Content uploaded by Luis Andrés Castillo B.
Author content
All content in this area was uploaded by Luis Andrés Castillo B. on Sep 22, 2017
Content may be subject to copyright.
Luis A. Castillo B. – Rafael E. Gutiérrez A. – Juan L. Prieto G.
luis.castillo@aprenderenred.com.ve –rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve –
juan.prieto@aprenderenred.com.ve
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, Centro de Estudios Matemáticos
y Físicos (CEMAFI) de la Universidad del Zulia, Venezuela.
Modalidad: Sesión de debate.
Simposio: Formación inicial y permanente de educadores.
Resumen
Quienes nos dedicamos a la formación de profesores de matemática vemos con
preocupación cómo éstos enfrentan dificultades para la comprensión y enseñanza de
algunos tópicos matemáticos fundamentales. Con el propósito de apoyarles a solventar
dicha situación, el siguiente trabajo describe una secuencia de análisis para
comprender los efectos geométricos provocados por la variación de los parámetros de
la función cuadrática en su representación gráfica, la cual es una parábola. En las
etapas de esta secuencia, los efectos experimentados por las familias de parábolas
concernientes a la expresión , que denominamos “deformación”,
“traslación” y “reflexión”, son descritos haciendo uso de tecnologías que permiten
visualizar, identificar y/o relacionar los cambios sufridos por las parábolas. La
implementación de la secuencia puede conducir a mejoras en la calidad del
razonamiento matemático de los docentes, colocándoles en condiciones favorables
para impartir la enseñanza en la Educación Media. De esta manera, se busca potenciar
los métodos de enseñanza de los profesores de matemática en Venezuela a través de
la integración de tecnologías en la dinámica escolar.
Palabras clave: Parámetro, función cuadrática, parábola, GeoGebra.
ANÁLISIS DE LOS EFECTOS RELACIONADOS CON LA VARIACIÓN DE LOS
PARÁMETROS EN LA FUNCIÓN CUADRÁTICA UTILIZANDO TECNOLOGÍAS
2
INTRODUCCIÓN Y OBJETIVO
En los últimos años se ha considerado un propósito de a prendizaje matemático
fundamental, para el nivel de Educación Media, el reconocer los efectos que producen
los cambios en los valores de los parámetros sobre las gráficas de las funciones de una
misma familia (NCTM, 2000). Para que los alumnos logren este aprendizaje, es
necesario que los profesores comprendan las consecuencias que produce la variación
de los parámetros de la expresión simbólica de una función sobre su gráfica y, además,
sean capaces de integrar eficientemente diversos recursos para este ti po de análisis en
su práctica. Una herramienta potente para esto es el GeoGebra, un software dinámico
de acceso libre, de código abierto, que combina en tiempo real las representaciones
gráficas y expresiones simbólicas de diversos objetos matemáticos, y que, en la
actualidad, está siendo utilizado por una comunidad importante de profe sores e
investigadores en el mundo (Diković, 2009; Hohenwarter, 2006).
Estudios realizados dan cuenta de una mejora en el razonamiento matemático del
alumno referido a las características y al comportamiento geométrico de las funciones
cuadráticas, como consecuencia de usar el GeoGebra en la clase (Darmawan & Iwan,
2011). Por esta razón, consideramos que el profesor debe aprender a integrar en su
práctica al GeoGebra, para analizar con sus alumnos las relaciones existentes entre la
variación de los parámetros en la función cuadrática y su representación gráfica. Una
forma de lograrlo, es mediante la participación del profesor en experiencias formativas
que aborden el estudio de la variación de los parámetros en la función cuadrática,
haciendo uso del GeoGebra, lo que conduce a mejores condiciones para la integración
de tecnologías en el aula.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, en este trabajo se describe una secuencia para
analizar los efectos provocados por tales variaciones, sobre una misma familia de
parábolas, utilizando como medio el GeoGebra. Por último, consideramos que el
docente, al transitar por esta secuencia, logrará desarrollar conocimiento, habilidades y
competencias en la enseñanza de la función cuadrática, utilizando recursos
tecnológicos.
3
CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS DEL DISEÑO
El diseño de la secuencia instruccional parte de considerar que la variación de los
parámetros de , con , produce efectos geométricos sobre la
gráfica correspondiente, los cuales pueden visualizarse con GeoGebra. Estos efectos
son de tres tipos: deformación, traslación y reflexión (Darmawan et al., 2011), los cuales
se definen a partir de los cambios de “forma” y “posición” experimentados por la
parábola que sufre el efecto, con respecto a otra parábola que actúa como referente. En
la mayoría de los casos, la parábola canónica (aquella cuya expresión es )
actúa como referente directo del efecto que se analiza.
El análisis de estos efectos tiene en cuenta los siguientes elementos: (i) eje de simetría,
recta paralela al eje y que divide a la curva en dos porciones simétricas; (ii) vértice,
punto de intersección de la parábola con su eje de simetría; (iii) eje de reflexión, recta
que es perpendicular al eje de simetría y que pasa por el vértice,y (iv) concavidad,
ubicación de los puntos de la parábola con respecto a los semiplanos determinados por
el eje de reflexión correspondiente. Dado que la variación de cada parámetro produce
algún efecto sobre la parábola, se realiza el análisis de estos efectos por separado.
En cuanto al GeoGebra, la secuencia se apoya en el uso de tres deslizadores que se
crean para ajustar el valor de los parámetros. Esta construcción garantiza que, al utilizar
los deslizadores, se puedan visualizar los efectos geométricos mencionados. A
continuación, se inicia el análisis siguiendo un itinerario estructurado en tres apartados.
DESCRIPCIÓN DE LA SECUENCIA
La variación del parámetro y sus efectos sobre la parábola
La variación del parámetro en la expresión produce dos efectos
sobre la parábola canónica que denominamos: deformación y reflexión. El análisis de
estos efectos se realiza a partir del caso en que los parámetros y son ambos cero.
4
Sin embargo, vale destacar que estos efectos se manifiestan de igual forma cuando los
parámetros y toman valores distintos de cero.
En cuanto a los efectos, la deformación se considera vinculada a los cambios de
posición experimentados por las ramas de la parábola, con respecto a la ubicación de
las ramas de la parábola que sirve de referente, en éste caso, la parábola canónica
(aquella correspondiente a ). Este efecto puede ser de dos tipos: dilatación y
contracción. Una parábola ha sufrido una deformación de tipo “dilatación” cuando la
imagen de un valor cualquiera de su dominio es menor que la imagen del mismo valor
en la parábola cónica (ver Figura 1a). En el caso contrario, cuando la imagen de un
valor del dominio de la función estudiada es mayor que la imagen de la canónica en el
mismo punto, se dice que la curva ha sufrido una deformación de tipo “contradicción”
(ver Figura 1b).
Figura 1. Comparación de imágenes en deformaciones de tipo dilatación y contracción
Otra manera de definir este efecto es mediante los cambios de posición que
experimentan las ramas de la parábola, vistos como “alejamientos” y/o “acercamientos”
al eje de simetría de ambas curvas. Cuando la distancia entre las ramas de la parábola
estudiada y el eje de simetría de ésta “aumenta”, con respecto a la parábola canónica,
se dice que la primera se ha transformado a causa de una “deformación” de tipo
dilatación y, en el caso contrario, la transformación que incide sobre la curva es una
contracción. La reflexión, por su parte, se refiere al cambio en la concavidad que sufre
una parábola como consecuencia de aplicar una reflexión axial a la parábola canónica o
5
cualquiera otra que se tenga de referente. En este caso, el eje de la reflexión se
corresponde con el eje x. Es importante destacar que, dependiendo del intervalo
establecido para el deslizador correspondiente, ambos efectos sobre la parábola
pueden visualizarse de manera separada o simultánea.
Deformación
Para visualizar el efecto de deformación experimentado por la parábola canónica,
utilizando el GeoGebra y sin que intervenga el efecto de reflexión, basta con hacer
variar el parámetro en un intervalo comprendido en . Un valor notable en este
intervalo es 1 ya que, cuando toma este valor, la función correspondiente coincide
con la canónica y, por tanto, no se percibe deformación alguna. Esta consideración
conlleva a dividir el estudio de la deformación en dos casos:
Caso 1: La deformación en el intervalo (0, 1]
Aquí es necesario ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador correspondiente
en 0 y 1, respectivamente. Luego de activar la “Animación automática” al deslizador, se
observa que ocurre una deformación de tipo dilatación en la parábola. Esta dilatación se
hace más notable cuando el valor del parámetro se aproxima a l mínimo del intervalo, es
decir, las ramas de la parábola se encuentran cada vez más alejadas del eje de
simetría. De forma análoga, en la medida que el valor de se aproxima al máximo del
intervalo, la dilatación tiende a ser menos notable con respecto a . Vale
destacar que, por más cerca que esté de 0 y 1, las ramas de la parábola no coinciden
con el eje de reflexión ni con la parábola canónica (ver Figura 2a).
6
Figura 2. Efectos de deformación tipo dilatación y contracción sobre
Caso 2: La deformación en el intervalo en el intervalo [1, +∞)
En este caso, los valores mínimo y máximo del deslizador deben ajustarse en 1 y
cualquier otro número mayor que éste. Una vez realizadas varias exploraciones con
distintos valores para el máximo del deslizador , se observa que la parábola canónica
sufre una deformación de tipo contracción y que ésta es más evidente en la medida que
el máximo del intervalo tienda al infinito (ver Figura 2b). Sin embargo, las ramas de la
parábola nunca llegan a tocar al eje de simetría debido a que dejaría de ser una
función.
Reflexión
Corresponde a esta parte del análisis develar lo que le ocurre a una parábola cuando el
parámetro varía en el intervalo . En este intervalo se manifiestan los efectos
de deformación y reflexión simultáneamente y, por lo tanto, según la interpretación que
se haga, el estudio se puede centrar en uno u otro efecto. Se sabe que la reflexión es el
resultado del cambio de concavidad que experimenta la parábola canónica o cualquiera
deformación de ésta. Dado que este efecto está presente a lo largo de , en este
apartado se explica un procedimiento para su análisis con el GeoGebra.
Para comenzar, es necesario ajustar los valores mínimo y máximo del deslizador en -5
y 0, respectivamente, con la intensión de poder apreciar el efecto con mayor detalle. En
7
este intervalo, al colocar el deslizador en -1 es posible observar la curva que es
producto de la reflexión de la parábola canónica (ver Figura 3a).
Figura 3. Efecto de reflexión sobre la parábola canónica o cualquiera otra
Por su parte, cuando el parámetro toma un valor distinto de -1 es posible visualizar la
reflexión aplicada a alguna deformación de la parábola canónica. Más aún, al mover el
deslizador a lo largo del intervalo, es posible reconocer las diferencias entre las
parábolas reflejadas, en relación a las deformadas que las producen . Por un lado, si el
deslizador se mueve entre el valor mínimo y -1, se visualiza la familia de curvas que son
reflexión de alguna parábola contraída de la canónica (ver Figura 3b). Por otro lado, al
mover el deslizador entre -1 y el valor máximo, se pueden observar todas las parábolas
reflejadas que corresponden a la familia de dilatadas de la canónica (ver Figura 3c).
La variación del parámetro y sus efectos sobre la parábola
En este apartado se analiza el efecto que experimentan las parábolas antes estudiadas
cuando cambia de valor. Esta variación produce un único efecto sobre las curvas,
denominado traslación, el cual se caracteriza por el desplazamiento “vertical” de la
parábola canónica o cualquiera otra. Este tipo de desplazamiento puede ser observado
con cualquier valor posible que tomen los parámetros y . Sin embargo, dado que los
efectos relacionados con el parámetro ya fueron estudiados, se considera pertinente
hacer el análisis de la variación de en dos momentos, para los cuales se sugiere
8
mantener el valor de en un número fijo con el fin de apreciar la traslación manifestada
por una misma familia de parábolas cuyo referente es .
Caso 1: Variación de con
El análisis requiere ajustar el deslizador asociado a en cero y elegir un intervalo
“conveniente” para el deslizador de que permita observar el desplazamiento de una
familia de parábolas y las relaciones que se establece n entre éstas y el resto de los
elementos de la gráfica (los ejes cartesianos). Por ejemplo, si se quiere analizar el
desplazamiento de la familia de parábolas definidas por , basta con
seleccionar un intervalo para el deslizador cuyos valores mínimo y máximo estén dentro
de la vista gráfica. En consecuencia, se presentan los siguientes momentos:
a) Cuando los valores mínimo y máximo son de igual signo. Al activar la “Animación
automática” al deslizador de con valores mínimo y máximo positivos (o negativos),
se puede apreciar sólo la familia de parábolas trasladadas hacia “arriba” (o hacia
“abajo”) con respecto a la parábola referente (ver Figura 4a).
b) Cuando los valores mínimo y máximo son de distinto signo. Al activar la “Animación
automática” al deslizador de con valores de signos distintos, por ejemplo -5 y 5,
respectivamente, se puede observar las dos familias de parábolas del caso anterior
al mismo tiempo, las trasladadas hacia “arriba” y hacia “abajo” con respecto a la
parábola referente (ver Figura 4b).
Figura 4. Traslación de la parábola “hacia arriba” y/o “hacia abajo”
9
Por tal motivo, es de mayor provecho ajustar el deslizador de bajo esta condición.
Además, se recomienda utilizar la opción “Activar Rastro” sobre la curva mostrada para
apreciar mejor la familia de parábolas trasladadas para ambos casos.
Para estudiar las relaciones entre una familia de curvas determinada (p.e, aquellas que
conciernen a ) y los ejes coordenados, se recomienda analizar los
siguientes momentos, en los cuales, el deslizador de es ajustado tomando las
consideraciones anteriores. La exploración de la gráfica conlleva a lo siguiente:
a) Cuando >0.Tras activar “Animación automática” al deslizador, se observa que el eje
xes cortado en dos puntos únicamente por la familia de parábolas traslada das hacia
“abajo” de , quién actúa como referente del efecto (ver Figura 5a).
b) Cuando <0. Luego de activar “Animación automática” al deslizador, se observa que
el eje x es cortado en dos puntos únicamente por la familia de parábolas trasladadas
hacia “arriba” de la referente (ver figura 5b).
Figura 5. Relaciones entre una familia de curvas y el eje x
Al respecto, se sugiere explorar estos momentos con otras familias de parábolas para
corroborar que: (i) el efecto de traslación sufrido por cualquier familia de parábolas tras
la variación de siempre es “vertical”, (ii) cuando y son positivos o negativos ambos,
la parábola correspondiente no corta al eje x, y (iii) cuando es positivo y es negativo,
o viceversa, la parábola asociada siempre corta en dos puntos al eje x.
10
Caso 2: Variación de con 0
En este caso, la familia de curvas involucradas (p.e., las asociadas a
) sufre el mismo efecto de traslación que en el apartado anterior,
con la diferencia que el eje de simetría de la familia es una recta paralela al eje y.
Además, esta recta pasa por el punto y, por lo tanto, se puede determinar
conocidos y (ver Figura 6).
Figura 6. Traslación de una familia de curvas con 0
La variación del parámetro y sus efectos sobre la parábola
Al igual que en el caso anterior, la variación de en produce un
efecto de traslación caracterizado por el desplazamiento de la familia de parábolas en
dos direcciones: horizontal y vertical, simultáneamente. Para dotar de sentido al
desplazamiento es necesario considerar la relación existente entre el par de valores que
toman y , y el que va tomando en un momento dado. Esta relación adquiere un
sentido de aplicación práctica cuando se estudian los siguientes casos:
Caso 1: Cuando y son positivos
Para observar lo que ocurre en este caso, se requiere que varíe en un intervalo cuyos
valores mínimo y máximo sean de distinto signo (p.e., -10 y 10), y que y tomen
11
valores fijos y positivos visibles en la ventana gráfica. Luego de esto se procede a
activar la opción “Animación automática” al deslizador de para observar el tipo de
traslación que sufren las curvas de la familia. Un primer análisis a lo observado da
cuenta de un desplazamiento horizontal de la s curvas a la izquierda o a la derecha del
eje y, según >0 o <0. Esto nos indica que un valor crítico para el análisis es el 0 y,
por ende, vale la pena dividir este apartado en dos momentos para comprender mejor el
tipo de desplazamiento vertical que se produce a la par del otro desplazamiento:
a) Cuando varía entre . En este intervalo, la familia de parábolas se mantiene a
la izquierda del eje y. Unido a esto, se puede ver que algunas curvas de esta familia
se ubican por encima o por debajo del eje x, incluyendo el caso de aquella que posa
su vértice sobre este eje. Un ajuste del deslizador para este intervalo (p.e., desde 0
hasta 10) permite apreciar la existencia de un valor crítico de , a partir del cual es
posible identificar los cortes de la parábola con el eje x en dos puntos, en uno o
ninguno. En el caso de ser a=3 yc= 4, el valor es 6.93 (ver Figura 7a).
Ahora bien, ¿qué relación existe entre este valor y los valores que toman y ?
Este valor viene dado por la fórmula , el cual se obtiene de despejar
en la expresión .
Figura 7.Traslación de las familias de parábolas
12
b) Cuando b varía entre . De forma análoga al caso anterior, se puede apreciar
la existencia de otro valor crítico de a partir del cual es posible reconocer los puntos
de corte con el eje x. La figura 7b muestra el desplazamiento de la familia para los
valores mínimo y máximo de -10 y 0, respectivamente.
Caso 2: Cuando y son negativos
Ajustando el deslizador de ben un intervalo que contenga a , por
ejemplo -10 y 10, tras activar la “Animación automática” se observa la traslación de la
familia de parábolas determinadas por . El comportamiento
observado en este caso es análogo al descrito en el apartado anterior; por tal motivo,
sugerimos su desarrollo por parte del lector.
Caso 3: Cuando y son de signos distintos
Dependiendo del signo que tenga y , el análisis de la traslación en este último caso
se divide en dos momentos:
a) Cuando y . Un ejemplo de esto se da para los valores mínimo y máximo
del deslizador de en -4 y 4. Los parámetros y toman los valores 1 y -2.5, siendo
cvisible en la vista gráfica. La “Animación automática” permite observar que la
familia de curvas trasladas se mantienen a la izquierda o a la derecha del eje y en
tanto que >0 o <0, respectivamente. Puede apreciarse que ambas familias tienen
en común el hecho de siempre mantenerse por debajo del eje x y, en consecuencia,
las curvas siempre cortan a este eje en dos puntos, uno negativo y otro positivo (ver
Figura 8a).
b) Cuando y . Un ejemplo para analizar la traslación es cuando los valores
mínimo y máximo del deslizador de son -2 y 2, respectivamente. Consideremos el
caso en que y , ubicándose este último sobre la vista gráfica. Tras
activar “Animación automática” sobre el deslizador, se observa que las familia de
parábolas que sufren la traslación se mantienen a la derecha o a la izquierda del eje
13
yen tanto que >0 o <0, respectivamente. Análogamente al caso anterior, ambas
familias tienen en común el hecho de mantenerse en este caso por arriba del eje x, y
por ende, todas estas curvas cortan en dos puntos a tal eje, igualmente uno negativo
y otro positivo (ver Figura 8b).
Figura 8. Relaciones entre dos familias de curvas con los ejes
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Nuestra experiencia en la formación docente nos ha mostrado lo provechoso que
resulta integrar tecnologías, específicamente al GeoGebra, en los procesos de
preparación y capacitación profesional de los profesores de matemática, dada la
posibilidad que éstas nos ofrecen de comprender los efectos geométricos que son
causados por la variación de los parámetros de la expresión ,
característica de la función cuadrática.
Mediante el uso adecuado de los “deslizadores”, el GeoGebra hace posible el
establecimiento de relaciones de cambio entre los parámetros de la función y su
representación gráfica, relaciones éstas que soportan la comprensión de los efectos
analizados en la secuencia. Al respecto, algunos autores han descrito este recurso
como capaz de conectar los objetos matemáticos referidos a las funciones con sus
representaciones gráficas (Bayazit y Aksoy, 2010; Losada, 2007).
Dado que nuestra secuencia representa una manera de vincular la comprensión de
elementos simbólicos y gráficos de la función cuadrática con la capacidad de integrar
eficientemente al GeoGebra en el estudio de este tópico, su utilización (de la secuencia)
14
por parte del profesor busca promover en éstos el desarrollo de su capacidad visual y
conocimiento sobre el comportamiento gráfico de la parábola como consecuencia de los
cambios en los valores de los parámetros de su expresión simbólica . Consideramos que
un profesor con este conocimiento coloca al profesor en mejores condiciones para la
realización de su práctica educativa y, específicamente, para llevar a cabo procesos de
integración eficiente de la tecnología en la enseñanza de la matemática
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bayazit, I. y Aksoy, Y. (2010). Connecting representations and mathematical ideas with
geogebra. Geogebra International Journal of Romania, 1 (1), 93-106.
Darmawan, D. y Iwan, P. (2011). On the teaching of analyzing the effects of parameter
changes on the graph of function. Trabajo presentado en la Fourth National Conference
on Mathematics Education, Julio, Yogyakarta.
Diković, L. (2009). Applications geogebra into teaching some topics of mathematics at
the college level. Computer Science and Information Systems, 6 (2), 191-203.
Hohenwarter, M. (2006). Dynamic investigation of functions using geogebra. Trabajo
presentado en el Dresden International Symposium on Technology and its Integration
into Mathematics Education, Julio, Dresden.
Losada, R. (2007). Geogebra: La eficiencia de la intuición. La Gaceta de la RSME, 10
(1), 223-239.
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.