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Lineare Gleichungssysteme
Abstract
Viele einfache Modelle basieren auf linearen Beziehungen zwischen verschiedenen Größen. Problemstellungen mit mehreren Variablen und linearen Beziehungen zwischen diesen Variablen führen auf lineare Gleichungssysteme. Auch kompliziertere Prozesse mit nichtlinearen Beziehungen zwischen den relevanten Parametern lassen sich innerhalb eines für die Praxis häufig ausreichenden Gültigkeitsbereichs durch lineare Beziehungen approximieren. Wir werden in diesem Kapitel lineare Gleichungssysteme zur Beschreibung von elektrischen Netzwerken im Gleichstromkreis und im Wechselstromkreis sowie elastischen Stabwerken kennenlernen und deren Struktur analysieren. Eine weitere wichtige Anwendung sind Systeme von Rohrleitungen, wie zum Beispiel zur Versorgung von Häusern oder Städten mit Wasser oder Gas; dies wird in den Aufgaben thematisiert. Große lineare Gleichungssysteme erhält man auch durch numerische Diskretisierungen von partiellen Differentialgleichungen; diese Gleichungssysteme haben viele Gemeinsamkeiten mit den hier vorgestellten Systemen.
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1. Einleitung
2. Grundlagen aus der Linearen Algebra
3. Allgemeines zu iterativen Verfahren
4. Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren im positive definiten Fall
5. Analyse im 2-zyklischen Fall
6. Analyse für M-Matrizen
7. Semiiterative Verfahren
8. Transformationen, sekundäre Iterationen, unvollständige Dreieckszerlegungen
9. Verfahren der konjugierten Gradienten
10. Mehrgitteriterationen
11. Gebietszerlegungsmethoden
Bei den drei Bänden Ingenieurmechanik tritt die Vermittlung des physikalischen Verständnisses gleichberechtigt neben die Mathematik. Im Zentrum der Axiomatik steht das Prinzip der virtuellen Leistungen. Damit verbindet sich im vorliegenden Band 1 der Einstieg in die Statik über die Kinematik, was sich an der ETH Zürich in vielen Studentengenerationen bewährt hat. So werden schon zu Beginn Bewegungszustände von starren Körpern und Systemen behandelt. Dies erleichtert später z.B. das Verständnis von Lagerbindungen, weil sie auch über ihre kinematischen Eigenschaften charakterisiert werden können und nicht nur über die Lagerkräfte. Bei Fachwerken und anderen Systemen eröffnet sich eine alternative Lösungsmethode über die Kinematik und die Leistung.
This paper presents an overview of parallel algorithms and their implementations for solving large sparse linear systems which arise in scientific and engineering applications. Preconditioners constitute the most important ingredient in solving such systems. As will be seen, the most common preconditioners used for sparse linear systems adapt domain decomposition concepts to the more general framework of “distributed sparse linear systems”. Variants of Schwarz procedures and Schur complement techniques are discussed. We also report on our own experience in the parallel implementation of a fairly complex simulation of solid-liquid flows.