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Caracterización de los usos estudiantiles de figuraciones ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de construcción de un modelo gráfico en matemática en la enseñanza secundaria

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Esta investigación en el marco de la Educación Matemática da cuenta de las características de los usos estudiantiles de figuraciones previas a la gráfica cartesiana ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia. En particular se aborda el estudio de los procesos del uso de gráficas, colocando en escena una situación problema de modelación del movimiento que permite estudiar un fenómeno de cambio a través de los registros gráficos. Se explicitan los resultados obtenidos en términos de los niveles de análisis que van desde las visiones locales y globales de la gráfica, siguiendo con la noción de práctica socio escolar de figuración, recurriendo a nociones teóricas provenientes de la Socioepistemología y la teoría de la imagen y de los análisis semánticos que permitieron su caracterización.
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1
UNIVERSIDAD DE LOS LAGOS
ESCUELA DE POSTGRADO
Programa de Magister en Educación Matemática
TITULO DE LA TESIS
Caracterización de los usos estudiantiles de figuraciones ante un
fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de
construcción de un modelo gráfico en matemática en la enseñanza
secundaria”
Tesis para optar al grado de Magister en Educación
Matemática
Tesista: Iván Esteban Pérez Vera
Profesor Tutor: Dr. Carlos Cabezas
Profesor Patrocinante: Dra. María Verónica Díaz
Agosto, 2015
Santiago-Chile
©2015, Iván Esteban Pérez Vera
2
UNIVERSIDAD DE LOS LAGOS
ESCUELA DE POSTGRADO
Programa de Magister en Educación Matemática
TITULO DE LA TESIS
Caracterización de los usos estudiantiles de figuraciones ante un
fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de
construcción de un modelo gráfico en matemática en la enseñanza
secundaria”
Profesor Tutor: Dr. Carlos Cabezas
Profesor Patrocinador: Dra. María Verónica Díaz
Agosto, 2015
Santiago-Chile
©2015, Iván Esteban Pérez Vera
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AUTORIZACIÓN PARA LA REPRODUCCIÓN DE LA TESIS
Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, por
cualquier medio o procedimiento, incluyendo la cita bibliográfica que
acredita el trabajo y a su autor.
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AGRADECIMIENTOS
A Estefanía y Antonia.
A todos los profesores del Postgrado en Educación Matemática de la Universidad de los
Lagos, en especial a Eduardo Carrasco por plantar la semilla de la curiosidad
investigativa, al Dr. Carlos Cabezas por creer en este trabajo y a la Dra. Verónica Díaz
por no permitirme dejar inconcluso este proceso.
A mis compañeros de estudio, ya que de ellos fue de quien sin duda más aprendí.
A mis estudiantes del Colegio Barrie Montessori de Peñalolén, que tanto material
aportaron a la investigación, siempre con una sonrisa.
A mi familia, amigos y compañeros que de alguna u otra forma aportaron a este trabajo.
5
TABLA DE CONTENIDOS
AGRADECIMIENTOS ..................................................................................................... 4
TABLA DE CONTENIDOS.............................................................................................. 5
INDICE DE FIGURAS ...................................................................................................... 7
INDICE DE TABLAS ....................................................................................................... 8
RESUMEN ......................................................................................................................... 9
ABSTRACT ..................................................................................................................... 10
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 11
CAPITULO 1. ANTECEDENTES .................................................................................. 15
CAPITULO 2. PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS ........................................................ 22
2.1 Hipótesis de trabajo ................................................................................................ 22
2.2 Pregunta orientadora ............................................................................................... 23
2.3 Objetivo general. .................................................................................................... 23
2.4 Objetivos específicos .............................................................................................. 23
CAPITULO 3. ANTECEDENTES TEORICOS ............................................................. 24
3.1 La mirada de la Socioepistemología en la Matemática Educativa ........................ 24
3.2 Dualidad Local-Global ........................................................................................... 25
6
3.3 Funcionamiento y forma ........................................................................................ 26
3.4 Resolución de problemas ........................................................................................ 26
3.5 Pensamiento Variacional ........................................................................................ 30
3.6 Modelación ............................................................................................................. 32
3.7 Visualización .......................................................................................................... 33
3.8 Grafica .................................................................................................................... 39
CAPITULO 4. METODOLOGIA ................................................................................... 42
4.1 Instrumentos ........................................................................................................... 42
CAPITULO 5. RESULTADOS ....................................................................................... 46
Entrevista. ..................................................................................................................... 57
CAPITULO 6. ANALISIS DE RESULTADOS ............................................................. 60
6.1 Interpretaciones de los estudiantes: Primer nivel de análisis ................................. 60
6.2 Interpretaciones de los estudiantes: Segundo nivel de análisis .............................. 62
6.3 Funcionamiento y forma de las prácticas de figuración como medio de
construcción de modelos gráficos en situaciones de movimiento ................................ 64
CAPITULO 7. CONCLUSIONES................................................................................... 66
Bibliografía ...................................................................................................................... 68
Anexos ............................................................................................................................. 73
Anexo 1. Situación de aprendizaje Epifanía................................................................. 73
7
INDICE DE FIGURAS
Figura 1- Dibujos previo a gráfica cartesiana y gráfica cartesiana ..................................... 13
Figura 2 - Gráfica Situación de aprendizaje "Epifanía" ...................................................... 17
Figura 3- Reporte de figuración y Gráfica obtenida con sensor ......................................... 18
Figura 4- Figuración Previa - Gráfica en Papel - Gráfica por sensor ................................. 19
Figura 5- Representación Icónica (comics) - Gráfica Cartesiana ....................................... 20
Figura 6- Modelos gráficos de la posición y la velocidad .................................................. 61
Figura 7- Representaciones de Contexto ............................................................................ 63
Figura 8- Secuencia de movimiento, contexto y gráfica. .................................................... 64
8
INDICE DE TABLAS
Tabla 1- Resultados estudiante Daike ................................................................................. 50
Tabla 2- Resultados estudiante Victoria.............................................................................. 52
Tabla 3- Resultados estudiante Cristóbal ............................................................................ 55
Tabla 4- Resultados estudiante Bruno ................................................................................. 58
9
RESUMEN
Esta investigación en el marco de la Educación Matemática da cuenta de las
características de los usos estudiantiles de figuraciones previas a la gráfica cartesiana
ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia. En particular se aborda el estudio
de los procesos del uso de gráficas, colocando en escena una situación problema de
modelación del movimiento que permite estudiar un fenómeno de cambio a través de los
registros gráficos. Se explicitan los resultados obtenidos en términos de los niveles de
análisis que van desde las visiones locales y globales de la gráfica, siguiendo con la
noción de práctica socio escolar de figuración, recurriendo a nociones teóricas
provenientes de la Socioepistemología y la teoría de la imagen y de los análisis
semánticos que permitieron su caracterización.
Palabras claves: gráficas cartesianas, modelación del movimiento, registros.
10
ABSTRACT
This research in the context of Mathematics Education realizes the characteristics of
student applications prior to the Cartesian graph to a phenomenon of variation of time
and distance configurations. In particular the study of processes using graphical
addressed, putting on stage a situation problem of modeling the movement that allows to
study a phenomenon of change through the graphic records. The results obtained in
terms of the levels of analysis ranging from local and global views of the graph,
according to the notion of figuration partner school practice, using theoretical notions
from the Socioepistemology and image theory are explained and semantic analysis
enabled characterization.
Keywords: Cartesian graphs, modeling of motion records.
11
INTRODUCCIÓN
Al finalizar la enseñanza básica y según la reforma vigente en Chile, en la unidad de
Álgebra, los alumnos comienzan el reconocimiento de funciones y su distinción con las
relaciones en contextos diversos. La unidad ofrece también la posibilidad de retomar
tópicos relativos a proporcionalidad directa e inversa, pero con mayor énfasis en el
concepto de variación proporcional y tratado desde el punto de vista algebraico
(MINEDUC, 2009).
Las gráficas cartesianas asociadas a las funciones, vienen a formar parte de los
contenidos curriculares, en la educación media. En el escenario educativo actual en
Chile, resulta de interés abordar la producción en el trabajo matemático, con el uso de
las gráficas y su desarrollo en la enseñanza secundaria como una práctica institucional
que aporte a la comprensión y funcionalidad de la matemática. En particular, como
objeto matemático la gráfica cartesiana escolar es la principal herramienta matemática
para la figuración del cambio. Sin embargo el marco de referencia que el sistema escolar
ha privilegiado para las gráficas en general, no permite que estas puedan ser
consideradas como un medio de argumentación en mismas y solo son la
representación de la función; las tareas que los estudiantes hacen, se restringen a hallar
la función sin desarrollar un lenguaje gráfico.
Uno de los focos de estudio de la educación matemática en los últimos años ha sido el
pensamiento variacional. Es posible encontrar un gran número de publicaciones en el
área que pretenden aportar a la enseñanza de los tópicos de la matemática del cambio,
caracterizando el pensamiento variacional, promoviendo situaciones de enseñanza,
entregando orientaciones para la mejora en las prácticas docentes. En particular, en
Latinoamérica surge el programa de investigación de Pensamiento y Lenguaje
12
Variacional, entendido “como una línea de investigación que, ubicada en el seno del
acercamiento socioepistemológico, permite tratar la articulación entre la investigación y
las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los
sistemas didácticos” (Cantoral & Farfán, 1998a).
En el marco del Pensamiento y Lenguaje Variacional cobra especial importancia, en
relación a aquellas matemáticas elaboradas para manipular con el cambio, incorporar a
los y las estudiantes a espacios de experimentación que favorezcan la construcción de
unas “matemáticas vivas” y, al mismo tiempo, que tengan una experiencia de primera
mano sobre la complejidad puesta en juego en su actividad, en situación escolar, a fin de
reconocer y valorar el uso de herramientas matemáticas que traen a escena en sus
elaboraciones personales y a la vez en aquellas del trabajo colectivo, enfrentados a
comunicar sus hallazgos en ambientes interactivos de aula (L. Díaz, 2005).
Un rol importante en este tipo de actividad, lo tiene la figuración del cambio, entendida
como la construcción de una figura de la variación de variables visualizadas en un
fenómeno. En particular, la gráfica cartesiana escolar es la principal herramienta
matemática para la figuración del cambio. Sin embargo el sistema escolar no logra que
los estudiantes constituyan a la gráfica cartesiana en una herramienta para su actividad.
En particular, la articulación de una gráfica cartesiana escolar con el fenómeno de
variación que representan, centrándose la actividad matemática escolar en la articulación
de la gráfica con la expresión algebraica de una función o las tabulaciones de cada
variable.
Carrasco y Díaz (2009), evidencian que, tanto estudiantes como profesores recurren a
diversos tipos de dibujos, en particular a cómics antes que a las gráficas cartesianas para
representar lo que varía en un fenómeno evocado. Los cómics son figuras altamente
icónicas, como si fueran fotografías que van mostrando un espacio y cambios en el
tiempo de aquello que interesa mostrar (ver imagen 1a), a diferencia de una gráfica
cartesiana que ha dejado oculto, en su alto simbolismo, el movimiento y el espacio al
13
representar el fenómeno a través de puntos/pares ordenados (ver imagen 1b) sin
incorporar la experiencia de movimiento de una manera directa.
Figura 1- Dibujos previo a gráfica cartesiana y gráfica cartesiana
Fuente: Desarrollada por autor
Fuente: Desarrollada por autor
A la luz de ello se aborda una investigación que pretende avanzar en situaciones de
enseñanza que permitan constituir a la gráfica cartesiana escolar en una herramienta para
la actividad matemática en la modelación de fenómenos de variación. Herramienta que
fortalezca procesos de visualización variacional. Investigación que enmarcada en el
Pensamiento y Lenguaje Variacional, reconoce la importancia de un enseñanza que
construya eslabones entre la matemática que se enseña y aquellas formas de conocer y
herramientas que los estudiantes han construido en su biografía, tanto escolar, como
cotidiana. Aproximación que se articula desde la noción de prácticas socioescolares de
figuración, entendidas como modos de operar compartidos por los actores escolares,
para la construcción y la interpretación de figuraciones de entidades asociadas a un
fenómeno (Carrasco & Diaz, 2012).
En el Capítulo 1 se presentan los antecedentes principales que dan pie a esta
investigación, presentando lo gráfico y lo visual como oportunidades no explotadas en
el sistema escolar y de cómo estas representan un potencial que debe ser estudiado.
14
En el capítulo 2 se establece la problemática en base a los antecedentes expuestos,
manifestando la necesidad de establecer cuál es el rol y el funcionamiento que las
figuraciones previas a la gráfica cartesiana tienen en la construcción de los modelos
gráficos ante fenómenos de variación.
En el capítulo 3, que se presenta como marco teórico, se aborda la mirada de la
socioepistemología en la matemática educativa, abarcando temas como la resolución de
problemas, el pensamiento variacional, la modelación, la gráfica y visualización, La
dualidad Local-Global y el funcionamiento y forma.
En el capítulo 4 se presenta la metodología de trabajo, caracterizada en base a un estudio
cualitativo desde las posibilidades que presenta un estudio de casos, se define la muestra
y se presentan los instrumentos que se utilizaran; una secuencia didáctica, entrevista y
observación.
En el capítulo 5 se presentan los resultados en base a la secuencia didactica utilizada, se
expone el trabajo estudiantil y se caracterizan de forma directa los procesos vividos por
los estudiantes en el proceso de modelación.
En el capítulo 6 se analizan los resultados desde dos niveles de análisis, estableciendo el
funcionamiento y forma de las figuraciones previas a la gráfica cartesiana como medio
de construcción de modelos gráficos en situaciones de movimiento.
En el capítulo 7 se presentan las conclusiones que buscan establecer las practicas de
figuraciones previas a la gráfica cartesiana como elementos que dan significado al
fenómeno y permiten establecer las características de este que necesitan los estudiantes
para la construcción del modelo gráfico, identificando una necesidad particular de cada
individuo bajo una institucionalidad escolar.
15
CAPITULO 1. ANTECEDENTES
En la educación formal e informal se han desarrollado e integrado los elementos visuales
como parte esencial de la comunicación. Gráficas, signos y objetos pictóricos, imágenes
impresas o computarizadas están presentes en todas las áreas de la sociedad actual y los
receptores modernos han desarrollado estructuras mentales que les permiten traducir y
decodificar los mensajes. En el medio educativo los estudiantes y profesores promueven
este tipo de convenio mediatizado para enriquecer la aprehensión de los conocimientos a
través de la relación visual. En el caso de la enseñanza de las matemáticas lo visual
juega un papel importante. Son diversas las áreas que precisan de representaciones
visuales, tanto para representar algún concepto, como de instrumentos útiles para el
análisis. (Planchart, 2002)
La importancia de la visualización matemática, entendida como la imagen mental que
nos formamos sobre ideas matemáticas y que involucra iconos, dibujos, gráficas, entre
otros, se ha constituido en una herramienta de construcción de ideas matemáticas, pero
no como una herramienta de la matemática formal. A partir de Euclides, se impulsó el
deber de la matemática de ser deductiva, de ir desde una verdad a otra, y en ese fluir de
verdad desde las premisas básicas (axiomas, postulados) las imágenes, diagramas y
dibujos han sido desestimados como herramientas principalmente por la desconfianza
que se la atribuye a los sentidos como medios para observar la realidad.(Carrasco, 2006)
Castro y Castro (1997) sostienen que: Kaput, Goldin, Duval, Glaeserfeld, Vergnaud, han
dedicado trabajo y tiempo a precisar el concepto de representación y a estudiar el papel
que juegan las representaciones gráficas en el aprendizaje de los estudiantes. (p.102).
Afirman, también, que: el incremento en la capacidad de visualización que se produce en
el trabajo con representaciones gráficas ayuda al estudiante en su proceso de
comprensión de los conceptos matemáticos. (p.99). (Planchart, 2002)
16
Roth y McGinn (1997) por su parte asumen que las gráficas no son solo una
representación mental sino una forma humana de vida, plantean que para desarrollar
habilidades para su lectura e interpretación es necesario involucrar a los estudiantes en la
realización de prácticas sociales asociadas más que en la posesión a priori de habilidades
cognoscitivas. En el marco de la línea de investigación del Pensamiento y Lenguaje
Variacional desarrollada por varios investigadores como Cantoral y Farfán (2003),
Dolores (), se ha asumido la hipótesis que plantea que un universo amplio y significativo
de gráficas puede contribuir al desarrollo de esta forma de pensamiento matemático. De
hecho, este estudio está inscrito al seno de esta nea de investigación. (C. D. Flores,
Chablé, Pech, Interián, Solache, 2009)
Reconocer el comportamiento de una gráfica o función requiere una visión dual local-
global, cuyo uso significativo y articulado a lo largo de un sistema didáctico involucra
reconocer el comportamiento inicial de la gráfica (conocer un todo en un cierto margen),
complementando con una visualización global de la información geométrica (G.
Buendía, 2004).
Por su parte Cen (2006) señala que la construcción de gráficas permite al estudiante
actitudes de argumentación, es decir, se puede construir y explicar una idea matemática
mediante la graficación.
Torres (2004) señala que los significados y sistemas simbólicos se encuentran
directamente en las gráficas, estos significados pueden detectarse a través del análisis
cualitativo y cuantitativo de las gráficas de la posición y de la velocidad. Los
significados se verán reflejados en las relaciones que los estudiantes logren establecer, es
decir, a través de las gráficas de la posición y de la velocidad se pueden identificar
intervalos que indiquen cuándo el movimiento es más lento, más rápido o el cuerpo se
detiene, cuándo la velocidad es positiva o negativa.
17
Suarez y Cordero (2008) señalan que en diversos trabajos de investigación relacionados
con el Cálculo y el Análisis se ha identificado a la graficación como una categoría que
construye el Cálculo, argumentos al hacer transformaciones de funciones para identificar
comportamientos tendenciales en sus gráficas. Dicha categoría ha alcanzado un estatus
similar a la analiticidad de las funciones y de la predicción (Cordero, 2001). Así, la
graficación se estudiará como categoría que sirva de vehículo para implementar el
binomio modelación-graficación en la construcción de conocimiento matemático en el
salón de clases con un ambiente tecnológico, principalmente con el uso de sensores y
calculadoras graficadoras.
Figura 2 - Gráfica Situación de aprendizaje "Epifanía"
Fuente: Suarez , Cordero, 2008
Sin embargo, en las producciones estudiantiles presentadas en su artículo “Elementos
teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la modelación del cambio y de la
variación en un ambiente tecnológico” (Suarez, Cordero, 2008) es posible observar la
utilización de figuraciones previas a la realización de la gráfica, de las que no se
presenta análisis alguno, incluyendo en sus bases teóricas para el análisis de las gráficas
el análisis Local y Global.
18
En Torres (2004) se realiza una caracterización del aprendizaje que logran cuando se
incorporan dispositivos de transducción y calculadoras con poder de traficación, para el
registro, el análisis y la interpretación de datos diversos en el salón de clases, en las
experiencias de aprendizaje con alumnos del NMS-IPN. En una de las etapas de la
experiencia de aprendizaje se les pide a los estudiantes la realización de la gráfica
cartesiana de una situación de variación tiempo/distancia, actividad en la cual muchos
estudiantes realizan figuraciones previas antes de la construcción cartesiana. Si bien se
reportan estas figuraciones, el análisis es realizado en profundidad sobre la gráfica
cartesiana, sin detenerse en estas figuraciones y lo que han de comunicar los estudiantes
en su realización.
Figura 3- Reporte de figuración y Gráfica obtenida con sensor
Fuente: Torres, 2004
19
El análisis realizado por Torres (2004) basa su análisis en el propuesto por (G. Buendía,
2004), el cual se centra en las características globales y locales de la gráfica, sin
considerar otro tipo de figuración previa en su construcción.
En Flores ( 2007) sucede una situación similar a la anterior, se evidencia la realización
de figuraciones previas a la realización de la gráfica cartesiana, pero la propuesta de
análisis se centra solo en esta última, sin considerar el análisis de las figuraciones no
cartesianas previas a la construcción de la gráfica.
Figura 4- Figuración Previa - Gráfica en Papel - Gráfica por sensor
Fuente: Flores, 2007
Sin embargo, en las producciones estudiantiles presentadas en su artículo es posible
observar la utilización de figuraciones previas a la realización de la gráfica, de las que
no se presenta análisis alguno, incluyendo en sus bases teóricas para el análisis de las
gráficas el análisis Local y Global, el mismo utilizado por Torres (2004) y Flores (2007).
El trabajo de modelación, entendido en esta investigación como una construcción
teórica que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en
juego sus conocimientos, es considerada en la escuela como una actividad privilegiada
para la aplicación de los conocimientos aprendidos a lo largo del proceso escolar. En
20
relación a los fenómenos que se desea modelar, el uso de figuras permite visualizar
aspectos ostensibles y no ostensibles presentes en el fenómeno, estableciendo a la
gráfica cartesiana como una representación de una expresión analítica.
Un rol importante en este tipo de actividad, lo tiene la figuración del cambio, entendida
como la construcción de una figura de la variación de variables visualizadas en un
fenómeno. En particular, la gráfica cartesiana escolar es la principal herramienta
matemática para la figuración del cambio. Sin embargo el sistema escolar no logra que
los estudiantes constituyan a la gráfica cartesiana en una herramienta para su actividad.
Carrasco y Díaz (2012), evidencian que, tanto estudiantes como profesores recurren a
diversos tipos de dibujos, en particular a cómics antes que a las gráficas cartesianas para
representar lo que varía en un fenómeno evocado. Los cómics son figuras altamente
icónicas, como si fueran fotografías que van mostrando un espacio y cambios en el
tiempo de aquello que interesa mostrar (ver imagen 1a), a diferencia de una gráfica
cartesiana que ha dejado oculto, en su alto simbolismo, el movimiento y el espacio al
representar el fenómeno a través de puntos/pares ordenados (ver imagen 1b) sin
incorporar la experiencia de movimiento de una manera directa.
Figura 5- Representación Icónica (comics) - Gráfica Cartesiana
Fuente: Desarrollada por autor
Fuente: Desarrollada por autor
21
Pérez y Carrasco (2012) en su reporte buscan caracterizar las practicas estudiantiles de
figuración ante un fenómeno de variación, entendiendo a la figura como proponen
Carrasco y Díaz (2012) como las disposiciones y formaciones de líneas que representan
en dos dimensiones- entidades ostensibles y no ostensibles, que se constituye en la
actividad matemática como un modelo del fenómeno que figura, modelo compuesto por
símbolos, que se materializan en aquellas partes de la figura que devienen en signos, los
cuales van configurando una narración del fenómeno, que describe la covariación de las
entidades que interesan.
El análisis realizado en este artículo se basa en tres aristas, en la primera analizan la
gráfica cartesiana resultante de las actividades de los estudiantes bajo la mirada Global-
Local propuesta por Buendía (2006). La segunda arista analizan las figuraciones previas
a la gráfica cartesiana describiendo las características de estas e identificando lo que
buscan comunicar los estudiantes. La tercera mirada utilizada, bajo la Teoría de la
Imagen de Kandisky (1993) busca identificar características propias del dibujo.
Finalmente el análisis realizado no articula la figuración como parte de un proceso
completo que finaliza con la gráfica cartesiana, por lo que no identifican el
funcionamiento que estas han de tener en el proceso de construcción.
Se hace evidente, y motiva esta investigación, que como consecuencia de construir una
gráfica cartesiana para un determinado fenómeno se utilicen de forma previa dibujos,
cómics u otro tipo de figuración, dejando este recurso sin estudiar, generando un salto
de forma automática en la relación fenómeno-Gráfica, sin establecer o identificar el rol
de todas las figuraciones que son utilizadas previas a la gráfica cartesiana.
22
CAPITULO 2. PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS
En este marco, el objetivo de la investigación es caracterizar los usos estudiantiles de
figuraciones previas a la gráfica cartesiana ante un fenómeno de variación de tiempo y
distancia, y la pregunta que guía el estudio es la siguiente: ¿cuál es el rol que cumplen
las figuraciones realizadas por estudiantes, previas a la gráfica cartesiana ante un
fenómeno de variación de tiempo y distancia?
De los antecedentes expuestos se manifiesta la necesidad de establecer cuál es el rol y el
funcionamiento que las figuraciones previas a la gráfica cartesiana tienen en la
construcción de los modelos gráficos ante fenómenos de variación, ya que se evidencia
su uso en diferentes investigaciones sin hacer un análisis articulador de estos en todo el
proceso.
Responder esta interrogante permitió manejar nociones teóricas provenientes de la teoría
de la imagen y de los análisis semánticos e ilustrar la incorporación de una práctica
matemática donde la herramienta principal es el uso de la gráfica.
2.1 Hipótesis de trabajo
Los estudiantes realizan figuraciones previas a la gráfica cartesiana ante un
fenómeno de variación de tiempo y distancia con el fin de representar y
comprender como se realiza el movimiento.
Los estudiantes realizan figuraciones previas a la gráfica cartesiana ante un
fenómeno de variación de tiempo y distancia para representar el contexto en el
que se desarrolla la situación.
23
2.2 Pregunta orientadora
¿Cuál es el rol que cumplen las figuraciones realizadas por estudiantes previas a
la gráfica cartesiana ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia?
2.3 Objetivo general.
Caracterizar los usos estudiantiles de figuraciones previas a la gráfica cartesiana
ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de
construcción de un modelo gráfico.
2.4 Objetivos específicos
Evidenciar el uso de figuraciones previas a la gráfica cartesiana ante un
fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de construcción de un
modelo gráfico por parte de los estudiantes.
Identificar distintas figuraciones utilizadas por los estudiantes previas a la gráfica
cartesiana ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de
construcción de un modelo gráfico.
Análisis de las figuraciones previas a la gráfica cartesiana ante un fenómeno de
variación de tiempo y distancia como medio de construcción de un modelo
gráfico.
Caracterizar los usos estudiantiles de figuraciones previas a la gráfica cartesiana
ante un fenómeno de variación de tiempo y distancia como medio de
construcción de un modelo gráfico.
24
CAPITULO 3. ANTECEDENTES TEORICOS
3.1 La mirada de la Socioepistemología en la Matemática
Educativa
Diversos investigadores inmersos en la educación matemática referenciados en este
trabajo enfocan su investigación desde la aproximación que ofrece la
Socioepistemología (Cantoral y Farfán, 1998, Suarez y Cordero, 2005, Marquina, 2012,
Torres, 2004, Cen, 2006, Flores, 2007, Díaz y Carrasco, 2009, entre otros), generando la
necesidad de introducir los aspectos generales que ofrece la mirada de esta línea de
investigación en educación matemática.
Jose López ( 2006) señala que la Socioepistemología se localiza al seno de la disciplina
denominada Matemática Educativa, donde coexiste con otras aproximaciones, teniendo
como punto de partida esquemas que explicaban de alguna manera la construcción de
conocimiento matemático, produciendo explicaciones o bien parciales, incompletas o
que consideraba que iban en contra de cierta evidencia empírica.
La aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática educativa
busca construir una explicación sistémica a los fenómenos didácticos en el campo de las
matemáticas, no solo discute el asunto de la semiosis o el de la cognición de manera
aislada, sino que busca intervenir en el sistema didáctico en sentido amplio, al tratar a
los fenómenos de producción, adquisición y de difusión del conocimiento matemático
desde una perspectiva múltiple, que incorpore al estudio de la epistemología del
conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados a los
mecanismos de institucionalización vía la enseñanza” (Cantoral , Farfán, 2003).
25
Cantoral y Farfán (1998) señalan que en este enfoque se enfatiza el hecho de que las
aproximaciones epistemológicas tradicionales, han asumido que el conocimiento es el
resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias empíricas,
ignorando, en algún sentido, el papel que los escenarios históricos, culturales e
institucionales desempeñan en la actividad humana. La Socioepistemología por su parte,
se plantea el examen del conocimiento matemático, social, histórico y culturalmente
situado, problematizado a la luz de las circunstancias de su construcción y difusión.
3.2 Dualidad Local-Global
Cen (2006) en el marco de estudio socioepistemológico, señala que la construcción de
gráficas permite al estudiante actitudes de argumentación, es decir, se puede construir y
explicar un conocimiento matemático mediante la graficación.
Por su parte Torres (2004) señala que los significados y sistemas simbólicos se
encuentran directamente en las gráficas, estos significados pueden detectarse a través del
análisis cualitativo y cuantitativo de las gráficas de la posición y de la velocidad. Los
significados se verán reflejados en las relaciones que los estudiantes logren establecer, es
decir, a través de las gráficas de la posición y de la velocidad se pueden identificar
intervalos que indiquen cuándo el movimiento es más lento, más rápido o el cuerpo se
detiene, cuándo la velocidad es positiva o negativa.
Buendía (2004) reconoce que el comportamiento de una gráfica o función
requiere una visión dual local-global, cuyo uso significativo y articulado a lo largo de
un sistema didáctico involucra reconocer el comportamiento inicial de la gráfica
(conocer un todo en un cierto margen), complementando con una visualización global de
la información geométrica.
26
3.3 Funcionamiento y forma
La relación funcionamiento y forma es dialéctica, ya que ambos elementos dan origen a
un uso de gráfica. Es decir, los funcionamientos y formas de las gráficas debaten entre sí
y se van reorganizando para dar lugar a otros funcionamientos y formas gráficas, lo cual
significa que la gráfica se resignifica.
La resignificación es interpretada como la construcción del conocimiento mismo en la
organización del grupo humano, normado por lo institucional, que se manifiesta en el
uso del conocimiento dentro de una situación específica (Cordero Osorio, Cen Che, &
Suárez Téllez, 2010)
El uso de la gráfica lo ubicamos como el papel que desempeña en la situación y se
manifiesta por sus funcionamientos y formas. Así, el funcionamiento son las
ejecuciones, acciones u operaciones que desempeña la gráfica en la situación, mientras
que la forma son las clases de esas ejecuciones, acciones u operaciones (Cordero &
Flores, 2007).
3.4 Resolución de problemas
Schoenfeld (en Barrantes, 2006) señala que el término resolución de problemas ha
servido como un paraguas bajo el cual se realizan radicalmente diferentes tipos de
investigación, por lo que un requerimiento de cada estudio o discusión de la resolución
de problemas se acompañe de una definición operacional del término, ya que gran
confusión emerge cuando el mismo término se refiere a una multitud de algunas veces
contradictorios de comportamientos típicamente no especificados.
27
La importancia de la resolución de problemas es reconocida internacionalmente como
un aspecto central del proceso de aprendizaje en matemáticas y sigue siendo la principal
preocupación de educadores e investigadores en educación matemática” (Díaz, Poblete,
2001)
¿Qué entiende por resolución de problemas el MINEDUC?, ¿Qué entiende por
resolución de problemas PISA?, ¿Qué otros entendimientos existen sobre lo que es
resolución de problemas? ¿Son estas miradas de la resolución de problemas las que más
se acercan al ideal para potenciar el desarrollo de competencias matemáticas?, estas son
algunas interrogantes que surgen motivadas por las inquietudes planteadas por
Schoenfeld.
Para el MINEDUC la Resolución de Problemas se entiende a partir de un saber y un
saber hacer, propio del conocimiento disciplinario, necesario para la comprensión de la
realidad y, fundamentalmente, para enfrentar y resolver variadas situaciones en diversos
contextos. Es así como la Resolución de Problemas puede ir desde el enfrentar y resolver
problemas muy explícitos y directos, hasta comparar y evaluar diferentes estrategias de
resolución.
En PISA (Carabaña, 2008) se define la resolución de problemas como la capacidad
individual que utiliza los procesos cognitivos para confrontar y resolver situaciones
multidisciplinares donde el camino hacia su resolución, además de no ser obvio, necesita
de conocimientos aplicables desde diferentes áreas, no exclusivamente desde
matemáticas, ciencias o lectura.
Santos (2008) identifica a la resolución de problemas como una forma de pensar donde
una comunidad de aprendizaje (los estudiantes y el profesor) buscan diversas maneras de
resolver la situación y reconocen la relevancia de justificar sus respuestas con distintos
tipos de argumentos. Es decir, la meta no es solamente reportar una respuesta sino
identificar y contrastar diversas maneras de representar, explorar y resolver el problema.
También contempla actividades que permitan extender el problema inicial y formular
28
conjeturas y otros problemas.
Para Díaz y Poblete (2001) una de las definiciones más comúnmente usadas de la
resolución de problemas, estipula que la tarea debe ser compleja si se va a referir a ella
como un problema. Según esta definición, una tarea es un problema para un alumno si
ella requiere de una solución bajo ciertas condiciones específicas, si este comprende la
tarea, pero no encuentra una estrategia inmediata para su solución, y, finalmente, si es
motivado para buscar la solución.
Estas miradas sobre lo que es resolución de problemas nos dan algunas directrices sobre
las cuales tenemos que decidir en post del desarrollo de los estudiantes competentes en
matemática, ¿Individuo o comunidad?, ¿Centrado en el entorno o en el objeto
matemático?, ¿Solución matemática o respuesta a una problemática real?, ¿Respuesta
mecánica o análisis de estrategias?
Las interrogantes anteriores nos hacen destacar que toda herramienta matemática ha
nacido como respuesta a una situación o fenómeno, en tiempo determinado y bajo un
contexto cultural especifico. Históricamente la matemática ha sido utilizada para
resolver los problemas del hombre como individuo que se desarrolla en una comunidad
y como ciencia ha de involucrarse en el estudio del mundo físico (salvo las matemáticas
puras), por lo que no puede desligarse de las necesidades de la sociedad y del beneficio
de la misma.
Creemos que resolver problemas no debe entenderse como la identificación de un objeto
matemático en una situación determinada, por ello entendemos como resolución de
problemas cuando una comunidad se enfrenta a un fenómeno determinado del ambiente
o entorno, en un contexto y tiempo específico, logrando por medio de la utilización de
diversas herramientas establecer patrones, realizar conjeturas, generalizar la situación,
proponiendo una respuesta que permita su aplicación en situaciones de similares
características.
29
Desde su visión de la resolución de problemas Schoenfeld (1992, en Barrantes 2006)
plantea el concepto de “Control” que se refiere a cómo un estudiante controla su trabajo
y si ante un determinado problema puede ver una serie de caminos posibles para su
solución, el estudiante tiene que ser capaz de darse cuenta si el que seleccionó en
determinado momento está funcionando o si va hacia un callejón sin salida; es decir,
tiene que darse cuenta a tiempo, retroceder e intentar de nuevo por otra vía.
Este proceso de Control creemos que es posible articularlo en relación a las cinco
dimensiones que proponen para la configuración de estudiantes competentes Díaz,
Quintanilla y Labarrere ( 2012.) Algunas acciones que involucran el control y su
articulación con las dimensiones son las que se presentan a continuación:
Entendimiento: tener claridad acerca de lo que trata un problema antes de
empezar a resolverlo. Relacionamos esta acción con la dimensión que desarrolla
maneras de pensar y puntos de vista sobre la acción y el actuar matemático
competente.
Consideración de varias formas posibles de solución y seleccionar una
específica, o sea: hacer un diseño. Relacionada con la dimensión que aborda
tareas y problemas, en la actividad matemática escolar, que favorecen la
creación, la comunicación y la gestión. Desarrolla actividad matemática
estudiantil con modelos y situaciones.
Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar un camino no exitoso y tomar
uno nuevo. Relación con dimensión que despliega competencias de
autorreferencia y autorregulación de su desempeño en la actividad matemática.
Llevar a cabo ese diseño que hizo, estar dispuesto a cambiarlo en un momento
oportuno. Relación con dimensión que ostenta actividad matemática escolar en
ambientes de desarrollo intencional.
30
Revisar el proceso de resolución. Es posible relacionar esta acción de control con
todas las dimensiones planteadas.
Se hace evidente el potencial de la resolución de problemas como herramientas para el
desarrollo de estudiantes competentes en matemática, siempre que este proceso se
realice de forma consciente y sea posible realizar seguimiento a los procesos de cada
estudiante.
George Polya (1981) estableció cuatro etapas que después sirvieron de referencia para
muchos planteamientos y modelos posteriores, en los que se fueron añadiendo nuevos
matices, si bien el esquema básico de todos ellos se mantiene. Las etapas del proceso de
resolución que determina Polya son las siguientes:
Comprensión del problema.
Concepción de un plan.
Ejecución del plan.
Visión retrospectiva.
3.5 Pensamiento Variacional
Vasco (2003) señala que el principal propósito del pensamiento Variacional es la
modelación matemática. Señala además que no es propiamente la resolución de
problemas ni de ejercicios; al contrario, los mejores problemas o ejercicios deberían ser
desafíos o retos de modelar algún proceso. Señala Vasco que para resolver un problema
interesante se debe armar primero un modelo de la situación, en donde las variables
covaríen en forma semejante a la de la situación problemática, y no es posible realizarlo
sin activar el pensamiento Variacional.
31
Por su parte Díaz (2009) señala que el pensamiento variacional se refiere a los procesos
cognitivos que permiten analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y
problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de la actividad de la ciencia
ciencias y la propiamente matemática donde la variación se encuentre como sustrato de
ellas, situación que implica un alto grado de acción por parte del estudiante, ya que él es
quien debe actuar para que tales procesos cognitivos interactúen con la diversidad de
situaciones y problemas a los que puede verse enfrentado.
Con el fin de identificar los elementos que favorecen los procesos de variación y
modelación en un aula bajo una bajo un modelo educativo Montessori se hace necesario
caracterizar como el contexto y las prácticas que han de envolver los procesos de
construcción del conocimiento.
Marquina (2012) señala que en las últimas décadas se han desarrollado teorías o
acercamientos en los cuales se destaca la importancia de aspectos sociales y culturales
sobre el individuo mismo, así como en los procesos de aprendizaje o la cognición
misma. Ejemplo de ello son: la Socioepsitemología, la Etnomatemáticas, la Semiótica
Cultural, entre otros.
En particular, la Socioepistemología, asume como tesis que la construcción social del
conocimiento está dado de manera sistémica bajo cuatro componentes fundamentales
“su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y
los modos de transmisión a la enseñanza” (Cantoral y Farfán, 2003, citado en
Marquina 2012).
Así mismo la Socioepistemología centra su atención en el papel de las Prácticas
Sociales, entendidas como entornos para construir conocimiento matemático y además
las reconoce como normativas de la actividad humana (Covian 2005, citado en Marquina
2012).
32
“Bajo este enfoque teórico (La Socioepistemología), el pensamiento y el lenguaje
Variacional será entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno del
acercamiento socioepistemológico, permita tratar la articulación entre la investigación y
las prácticas sociales asociadas a la matemática de la variación y el cambio en los
sistemas didácticos” (Cantoral & Farfán, 2003a).
3.6 Modelación
Arrieta (2003), en el marco de la Socioepistemología, establece a la modelación como
una social base en el diseño de secuencias de aprendizaje. Diseños que no se centran en
los contenidos matemáticos o en las producciones de los estudiantes, sino en las
prácticas sociales, que están a la base de la construcción de conocimiento y que ejercidas
por los participantes utilizando herramientas y situadas en un contexto social, en este
caso, en las prácticas sociales de modelación.
Marquina (2012) señala sobre Algunas investigaciones que han encontrado que una
práctica recurrente en diversas comunidades, es la Modelación. Ello concurre con la
recomendación que se hace en los currículum escolares de privilegiar como uno de
cuatro procesos de enseñanza de las matemáticas, a la modelación (Villa, 2007, citado
en Marquina 2012).
“La construcción de modelos matemáticos es una de las herramientas utilizadas hoy en
día para el estudio de problemas en medicina, biología, fisiología, bioquímica,
epidemiología, farmacocinética, entre otras áreas del conocimiento; sus objetivos
primordiales son describir, explicar y predecir fenómenos y procesos en dichas áreas “.
(Montesinos y Hernández, 2007, citado en Marquina 2012).
Bajo la mirada anterior, si se busca, estimular y potenciar el pensamiento variacional
utilizando la modelación como herramienta o camino, es necesario identificar las
33
características del contexto en el que se han de desarrollar los estudiantes y de igual
forma las prácticas sociales que han de envolver el proceso epistemológico.
Transferibles estos contextos deben ser cercanos a aquellos en los cuales los estudiantes
vivirán y trabajarán en su vida de adulto.
“Podemos decir entonces que en algunas comunidades, las prácticas del uso de las
matemáticas no siempre son reconocidas por sus miembros y en algunas ocasiones
incluso, las prácticas son distintas a aquellas que se aprenden escolarmente. Es así que
consideramos, existe una tensión entre las prácticas escolares y las prácticas del uso de
las matemáticas. La problemática general que atiende nuestra investigación es la que
deriva de la separación de la escuela y su entorno” (Marquina, 2012).
Castro y Castro (1997) sostienen que: Kaput, Goldin, Duval, Glaeserfeld, Vergnaud, han
dedicado trabajo y tiempo a precisar el concepto de representación y a estudiar el papel
que juegan las representaciones gráficas en el aprendizaje de los estudiantes. (p.102).
Afirman, también, que: el incremento en la capacidad de visualización que se produce en
el trabajo con representaciones gráficas ayuda al estudiante en su proceso de
comprensión de los conceptos matemáticos. (p.99). (Planchart, 2002)
3.7 Visualización
Visualización Matemática Trata con el funcionamiento de las estructuras cognitivas que
se emplean para resolver un problema. Con las relaciones abstractas que formulamos
entre las diferentes presentaciones de un objeto matemático a fin de operar con ellas y
obtener un resultado. Con la participación de una cultura aportando significados y
significantes a los elementos involucrados en la visualización. (E. Carrasco, 2006)
Hitt (1998) señaló que desde 1985, aproximadamente, se le ha dado mayor importancia
al proceso de generación de imágenes mentales adecuadas para el desarrollo de las
habilidades como la visualización matemática, en la resolución de problemas y para el
34
aprendizaje de la matemática, en general. Esto ha impulsado, por un lado, el estudio del
papel de las representaciones de los objetos matemáticos y, por el otro, el desarrollo de
una matemática en contexto. (Planchart, 2002)
¿Cómo ha estado incorporada en la educación? En la educación formal e informal se han
desarrollado e integrado los elementos visuales como parte esencial de la comunicación.
Gráficas, signos y objetos pictóricos, imágenes impresas o computadorizadas están
presentes en todas las áreas de la sociedad actual y los receptores modernos han
desarrollado estructuras mentales que les permiten traducir y decodificar los mensajes.
En el medio educativo los estudiantes y profesores promueven este tipo de convenio
mediatizado para enriquecer la aprehensión de los conocimientos a través de la relación
visual. En el caso de la enseñanza de las matemáticas lo visual juega un papel
importante. Son diversas las áreas que precisan de representaciones visuales, tanto para
representar algún concepto, como de instrumentos útiles para el análisis. A pesar de este
desarrollo, el uso de la visualización en las clases de matemáticas no ha sido incorporado
de manera sistemática ni generalizada; tampoco es constante la evaluación de sus
ventajas y desventajas. (Planchart, 2002)
La importancia de la visualización matemática, entendida como la imagen mental que
nos formamos sobre ideas matemáticas y que involucra iconos, dibujos, gráficas entre
otros, se ha constituido en una herramienta de construcción de ideas matemáticas, pero
no como una herramienta de la matemática formal. A partir de Euclides, se impulsó el
deber de la matemática de ser deductiva, de ir desde una verdad a otra, y en ese fluir de
verdad desde las premisas básicas (axiomas, postulados) las imágenes, diagramas y
dibujos han sido desestimados como herramientas principalmente por la desconfianza
que se la atribuye a los sentidos como medios para observar la realidad.(E. Carrasco,
2006).
35
Demostraciones visuales: Se entienden como aquellas demostraciones que se sustentan
principalmente en argumentos propios a registros icónicos y/o gráficos y por tanto no
responde a un solo registro algebraico. (E. Carrasco, 2006).
Castro y Castro (1997) sostienen que: Kaput, Goldin, Duval, Glaeserfeld, Vergnaud, han
dedicado trabajo y tiempo a precisar el concepto de representación y a estudiar el papel
que juegan las representaciones gráficas en el aprendizaje de los estudiantes. (p.102).
Afirman, también, que: el incremento en la capacidad de visualización que se produce en
el trabajo con representaciones gráficas ayuda al estudiante en su proceso de
comprensión de los conceptos matemáticos. (p.99). (Planchart, 2002)
Los alcances cognitivos que tiene la visualización matemática se pueden determinar si se
describen y definen diversos aspectos y elementos que confluyen en el campo de la
visualización. A continuación, se analizan: la tendencia anti-ilustrativa en la matemática,
la visualización y otros términos afines, las funciones cognitivas de la visualización, el
pensamiento visual o pensamiento simbólico y las dificultades que se presentan con la
visualización. (Planchart, 2002)
Por otro lado, la graficación es considerada en la escuela como una habilidad que le
permite al estudiante visualizar algunos de los aspectos que se presentan de cierto
contenido matemático, siguiendo el ejemplo de la función cuadrática, la curva llamada
parábola proporciona una forma visual de representar los puntos que satisfacen la
expresión analítica de una ecuación cuadrática, o comprobar que la parábola definida
como un lugar geométrico coincide con la curva que representan los puntos de la
expresión analítica de una cierta función cuadrática.(Suárez & Cordero, 2010)
Se trata de la obra Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum (Oresme, 1340).
La idea central de esta obra es que las figuras geométricas y el conocimiento sobre las
proporciones matemáticas ayudan a „comprender fenómenos‟ donde intervienen
cualidades que pueden adquirir sucesivamente diferentes intensidades. Identificamos en
este Tratado una intención de transformar el funcionamiento y la forma del
36
conocimiento matemático de la época, la geometría y las proporciones, estableciendo
una nueva naturaleza epistemológica determinada por su uso para modelar, en el sentido
mencionado, situaciones de variación. La transformación mencionada es interpretada
como una evidencia de resignificación y arroja elementos para la conformación de
nuestro marco de referencia. Con esta concepción se establece una relación entre la
intención de „comprender, estudiar y controlar‟ fenómenos con una práctica de
modelación. (Suárez & Cordero, 2010)
La articulación de estos resultados conforma una epistemología para la modelación
escolar que está anclada en las gráficas, que se llamará una Socioepistemología de la
modelación-graficación, y que proporciona un marco de referencia para que los
estudiantes resignifiquen sus conocimientos matemáticos. Para este estudio, nos
centraremos en aquel conocimiento que se encuentra alrededor de la modelación gráfica
del cambio y de la variación, como un caso especial se tomará la modelación del
movimiento. (Suárez & Cordero, 2010)
Nicolás de Oresme, filósofo situado en el siglo catorce, ha sido estudiado como un
matemático importante en la Edad Media. Algunos historiadores han destacado su
trabajo en relación con su importancia como precursor de la geometría analítica
(González-Urbaneja, 1992, p. 45), sin embargo éste no es el énfasis en el análisis que
brindamos. Nosotros analizamos la obra de Oresme en cuanto a la aportación que hizo al
generar una forma de representar aquellas características de las „cosas‟ que cambian y
que se nombran como “cualidades”. La palabra misma “cualidad” tiene, para Oresme,
incorporada la noción de variación. Esto lo podemos advertir en el extracto siguiente, en
el que al hablar “Sobre la continuidad de las intensidades”, al final del párrafo, menciona
a la cosa “intensible”, que cambia de intensidad, y la llama “cualidad”. Es importante
destacar que en la definición contenida en el párrafo analizado se introduce la
continuidad como una característica inherente a las cualidades.(Suárez & Cordero,
2010).
37
“Toda cosa medible excepto los números se concibe como una cantidad continua, por lo
tanto, para la medición de una cosa así es necesario que se puedan imaginar esos puntos,
líneas y superficies o sus propiedades. […] Por tanto, cada intensidad que se puede
adquirir sucesivamente se debe imaginar como una recta perpendicular levantada en
algún punto del espacio o sujeto de la cosa "intensible", una cualidad”. Oresme I.i,
traducido a partir de Clagett 1968, 165 y 167. (Suárez & Cordero, 2010)
El propósito de la obra citada de Oresme es representar a través de figuras geométricas
(rectángulos, trapecios, triángulos, semicircunferencias) el modo en que las cualidades
varían. La forma y el funcionamiento de las figuras geométricas no consisten en
describir la posición de los puntos respecto de coordenadas rectilíneas, sino que las
figuras mismas capturan la esencia de la cualidad de cantidad continua. En ese sentido
las figuras geométricas adquieren un significado global. Las propiedades de la figura
representan propiedades intrínsecas a la cualidad misma. Es plausible interpretar que
Oresme resignifica las figuras geométricas para establecer un nuevo funcionamiento de
ellas y que permite modelar situaciones de variación. Es decir, se atribuye una nueva
naturaleza a las figuras de la geometría para tener una nueva funcionalidad al identificar,
describir y controlar el cambio y la variación. (Suárez & Cordero, 2010)
La aportación de Nicolás de Oresme para el análisis cuantitativo del movimiento la
constituye la representación geométrica del mismo. Para Oresme “[...] la dimensión de
los fenómenos está sometida a múltiples variaciones y dicha multiplicidad es
difícilmente discernible si su estudio no se remite al estudio de figuras geométricas. [...]
Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua
representada por segmentos rectilíneos.” Oresme, citado por González-Urbaneja, 1992,
42. (Suárez & Cordero, 2010)
38
Atribuye a las figuras una naturaleza que con ayuda de la imaginación permite el
conocimiento de la cualidad a representar:
“Les propriétés de cette qualité en seront examinées plus clairement et plus facilement
dès lors que quelque chose qui lui est semblable est dessiné en une figure plane, et que
cette chose, rendue claire par exemple visible, est saisie rapidement et parfaitement par
imagination ...car l'imagination des figures aide grandement à la connaissance des
choses même” Oresme. Traducido por Souffrin, P. y Weiss, J.P. (Suárez & Cordero,
2010)
"Las propiedades de esta cualidad se examinará con mayor claridad y facilidad cuando
algo es como se dibuja en una figura plana, y que lo hizo visible ejemplo claro es la
entrada rápida y completamente por la imaginación ... cifras de la imaginación ayuda
mucho al conocimiento de las cosas aún más "Oresme. Traducido Por Souffrin, P. hay
Weiss, J. P. (Traducción de Google “Modificada”)
Las relaciones que se establecen entre figuras geométricas y situaciones específicas de
variación permiten observar cómo esta figuración de las cualidades surge en el momento
del síntoma de la función (en el sentido de Youschkevitch, 1976). Es decir, tiene sentido
pensar en que la graficación conforma elementos importantes de construcción para las
ideas de la variación y que se desarrollan de manera independiente, en este caso anterior
al desarrollo analítico del concepto de función. (Suárez & Cordero, 2010)
Roth y McGinn (1997) por su parte asumen que las gráficas no son solo una
representación mental sino una forma humana de vida, plantean que para desarrollar
habilidades para su lectura e interpretación es necesario involucrar a los estudiantes en la
realización de prácticas sociales asociadas más que en la posesión a priori de habilidades
cognoscitivas. En el marco de la línea de investigación del Pensamiento y Lenguaje
Variacional desarrollada por varios investigadores como Cantoral y Farfán (2000),
Dolores (2008), se ha asumido la hipótesis que plantea que un universo amplio y
significativo de gráficas puede contribuir al desarrollo de esta forma de pensamiento
39
matemático. De hecho, este estudio está inscrito al seno de esta nea de investigación.
(C. D. Flores et al., 2009)
3.8 Grafica
El estudio del uso de las gráficas se está consolidando como una línea de investigación
en la que se estudian las prácticas de referencia asociadas a la graficación en el discurso
matemático escolar (Suárez , Cordero, 2010).
Según Buendía (2012) las tareas que el profesor de matemáticas tiene que desarrollar, en
el marco de referencia que el sistema educativo brinda a las gráficas cartesianas, están
referidas a lograr la correcta articulación de los elementos semióticos que la componen,
favorecer el tránsito desde un registro gráfico hacia el analítico, lograr la adecuada
interpretación. Ante ello, lo que se adquiere incluyendo al profesor es un uso
instrumental de los símbolos matemáticos inmersos sin entender los conceptos
representados. Le cabe al profesor entonces, proponer tareas que promuevan lo que
Duval (1988) ha señalado como conversiones directas entre registros de representación.
Los trabajos orientados hacia la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en un
ambiente tecnológico de Torres (2004), Flores (2005) en Suarez y Cordero (2010) y de
Cen (2006), han aportado información sobre el tipo de gráficas que se encuentra
actualmente en la educación básica y secundaria, proporcionando evidencias de que el
uso de ellas tiene un desarrollo que sustenta una construcción de conocimiento
matemático. En estos estudios de uso de las gráficas (Cordero y Flores, 2007) existe una
intención de caracterizar a la graficación como un conocimiento con estructura propia y
de desarrollo susceptible.
Específicamente, Cen (2006) en el marco de un estudio socioepistemológico, señala que
la construcción de gráficas permite al estudiante colocar en juego actitudes de
argumentación, es decir, se puede construir y explicar un conocimiento matemático
40
mediante la graficación, del mismo modo que la actividad de graficación se puede
incorporar en las prácticas institucionales en el modelo de conocimiento, dando cuenta
del conocimiento matemático y las causas reales de tal conocimiento. Por su parte
Torres (2004) señala que los significados y sistemas simbólicos se encuentran
directamente en las gráficas. Estos significados pueden detectarse a través del análisis
cualitativo de las gráficas de la posición y de la velocidad. Los significados se verán
reflejados en las relaciones que los estudiantes logren establecer, es decir, a través de las
gráficas de la posición y de la velocidad se pueden identificar intervalos que indiquen
cuándo el movimiento es más lento, más rápido o el cuerpo se detiene, y cuándo la
velocidad es positiva o negativa.
Describir la manera en la que estudiantes de distintos niveles de escolaridad representan
el movimiento de objetos, tanto por medio de gráficas cartesianas como a través de
dibujos, ha sido una labor que varios investigadores han realizado en Educación
Matemática (Clement, 1989; DiSessa et al, 1991; Nemirovsky, 1994; Nemirovsky,
Tierney y Wright, 1998; Sherin, 2000; Doorman, 2005). De las investigaciones de
DiSessa et al. (1991), Sherin (2000), Nemirovsky (1994) y Nemirovsky et al. (1998), se
puede inferir que, para el estudiante novicio, el estudio de fenómenos relacionados con
el movimiento no es una tarea fácil de llevar a cabo. De estos estudios se desprende que
la utilización de gráficas cartesianas y fórmulas algebraicas en la investigación del
movimiento, requiere la comprensión del funcionamiento de una forma cultural de
descripción gráfico-visual que subraya tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del
movimiento a través de una semiótica compleja que está lejos de ser transparente para el
alumno (Miranda et al, 2007).
Para Miranda et al (2013) los objetos matemáticos son generados por los individuos en
el transcurso de su desarrollo histórico cultural; en específico, estos objetos no son
entidades substanciales. Los objetos son entendidos como formas culturalmente
codificadas de movimiento, y basado en la teoría de la objetivación, las gráficas
cartesianas en las que se representa el movimiento lineal de objetos, son signos de una
41
actividad de reflexión sobre el movimiento, reflexión que ha quedado incrustada en la
cultura occidental desde la primera mitad del siglo XIV. Para Radford (2009) considerar
a la gráfica cartesiana como signo o como objeto de mediación semiótica de cierta forma
histórico-cultural de pensar el movimiento, implica una reorganización en la manera de
concebir el aprendizaje de dicha gráfica. Con el fundamento epistemológico de la teoría
de la objetivación se describe, precisamente, el lineamiento general de esa
reorganización por medio de la concepción sociocultural del aprendizaje.
En lo que atañe a las gráficas, la dimensión epistemológica es la que tiene que ver
directamente con el contenido matemático de enseñanza, el cual debe estudiarse desde
las perspectivas de su origen y su funcionamiento, es decir, cuáles son las formas que se
utilizan en la enseñanza escolar para poder graficar, y cuáles son las concepciones que
tienen los estudiantes al estudiar los aspectos globales y locales de las gráficas.
Por su parte, para el análisis de las producciones de los estudiantes, se escogió una
situación de aprendizaje que tiene que ver con la modelación gráfica del movimiento, el
que se realizó considerando dos niveles. Un primer nivel de análisis basado en el modelo
propuesto por Torres (2004), que busca identificar las visiones locales y globales de la
gráfica, cuyo uso significativo y articulado a lo largo de un sistema didáctico involucra
reconocer el comportamiento inicial de la gráfica (conocer un todo en un cierto margen),
complementando con una visualización global de la información geométrica. Un
segundo análisis que describe cada figuración a partir del grado de iconicidad; Los
componentes de la figura y su sintaxis, así como distinciones de percepción que provee
la Gestal -leyes de percepción- articuladas desde la teoría de la imagen, y las
textualidades asociadas a su construcción.
42
CAPITULO 4. METODOLOGIA
Sandín (2003) justifica el estudio de casos principalmente porque el tipo de análisis
apunta al conocimiento de formas de pensamiento, cuestión que tiene un carácter
individual y comprensivo del que se espera generar teoría. Esta metodología,
presupone que el conocimiento es esencialmente un producto social que se extiende
o cambia continuamente de la misma manera que cambia la realidad concreta y no
está separado de la práctica (Sandín, 2003)
“La investigación mediante estudio de casos nos permite centrarnos en el fenómeno
de la experimentación y visualización matemática de los fenómenos naturales desde
la perspectiva de los participantes, lo que facilitaría analizar de modo profundo y con
intensidad el fenómeno de estudio con
El fin de establecer generalizaciones acerca de una población más amplia a la que
pertenece el particular observado”. (McMillan, Schumacher, & Baides, 2005)
Muestra: La implementación exploratoria, en el marco de un estudio de caso, aborda
un caso de análisis, compuesto por cuatro estudiantes de tercer año medio del
colegio Barrie Montessori de la Comuna de Peñalolén, Santiago de Chile.
4.1 Instrumentos
Secuencia: Se utilizará una actividad propuesta en una secuencia tomada de los
Paquetes Didácticos (Suárez Téllez et al., 2005) diseñados por la Academia
Institucional de Matemáticas Instituto Politécnico Nacional de México. Esta
actividad pide a los estudiantes transitar por un ciclo de exploraciones gráficas
43
Entrevista: “La entrevista, es una técnica cuyo objetivo es obtener información de
forma oral y personalizada, sobre acontecimientos vividos y aspectos subjetivos de
la persona en relación con la situación que se está estudiando” (Bisquerra, 2004).
En el estudio, se empleó la entrevista con los siguientes propósitos: (1) como un
dispositivo exploratorio para ayudar a identificar variables y relaciones explicativas
entre las mismas y (2) para complementar otros métodos haciendo un seguimiento de
los resultados. Albert (2006) destaca entre las características de la entrevista el ser:
(a) una relación entre dos personas, (b) bidireccional, preferentemente oral, (c) con
unos objetivos conocidos y prefijados, al menos por el entrevistador y (d) con una
asignación de roles que significa un control de la situación por parte del
entrevistador. En particular se realizara una entrevista semiestructurada que permita
integrar la actividad emergente que surja de la interacción entre entrevistador y
entrevistado.
Observación: definida por Bravo (1984) como la inspección y estudio realizado por
el investigador, mediante el empleo de sus propios sentidos, con o sin ayuda de
aparatos técnicos, de las cosas o hechos de interés social, tal como son o tienen lugar
espontáneamente. Van Dalen y Meyer (1981) consideran que la observación juega
un papel muy importante en toda investigación porque le proporciona uno de sus
elementos fundamentales; los hechos.
Este análisis se realizará sobre la entrevista y observaciones. Se procederá a
transcribir las entrevistas y observaciones obteniendo una gran cantidad de
información. Propósitos centrales:
1) Organización de las unidades, categorías, temas y patrones
2) Empleo de técnicas de visualización para representar ideas (esquemas)
3) Interpretación de ideas y conceptos
44
4) Reconstrucción de temas
5) Integración y construcción de teoría
Se desarrolló este estudio durante el año 2014 en el marco de una investigación
descriptiva y exploratoria de naturaleza cualitativa, sustentado en estudio de caso y
complementado con entrevistas. Los sujetos de estudio lo conformaron cuatro
estudiantes de tercer año de secundaria de un establecimiento educacional particular
subvencionado.
Con la finalidad de lograr una caracterización de los entendimientos estudiantiles previo
al manejo de las gráficas y para la construcción de modelos, que les permitan describir la
variación de la posición y la velocidad en una situación de movimiento, se utilizó una
situación problema previamente validada y desarrollada por Flores (2007). Es un
problema de movimiento que para su aplicación original, el autor utilizó calculadoras
con poder de graficación y sensor de movimiento (CBR). Para efectos de esta
investigación, no se usó la tecnología. El contenido de la situación problema
seleccionada para esta investigación, estaba en correspondencia con el programa de
matemáticas que cursaban los estudiantes. Éste establece que ellos deben adquirir
conocimientos sobre el significado de la pendiente de una recta (por ejemplo, en el
contexto del movimiento de objetos), así como de la fórmula v=d/t.
Las gráficas cartesianas que representan el movimiento lineal de objetos con velocidad
constante son generalmente usadas por los profesores de matemáticas cuando enseñan
las representaciones gráficas de funciones de la forma f(x) = mx+b. Es común que el
análisis de este tipo de gráficas consista en pedir a los estudiantes que, dado un tiempo
específico, determinen la distancia recorrida por el objeto. La situación problema
propuesta cuyas respuestas son analizadas en este trabajo, se describe a continuación, y
consiste en describir gráficamente el movimiento de una persona que se aleja de un
45
punto de partida hasta 500 metros, para luego regresar y sólo dispone de nueve minutos,
pero durante dicho trayecto se detiene cuatro minutos:
“Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando
advirtió que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y
acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que fue a la
biblioteca, cogió su cuaderno y regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su,
probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su
bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico
cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos, lo que la obligó a recuperar estos
instantes”. La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de música en
el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó en
total 9 minutos. (Flores, 2007, pp.32).
En esta actividad se busca que los estudiantes comprendan el problema, y puedan
construir una gráfica que represente los cambios de posición con respecto al tiempo,
transitando por un ciclo de exploraciones previas a la construcción de ella. Básicamente,
en el momento de realizar esta tarea los estudiantes deben tomar decisiones sobre las
variables que intervienen, la escala de la gráfica, las distancias recorridas en distintos
instantes.
46
CAPITULO 5. RESULTADOS
Estudiante: Daike, estudiante de tercero medio.
Tabla 1- Resultados estudiante Daike
¿Qué tipo de dibujos previos hacen para
describir o entender la situación?
No realiza un dibujo previo.
¿Establecen un sistema de
coordenadas? Si es así cuáles son las
variables que emplean para determinar
los cambios de posición
Realiza su gráfica utilizando dos variables,
tiempo en minutos y distancia en metros.
¿Toman en cuenta las unidades y las
escalas en los ejes?
En el eje tiempo, para los nueve minutos
utiliza números pares y entre el ocho y el diez
establece el nueve. En el eje distancia solo
señala los 500 metros.
47
¿Qué tipo de trazos realizan para
construir la gráfica?, es decir, si utilizan
rectas o curvas o rectas y curvas
Para la realización de la gráfica utiliza trazos
curvos y rectos.
Establecen algún tipo de función
matemática, si es así cuál o cuáles son
No establece función.
En su gráfica señalan los cambios de
posición de ida, de regreso y cuando se
detiene, emplean intervalos, (indican
de donde a donde) para describir dichos
cambios
En su gráfica señalan la velocidad positiva,
negativa y nula
Hacen referencia a otra situación o
fenómeno para explicar su gráfica
No hay evidencia.
Con respecto a la gráfica de la
velocidad pueden identificar en la
gráfica cuando tiene que ir más rápido,
más lento o se detiene, si es así cómo lo
hacen.
Al hacer la gráfica de la velocidad, la
relacionan con la de la distancia.
Al utilizar trazos curvos y rectos, expresa un
cambio de velocidad a medida que se
aproxima un cambio de dirección.
48
Estudiante: Victoria, estudiante de tercero medio.
Tabla 2- Resultados estudiante Victoria
¿Qué tipo de dibujos previos hacen para
describir o entender la situación?
Realiza un dibujo previo para entender la
situación, representando la forma circular del
problema, incorporando las distancias y la
ubicación del salón de música y la biblioteca.
¿Establecen un sistema de
coordenadas? Si es así cuáles son las
variables que emplean para determinar
los cambios de posición
Realiza su gráfica solo entorno a la variable
tiempo, por lo que no presenta un sistema de
coordenadas.
49
Para victoria, la situación comienza en la
biblioteca, ya que ella señalo que si “se le
había olvidado en la biblioteca, es por que
ahí había partido”, por esto en su gráfica es
posible observar un momento más que en las
otras producciones.
¿Toman en cuenta las unidades y las
escalas en los ejes?
En el eje tiempo (el único realizado) gradúa
en minutos de uno en uno, partiendo desde el
cero hasta el nueve.
¿Qué tipo de trazos realizan para
construir la gráfica?, es decir, si utilizan
rectas o curvas o rectas y curvas
Para la realización de la gráfica utiliza solo
líneas rectas.
Establecen algún tipo de función
matemática, si es así cuál o cuáles son
No establecen función.
En su gráfica señalan los cambios de
posición de ida, de regreso y cuando se
detiene, emplean intervalos, (indican
de donde a donde) para describir dichos
Al realizar su gráfica solo en relación al eje
tiempo, los intervalos solo consideran esta
variable, donde siempre coinciden los
cambios de posición de forma exacta con los
50
cambios
minutos.
Hacen referencia a otra situación o
fenómeno para explicar su gráfica
No hay evidencia.
Con respecto a la gráfica de la
velocidad pueden identificar en la
gráfica cuando tiene que ir más rápido,
más lento o se detiene, si es así cómo lo
hacen.
Al hacer la gráfica de la velocidad, la
relacionan con la de la distancia.
Al utilizar trazos rectos para su gráfica, no se
identifica cambio de velocidad, pero si
claramente el cambio de dirección.
51
Estudiante: Cristóbal, estudiante de tercero medio.
Tabla 3- Resultados estudiante Cristóbal
¿Qué tipo de dibujos previos hacen para
describir o entender la situación?
Realiza un dibujo previo representando las
diversas situaciones por las que pasa
Valentina.
Representa la forma circular del problema,
incorporando las distancias y la ubicación del
salón de música y la biblioteca.
¿Establecen un sistema de
coordenadas? Si es así cuáles son las
variables que emplean para determinar
los cambios de posición
Realiza su gráfica utilizando dos variables,
tiempo en minutos y distancia en metros.
52
¿Toman en cuenta las unidades y las
escalas en los ejes?
En el eje tiempo, solo indica el punto en que
se cambia la dirección, sin utilizar minutos
exactos, el primer cambio de dirección es a
las 1,25 minutos.
¿Qué tipo de trazos realizan para
construir la gráfica?, es decir, si utilizan
rectas o curvas o rectas y curvas
Para la realización de la gráfica utiliza trazos
rectos.
Establecen algún tipo de función
matemática, si es así cuál o cuáles son
No establece función.
En su gráfica señalan los cambios de
posición de ida, de regreso y cuando se
detiene, emplean intervalos, (indican
de donde a donde) para describir dichos
No señalan de forma verbal los cambios de
dirección, pero al utilizar trazos rectos se
observan con facilidad.
53
cambios
Hacen referencia a otra situación o
fenómeno para explicar su gráfica
No hay evidencia.
Con respecto a la gráfica de la
velocidad pueden identificar en la
gráfica cuando tiene que ir más rápido,
más lento o se detiene, si es así cómo lo
hacen.
Al hacer la gráfica de la velocidad, la
relacionan con la de la distancia.
Al utilizar trazos rectos para su gráfica, no se
identifica cambio de velocidad, pero si
claramente el cambio de dirección.
54
Estudiante: Bruno, estudiante de séptimo básico.
Tabla 4- Resultados estudiante Bruno
¿Qué tipo de dibujos previos hacen para
describir o entender la situación?
Realiza un dibujo previo para entender la
situación, representando la forma circular del
problema, incorporando las distancias y la
ubicación del salón de música y la biblioteca.
¿Establecen un sistema de
coordenadas? Si es así cuáles son las
variables que emplean para determinar
los cambios de posición
Realiza su gráfica utilizando dos variables,
tiempo en minutos y distancia en metros.
55
¿Toman en cuenta las unidades y las
escalas en los ejes?
En el eje tiempo gradúa en minutos de uno en
uno, partiendo desde el cero hasta el nueve...
En el eje distancia gradúa en metros de
cincuenta en cincuenta llegando hasta
quinientos.
¿Qué tipo de trazos realizan para
construir la gráfica?, es decir, si utilizan
rectas o curvas o rectas y curvas
Para la realización de la gráfica utiliza trazos
rectos.
Establecen algún tipo de función
matemática, si es así cuál o cuáles son
No establece función.
En su gráfica señalan los cambios de
posición de ida, de regreso y cuando se
detiene, emplean intervalos, (indican
de donde a donde) para describir dichos
cambios
En su gráfica señalan la velocidad positiva,
negativa y nula, señalando la situación en la
que se encuentra Valentina
56
Hacen referencia a otra situación o
fenómeno para explicar su gráfica
No hay evidencia.
Con respecto a la gráfica de la
velocidad pueden identificar en la
gráfica cuando tiene que ir más rápido,
más lento o se detiene, si es así cómo lo
hacen.
Al hacer la gráfica de la velocidad, la
relacionan con la de la distancia.
Al utilizar trazos rectos para su gráfica, no se
identifica cambio de velocidad, pero si
claramente el cambio de dirección.
57
Entrevista.
Estudiante: Cristobal
Entrevistador (E): ¿Qué representa la gráfica realizada?
Cristóbal (C): Representaba el movimiento que el ejercicio denomina positivo o
negativo. Una manera de representarlo entonces es que el gráfico representa el tiempo en
el que se mueve entre los espacios y su velocidad.
E: En tu construcción realizaste dos dibujos auxiliares. ¿Qué función cumple cada uno
de ellos en la construcción de la gráfica?
C: La circunferencia representa el espacio que recorre Valentina en la biblioteca y la sala
de música que tiene una distancia de 500 metros, que es la distancia del patio. Es para
representar visualmente lo que tengo en la cabeza ya que es más fácil de entender.
E: ¿Qué función cumple la secuencia que realizaste?
C: Esta secuencia representa cada hecho destacable, Ideas distintas separadas por puntos
o comas (descripción de la secuencia de hechos).
E: Llama la atención que manifestaste 5 secuencias, que calzan con los puntos de
cambio en la gráfica que realizaste.
C: La verdad fue de manera inconsciente, en cierta medida yo representé las cosas que
tenía en la cabeza, ya que me pidieron que lo represente y sólo tenía una idea en la
cabeza sin darme cuenta la traduje a ambos lenguajes (gráfico y dibujo).
58
E: ¿Lo que señalas es que la secuencia del cómic representa lo mismo que la gráfica
cartesiana?
C: Sí.
E: La gráfica cartesiana sólo utiliza tramos rectos, ¿sentiste necesidad de otro tipo de
trazos?
C: La verdad es que los cambios de velocidad son despreciables por lo que casi asumí
una velocidad constante.
E: En el cómic representas la transición con flechas, ¿qué significa?
C: Fue una forma de reemplazar las viñetas y organizar ya que mis habilidades artísticas
son limitantes por lo que quise hacer la secuencia lo más entendible posible y separar las
ideas.
E: En una primera interpretación la flecha representó movimiento, no una separación
estática, ya que la flecha indica dirección pero podría haber sólo sido un guión.
C: También podría representar la dirección de lectura, posiblemente la flecha no fue el
símbolo más preciso.
E: Si no hubieses realizado la circunferencia o el cómic ¿podrías haber construido a la
gráfica?
C: Hubiese sido mucho más lento el proceso para conseguirlo de esa manera, ya que si
bien es un dibujo súper básico y es algo que tenemos en la cabeza, tenerlo visualmente
nos permite verlo en perspectiva y entender cómo se está realizando el movimiento,
además de ver si el movimiento es positivo o negativo. En el caso del dibujo es sólo para
representar la situación, en mi opinión es más importante el dibujo de la circunferencia
59
ya que este posee la información.
60
CAPITULO 6. ANALISIS DE RESULTADOS
6.1 Interpretaciones de los estudiantes: Primer nivel de
análisis
Figura 6- Modelos gráficos de la posición y la velocidad
61
Respecto de la visión global del fenómeno, todos los estudiantes dan una visión global
de los cambios de posición, sin embargo uno solo de ellos logra hacer trazos curvos que
dan cuenta de los cambios de velocidad. Es una figuración que pareciera quedarse en la
visión global del desplazamiento.
De forma local, en la construcción de la gráfica cartesiana, los estudiantes plantean la
situación problema en base a dos ejes (tiempo/distancia). Se presentan diferencias en
quienes gradúan los ejes y en los que señalan solo los puntos donde la gráfica cambia.
Los estudiantes, salvo una excepción, complementan con información textual señalando
la velocidad positiva, velocidad negativa o nula. Solo un estudiante utiliza curvas para su
gráfica reflejando el cambio de velocidad. En la totalidad de las producciones se
utilizaron trazos rectos, por lo que no indican cuando existe un cambio de velocidad. Se
observa en las gráficas los cambios de dirección, marcando todos cinco puntos de
cambio de la curva, identificando en ella la nulidad de movimiento durante cuatro
minutos, distribuida de diferentes formas según el entendimiento del problema de cada
estudiante a lo largo de los minutos en los que transcurre la acción.
62
6.2 Interpretaciones de los estudiantes: Segundo nivel de
análisis
Figura 7- Representaciones de Contexto
Recurren a descripciones del espacio y la traza del movimiento, dejando implícito
aspectos de ello. Dos estudiantes representar el movimiento que envuelven a la acción.
La porción de realidad que figuran los estudiantes responde al escenario donde se
realizaba el movimiento, realizando una representación gráfica de la descripción. El
repertorio de elementos lo constituyen el patio circular, el diámetro con su medida, y
textualidades para señalar la ubicación del salón y la biblioteca, además de aportar
información al contexto.
63
Figura 8- Secuencia de movimiento, contexto y gráfica.
Dos sintaxis se pueden apreciar en las figuras de los estudiantes. La primera corresponde
a Cristóbal, referida a un cómic con cuatro escenas de una persona en posición de
caminata, marcando en la iconicidad del dibujo la velocidad. En la segunda que
corresponde a Victoria, se aprecian flechas a modos de vectores entres dos
representaciones icónicas de los edificios de la escuela. Junto a ello se usan flechas,
líneas continuas, que marcan dirección. Indicando los movimientos realizados por
Valentina. Ambos presentan diversas escenas con las distintas acciones realizadas por
Valentina, complementando con flechas para indicar el movimiento. Construyen la
figuración de forma secuencial, utilizando instantes de referencia, indicando cambios de
posición, así como connotaciones que forman parte de instantes posteriores al momento
64
de referencia. El nivel de iconicidad de las figuraciones es alto, y es posible identificar
las relaciones espaciales del fenómeno al complementar esta figuración con la
representación del escenario donde se realiza el movimiento.
En la figura 3, la representación del patio circular y de la ubicación de la sala de música
y de la biblioteca da encuadre y espacialidad a la zona en que se figuran los
movimientos que realiza Valentina. Se constituyen en fondo y marco de la figura, que
permiten al estudiante focalizar en un contexto la mirada en las trayectorias de
Valentina. Marcan en los puntos en que cambia el movimiento con los valores
numéricos presentes en el enunciado y así indican las distancias a recorrer por Valentina.
El movimiento, queda implícito en las líneas, las cuales invitan a ojo a recorrer una
trayectoria en la imagen. Recurren a la línea para expresar los movimientos de
Valentina.
6.3 Funcionamiento y forma de las prácticas de figuración
como medio de construcción de modelos gráficos en
situaciones de movimiento
. Las figuraciones previas a la gráfica cartesiana son entendidas desde las practicas
socioescolares (Carrasco & Diaz, 2012) como modos de operar compartidos por los
actores escolares, para la construcción y la interpretación de figuraciones de entidades
asociadas a un fenómeno, en particular, en este reporte el fenómeno se refiere a una
situación de movimiento, de la cual en la construcción del modelo gráfico realizado por
un estudiante se desprenden dos figuraciones previas. El uso de estas figuraciones
presenta características particulares e individuales que se complementan en la
construcción del modelo gráfico.
65
La primera figuración (Imagen 2 Auxiliar 1) es usada para representar el contexto
donde se reproduce la situación de movimiento, la segunda figuración previa (Imagen 3
Auxiliar) es usada para representar los hitos más importantes de la situación de
movimiento desde la mirada del estudiante, asignando también un valor secuencial
acorde al desarrollo de la situación de movimiento.
Desde la mirada del Binomio Modelación-graficación evidenciamos que el
funcionamiento que desempeña cada figuración, entendida como una práctica que ofrece
una forma específica para ser abordada, permiten articular en conjunto la construcción
del modelo gráfico que representa el fenómeno, organizándose según la propia
necesidad y la necesidad del estudiante para dar significado a los distintos elementos que
conforman la gráfica,
En particular, en la situación de movimiento que se reporta, cada figuración previa a la
gráfica cartesiana cumple con funciones específicas desde su forma particular,
manifestando además las necesidades del estudiante en la comprensión del fenómeno
que se pretende modelar, de manera tal que se presenta una figuración cuya función es
identificar o establecer un contexto para el fenómeno de movimiento, ejecutándose por
medio de la descripción visual del contexto. Como segunda figuración previa a la gráfica
cartesiana se presenta una secuencia cuya función es identificar los hechos relevantes
que intervienen en el fenómeno de movimiento, asignando a estos una secuencia que
permite una articulación con el contexto de la situación y un momento especifico en el
modelo gráfico, identificando las diversas acciones que describen desde la mirada del
estudiante la actividad del fenómeno.
66
CAPITULO 7. CONCLUSIONES
A modo de conclusión proponemos establecer las prácticas de figuraciones previas a la
gráfica cartesiana como elementos que dan significado al fenómeno y permiten
establecer las características de este que necesitan los estudiantes para la construcción
del modelo gráfico, identificando una necesidad particular de cada individuo bajo una
instucionalidad escolar.
Como unidad de análisis del fenómeno realizado por el estudiante, las figuraciones
previas a la gráfica cartesiana pueden presentarse con mayor o menor frecuencia según
la necesidad de cada individuo, además de apuntar a una cualidad especifica del
fenómeno que necesita ser comprendida, por lo que si bien cada figuración ha de tener
sus propias características se hace necesario englobarlas a todas en un mismo análisis
como una escala previa realizada por los estudiantes en la construcción de un modelo
gráfico, de modo que los funcionamientos y formas individuales de cada figuración
permitan establecer y puntualizar tanto el camino como las necesidades presentadas por
los estudiantes en la construcción del modelo gráfico final.
Se escogió una situación de aprendizaje que tiene que ver con la modelación gráfica del
movimiento. En esta actividad se buscó que los estudiantes comprendieran el problema,
explicitaran prácticas de figuraciones para llegar a registros gráficos, de tal manera que
al cambiar las características de su movimiento pueden identificar los cambios que se
producen en la gráfica. De esta forma se logra el análisis de un fenómeno y al mismo
tiempo su representación. De acuerdo al objetivo de investigación y tomando en cuenta
las características cualitativas de las gráficas que hicieron los estudiantes, se puede
concluir que todos los estudiantes lograron hacer una gráfica correspondiente a los
cambios de posición. Si bien sólo uno de ellos logró desde el inicio hacer trazos curvos,
se puede concluir que la naturaleza de la tarea, es decir, partir de una situación para
graficarla, hace que los estudiantes recurran a todo lo que saben para lograr la gráfica
67
que se les pide.
Por otra parte, enfrentarse a la tarea de hacer la gráfica del movimiento cumple con el rol
de escenario en el cual se desarrolla y representa el movimiento, ambos icónicos y de
bajo simbolismo, presentan una representación figurativa del fenómeno. Estos elementos
fueron utilizados por los estudiantes, como etapas previas para la mejor comprensión de
la situación, que posteriormente finalizo con la realización de la gráfica cartesiana. La
utilización de figuraciones previas, va constituyendo una práctica socioescolar, toda vez
que dos de los casos no responden a la misma institución educativa. Práctica que
involucra la construcción de una representación figurativa del fenómeno, estructurando
desde la evocación del mismo, dos elementos que dan sentido a la comunicación del
fenómeno de variación: el escenario y/o marco en el que se desarrolla el movimiento,
dado por un patio circular y los puntos clave donde ocurren cambios y, la figuración de
la trayectoria del móvil en ese espacio, en un proceso que va despojando de elementos
contextuales para poder graficar finalmente solo las variables solicitadas, y en una
práctica de representación figurativa del fenómeno, a las que concurren aspectos
socioculturales, cognitivos y matemáticos.
La interpretación gráfica de los estudiantes nos permitieron obtener una visión de su
conocimiento al realizar las gráficas y su interpretación con la intención de servir en la
mejora de la enseñanza de las matemáticas.
Finalmente, a la luz de estos resultados, es necesario utilizar el uso de las gráficas en
relación al conocimiento de conceptos específicos de la matemática escolar, ya que se
lograría una mayor significación de los conceptos.
68
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f
73
Anexos
Anexo 1. Situación de aprendizaje Epifanía.
(L. Suárez Téllez et al., 2005)
Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando
advirtió que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y
acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que fue a la
biblioteca, cogió su cuaderno y regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su,
probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su
bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico
cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos, lo que la obligó a recuperar estos
instantes, tan bien aprovechados, porque cuando salió del salón no previó la Epifanía.
La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de música en el patio
circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó en total 9
minutos.
1) Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su
trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.
2) Todos hemos escuchado o hecho descripciones de objetos en movimiento, que
incluyan expresiones como “detenido”, “rápido”, “lento”, “más rápido”, “disminuyó su
velocidad”, “más alejado”, “aceleró más”, y muchas otras que seguramente te han
asaltado la memoria. Convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando
se dirige a la biblioteca y negativa en sentido contrario.
Identifica en la gráfica intervalos en los que la velocidad sea negativa, positiva o nula, y
74
describe las características de la gráfica, al igual que en el párrafo anterior, introduce
matices en la descripción de la velocidad y anota las características correspondientes de
la gráfica.
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Se estableció el concepto de uso de las gráficas en la modelación como parte del marco teórico de la investigación a partir del cual se plantean hipótesis sobre la naturaleza de la construcción social del conocimiento del Cálculo asociado a la variación y el cambio. El resultado de esta investigación es el planteamiento de una epistemología para la modelación escolar caracterizada a través de un uso de las gráficas. El estudio, desde la perspectiva del Tratado de Oresme sobre la Figuración de Cualidades, proporciona una explicación de la transformación de uso de las matemáticas de la época para abordar la problemática de las situaciones de cambio y variación. Esta transformación, caracterizada en este trabajo a partir del debate entre el funcionamiento y la forma del uso de las figuras geométricas, aporta los principales elementos de la hipótesis epistemológica sobre el uso de las gráficas en situaciones de modelación del movimiento para resignificar el cambio y la variación.
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Resumen En este artículo se presentan los resultados de una investigación que explora las representaciones gráficas que hacen los estudiantes sobre la rapidez. Los textos, el currículum y la enseñanza de la matemática y la física prevén generar una idea de la rapidez asociada a la fórmula: r = d/t, y a la representación gráfica como pendiente de la curva que representa a la gráfica de la función tiempo-distancia. Sin embargo, en este trabajo encontramos representaciones gráficas de la rapidez que difieren de las previstas, tales como: pictogramas, gráficas de columnas, gráficas de "puntos", gráficas de "rectas" o gráficas de "curvas". La mayoría de los estudiantes dan representaciones gráficas de la rapidez asociándola con su magnitud y no como la pendiente de curvas. PALABRAS CLAVE: representaciones gráficas, rapidez, variación, concepciones alternativas Abstract Research results on the student's speed graphical representations, are presented in this article. Texts, curriculum and mathematics and physics education aim at generating an idea of speed that goes with the formula: r = d/t, and to the graphical representation as the slope of the curve representing the time-distance function graph. Nevertheless we report in this work speed graphical representations different than those expected, such as: cartoons, bar graphs, "points" graphs, "line" graphs and "curved" graphs. Most students give speed graphical representations of its size and not as the slopes of the curve.
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This article will provide a reference framework based on socio–epistemological theory in relation to the uses of graphs that generate institutional practices in high school. We will demonstrate that the functionings and forms of graphs maintain a dialectical relationship, even in textbooks, and that they redefine themselves in order to make way for other functionings and graphic forms, which expresses the development of the use of the graph in three aspects: the methods for the use of graphic representation, the understandings of graphs and their functionality.
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Se trata de una propuesta para el desarrollo del pensamiento matemático avanzado que fue ganador del Premio Thales San Fernando en Cadiz, España.
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En esta investigación se caracterizan las condiciones de una actividad de aprendizaje para favorecer la resignificación de saberes matemáticos en una situación escolar. Las prácticas de referencia arraigadas a la naturaleza de un cierto conocimiento se identifican a partir del análisis de a) el desarrollo histórico del conocimiento matemático, b) de su inmersión en el sistema didáctico y c) de una caracterización de las producciones de los estudiantes. En particular estudiamos el "uso de las gráficas" para describir el cambio y la variación que se sitúa dentro del campo del Cálculo y del Análisis. Con el marco de la socioepistemología se logra una caracterización epistemológica subyacente del "uso de las gráficas" en la modelación del movimiento. Esta epistemología acuña el binomio graficación-modelación que apunta hacia una "modelación escolar".
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Problem solving is a domain of study that has shaped the research agenda in mathematics education and influenced curriculum proposals and mathematical instruction. In this paper, I intend to characterize the tenets or principles that support research programs in this domain and its relation with curriculum and instructional environment. I also review main topics addressed in the international problem solving agenda. The paper includes the presentation and discussion of a problem or task to illustrate that the use of computational tools might offer students the opportunity of developing an inquiry or inquisitive method to address and develop mathematical ideas. The inquisitive approach is a key principle to support research and practice in problem solving. The process of solving the task is a departure point to introduce themes related to the problem solving identity, research agendas, curriculum and student's mathematical assessment. La resolución de problemas es dominio de estudio que ha influido notablemente en las agendas de investigación en educación matemática y en las propuestas del currículum matemático y las prácticas de instrucción. En este trabajo se intenta caracterizar los principios que le dan sustento a los programas de investigación y se revisan temas relevantes de la resolución de problemas en el ámbito internacional. Incluye la presentación y discusión de una actividad o problema donde se ilustra que el empleo de herramientas computacionales (software dinámico, en este caso) ofrece un potencial para que los estudiantes desarrollen un método inquisitivo que les permita involucrarse en actividades propias del quehacer matemático. En este contexto se introducen aspectos relacionados con la identidad de la resolución de problemas, la investigación, el currículum y la importancia de la evaluación del conocimiento matemático.
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Traditional views conceive graphing as knowledge represented in students' minds. We show in our critique that such views lead to a common assessment problem of how to account for variations in performance across contexts and tasks, and a common attribution problem that locates difficulties in students' deficient cognitive apparatus. Grounded in recent research of scientists at work and everyday cognition, this article provides an alternative perspective that conceives of graphing as observable practices employed to achieve specific goals. This perspective highlights the nature of graphs as semiotic objects, rhetorical devices, and conscription devices. This shift in perspective dissolves problems with assessment and inappropriate attribution of student difficulties. The plausibility and fruitfulness of the new perspective is illustrated in three ways. First, we show that successes and failures of various graphing curricula become understandable in terms of the presence or absence of social dimensions of the practice. Second, we show how our perspective necessitates new assessment practices. Third, we show how our practice perspective on graphing led us to different learning environments and to new foci for conducting research in student-centered open-inquiry contexts. textcopyright 1997 John Wiley & Sons, Inc. Sci Ed 81:91textendash106, 1997.
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Material para ayudar a plantear y resolver problemas matemáticos basado en el método heurístico. Dirigido a profesores y estudiantes de matemáticas, y para toda persona interesada. Consta de cuatro partes: En el salón de clases, Cómo resolver problemas, un breve diccionario de heurística y Problemas, sugerencias y soluciones