em 2005, iniciou-se o projeto “Desenvolvendo o sentido do número:
perspectivas e exigências curriculares” (DSN) que procurou compreender e aprofundar
o conhecimento sobre o modo como as crianças desenvolvem o sentido de número, ten-
do sido construídas, experimentadas e avaliadas várias tarefas propostas a alunos entre
os 5 e os 12 anos. Embora este projeto não incidisse, em particular, no estudo do desen-
volvimento do cálculo mental, ao serem analisadas as estratégias utilizadas por alunos no
1.º ciclo na resolução de problemas, foram identifi cadas, entre outras, difi culdades na
utilização de estratégias fl exíveis de cálculo mental. As estratégias utilizadas consistiam
em contagens um a um ou, a um nível formal, na utilização do algoritmo (Serrazina &
Ferreira, 2005).
Os professores que participaram neste estudo começaram a valorizar o cálculo mental
e, nos dados recolhidos, foi possível compreender como os alunos eram capazes de utili-
zar de modo fl exível diferentes estratégias de cálculo com números até 100 (Brocardo &
Serrazina, 2008).
Estratégias de cálculo
As estratégias de cálculo utilizadas pelas crianças para a adição e subtração, dependem e
evoluem a partir das estratégias utilizadas nestas operações com números menores que 20
(Fuson, Wearne, Hiebert, Murray, Human, Olivier, Carpenter & Fennema, 1997).
Relativamente à subtração, ompson (2009) apresenta diferentes níveis de estraté-
gias, contudo, o autor afi rma que a sequência entre os níveis identifi cados não é clara:
i) contagem dos que sobram (count out)1: para calcular, por exemplo, 7 – 4, o aluno
levanta 7 dedos, baixa 4 e conta os restantes;
ii) contagem para trás a partir de um número (count back from): para o mesmo exem-
plo, o aluno conta quatro números para trás a partir de 7, dizendo algo como
“Sete… seis, cinco, quatro, três”, e para não se perder utiliza os dedos ou outro
tipo de suporte;
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 55
iii) contagem para trás até (count back to): o aluno faz uma contagem decrescente, a
partir de 7, até chegar ao 4, utilizando os dedos ou outro tipo de suporte para sa-
ber quantos números disse;
iv) contagem até (count up): a partir do 4, o aluno conta até 7, recorrendo de novo
aos dedos ou a outro tipo de suporte;
v) utilização de factos numéricos de subtração e cálculo com base em factos numéri-
cos, à semelhança das estratégias já descritas para a adição.
Incluída no conjunto de estratégias onde são utilizados factos numéricos, entendidos
como aqueles que são apropriados pelos alunos após a sua verifi cação e compreensão,
e cujo questionamento já não se coloca (Ribeiro, Valério & Gomes, 2009), ompson
(1999) e Treff ers (2008) destacam a importância da estratégia de saltos através do 10
(bridging through ten2 ou jumping via ten3). Neste tipo de estratégia, ao efetuar uma sub-
tração, à primeira parcela é subtraída uma parte da segunda parcela, de modo a obter 10,
sendo depois subtraída a parte restante, por exemplo: 12 – 5 = ; 12 – 2 = 10; 10 – 3 = 7.
As estratégias mais evoluídas para o cálculo de subtrações no domínio dos números
até 20 são caracterizadas pela utilização de factos numéricos básicos e o seu domínio é
fundamental para uma evolução da utilização de estratégias cada vez mais efi cientes (Ba-
roody, 2006; Beishuizen & Anghileri, 1998; Fosnot & Dolk, 2001; Sowder, 1992).
No domínio dos números superiores a 20, são apresentadas por Beishuizen (1993,
1999) duas categorias de estratégias, que denomina por N10 e 1010 (ver Quadro 1). Na
categoria das estratégias N10, à primeira parcela é subtraído um número múltiplo de 10
(Beishuizen, 1993, 2009). Nesta categoria, distingue-se um nível mais complexo, a es-
tratégia N10C, onde à primeira parcela é subtraído um número aproximado da segunda
parcela, correspondente a um múltiplo de 10, de modo a facilitar o cálculo. Obtido o re-
sultado, este é depois compensado (Beishuizen, 1993; Beishuizen e Anghileri, 1998).
Posteriormente, a mesma autora apresenta outro tipo de estratégia, ainda do tipo
N10, identifi cada como A10 (adding on)4, onde à primeira parcela, é subtraído um nú-
Quadro 1 — Estratégias de cálculo mental para a subtração, com números entre 20 e 100
(adaptado de Beishuizen, 1993, 2009; Beishuizen e Anghileri, 1998)
Estratégias Exemplo
74 – 38 =
N10
N10 74 – 30 = 44 , 44 – 8 = 36
N10C 74 – 40 = 34, 34 + 2 = 36
A10 74 – 4 = 70, 70 – 34 = 36
1010 1010 70 – 30 = 40, 4 – 8 = – 4, 40 – 4 = 36
10S 70 – 30 = 40, 40 + 4 = 44, 44 – 8 = 36
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mero correspondente a uma parte da segunda parcela, de modo a que seja obtido um
múltiplo de 10, sendo depois subtraída a outra parte (Beishuizen, 2001).
Na categoria das estratégias 1010, os números são decompostos nas suas ordens, estas
são subtraídas e o resultado é obtido através da recomposição do número. Uma variante
desta estratégia é a denominada por 10S, onde os números são inicialmente divididos nas
suas ordens e estas são subtraídas sequencialmente (Beishuizen, 1993, 2001, 2009).
Resolução de problemas
Nos primeiros anos, o contexto fornecido na resolução de problemas é fundamental,
uma vez que se constitui como uma base concreta para o cálculo (Treff ers, 2008) e como
suporte ao pensamento dos alunos mais novos (ME, 2007). Deste modo, e tratando-se
este de um estudo realizado nos primeiros anos de escolaridade, considerou-se impor-
tante analisar o desenvolvimento das estratégias de cálculo mental através da resolução
de problemas.
A importância da resolução de problemas na aprendizagem da Matemática está pre-
sente no Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007), onde se constituiu
como uma das três capacidades transversais a todo o programa. Os problemas de adição e
subtração assumem assim um papel central nos primeiros anos de escolaridade. Quando
se referem problemas de adição e subtração não se trata apenas de problemas de adicionar
ou subtrair quantidades. Cada uma destas operações pode ter diferentes signifi cados (ver
Quadro 2), isto é, o contexto dos problemas assume grande importância, particularmen-
te para os alunos dos primeiros anos, uma vez que irá suportar o seu pensamento mate-
mático (Fosnot & Dolk, 2001; ME, 2007). Para a adição e subtração existem diferentes
situações em que as operações estão presentes, aspeto que o professor deverá considerar
ao planifi car o trabalho a desenvolver com os seus alunos (Ponte & Serrazina, 2000).
Quadro 2 — Diferentes signifi cados das operações de adição e subtração
(adaptado de Ponte e Serrazina, 2000; ME, 2007)
Adição
Combinar: duas ou mais quantidades são transforma-
das noutra quantidade.
Acrescentar: uma quantidade é aumentada.
Subtração
Retirar: a uma quantidade é retirada outra.
Comparar: são comparadas duas quantidades, preten-
dendo-se encontrar a diferença entre as quantidades ou
ver quanto é que uma é maior ou menor que outra.
Completar: é calculado quanto se deverá juntar a uma
quantidade para se obter um determinado valor.
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 57
Tal como Fosnot e Dolk (2001) referem, é importante salientar que apesar do professor
planear um determinado contexto, com um signifi cado da adição ou subtração presente,
não signifi ca que os alunos o irão interpretar desse modo. Os autores acrescentam que
“é provável que um determinado contexto afete os modelos e estratégias utilizados pelas
crianças” (p. 90). Também Fuson (1992) salienta que deverá ser feita uma distinção entre
o tipo de problema e a operação necessária para descobrir o resultado desconhecido.
Opções metodológicas
Como já foi referido, neste estudo procurou compreender-se que tipo de estratégias de
cálculo mental são utilizadas na resolução de problemas de adição e subtração, de que
modo evoluem essas estratégias e compreender de que modo é que a natureza do proble-
ma infl uencia a estratégia de cálculo mental utilizada, ou seja, qual a infl uência do signi-
fi cado da operação presente no problema na resolução do mesmo.
Tendo em conta o objetivo do estudo, seguiu-se uma metodologia de natureza qua-
litativa com carácter interpretativo e design de estudo de caso. Foram elaboradas três ca-
deias de problemas: as duas primeiras cadeias foram resolvidas por todos os alunos de
uma turma de 1.º ano de escolaridade, de uma escola de ensino particular, onde a pri-
meira autora era a professora, tendo sido selecionados para um estudo aprofundado três
alunos; a terceira cadeia de problemas foi resolvida individualmente apenas pelos alunos
do estudo no início do ano letivo seguinte (2010/2011).
Neste artigo utiliza-se o termo “cadeia” para designar o conjunto de problemas com
os diferentes signifi cados de adição e subtração que foram resolvidos pelos alunos. São
assim identifi cadas por terem sido construídas de modo a contemplar os diferentes signi-
fi cados que a adição e subtração poderão assumir, constantes no Quadro 2, e os núme-
ros nelas envolvidos terem sido criteriosamente selecionados para que progressivamente
tivessem uma ordem de grandeza maior, aumentando o grau de difi culdade dos cálculos
a efetuar.
A primeira cadeia era constituída por sete problemas, a segunda por oito e a tercei-
ra por cinco problemas, perfazendo um total de vinte problemas. As três cadeias foram
resolvidas pelos alunos em três momentos distintos. Como mencionado, os problemas
das duas primeiras cadeias foram resolvidos a pares5 por toda a turma, na sala de aula,
a primeira entre janeiro e março de 2010, no 1.º ano de escolaridade, e a segunda nos
meses de maio e junho de 2010, próximo do fi nal do 1.º ano. Todas as aulas de reso-
lução de problemas seguiram as seguintes etapas: i) apresentação do problema, em que
este era lido por um aluno da turma e eram esclarecidas possíveis dúvidas; ii) resolução
do problema a pares; iii) apresentação das estratégias de resolução mais signifi cativas
para a discussão em grande grupo e iv) síntese e identifi cação das estratégias de cálculo
mais efi cientes.
Para melhor compreender as estratégias usadas por cada aluno, considerou-se de ex-
trema importância a existência de um momento de resolução individual dos problemas.
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Neste momento procurou-se também perceber a existência de uma possível infl uência
do trabalho realizado a pares, na escolha e utilização de estratégias de resolução de cada
aluno. Assim, o terceiro momento de recolha de dados foi realizado fora da sala de aula e
de modo individual, em Outubro do ano letivo de 2010/2011, quando os alunos se en-
contravam no 2.º ano de escolaridade.
Os dados foram recolhidos com recurso ao registo áudio e vídeo, à observação parti-
cipante e aos registos realizados pelos alunos.
Para a análise e categorização das estratégias de resolução, foram seguidos os diferen-
tes tipos de estratégias de cálculo enumerados por ompson (1999, 2009) e Treff ers
(2008) para cálculos com números até 20 e as estratégias de cálculo mental identifi cadas
por Beishuizen (1993, 1997, 2001, 2009) e Beishuizen e Anghileri (1998) para cálculos
com números superiores a 20.
Neste artigo, apresenta-se o caso de um aluno, o André, e as estratégias utilizadas na
resolução de problemas das três cadeias. Para esta análise foram selecionados os proble-
mas de subtração considerados mais relevantes e identifi cadas as estratégias de resolução
utilizadas pelo aluno. Os problemas são apresentados segundo a ordem temporal com
que foram resolvidos.
André e a resolução dos problemas
André, com 6 anos, tem alguma difi culdade em exprimir-se oralmente, faz longas pau-
sas no seu discurso e parece distrair-se, acabando por perder o seu raciocínio. No início
do 1.º ano, André dominava a leitura e a escrita de números até cem e, no cálculo, tinha
alguma difi culdade em adições e subtrações com números de um algarismo, embora por
vezes fosse capaz de recorrer a alguns factos numéricos do seu domínio, como o dobro
de 2, 3 ou 5.
André é muito brincalhão, com grande gosto em aprender, muito persistente nas suas
ideias quando confi ante, mas inseguro perante situações em que sente difi culdade, no en-
tanto, gosta de as superar sozinho.
Resolução de problemas da primeira cadeia
O problema proposto com o signifi cado de retirar, designado por “Uma ida ao teatro”,
tinha o seguinte enunciado: “A Mafalda foi ao teatro. Sentou-se numa fi la que tinha 15
lugares e contou que havia 7 lugares ocupados. Quantos lugares estavam vazios?”. André
compreendeu que cálculo poderia fazer para conseguir resolver o problema:
André — Ah, então é 15 menos 7… é só pôr o resultado.
O aluno sugeriu à sua colega, identifi cada por Cátia, como poderiam fazer:
André — Oh Cátia, já sei uma maneira muito rápida!
Cátia — Qual?
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André — Oh… apaga. Já sei uma maneira. É… olha, púnhamos, olha assim… 15
cruzes.
(…)
André — Oh Cátia, pomos 15 cruzes e depois de menos. Com tracinhos pomos de
menos. Percebes?
A professora, ao aproximar-se do par pediu que André explicasse como estava a resolver
o problema:
André — Eu estava a tentar fazer: punha 15 cruzes e depois dava os saltos.
Professora — Essas 15 cruzes o que é que representam?
André — Quer dizer os lugares…
(…)
André — E vou dar os saltinhos… 15, 14, 13, 12, 11…
Professora — Quantos saltinhos é que vais dar?
André — Sete.
André olhou para a reta numérica afi xada na sala de aula e contou sete saltos de um a
um, por ordem decrescente, apontando cada um com o lápis. Assim, obteve o resulta-
do 8, utilizando uma estratégia de contagem para trás a partir de 15. Terá depois regis-
tado no seu caderno um salto de – 3 e outro de – 5, talvez para dar saltos diferentes de 1
(Figura 1).
Relativamente ao primeiro salto, de – 3, não existem evidências que permitam com-
preender qual o erro cometido pelo aluno. Poderá ter sido um engano devido a uma dis-
tração, ou poderá ter contado os números entre 15 e 13, incluindo 15, contando “15, 14,
13”, a que fez corresponder um salto de – 3.
Figura 1 — Resolução do problema “Uma ida ao teatro”
Outro dos problemas de subtração da primeira cadeia tinha o signifi cado de completar,
identifi cado por “As leituras da Marta”: “A Marta está a ler um livro. Já leu 16 páginas e
o livro tem 28. Quantas páginas lhe faltam ler?”.
André e a colega na resolução deste problema, aqui designada por Madalena, consi-
deraram-no de fácil resolução. Madalena identifi cou o cálculo a efetuar e André sugeriu
como o podiam fazer.
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Madalena — Sei que temos de saber quanto é do 16 para o 28.
(…)
André — Olha, qual é a maneira que tu queres fazer? Olha, eu acho que já sei uma.
Madalena — Diz lá, para ver se eu concordo.
André — (…) Começamos no 16. Depois 16 mais 2…
Apesar da compreensão inicial do problema e de um possível modo de resolução, o par
acabou por afastar-se da sua estratégia inicial e tentou resolvê-lo através de uma estratégia
aditiva do tipo 1010 (28 + 16), pois tratava-se de uma estratégia utilizada por uma colega,
aluna participante deste estudo, e que André queria muito utilizar.
A professora conversou com os alunos sobre o signifi cado desse cálculo:
André — Então, ela já leu 28 e faltam 16.
Madalena — Não.
Professora — Ela já leu 28? Assim já teria lido o livro todo! O livro todo tem 28.
André — Já leu 16 e faltam 28.
Professora — Não, 28 são as páginas do livro. Se faltassem 28 ela ainda não tinha lido
nada! Ela já leu 16.
André — Ela já leu 16, então já não é 28…
Professora — Já não lhe faltam 28 não… Porque ela já leu, dessas 28, ela já leu 16.
André — 28 menos 16.
Professora — Boa.
Madalena — Ah, 28 menos 16!
O aluno sugeriu que resolvessem através da linha numérica onde começou por traçar o
número 16, contudo, ambos começaram a efetuar saltos de subtração, tentando retirar
28 a 16 (16 – 28).
Professora — Então ela já leu 16 páginas e vão-lhe tirar páginas?
André — Ai, faltam 28.
(…)
André — A Marta já leu 16 páginas e falta 28.
Professora — (…) ela já leu 16, não lhe faltam 28! O que diz no problema é que o li-
vro tem 28 páginas, então quanto é que ainda lhe falta ler…
André — Então é do 28 até ao 16.
André retornou à linha numérica e, a partir de 28, efetuou saltos de – 1. À medida que
ia dando um salto, registava na linha numérica o valor em que fi cava e em cima registava
quantos saltos já tinha dado, mas os saltos dados na linha numérica não estavam alinha-
dos com o registo do número de saltos já efetuados (Figura 2). Por este motivo, o aluno
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não sabia quantos saltos já tinha dado. A professora ajudou-o assinalando cada número
na linha numérica com uma marca, para André poder contar corretamente o número de
saltos dados.
Figura 2 — Resolução do problema “As leituras da Marta”
Nos dois problemas da primeira cadeia, aqui analisados, André recorreu sempre a estra-
tégias subtrativas, usando uma estratégia de contagem para trás a partir de um número
quer no primeiro problema com o signifi cado de retirar, quer no segundo com o signifi -
cado de completar.
Resolução de problemas da segunda cadeia
Um dos problemas de subtração com o signifi cado de retirar desta cadeia, designado por
“Viagem de autocarro”, tinha o seguinte enunciado “No Largo da Luz entraram 49 pesso-
as num autocarro, inicialmente sem passageiros. O autocarro seguiu para o Colombo, e
quando lá chegou saíram 26 pessoas. Quantos passageiros seguiram viagem?”.
André, embora inseguro, reconheceu a subtração presente no problema:
André — 49 menos 26? Ó meninas, podem-me dizer se é 49 menos 26? [dirigindo-
se a outro par] Ai, eu não sei…
Matilde — Vamos fazer da maneira da Cátia…
André — Ah como é que sabes… não sabemos…
Matilde, o seu par na resolução deste problema, ao sugerir a “maneira da Cátia”, referia-
-se a uma estratégia do tipo 1010, já utilizada por aquela aluna na resolução de um dos
problemas da primeira cadeia.
André acabou por calcular 49 – 26 através de uma estratégia subtrativa do tipo 1010.
É importante referir que foi a primeira vez que o aluno utilizou este tipo de estratégia ao
resolver uma subtração.
O aluno liderou o trabalho, efetuando sem difi culdade o cálculo. À medida que ia re-
gistando no seu caderno os resultados das subtrações (Figura 3), ajudava Matilde a copiar
para o seu caderno, que parece não ter compreendido o raciocínio envolvido nesta estra-
tégia. Ao fazê-lo, André evidencia a sua compreensão desta estratégia:
André — Agora põe… Vá, também tens que pensar pela cabeça! 40 menos 20 igual
a 20.
Matilde — Han? Ponho 9…
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
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André — Não! Põe assim e assim… o 2 com o 4, põe 20.
Matilde — Ponho 20 aqui?
André — Sim.
Matilde — E agora?
André — Pões 9, 6… e põe 3. Depois põe aqui o mais, e põe 23. 23…
Figura 3 — Resolução do problema “Viagem de autocarro”
O aluno pareceu decompor com facilidade ambas as parcelas nas suas ordens, calculando
com rapidez as subtrações.
André utilizou uma estratégia de resolução diferente no problema identifi cado como
“Pai e fi lho”, com o signifi cado de comparar “O Tomás tem 14 anos e o seu pai tem 42
anos. Quantos anos é o Tomás mais novo?”.
André compreendeu com facilidade o enunciado do problema e seguiu uma estraté-
gia de resolução diferente da que o seu colega nesse dia, identifi cado por Miguel, utilizou,
o que revela que André sentiu grande segurança na resolução deste problema.
André pareceu seguir uma estratégia A10, no entanto, a aproximação não foi feita a
múltiplos de 10. O aluno foi adicionando números cujo resultado já era do seu conheci-
mento e também juntou valores que selecionou aleatoriamente (Figura 4).
Quando explicou os cálculos que efetuou, o seu colega Miguel perguntou-lhe porque
não tinha adicionado determinados números, de modo a obter um múltiplo de 10. An-
dré encolhia os ombros, dizendo “porque eu queria”.
A partir do trabalho do aluno, a professora questionou o aluno sobre o modo como
este efetuou as adições:
“Fiz 14 mais 10 igual a 24”
“Eu sabia que 24 mais 4 era 28 porque 4 mais 4 eu já sabia…”
“Fiz pelo dedos” [a partir de 28].
“Porque 3 mais 3 é seis”
“Porque 6 mais 4 é 10 e como era 36 tinha de ser 40”
Figura 4. Resolução do problema “Pai e fi lho”
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 63
Para juntar todos os valores que tinha adicionado a 14 até obter 42, André foi também
recorrendo a factos numéricos e à contagem pelos dedos.
Professora — E depois como é que juntaste isto tudo por aqui fora?
André — Fiz 10 mais 4, 14. Mais 5, 19.
Professora — Como é que sabias que 14 mais 5 era 19?
André — Porque 4 mais 5 é 9.
Professora — Ok, já vais no 19, e depois mais 3…
André — 22…
Professora — Como é que sabias?
(…)
André — Contei pelos dedos.
Professora — E depois, mais 4… Fizeste isso assim, seguidinho?
André — Fiz. 26…
Professora — Fizeste como?
André — Fiz pelos dedos. E 26 mais 2, 28.
À medida que André ia explicando como calculou, tanto a professora como o seu par,
Miguel, sugeriram o cálculo que poderia ter efetuado de modo a aproximar o resultado
de um múltiplo de 10, para facilitar o cálculo.
Outro problema desta cadeia, ao qual foi dado o nome de “Que azar!”, também com
o signifi cado de retirar, tinha o seguinte enunciado “A Leonor e o Simão estão a jogar ao
Jogo da Glória. A Leonor foi até à casa número 82. Nesta casa ela leu ‘Que azar! Anda 36
casas para trás.’ Em que casa está agora?”.
André identifi cou de imediato a subtração presente e o par decidiu utilizar uma estra-
tégia subtrativa do tipo 1010:
André — Muito fácil! É 82 menos 36.
Guilherme — Podemos fazer da maneira da Cátia.
André — Pois.
André calculou 80-30, decompondo 30 em três grupos de 10, que foi retirando a 80. Le-
vantou três dedos, um de cada vez, à medida que retirou uma dezena a 80. Para resolver
2 – 6 ambos os alunos levantaram um dedo por cada número que iam contando por or-
dem decrescente, a partir de 2, no entanto, Guilherme, par de André, levanta um dedo
ao dizer o número 2, por isso afi rma que o resultado é – 3. Como o aluno foi mais rápido
a contar do que André, este acaba por copiar esse resultado para o seu caderno.
Quando a professora se aproximou do par, questionou-os sobre este cálculo e é per-
ceptível a difi culdade que André sentiu ao tentar resolvê-lo:
Professora — 2 menos 6 é – 3?
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
64
Guilherme — Sim!
Professora — Ao 2 eu consigo tirar 2.
André — Mas, ele contou com o zero!
André julga que o colega está errado ao contar com o número zero, na sua contagem.
Para ajudar, a professora traçou uma linha numérica no caderno de Guilherme, onde re-
gistou os saltos, a partir de 2, um a um, até retirar 6.
Professora — Olha aqui, menos 1, 1. Menos outro, zero, menos outro, – 1. – 2… Va-
mos ver quantos já temos. 1, 2, 3, 4. 5… 6… [traça os últimos dois saltos]
Guilherme — Ah, é -4.
André — É – 4?
Professora — Então vejam lá, ao 2 eu consigo tirar 2, mas eu quero é tirar 6, quantos
é que ainda faltam tirar? Dos 6 já tirei 2, quantos é que ainda faltam tirar?
André — Ah!
Os alunos pareceram ter compreendido que o resultado de 2 – 6 era – 4 e André copiou
a linha numérica para o seu caderno (Figura 5). De seguida, parece bastante confuso
quanto ao cálculo a efetuar. Guilherme fi cou em dúvida se o resultado fi nal (50 – 4) se-
ria 47 ou 46, e acaba por responder que era 46 e André, de novo, copia o resultado para
o seu caderno.
Figura 5 — Resolução do problema “Que azar!”
Inicialmente, André parece compreender a estratégia escolhida para a resolução do pro-
blema, no entanto, fi cou bastante inseguro perante o cálculo 2 – 6 e perante a recompo-
sição do resultado fi nal.
É importante salientar que apesar de André ter utilizado este tipo de estratégia no pri-
meiro problema analisado desta cadeia, o facto de agora se deparar com uma diferença
parcial constituída por um número negativo, poderá ter sido um obstáculo para André.
O último problema desta cadeia em análise, designado por “A caderneta das Winx”,
tinha o signifi cado de completar “A Sandra tem uma caderneta das Winx. Viu que toda
a caderneta tinha 124 cromos e disse ‘Ainda me faltam 47 cromos para ter a caderneta
completa.’ Quantos cromos tem a Sandra?”.
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 65
Após alguma difi culdade inicial em compreender o problema, em que o seu colega,
Miguel, o ajudou, André decide utilizar uma estratégia aditiva do tipo A10, onde a partir
de 47 foi adicionando valores até alcançar 124 (Figura 6).
À medida que registou os cálculos no caderno, percebe-se na gravação vídeo que An-
dré colocava a mão esquerda debaixo da mesa e, quando a retirava, anotava algo no seu
caderno, o que parece indicar que talvez tenha feito alguns dos cálculos recorrendo à con-
tagem pelos dedos.
André — 54… 54 mais 10… 50 mais 20… é 70… 74. 30… mais 24. É 74, 75, 76,
77. [conta pelos dedos]
Miguel — Ya [sic], eu disse-te.
André — Mas eu não fi z pela reta.
Miguel — Eu sei, mas a reta era mais rápida.
André — Não, por acaso até não era.
Quando a professora se aproximou do par, André referiu que tinha aproximado os resul-
tados a “números redondinhos”:
André — Eu fi z com números redondinhos.
Professora — Ah, pois é! Explica lá como é que fi zeste.
André — Eu fi z 47 mais 3, 50. (…) Depois 50… é que como eu achava que aquilo
ia demorar tirei logo o 20.
Professora — Tiraste?
André — Não, juntei… fi z 50 mais 20 igual a 70. 70 mais 30 igual a 100.
André, reconhecendo que de 50 para 124 era uma diferença grande, decidiu adicionar
20, mais do que habitualmente juntava. Na adição seguinte, deu igualmente um salto
maior, de + 30. Deste modo, André tornou esta estratégia mais efi ciente.
Para adicionar todos os valores que foi juntando a 47, utilizou uma estratégia do tipo
1010.
Professora — E depois como calculaste isto tudo?
André — Depois eu fi z assim 30 mais 24, dá 50… Mas o 20 mais 3 eu não fi z, que
eu já sabia que era 23.
Professora — Então 30 mais este 24…
André — Que está aqui.
André calculou 30+24 e 54+20 utilizando a estratégia do tipo 1010, até obter 74. Por
fi m, como seria apenas adicionar 3, André disse que já sabia que o resultado de 74+3 se-
ria 77.
André parece ter utilizado a estratégia do tipo 1010 sem ter analisado os núme-
ros em questão, pois para adicionar 30 a 24 ou 20 a 54 talvez o conseguisse fazer de
outro modo.
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
66
Nos quatro problemas analisados da segunda cadeia, André reconhece a operação de sub-
tração em “Viagem de autocarro” e “Que azar!”, ambos com o signifi cado de retirar. Em
ambos, André usa uma estratégia subtrativa do tipo 1010, contudo, em “Que azar!”, o
facto de se tratar de uma subtração com empréstimo6, perante a parcela parcial constituí-
da por um número negativo, André revela difi culdade em compreender o cálculo.
Nos problemas “Pai e fi lho” e “A caderneta das Winx”, com os signifi cados de compa-
rar e completar, respetivamente, André recorre à operação de adição, usando estratégias
aditivas do tipo A10, inicialmente em “Pai e fi lho” sem aproximação dos resultados in-
termédios a múltiplos de 10 e depois, em “A caderneta das Winx”, já com aproximação a
múltiplos de 10.
Resolução de problemas da terceira cadeia
Tal como já foi referido, as resoluções de todos os problemas desta cadeia foram realiza-
das individualmente.
O problema, identifi cado como “Parar ou Avançar”, com o signifi cado de comparar
tinha o seguinte enunciado “O Miguel e a Cláudia jogaram o “Parar ou Avançar”. No fi -
nal, a Cláudia teve 157 pontos e o Miguel teve 43 pontos a menos. Quantos pontos teve
o Miguel?”.
André começa por resolver o problema utilizando uma estratégia subtrativa do tipo
1010 para calcular 157 – 43 (Figura 7). Começou por subtrair as dezenas, depois as uni-
dades e no fi m subtraiu 10 a 100, em vez de adicionar 10 ao 100.
Figura 6 — Resolução do problema “A caderneta das Winx”
Figura 7 — Resolução inicial do problema “Parar ou Avançar”
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 67
Quando terminou, observou o cálculo durante alguns instantes e apagou-o.
Professora — Estás a apagar?
André — É que eu acho que isto está mal. É porque… Estava-me a dar… Não sei,
estava-me a dar um resultado que eu acho que estava errado.
Professora — Porque é que achaste que estava errado?
André — Porque, eu fi z 157 menos 43… Quando eu digo 50 é um bocado… é mais
do que 40… Eu acho que estava mal porque como do 40 para 50 é 10, no pro-
blema estava a sair o 90. Se vamos tirar 50 e depois… É que eu não sei explicar
muito bem.
Embora de modo um pouco confuso, é possível perceber que André foi capaz de rever os
dados e o resultado obtido revelando um sentido crítico perante o resultado, relacionan-
do-o com os dados em questão. André procurou explicar que se 50 é maior que 40, por
isso ao calcular 157 – 43, não poderia obter um resultado menor que 100.
O aluno tenta resolver o problema novamente, recorrendo agora a uma estratégia adi-
tiva do tipo A10. O aluno aproximou 43 de um valor de referência, o 50, tentando de-
pois aproximá-lo de 157.
Calculou a soma dos valores que foi adicionando a 43, sem qualquer registo (Figu-
ra 8) e disse inseguro:
André — Agora deu 114, não sei porquê… Se juntar isto, 114.
Professora — Como é que juntaste?
(…)
André — Fiz 50… Este 5 [50] para este 5 [de 57] é 100. Depois este 7 e este 7 [de
57] é 14. Então é 114.
Professora — E estás em dúvida?
André — É que agora acho que sim… porque se nós estamos a tirar… Eu já percebi
que estamos a tirar.
Figura 8 — Resolução do problema “Parar ou Avançar”
André reconhece neste problema uma situação subtrativa, pois para além da sua resolu-
ção inicial ter sido através de uma estratégia subtrativa, depois de o tornar a resolver uti-
lizando uma estratégia aditiva, refere “porque nós estamos a tirar”.
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
68
Outro problema com o signifi cado de completar, identifi cado como “Concurso na
livraria”, tinha o seguinte enunciado: “A Leonor foi a uma livraria que estava a fazer
um concurso: o cliente n.º 250 a entrar na loja recebia uma coleção de livros à sua es-
colha! A Leonor foi a cliente n.º 135. Quantos clientes faltam entrar para o prémio
ser atribuído?”.
André compreendeu com facilidade o enunciado do problema e resolveu-o através de
uma estratégia aditiva do tipo A10 (Figura 9).
Figura 9 — Resolução do problema “Concurso na livraria”
Foi com rapidez que efetuou as adições, levantando os dedos para calcular 180 + 20.
Como já tinha feito em resoluções anteriores (consultar Morais, 2011), levantou um
dedo por cada dezena adicionada, à medida que ia dizendo “190, 200”. Nos restantes
cálculos, não recorreu a esta contagem. Talvez tenha sentido necessidade de o fazer nesta
adição por se tratar da alteração do número de centenas.
Ao adicionar todos os valores intermédios, reparou que colocara 140 em vez de 40 e
apagou o algarismo da ordem das centenas.
Inicialmente, André rodeou apenas os algarismos da esquerda dos números cuja soma
queria calcular, a professora perguntou-lhe se o tinha feito por algum motivo específi co,
pensando que o aluno o tivesse feito para adicionar os números como se de unidades se
tratassem. Mas André parece tê-lo feito por distração, apagando e rodeando todos os nú-
meros. De seguida, explicou como calculou o resultado fi nal do problema:
André — Acho que é 205.
Professora — Como é que fi zeste?
André — Foi assim 50 mais 40, 90, porque 40 mais 40 é 80. 90 mais 20, 200.
Professora — 90 mais 20 é 200? Porquê?
André — Ah, não. É 110 acho eu.
Professora — Como é que fi zeste agora?
André — Eu fi z 90 mais 10 é 100, e mais outros 10 é 110. E 110 mais 5 é 115.
André recorre novamente a uma estratégia aditiva do tipo A10, o que parece indicar a
sua preferência por este tipo de estratégia. É importante realçar a agilidade que André
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 69
revela na utilização deste tipo de estratégia, sendo mais criterioso na escolha dos núme-
ros a adicionar ao número inicial, tendo o cuidado de aproximar os resultados inter-
médios a números de referência; bem como a confi ança que demonstra na resolução
destes problemas.
Nos dois problemas da terceira cadeia analisados, com os signifi cados de comparar e
completar, André recorre à operação de adição, usando, mais uma vez, estratégias aditivas
do tipo A10, aproximando os resultados intermédios a múltiplos de 10. É importante re-
ferir que em “Parar ou Avançar”, André recorre inicialmente a uma estratégia subtrativa
do tipo 1010, contudo, abandona-a por sentir difi culdade em utilizá-la no cálculo com
números representados por diferente número de algarismos.
Conclusões
Para melhor se compreender a possível relação entre o signifi cado da subtração presente
em cada problema e a estratégia utilizada na sua resolução, procurou-se identifi car tam-
bém qual a operação utilizada na resolução do problema.
No Quadro 3 apresenta-se qual a operação a que André recorreu na resolução de cada
problema e quais as estratégias utilizadas na resolução dos problemas de subtração ante-
riormente apresentados.
Analisando o quadro, não é possível identifi car uma unanimidade na operação uti-
lizada em todos os problemas com o mesmo signifi cado, o que sugere, tal como Fuson
(1992) refere, “que há uma importante distinção a fazer entre o tipo de problema e a
operação (de adição ou subtração) necessária para descobrir a quantidade desconhecida”
(p. 245). Tal como Fosnot e Dolk (2001) referem, apesar do professor ter um determina-
do signifi cado da operação em mente aquando da planifi cação dos problemas que propõe
aos seus alunos, tal não signifi ca que estes o compreendam do mesmo modo. No entanto,
é possível perceber-se que o aluno reconhece e utiliza a subtração nos problemas com o
signifi cado de retirar, o que parece sugerir uma possível relação entre este signifi cado da
operação e a sua utilização.
Analisando as estratégias utilizadas ao longo de cada cadeia, identifi ca-se que, na re-
solução dos problemas da primeira cadeia, André recorreu a estratégias elementares, as-
sentes em contagens de um em um, recorrendo aos dedos ou à linha numérica. Parece
reconhecer a operação da subtração presente em cada problema, independentemente do
seu signifi cado, pois recorre a estratégias subtrativas (ver Morais, 2011).
Nas cadeias seguintes, as estratégias que utiliza são mais complexas. Na resolução do
problema “Viagem de autocarro”, com o signifi cado de retirar, recorre a uma estratégia
subtrativa do tipo 1010. Apesar de neste artigo não se terem apresentado todos os proble-
mas, é importante realçar que a escolha deste tipo de estratégia foi infl uenciada pelo seu
trabalho com uma colega, noutro problema do estudo, de adição (ver Morais, 2011).
O aluno voltou a utilizar este tipo de estratégia no problema “Que azar!”, contudo,
o cálculo a efetuar tratava-se de uma subtração com empréstimo, o que pode justifi car
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
70
a difi culdade que o aluno sentiu na resolução deste problema. O resultado da subtração
2 – 6 não foi imediato para o aluno, fi cando a dúvida se este terá de facto compreendi-
do o cálculo. Este tipo de difi culdade está associado à utilização de estratégias do tipo
1010 na subtração (como referido, por exemplo, Beishuizen, 2009; Fuson et al., 1997;
ompson, 2000; Verschaff el, Greer & De Corte, 2007). Reconhecendo que não é pos-
sível afi rmar que André domina ou não os números negativos, pois foi analisado apenas
um problema, é interessante comparar que, num estudo apresentado por Macintyre e
Forrester (2003), alunos do 7.º ano revelaram as mesmas difi culdades que André, alu-
no do 1.º ano, no cálculo de subtrações com empréstimo, com número de dois algaris-
mos, cometendo os erros geralmente associados à utilização de estratégias subtrativas do
tipo 1010.
Quadro 3 — Operações e estratégias de cálculo utilizadas por André
na resolução de problemas de subtração das três cadeias
Signifi cado Cadeia Problema
Operação
utilizada na
resolução do
problema
Estratégia utilizada na
resolução do problema
Retirar
1“Uma ida ao
teatro”Subtração Contagem para trás a
partir de um número
2“Viagem de
autocarro”Subtração Estratégia subtrativa 1010
2“Que azar!” Subtração
Estratégia subtrativa 1010
que o aluno parece não ter
compreendido
Comparar
2“Pai e fi lho” Adição
Estratégia aditiva A10 (sem
aproximação a números de
referência)
3“Parar ou
Avançar”
Adição
(subtração
inicial)
Estratégia aditiva A10
(tentativa inicial com
estratégia subtrativa 1010)
Completar
1“As leituras da
Marta”Subtração Contagem para trás a
partir de um número
2“A caderneta
das Winx”Adição
Estratégia aditiva A10 (e
estratégia aditiva 1010
para adicionar valores
intermédios)
3“Concurso na
livraria”Adição Estratégia aditiva A10
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 71
Este tipo de estratégia foi também a que André selecionou inicialmente para resolver
o problema com o signifi cado de comparar “Parar ou Avançar”. O facto de se tratar de
uma subtração cujas parcelas tinham diferente número de algarismos, trouxe alguma di-
fi culdade a André.
Esta fragilidade na utilização da estratégia subtrativa do tipo 1010 no cálculo de dife-
renças de número representados com diferente número de algarismos, conduzindo a uma
recomposição incorreta do resultado fi nal, evidencia a fraqueza que Beishuizen (2001)
associa a este tipo de estratégia, nomeadamente na perda do sentido de número durante
o procedimento de cálculo. No entanto, no problema “Parar ou Avançar”, André ultra-
passa esta difi culdade revelando grande sentido crítico e uma boa estimação do resultado,
tendo optado depois por seguir uma estratégia aditiva do tipo A10.
André utilizou este tipo de estratégia nos restantes problemas. A preferência por este
tipo de estratégia poderá dever-se à difi culdade que o aluno parece revelar em situa-
ções de subtração com empréstimo e em subtrações com parcelas de diferente número
de algarismos.
É possível identifi car-se uma evolução na utilização da estratégia aditiva do tipo A10,
pois inicialmente André utiliza-a sem qualquer preocupação em aproximar as somas in-
termédias a números de referência, selecionando valores de modo aleatório ou cujo resul-
tado fosse do seu domínio, como em “Pai e fi lho”. Contudo, e reconhecendo a importân-
cia de aproximar os cálculos a um número de referência, André começou a demonstrar
uma escolha mais cuidada dos números a adicionar, como se pode observar em “A cader-
neta das Winx”, “Parar ou Avançar” ou “Concurso na livraria”.
De um modo geral, André recorreu a dois tipos de estratégias na resolução dos pro-
blemas de subtração: estratégias subtrativas do tipo 1010 e estratégias aditivas do ti-
po A10. As primeiras foram utilizadas com maior frequência na resolução dos problemas
com o signifi cado de retirar. Os restantes problemas, com os signifi cados de comparar e
completar, foram geralmente resolvidos por André através de estratégias aditivas do ti-
po A10. Estes resultados estão de acordo com as conclusões do estudo apresentado por
Cooper, Heirdsfi eld e Irons (1995), onde alunos de 2.º e 3.º ano recorreram, principal-
mente, a estratégias subtrativas na resolução de problemas com o signifi cado de retirar e
a estratégias aditivas em problemas com o signifi cado de completar (também em Heirds-
fi eld & Cooper, 1996).
Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema e Empson (1998) e De Corte e Verschaff el
(1987) apontam as estratégias aditivas do tipo A10 como das mais utilizadas pelos alunos
na resolução de problemas de subtração (também em Serrazina, 1994), nomeadamente
nos que envolvem o signifi cado de completar, tal como é referido por Heirdsfi eld e Coo-
per (1996).
Parece-nos ser ainda possível relacionar o tipo de estratégia utilizada com a operação
identifi cada na resolução dos diferentes tipos de problemas. Analisando o Quadro 3, é
possível verifi car que André recorreu a estratégias subtrativas em problemas onde pareceu
ter reconhecido a presença da subtração. Mesmo no problema “Parar ou Avançar”, apesar
de ter utilizado uma estratégia aditiva do tipo A10, reconheceu a subtração como a ope-
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
72
ração presente no problema e começou por resolver o problema através de uma estratégia
subtrativa do tipo 1010. Nos restantes problemas, onde recorre à adição, utiliza estraté-
gias aditivas do tipo A10.
As estratégias de resolução dos problemas de subtração utilizadas por André são seme-
lhantes às estratégias utilizadas pelos outros dois alunos também participantes do estu-
do de Morais (2011). Deste modo, é possível afi rmar que os resultados obtidos apontam
para diferenças entre o tipo de estratégias utilizadas nos problemas com o signifi cado de
retirar e as que são utilizadas nos problemas com os signifi cados de comparar e comple-
tar, tal como já foi mencionado.
De realçar que este estudo apresenta evidências de que alunos dos primeiros anos de
escolaridade, na resolução de problemas envolvendo subtrações com números constitu-
ídos por dois e três dígitos, utilizaram estratégias de cálculo mental geralmente associa-
das na literatura a alunos mais velhos (ver, por exemplo, Beishuizen, 1993; 2001; Buys,
2001; Cooper, Heirdsfi eld & Irons, 1995; ompson & Smith, 1999), o que refl ete o
desenvolvimento da sua compreensão dos números e operações, fundamental para um
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Resumo. Neste artigo será apresentado parte de um estudo, feito pela primeira autora no âmbito de
uma dissertação de mestrado, que tem como objetivo compreender que tipo de estratégias de cálculo
mental são utilizadas, por alunos do 1.º ano do 1.º ciclo do ensino básico, na resolução de problemas
de adição e subtração, procurando compreender de que modo o signifi cado da operação envolvida no
problema infl uencia ou não a estratégia de cálculo mental utilizada.
O estudo foi realizado seguindo uma metodologia de natureza qualitativa de carácter interpretati-
vo, tendo sido realizados três estudos de caso. O trabalho de campo foi realizado numa turma do 1.º
ano de escolaridade, tendo a primeira autora desempenhado os papéis de professora e de investigadora.
Aos alunos da turma foram propostas duas cadeias de problemas, resolvidas a pares. Posteriormente, já
no início do 2.º ano de escolaridade, os três alunos participantes do estudo resolveram individualmente
uma terceira cadeia de problemas.
Neste artigo, são apresentadas e discutidas as resoluções de um dos alunos do estudo, nas três ca-
deias de problemas de subtração, procurando-se evidenciar aspetos mais signifi cativos relativamente ao
O Cálculo Mental na Resolução de Problemas de Subtração 75
tipo de estratégias de cálculo mental utilizadas e o modo como estas foram ou não infl uenciadas pelo
signifi cado presente nos problemas.
Palavras-chave: sentido de número, cálculo mental, subtração, resolução de problemas, estratégias
de cálculo mental.
Abstract. is article refers to a part of a study made by the fi rst author, as part of a dissertation, that
had the main purpose to understand which mental calculation strategies are used by fi rst grade pu-
pils in addition and subtraction problem solving, in order to understand how the addition and sub-
traction situations, presented in the problem, infl uenced the strategy of mental calculation used in
its resolution.
Considering the purpose of the study, a qualitative methodology was conducted and three case stu-
dies were held. e study fi eldwork was conducted in a fi rst grade class and the fi rst author was the te-
acher and the researcher. e class pupils solved two problem chains and all problems were solved in
pairs. Later on, at the beginning of the second grade, the three studied pupils solved a third problem
chain individually.
In this article, it will be presented and discussed the mental computation strategies used by one of
the studied pupils in the subtraction problems of the three problem chains, seeking to highlight the
most signifi cant aspects related to the mental calculation strategies used and how these were infl uenced
by the subtraction situation problem.
Keywords: number sense, mental calculation, subtraction, problem solving, mental calculation
strategies.
CRISTINA MORAIS
Externato da Luz
morais.cristina@gmail.com
LURDES SERRAZINA
Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Lisboa
lurdess@eselx.ipl.pt
(Recebido em junho de 2012, aceite para publicação em outubro de 2012)
Cristina Morais, Lurdes Serrazina
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