Pewarnaan Simpul Dengan Algoritma Welch-Powell Pada Traffic Light Di Yogyakarta

Abstract

Traffic congestion is a problem which is often found in big cities in Indonesia. This requires a range of solutions, one of them with the settings of the traffic light. Traffic light arrangement can be completed with graph theory. Part of graph theory a graph coloring is used. Staining graf three i.e. coloring is differentiated into a knot, staining the sides, and staining region. This research examines the arrangements about traffic light using colorization algorithm Welch knot with Powell. The intersection of Data represented in the graph, which is then solved by coloring the vertices, then look for the value of the effective duration of the time compared to a traffic light settings occur at several intersections in Yogyakarta. Completion of traffic light arrangement using staining nodes provide alternative solutions duration lit the red light and green light is more effective than the secondary data at several intersections in Yogyakarta.

Full text

JURNAL FOURIER | Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, 73-79 ISSN 2252-763X
2013 JURNAL FOURIER Versi online via www.fourier.or.id
Pewarnaan Simpul Dengan Algoritma Welch-Powell
Pada
Traffic Light
di Yogyakarta
Ana Mardiatus Soimah dan Noor Saif Muhammad Mussafi
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto
No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Ana Mardiatus Soimah, Email: anapri_soimah@yahoo.com
Abstrak
Kemacetan lalu lintas merupakan masalah yang sering dijumpai di kota-kota besar di Indonesia. Ini membutuhkan
berbagai solusi, salah satunya dengan setting lampu lalu lintas. Penataan lampu lalu lintas bisa dilengkapi dengan
teori grafik. Bagian dari teori graf adalah pewarnaan grafik yang digunakan. Pewarnaan graf tiga yaitu pewarnaan
dibedakan menjadi simpul, pewarnaan sisi, dan daerah pewarnaan. Penelitian ini meneliti pengaturan tentang
lampu lalu lintas menggunakan algoritma pewarnaan Welch simpul dengan Powell. Persimpangan Data diwakili
dalam grafik, yang kemudian dipecahkan dengan mewarnai simpul, kemudian mencari nilai durasi efektif waktu
dibandingkan dengan setting lampu lalu lintas yang terjadi di beberapa persimpangan di Yogyakarta. Penyelesaian
pengaturan lampu lalu lintas dengan menggunakan node pewarnaan memberikan solusi alternatif durasi
menyalakan lampu merah dan lampu hijau lebih efektif daripada data sekunder di beberapa persimpangan di
Yogyakarta.
Kata Kunci:
Abstract
Traffic congestion is a problem which is often found in big cities in Indonesia. This requires a range of solutions,
one of them with the settings of the traffic light. Traffic light arrangement can be completed with graph theory.
Part of graph theory a graph coloring is used. Staining graf three i.e. coloring is differentiated into a knot, staining
the sides, and staining region. This research examines the arrangements about traffic light using colorization
algorithm Welch knot with Powell. The intersection of Data represented in the graph, which is then solved by
coloring the vertices, then look for the value of the effective duration of the time compared to a traffic light settings
occur at several intersections in Yogyakarta. Completion of traffic light arrangement using staining nodes provide
alternative solutions duration lit the red light and green light is more effective than the secondary data at several
intersections in Yogyakarta.
Keywords
Pendahuluan
Kemacetan lalu lintas merupakan masalah yang sering dijumpai di kota-kota besar di Indonesia.
Beberapa faktor penyebab kemacetan adalah kurangnya disiplin pengguna jalan dan volume
kendaraan yang semakin bertambah. Hal ini memerlukan berbagai macam penyelesaian, salah satunya
dengan pengaturan lampu lalu lintas (
traffic light)
. Masalah pengaturan
traffic light
merupakan masalah
pengaturan arus kendaraan pada suatu simpang jalan serta pengaturan siklus waktu lampu merah dan
lampu hijau. Pada persimpangan jalan banyak ditemui
traffic light
dengan durasi lampu hijau yang
singkat dan lampu merah yang lama. Hal ini menyebabkan terjadinya peningkatan antrian kendaraan
pada persimpangan tersebut. Durasi lampu merah yang lama juga mengakibatkan masa tunggu menjadi
lama.
Penyelesaian masalah
traffic light
dapat ditinjau dalam perspektif graf, yaitu dengan
merepresentasikan persimpangan dalam bentuk graf. Simpul graf menunjukkan arah perjalanan yang
diperbolehkan dari jalan X menuju jalan Y, sedangkan sisi graf menunjukkan arah perjalanan yang

74
Ana Mardiatus Soimah dan Noor Saif Muhammad Mussafi
JURNAL FOURIER (2013) 2 73-79 www.fourier.or.id
tidak boleh dilakukan secara bersamaan. Selanjutnya menyelesaikannya dengan metode pewarnaan
simpul menggunakan algoritma Welch-Powell. Penyelesaian ini akan menghasilkan arus-arus yang
dapat berjalan secara bersamaan, selain itu juga diperoleh alternatif durasi siklus baru. Durasi siklus
baru ini akan dibandingkan dengan siklus waktu data sekunder dari Dinas Perhubungan Yogyakarta
tahun 2011 dan diharapkan bisa menjadi solusi bagi pengguna jalan dalam rangka mempercepat masa
tunggu ketika lampu merah menyala.
Dasar Teori
Graf
1. Definisi Graf
Menurut [1], sebuah graf
G
terdiri dari suatu himpunan
V
yang merupakan
vertex-vertex
(simpul-
simpul) dan suatu himpunan  dari sisi-sisi sedemikian rupa sehingga setiap sisi    dikaitkan
dengan pasangan simpul tak terurut. Jika terdapat sebuah rusuk  yang menghubungkan simpul 
dan , dapat dinyatakan dengan     atau    . Dalam konteks ini,   menyatakan
sebuah sisi antara simpul  dan simpul  dalam sebuah graf dan buka sebuah pasangan terurut.
Misal  adalah graf dengan himpunan simpul      dan 
         . Graf G dapat disajikan dalam bentuk gambar
yaitu pada Gambar 1a ataupun Gambar 1b.
2. Pewarnaan Simpul
Misalkan  adalah graf dan  adalah bilangan bulat positif. Suatu pewarnaan
-k
untuk graf adalah
cara mewarnai simpul pada graf  dengan paling banyak  warna sedemikian sehingga simpul
yang
adjacent
(bertetangga) diwarnai dengan warna yang berbeda. Contoh pewarnaan simpul
disajikan pada Gambar 1a.
3. Bilangan Kromatik (
Chromatic Number
)
Misalkan  adalah graf. Bilangan Kromatik (chromatic number) dari graf  dinyatakan dengan
 adalah jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai simpul pada graf 
sedemikian sehingga simpul yang
adjacent
diwarnai dengan warna yang berbeda [2]. Graf 
pada
Gambar 1a mempunyai bilangan kromatik  .
(a)
(b)
Gambar 1 (a) Graf G, (b) Pewarnaan simpul Graf G dengan kaidah bilangan kromatik.
Algoritma Welch-Powell
Algoritma Welch-Powell digunakan untuk mewarnai simpul suatu graf berdasarkan derajat tertinggi
dari simpul-simpulnya. Algoritma Welch-Powell merupakan algoritma yang tergolong dalam algoritma
Greedy. Algoritma Greedy yaitu algoritma yang pada setiap langkah penyelesaian terdapat banyak
pilihan solusi yang perlu dieksplorasi. Pada setiap langkah harus diputuskan pilihan terbaik yang

Pewarnaan Simpul Dengan Algoritma Welch-Powell Pada Traffic Light di Yogyakarta
75
www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2013) 2 73-79
selanjutnya akan menjadi solusi optimum local (locally optimal) dan diharapkan dapat menjadi solusi
optimum global (globally optimal).
Selain algoritma Welch-Powell, algoritma Kruskal’s dan algoritma Prim’s untuk menyelesaikan masalah
Minimum Spanning Tree
juga tergolong dalam algoritma Greedy. Menurut [3], algoritma Welch-Powell
adalah sebagai berikut:
1. Urutkan simpul-simpul dari graf 
dalam derajat yang menurun (urutan seperti ini mungkin tidak
unik karena beberapa simpul mungkin berderajat sama).
2. Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan
simpul-simpul lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak bertetangga dengan simpul pertama ini.
3. Mulai lagi dengan simpul derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarnai
dan ulangi proses pewarnaan simpul dengan menggunakan warna kedua.
4. Ulangi penambahan warna-warna sampai semua simpul telah diwarnai.
Algoritma Welch-Powell tidak selalu memberikan jumlah warna minimum pada suatu pewarnaan
graf, tetapi algoritma ini memberikan batas atas jumlah warna yang dapat dipakai untuk mewarnai
suatu graf.
Pewarnaan Simpul dengan Algoritma Welch-Powell
Seperti yang dijelaskan sebelumnya, misalkan 
adalah graf sederhana. Suatu pewarnaan
-k
untuk graf

adalah penggunaan sebagian atau semua 
warna untuk mewarnai semua simpul pada graf
G
sehingga dua simpul yang terhubung langsung diberi warna yang berbeda. Jika
G
mempunyai
pewarnaan  
selanjutnya graf 
dikatakan
dapat diwarnai dengan
 
warna (
 
colourable)
.
Pemberian warna pada simpul dapat direpresentasikan dengan angka atau dapat juga direpresentasikan
langsung menggunakan warna misalnya merah, hijau, biru, kuning dan lain-lain. Masalah utama dalam
pewarnaan simpul adalah pencarian solusi penggunaan jumlah warna yang seminimal mungkin. Jumlah
warna yang paling minimal yang digunakan untuk mewarnai graf disebut dengan bilangan kromatik
(
chromatic number
).
Pembahaan
Aplikasi Pewarnaan Simpul pada
Traffic Light
di Persimpangan Jalan
Traffic light
yang tersedia di persimpangan jalan mempunyai beberapa tujuan antara lain
menghindari hambatan karena adanya perbedaan arus jalan bagi pergerakan kendaraan, memfasilitasi
pejalan kaki agar dapat menyebrang dengan aman, dan mengurangi tingkat kecelakaan yang
diakibatkan oleh tabrakan karena perbedaan arus jalan. Namun
traffic light
juga memiliki beberapa
permasalahan yang perlu segera diselesaikan, salah satunya pengaturan durasi lampu merah dan hijau.
Permasalahan ini dapat dikaji pengaturannya menggunakan prinsip pewarnaan simpul. Untuk lebih
jelasnya berikut adalah langkah-langkah aplikasi pewarnaan simpul pada
traffic light
di persimpangan
jalan.
1. Mentransformasi persimpangan jalan beserta arusnya ke bentuk graf. Simpul merepresentasikan
arus dan garis merepresentasikan arus-arus yang
uncompatible
, artinya arus-arus yang tidak boleh
berjalan bersamaan, yang selanjutnya simpul-simpul tersebut saling dihubungkan.
2. Mewarnai setiap simpul pada graf dengan menggunakan algoritma Welch-Powell. Selain untuk
mengetahui arus mana saja yang bisa berjalan bersamaan, diperoleh juga jumlah bilangan kromatik
yang akan bermanfaat pada tahap berikutnya.
3. Menentukan alternatif penyelesaian durasi lampu hijau dan lampu merah menyala dengan siklus
waktu tertentu, caranya dengan membagi satu siklus yang terdiri dari total durasi lampu merah
dan lampu hijau menyala dengan bilangan kromatik yang telah diperoleh dari langkah 2, hasil
pembagiannya menunjukkan durasi lampu hijau menyala. Adapun durasi siklus waktu pada setiap
persimpangan yang diteliti merujuk pada data sekunder dari Dinas Perhubungan Daerah Istimewa
Yogyakarta tahun 2011.

76
Ana Mardiatus Soimah dan Noor Saif Muhammad Mussafi
JURNAL FOURIER (2013) 2 73-79 www.fourier.or.id
Berikut akan dipaparkan salah satu penyelesaian kasus pengaturan
traffic light
yaitu pada
traffic
light
di simpang 5 Terminal Giwangan.
Berikut ini diberikan ilustrasi jalan pada simpang 5 Giwangan.
Gambar 2 Ilustrasi arus simpang 5 Giwangan.
Dari ilustrasi Gambar 3 dengan berpedoman pada langkah-langkah yang telah dipaparkan
sebelumnya maka diperoleh hasil transformasi graf sebagai berikut:
Gambar 3 Graf simpang 5 Giwangan.
Dari transformasi graf di atas terlihat simpul   
tidak saling terhubung dengan simpul lain
(simpul asing), ini berarti arus yang dinyatakan oleh   
dapat berlangsung beriringan dengan
arus lain. Jadi, untuk arus yang dinyatakan oleh   
selalu berlaku lampu hijau. Selanjutnya
untuk simpul yang tersisa akan diberi warna dengan algoritma Welch-Powell. Pewarnaan simpul
yang dihasilkan dapat dilihat pada Gambar 4 berikut ini.

Pewarnaan Simpul Dengan Algoritma Welch-Powell Pada Traffic Light di Yogyakarta
77
www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2013) 2 73-79
Gambar 4 Hasil pewarnaan graf simpang 5 Giwangan.
Dari pewarnaan graf di atas diperoleh bilangan kromatik = 5, simpul 
tidak saling
adjacent
(bertetangga) dengan simpul        dan  sehingga warna simpul 
bisa
diseragamkan dengan simpul       
atau . Hal ini akan berpengaruh pada
penyelesaian arus yang dapat berjalan secara bersamaan. Berikut rinciannya
1. Partisi pertama arus 
akan berjalan bersama dengan arus 
dan 
.
2. Partisi kedua arus 
akan berjalan bersama dengan arus 
dan 
.
3. Partisi ketiga arus  akan berjalan sendiri
.
4. Partisi keempat arus 
akan berjalan bersama dengan arus  dan .
5. Partisi keempat arus 
akan berjalan bersama dengan arus 
dan .
Menentukan alternatif penyelesaian durasi lampu merah dan lampu hijau menyala. Diberikan data
traffic light
di simpang 5 Giwangan dari Dinas Perhubungan Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta
sebagai berikut:
Tabel 1 Tabel data sekunder simpang 5 Giwangan.
Kaki Simpang
Utara
Timur
Selatan
Barat
Terminal
Total
Merah
124
120
123
120
125
612
Hijau
23
27
24
27
22
123
Total
147
147
147
147
147
735
Menurut data di atas satu siklus
traffic light
berdurasi 147 detik, setelah dilakukan pembagian
dengan bilangan kromatik = 5 diperoleh durasi lampu hijau menyala yaitu 29.4 detik dan durasi
lampu merah menyala yaitu 117.6 detik. Terkecuali untuk arus
v8
, karena arus ini dapat berjalan
bersamaan dengan 4 partisi yang lain maka durasi lampu hijau menyala menjadi 117.6 detik dan
durasi lampu merah menyala menjadi 29.4 detik. Data
traffic light
baru hasil perhitungan disajikan
sebagai berikut:
Tabel 2 Tabel data baru traffic light simpang 5 Giwangan.
Kaki Simpang
Utara
Timur
Selatan
Barat
Terminal
Total
Merah
117.6
117.6
117.6
117.6
117.6
588
Hijau
29.4
29.4
29.4
29.4
29.4
147
Total
147
147
147
147
147
735
Tingkat efektifitas erat kaitannya dengan rasio atau perbandingan. Rasio menunjukkan ukuran relatif
dari dua atau lebih nilai. Rasio dapat dinyatakan dalam desimal, persentase, ataupun pecahan.

78
Ana Mardiatus Soimah dan Noor Saif Muhammad Mussafi
JURNAL FOURIER (2013) 2 73-79 www.fourier.or.id
Dalam penelitian ini tingkat efektifitas diperoleh dari rasio jumlah durasi lampu merah dan lampu
hijau menyala antara hasil penyelesaian pewarnaan simpul dengan algoritma Welch-Powell
dan data sekunder dari Dinas Perhubungan, Daerah Istimewa Yogyakarta tahun 2011.
Tingkat efektifitas pada simpang 5 Giwangan
1. Durasi total lampu hijau menyala dari data sekunder adalah 123 detik sementara dengan pewarnaan
simpul durasi total lampu hijau menyala adalah 147 detik. Tingkat efektifitasnya adalah Hijau =
[(147-123)/123] x 100% = 19,51%
2. Durasi total lampu merah menyala dari data sekunder adalah 612 detik sementara
dengan pewarnaan simpul durasi total lampu merah menyala adalah 588 detik. Tingkat efektifitasnya
adalah Merah = [(599-612)/599] x 100% = 3,92%
Jadi, untuk kasus pada simpang 5 Giwangan durasi lampu hijau menyala akan meningkat
sebesar 19.51 %, sedangkan durasi lampu merah menyala dapat dikurangi sebesar 3.92 %.
Dengan cara yang analog berikut disajikan tabel tingkat efektifitas durasi
traffic light
dari kasus
beberapa persimpangan jalan di Daerah Istimewa Yogyakarta.
Tabel 3 Tabel tingkat efektifitas.
No.
Nama Simpang
Merah
Hijau
1.
Simpang 3 Gamping
20.39%
47.10%
2.
Simpang 3 Bandara
20.33%
46.83%
3.
Simpang 3 Bantulan
26.04%
78.64%
4.
Simpang 3 Maguwo
3.39%
4.59%
5.
Simpang 3 Raden Ronggo
20.64%
48.17%
6.
Simpang 4 Ketandan
7.14%
30%
7.
Simpang 4 Wojo
5.9%
23.21%
8.
Simpang 4 Karang Turi
5.73%
22.31%
9.
Simpang 4 Druwo
6.16%
24.51%
10.
Simpang 4 Kasihan
6.45%
26.08%
11.
Simpang 4 Gejayan
6.07%
14.85%
12.
Simpang 4 Gramedia
7.14%
18.18%
13.
Simpang Kreliring
-4.82%
-3.33%
14.
Simpang 5 Giwangan
3.92%
19.51%
15.
Simpang 5 Pojok Benteng Kulon
3.85%
19.09%
Pada kasus simpang Kleringan tanda (-) menunjukkan bahwa penyelesaian menggunakan
pewarnaan simpul tidak lebih efektif dari pada data yang ada di lapangan.
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Pewarnaan simpul dengan algoritma Welch-Powell dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan
perhitungan durasi waktu pada
traffic light.
Langkah yang ditempuh yaitu dengan mentransformasi
persimpangan jalan beserta arusnya ke bentuk graf. Simpul merepresentasikan arus dan garis
merepresenrasikan arus yang
uncompatible.
Selanjutmya mewarnai simpul pada graf dengan
algoritma Welch-Powell untuk mengetahui arus yang dapat berjalan bersamaan dan memperoleh
bilangan kromatik yang berfungsi untuk menentukan alternatif penyelesaian durasi waktu
traffic light
2. Penyelesaian perhitungan durasi waktu pada
traffic light
dengan pewarnaan simpul memberikan
alternatif hasil yang lebih efektif hingga 78.64% daripada data sekunder dari Dinas Perhubungan
Yogyakarta tahun 2011
.

Pewarnaan Simpul Dengan Algoritma Welch-Powell Pada Traffic Light di Yogyakarta
79
www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2013) 2 73-79
Referensi
[1] Johnsoundbaugh, Richard. 2002.
Matematika Diskrit
. Jakarta: PT Prenhallindo.
[2] Koh, K. M., Dong, F. M., and Tay Eng Guan. 2006.
Intoduction to Graph Theory
. Singapore: World Scientific.
[3] Munir, Rinaldi. 2007.
Matematika Diskrit
. Bandung: Informatika.