Didaktische Probleme der elementaren Algebra

Zur „elementaren“Algebra wird in diesem Buch alles gezählt, was mit Variablen, Termen und Formeln (Gleichungen, Ungleichungen) auf Schulniveau zu tun hat. Für dieses Stoffgebiet wird im derzeitigen Mathematikunterricht großer Aufwand geleistet. Die Schüler betreiben mehrere Jahre hindurch (zumindest ab dem 7. Schuljahr) das sog. „Buchstabenrechnen“, wobei im allgemeinen viel Zeit und Energie investiert wird (durchaus auf Kosten anderer Stoffgebiete wie etwa der Geometrie). Die Anzahl der gerechneten Ubungsbeispiele ist dabei oft ungeheuer groß. Wie aber ist der Effekt dieser Anstrengungen einzuschätzen?

Nach den Überlegungen im vorigen Kapitel, die einen eher vorläufigen Charakter hatten, beginnen wir nun genauer über das zentrale Phänomen der elementaren Algebra, nämlich den Variablenbegriff, nachzudenken. Wir werden sehen, daß dieser Begriff vielfältige Aspekte besitzt, deren Beachtung für den Unterricht wesentlich ist. Da Variable nicht isoliert, sondern meist als Bestandteile von Termen oder Formeln auftreten, werden wir auch über den Sinn von Termen und Formeln nachdenken. Aus diesen Überlegungen werden sich einige Unterrichtsvorschläge ergeben, wobei wir uns zunächst auf eine erste Einführung von Variablen, Termen und Formeln im 5. und 6. Schuljahr beschränken.

Eine Formel drückt verschiedene Abhängigkeiten zwischen den in ihr enthaltenen Größen aus. Derartige Abhängigkeiten können mit Hilfe des Funktionsbegriffes präziser beschrieben werden. Am Anfang des Unterrichts in elementarer Algebra hat es aber wenig Sinn, einen expliziten Funktionsbegriff einzuführen. Es genügt, auf einer Vorstufe zu diesem Begriff zu arbeiten und funktionale Aspekte von Formeln nur implizit zu behandeln. Dazu gehört u.a. die Behandlung von Fragen folgender Art: Wie ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere Größe in einer bestimmten Weise ändert? Wie muß eine Größe geändert werden, damit sich eine andere Größe in bestimmter Weise ändert?

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Übersetzung von umgangssprachlichen Texten in algebraische Formeln und umgekehrt. Ausgehend von empirischen Beobachtungen wird eine einfache Theorie entworfen, mit der man solche Prozesse beschreiben und Schülerfehler erklären kann. Aus den theoretischen Überlegungen werden sich weitere Unterrichtsvorschläge zum Aufstellen und Interpretieren von Formeln ergeben. Einige Bemerkungen zur Behandlung von Textaufgaben im Unterricht werden angeschlossen.

Dieses Kapitel kann bei einer ersten Lektüre des Buches übersprungen werden.

Die elementare Algebra wird oft als eine unmittelbare Verallgemeinerung der Arithmetik angesehen: an die Stelle einiger konkreter Zahlen treten Buchstaben — und sonst nichts. Dies ist jedoch keineswegs so, wie in diesem Kapitel gezeigt werden soll. Wir werden zuerst zeigen, daß beim Übergang von der Arithmetik zur Algebra gewisse Symbole bzw. Schreibweisen Bedeutungsveränderungen erfahren. Anschließend werden wir noch auf weitere Veränderungen, insbesondere der Heuristik, eingehen. Wir werden herausarbeiten, daß ein Nichtbeachten dieser Veränderungen vielerlei Schwierigkeiten und Fehler in der Algebra hervorrufen kann. Aus diesen Überlegungen heraus werden sich einige Unterrichtsvorschläge ergeben. Es wird sich aber auch die Frage stellen, ob die Abfolge „zuerst Arithmetik und dann Algebra“im Unterricht wirklich so günstig ist wie sie im ersten Moment erscheint.

Wenn ein Schüler einen algebraischen Ausdruck umformen soll, so erwartet man im Idealfall, daß er den Ausdruck genau ansieht, gewisse Regeln korrekt anwendet und damit zu einer richtigen Umformung kommt. Die Realität sieht allerdings häufig anders aus: Die Schüler sehen den Ausdruck nur flüchtig an, wenden dann irgendwelche Schemata an (die mit Regeln oft nichts zu tun haben) und kommen damit zu einer fehlerhaften Umformung. Dieser Gedanke wird in diesem Kapitel zu einem kogniti-onspsychologischen Modell des Umformens algebraischer Ausdrücke ausgebaut. Dabei werden wir insbesondere die von Schülern angewandten Schemata genauer beschreiben, soferne sich diese aus empirischen Beobachtungen ergeben.

In diesem Kapitel setzen wir unsere Beobachtungen zu Schülerfehlern beim Umformen algebraischer Ausdrücke fort, allerdings unter speziellen Gesichtspunkten. Wir gehen nach wie vor von dem im Kapitel 7 betrachteten Modell aus: Der Schüler nimmt gewisse Informationen aus dem vorgelegten Ausdruck auf, ruft ein Schema auf, das allenfalls verarbeitet wird, und wird dadurch zu einer bestimmten Handlung geführt. Diese Schritte werden u.a. durch heuristische Strategien gesteuert. Die empirischen Beobachtungen im Kapitel 7 haben gezeigt, daß die Informationsaufnahme oft flüchtig verläuft, wobei vor allem das nötige Erkennen von Termstrukturen fehlt. Weiters ist aus diesen Beobachtungen hervorgegangen, daß Schüler anstelle der erwünschten Anwendung präziser Regeln häufig offene und unpräzise Schemata verwenden. Inwieferne Schüler heuristische Strategien verwenden, haben wir im Kapitel 7 noch nicht untersucht, werden dies aber jetzt tun. Wir werden zunächst anhand des Gleichungslösens überlegen, wie diese drei Komponenten (Erkennen von Termstrukturen, Anwendung von Regeln, heuristische Strategien) zusammenspielen. Anschließend werden wir empirische Beobachtungen vorbringen, die zeigen, daß in Hinblick auf jede dieser Komponenten bei vielen Schülern enorme Defizite vorliegen.

In den von uns durchgeführten schriftlichen Tests und Interviews kam es relativ häufig zu Umformungen, an denen man zwar noch Spuren regelhaften Arbeitens erkennen kann, die aber insgesamt einen eher „chaotischen“Eindruck machten. Ein Beispiel: $$\begin{array}{l} \frac{{x + 7}}{3} - \frac{{4 - x}}{4} - \frac{{3x}}{8} = 3:\frac{3}{8} \\ \frac{{x + 7}}{3} - \frac{{4 - x}}{4} - x = \frac{{24}}{8}:\frac{3}{{}} \\ \frac{{x + 7}}{3} - \frac{{x}}{{}} - x = 1 \\ x - x - x = 1 \\ - 2x + x = \frac{3}{3}:\frac{7}{3} \\ - 2x + x = \frac{{27}}{9} \\ x = \frac{{27}}{{}} = \frac{9}{3} \\ \end{array}$$ Vielfach konnten die Schüler in solchen Fällen für ihr Verhalten keine rechte Erklärung geben. Man kann annehmen, daß sie nicht immer „rational“vorgegangen sind, sondern sich von affektiven Momenten steuern ließen. Mit diesen beschäftigen wir uns in diesem Kapitel.

Wir haben in den Kapiteln 7 und 8 gesehen, daß Schüler beim Umformen algebraischer Ausdrücke kaum Regeln verwenden, sondern statt dessen vielfach offene und unpräzise Schemata anwenden, die oft zu Fehlern führen. Um derartige Fehler zu vermeiden, müssen diese Schemata präzisiert werden, sodaß sie den Schülern tatsächlich jene Informationen geben, die sie zum Umformen brauchen. Dies läuft darauf hinaus, daß man im Unterricht um eine präzise Formulierung von Regeln mit Buchstaben sowie eine präzise und bewußte Anwendung von Regeln nicht umhinkommt — zumindest solange, bis sich die Umformungstätigkeiten in einer korrekten Weise zu automatisieren beginnen. Aber auch späterhin können „Buchstabenregeln“gute Dienste leisten, um Unklarheiten zu beseitigen.

Das Umformen algebraischer Ausdrücke setzt das Erkennen von Termstrukturen voraus, vor allem dann, wenn Regeln bewußt angewendet werden sollen. Die Fähigkeit, Termstrukturen zu erkennen, ist aber weder angeboren noch selbstverständlich. Termstrukturen kann man nicht einfach dadurch erkennen, daß man einen Term lange genug anschaut. Sie sind keine Eigenschaften der Schreibfiguren an sich, sondern Sichtweisen, die angeben, wie diese Schreibfiguren zu verstehen sind. Diese Sichtweisen sind historisch entstanden und müssen von Lernenden in einem Lernprozeß nachentwickelt werden. Da diese Sichtweisen wesentlich auf Konventionen beruhen, ist ein solches Lernen ohne Kommunikation nicht möglich. Irgendjemand muß dem Lernenden sagen oder auf eine andere Weise mitteilen, wie Terme in der Mathematik zu „sehen“sind. Damit wird aber auch schon die hauptsächliche Schwierigkeit im Unterricht sichtbar: Wie kann man in die Wahrnehmungsprozesse eines fremden Menschen eingreifen und diese in einer bestimmten Weise steuern, wo man doch zu diesen Prozessen keinen direkten Zugriff hat? Man kann diese Prozesse nur indirekt beeinflussen, z.B. durch geeignete Aufgabenstellungen oder Visualisierungen (etwa das Zeichnen von Kästchen). Dadurch soll die Aufmerksamkeit der Lernenden in eine bestimmte Richtung gelenkt werden. Letztlich kann man dabei aber nur hoffen, daß das „Sehen“von Termstrukturen in der intendierten Weise erlernt wird. Erzwingen kann man es nicht.

Im Kapitel 3 haben wir funktionale Aspekte von Formeln betrachtet und Unterrichtsvorschläge zur Betrachtung von Formeln unter solchen Gesichtspunkten gemacht. Diese Vorschläge bezogen sich auf das 5. bis 8. Schuljahr und waren dadurch gekennzeichnet, daß noch kein expliziter Funktionsbegriff verwendet wurde. Im wesentlichen ging es um Fragen der Art: Wie ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere Größe in einer bestimmten Weise ändert? Ist eine Größe zu einer anderen direkt oder indirekt proportional? Von welchem Typ ist der Zusammenhang zweier Größen? Wic sieht der Funktionsgraph aus?