Processus de preuve et situations de validation

Abstract

Nous étudions les relations entre preuves et contradictions dans la résolution d'un problème de mathématiques. Cette étude montre la nécessité d'une approche à la fois situationnelle et cognitive, notamment en référence au fonctionnement des connaissances dans l'apprentissage des mathématiques. Ceci nous conduit à distinguer différents stades dans l'évolution des preuves pragmatiques aux preuves intellectuelles. Enfin nous montrons que le dépassement d'une contradiction ne constitue pas nécessairement un progrès cognitif, en particulier nous examinons le traitement d'un contre-exemple par des élèves de quatrième.

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Processus de preuve et situations de validation
Nicolas Balache
To cite this version:
Nicolas Balache. Processus de preuve et situations de validation. Educational Studies in Mathemat-
ics, Springer Verlag, 1987. <hal-01619264>

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage1/33
PROCESSUSDEPREUVEET
SITUATIONSDEVALIDATION
Provingprocessesandsituationsforvalidation.
NicolasBalacheff
InstitutIMAG
UniversitéGrenoble1,CNRS,INPG
Laboratoire LSD2, Équipe de recherche en didactique des mathématiques et de
l’informatique.
Tapuscritauteur de :BalacheffN. (1987)Processusdepreuves etsituationsdevalidation.
EducationalStudiesinMathematics18(2)147‐176.
Résumé:Nousétudionslesrelationsentrepreuvesetcontradictionsdanslarésolutiond'unproblème
demathématiques.Cetteétudemontrelanécessitéd'uneapprocheàlafoissituationnelleetcognitive,
notamment en référence au fonctionnement des connaissances dansl’apprentissagedes
mathématiques. Ceci nous conduit à distinguer différents stades dans l'évolution des preuves
pragmatiques aux preuves intellectuelles. Enfin nous montrons que le dépassement d'une
contradiction ne constitue pas nécessairement un progrès cognitif, en particulier nous examinons le
traitementd'uncontre‐exemplepardesélèvesdequatrième.
Abstract: A study is made of the relationship between Proofs and Contradictions in mathematics
problem‐solving.Withrespecttomathematicslearning,weshowthenecessityforanapproachbeing
bothsituationaland cognitive. This study leads to the demarcation ofseveralstagesfrom Pragmatic
Proofs to Intellectual Proofs. We then go on to show that overcoming a contradiction does not
necessarily constitute cognitive progress. In particular we examinehowpupils(13‐14yearold)cope
withcounterexamples.
INTRODUCTION
La notion de démonstration occupe une place importante dans l'enseignement
des mathématiques en France où elle apparait lors de la troisième année de
l'enseignement secondaire, en classe de quatrième. Son apprentissage présente
des difficultés importantes. Il est classique de signaler que cesdifficultéssont
d'abord liées au passage d'une mathématique«pratique», caractérisée par
l'action et l'observation dans le cours des deux premières années de
l'enseignement secondaire, à une mathématique plus théorique justement
caractériséepar l’introduction de ladémonstration. Ce passage apparaitcomme
unevéritableruptureducontrat didactique qui, avant cette introduction, réglait
lesrelationsdesélèvesetdumaitreàproposdel'activitémathématique.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage2/33
Nousnousproposonsd'aborderceproblèmeenleformulantcommecelui de la
détermination des conditions didactiques d'une genèse cognitivedela
démonstration.
Maisavantd'allerplusloinilestnécessairequenousclarifionsquelquespointsde
vocabulaire; les expressions raisonner, prouver, démontrer, sont souvent
considéréescommesynonymesparlesmathématiciens,particulièrementlorsqu'il
s'agitd'enseignement.Celaconstitueànotresensunobstacleauxrecherchessur
cesquestions.
Nousappelonsexplication un discours visant àrendreintelligiblelecaractèrede
vérité, acquis pour le locuteur, d'une proposition ou d'un résultat. Les raisons
avancéespeuventêtrediscutées,refuséesouacceptées.
Nousappelonspreuve une explication acceptée par unecommunautédonnéeà
unmomentdonné.Cettedécisionpeutêtrel'objetd'undébatdontlasignification
estl'exigencededéterminerunsystèmedevalidationcommunauxinterlocuteurs.
Auseindelacommunautémathématiquenepeuventêtreacceptéespourpreuve
que des explications adoptant une forme particulière. Elles sont une suite
d'énoncésorganiséesuivantdesrèglesdéterminées:unénoncéestconnucomme
étant vrai, ou bien est déduit de ceux qui le précèdent à l'aide d'une règle de
déduction prise dans un ensemble de règles bien défini. Nous appelons
démonstrationscespreuves.
Nous réservons le mot raisonnement pour désigner l'activité intellectuelle, la
plupart du temps non explicite, de manipulation d'informations pour, partir de
données,produiredenouvellesinformations.
Ces distinctions de vocabulaire mettent en relief les dimensions sociales de la
démonstrationentantquerésultatd'unprocessusparticulierdepreuve.
Nousnousproposonsdemontrerquel'étudedesprocessusdepreuve doit être
conduite en référence à la foisàceluiquilesmetenœuvreentantquesujet
connaissant et à la situation dans laquelle il les met en œuvre. Nous mettrons
alorsenévidencelavariétédeleurnatureetquelquesé1émentsdelacomplexité
deleur fonctionnement.Cetteétudenousconduiraàdifférencier desniveauxde
preuvepouvantprendreplacedanslagenèsedeladémonstration dans une
perspectived'apprentissage.
Aborder la démonstration sous l'angle de l'interaction sociale nous conduit
naturellement à envisager la dialectique des preuves et des réfutations, ou plus
généralementleproblèmedutraitementdescontradictions.C'estparlàquenous
commencerons.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage3/33
LEPROBLEMEDELACONTRADICTION
L'une des finalités d'un processus de preuve peut être expriméecommeétant
d'assurer l'absence de contradictions formelles ou sémantiques dans la solution
d'unproblème.Maisle«fait»delacontradiction,alorsportéaucentredudébat
devalidation,présenteunecomplexitéquineselaissepasréduireàlacomplexité
logique.
UNECONTRADICTIONESTRELATIVEÀUNTÉMOIN
Nous retenons l'hypothèse qu'une contradiction n'existe « que si un témoin‐
locuteur la construit » (Grize et al. 1983). Ceci signifie qu'une contradiction
n'existepasen soi mais relativementàunsystèmecognitif.Enconséquenceune
contradictionavérée pouruntémoin peutêtreniéeou inexistantepourunautre
individu.Parexemple,tellecontradictionserareconnueparl'enseignant, ou par
l'observateurdanslasituationexpérimentale,maisneleserapasparl'élève:
Ayantmontréquelasuite(un)admetunelimiteLvérifiantL<1,desétudiants
traiterontdansl'expression:
Unn+1+unn+un2+un+1
d'unefaçonindépendantenenexposantetnenindice:
lim(unn+1+unn+un2+un+1)=lim(un2+un+1)
=L2+L+1
(Robert1982)
Inversement une contradiction peut être attestée par les élèvesalorsquepour
l'enseignantelleestinexistante:
Pour des élèves de cinquième la somme des angles d'un triangle ne peut être
égale à 180° pour tout triangle, parce qu'un petit triangle ne peutavoirmême
sommed'anglesqu'untriangleplusgrand.
(Balacheff1987)
Encinquième,pourl'évaluationduvolumed'unparallélépipèdeàl'aidedepetits
cubes, certains élèves, ayant décompté le nombre de cubes dans l'une des
dimensions, considèrent qu'il faut en compter un de moins dans chacune des
deuxautres,parcequ'onnepeutpascompterdeuxfoislecubeducoin.1
(Bodin1980)
Dans ces exemples les raisons de l'identification ou de l'absence d'identification
d'une contradiction, sont à chercher dans la nature même des connaissances

1Cetobstacleàl'acquisitiondelanotiondevolumeaétérelevépar Bodinetconfirmépar
lestravauxdeVergnaud,Rouchieretal.(1983).

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage4/33
mobilisées par les élèves. Les deux derniers cas correspondent d'ailleurs à des
situations de conflit cognitif sur lesquels s'appuient souvent les situations
didactiquesquenousconcevons;l'hypothèseétantquelaprisedeconsciencede
telles contradictions rend nécessaire l'évolution des conceptions de l'élève. On
reconnaitlà laproblématiqueconstructivisteselonlaquellelacontradictionestla
source d'un déséquilibre dont la compensation est le moteur du progrès de la
connaissance(dansle double processus de l'accommodation etdel'assimilation,
on peut à ce sujet se reporter aux ouvrages classiques de Piaget). C'est encore
dans cette perspective que s'inscrit l'épistémologie scientifique héritière de
Popper. Cependant la reprise de cette problématique par Lakatos, pour ce qui
concerne les mathématiques, fait apparaitre que le dépassement des
contradictionsneseraitenfaitquepotentiellementsourcedeprogrès.
CONDITIONSDELAPRISEDECONSCIENCED'UNECONTRADICTION
Dans le fonctionnement didactique, l'existence d'un savoir mathématique de
référence (savoir scientifique ou savoir scolaire) donne à l'enseignant une
responsabilité particulière quant à une décision sur le caractère effectivement
contradictoire d'une situation. Il s'agit, pour lui, de rallierl'élèveàcette
reconnaissance,deluiouvrir l'accèsàuneprisedeconsciencedelacontradiction
éventuelleentresesconceptionsetlesavoiràenseigner.
PourPiagetcetteprisedeconscience«ne se produit qu'au niveau où le sujet
devientcapablededépassement»(1974p.161).Maiscedépassementpouvanten
faitconsisterenunevéritableréorganisationdesconnaissances,laconditionpeut
paraitreun peuforte.Nousn'exigeronspascedépassementpotentiel,maisnous
retiendronsquesonproblèmeestposé:
prendreconscience d'une contradiction c'estposer le problème du choix
entredeuxpropositions:uneaffirmation et sanégation.Quellequesoit
l’issuedecechoix,ellesupposequel'affirmationsoitdisponibleetqu'elle
soitsusceptibled'êtreniée.
Lacontradictionestainsi dépendanted'unedoubleconstruction.Noussoutenons
l'idéequelaprisedeconsciencene se produira qu'au niveau où le sujet devient
capabledecettedoubleconstruction.
Unefoislacontradictionidentifiéeparl'élève,sondépassementpeut,quantàlui,
n'êtreobtenuqu'après unlongtravail.Ainsi, dans lecasdela mesuredesangles
d'untriangle,ledépassementdelacontradictionévoquéeplushaut passera par
une reprise des conceptions qu'a l'élève de la mesure d'un angleetparson
appropriation du postulat d'Euclide et de ses conséquences. La mise en relation

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des propositions « plus un triangle est grand plus la somme de ses angles est
grande»et«lasommedesanglesd'untriangleest180°»,sielleouvrel'accèsàla
contradiction,nesuffitpaspourautantàsondépassement.
Parailleurs,dans le contexte qui nousintéresseici,lacontradiction n'existe que
parrapportàuneattentedéçue,àuneconjectureinfirmée.L'existencepotentielle
del'affirmationnesuffitpas.IIfautqu'ellesetrouve,commele diraitHadamard,
au‐devantdelascène.Piagetmentionnelui‐mêmeque«laprisedeconsciencede
lacontradictionest bienplusaiséelorsqu'elleapparaitentreuneprévisionetune
donnée extérieure qui lui inflige un démenti» (ibid.). On peut constater ici que
Piaget ne s'en tient pas aux seules conditions cognitives mais qu'il ouvre son
analyseàdesconditionsliéesàla situation.IInevacependantpasplusloindans
cettedirection,dumoinspourcequenousavonspulire.
Ainsi la prise de conscience d'une contradiction suppose une prédiction,c'est‐à‐
dire l'engagement effectif de l'élève sur une affirmation. Cela signifie son
dégagement de l'action, un pas de côté grâce auquel l'action est considérée
comme susceptible d'une réflexion, voire d'un discours. L'action n'est alors plus
seulementagie. Produitd'unchoix, elleestrapportéeàsesconditionsdevalidité
etàseseffets.Elleestsoumiseàunefinalité.Lacontradiction surgit de la non
réalisationdecettefinalité.Elleposedonclaquestiondu choix etdesconditions
del'action.
Nous retiendrons les conditions suivantes comme nécessaires à la prise de
conscienced'unecontradiction:
(i)existenced'unattendu;
(ii) possibilité de construire l'affirmation associée à cet attendu et sa
négation.
Il en découle que la contradiction est associée à un processus d'évaluation,
expliciteounon,délibéréounon,etdedécision.
Pour que l'élève soit capable de ces anticipations il est nécessaire que ses
connaissances constituent un modèle de la réalité afin de lui permettre un
contrôleaprioridelasituation‐problèmedanslaquelleilsetrouve.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage6/33
SITUATIONETPROCESSUSDEVALIDATION
ÉVIDENCEDURÔLEDELASITUATION
Ilexisteplusieursformesetplusieursniveauxdevalidationdontlamobilisationet
lamiseenœuvre sontprovoquéesparlesexigencesdelasituationdanslaquelle
onpeutsetrouver.CefaitestbienillustréparunemétaphoredePopper:
Lorsque j'achète un livre et que le libraire me rend vingt pence de monnaie, je
suis«toutàfaitcertain»,quelesdeuxpiècesnesontpasdescontrefaçons[...]Si
quelqu'unmedemandait«êtes‐vouscertainquelapiècedansvotremainestune
piècededixpence?»,jeluijetteraispeut‐êtreànouveauuncoupd'œiletdirais
«oui». Mais si quelque chose d'important dépendait de la vérité de mon
jugement,jepensequejeprendraislapeinedemerendredanslabanquelaplus
procheet de demanderaucaissier d'examinerlapièce ;etsila vied'unhomme
endépendait,j'essaieraismêmedevoirlechiefcashierdelabanqued'Angleterre,
etluidemanderaisdecertifierl'authenticitédelapièce.
(Popper1972pp.89‐90)
etPopper poursuit soutenant que «la ‘’certitude’’ d'une croyance n'estpastant
fonction de l'intensité de cette dernière que de la situation : de ce que nous
anticiponscommesesconséquencespossibles.»(ibid.)
L'absence de tout processus de validation ou, au contraire, la mise en œuvre
d'argumentations éventuellement solidement fondées théoriquement,
apparaissent directement liés à l'analyse que l'individu fait de la situation dans
laquelle il se trouve. Un rôle central, éventuellement moteur, estjouéparson
évaluationdurisqueliéàunedécisionqu'ildoitprendre.
Le processus de validation, l'élaboration de preuves de tous ordres, est ainsi
d'abordliéàdesfinspratiques.IIs'agitdes'assurerlesgarantiesnécessairesàun
engagement dans l'action ; ici l’action de décider de la vérité d'une assertion.
Quantàl'engagementàdifférentsniveauxdevalidationilrépondàuneéconomie
delogique«quiveutque l'onnemobilisepasplusdelogiquequ'iln'enfautpour
lesbesoinsdelapratique»(Bourdieu1980p.145).
Ainsi,lasituation dans laquellealieul'actiondel'élève peut tolérerl'absencede
travailsurlavalidation.
C'estle cas,danscertainessituationsdidactiques,desphasesd'appropriationdes
règlesd'unjeu,oudufonctionnementd'unmatériel.Parexempledanslasituation
dite de «la course à 20» étudiée par Brousseau (1975), après l'exposition des

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage7/33
règles2lesélèvessontinvitésàjouer,chaquepartieterminéeétantsuivie d'une
nouvelle partie sans autre exigence. Dans une telle situation, l'élève peut, pour
jouer une partie, ignorer les précédentes, ne pas travailler ses décisions : la
situation tolère l’absence de validation. Cependant pour des raisons qui leur
appartiennentdesélèvesvoulantgagnerchercherontdesraisons,despreuvesde
la validité de leur stratégie. Dans ces situations des succès réitérés peuvent
instituerdesrèglesd'actioncommeautantdesourcespossiblesdethéorèmes‐en‐
acte(Vergnaud1981).
C'est aussi le cas des situations dans lesquelles l'élève a à exécuter des
algorithmes,dessuitesd'ordre,ouàmettreenœuvredespratiquesrégléespar
deshabitudespourlesquelleslesquestionsdelavaliditéetdelaconsistancenese
posent pas. Ces situations constituent des sphères de pratique3. Elles n'exigent
pasdecontrôledesproductions,touteerreurcontingented'exécutionmiseàpart,
parcequelasituationporteapriorisurde«bonsobjets»,de «bonnes
relations»,selonuncontratquipermetl'économiedel'examendesconditionsde
validitédel'action.
Dans ces cas, l'absence observée de mise en œuvre de processus de preuve, le
niveau des preuves éventuellement développées, ne sont décisifs ni pour le
chercheur,nipourl'enseignant,parcequesusceptiblesd'êtrelaconséquenced'un
principed'économie.
Nous allons, dans la suite, nous intéresser aux situations qui appellent de tels
processus.
SITUATIONDEVALIDATIONETSITUATIONDEDÉCISION
Voicid'aborddeuxexemples:
‐reprenons le cas de «lacourse à 20». Dans la dernièrephasedu jeu,
appelée«jeudeladécouverte»,laconsignedemandeàdeséquipesqui

2«Danscejeul'undesjoueurscommenceetdit(ouécrit)1ou2.Sonadversairepeutalors
ajouter1ou2...celuiquiarriveàdire20agagné»(ibid.p.3)
3Nousreprenonsicilanotiond'universdepratiqueforgéeparBourdieu(1980):«ilyatrès
peu de chances que deux applications contradictoires des mêmes schèmes se trouvent
confrontéesdanscequ'ilfautappelerununiversdepratique[...]Lamêmechosepeut,dans
desuniversdepratiquedifférents,avoirpourcomplémentairedeschosesdifférentesetelle
peutdoncselonl'univers,recevoirdespropriétésdifférentes,voireopposées(ibid.p.145).
Le substantif d'univers nous a cependant paru peu approprié au regard des pratiques
scolairesauxquellesnousnousintéressons.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage8/33
jouent, d'élaborer des propositions qui permettent de «gagner à coup
sûr»(Brousseau1975).Unsystèmedemarquessanctionnelaproduction
d'énoncésvrais («acceptés» (ibid.)) et d'énoncésfaux («prouvés faux»
(ibid.)).Lesélèvessetrouventalorsdansunesituationdevalidationau
sensdeBrousseau(1977).L'objectifestlaproductiond'unepreuve(dela
vérité ou de la fausseté) d'un énoncé. Cette situation contient
organiquementlacontraintedemiseenœuvredeprocessusdepreuve.
‐danslecasdeséquencesdidactiquesdécritesparGras(1983)àpropos
del’apprentissagedelasymétrieorthogonale,aprèsdessituations
consacréesàlafamiliarisationaveclesymétriseur4,lesélèvessontinvités
à anticiper, à prédire, ce que sera l'image d'une figure donnée. On se
trouvealorsdanscequenousappelleronsunesituationdedécision;elle
demandela mobilisation demoyensde décision et donc de moyensde
validation, sans que pour autant soit exigée la production explicite de
preuves.C'estunepropositionvraieetnonlapreuvedecetteproposition
quidoitêtreproduite.
Dans la situation de décision, les opérations intellectuelles du raisonnement
hypothético‐déductif (en tant que système légitime et fiable deproduction
d'informations) peuvent être misesenœuvresansquepourautant une preuve
soitproduite.Lescontrôleslogiquesetsémantiquesfonctionnentlocalementdans
le cours de l'élaboration de la solution. Éventuellement, en tant que
mathématiciens, nous reconnaitrons dans ce processus une organisationquiest
del'ordre deladémonstration; maisicielleest danslefonctionnementdu sujet
unoutiletnonunobjet(cf.pourcettedistinction,Douady1985).

4Ils'agit d'unappareillagemécaniquepermettant deréaliserune
symétrie orthogonale. L'appareil, suivant le schéma ci‐dessus, est constitué d'un losange
déformable glissant le long d'un axe placé suivant I’une de sesdiagonales.Lesdeux
sommetslaisséslibrespeuventporterunepointesècheouuncrayon.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage9/33
L'INTERACTIONSOCIALECOMMEMOTEURDESPROCESSUSDEPREUVE
La mise en débat des décisions, l'injonction de garantir leur validité ou de la
dénoncer, permet de transformer la situation de décision en une situation de
validation.
Unedescaractéristiquesquiapparaitainsidéterminantepourlaproductiond'une
preuve, est la dimension sociale de la situation. C'est d'ailleurs cette dimension
socialequemetenrelieflamétaphoredePopperquenouscitionsci‐dessus.
Maisonnepeutcependantpasaffirmerquelecontexted'unesituation sociale
soituneconditionnécessaire,nimêmesuffisanteàlaproductiondepreuves:
‐laconditionn'estpasnécessaireparcequelerisquedûàuneincertitude
peut conduire à un effort de synthèse des raisons, des conditions
nécessairesàlavalidité,quiréalisel'explicitationd'unepreuve.
‐ cette condition n'est pas non plus suffisante ; elle n'écartepasla
possibilité d'élèves qui refuseraient d'entrer dans ce jeu du débat.
L'augmentation des enjeux, la force des injonctions peuvent ne pas
suffirent...nous savonsbienqu'il peutexisterdes martyrs.Parailleurs la
notionderisque n'a pas de sens en soimaisrelativement à un individu
quilereconnaitounonetl'évalueplusoumoinsimportant.Le risque
reconnu, l'élève peut encore se montrer téméraire, c'est‐à‐direnepas
aller jusqu'au bout de ce qu'il reconnaîtrait nécessaire pour garantir sa
décision.
Onnepeutdoncattendredelasituationqu'elledéterminecomplétement et
exclusivement le comportement de l'élève. Nous distinguerons seulement les
situations qui tolèrent l'absence de travail sur la validation, des situations qui
appellent un tel processus. Parmi ces dernières nous nous attacherons à deux
typesdesituations:lessituationsdedécisionetlessituationsdevalidation.
Parailleurs l'interactionsocialeprésenteunecomplexitéparticulière,notamment
parcequ'elleestlelieudelaconfrontationd'universlangagiersaprioridifférents,
desystèmes deconnaissancenonunifiés:parnaturelacommunicationimplique
l'interprétation mutuelle des systèmes cognitifs en présence. En particulier, la
production d'une preuve oblige à la prise en compte des interlocuteurs pour
finalementconstruireunsystèmedevalidationcommun,aumoinslocalement,en
référenceauxpropositionsdébattues.
Mais le désir de convaincre peut entrainer les partenaires à recourir à des
argumentsadhoc,étrangersaucadremathématiqueounonpertinents.Làréside

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage10/33
l'une des principales difficultés de l'utilisation des situations d'interaction, tant
dans la classe qu'à des fins expérimentales (Balacheff et Laborde 1985). Quelles
sont, par exemple, les conditions que doit satisfaire la situation pour que les
interlocuteursaient intérêtàaccepter desénoncesvraiset ànepassoutenirdes
énoncésfaux(cequipeutarriverlorsqueledésirededomineresttropfort)?
LEDÉSIREDECERTITUDECOMMEMOTEURDESDÉMARCHESDE
PREUVE
Dans les exemples qui précèdent nous avons souligné le rôle joué par
l'identificationd'unrisquedûàl’incertitudedanslamotivationd'unindividupour
produire des preuves ou mettre en œuvre des processus de preuve. Une autre
motivationestledésir decertitude,pourelle‐même,sanslapressiond'unrisque
quiseraitàprendre.Lesenjeuxpeuventêtreceuxd'unesatisfactionintellectuelle,
d'unecuriositépourlavéritéquipeutanimerlesélèves.C'est par exemple la
problématique des innovations qui cherchent  à s'appuyer sur des problèmes
motivants : problèmes qui susciteraient assez d'intérêt pour que les élèves
acceptentouveuillentd'eux‐mêmesenchercherlasolution.
C'estsurce désirdecertitude,ques'appuie Brousseau(1983)dansune situation
engéométrieoù il demande aux élèves detracerles médiatricesdescôtésd'un
trianglesansseplacerdansuncasparticulier.Biensûr,lesélèvesvontchercherà
se placer dans le cas d'un trianglequelconque, mais « l'obstination mystérieuse
des faits» (ibid. p.189)feracraindrelecasparticulier.Quoiqu'ilensoit,
l'incertitudeentretenue par des tracésinévitablement défectueux conduit àune
conjecture:lesmédiatricesd'un triangle sont concourantes. Vouloir en faire un
théorème,enavoir la certitude, repose sur un désirdesavoirquinedoitrienà
unesituationderisque,nimêmedanscecasàunquelconqueintérêtpratique;les
élèvesnesaventpassiunetellepropriétépourraêtreutileàquoiquecesoit.
DEUXPROBLÉMATIQUES:L’EFFICACITÉETLARIGUEUR
Nous distinguerons trois types de situations qui appellent des processus de
validation,voirelaproductionde preuves. Ces situations peuvent être
caractériséesparlafonctiondespreuvesdanschacuned'elles:
‐ preuvespourdécider
‐ preuvespourconvaincre
‐ preuvespoursavoir
II est clair qu'il ne s'agit pas là d'une partition. «Savoir», peut être compris
commedéciderdelavaleurdevéritéd'unepropositionet«décider»peutêtrela

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage11/33
source d'un savoir nouveau. Ce qui, pour nous, sépare effectivementcesdeux
fonctions(«décider»,«savoir»)c'estquelapremières'insèredansl'action,dans
le fonctionnement du praticien, alors que la seconde est un fonctionnement de
théoricien.Du pointderuedes situationsdidactiques,ilcorrespondraàcesdeux
fonctions,deuxtypesdecontratdidactique.
Danslepremiercasladévolutionduproblèmepasseparl'entréedesélèvesdans
unefictionou dansunjeudont ils acceptentd'êtrelesprotagonistes.Ce typede
situationparaitparticulièrementbienadaptéàl'ÉcoleÉlémentaire,carlejeuestà
partentièreunepratiquedesenfantsàl'extérieurmêmedel'école.
Danslesecondcasladévolutionduproblèmepasseparl'adhésiondes élèves à
unepositionthéorique.Onpeutchercherà noueruntelcontratàl'Université,et
appeler sur le désir de certitude la mise en œuvre de processus de validation
(l'étudiant reconnaissant l'Université comme le lieu où est pris en charge la
constructiondesesconnaissances).Toutefoiscetypedecontratpeutencoreêtre
difficile à nouer au nom des raisons de la pratique, particulièrement lorsque les
étudessontfinaliséesprofessionnellementetquelesétudiantssontplusattachés
à l'acquisition de savoir‐faire qu'à celle de savoirs qui leur apparaissent bien
«théoriques».
En France, la classe de quatrième offre actuellement, en géométrie, un bon
exemple de ce passage du pratique au théorique. La marque en est justement
l’exigence de la production de preuves (démonstrations). La rupture entre
géométriepratique(celledelarègleetducompas, delaproductiondefigure)et
lagéométrie (déductive) n'est en effet passeulementcelled'un changement de
statutépistémologique,maissurtoutcelled'un changementdecontratcommele
montrebienletravaildeChevallardetTonnellesur«évidenceetdémonstration»
(Tonnelle 1982). L'enquête qu'ils ont conduite sur la géométrie en fin de
cinquièmeetenfindequatrième,montrequedelieudutracéprécisdesfigures
la géométrie devient le lieu de l'étude des figures. Cetteruptureesttrès
clairementidentifiabledanslesprogrammesscolaires.
Cechangementdecontratsemanifesteparlechangement destatutde l'activité
mathématique,sonchangement de fonction. D'élève‐praticien,toutorientévers
lamaitrise d'unsavoir‐faire,onpasseàl'élève‐théoriciendont lajustificationde
l'activitéestcelledeconnaître.C'estaunomdelaconnaissancequel'évidenceest
àrejeterpourfonder unevéritéetnonaunomdelapratique.IIfautpasserd'un
lieuoùle critère est celui de l'efficacité,àunautre où le critère est celui dela
rigueur:larigueurcommefinensoiestétrangèreàlapratique,c'est une
préoccupationdesavant.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage12/33
PREUVEPRAGMATIQUEETPREUVEINTELLECTUELLE
Laprised'unedécisionestlégitiméeparl'affirmationdesoncaractèrenécessaire,
elle se distingue d'autres décisions possibles par son adéquation et sa validité.
Aussi le processus de validation, qu'il s'accomplisse ou non dans l'explicitation
d'une preuve, est fondé sur une analyse du pour etdu contre, sur la prise en
charge de contradictions potentielles. Par là ce processus est essentiellement
dialectique.Cefaitestencoreplusévidentdansuncontextededébatdanslejeu
despreuvesetdesréfutations.Horsducontextesociall'élaborationd'unepreuve
passeparuneanalysecritiqueetdoncrelèvedelamêmedialectique:unepreuve
rigoureuse et définitive est une preuve qui ne sera pas réfutée. Voire, pour
certains,unepreuvequineseraitpasréfutable.
L'accèspossibleounonàl'expérienceconstitueunecaractéristiquedelasituation
qui va jouer un rôle central dans le fonctionnement de cette dialectiquede la
validation.Lamiseàexécutiond'unedécision,ou laréalisationducontenud'une
affirmation, permet ce que nous appellerons des validations pragmatiques de la
décision,oudespreuvespragmatiqueslorsqu'ellessonteffectuéesparl'élèvelui‐
mêmepour établirlavaliditéd'uneproposition.Lorsquecetaccèsàlaréalisation
n'est pas possible alors les validations sont nécessairement intellectuelles. La
production de ces preuves intellectuelles requiert notamment l'expression
langagièredesobjetssurlesquellesellesportentetdeleursrelations.
Lanaturemêmedeladialectiqueassociéeàcesdeuxtypesdepreuves est
fondamentalementdifférente.Enparticulierlacontradictionapportéeparlesfaits
n'a pas le même statut que celle apportée par le discours, même si celui‐ci
consiste à invoquer les faits. Quant aux preuves elles‐mêmes, elles n'établissent
pasdelamêmefaçonlespropositionsqu'ellessoutiennent:
‐ lapreuvepragmatiqueesthypothéquéeparlasingularitédel'événement
qui la constitue, il faut en accepter le caractère générique. Elle est de
plus, tributaire d'un contingent matériel : outils imprécis, défaut de
fonctionnement;
‐ la preuve intellectuelle mobilise une signification contre une autre, une
pertinencecontreuneautre,unerationalitécontreuneautre.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage13/33
LAPLACEDU«SUJET‐CONNAISSANT»
INTRODUCTION
Une fois réunies les conditions les plus favorables à la mise en œuvre d'une
démarche de validation, ou à la production de preuves, nous pouvons observer
chezlesélèves(maisaussidansledéveloppementhistorique),quecesprocessus,
oulespreuvesproduites,sontdenaturestrèsdiverses.
À l’évidence les élèves ne produisent pas d'emblée des démonstrations. En
revanche d'autres types de preuves sont identifiables que l'on peut notamment
distinguer par leurs caractéristiques langagières, en fait directement liées à la
façondontsontrepéréslesopérationsetlesconceptsàl’œuvredanslarésolution
duproblème.
CARACTÉRISTIQUESLANGAGIÈRESDESPREUVES.
Lespreuvesdupraticiensontd'abordpragmatiques.Elless'ancrentdanslesfaits,
dansl'action.Ellessefondentsurdesthéorèmes‐en‐actequin'ontpasétéprouvés
maiséprouvésparlapratique.
La communication de ces preuves se fait par ostension. Les opérations et les
conceptsqu'ellesmobilisentsontagis:«lapreuve?..,çamarche!».Celanesignifie
paspourautantl'absencedetoutlangage,maisiln'estpasicil'outilfondamental
d'expression de la connaissance. Celle‐ci est attestée par l’action et non par le
discours.
Cetétatcaractériselespremiersmomentsdelagenèsed'uneconnaissance
(notamment au sens de Piaget) dans lesquels les conceptions desélèves
fonctionnent comme des modèles implicites, modèles pour l’action, dans la
résolutiondeproblèmes.
Onpeutchercheràempêchercerecoursàlapratiquepardescontraintesdiverses
:lesfigurestropgrandesdanslecasdusymétriseurdeGras(1983),ouenmettant
les individus dans une situation de débat où les éléments constitutifs de la
validation doivent être formulés (phase finale de « la course à 20 », Brousseau
1975).Maiscedétachementdupragmatiquenevapasdesoi:la pratique
interditepeutêtre évoquée et le discourspeutrestertrèsprèsdeceque l'élève
(oulepraticien)avécu.Ils'exprimeradanslelangagedelafamiliarité:

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage14/33
langagequineconnaît:«quelescasparticuliersetlesdétailsdel'intérêtpratique
oudelacuriositéanecdotique,parlanttoujoursparnomspropresdepersonnesou
delieux,etignorant,saufpourcomblerlestempsmorts,lesgénéralitésvagueset
lesexplicationsadhocquisont de mise avec les étrangers, ce langage, que l'on
n'adressepasau premier venu passe sous silence tout ce qui vasansdireparce
celavadesoi»
(Bourdieu1980p.153)
L'actionexplicitéeparcelangageportelamarquedutempsetde la durée, la
marquedeceluiquiagitetducontextedeson action. Mais ce langage exige un
relatif pas de côté pour que l'action puisse être décrite et expliquée, et donc
prennentplaceicilespremiersmomentsd'uneconstructioncognitive.
On se trouve à la frontière des preuves pragmatiques et des preuves
intellectuelles,lepassagepouvantsefaireparlaprisedeconscienceducaractère
génériquedela situationenvisagée.Envoici unexemple(tiréde Balacheff1978)
oùlecaractèregénériquedel'exempleestattesté,plaçantlapreuveàunniveau
supérieuràceluiquicorrespondraitàl'usaged'unsimplecasparticulier(Fig.1).

Fig.1.Transcriptiondutexteenannexe.
Ledéveloppementsurleterraindespreuvesintellectuellesexigeunchangement
de position; le locuteur doit prendre une position de théoricien dans laquelle la
connaissance (jusque‐là agie) devient l'objet de réflexions, de discours, voire de
débats.
Pourparveniràcequenousreconnaîtrionspourunedémonstration,lelangagede
lafamiliaritéestinsuffisant.Ilfautquel'élèveaccèdeàunlangagefonctionnelqui
ne soit plus seulement un moyen de description des actions ou des opérations,
maisunvéritableoutildecalculintellectuel.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage15/33
Le passage du langage de la familiarité au langage fonctionnel requiert en
particulier:
‐ une décontextualisation, abandon de l'objet actuel, lieu effectif de la
réalisation des actions, pour accéder à la classe des objets
indépendamment des circonstances annexes ou anecdotiques de leur
apparition;
‐ une dépersonnalisation, en détachant l'action de celui qui en a été
l'acteuretdontellesedoitd'êtreindépendante;
‐ unedétemporalisation,dégageantlesopérationsdeleurdateetdeleur
durée anecdotique ; ce processus est celui fondamental du passage de
l'universdesactionsàceluidesrelationsetdesopérations.
Les langages fonctionnels se caractérisent par l'introduction du symbolisme de
façonplusoumoinsimportante.Auniveauleplusélevéontrouveraitunelangue
strictement symbolique. En fait la pratique mathématique, pour des raisons
d'économie, recourt à une association de la langue naturelle etdelalangue
symbolique, c'est le cas du formalisme naïf de Bourbaki. Cette association
correspond en fait à une construction et à un fonctionnement linguistique
spécifiques(Laborde1982).
NATUREETSTATUTDELACONNAISSANCE
L'évolution des preuves pragmatiques vers les preuves intellectuelles et la
démonstration, n'est pas seulement marquée par une évolution des
caractéristiques langagières, mais aussi par celle du statut etdelanaturedela
connaissance. Les preuves pragmatiques s'appuient sur des savoirs pratiques
essentiellementengagésdans l'action,lespreuvesintellectuellesdemandentque
cesconnaissancespuissentêtreprisescommeobjetderéflexionoudedébat.Cela
correspond à une évolution classiquement décrite par la psychologie cognitive
genevoise.
L'élaboration de démonstrations requiert de plus un statut particulier de ces
connaissances. Elles doivent être constituées en une véritable théorie et être
reconnues comme telle, c'est‐à‐dire acceptée par une communauté qui ne
s'autorise plus à aller chercher où elle veut les arguments qu'elle utilise. La
démonstration en mathématique s'appuie sur un corps de connaissances
fortementinstitutionnalisé,ensemble de définitions, de théorèmes, derèglesde
déduction, dont la validité est socialement partagée. Ce principe est un des
fondements de la rigueur mathématique, son appropriation par les élèves va
requérirune constructioncognitiveparticulièrequi neconsistepasseulementen
un«marquage»desconnaissancesenquestion.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage16/33
Lepassagedespreuvespragmatiques aux preuves intellectuelles, notamment la
démonstration,reposeainsisurtroispôlesquiinteragissentfortement:
‐ lepôledesconnaissances:nature desconnaissancesdesélèves(ausens
deVergnaud1984),
‐ lepôleslangagier,oudelaformulation,
‐ lepôles delavalidation, oudestypes derationalitéqui sous‐tendentles
preuvesproduites.
Le tableau suivant résume la correspondance entre ces différents pôles en
référenceauxhiérarchiesqu'ilsrecouvrent5:
naturedes
conceptions
formulation validation
Pratiques
(savoir‐faire)
Ostension

preuve
pragmatique
(théorème‐en‐acte)
langagedela
familiarité
Connaissance
commeobjet
(savoir) langage
fonctionnel
preuves
intellectuelles
Connaissance
théoriqueet
reconnue(savoir
scientifique)
formalismenaïf démonstration
REMARQUESSURLECONCEPTDETHÉORÈME‐EN‐ACTE
Leconceptdethéorème‐en‐actea étéintroduitpourdésigner«lespropriétésdes
relations saisies et utilisées par le sujet en situation de résolution de problèmes,
étantentenduquecelanesignifiepaspourautantqu'ilestcapabledelesexpliciter
ou de les justifier» (Vergnaud 1981). L'utilisation du terme de théorème fait
référenceà uncalculsur desreprésentations,à descompositionsdéductivesetà
desinférences;ouencoreelleévoquelefonctionnementchezl'élève,dethéories
implicites. L'argument avancé par Vergnaud pour justifier la dénomination de
théorème‐en‐acteestque«laplupartdesopérationsdepenséeimpliquéesdans
lesproblèmes[...]peuventêtredécritespardesthéorèmes»(Vergnaud1983).On
voitbien tout le partique l'on peut tirerd'un tel concept pourune étude de la

5Nos premières tentatives pour présenter ainsi ces dépendances, partent d'une
présentationfaiteparBrousseau(1981p.114)pourorganiserlescomportementsobservés
selonletypedesituationetletypedeconnaissance.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage17/33
genèsedesconnaissancesmathématiques,cependantsonutilisationrisqued'être
parfoisunpeurapideetdecéderàl'attractiondelamétaphore.
Si ce qui est observé chez l'élève est de l'ordre du théorème‐en‐acte;alorsla
réfutationdecethéorèmequeconstitueunecontradictiondevraitprovoquerune
remiseenquestion.Cen'estpastoujourslecas,
‐ d'une part les actions du sujet ne sont pas nécessairement sousun
contrôledevalidation,commeparexempledanslecasdelaséquence
suivantedecalculsconduitedefaçonautomatiqueparunélèvede15ans
manifestant de grandes difficultés en calcul algébrique (il s'agit d'une
observationréaliséelorsd'unentretienclinique):
(Z+5)2‐7<0 (Z‐5)(Z+5)‐7<0 (Z‐5)(Z‐2)<0
(Mathieu19‐12‐83)
C'estencorelecas,parexemple,pour«leproblèmedesdeuxcercleset
durectangle»(ils'agitdetrouver une configuration de ces trois figures
réalisant le maximum de points d'intersection) étudié par Audibert
(1982), lorsque des élèves recherchent le placement d'un cercle par
tâtonnement perceptif (il n'y a là que des corrections de perturbations
relevéessurlerésultatdutracé).
‐ d'autrepartcesactionspeuventnepasêtreassociéesàuneanticipation,
ellessontprésentesparcequesubstantiellementattachéesàlasituation.
Parexempledans le cas de la détermination du périmètred'untriangle
tronqué(voirlafigureci‐dessous)certainsélèvestracentsuccessivement
desdroitesremarquablesdutriangle,d'autresfontdesmesuresdiverses
puisdesopérationssurlesnombresobtenus...«pourvoir».

Fig.2

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage18/33
Il nous semble qu'il faut donc, pour attribuer à un observable de l'action des
élèves le label de théorème‐en‐acte, ajouter une exigence: celle d'identifier les
conditionsdefonctionnementdesopérationsdepenséeenquestion.
Considéronsleschémasuivant:

Nousproposonsdedistinguer:
(1)lefonctionnementqui,centrésurlecouplesituation‐action,occultela
priseen charge de l'effetattendu et celle des conditionsde l'action. Le
sujetnes'assurepasdecequesonactionestlégitimenidece que son
résultatseraceluiqu'ilsouhaite;
(2) le fonctionnement prenant en compte les conditions de validité de
l'actionetdesonadéquationauxeffetsattendus.Danscecasseulement
ilnousparaitpertinentdeparlerdethéorème‐en‐acte.
Dans le premier cas nous parlerons de règles d'action dont le fonctionnement
relèveessentiellementdumodestimulus‐réponse.L'échecdeleurmiseenœuvre
n'estpas repéréparl'élèvequinedisposepas,ounemobilise pas,d'instruments
de validation. En particulier, la confrontation effet‐obtenu / effet‐recherché n'a
paslieuparcequel'anticipationelle‐mêmen'apaslieu.
Mais lorsque la prise de conscience de cet échec survient, par exemple sous la
pression des faits, le premier progrès décisif sera de poser le problème des
conditionsdevaliditédel'actionoudesonadéquation.C'estcetévénementqui
initieralagenèse du théorème‐en‐acte en engageant la construction du prédicat
associéàl'action.
Parailleurslarègled'actionqui seconstitueordinairementdanslapratique,peut
en fait être la forme dégénérée d'un théorème(‐en‐acte). En effet la pratique
routinièred'exercicesconduitàinstituerenhabitudel'accomplissement de

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage19/33
certaines opérations mathématiques et par économie entraine l'occultation des
conditions de validité et celle de la prise en charge de la validation du résultat
obtenu. Cette dégénérescence est le plus souvent associée à laconstitution des
sphèresdepratique.
PREUVESETREFUTATIONS
TYPESDEPREUVES
Des preuves pragmatiques aux preuves intellectuelles on peut reconnaître
plusieurs types qui se différencient à la fois par le statut des connaissances
engagéesetparlanaturedelarationalitésous‐jacente.
L'empirisme naïfestdanscettehiérarchielepremiertypedepreuvequenous
rencontrons. Il consiste à tirer de l'observation d'un petit nombre de cas la
certitudedelavéritéd'uneassertion,envoiciunexempletirédel'étudequenous
avonsconduitesurleproblèmedudénombrementdesdiagonalesd'unpolygone6:
Lionel et Laurent ont dénombré cinq diagonales dans un pentagone.Aprèsune
vérificationdecedénombrementsurunenouvellereprésentationdupentagone,
ilsrelisentl'énoncéduproblèmepuisconcluent:
Laurent: « [...] calculer le nombre des ... ben, oui, c'est ...y'a5sommetset5
diagonales.»Lionel:«ouaisetonl'aprouvé.»
Ilsremettentàl'observateurunmessagedécrivantleurdénombrement et son
résultat. Celui‐ci leur propose un hexagone. Lionel affirme alors, avec
l'assentimentdeLaurent:«Ben,yaura6diagonales.»
L'expérience cruciale est un procédé de validation d'une assertion dans lequel
l'individu pose explicitement le problème de la généralisation etlerésouten
pariantsurla réalisationd'uncasqu'il reconnaisse pouraussipeuparticulierque
possible.Ainsidanslecasdudénombrementdesdiagonalesd'unpolygonec'estle
casdecetteélèvequiproposeàproposdeleurconjecture:«on va faire une
immensefigurepourvérifier»(Lauraref.198);oulecasdecetteélèvequiàla

6CeproblèmeestactuellementétudiéencollaborationavecuneéquipedeI'IREMdeLyon
(Arsacetal.)danslecadred'unerecherchesurlesconditions didactiques d'un
enseignementde la démonstration.Letriangle esttracésurune feuille de papier,comme
celaestindiquésurlafigure.Lesélèvesdoiventdécrireuneprocédurepermettantlecalcul
dupérimètred'untriangledansunetellesituationsans recourir au prolongement de ses
côtés.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage20/33
suited'undifférendavecsonpartenairepropose:«essaieunefoisavec15etpuis
si ça marche, ben ça veut dire qu'ça marche avec les autres» (Nadine ref. 91).
Ainsil'expérience crucialeconsisteà provoquerunévénementsurlequel«onne
sefaitpasdecadeau»enaffirmantque«sicelamarche,alors cela marchera
toujours ». Cette démarche qui reste fondamentalement empirique se distingue
del'empirismenaïfence que le problèmedelagénéralisationesteffectivement
posé et que l'élève se donne un moyen de décider autrement que
péremptoirement.
L'exemple générique consiste en l'explicitation des raisons de la validité d'une
assertion par la réalisation d'opérations ou de transformations sur un objet
présentnonpour lui‐même, maisentantquereprésentant caractéristiqued'une
classe d'individus. La formulation dégage les propriétés caractéristiques et les
structuresd'unefamilleenrestantattachéeaunompropreetàl’exhibitiondel'un
deses représentants.Dansl'exemplesuivant(Fig.3),LioneletLaurentexpriment
d'abordleurconjectureenutilisant l'hexagone qui a dans leurprojetunevaleur
d'exemple générique que souligne le «de même», puis ils évoluent vers une
formulationquisedégagedesmarquesduparticulier:

Fig.3.Transcriptiondutexteenannexe.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage21/33

L'expérience mentaleinvoquel'action en l'intériorisant et en ladétachantdesa
réalisationsurun représentant particulier. Elle reste marquéeparlatemporalité
anecdotique, mais les opérations et les relations fondatrices de la preuve sont
désignéesautrementqueparlerésultatdeleurmiseenœuvre;cequiétaitlecas
pourl'exemplegénérique.LecasdeChristopheetBertrandenestuneillustration
(Fig.4).

Fig.4.Transcriptiondutexteenannexe.
C'est là, quelque part entre l'exemple générique et l'expérience mentale que
s'opère le passage des preuves pragmatiques aux preuves intellectuelles. Une
marquedecepassageestuneévolutiondesmoyenslangagiersmisenœuvre.
Pour ce qui concerne les mathématiques, de la preuve‐expériencementaleàla
démonstrationonpeutpenserqu'ilexistedifférentstypesdepreuve (commepar
exemplelapreuve‐analytiqueausensdeLakatos),ilsdevraientsedifférencierpar
leurs niveaux de décontextualisation, de détemporalisation et de
dépersonnalisation évoqués plus haut, ainsi que par leur niveau de formalisme
(c'est‐à‐dire par la part respectivedelalanguenaturelleetdu langage
symbolique).Cettetypologieresteàfaire.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage22/33
STATUTETCONSÉQUENCESDESRÉFUTATIONS
Ladialectiquede lavalidationestune dialectiquedespreuvesetdesréfutations.
La perception la plus répandue du contre‐exemple, dans la classe de
mathématique,estcelled'unecatastrophedontlaconséquenceestl'abandonpur
etsimpledespositionsconquiseslorsdelarésolutionduproblème.L'universdela
classedemathématiqueserévèledecepointdevueplusmanichéen que
dialectique. L'analyse de l'activité du mathématicien, ou de la communauté des
mathématiciens,commenouslaprésenteparexempleLakatos,faitapparaitreun
fonctionnementbiendifférentetsûrementmoinsradical.
Prenant pour base l'analyse que propose Imre Lakatos, on peut différencier les
conséquences d'un contre‐exemple suivant qu'il rejaillit sur laconjecture,sursa
preuve,oubienencoresurlesconnaissancesouleursfondementsrationnels.Ilse
peutmêmequeledépassementdelacontradictionrévéléeparlecontre‐exemple
passeparlacritiqueetlerejetducontre‐exemplelui‐même.Leschémaci‐dessous
explicitantlaconjectureetsapreuvecommeleproduitconjointdesconnaissances
et de la rationalité d'un individu (traits pleins), résume les principales
conséquences envisageables d'un contre‐exemple (traits tirés); telles que
l'amendement de la conjecture, la reprise d'une définition, le rejet du contre‐
exemple,etc.:

Ceschémaal'avantagedelasimplicité,iln'estcependantqu'uneévocationdela
multiplicité des retombées possibles d'un contre‐exemple, entrer dans plus de
détails dépasserait le cadre du présent texte. Nous y reviendrons ailleurs. Ce
schéma nous suffira pour mettre en évidence un problème à notresens
fondamental et jusqu'ici occulté par les analyses didactiques (aussi bien que
psychologiques).
Le caractère dialectique du développement des connaissances mathématiques,
que Lakatos met en évidence pour ce qui concerne la phylogenèse etque nous

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage23/33
connaissions déjà pour l'ontogenèse, a pour conséquence un problème qu'il ne
soulignepasetquinepouvaitéchapperaudidacticien:qu'est cequidéterminela
légitimitéduchoixd'uneréponseàuncontre‐exemple?
Les mathématiciens auxquels s'intéresseLakatossemblentbientous adhérer au
mêmefondderationalité.S'agissantd'élèvesiln'enestplusdemême:empirisme
naïfou expérience cruciale peuvent fonder des preuveset constituer les racines
légitimes d'une conviction. Si donc nous voulons nous appuyer sur une
contradiction révélée à l'élève pour obtenir que soient reconsidérés les
fondements rationnels de sa conjecture et de sa preuve prétendue, comment
éviterqueledébatportefinalementsurlalégitimitéducontre‐exempleousurun
amendementàlaconjecture;cequipeutapparaitretoutàfaitlégitimeàl'élève,
puisqu'aprèstoutcettemêmerationalitéluisuffitpourfairefaceàdenombreuses
situationspratiquesqu'ilrencontreparailleurs.
Commentéviterquefaceàuncontre‐exemplequeluiproduitl'enseignant,l'élève
nedéclarequ'ils'agitlàd'uncasparticulieralorsquesaconjectureestfondéesur
unempirismenaïf ?Ceproblèmegarde toutesonimportanceà desniveauxplus
avancés de la scolarité où l'étudiant discutera la légitimité d'un contre‐exemple
alors que, pour nous, ce qui est en question est la conception qu'il a de la
connaissanceenjeu.
Fonderl'apprentissage,c'est‐à‐direlaconceptiondessituationsdidactiques,surla
prise de conscience de contradictions par les élèves, sur une dialectique de la
validation, nécessite que soit prise en charge cette incertitude sur la nature du
dépassement d'une contradiction. S'il est assez clair qu'il n'yapasde
déterminismestrictementcognitif,quelestalorslerôledescaractéristiquesdela
situation? Les interventions de l'enseignant et sa gestion du contrat didactique
serontsûrement desélémentsdéterminantspourquesoitjugé pertinentefaceà
uncontre‐exemplelaremiseenquestiondesconnaissances plutôt que celle des
fondements rationnels de la conjecture, ou encore la remise en question du
contre‐exemplelui‐mêmeplutôtquecelledelapreuve.
Lagammedesréactionspossiblesdesélèvesfaceàuncontre‐exemple est
effectivement très étendue. Nous avons retrouvé à l'occasion d'une recherche
expérimentale sur cette question7 (à propos du dénombrement des diagonales
d'unpolygone)l'essentieldescomportementsrapportésparLakatosdanslecadre
desonanalysehistorique.Nousendonnonsci‐dessousquelquesexemples.

7Les exemples produits ici sont issus des observations menées dans le cadre d'une
recherchesur les processusdepreuveset les contre‐exemples.Le compte rendudecette
rechercheestencoursdepublication.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage24/33
Naïma et Valérieavancent, sur la base de deux exemples, la conjecture que le
nombre de diagonales est le nombre de sommets du polygone divisé par deux;
confrontéesàunpremiercontre‐exemple,ellesexplicitent unedéfinitionqu'elles
fontévolueraufuretàmesuredelarencontredenouveauxcas:

Fig.5.Transcriptiondutexteenannexe.
À chaque contre‐exemple une condition ad hoc est ajoutée à la définition, qui
permetdel'écarterde laclassedesobjetsconcernés parlaconjecture.Ilestclair
autermedecetteobservationquelesdeuxélèvesjouentaujeu:chaquefoisqu'il
mecontredit,j'ajouteunecondition.Qu'ellessontlesissuesd'unetellesituation?
MartineetLauraproposentlasolutionsuivante:

Fig.6.Transcriptiondutexteenannexe.
Le premier contre‐exemple, un polygone dont le dessin présente trois sommets
alignés,est écartéparles élèvesquiavertissentleursinterlocuteursdecequ'une

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage25/33
telle configuration peut se présenter (voir leur texte ci‐dessous). Le contre‐
exemple suivant est considéré comme le représentant d'un sous‐ensemble
particulier de polygones qui est retiré du domaine de validité de la conjecture
initiale.Puiscelle‐ciestaménagéeenproposantuncalculspécifique:

Fig.7.Transcriptiondutexteenannexe.
Blandine et Isabelle:leurconjectureinitialeprésentedéjàlaparticularitéde
proposer un traitement différent pour deux classes de polygones. Cela provient
descontradictionsrencontréesdanslecoursdelarésolutiondu problème.Pour
faire face au premier contre‐exemple qui leur est opposé, elles aménagent leur
conjecture en lui incorporant une condition qui écarte la classe des objets
correspondants:«silepolygoneestconvexe...»,lecasdutriangleestenrevanche
traitécommeuncasparticulieràécarter:

Fig.8.Transcriptiondutexteenannexe.
Assez souvent nous avons observé que le fait que le triangle n'ait pas de
diagonalesconduitànepasleconsidérercommeunpolygone.Cepointdevue,

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage26/33
tout à fait concevable, a par ailleurs pu être rencontré dans certains manuels
scolaires.
CONCLUSION:DEUXPROBLEMESDIDACTIQUES
STATUTSCOLAIREDELAPREUVE
Lapratiquedeladémonstrationexigeàlafoisunerationalitéetunétatspécifique
desconnaissances.De plus cela signifiel'adhésionàuneproblématiquequin'est
pluscelledel'efficacité(exigencedelapratique)maiscelledelarigueur(exigence
théorique).
Cetteanalysemet en lumière une origineprobabledel'échecdel’enseignement
deladémonstrationdanslesclassesfrançaisesdequatrième.Ondénoncesouvent
lerôlejouéparuneruptureducontratdidactiquelorsdupassagedelaclassede
cinquième à celle de quatrième, on peut alors penser qu'une «bonne»
négociationdececontratpermettraitderésoudreceproblème.Maislesrelations
quenousavonsmontrées entre connaissance, formulationetvalidation(Tableau
p.16) mettent en évidence que le problème ne peut être posé uniquement en
terme de contrat ou d'analyse de la situation. La nature et le statut des
connaissancesengagéesjouentunrôleessentiel.
En quatrième, où il apparait comme objectif explicite, l'enseignement de la
démonstrationapourterrainprivilégiélagéométrie.Maisparcequelagéométrie
ensixièmeetencinquièmeestd'abordunegéométriedel'observation,lanature
des connaissances ainsi construites ne permettra pas de satisfaire d'emblée les
exigencespropresàladémonstration.Quellequesoit laqualitédelanégociation
d'un nouveau contrat didactique, il ne pourra y avoir un simplepassagedes
preuvespragmatiquesetfondamentalementempiriques,valides jusqu'alors, à la
démonstration. Ce passage relève d'une construction sur le terrain à la fois des
connaissancesetdelarationalité. Commetouteconstructioncognitiveilrequiert
uneduréepeucompatibleaveclesambitionsactuellesdesprogrammes.
Très tôt, disons dès la sixième, doit être posé le problème de l'évolution des
fondementsrationnels del'activitémathématique desélèvesenmême temps,et
avec le même statut, que celui de la construction des savoirs. L'exigence de
preuvesdoitdoncpouvoirtrouversaplacedèslespratiquesmathématiques des
premièresclasses, enacceptantquesoit reconnuepourpreuvesautre choseque
desdémonstrationsausensstrict.Ilfaudrapourcelaprendreenconsidération la
naturedela rationalité des élèves et lesconditionsdesonévolution,mais aussi

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prendreenchargel'analysedidactiquedescritèresacceptésdepreuvequidoivent
pouvoirévoluerdanslecoursdelascolarité.
CONTRAINTESDIDACTIQUES
Toute suppression, tout dépassement d'une contradiction n'est pas
nécessairement un progrès de la connaissance. L'accord sur ce qui pourra
constituer un dépassement acceptable revient en fait à un consensus sur les
critères de validation, et donc sur les règles du débat de validation. Avant de
considérer ce problème sur le terrain de la didactique, rappelons l’exemple
historiquesuivantdudébatentreDarbouxetHouël8surlavaliditéd'unénoncéde
lathéoriedesfonctions:
«Votrelettren'estqu'unaveuetcelamesuffit.Vousn'avezrienàobjecter,c'estévident.Du
reste,je vous ferairemarquerquevous meparleztoujoursde cesfonctionsdrôlatiques.Je
ne les considère pas plus que vous. Mais il faut séparer le bon grain de l'ivraie par des
caractèresprécis,etpourcelailnefautadmettrequecequiestcontenuclairementdansla
définitiond'unechose.Etbieniln'estpasévident qu'unefonctioncontinue ait une valeur
maxima qu'elle atteigne effectivement et voyez les conséquences qu'a votre manière de
procéder»(30Avril187(2))
«Touteslesfonctionsquimettentendéfautvosthéorèmessontdesfonctionsdontvousne
voulez pas vous occuper. Cela ne me parait pas une raison car si votre raisonneme nt est
exact,il doit reposersurtelles hypothèsesquiécartentd'elles‐mêmes unefoisadmises ces
fonctionsbizarresauxquellesvousnevoulezpasavoiràfaire»(24Septembre1872)
«Remarquez que votre point de vue revient à dire: j'exclus toutes les fonctions pour
lesquellesmadémonstrationestinexacte.Alorsà quoi bon faire une démonstration.»(23
Décembre1873)
«[...]pourmettrevosraisonnementendéfautj'ailedroitdeprendretoutefonctionpourvu
qu'ellesatisfasse, non pas aux conditions que vous énoncezsans vous en servir, mais aux
seulesconditionsemployéesdansvosraisonnements.
[...] j'ai le droit de prendre tous les exemples possibles pourvu qu'ils satisfassent aux
conditions de vos raisonnements et je soupçonne fort que votre définition d'exemples
bizarres, saugrenus, coïncide avec la suivante, gênants, contraires au théorème.» (19
Février1874)
«[...]Jevousrattraperaissurces fonctions saugrenues et vous prouverais que ce ne n'est
pasd'ellesqu'ilestquestionmaisdeceprincipedelogique.

8Lacorrespondance1872‐1882 de DarbouxetHouëlest publiée enannexedeGispert H.
(1983)«Sur lesfondementsdel'analyseen France»,Archivefor HistoryofExact Sciences
28‐1,37‐106.

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage28/33
Touteslesfoisqu'unraisonnementAconduitàuneconclusionBsansécarterexpressément
unehypothèseH(voilàlehic)et que B'fondéesur HestcontraireàBleraisonnementest
fauxouincomplet»(probablement1875)
Etenfin:
«Vousmedemandezsivotredémonstrationdonnéep.245‐246devotrepremiervolume[...]
estrigoureuse.[...]Votre démonstrations'applique certainementàtouteslesfonctionsque
vousavezconsidéréesdansvotreouvrage.»(11Février1882)
Cetexempled'undébatentredeuxmathématiciens,quisedéroulesurprèsde10
ans,soulignelacomplexitéduproblèmequinousoccupe.Siuncontre‐exemplene
signifie pas le rejet pur et simple d'une conjecture, la légitimitédesvoies
empruntéespourdépasserlacontradictionqu'ilattesteneva pasdesoi.Ellese
trouve en fait au centre du débat de validation et de la remise en question
éventuelledescritèresdevalidationeux‐mêmes.
Mais au fond, ce qui sépare Darboux et Houël ne nous paraît pasêtreduseul
ressortde lalogique.Mêmepourcessavants,leproblèmeposéest unproblème
de pratique  qu'a‐t‐on intérêt à décider du point de vue de la pratique du
théoricien?Va‐t‐onbouleverseruncorpsdeconnaissancespour quelques
difficultésrencontrées?Ilpeuts'avérerplusintéressant(pluséconomique)deles
absorber sous la forme de quelques hypothèses supplémentaires àajouterau
théorème. Pourtant Houël est sûrement autant que Darboux, soucieux d'être
rigoureux.
Lecontextescolaireestbiendifférent.Lesélèvesn'yontpaslalibertéduchoix
d'uneissueà une contradiction. Les connaissances mathématiquespréexistentà
tout événement qui pourrait avoir lieu dans la classe. II en est de même des
critèresdevaliditéd'unénoncé.
L'épistémologie scolaire, fondamentalement platonicienne, marque ainsi des
limites qui ne peuvent être franchies entre les conditions de l'activité du
mathématicienetcellesdel'activitédel'élève.Ilrevientàl'enseignantdegarantir
uneévolutiondesconnaissancesdel'élèveetnotammentdesarationalité en
conformité avec ces références. Le fait qu'une explication constitue une preuve
peut faire l'objet d'un consensus dans la classe mais cela est insuffisant,
l'enseignantdoit s'assurerquececonsensus seréalisesurdesbasesacceptables.
Éventuellementildoittrouverlesmoyensd'agirpourfaireévoluerleschoses.IIse
heurtealorsàlacontradictiondegérerdessituationsassezisoléespour que les
élèves aient la responsabilité des décisions qu'ils prennent, mais assez
dépendantespourqu'ilpuisseintervenirsurlescritèresdecettedécision.

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Notreproblèmeestactuellementceluideladéterminationdesvariables
didactiques dont la manipulation permette un tel contrôle, et par ailleurs
d'analyser la nature et les voies d'un contrat didactique qui permettrait les
ingérencesdel'enseignantdansunprocessusde décisioninitialementdévoluaux
élèves.
Enfinseposeleproblèmedel'institutionnalisationquiestlemoyendefermerun
débat de validation. En effet si on peut concevoir que dans la pratique
professionnelle de la recherche en mathématiques une preuve soit une preuve
jusqu'àpreuveducontraire,ilnousparaitdifficiledetenirunetellepositiondans
lasituationscolaire.Àunmomentouàunautrelesélèves,parcequ'«ils sontlà
pourapprendre»,ontbesoind'unegarantiesurlavaliditédeleursproductions,et
si des positions contradictoires existent dans la classe elles ne peuvent très
longtemps subsister ensemble. L'enseignant est amené à trancher, à donner un
statut à certains énoncés, certaines preuves, certaines interprétations, pour les
confirmeroulesrejeter.Leprocessusparlequelcelabelestdonnén'estpassans
conséquencesauplancognitif.
De plus, une fois la preuve acceptée, la validité d'un énoncé ne peut plus être
remise en question, il faudra pour s'intéresser à de nouvelles preuves trouver
d'autresraisons.L'acceptation parl'enseignantd'unepreuve qui nepourraitêtre
reconnue comme une démonstration pose alors le problème didactique des
conditionsd'unerepriseultérieurequiseraitacceptablepourlesélèves.

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ANNEXE
Transcriptionsdesmanuscritsd'élèvesdonnésenillustration.
Texte de la Figure 1, nous ne transcrivons ici que la partie du texte rédigée en
languenaturelle:
Ilyauratoujours10+10//
J'ai choisi 2 et il s'annule/donc si je choisi un autre/nombre entre 1 et 10
il/s'annuleratoujoursetse/seratoujourségalà20//
TextedelaFigure3:
Dansunpolygoneà6sommets,il part3/diagonales parsommetsdoncilpart/18
diagonales; mais comme une/diagonale joint deux points: il/n'y a que 9
diagonales: 18 ÷ 2 = 9/et de même avec 7 sommets 8, 9, 10/11, ... etc//
alors à 7 sommets il partira 4 diagonales/par sommets//
àchaquefoisquel'onajoute/unsommet>auprécédentpolygone<onajouteune
diagonale/parsommets>auprécédentesdiagonales<ondivisepar/2lenombre
de toutes les diagonales/et on trouve le nombre de diagonale/du polygone et
pourtrouverlenombrede/diagonalespartantdechaquesommets/onsoustréau
nombre de/sommet, trois// mais pour les concaves on enleve encore/1
diagonale/
TextedelaFigure4:
En sachant le nombre de sommets d'un/polygone, il partira de chaque point,
le/nombredesommets‐(sesdeuxvoisins+lui‐même)//
il faudrait multiplier ce qu'on a trouvé par le nombre de sommets/(par chaque
sommet,partentlemêmenombredediagonales)//
MAIS,oncomptechaquediagonaledeuxfois//
Lenombredediagonalestrouvéestdoncàdiviserpardeuxeton/obtientunefois
chaquediagonale//
TextedelaFigure5:
Lespolygonessontdesfiguresayantun/nombrepairdesommets//
*ayanttoussescôtés/demêmelongueur//
*sescôtés/devantêtredisposés/encercle//
*d'unsommetne/partqu'unedroite//
TextedelaFigure6:
1ersommet:nbsdediagonnalles=nbsdesommet‐3//
2emesommet:nbsdediagonnalles=pareil//

BalacheffN.–1987‐ProcessusdepreuvesetsituationsdevalidationPage31/33
à partir du 3eme sommet: nbs de diagonnalles obtenu précédement/‐ 1
diagonnalle//
4eme sommet: nbs de diagonnalles obtenu précédement/‐ 1 diagonnale// ainsi
desuite//
‐àlafinonadditionnetouslesnbs de diagonnalle/obtenues à chaque sommet
pourtrouverlenbs/dediagonnaledupolygone//
TextedelaFigure7:
‐Ilsepeutqueparaccidentundiagonnal/passeen+de2sommets‐//
‐ lorsque la figure représente les diagonnalles/d'un parallélogramme/ou un
trapèzeonnetrouvequedeux/diagonales(voirschéma)//lesdiagonalessonten
pointillé//
TextedelaFigure8:
>silepolygoneestconvexe</‐ondiviselenombredesommetspar2//
‐sicenombreestimpaironretranche1aunombredessommetseton
divise/alorscenombrepar2//
casparticuliers:letriangle/quin'apasdediagonales//
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