ArticlePDF Available

Studier av undervisningskunnskap i matematikk: Internasjonale trender og nordiske bidrag

Authors:

Abstract

In recent decades, researchers have shown an increasing interest concerning the mathematical knowledge that is specific to the work of teaching mathematics. In this article, Nordic contributions to this field are discussed in light of international research trends. The discussions draw upon results from a literature review of 190 empirical articles that were published in 2006–2013. In addition, Nordic studies that have been published after this are included in the discussion. Some of the studies focus on the nature and composition of this knowledge, other studies focus on the development of this knowledge, whereas a third group of studies focus on how teachers’ knowledge contributes to student learning and the quality of instruction. Further Nordic research in this field might contribute to strengthening theoretical perspectives and connections to practice.
Studier av undervisningskunnskap i
matematikk: Internasjonale trender og
nordiske bidrag
Reidar Mosvold
De siste tiårene har forskere vist stadig mer interesse for den matematiske
kunnskapen som er spesifikt knyttet til matematikkundervisningen. I denne
artikkelen diskuteres nordiske bidrag til forskningen på dette feltet i lys av
internasjonale trender. Diskusjonene bygger på resultater fra en litteraturstudie
av 190 empiriske artikler som ble publisert i perioden 20062013. I tillegg
trekkes her inn nordiske artikler etter 2013. Noen av disse studiene fokuserte
kunnskapens innhold og natur, andre fokuserte hvordan denne kunnskapen
kan utvikles, mens en tredje gruppe studier undersøkte hvordan
lærerkunnskapen påvirker elevenes resultater og kvaliteten undervisningen.
Videre nordisk forskning på feltet kan blant annet bidra til styrking av teori og
praksistilknytning.
Innledning
Denne artikkelen rapporterer fra en litteraturstudie av tidligere forskning på den
matematiske kunnskapen som er knyttet til det undervisningsrelaterte arbeidet i
matematikk her kalt undervisningskunnskap i matematikk (jf. Fauskanger,
Bjuland, & Mosvold, 2010). I en nylig publisert oversiktsartikkel, presenterer
This is a preprint. Final version published as:
Mosvold, R. (2017). Studier av undervisningskunnskap i matematikk:
Internasjonale trender og nordiske bidrag. Nordic Studies in Mathematics
Education, 22(2), 5169.
Hoover, Mosvold, Ball og Lai (2016) noen internasjonale trender fra denne
litteraturstudien, og her diskuteres den nordiske forskningen på feltet i lys av de
internasjonale trendene.
Da Shulman (1986) rettet blikket mot den profesjonelle kunnskapen lærere
trenger for å utøve lærerarbeidet, markerte dette noe nytt i forskningen. Fram til
da hadde forskerne fokusert andre indikatorer når de studerte lærerkvalitet. I
lys av dette hevdet Shulman at fagkunnskap var et manglende paradigme i
forskningslitteraturen, og han beskrev lærernes faglige kunnskap som unik for
lærerprofesjonen. I årene som fulgte har forskere jobbet videre ut fra Shulmans
teorier, og det er særlig ideen om en type kunnskap som kombinerer faglig og
pedagogisk kunnskap som har slått an (jf. Depaepe, Verschaffel, &
Kelchtermans, 2013). Shulman kalte denne typen kunnskap «pedagogical
content knowledge» (PCK), men norsk blir den ofte referert til som
fagdidaktisk kunnskap (e.g., Fauskanger, Bjuland, & Mosvold, 2010).
I matematikkdidaktikk har forskere utviklet ulike rammeverk, hvor de særlig er
opptatt av den matematiske kunnskapen som er spesifikt knyttet til det
undervisningsrelaterte arbeidet i matematikk. Ball og kollegaer ved University
of Michigan har utviklet en praksisbasert teori for læreres
undervisningskunnskap i matematikk (Ball, Thames, & Phelps, 2008), og de
fokuserer særlig på den spesialiserte matematiske kunnskapen lærere trenger.
Andre har bygd videre på disse ideene og undersøkt hvordan læreres kunnskap
påvirker undervisningskvaliteten og elevenes prestasjoner (e.g., Hill, Rowan, &
Ball, 2005; Hill, Umland, Litke, & Kapitula, 2012). Rowland og kollegaer
fokuserer særlig hvordan kunnskapen anvendes i klasserommet i sitt
rammeverk på norsk omtalt som «Kunnskapskvartetten» (Rowland, Huckstep,
& Thwaites, 2005). I det tyske COACTIV-prosjektet (COgnitive ACTIVation in
mathematics) fokuserer forskerne særlig på skillet mellom fagkunnskap og
fagdidaktisk kunnskap (Baumert et al., 2010), men disse forskerne ser ut til å
tolke Shulmans opprinnelige kunnskapskategorier på en annen måte enn for
eksempel Ball og kollegaer. I sin sammenligning av rammeverkene til
COACTIV, TEDS-M (Teacher Education and Development Study in
Mathematics) og LMT-prosjektet (Learning Mathematics for Teaching), viser
Kaarstein (2014) at konkrete oppgaver som er utviklet for å måle fagkunnskap
og fagdidaktisk kunnskap kategoriseres ulikt tvers av de tre rammeverkene.
Selv om de forskjellige rammeverkene har ulike fokus og ulike
operasjonaliseringer av Shulmans ideer, uttrykker de et felles ønske om å
utforske en type matematisk kunnskap som er spesifikk for
matematikklærerprofesjonen. I denne artikkelen er dette for enkelhets skyld
omtalt som undervisningskunnskap i matematikk, men dette brukes her som en
åpen og inkluderende betegnelse på en eller annen type kunnskap som er
spesifikt knyttet til matematikkundervisningen.
I sine diskusjoner av den internasjonale forskningen knyttet til kunnskap som er
spesifikt knyttet til matematikkundervisning, løfter Hoover et al. (2016) særlig
fram behovet for å utvikle et felles teoretisk utgangspunkt og metoder for å
studere denne kunnskapen. I denne artikkelen er fokuset spesielt på de nordiske
bidragene, og det blir diskutert hvilke muligheter den nordiske forskningen har
til å bidra til videre utvikling av forskningen dette området. Selv om det er
forholdsvis nordiske studier av undervisningskunnskap i matematikk, utgjør
de nordiske bidragene en betydelig andel av den europeiske forskningen på dette
feltet. Samtidig ser det ut til at til at interessen for matematikklæreres kunnskap
er i sterk vekst i de nordiske forskningsmiljøene, og i 2014 ble det publisert et
dobbeltnummer i Nordic Studies in Mathematics Education (NOMAD) med
fokus på læreres undervisningskunnskap i matematikk. Fra et slikt ståsted er det
derfor relevant å undersøke nærmere de nordiske bidragene i lys av
internasjonale trender på feltet. I denne artikkelen diskuteres særlig den nordiske
forskningen som var inkludert i en større internasjonal litteraturstudie, men
nordiske studier som har blitt publisert etter at litteraturstudien ble avsluttet
trekkes også inn. Artikkelen vil løfte fram muligheter og begrensninger ved de
nordiske studiene av læreres undervisningskunnskap i matematikk, og forslag til
hvordan nordiske forskere i fremtidige studier kan komme med betydningsfulle
bidrag til den internasjonale forskningen knyttet til undervisningskunnskap i
matematikk blir presentert.
Metode
Denne artikkelens diskusjon av de nordiske bidragene til forskningen om læreres
undervisningskunnskap i matematikk tar utgangspunkt i resultater fra en
omfattende litteraturstudie av internasjonale studier feltet. Denne
litteraturstudien ble gjennomført av en gruppe forskere knyttet til
forskningsmiljøet ved University of Michigan samt to norske forskere
(deriblant artikkelforfatteren). Vi tok utgangspunkt i empiriske studier som var
publisert engelsk i fagfellevurderte tidsskrifter i perioden 20062013. Fram
mot 2006 var det allerede publisert en del artikler som bygde videre
Shulmans ideer om en spesifikk matematisk kunnskap som var knyttet til
undervisningen (e.g., Ball & Bass, 2003; Rowland, Huckstep, & Thwaites,
2005), men det var særlig i årene etter 2006 at forskningen dette feltet skjøt
fart. Derfor fant vi det naturlig å fokusere artikler som var publisert i dette
tidsrommet (se også Hoover et al., 2016).
Vi gjorde et strukturert søk etter empiriske tidsskriftartikler i seks ulike
databaser:
PsycInfo
Eric
Francis
ZentralBlatt
Web of Science
Dissertation Abstracts
Utover databasenes egne algoritmer for hva som gjelder som empiriske
tidsskriftartikler, ble det ikke gjort noen ytterligere avgrensninger i forhold til
hvilke tidsskrifter som ble tatt med. I et forsøk på å ha et åpent og inkluderende
perspektiv den matematiske kunnskapen som er spesifikt knyttet til
matematikkundervisning, ble følgende nøkkelord inkludert i søket sortert i tre
kategorier: 1) Matematikk: math* (asteriksen indikerer at alle ord som starter
med «math» inkluderes, f.eks. «mathematics» og «mathematical»); 2)
Fagkunnskap: know* AND (content OR special* OR pedagog* OR didact* OR
math* OR teach* OR professional OR disciplin* OR domain) OR «math for
teaching» OR «mathematics for teaching» OR «math-for-teaching» OR
«mathematics-for-teaching»; 3) Undervisning: teaching OR pedagog* OR
didact* OR instruction*.
Strukturerte søk i de seks databasene ga over 3000 treff. Etter en gjennomlesing
av sammendragene til disse artiklene, ble 349 artikler plukket ut som potensielle
artikler å inkludere i litteraturstudien. Kriteriet som ble brukt i denne første
screeningen var at det skulle være empiriske artikler slik dette er beskrevet av
American Educational Research Association (2006) og at en eller annen
forståelse for en matematisk kunnskap knyttet til undervisning måtte danne
utgangspunkt for formuleringen av forskningsspørsmål eller analyse. De 349
artiklene ble kodet ved hjelp av et sett med forhåndsdefinerte koder knyttet til
følgende kategorier:
Inkludering
Type studie
Variabler som ble undersøkt
Kausalt design
Studiens overordnede problem
Størrelsen på utvalg
Måleinstrument
Nivå/trinn lærerne underviste på
Lærernes erfaring
Land studien ble gjennomført i
Matematisk emne som ble studert
Sentrale funn
Det første punktet her dreide seg om hvorvidt artikkelen skulle inkluderes i det
endelige utvalget av artikler i litteraturstudien. Som eksempel på koder i øvrige
kategorier, ble «type studie» kodet som enten nat (fokus på kunnskap som
begrep eller kunnskapens natur), tch (hvis fokuset primært var
lærere/teachers, for eksempel nivået på deres kunnskap), lrn (hvis fokuset
primært var læring eller utvikling av kunnskap), int (hvis det var en
intervensjonsstudie), mod (hvis det primært var en studie av modererende
variabler som påvirker kunnskapen), eff (hvis det primært var en effekt av
gruppers eller individers kunnskap noe annet), pol (hvis det primært var et
empirisk basert «policy argument»). I kodingsprosessen ble hver enkelt av disse
artiklene kodet uavhengig av to forskere, og disse to forskerne ble enige om
et endelig sett med koder for hver artikkel. Ulike par av forskere fra gruppen
kodet hver sine sett med artikler for å styrke reliabiliteten. Etter at kodingen var
gjennomført, ble vi til slutt stående igjen med 190 artikler som ble inkludert i
litteraturstudien. Studier ble ekskludert enten fordi det viste seg at det ikke var
empiriske studier, eller fordi studiene ikke hadde spesifikt fokus
undervisningskunnskap i matematikk. Blant de ekskluderte studiene var det bare
én nordisk studie, og den ble ekskludert fra reviewet fordi fokuset ikke
hovedsakelig var på læreres undervisningskunnskap i matematikk.
Blant artiklene i litteraturstudien var 22 artikler fra Europa og fem av disse
studiene ble gjennomført i Norden (Bäckman & Attorps, 2012; Drageset, 2010;
Kellner, Gullberg, Attorps, Thoren & Tarneberg, 2011; Nilssen, 2010; Ryve,
Nilsson & Mason, 2012). I det følgende diskuteres disse nordiske bidragene i lys
av de internasjonale trendene, og deretter trekkes nyere nordiske bidrag til feltet
inn her med særlig fokus på studier som er publisert i NOMAD etter 2013.
Internasjonale trender og nordiske bidrag
Det er mange måter å kategorisere studiene dette feltet, men her er det tatt
utgangspunkt i det overordnede forskningsproblemet som studiene retter seg
mot. Fokuset i studiene kan da beskrives gjennom følgende tre hovedkategorier:
Studier som undersøkte kunnskapens innhold og natur
Studier som undersøkte hvilke faktorer som påvirker (utviklingen av)
undervisningskunnskap i matematikk
Studier som undersøkte hvilke faktorer som påvirkes av
undervisningskunnskap i matematikk
Tabell 1 gir en oversikt over antallet studier som kan plasseres innenfor disse tre
hovedkategoriene, og hvilke mer konkrete forskningsproblem de ulike studiene
innenfor disse kategoriene rettet seg mot.
Tabell 1. Overordnede forskningsproblem i studiene.
Overordnet problem
N
Nordiske studier
Kunnskapens innhold og natur
57
Hva er UKM?
Hvilke forhold er det mellom UKM
og/eller andre variabler?
36
21
Bäckmann & Attorps (2012)
Drageset (2010); Ryve, Nilsson, &
Mason (2012)
Faktorer som påvirker UKM
80
Etter- og videreutdanning?
Lærerutdanning?
Læreplan, materiell og oppgaver?
Undervisningspraksis?
Hvordan utvikles UKM?
Hvordan stimulere utviklingen av
UKM?
27
28
10
0
15
0
Kellner et al. (2011); Nilssen (2010)
Faktorer som påvirkes av UKM
32
Påvirker UKM praksis?
Hvordan påvirker UKM praksis?
Påvirker UKM elevers læring?
Hvordan påvirker UKM elevers
læring?
6
11
15
0
Andre
21
Totalt
190
Flere artikler fokuserer hvilke faktorer som påvirker lærernes
undervisningskunnskap i matematikk, men det er også mange studier som
fokuserer denne kunnskapens innhold og natur. Selv om mange studier har
fokus dette, ser det stadig ut til at forskerne er uenige om hvordan denne
kunnskapen ser ut og hva den inneholder. En rekke studier fokuserer også
hvordan læreres undervisningskunnskap i matematikk kan utvikles for
eksempel gjennom utdanning men forholdsvis studier har undersøkt
hvordan lærerkunnskapen påvirker lærernes praksis og elevenes læring. I det
følgende presenteres noen sentrale resultater fra disse tre hovedkategoriene av
studier. I tillegg til disse tre områdene var det også en del studier som hadde
andre fokus. Mange av disse hadde problemstillinger knyttet til hva
matematikklærere kan. Siden det ikke var noen nordiske studier blant disse
studiene, kommenteres ikke denne gruppen av studier eksplisitt her. Når
resultatene fra noen enkeltstudier her blir presentert og diskutert, så er målet dels
å identifisere noen av de mest sentrale studiene på feltet; samtidig ligger det
også et ønske om å løfte fram mindre kjente studier som presenterer interessante
funn flere kan ha nytte av å vite om.
Kunnskapens innhold og natur
Blant studiene av kunnskapens innhold og natur kan vi skille ut noen sentrale
tematikker. Noen studerer de ulike aspektene eller kategoriene av
matematikklæreres kunnskap og undersøker hvordan disse henger sammen (e.g.,
McCray & Chen, 2012). Kategoriseringen av læreres undervisningskunnskap i
matematikk bygger i stor grad Shulmans (1986) kategorisering av
lærerkunnskap. Da Shulman skilte mellom fagkunnskap («content knowledge»)
og fagdidaktisk kunnskap («pedagogical content knowledge», PCK), var det et
teoretisk skille. Senere har forskere utviklet ulike instrumenter for å forsøke å
påvise dette skillet empirisk. I COACTIV-prosjektet har for eksempel forskerne
undersøkt tyske matematikklærere ungdomstrinn og videregående skole, og
resultatene indikerer et empirisk skille mellom fagkunnskap og fagdidaktisk
kunnskap (Krauss et al., 2008). Kvaliteten resultatene fra disse studiene er
tett knyttet til kvaliteten instrumentene som anvendes for å måle og
undersøke lærernes kunnskap.
Som et av de nordiske bidragene innenfor denne gruppen finner vi Bäckman og
Attorps (2012) sin studie av hvilken kunnskapsbase førskolelærere trenger for å
kunne jobbe målrettet med matematikk i barnehagen. Variasjonsteori blir brukt
som teoretisk og analytisk rammeverk i denne studien av kunnskapens innhold
og natur (e.g., Runesson, 2006). I studien utforsker de fire svenske
førskolelæreres kunnskap ved hjelp av observasjon og intervjuer uten noe
standardisert instrument for å måle kunnskap. Gjennom analyser av to episoder,
konkluderer forfatterne med at førskolelærerne trenger matematisk kunnskap om
geometriske mønstre, og de løfter også fram betydningen av teoretisk kunnskap
om variasjonsteori. Samtidig peker de at førskolelærerne ikke ser ut til å ha
omfattende kunnskap på noen av disse områdene. Studien har noen klare
begrensninger, men i og med at det har vært svært få studier av førskolelæreres
undervisningskunnskap i matematikk representerer den et viktig bidrag til feltet.
Bäckman og Attorps konkluderer med at førskolelærere trenger både
matematisk og fagdidaktisk kunnskap, og dette stemmer overens med
konklusjonene til McCray og Chen (2012) fra deres studie fra USA. Til forskjell
fra Bäckman og Attorps (2012), gjennomførte McCray og Chen (2012)
systematiske testinger av 22 barnehagelærere og 113 barn. De baserte sine
konklusjoner analyser av strukturerte intervjuer med barnehagelærerne,
observasjon undervisningen og testing av barnas læringsutbytte.
En annen gruppe studier fokuserer sammenhengene mellom læreres
undervisningskunnskap i matematikk og oppfatninger om undervisning og
læring i matematikk (e.g., Beswick, Callingham, & Watson, 2012). I sin studie
av 365 norske grunnskolelærere måler Drageset (2010) lærernes kunnskap ved
hjelp av en norsk oversettelse av en test utviklet av forskere ved University of
Michigan i LMT-prosjektet. Lærernes oppfatninger blir målt ved hjelp av en
spørreundersøkelse hvor lærerne skal krysse av for graden av enighet med ulike
sett av påstander om matematiske forståelse, undervisning og læring av
matematikk. Gjennom kvantitative analyser av resultatene finner Drageset en
sammenheng mellom lærernes fokus resonnering og deres spesialiserte
fagkunnskap i matematikk. Han hevder at lærernes oppfatninger ikke bare
henger sammen med kunnskapen deres, men kunnskaper og oppfatninger ser ut
til å være faktorer som gjensidig påvirker hverandre. Dette siste funnet stemmer
godt overens med resultatene fra Swars et al. (2007) sin studie av 24
amerikanske grunnskolelærerstudenter. I denne longitudinelle studien finner
forskerne en positiv sammenheng mellom lærernes undervisningskunnskap i
matematikk og deres oppfatninger om undervisning og læring i matematikk.
Disse resultatene får Swars og kollegaer ved å bruke samme instrument som
Drageset for å måle lærernes undervisningskunnskap i matematikk i
kombinasjon med en rekke standardiserte instrumenter for å måle blant annet
oppfatninger om undervisning og læring av matematikk. Newton et al. (2012)
ser også en sammenheng mellom lærerstudenters oppfatninger om kvaliteten på
egen undervisning og deres undervisningskunnskap i matematikk, men en slik
sammenheng finner ikke Swars et al. (2007) i sin studie. En mulig forklaring på
disse forskjellene kan være at Newton et al. (2012) bruker et annet instrument
for å måle læreres undervisningskunnskap i matematikk enn for eksempel
Drageset (2010) og Swars et al. (2007). En annen mulig forklaring kan ligge i
regionale og/eller kulturelle forskjeller i læreres og lærerstudenters oppfatninger.
Noen studier peker i en slik retning. For eksempel hevder Kim et al. (2011) at
lærerutdanningsprogrammer i Sør-Korea ser ut til å være bygd opp fra en
underliggende antakelse om at lærerstudentenes matematiske fagkunnskap er
anvendbar i praksis, mens tilsvarende programmer i USA i større grad fokuserer
på betydningen av praksisbasert kunnskap.
Ofte pekes det på at undervisningskunnskap i matematikk utvikles gjennom
erfaring, men noen studier indikerer at det ikke nødvendigvis er noen
sammenheng her. For eksempel finner Ng (2011) i en studie av indonesiske
matematikklærere at lærerne som har lengst erfaring har lavere
undervisningskunnskap i matematikk enn de mer uerfarne lærerne. Han forklarer
dette med at mange indonesiske lærere ofte underviser på samme trinn gjennom
hele sitt yrkesaktive liv, og han hevder at denne begrensede erfaringen ser ut til
å kunne påvirke utviklingen av undervisningskunnskap i matematikk negativt.
Mens Ng (2011) ser på forholdet mellom kunnskap og erfaring, fokuserer Ryve,
Nilsson og Mason (2012) hvordan lærerutdannere synliggjør
undervisningskunnskap i matematikk i sine kurs i lærerutdanningen. I likhet
med Bäckman og Attorps (2012), bruker også Ryve et al. variasjonsteori som
teoretisk rammeverk i sin studie. Når de undersøker hvordan to lærerutdannere
løfter fram undervisningskunnskap i matematikk gjennom variasjon, fokuserer
de blant annet på begrepsbruken i kursene. Fokuset på lærerutdannernes rolle er
et viktig bidrag, og dette er et bakenforliggende tema av betydning for mange av
de studiene som er knyttet til utviklingen av undervisningskunnskap i
matematikk.
Utvikling av undervisningskunnskap i matematikk
De studiene som fokuserer utviklingen av undervisningskunnskap i
matematikk kan deles inn i ulike undergrupper. En stor gruppe studier
undersøker hva slags lærerutdanning som påvirker utviklingen av slik kunnskap
(e.g., Kleickmann et al., 2013) og her finner vi de to nordiske bidragene. En
annen gruppe studier undersøker hva slags etter- og videreutdanning som bidrar
til å utvikle denne kunnskapen (e.g., Hill, 2011). Det er også en del studier som
undersøker hvordan denne kunnskapen som er spesifikt knyttet til
matematikkundervisning utvikles (e.g., Bair & Rich, 2011), og hvilke
læremidler eller oppgaver som kan påvirke utviklingen (e.g., Davis, 2009; Karp,
2007).
Blant undersøkelsene av hva slags lærerutdanning som påvirker utviklingen av
undervisningskunnskap i matematikk, finner vi artikler fra store prosjekter som
TEDS-M, COACTIV og LMT. I en av de sentrale studiene på dette område
finner Kleickmann og kollegaer (2013) at tyske lærerstudenter først og fremst
utvikler sin fagdidaktiske kunnskap (PCK) i den perioden av studiene hvor de
studerer fag universitetet, og ikke i løpet av praksisperioden. I sin studie av
kinesiske lærerstudenter finner Youngs og Qian (2013) indikasjoner på at kurs i
tallteori og matematisk resonnering har særlig stor påvirkning på utviklingen av
den spesifikke kunnskapen som trengs for å undervise i tall og tallregning.
Basert på slike funn kan det være fristende å hevde at lærerutdanningen bør
inneholde flere rene matematiske kurs, men svaret ser ut til å være noe mer
sammensatt. Youngs og Qian finner nemlig også at erfaring med å lede
undervisning i praksis også har positiv innflytelse. I en amerikansk studie
forsøker Smith og kollegaer (2012) å bytte ut et metodekurs med et matematisk
kurs (i USA skiller en mellom kurs i «content» og «methods»), og dette viser
seg ikke å ha noen signifikant effekt lærerstudentenes utvikling av
undervisningskunnskap i matematikk. Her ser det altså ut til at både metodekurs
og matematiske kurs er viktige; i enkelte situasjoner kan matematiske kurs ha
større betydning enn metodekurs og i andre sammenhenger ser det ut til å være
motsatt.
Etter- og videreutdanningskurs ser ikke alltid ut til å ha noen positiv effekt
utviklingen av læreres kunnskap (Hill, 2011). Det fins derimot enkeltstudier som
indikerer at bestemte etter- og videreutdanningskurs kan ha positiv effekt. For
eksempel kan Kramarski og Revach (2009) vise til lovende resultater fra kurs
som fokuserer på metakognitive ferdigheter. Utfordringen er at disse kursene og
etterutdanningstilbudene i liten eller ingen grad er testet ut ved andre
utdanningsinstitusjoner eller i andre kontekster. Dermed har en lite grunnlag for
å slå fast om det er selve kursene eller andre faktorer som spiller inn. Den
samme kritikken kan rettes mot de to nordiske studiene på dette området. Begge
disse studiene fokuserer utviklingen av fagdidaktisk kunnskap. Mens
Kleickmann et al. (2013) konkluderer med at fagdidaktisk kunnskap først og
fremst utvikler seg gjennom fagstudier i utdanningen og ikke i praksis, fokuserer
Nilssen (2010) på hvordan lærerstudenter utvikler fagdidaktisk kunnskap i
praksisopplæringen. I sin kvalitative studie av en praksislærers veiledning av
fem lærerstudenter, argumenterer Nilssen særlig for at praksislæreren har en
sentral rolle som mentor. Hun diskuterer praksislærerens rolle ut fra begrepet
«cognitive apprenticeship». Her vektlegges både det at lærerstudentene lærer
hvordan de skal gjennomføre lærerarbeidet av en erfaren ekspertlærer, og
samtidig fokuseres det på kognitive og metakognitive prosesser. I den andre
nordiske studien dette området, undersøker Kellner, Gullberg, Attorps,
Thorén og Tärneberg (2011) lærerstudentenes oppfatninger om elevenes
kunnskaper, oppfatninger og vansker. De hevder at lærerutdannere vite om
og ta hensyn til lærerstudentenes oppfatninger for å kunne bidra til utvikling av
fagdidaktisk kunnskap i utdanningen. Begge disse studiene tar utgangspunkt i
Shulmans (1986) begrep «pedagogical content knowledge» når de diskuterer
fagdidaktisk kunnskap. I likhet med andre studier på feltet, peker disse to
studiene noen momenter som kan påvirke utviklingen av
undervisningskunnskap i matematikk i positiv retning, men mer forskning er
nødvendig for å undersøke dette på tvers av lærerutdanningskontekster.
Både når det gjelder grunnutdanning og etter- og videreutdanning av lærere ser
det altså ikke ut til at en økning i antallet kurs med standard matematisk innhold
er nok (Youngs & Qian, 2013). Derimot ser det ut til å ha betydning for
utviklingen av undervisningskunnskap i matematikk at kursene legger til rette
for å lære mer matematikk i tett tilknytning til praksis (e.g., Koellner et al.,
2007). Studien til Elliot, Kazemi, Lesseig, Mumme og Kelley-Petersen (2009)
knytter sammen fokuset det matematiske innholdet med didaktiske
perspektiver på en interessant måte. De kombinerer et rammeverk for sosiale og
sosiomatematiske normer (Yackel & Cobb, 1996) med et rammeverk for
hvordan lærere kan lede produktive matematiske diskusjoner (Stein, Engle,
Smith, & Hughes, 2008), og de hevder at forståelse for disse rammeverkene har
betydning for utviklingen av den spesialiserte matematiske kunnskapen lærere
trenger for å undervise i matematikk.
Faktorer som påvirkes av undervisningskunnskap i matematikk
Blant studiene av hvorvidt/hvordan læreres undervisningskunnskap i
matematikk påvirker elevenes resultater og kvaliteten på lærerens praksis finner
vi ingen nordiske bidrag i litteraturstudien. Internasjonalt er dette også et område
hvor det stadig er mange ubesvarte spørsmål.
Mange hevder at lærernes kunnskap påvirker elevenes prestasjoner, og studien
til Hill, Rowan og Ball (2005) blir ofte referert til i denne sammenhengen selv
om studien har noen klare begrensninger som forfatterne selv peker på. Senere
studier indikerer imidlertid også på at læreres kunnskap påvirker elevenes
resultater (e.g., Shechtman, Roschelle, Haertel, & Knudsen, 2010). I sin studie
av tyske 10. klassinger og deres lærere, viser Baumert og kollegaer (2010) at det
er klare sammenhenger mellom lærernes PCK og elevenes resultater.
Overraskende nok er det ikke noen like tydelig sammenheng mellom lærernes
matematiske kunnskap («content knowledge») og elevenes prestasjoner. I en
oppfølging av denne studien, viser Kunter, Klusmann, Baumert, Voss og
Hacfeldt (2013) at lærernes PCK ikke bare påvirker elevenes resultater men
også deres motivasjon og innstilling til matematikkfaget. Dette funnet kan se ut
til å stå i kontrast til andre forskere som særlig har funnet sammenhenger
mellom lærernes matematiske kunnskap og elevenes resultater (e.g., Hill et al.,
2005; Marshall et al., 2009).
Slike tilsynelatende sprikende funn kan ha ulike forklaringer. For eksempel kan
det være at den typen kunnskap som kreves for å undervise på lavere trinn
skiller seg fra høyere trinn. Videre kan det tenkes at det er viktigere å utvikle
den matematiske kunnskapen enn den fagdidaktiske i land der kvaliteten på
matematikklærerne generelt er lav. Kaarstein (2014) peker også på at slike
forskjeller kan komme av ulike operasjonaliseringer av Shulmans
kunnskapskategorier tvers av studier. bakgrunn av dette bør en dermed
være varsom når en tolker slike funn; det som betegnes som PCK i én studie,
kan betegnes som spesialisert matematisk kunnskap i en annen studie.
Selv om resultatene spriker noe, indikerer altså en del studier at det ser ut til å
være en sammenheng mellom lærernes kunnskap og elevenes resultater. Så langt
har det derimot ikke vært noen studier som gir tydelige svar på hvordan lærernes
kunnskap påvirker elevenes resultater, eller hvilke mekanismer som spiller inn i
denne prosessen (Hoover et al., 2016).
Forholdet mellom lærerkunnskap og undervisningskvalitet ser også ut til å være
sammensatt, og de kvantitative undersøkelsene som er gjennomført gir ikke
entydige resultater (e.g., Hill, Umland, Litke, & Kapitula, 2012). Enkelte
kvalitative studier har derimot avdekket noen interessante sammenhenger som
kan være verd å undersøke nærmere. Et eksempel er Charalambous (2010) sin
studie av hvordan to lærere velger ut og bruker matematiske oppgaver i
undervisningen. Han peker tre mulige sammenhenger mellom lærernes
kunnskap og kvaliteten undervisningen. For det første ser det ut til at sterk
undervisningskunnskap i matematikk kan hjelpe læreren å bruke
representasjoner som støtter elevene i problemløsningsprosessen. Svakere
undervisningskunnskap i matematikk kan derimot begrense undervisningen til å
fokusere på å huske regler og algoritmer. For det andre hevder Charalambous at
sterk undervisningskunnskap i matematikk ser ut til å støtte lærerens evne til å
forklare hva som ligger bak bestemte matematiske prosedyrer, regler og
algoritmer. For det tredje peker han på at lærerens undervisningskunnskap i
matematikk kan hjelpe dem å forstå elevenes tenking og dermed støtte elevenes
utvikling av forståelse. Ved siden av å være et godt eksempel utforsking av
hvordan læreres kunnskap påvirker kvaliteten undervisningspraksis,
illustrerer denne studien hvordan læreres undervisningskunnskap i matematikk
er knyttet til de matematiske undervisningsoppgavene lærerne møter i
matematikkundervisningen (Hoover, Mosvold, & Fauskanger, 2014).
Avsluttende diskusjon
De siste årene har stadig flere forskere begynt å interessere seg for læreres
undervisningskunnskap i matematikk. I den stadig økende nordiske forskningen
feltet ser vi mange av de samme tendensene som i den internasjonale
forskningen. Noen utforsker ulike aspekter ved læreres undervisningskunnskap i
matematikk (e.g., Bäckman & Attorps, 2012; Drageset, 2010), mens andre
fokuserer mer hvordan denne kunnskapen utvikles og hvordan
lærerutdanning kan bidra til å påvirke denne utviklingen (e.g., Kellner et al.,
2011; Nilssen, 2010; Ryve et al., 2012). Stadig er det få studier av hvilken
matematisk kunnskap førskolelærere og barnehagelærere trenger for å legge til
rette for små barns læring av matematikk, og det er også flere andre aspekter ved
denne kunnskapen som må utforskes videre. Kilhamn (2014) sin studie av
hvilken matematiske kunnskap lærere trenger for å undervise om variabler i
algebra er et eksempel på videreføring av fokuset de ulike aspektene ved
undervisningskunnskap i matematikk i en nordisk kontekst. Et eksempel på
videre utforsking av hvordan undervisningskunnskap i matematikk kan utvikles
og undervises i lærerutdanningen, finner vi i studien til van Bommel (2014).
I senere tid har det også vært studier som utforsker hvilken rolle matematikkens
historie har i tilknytning til læreres undervisningskunnskap i matematikk (e.g.,
Smestad, Jankvist, & Clark, 2014), og dette området har nordiske forskere
allerede kommet med betydningsfulle bidrag.
Instrumenter for å måle læreres undervisningskunnskap i matematikk har blitt
oversatt og tilpasset av ulike norske forskere (e.g., Drageset, 2010; Mosvold,
Fauskanger, Jakobsen, & Melhus, 2009). Jóhannsdóttir og Gísladóttir (2014) har
tatt erfaringene fra slike studier videre når de har oversatt, tilpasset og brukt et
tilsvarende instrument blant et stort utvalg av islandske lærerstudenter. I senere
tid har også instrumenter for å måle matematisk undervisningskvalitet blitt
oversatt og tilpasset i en nordisk kontekst (Opsvik & Skorpen, 2014). Det har
også blitt gjennomført studier for å undersøke ulike aspekter ved sammenhengen
mellom lærernes kunnskap og hvordan de for eksempel er i stand til å lede
matematiske diskusjoner i klasserommet (e.g., Drageset, 2014; Kleve & Solem,
2014). Dette er gode eksempler på hvordan læreres undervisningskunnskap i
matematikk har blitt studert i tilknytning til klasseromspraksis. Koblingen
mellom lærernes kunnskap og undervisningspraksis har også blitt løftet fram i
diskusjoner av de matematiske undervisningsoppgavene lærerne møter og
hvordan undervisningskunnskap i matematikk er knyttet til disse
undervisningsoppgavene (Hoover et al., 2014). På mange måter ser altså den
nordiske forskningen ut til å følge de internasjonale trendene på disse områdene
og i noen tilfeller har nordiske forskere kommet med viktige bidrag men i
likhet med mye av den internasjonale forskningen har også den nordiske
forskningen på feltet noen begrensninger.
Flere forskere har oversatt, tilpasset og tatt i bruk instrumenter for å måle
læreres undervisningskunnskap i matematikk og den matematiske kvaliteten ved
undervisningen i nordiske land (e.g., Mosvold et al., 2009; Opsvik & Skorpen,
2014). Slike studier bygger videre kunnskap og erfaringer fra andres
forskning, og dette er viktig når forskningen skal bygge akkumulert kunnskap på
et felt. Med noen få unntak har derimot de fleste anvendelsene av disse
instrumentene hatt et lokalt og begrenset preg. Lignende tendenser ser vi også
internasjonalt (jf. Hoover et al., 2016), og det ligger et potensiale i å designe mer
robuste studier hvor disse instrumentene brukes større og bedre utvalg for å
studere ulike aspekter ved læreres undervisningskunnskap i matematikk.
Internasjonalt har det blitt gjennomført en rekke studier av hvordan læreres
undervisningskunnskap i matematikk kan utvikles gjennom lærerutdanning og
etter- og videreutdanning av lærere, men også her har mye av forskningen
begrensninger i både design, utvalg og omfang (e.g., Kellner et al., 2011;
Nilssen, 2010). Et unntak er store multinasjonale studier som TEDS-M, hvor
også nordiske land har vært involvert. Når det gjelder effekten av læreres
kunnskap elevers læring og kvaliteten undervisningen, gir den
internasjonale forskningen på feltet forholdsvis klare indikasjoner på at det er en
sammenheng (e.g., Shechtman et al., 2010; Hill et al., 2012). Samtidig har det
vært mindre fokus på hvordan og hvorfor lærerkunnskapen virker elevers
læring og kvaliteten undervisningen (jf. Hoover et al., 2016), og dette er et
område hvor de nordiske forskningsmiljøene har muligheter til å komme med
betydningsfulle bidrag.
Med sitt tradisjonelt sterke fokus på kvalitativ forskning, teori og kritiske
perspektiver og her er det nok kanskje et skille mellom den amerikanske og
europeiske forskningstradisjonen i matematikkdidaktikk generelt har forskere
fra de nordiske landene gode forutsetninger for å komme med betydningsfulle
bidrag til forskningen på dette feltet. Det er viktig å kunne betrakte forskningen
undervisningskunnskap i matematikk med et kritisk utenfrablikk (e.g., Ng,
Mosvold, & Fauskanger, 2012), samtidig som en kan inn og forsøke å bidra
til en positiv videreutvikling av perspektiver innenfra (e.g., Drageset, 2010).
Forskere fra de nordiske miljøene har allerede vist vilje og evne til å gjøre begge
deler, og da ligger forholdene godt til rette for å kunne utvikle feltet videre på en
kritisk og konstruktiv måte.
Acknowledgements
Den strukturerte litteraturstudien som rapporteres fra her ble ledet av Mark
Hoover fra University of Michigan og støttet av National Science Foundation,
grant DRL-1008317. En stor takk rettes til Mark Hoover og de øvrige deltakerne
i dette prosjektet: Arne Jakobsen, Yeon Kim, Minsung Kwon, Lindsey Mann og
Rohen Shah.
Referanser
American Educational Research Association. (2006). Standards for reporting on
empirical social science research in AERA publications. Educational
Researcher, 35(6), 3340.
Bäckman, K. & Attorps, I. (2012). Teaching mathematics in the pre-school
context. US-China Education Review B, 1, 116.
Bair, S., & Rich, B. (2011). Characterizing the Development of Specialized
Mathematical Content Knowledge for Teaching in Algebraic Reasoning and
Number Theory. Mathematical Thinking and Learning, 13(4), 292321.
Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Toward a practice-based theory of mathematical
knowledge for teaching. In B. Davis & E. Simmt (Eds.), Proceedings of the
2002 annual meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group (pp.
314). Edmonton, Alberta, Canada: Canadian Mathematics Education Study
Group (Groupe Canadien d’tude en didactique des mathmatiques).
Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for
teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389407.
Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M., Voss, T., Jordan, A., …, Tsai,
Y. (2010). Teachers’ mathematical knowledge, cognitive activation in the
classroom, and student progress. American Educational Research Journal,
47(1), 133180.
Beswick, K., Callingham, R., & Watson, J. (2012). The nature and development
of middle school mathematics teachers’ knowledge. Journal of Mathematics
Teacher Education, 15, 131157.
Charalambous, C. (2010). Mathematical Knowledge for Teaching and Task
Unfolding: An Exploratory Study. The Elementary School Journal, 110(3), 247
278
Davis, J. (2009). Understanding the influence of two mathematics texbooks on
prospective secondary teachers’ knowledge. Journal of Mathematics Teacher
Education, 12, 365389.
Depaepe, F., Verschaffel, L., & Kelchtermans, G. (2013). Pedagogical content
knowledge: a systematic review of the way in which the concept has pervaded
mathematics educational research. Teaching and Teacher Education, 34, 1225.
Drageset, O. G. (2010). The interplay between the beliefs and the knowledge of
mathematics teachers. Mathematics Teacher Education and Development, 12(1),
3049.
Drageset, O. G. (2014). Knowledge used when orchestrating mathematical
discourses doing, guiding and requesting. Nordic Studies in Mathematics
Education, 19(34), 151168.
Elliott, R., Kazemi, E., Lesseig, K., Mumme, J., & Kelley-Petersen, M. (2009).
Conceptualizing the Work of Leading Mathematical Tasks in Professional
Development. Journal of Teacher Education, 60(4), 364379.
Fauskanger, J., Bjuland, R., & Mosvold, R. (2010). «Eg kan jo multiplikasjon,
men ka ska eg gjørr?» det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk. I
T. Løkensgard Hoel, G. Engvik, & B. Hanssen (red.), Ny som lærer sjansespill
og samspill (s. 99114). Trondheim: Tapir Akademisk Forlag.
Hill, H. C. (2011). The nature and effects of middle school mathematics teacher
learning experiences. Teachers College Record, 113(1), 205234.
Hill, H.C., Umland, K., Litke, E., & Kapitula, L. (2012). Teacher quality and
quality teaching: Examining the relationship of a teacher assessment to practice.
American Journal of Education, 118(4), 489519.
Hill, H. C., Rowan, B., & Ball, D. L. (2005). Effects of teachers’ mathematical
knowledge for teaching on student achievement. American Education Research
Journal, 42(2), 371406.
Hoover, M., Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2014). Common tasks of teaching
as a resource for measuring professional content knowledge internationally.
Nordic Studies in Mathematics Education, 19(34), 720.
Hoover, M., Mosvold, R., Ball, D. L., & Lai, Y. (2016). Making progress on
mathematical knowledge for teaching. The Mathematics Enthusiast, 13(12), 3
34.
Jóhannsdóttir, B., & Gísladóttir, B. (2014). Exploring the mathematical
knowledge of prospective elementary teachers in Iceland using the MKT
measures. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(34), 2140.
Kaarstein, H. (2014). A comparison of three frameworks for measuring
knowledge for teaching mathematics. Nordic Studies in Mathematics Education,
19(1), 2352.
Karp, A. (2007). “Once more about the quadratic trinomial…”: On the
formation of methodological skills. Journal of Mathematics Teacher Education,
10(46), 405414.
Kellner, E., Gullberg, A., Attorps, I., Thoren, I., & Tarneberg, R. (2011).
Prospective teachers’ initial conceptions about pupils’ difficulties in science and
mathematics: A potential resource in teacher education. International Journal of
Science and Mathematics Education, 9, 843866.
Kilhamn, C. (2014). When does a variable vary? Identifying mathematical
content knowledge for teaching variables. Nordic Studies in Mathematics
Education, 19(34), 83100.
Kim, R. Y., Ham, S-H., & Pain, L. W. (2011). Knowledge expectations in
mathematics teacher preparation programs in South Korea and the United States:
Towards International Dialogue. Journal of Teacher Education, 62(1), 4861.
Kleickmann, T., Richter, D., Kunter, M., Elsner, J., Besser, M., Krauss, S., &
Baumert, J. (2013). Teachers’ content knowledge and pedagogical content
knowledge: The role of structural differences in teacher education. Journal of
Teacher Education, 64(1), 90106.
Kleve, B., & Solem, I. H. (2014). Aspects of a teacher’s mathematical
knowledge in his orchestration of a discussion about rational numbers. Nordic
Studies in Mathematics Education, 19(34), 119134.
Koellner, K., Jacobs, J., Borko, H., Schneider, C., Pittman, M.E., Eiteljorg, E.,
Bunning, K., & Frykholm, J. (2007). The problem-solving cycle: A model to
support the development of teachers’ professional knowledge. Mathematical
Thinking and Learning, 9(3), 273303.
Kramarski, B., & Revach, T. (2009). The challenge of self-regulated learning in
mathematics teachers’ professional training. Educational Studies in
Mathematics, 72, 379399.
Krauss, S., Brunner, M., Kunter, M., Baumert, J., Neubrand, M., Blum, W., &
Jordan, A. (2008). Pedagogical content knowledge and content knowledge of
secondary mathematics teachers. Journal of Educational Psychology, 100(3),
716725.
Kunter, M., Klusmann, U., Baumert, J., Voss, T., & Hacfeld, A. (2013).
Professional competence of teachers: Effects on instructional quality and student
development. Journal of Educational Psychology, 105(3), 805820.
Marshall, J., Chinna, U., Nessay, P., Hok, U. N., Savoeun, V., Tinon, S., &
Veasna, M. (2009). Student achievement and education policy in a period of
rapid expansion: Assessment data evidence from Cambodia. International
Review of Education, 55, 393413.
McCray, J. S., & Chen, J.-Q. (2012). Pedagogical content knowledge for
preschool mathematics: Construct validity of a new teacher interview. Journal
of Research in Childhood Education, 26, 291307.
Mosvold, R., Fauskanger, J., Jakobsen, A., & Melhus, K. (2009). Translating
test items into Norwegian without getting lost in translation? Nordic Studies in
Mathematics Education, 14(4), 101123.
Newton, J. N., Brian, R. E., Leonard, J., & Eastburn, J. A. (2012). Preservice
teachers’ mathematics content knowledge and teacher efficacy. School Science
and Mathematics 112(5), 289299.
Ng, D. (2011). Indonesian primary teachers’ mathematical knowledge for
teaching geometry: implications for education policy and teacher preparation
programs. Asia-Pacific Journal of Teacher Education, 39(2), 151164.
Ng, D., Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2012). Translating and Adapting the
Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) Measures: The Cases of
Indonesia and Norway. The Mathematics Enthusiast, 9(1&2), 149178.
Nilssen, V. (2010). Guided planning in first-year student teachers’ teaching.
Scandinavian Journal of Educational Research, 54(5), 431449.
Opsvik, F., & Skorpen, L. B. (2014). Matematisk kvalitet i undervisning. Nordic
Studies in Mathematics Education, 19(34), 101117.
Rowland, T., Huckstep, P., & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers’
mathematics subject knowledge: The Knowledge quartet and the case of Naomi.
Journal of Mathematics Teacher Education, 8(3), 255281.
Runesson, U. (2006). What is possible to learn? On variation as a necessary
condition for learning. Scandinavian Journal of Educational Research, 50(4),
397410.
Ryve, A., Nilsson, P., & Mason, J. (2012). Establishing mathematics for
teaching within classroom interactions in teacher education. Educational Studies
in Mathematics, 81(1), 114.
Shechtman, N., Roschelle, J., Haertel, G., & Knudsen, J. (2010). Investigating
links from teacher knowledge, to classroom practice, to student learning in the
instructional system of the middle-school mathematics classroom. Cognition
and Instruction, 28(3), 317359.
Shulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching.
Educational Researcher, 15(2), 414.
Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new
reform. Harvard Educational Review, 57(1), 123.
Smestad, B., Jankvist, U. T., & Clark, K. (2014). Teachers’ mathematical
knowledge for teaching in relation to the inclusion of history of mathematics in
teaching. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(34), 169183.
Smith, M., Swars, S., et al. (2012). Effects of an additional mathematics content
course on elementary teachers’ mathematical beliefs and knowledge for
teaching. Action in Teacher Education, 34(4), 336348.
Speer, N. M., & Wagner, J. F. (2009). Knowledge needed by a teacher to
provide analytic scaffolding during undergraduate mathematics classroom
discussions. Journal for Research in Mathematics Education, 40(5), 530562.
Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, P. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating
productive mathematical discussions: Five practices for helping teachers move
beyond show and tell. Mathematics Teaching and Learning, 10(4), 313340.
Swars, S., Hart, L.C., Smith, S.Z., Smith, M.E., & Tolar, T. (2007). A
longitudinal stidy of elementary pre-service teachers’ mathematics beliefs and
content knowledge. School Science and Mathematics, 107(8), 325335.
van Bommel, J. (2014). The teaching of mathematical knowledge for teaching
a learning study of primary school teacher education. Nordic Studies in
Mathematics Education, 19(34), 185201.
Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and
autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27,
458477.
Youngs, P. & Qian, H. (2013). The influence of university courses and field
experiences on Chinese elementary candidates’ mathematical knowledge for
teaching. Journal of Teacher Education, 64(3), 244261.
Abstract
In recent decades, researchers have shown an increasing interest concerning the
mathematical knowledge that is specific to the work of teaching mathematics. In
this article, Nordic contributions to this field are discussed in light of
international research trends. The discussions draw upon results from a literature
review of 190 empirical articles that were published in 20062013. In addition,
Nordic studies that have been published after this are included in the discussion.
Some of the studies focus on the nature and composition of this knowledge,
other studies focus on the development of this knowledge, whereas a third group
of studies focus on how teachers knowledge contributes to student learning and
the quality of instruction. Further Nordic research in this field might contribute
to strengthening theoretical perspectives and connections to practice.
Reidar Mosvold
Reidar Mosvold er professor i matematikkdidaktikk ved Universitetet i
Stavanger, Norge. Hans forskningsinteresser omfatter læreres
undervisningskunnskap i matematikk, læreres oppfatninger, læreridentitet og
diskursive perspektiver, samt bruk av matematikkens historie i undervisningen.
... matematikk i barnehagen. Likevel er det få studier som har undersøkt hvordan barnehagelaereres (eller laerere i skolen) kompetanse påvirker barns laering av matematikk (Hoover, Mosvold, Ball & Lai, 2016;Mosvold, 2017). Mye av den tradisjonelle forskningen om matematikk i barnehagen dreier seg om barns matematiske utvikling og har blitt gjort innenfor en psykologisk tradisjon ved hjelp av kliniske intervjuer. ...
Article
Full-text available
Barnehagelærernes kompetanse blir ofte trukket fram som barnehagens viktigste ressurs, likevel har norsk barnehageforsking i liten grad undersøkt hva barnehagelærerne i barnehagen gjør og hvilken kompetanse de bruker når de jobber med matematikk. Internasjonal skoleforskning viser at det er sammenheng mellom lærerens kunnskap og barnas læring, men hvorfor og hvordan disse sammenhengene viser seg i praksis er det lite forskning som undersøker. Forskningen har i all hovedsak konsentrert seg om hvilken kompetanse lærerne har eller trenger – uten å empirisk undersøke hvilken kompetanse de bruker i sin profesjonelle praksis. Det økende fokuset på realfag i barnehagen aktualiserer behovet for forskning som kan bidra til ny kunnskap om hvordan matematikkarbeid i barnehagen gjennomføres og hvilke kompetansekrav dette stiller til barnehagelærerne. Gjennom en kvalitativ casestudie med fem barnehagelærere, indikerer resultatene fra denne studien at barnehagelærernes matematikkfokuserte kompetanse består av fagkompetanse og didaktisk kompetanse i matematikk. I tillegg ser det ut til at barnehagelærernes kompetanse til å skape felles fokus hos seg selv og barna mot faget matematikk er essensielt for arbeidet med matematikk i barnehagen. I den nordiske barnehagetradisjonen, der hovedfokuset rettes mot læringsprosessene og ikke konkrete læringsutbytteformuleringer, skal det arbeides målrettet med matematikk. Rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver gir barnehagelærerne ansvaret for arbeidet med fagområdet antall, rom og form (Kunnskapsdepartementet, 2011). I denne artikkelen argumenteres det for at kompetanse til å skape felles fokus kan knytte sammen barnehagelærernes formelle utdanning med 10 studiepoeng matematikk fra barnehagelærerutdanningen med didaktisk kompetanse til en matematikkfokusert praksis. Nøkkelord: Barnehagelærere, matematikk, kompetanse, felles fokus. English summary Kindergarten teachers’ competence is often considered the most important asset of kindergartens, but researchers still seem to pay little attention to what kindergarten teachers are doing and what competence they are using when working with mathematics in kindergarten. International research in school contexts indicate that there is a connection between teachers’ knowledge and children’s learning, but there have been few attempts to understand why and how these connections works in practice. Research has focused on the competencies teachers have or need to do their job as teachers – few studies examine what skills they use in their professional practice. The increasing focus on mathematics in kindergarten highlights the need for research to generate new knowledge about how the teachers’ mathematical work is implemented in kindergartens and what competence the kindergarten teachers use in this work. Through a qualitative case study of five kindergarten teachers, the results indicate that kindergarten teachers’ focused work of mathematics is subject matter knowledge and pedagogical content knowledge. In addition, it appears that kindergarten teachers’ competence in reaching joint attention is essential to the work of teaching mathematics in kindergarten. In the Nordic kindergarten tradition, the main focus is on unformal learning processes, and this probably challenges the teachers’ competence. The national framework plan for kindergartens (2011) underline that the kindergarten teachers are responsible for children’s mathematical learning, and this article argues that the teachers’ competence in making joint attention could be seen together with kindergarten teachers’ subject matter knowledge and pedagogical content knowledge. Keywords: Kindergarten teachers, mathematics, competence, joint attention.
Article
Full-text available
This article discusses how the inclusion of history of mathematics in mathematics education draws heavily on a teacher's mathematical knowledge for teaching, in particular horizon content knowledge, in the context of curricular changes. We discuss the role of history of mathematics in school curricula, its inclusion in textbooks and its consequences for the mathematical knowledge needed for teaching. We address the matter from three national settings (Denmark, Norway and the United States). These settings exemplify how, in particular, teachers' horizon content knowledge needs to be broader than what is necessary for only the current curriculum.
Article
Full-text available
In what sense is x in the expression x + 2 a variable? What do teachers need to know about variables in order to create optimal learning conditions for students? The aim of this study is to understand the mathematical issues and demands of teaching the concept of variables, to outline a body of Specialized content knowledge for teaching (SCK). Data from two lessons in two Swedish grade 6 classrooms, with complimentary focus group interviews, were analysed using the Mathematical knowledge for teaching framework. Findings suggest some aspects of SCK to be an awareness of the differ- ent roles of the algebraic letter x in the expression x + 3, the equation x + 3 = 8 and the formula x + 3 = y, an appropriate use of the terms unknown and variable, and the importance of mathematical contexts for expressions.
Article
Full-text available
Although the field lacks a theoretically grounded, well-defined, and shared conception of mathematical knowledge required for teaching, there appears to be broad agreement that a specialized body of knowledge is vital to improvement. Further, such a construct serves as the foundation for different kinds of studies with different agendas. This article reviews what is known and needs to be known to advance research on mathematical knowledge for teaching. It argues for three priorities: (i) finding common ground for engaging in complementary studies that together advance the field; (ii) innovating and reflecting on method; and (iii) addressing the relationship of such knowledge to mathematical fluency in teaching and to issues of equity and diversity in teaching. It concludes by situating the articles in this special issue within this emerging picture.
Article
There is a need to understand more about which types of knowledge teachers use when orchestrating mathematical discourses. This article combines models for mathematical knowledge for teaching with a recent framework that describes the actions that teachers typically use during classroom discourses in mathematics. By looking into what knowledge each action demands from the teacher, three areas related to mathematical knowledge for teaching are described: doing, guiding and requesting. Doing describes different ways the teachers are doing the mathematical work themselves. Guiding describes how the teachers help, while leaving most of the work to the students. Requesting describes different ways teachers asked the students to explain or contribute to the discourse.
Article
This article reports findings from a study carried out with prospective teachers at the University of Iceland. The study explores the mathematical content knowledge of participants, with a special focus on the understanding of numbers, operations, patterns, functions, and algebra. The mathematical knowledge is measured with interviews and a survey, translated and adapted from the MKT measures designed by Ball and the research team at the University of Michigan. The findings indicate that prospective teachers’ knowledge is procedural and related to the ”standard algorithms” they learned and used in elementary school. Findings also indicate that prospective teachers have difficulty evaluating alternative solution methods, and working with and understanding fractions.
Article
Multiple-choice assessments are frequently used for gauging teacher quality. However, research seldom examines whether results from such assessments generalize to practice. To illuminate this issue, we compare teacher performance on a mathematics assessment, during mathematics instruction, and by student performance on a state assessment. Poor performance on the written assessment predicted poor classroom performance; likewise, strong performance on the written assessment predicted strong classroom performance. However, classroom performance of teachers in the middle of the written assessment distribution varied considerably. These results also held true using student outcomes as a criterion, leading to implications for both research and policy.
Article
Using case study analysis and a cognitive theoretical orientation, we examine elements of knowledge for teaching needed by a mathematician to orchestrate whole-class discussions in an undergraduate mathematics classroom. The instructor, an experienced teacher and mathematics researcher, used an inquiry-oriented curriculum to teach a differential equations course for the first time after teaching it with traditional lecture methods for many years. Examples of classroom teaching and interview data demonstrate that, despite having extensive teaching experience and possessing strong content knowledge, some instructors may still face challenges when trying to provide analytic scaffolding to move whole-class discussions toward a lesson's mathematical goals. We also hypothesize several component practices necessary for the successful use of analytic scaffolding. Our analysis focuses on the relationship between the instructor's pedagogical content knowledge and specialized content knowledge and his capacity to enact these component practices during whole-class discussions.
Article
Background/Context: Teachers' mathematical knowledge has been the subject of recent federal policy, public programs, and scholarly attention. Numerous reports identify a need for improving this knowledge, and total federal spending on content-focused math and science professional development during the period 2002-2007 is estimated to be above $1.2 billion. Purpose/Objective/ Research Question/Focus of Study: In this study, we investigated the patterns in and the effect of professional development in the area of middle school mathematics. We focus in particular on professional development thought to influence teachers' mathematical knowledge, and use a measure of such knowledge to gauge potential growth in a sample of teachers included in a national survey. Research Design: We surveyed a nationally representative sample of roughly 1000 teachers in both 2005 and 2006 and obtained responses from 461 middle school teachers at both time points. The survey measured their mathematical knowledge for teaching at both time points and also inquired about their professional learning opportunities during the intervening year. Data Collection and Analysis: We used survey data both to describe the nature of teachers' learning opportunities during 2005-2006 and to associate participation in these learning opportunities with teachers' 2005 knowledge scores as well as other characteristics. We also linked these learning opportunities to observed growth in teacher knowledge. Findings/Results: Results indicate that extensive effort and expenditures have not dramatically transformed teacher professional development practices as compared to past descriptions, in that learning opportunities reported by teachers are still typically short and fragmented. However, there are indications that teachers' mathematical knowledge might have improved somewhat during this time period. Conclusions/Recommendations: Results from this study suggest a very mixed picture of the middle school mathematics professional development system. Effects on teacher knowledge are modest, and critics might claim that money would be better spent in hiring or induction programs.
Article
Although teachers' knowledge is thought to contribute to the selection and implementation of mathematical tasks, empirical evidence supporting this claim is scarce. To investigate this relationship and understand its nature, this exploratory study examines the unfolding of tasks in a series of lessons led by 2 elementary school teachers who differed in their level of mathematical knowledge for teaching (MKT). The Mathematical Tasks Framework (MTF) was applied to 9 videotaped lessons from each teacher, with results showing notable differences in the unfolding of tasks in the teachers' lessons. A close examination of data from several other sources-curriculum documents and teachers' general, clinical, and postlesson interviews- suggested a positive association between teachers' MKT and the cognitive level at which tasks are enacted in their lessons. Three tentative hypotheses about specific manifestations of this relationship and directions for future studies situated at the intersection of MKT and MTF are outlined.