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Zeitdiskrete Beobachter für nichtlineare Systeme

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Abstract

Der Beitrag widmet sich dem Entwurf zeitdiskreter Beobachter für nichtlineare Systeme mit Hilfe der Transformation auf nichtlineare Beobachternormalform. Ausgehend von den Arbeiten von Brodmann 1994 sowie Lin und Byrnes 1995 wird durch die Verwendung von Altwerten des Systemausgangs die Systemklasse, für die ein Beobachterentwurf gelingt, beachtlich erweitert. Das angegebene Verfahren erlaubt zudem den Entwurf strukturell verschiedener Beobachter mit unterschiedlichen Eigenschaften. Als ein Beispiel für die praktische Anwendung der in diesem Beitrag vorgestellten Beobachterentwürfe dient ein Pendel auf einem Wagen. Die Betrachtungen beschränken sich auf Systeme mit einem Ausgang und mehreren Eingängen. Eine Anwendung des Verfahrens auf Systeme mit mehreren Ausgangsgrößen ist jedoch möglich.
Zeitdiskrete Beobachter f¨
ur nichtlineare Systeme
Kurzfassung eines Beitrags zum 32. Regelungstechnischen Kolloquium vom 25.-27.02.1998 in Boppard
Dipl.-Ing. T. Lilge1
Im Gegensatz zu zeitkontinuierlichen Systemen existieren bisher nur wenige Entwurfsverfahren f¨
ur nicht-
lineare zeitdiskrete Beobachter. Die Darstellung einer zeitdiskreten, nichtlinearen Beobachternormalform
(NBNF), die einen Beobachterentwurf mit frei w¨
ahlbarer, linearer Fehlerdynamik erm¨
oglicht, erfolgte
erstmalig von Chung und Grizzle in [CG90] sowie von Lee und Nam in [LN91]. Das vorgestellte Ver-
fahren weist jedoch einige Nachteile auf: Einerseits ist die Transformationsvorschrift aus der Integration
eines partiellen Differentialgleichungssystems zu bestimmen, andererseits muß das System eine umkehr-
bar eindeutige Systemfunktion aufweisen. Dieses schr¨
ankt die Systemklasse, f¨
ur die eine Transformation
auf NBNF angebbar ist, stark ein. Eine L¨
osung dieser Probleme schlagen Brodmann in [Bro94] so-
wie Lin und Byrnes in [LB95] vor: Die nichtlinere Transformation eines autonomen Systems mit einer
Ausgangsgr¨
oße der Form
x(k+ 1) = f(x(k)), y(k) = h(x(k)),x(0) = x0(1)
mit xRRn, y RR,f:RRnRRn, h :RRnRR auf die NBNF
x(k+ 1) =
0· · · 0 0
1· · · 0 0
.
.
.....
.
..
.
.
0· · · 1 0
| {z }
A
x(k) +
f
0(y(k))
f
1(y(k))
.
.
.
f
n1(y(k))
, y(k) = h(x
n(k)),x(0) = x
0(2)
mit xRRn, f
µ:RR RR (µ= 0,1, ..., n1), h:RR RR erfolgt in zwei Schritten. Der erste Schritt
beinhaltet die Transformation des Systems auf die nichtlineare Beobachtbarkeitsnormalform (NBKNF)
x2(k+ 1) = hx2
2(k),· · · , x2
n(k), f2
n(x2(k)) iT, y(k) = x2
1(k),x2(0) = x2
0(3)
mit x2RRn, f2
n:RRnRR. Diese Normalform existiert f¨
ur alle lokal stark beobachtbaren Systeme
([Nij82], [Bro94]). Die Berechnung der NBKNF erfordert eine explizit angebbare Inverse der Transforma-
tionsvorschrift
x2(k) = hh(x(k)), h f(x(k)),· · · , h fn1(x(k)) iT.(4)
Die Transformation von NBKNF auf NBNF erfolgt im zweiten Schritt und gelingt nur, falls Funktionen
hund f
µmit µ= 0,1, ..., n1 exisitieren, f¨
ur die
h∗−1(f2
n(x2(k))) =
n1
X
µ=0
f
µ(x2
µ+1(k)) (5)
gilt. Diese Bedingung schr¨
ankt die m¨
ogliche Systemklasse stark ein.
Ziel dieses Beitrags ist daher ein Beobachterentwurf ¨
uber eine Normalform mit weniger restriktiven
Bedingungen. Eine L¨
osung stellt die sogenannte erweiterte nichtlineare Beobachternormalform (ENBNF)
x(k+ 1) = Ax(k) +
f
0(y(k))
f
1(y(k1), y(k))
.
.
.
f
n1(y(kn+ 1), ..., y(k))
, y(k) = h(x
n(k)),x(0) = x
0(6)
mit f
µ:RRµ+1 RR (µ= 0,1, ..., n 1) dar, f¨
ur deren Berechnung ausgehend von der NBKNF die
Forderung (5) in den Zusammenhang
1Insitut f¨
ur Regelungstechnik, Universit¨
at Hannover, Appelstr. 11, D-30167 Hannover, E-Mail: lilge@irt.uni-hannover.de
1
h∗−1(f2
n(x2(k))) =
n1
X
µ=0
f
µ(x2
1(k), ..., x2
µ+1(k)) (7)
¨
ubergeht. Gl. (7) ist durch eine geeignete Wahl der Funktion f
n1immer erf¨
ullbar und stellt daher keine
Einschr¨
ankung dar. Die Transformation auf ENBNF ist daher f¨
ur jedes in NBKNF darstellbare System
und somit f¨
ur eine weitaus gr¨
oßere Systemklasse m¨
oglich. Da ab dem Zeitpunkt k=n1 auch die
Altwerte y(kν) mit ν= 1,2, ..., n1 durch Zwischenspeicherung der gemessenen Ausgangsgr¨
oße y(k)
zur Verf¨
ugung stehen, gelingt in ENBNF stets der Beobachterentwurf
ˆ
x(k+1) = Aˆ
x(k) +
f
0(y(k))
f
1(y(k1), y(k))
.
.
.
f
n1(y(kn+1), .., y(k))
+
q0
q1
.
.
.
qn1
(h∗−1(y(k))
| {z }
x
n(k)
ˆx
n(k)),
ˆy(k) = hx
n(k)),ˆ
x(n1) = ˆ
x
0, k n1.
(8)
Er f¨
uhrt auf eine lineare Fehlerdifferenzengleichung, deren Dynmaik sich mit Hilfe der Koeffizienten
qµ(µ= 0,1, ..., n 1) des charakteristischen Polynoms vorgeben l¨
aßt.
Die Wahl der Funktionen f
µund hstellt einen Freiheitsgrad dar, der genutzt werden kann, um die
Anzahl der erforderlichen Altwerte der Ausgangsgr¨
oße zu minimieren. Die Beobachtergleichungen in Ori-
ginaldarstellung (x-Korodinaten) werden jedoch nicht von der Wahl der Funktionen f
µbeeinflußt. Der
Sonderfall f
µ= 0 f¨
ur µ= 0,1, ..., n2 und f
n1(x2
1(k), ..., x2
n(k)) = h∗−1(f2
n(x2(k))) f¨
uhrt auf eine Sy-
stemdarstellung in ENBNF, aus der sich zus¨
atzlich zum Beobachter nach Gl. (8) drei weitere m¨
ogliche
Beobachtertypen mit unterschiedlichen Charakteristiken ergeben. Die Beobachterentw¨
urfe sind auf Sy-
steme mit Eingangsgr¨
oßen erweiterbar, f¨
uhren dann aber i.a. auf nicht kausale Beobachter.
Als ein Anwendungsbeispiel f¨
ur nichtlineare Beobachter dient ein Einzelpendel auf einem Wagen, f¨
ur
das am Institut f¨
ur Regelungstechnik der Universit¨
at Hannover eine strukturvariable Regelung zum Auf-
schwingen des Pendels existiert. Neben der f¨
ur das zeitkontinuierliche Systemmodell entworfenen Regelung
erfordert insbesondere die numerische Berechnung der Winkelgeschwindigkeit mit Hilfe des Differenzen-
quotienten hohe Abtastfrequenzen. Zur Verminderung der Abtastrate und damit der Rechnerauslastung
ist daher zun¨
achst die numerische Berechnung der Winkelgeschwindigkeit durch eine Sch¨
atzung mit ei-
nem zeitdiskreten Beobachter zu ersetzen. Die in diesem Beitrag vorgestellten Beobachter erweisen sich
f¨
ur diese Aufgabe als gut geeignet. Da das zugrundeliegende nichtlineare, zeitdiskrete Modell das Sy-
stemverhalten zu den Abtastzeitpunkten nur n¨
aherungsweise beschreibt, lassen sich Unterschiede der
Beobachtertypen bez¨
uglich der Robustheit gegen Modellunsicherheiten aufzeigen.
Literatur
[Bro94] M. Brodmann. Beobachterentwurf f¨
ur nichtlineare zeitdiskrete Systeme. Number 416 der Reihe
8 in VDI-Fortschrittberichte. VDI-Verlag, D¨
usseldorf, 1994. Dissertation, Universit¨
at Hannover.
[CG90] S.-T. Chung and J. W. Grizzle. Sampled-data observer error linearization. Automatica,
26(6):997–1007, 1990.
[LB95] W. Lin and C. I. Byrnes. Remarks on linearization of discrete-time autonomous systems and
nonlinear observer design. Systems & Control Letters, 25:31–40, 1995.
[Lil97] T. Lilge. Discrete-time observers for nonlinear systems. In A. Isidori and F. Allg¨
ower, editors,
Proc. of the 1997 COSY Workshop on Control of Nonlinear and Uncertain Systems, pages 202–
210, ETH Z¨
urich, Jan 17-19 1997. ESF and Institut f¨
ur Automatik ETH.
[LN91] W. Lee and K. Nam. Observer design for autonomous discrete-time nonlinear systems. Systems
& Control Letters, 17:49–58, 1991.
[Nij82] H. Nijmeijer. Observability of autonomous discrete time nonlinear systems: A geometric ap-
proach. Int. Journal of Control, 36(5):867–74, Nov. 1982.
2
Book
Modern control design methods are based on the knowledge of all state variables of the considered system. Since a measurement of all states is in most cases not possible or too expensive, the use of observers is of great importance. Up to now, nonlinear observers have mainly been studied for continuous-time systems, however, discrete-time representations are of increasing interest. For a relatively small class of systems an observer design with linearizable error dynamics based on canonical forms is possible. This work gives an extension of the so called "Two-Step-Transformation" to nonlinear observer canonical form. This extension allows to enlarge the class of transformable systems considerably. Considering past measurements of the systems in- and output variables leads to the so called extended nonlinear observer canonical form which also allows to design an observer with linearizable error dynamics. The transformation into extended observer form includes several degrees of freedom which help to select the structure and the characteristics of the resulting observers. The extended observer form exists for every strongly locally observable system with one output. The transformation of a system with several outputs is subject to further conditions. Compared to the transformation into classical observer form, these conditions are noticeably less restrictive. The observers via extended observer form are compared to another design procedure, which can be found in the literature. For the latter, an alternative structure and an extension to systems with several outputs is presented in this work. The comparison of all considered observers includes the transient behaviour, robustness to noisy measurements, parameter sensitivity and the feasibility of the design procedure. One of the main tasks to use observers is the state feedback of dynamical systems. Since the separation principle which holds for all linear, timeinvariant systems does not hold in the nonlinear case, this work also focuses on the problem of nonlinear discrete-time observers for nonlinear state feedback. An experimental investigation of the closed loop dynamics was carried out for the stabilization of an inverted pendulum. The results show the general applicability to technical systems of all considered observers and furthermore significant differences between some observers in the closed loop were emphasized.
Conference Paper
Full-text available
This paper focuses on the design of nonlinear observers for discrete-time systems by means of a so called extended nonlinear observer canonical form which is computed via a nonlinear observability canonical form. In contrast to other approaches by Brodmann 1994 and Lin and Byrnes 1995 using a two-step-transformation, past measurements of the system output are used. This allows to extend the class of systems for which an observer can be designed and leads to several observers with different characteristics. An application to a pendulum on a cart shows the efficiency of the design method.
Article
In this paper the observability of autonomous discrete time systems is studied from a purely differential geometric point of view. As with continuous time systems, this approach leads to a local canonical form for an observable system. A proposal for the generalization of an invariant subspace is made.
Article
This paper presents necessary and sufficient conditions under which a discrete-time autonomous system with outputs is locally state equivalent to an observable linear system or a system in the nonlinear observer form (Krener and Isidori, 1983). In particular, an open problem raised in Lee and Nam (1991), namely the observer linearization problem, is solved for a nonlinear system which may not be invertible (i.e., the mapping f may not be a local diffeomorphism). As a consequence, the nonlinear observer design problem is solved by means of exact linearization techniques.
Article
The effects of time-sampling on the solvability conditions for the observer linearization design methodology are investigated. It is shown that the class of systems for which this design method can be applied for an open set of sampling times is quite small. In particular, when the dimension of the state space is two, it consists only of those systems that are state-equivalent to a linear system. The practical implication is that digital implementations of this methodology will have to be approximate.
Article
We obtain a necessary and sufficient condition for a discrete-time nonlinear system to be locally state equivalent to the nonlinear observer form. The result looks similar to the continuous counterpart except for the fact that Ad-operation is utilized instead of ad-operation.
Beobachterentwurf für nichtlineare zeitdiskrete Systeme. Number 416 der Reihe 8 in VDI-Fortschrittberichte
  • M Brodmann
M. Brodmann. Beobachterentwurf für nichtlineare zeitdiskrete Systeme. Number 416 der Reihe 8 in VDI-Fortschrittberichte. VDI-Verlag, Düsseldorf, 1994. Dissertation, Universität Hannover.