INVESTIGAÇÕES EM DIDÁTICA DA MATEMÁTICA https://editora.ufpe.br/books/catalog/view/207/217/628
Abstract
Este é o segundo livro proposto com o objetivo de divulgar investigações desenvolvidas no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da UFPE (Edumatec). O Volume 1 foi voltado a Processos de Ensino e Aprendizagem e o presente volume volta-se para a linha de pesquisa de Didática da Matemática.
No Edumatec o objetivo desta linha de pesquisa é desenvolver
estudos relativos ao funcionamento da sala de aula de Matemática, buscando compreender os fenômenos didáticos relacionados ao ensino e à aprendizagem de Matemática, para todos os níveis de ensino e para a formação inicial e continuada do professor que ensina Matemática na
Educação Básica.
Os autores desse volume são professores do Edumatec ou convidados de outras instituições brasileiras e francesas. Os artigos apresentados neste livro, ora são fruto de estudos desenvolvidos pelos próprios professores do Programa ou convidados, os quais apresentam resultados obtidos, as principais ideias da Engenharia Didática e alguns elementos da Teoria das Situações Didáticas. Também discute exemplos do uso da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa e algumas ideias acerca das evoluções em torno do tema.
O Capítulo 4, intitulado O Trabalho com Álgebra no Ensino
Fundamental: Caminhos e Descaminhos, escrito pelo Professor Marcelo Câmara dos Santos, busca levantar algumas discussões sobre o processo
de ensino e de aprendizagem de álgebra no Ensino Fundamental, particularmente
nos anos finais dessa etapa de escolarização. Para isso, toma
como base algumas pesquisas realizadas pelos participantes do Grupo de Pesquisa Fenômenos Didáticos na Classe de Matemática, do Edumatec.
Finalmente, no Capítulo 5, Modelo, Modelização e Decisões
Didáticas, a Professora Iranete Maria da Silva Lima, recorre ao texto da sua tese de doutoramento para desenvolver uma reflexão sobre as noções de modelo e modelização, particularizando o estudo de decisões didáticas tomadas por professores. O viés de pesquisa se expressa neste ensaio teórico
por meio da apresentação de três modelos de decisões didáticas e de
um exemplo de modelização didática.
Pela variedade de temáticas e de abordagens teórico-metodológicas utilizadas pelos autores desse livro, acreditamos que esse volume pode, em muito, contribuir para interessados em Educação Matemática – sejam pesquisadores (docentes e discentes) de programas de pós-graduação,
sejam professores de distintos níveis de ensino da Educação Básica.
Supplementary resource (1)
Data
November 2017
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Cette étude porte sur les problèmes d'apprentissage de la démonstration en mathématique dans le premier cycle de l'enseignement secondaire. Le cadre théorique a été élaboré à partir de la théorie des situations didactiques au sens de Brousseau et du modèle de Lokatos de la didactique des preuves et des réfutations
La didactique des mathématiques et d'une façon plus générale la didactique se construit dans une tension entre des élaborations liées à des cadres théoriques et les réalités de l'enseignement d'une discipline. L'école d'été de didactique des mathématiques qui s'est tenue à Clermont-Ferrand en août 2009, a permis de (re)visiter cette tension et ses différents modes de résolution. L'ingénierie didactique se caractérise par le lien fort et consubstantiel entre un cadre théorique et des productions dont les fonctions sont à la fois de servir de phénoménotechnique, de proposer des constructions dans la réalité du système d'enseignement et d'analyser des composantes de cette réalité (institutionnelle, psychologique, culturelle, épistémologique, etc.). Selon les périodes et les écoles de pensée, ces différents aspects prennent plus ou moins le pas l'un sur l'autre. Certaines ingénieries diffusent vers le système d'enseignement, parfois à l'insu des auteurs, parfois de façon délibérée. Ces phénomènes transpositifs conduisent le didacticien à s'intéresser aux conditions et contraintes qui prévalent à l'existence des systèmes didactiques et à leurs mises en œuvre effectives. Au-delà se pose la question politique, sociale et scientifique de la place et du rôle du didacticien dans la société et de son niveau d'implication comme acteur du système d'enseignement. Voici quelques une des questions qui sont au cœur de cet ouvrage : Quels choix philosophiques, épistémologiques, psychologiques, souvent implicites, sous-tendent les ingénieries ? Comment s'organisent les interactions entre le cadre théorique, l'ingénierie et l'expérimentation ? Quelles sont les relations entre les mouvements curriculaires et les ingénieries ? Comment l'élaboration des ingénieries didactiques au sein d'un cadre théorique donné prend-elle en charge l'activité du sujet, (l'élève, l'enseignant), les interactions (entre sujets ou entre le(s) sujet(s) et le milieu), le rapport à la contingence ? Quels types de résultats sont issus ou sont à attendre de la conception, l'expérimentation, le développement des ingénieries (au niveau théorique ou au niveau des pratiques) ? Les ingénieries sont-elles des objets théoriques, ont-elles vocation à être diffusées et si oui auprès de qui, dans quelles conditions ? Quels sont les résultats issus de la diffusion des ingénieries ?
L'observation de classes "ordinaires" permet la mise en évidence de phénomènes liés aux prises de décisions de l'enseignant dans l'action. Au delà des choix programmés à l'avance sur la conduite d'une séquence, qui peuvent être réactualisés d'une séance à l'autre, la situation d'enseignement est porteuse d'événements contingents qui peuvent être liés ou non au savoir en jeu et créent l'obligation, pour le professeur, de prendre des micro-décisions immédiates. Pour cela, celui-ci doit interpréter l'activité des élèves de manière quasi instantanée, sans avoir toujours les moyens de savoir sur quoi ils travaillent effectivement.
Notre travail sera ici de trouver des moyens de description et d'interprétation de certaines décisions “ordinaires” en classe.
Il s'agit à la fois
• participer à la modélisation des interactions didactiques par la caractérisation de phénomènes didactiques particuliers, qui permettent de donner un sens à certaines perturbations ou certains dysfonctionnements de situations didactiques.
• montrer l'intérêt du fonctionnement de l'outil didactique "structuration d'une situation en différents niveaux" encore peu utilisé dans la communauté. Ceci justifie l'importance que nous donnerons à la description de l'utilisation de cet outil pour l'étude d'une situation particulière.
Questions concerning the emergence and development of algebraic thinking in a problem-solving context oblige us to reflect, firstly, on the nature of the problems that are given to students and on their relative difficulty, and secondly, on the repertory of procedures available for handling them. More specifically, given the arithmetic experience students have already acquired in problem solving when algebra is introduced, an analysis of the problems presented in the two domains (arithmetic and algebra) is essential. Confronting their spontaneous arithmetic reasoning in these problems with that which is normally expected in algebra, we can get a better understanding of the fundamental changes required of pupils in the passage from one mode of treatment to the other (conflicts, necessary adjustments, new constructions). Any didactic setting (choice of appropriate situations and interventions) necessarily relies upon this knowledge.
The introduction of school algebra can take many different directions: the rules for transforming and solving equations (to which current teaching often reduces algebra), the solving of specific problems or classes of problems (which has played an important role historically in the development of algebra and its teaching), the generalization of laws governing numbers (a very strong focus in certain curricula), the more recent introduction of the concepts of variable and function (which appeared much later historically and which occupy a position of growing importance in some programs), and the study of algebraic structures (which marked the school curriculum in the 1960s under the influence of modern mathematics).
Cinquante années d'expériences nous ont appris qu'il n'existe pas de connaissances résultant d'un simple enregistrement d'observations, sans une structuration due aux activités du sujet. Mais il n'existe pas non plus (chez l'homme) de structures cognitives a priori ou innées : seul le fonctionnement de l'intelligence est héréditaire et il n'engendre des structures que par une organisation d'actions successives exercées sur des objets. Il en résulte qu'une épistémologie conforme aux données de la psychogenèse ne saurait être ni empiriste ni préformiste, mais ne peut consister qu'en un constructivisme, avec l'élaboration continuelle d'opérations et de structures nouvelles. Le problème central est alors de comprendre comment s'effectuent de telles créations et pourquoi, tout en résultant de constructions non prédéterminées, elles peuvent en cours de route devenir logiquement nécessaires. 1. L'empirisme. La critique de l'empirisme ne consiste pas à nier le rôle de l'expérimentation, mais l'étude « empirique » de la genèse des connaissances montre d'emblée l'insuffisance de l'interprétation « empiriste » de l'expérience. Aucune connaissance n'est en effet due aux seules perceptions, car celles-ci sont toujours dirigées et encadrées par des schèmes d'actions. La connaissance procède donc de l'action, et toute action qui se répète ou se généralise par application à de nouveaux objets engendre par cela même un « schème », c'est-à-dire une sorte de concept praxique. La liaison fondamentale constitutive de toute connaissance n'est donc pas une simple « association » entre objets, car cette notion néglige la part d'activité due au sujet, mais bien l'« assimilation » des objets à des schèmes de ce sujet. Ce processus prolonge d'ailleurs les diverses formes d'« assimilations » biologiques, dont l'assimilation cognitive est un cas particulier en tant que processus fonctionnel d'intégration. En retour, lorsque les objets sont assimilés aux schèmes de l'action, il y a obligation d'une « accommodation » aux particularités de ces objets (cf. les « accommodats » phénotypiques en biologie), et cette accommodation résulte bien des données extérieures, donc de l'expérience. C'est donc ce mécanisme exogène qui converge avec ce qu'il y a de valable dans la thèse empiriste, mais (et cette réserve est essentielle) l'accommodation n'existe pas à l'état « pur » ou isolé, puisqu'elle est toujours l'accommodation d'un schème d'assimilation : c'est donc celle-ci qui demeure le moteur de l'acte cognitif. Ces mécanismes, visibles dès la naissance, sont entièrement généraux et se retrouvent aux différents niveaux de la pensée scientifique. Le rôle de l'assimilation s'y reconnaît à ceci qu'un « observable » ou un « fait » sont toujours interprétés dès leur lecture elle-même : celle-ci nécessite, en effet, toujours et dès les début, l'utilisation de cadres logico-mathématiques tels que des mises en relation ou en correspondance, des voisinages ou des séparations, des quantifications en plus ou en moins conduisant aux mesures, bref toute une conceptualisation due au sujet et excluant l'existence de « faits » purs, en tant qu'entièrement extérieurs aux activités de ce sujet, et cela d'autant plus que ce dernier doit faire varier ces phénomènes pour les assimiler.
249 p., fig., ref. bib. : 3 p.3/4 Depuis plusieurs années, dans des domaines variés (physique, biologie, économie, sociologie, automatique, gestion), des études et réflexions se réclament de la théorie ou de l'analyse de systèmes. Ce label recouvre-t-il, à travers la diversité des travaux, un courant de pensée homogène et original? Le concept de système leur servant de dénominateur commun, il faut examiner de plus près la définition et les principales propriétés des systèmes. La notion de système étant intimement liée à celle de modèle, il faut également approfondir les caractéristiques essentielles et les typologies usuelles des modèles. Les ambitions de ceux qui affirment que l'approche systémique est l'amorce d'un langage unitaire et d'une méthodologie synthétique sont-elles justifiées ? Les critiques de ceux qui l'accusent de servir d'alibi scientifique à des choix politiques tout en caricaturant certaines réalités sont-elles fondées? Ces interrogations renvoient inévitablement aux nombreux problèmes posés par l'unité de la connaissance et aux rapports complexes entre les sciences et le politique.
Cette recherche s’inscrit dans la problématique de l’étude de prises de décisions didactiques. Notre principal intérêt est d’étudier la façon dont les professeurs prennent les décisions didactiques afin de faire avancer les élèves vers l’apprentissage d’une connaissance visée, et les éléments qui influencent ces décisions. Ceci nous a amené dans un premier temps à modéliser les connaissances des élèves concernant un objet mathématique donné, la symétrie orthogonale.
En nous appuyant sur la formalisation proposée par le modèle cK¢ de Balacheff au sein la Théorie des Situations Didactiques, nous avons fait le choix d’entrer dans la modélisation des conceptions d’élèves sur la notion de symétrie orthogonale, à partir de l’identification de la structure de contrôle des conceptions. En partant de l’hypothèse que les contrôles rendent compte des critères qui renvoient au choix, à la décision, à l’adéquation et à la validité d’une action, nous avons réalisé une étude théorique de la notion de symétrie orthogonale du point de vue mathématique et didactique afin d’identifier a priori les contrôles susceptibles d’être mobilisés par les élèves dans la résolution de problèmes de construction et de reconnaissance de figures symétriques. Ceci nous a permis de construire un dispositif expérimental pour étudier la prise de décisions didactiques.
Pour réaliser cette étude, nous nous sommes appuyés sur le modèle des niveaux de l’activité des professeurs proposé par Margolinas. Nous avons ainsi pu identifier quelques éléments sur lesquels les professeurs fondent leurs décisions didactiques.
Partant du constat d'un relatif échec de l'utilisation de l'informatique dans l'enseignement, nous avons cherché les moyens de poser et résoudre les problèmes de l'insertion de l'ordinateur dans l'enseignement mathématique dans le cas de la géométrie. L'importance de l'utilisation du dessin pour la mise en évidence de propriétés et la résolution de problèmes constitue l'une des spécificités de la géométrie. L'acquisition de connaissances géométriques s'appuie donc sur la signification que l'élève construit du dessin. En vue de décrire les étapes de cette construction, nous proposons les notions de forme et de configuration. C'est par la réalisation d'un micromonde à manipulation directe que nous avons choisi de faire intervenir l'ordinateur dans l'enseignement de la géométrie. Le cahier des charges ainsi élaboré a permis de déboucher sur la réalisation du logiciel Cabri-géomètre dont nous décrivons les principales caractéristiques. Une expérimentation nous a permis d'éprouver les choix initiaux et des modalités d'utilisation du logiciel. Les résultats obtenus mettent en évidence l'intérêt d'une approche des dessins par la manipulation directe des objets géométriques qui les composent. Par l'engagement de l'élève qu'elle permet, la manipulation directe permet de passer d'une évaluation de l'enseignant à une validation par l'élève de ses propres productions. Deux modifications du fonctionnement du système didactique entraînées par l'utilisation du logiciel sont analysées : - la négociation par l'enseignant d'un nouveau contrat didactique, - la mises en place des situations favorisant le transfert des connaissances acquises en environnement informatique vers d'autres environnements.
Ce travail porte sur la modélisation de décisions didactiques dans un contexte d'apprentissage en mathématiques dans un environnement informatisé: le micro monde Cabri-géomètre. Nous nous sommes intéresses à deux types de décisions: ― le diagnostic qui porte sur l'état courant des conceptions de l'élève mis en situation et ― le choix d'un feedback approprié (envoi d'une nouvelle situation, d'une aide etc...). Pour mener une approche expérimentale de ces deux types de décisions didactiques, nous avons conçu un dispositif expérimental mettant en collaboration un tuteur artificiel et un tuteur humain (principe du «Magicien d'Oz»). Les décisions sont pour partie prises par le tuteur artificiel, pour partie par le tuteur humain. Les décisions sont prises par le tuteur humain dans toutes les circonstances où le modèle d'interaction mis en œuvre est mis en défaut. L'étude concerne sur ces deux types de prises de décisions
O presente estudo tem como objetivo procurar compreensões sobre a necessidade e a acessibilidade da implementação de provas e demonstrações nos currículos de Matemática da Educação Básica e investigar as implicações que essa inovação traz aos currículos de formação inicial de professores. Metodologicamente, esse estudo insere-se numa abordagem qualitativa de pesquisa. Como o propósito era obter conclusões que tivessem a colaboração de várias fontes, utilizou-se a pesquisa bibliográfica e documental e a realização de entrevistas com pesquisadores em Educação Matemática e com professores da Educação Básica, cuja prática docente incluísse algum tipo de trabalho envolvendo provas. Teoricamente, fundamentamos nossa investigação em pesquisas sobre essa temática e em estudos sobre currículos e sobre formação de professores. Verificou-se, por exemplo, a existência de muitas pesquisas, não brasileiras, envolvendo provas na Educação Básica. No entanto, muitas não parecem estar alicerçada sem uma teoria consistente. Tampouco parece haver sobre esse tema projetos articulados entre si e em diferentes níveis de ensino. Identificou-se um consenso entre os entrevistados: a "prova" como um conteúdo e como recurso pedagógico bastante rico nas aulas de Matemática do Ensino Fundamentale Médio, desde que se admita um sentido mais amplo para essa palavra. Não caberia a simples reprodução - pelo aluno ou professor - das provas presentes nos livros, mas sim o "fazer matemática" em sala de aula, envolvendo assim, experimentações, conjecturas, argumentações. Mas, para tal, o professor precisaria ter uma formação que levasse em conta esse princípio. Observou-se entre os professores da Educação Básica, uma tensão na análise de provas produzidas por alunos: o elogio à iniciativa e à criatividade e, ao mesmo tempo, a alegação de que não se podia avaliar positivamente, visto que tais produções não seriam provas, do ponto de vista matemático The present study aims to search for an understanding about the need and accessibility of implementing proofs and demonstrations in school mathematics curricula (from elementary through secondary education grades), and to investigate the implications of such an innovation for initial teacher education curricula. In terms of Methodology, the study adopts a qualitativa approach. Since the purpose was to obtain results based upon a synthesis of several sources, documentary and bibliographic research was carried out and interviews were conducted with Mathematics Education researchers and with school teachers, whose teaching practice included some sort of work involving proofs. For its theoretical underpinning, the study drew from research conducted on this subject along with studies concerning curricula and teacher education development. Among the body of research into proof in mathematics, varies studies were identified, although not within the Brazilian contextoIn general, these studies were not based on a consistent theory, tended not to be articulated with each other and neither did they seek to articulate different teaching levels. In the analysis of the empirical data, a consensus was noticed among the interviewed group: "proof is perceived as content and a quite rich pedagogical resource to Mathematics classes for elementary and secondary school mathematics, since a broad sense of the word is admitted. It was not deemed appropriate to approach its teaching through simple reproduction, by the teacher ar by the student, of the proofs presented in the books but, instead, by "doing Mathematics" in the classroom, thus involving experimentations, conjectures, arguments. However, for to happen, this principie needs to be enshrined in teacher education courses. Among the school teachers, some tension was observed in relation to the analysis af proofs produced by the students: on the one hand, there was praise for initiative and creativity and, on the other, concerns that the resulting productions could not be assessed positively as they could not be considered proofs, from the mathematical point of view. The interleaving of the analyses from the different data sources enabled the canstruction of a set of proposals for the (re)consideration of proof in school mathematicsand in teacher development programmes.
A noção de vetor no ensino secundário francês: um exemplo de metodologia de pesquisa em didática da matemática
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