Content uploaded by Symon Serbenyuk
Author content
All content in this area was uploaded by Symon Serbenyuk on Mar 09, 2017
Content may be subject to copyright.
ПРО ОДНУ МАЙЖЕ СКРIЗЬ НЕПЕРЕРВНУ I
МАЙЖЕ НIДЕ НЕ ДИФЕРЕНЦIЙОВНУ ФУНКЦIЮ,
ЯКА ЗАДАНА АВТОМАТОМ ЗI СКIНЧЕННОЮ
ПАМ’ЯТТЮ ТА ЗБЕРIГАЄ РОЗМIРНIСТЬ
ХАУСДОРФА-БЕЗИКОВИЧА
С. О. СЕРБЕНЮК
Стаття присвячена дослiдженню функцiї ...
ABSTRACT
1. Вступ
2. Об’єкт дослiдження
Домовившись у трiйковiй системi числення не розглядати трiйково-
рацiональнi числа з перiодом (2), розглянемо функцiю f(x), визначену
на вiдрiзку [0,1] таку, що
∆3
α1α2...αn...
f
→∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn)...,(1)
де ϕ(i) = −3i2+7i
2,i∈N0
2={0,1,2}.
Нехай i, j, k — цифри трiйкової системи числення, причому попарно
рiзнi. Означимо функцiю ϕij(α), визначену на алфавiтi трiйкової
системи числення наступним чином
i j k
ϕij (α) 0 0 1
Пiд функцiєю fij (x)розумiтимемо функцiю
∆3
α1α2...αn...
fij
→∆3
ϕij (α1)ϕij (α2)...ϕij (αn)....
Зауваження 1.З означення функцiї fij(x)цiлком очевидно, що
f01(x) = f10 (x),f02(x) = f20 (x),f12(x) = f21 (x). Тому надалi використовуватимемо
лише позначення f01(x), f02(x), f12 (x).
Лема 1. Функцiю f(x), задану формою (1), можна означити за
допомогою наступних трьох еквiвалентних мiж собою форм:
•
f(x) = 2x−3f01(x),де ∆3
α1α2...αn...
f01
→∆3
ϕ01(α1)ϕ01 (α2)...ϕ01(αn)... ,(2)
ϕ01(i) = i2−i
2,i∈N0
2;
•
f(x) = 3
2−x−3f12(x),де ∆3
α1α2...αn...
f12
→∆3
ϕ12(α1)ϕ12 (α2)...ϕ12(αn)... ,(3)
1
2 С. О. СЕРБЕНЮК
ϕ12(i) = i2−3i+2
2,i∈N0
2.
•
f(x) = x
2+3
2f02(x)),де ∆3
α1α2...αn...
f02
→∆3
ϕ02(α1)ϕ02 (α2)...ϕ02(αn)... ,(4)
ϕ02(i) = −i2+ 2i,i∈N0
2.
Доведеня. Очевидно, що кожне число x= ∆3
α1α2...αn... в трiйковiй
системi числення можна представити у виглядi суми двох чисел
∆3
β1β2...βn... та ∆3
γ1γ2...γn..., таких, що βn∈N0
1та γn∈N0
1для кожного
n∈N. Причому, очевидно, що αn= 2 тодi i тiльки тодi, коли
βn=γn= 1.
Легко показати, що на множинi
C[3, V01] = {x:x= ∆3
α1α2...αn..., αn∈ {0,1}}
дослiджувана функцiя має вигляд f(x) = 2x. Цей факт насамперед
слiдує з означення функцiї f(x).
Проте, 1 = ϕ(2) 6=ϕ(1) + ϕ(1) = 4. Саме тому
ϕ(2) = ϕ(1) + ϕ(1) −3.
Таким чином
f(x) = f(x1) + f(x2)−3∆3
000...00
| {z }
k1−1
1000...00
| {z }
k2−k1−1
1... 000...00
| {z }
kn−(k1+...+kn−1)−1
1... =
= 2x−3∆3
000...00
| {z }
k1−1
1000...00
| {z }
k2−k1−1
1... 000...00
| {z }
kn−(k1+...+kn−1)−1
1...,де
x= ∆3
e1e2...ek1−12ek1+1...ek2−12ek2+1 ...ekn−12ekn+1... ,ek∈ {0,1}. Тобто, kn—
позицiя n-тої двiйки в зображеннi числа x.
Остання форма задання функцiї еквiвалентна наступнiй:
f(x) = 2x−3f01(x),де
∆3
α1α2...αn...
f01
→∆3
ϕ01(α1)ϕ01 (α2)...ϕ01(αn)... ,
ϕ01(αi) = (0,якщо αi∈ {0,1};
1,якщо αi= 2.
Тобто, ϕ01(i) = i2−i
2при i∈N0
2.
Легко показати, що
f01(x) = x−∆3
111... +f12(x) = x−1
2+f12(x),де
∆3
α1α2...αn...
f12
→∆3
ϕ12(α1)ϕ12 (α2)...ϕ12(αn)... , ϕ12(i) = i2−3i+ 2
2, i ∈N0
2.
Таким чином
f(x) = 2x−3f01(x) = 2x−3x−1
2+f12(x)=3
2−x−3f12(x).
ФУНКЦIЯ 3
Варто зазначити, що для будь-якого x∈[0,1]
f01(x) + f12 (x) + f02(x) = ∆3
111... =1
2.
Тому з останньої рiвностi та суми двох попередньо доведених
форм представлення функцiї f(x)слiдує, що
2f(x) = x+3
2−3(f01(x)+f12 (x)) = x+3
2−3(1
2−f02(x)) = x+3f02 (x).
Лема 2. Функцiї f(x), f01(x), f02(x), f12(x)мають наступнi властивостi:
(1)
[0,1] f
→[0,1].
(2) Єдиною iнварiантною точкою є точка x0= 0.
(3) Функцiя f(x)не є бiєктивним вiдображенням на деякiй
зчисленнiй пiдмножинi точок вiдрiзка [0,1].
(4) На множинi
{(x1;x2) : x1= ∆3
α1α2...αn..., x2= ∆3
β1β2...βn...},такiй, що
αn6= 0 ⇒βn= 0 ∨βn6= 0 ⇒αn= 0 ∨αn=βn= 0, функцiя
f(x)має властивiсть:
f(x1+x2) = f(x1) + f(x2).
(5) Для кожного x∈[0,1]
f(x)−f(1 −x) = f01(x)−f12 (x).(5)
(6) Для кожного x∈[0,1]
f(x) + f(1 −x) = 1
2+ 3f02(x).(6)
(7) Для довiльного x∈[0,1]
f01(x) + f02 (x) + f12(x) = 1
2.(7)
(8)
2f01(x) + f02 (x) = x. (8)
(9) Для будь-якого x∈[0,1]
f01(x)−f12(x) = x−1
2.(9)
(10) Функцiя f(x)є нi зростаючою, нi спадною. Зокрема, на
множинi
{x:x1< x2⇒(x1= ∆3
c1...cn01αn0+2αn0+3 ...∧x2= ∆3
c1...cn02βn0+2βn0+3 ...)},де
n0∈Z+,c1, c2, ..., cn0— фiксований набiр трiйкових цифр,
αn0+i∈N0
2,βn0+i∈N0
2,i∈N,f(x)є спадною, а на множинi
{x:x1< x2⇒(x1= ∆3
c1...cn00αn0+2αn0+3 ...∧x2= ∆3
c1...cn0rβn0+2βn0+3 ...)},де
r∈ {1,2}— зростаючою.
4 С. О. СЕРБЕНЮК
Доведення. Перша та друга властивостi функцiї f(x)слiдують з
означення (1).
Доведемо третю властивiсть. Нехай маємо x1= ∆3
α1α2...αn... та
x2= ∆3
β1β2...βn... такi, що x16=x2. Знайдемо множину
G={x:f(x1) = f(x2), x16=x2}.
•Нехай f(x1) = f(x2) = y1,2— трiйково-iррацiональне число.
Тодi
ϕ(α1) = ϕ(β1),
ϕ(α2) = ϕ(β2),
.....
ϕ(αn) = ϕ(βn),
.....
де iснує хоча б один номер n0, що αn06=βn0.
Проте, з останньої нерiвностi та означення (1) слiдує, що
ϕ(αn0)6=ϕ(βn0). Таким чином, отримано протирiччя. Множина
трiйково-iррацiональних чисел не належить множинi G.
•Нехай f(x1) = f(x2) = y1,2— трiйковоково-рацiональне число.
Тодi
y1,2= ∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn)... = ∆3
ϕ(β1)ϕ(β2)...ϕ(βn)....
Очевидно, що iснує таке n0∈Z+, що
y1,2= ∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn0)ϕ(αn0+1)000... = ∆3
ϕ(β1)ϕ(β2)...ϕ(βn0)(ϕ(αn0+1)−1)222...
або
y1,2== ∆3
ϕ(β1)ϕ(β2)...ϕ(βn0)ϕ(βn0+1)000... = ∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn0)(ϕ(βn0+1)−1)222... .
Тобто
ϕ(αn0+2) = ϕ(αn0+3 ) = ... = 0,
ϕ(βn0+2) = ϕ(βn0+3 ) = ... = 2,
ϕ(βn0+1) = ϕ(αn0+1 )−1.
ϕ(βn0+2) = ϕ(βn0+3 ) = ... = 0,
ϕ(αn0+2) = ϕ(αn0+3 ) = ... = 2,
ϕ(αn0+1) = ϕ(βn0+1 )−1,
причому ϕ(α1) = ϕ(β1),ϕ(α2) = ϕ(β2),...,ϕ(αn0) = ϕ(βn0).
ФУНКЦIЯ 5
Звiдси
αn0+2 =αn0+3 =... = 0,
βn0+2 =βn0+3 =... = 1;
αn0+1 = 2,
βn0+1 = 0;
αn0+1 = 1,
βn0+1 = 2;
αn0+2 =αn0+3 =... = 1,
βn0+2 =βn0+3 =... = 0;
αn0+1 = 0,
βn0+1 = 2;
αn0+1 = 2,
βn0+1 = 1;
Таким чином f(x1) = f(x2)при x16=x2на таких множинах:
•
G1={x:x1= ∆3
c1c2...cn02000... ∧x2= ∆3
c1c2...cn00111...};
•
G2={x:x1= ∆3
c1c2...cn01000... ∧x2= ∆3
c1c2...cn02111...};
•
G3={x:x1= ∆3
c1c2...cn00111... ∧x2= ∆3
c1c2...cn02000...};
•
G4={x:x1= ∆3
c1c2...cn02111... ∧x2= ∆3
c1c2...cn01000...},де
c1, c2, ..., cn— фiксованi трiйковi цифри, n0∈Z+. Множина
G=G1∪G2∪G3∪G4
є зчисленною як пiдмножина рацiональних чисел.
Доведемо четверту властивiсть. Знайдемо множину
{x:f(x1) + f(x2) = f(x1+x2)}.
Нехай
x1+x2= ∆3
α1α2...αn... + ∆3
β1β2...βn... = ∆3
γ1γ2...γn...,
тодi
f(x1)+f(x2)=∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn)...+∆3
ϕ(β1)ϕ(β2)...ϕ(βn)... = ∆3
ϕ(γ1)ϕ(γ2)...ϕ(γn)...,
6 С. О. СЕРБЕНЮК
тобто
ϕ(α1) + ϕ(β1) = ϕ(γ1),
ϕ(α2) + ϕ(β2) = ϕ(γ2),
.....
ϕ(αn) + ϕ(βn) = ϕ(γn),
.....
З означення функцiї f(x)слiдує, що
ϕ(0) + ϕ(1) = ϕ(1) + ϕ(0) = ϕ(1) = 2,
ϕ(0) + ϕ(2) = ϕ(2) + ϕ(0) = ϕ(2) = 1,
ϕ(0) + ϕ(0) = ϕ(0) = 0.
Проте випадки, коли
(αn= 1, βn= 2),(αn= 2, βn= 1),(αn= 2, βn= 2)
i випадок
4 = ϕ(1) + ϕ(1) 6=ϕ(2) = 1.
не розглядатимемо. Звiдси i випливає означена у властивостi множина.
(5) З означення функцiї f(x)вiдомо, що ϕ(i) = −3i2+7i
2,i∈ {0,1,2}
та 1=∆3
222.... Тому розглянемо рiзницю
ϕ(i)−ϕ(2 −i) = −3i2+ 7i
2−−3(2 −i)2+ 7(2 −i)
2=
=−3i2+ 7i+ 3(4 −4i+i2)−7(2 −i)
2=2i−2
2=i−1.
Аналогiчно, з означень функцiй f01(x),f12(x)
ϕ01(i)−ϕ12(i) = i2−i
2−i2−3i+ 2
2=2i−2
2=i−1.
Що i свiдчить про виконання рiвностi (5).
Властивiсть (6) доводиться подiбно доведенню властивостi (5).
Дiйсно
ϕ(i) + ϕ(2 −i) = −3i2+ 7i
2+−3(2 −i)2+ 7(2 −i)
2=
=−3i2+ 7i−3(4 −4i+i2) + 14 −7i
2=−6i2+ 12i+ 2
2=
=−3i2+ 6i+ 1 = 1 −3(−i2+ 2i) = 1
2+ϕ02(i).
Властивостi (7) та (8) слiдують з означень функцiй f01(x),
f02(x),f12(x).
Для доведення властивостi (9) скористаємось означенням функцiї
f(x). Зокрема, вiд рiвностi (2) вiднiмемо рiвнiсть (3) та отриману
рiзницю подiлимо на −3. В результатi отримаємо рiвнiсть еквiвалентну
шуканiй рiвностi.
ФУНКЦIЯ 7
(10) Нехай x1= ∆3
α1α2...αn...,x2= ∆3
β1β2...βn.... Нагадаємо, що функцiя
f(x)називається спадною, якщо для будь-яких x1< x2з областi
визначення функцiї f(x1)> f(x2). У нашому випадку це означає,
що ∃n0∈Z+такий, що ϕ(αn0+1)> ϕ(βn0+1)при αn0+1 < βn0+1 i
α1=β1, ..., αn0=βn0. Тому з означення функцiї f(x)випливає,
що αn0+1 = 1 iβn0+1 = 2. Тому множиною, на якiй дослiджувана
функцiя є спадною, буде множина виду
{x:x1< x2⇒(x1= ∆3
c1...cn01αn0+2αn0+3 ...∧x2= ∆3
c1...cn02βn0+2βn0+3 ...)},де
c1, c2, ..., cn0— фiксований набiр трiйкових цифр, n0— фiксоване
цiле додатнє число.
Функцiя f(x)називається зростаючою, якщо для будь-яких x1< x2
з областi визначення функцiї f(x1)< f(x2). У нашому випадку це
означає, що ∃n0∈Z+такий, що ϕ(αn0+1)< ϕ(βn0+1)при αn0+1 < βn0+1
iα1=β1, ..., αn0=βn0. Тому, провiвши аналогiчнi мiркування,
отримаємо множину зростання функцiї
{x:x1< x2⇒(x1= ∆3
c1...cn00αn0+2αn0+3 ...∧x2= ∆3
c1...cn0rβn0+2βn0+3 ...)},де
r∈ {1,2}.
Теорема 1. Функцiя f(x)є розв’язком функцiонального рiвняння
f(x)−f(1 −x) = x−1
2.(10)
Доведення. Властивiсть (10) слiдує iз властивостей (5) та (9).
3. Диференцiальнi властивостi функцiї
Теорема 2. Функцiя f(x)є неперервною в трiйково-iррацiональних
точках, а трiйково-рацiональнi точки є точками неусувних розривiв
першого роду (стрибками функцiї). Причому, трiйково-рацiональна
точка x0= ∆3
α1α2...αn000...є стрибком функцiї на 1
2·3nодиниць вгору
при αn= 1 та на 1
3nодиниць вниз при αn= 2.
Доведення. Нехай x0— трiйково-iррацiональне число. Покажемо,
що
lim
x→x0|f(x)−f(x0)|= 0.
Для довiльного x= ∆3
α1α2...αn... ∈[0,1] iснує такий номер n0=n0(x),
що (αm(x) = αm(x0), m = 1, n0−1,
αn0(x)6=αn0(x0);
причому умова x→x0рiвносильна умовi n0→ ∞. Тому
|f(x)−f(x0)|=
∞
X
l=n0
ϕ(αl(x)) −ϕ(αl(x0))
3l≤
∞
X
l=n0
|ϕ(αl(x)) −ϕ(αl(x0))|
3l≤
8 С. О. СЕРБЕНЮК
≤
∞
X
l=n0
2
3l=1
3n0−1→0 (n0→ ∞),
Отже, f(x)— неперевна в точцi x0.
Нехай тепер x0— трiйково-рацiональне число, тобто
x0= ∆3
α1α2...αn−1αn000... = ∆3
α1α2...αn−1(αn−1)222..., αn6= 0.
Доведемо, що f(x)непервна злiва та справа в точцi x0.
lim
x→x0−0f(x)=∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn−1)ϕ(αn−1)111...,
lim
x→x0+0 f(x)=∆3
ϕ(α1)ϕ(α2)...ϕ(αn−1)ϕ(αn)000...,
lim
x→x0+0 f(x)−lim
x→x0−0f(x) = ϕ(αn)−ϕ(αn−1) −1
2·3n=(1
2·3n,якщо αn= 1,
−1
3n,якщо αn= 2.
Отже, x0— не усувний розрив першого роду (стрибок функцiї
f(x)).
Теорема 3. Функцiя f(x)є нiде не диференцiйовною майже скрiзь
(в розумiннi мiри Лебега).
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть вiдрiзкiв (Ic1c2...cn)таких,
що
Ic1c2...cn= [∆3
c1c2...cn00...; ∆3
c1c2...cn0202...]
та знайдемо похiдну функцiї f(x)на точках, що належать послiдовностi
таких вiдрiзкiв
f0(x0) = lim
n→∞
Mf(Ic1c2...cn)
|Ic1c2...cn|= lim
n→∞
1
8·3n
1
4·3n
=1
2.
Тепер розглянемо послiдовнiсть вiдрiзкiв (Jc1c2...cn)таких, що
Jc1c2...cn= [∆3
c1c2...cn10...; ∆3
c1c2...cn1212...].
f0(x0) = lim
n→∞
Mf(Jc1c2...cn)
|Jc1c2...cn|= lim
n→∞
1
3n+2
4
3n+2
=1
4.
Оскiльки функцiя f(x)має розриви в трiйково-рацiональних точках
та її похiдна в трiйково-iррацiональних точках вiдрiзка [0,1] приймає
рiзнi значення, то f(x)— не диференцiйовна функцiя, зокрема, на
множинах, мiра Лебега яких не дорiвнює нулю.
Звернемо увагу на те, що функцiя f(x)є лiнiйною комбiнацiєю
функцiї ax +b, a ∈R\ {0}, b ∈Rта функцiї fij (x), яка (що слiдує
з означення) також є не диференцiйовною на всiх пiдмножинах
[0,1] за виключенням тих множин, на яких fij(x)приймає сталi
значення. Такi множини є фрактальними нуль-множинами Лебега.
Наприклад, на множинi Кантора C0функцiя має вигляд f(x) =
1
2x, а отже, є диференцiйовною. Детальнiше це буде описано при
дослiдженнi рiвнiв функцiї fij(x)в наступному роздiлi.
ФУНКЦIЯ 9
4. Фрактальнi властивостi рiвнiв
Знайдемо вираз для фрактальної розмiрностi (розмiрностi Хаусдорфа-
Безиковича) всiх рiвнiв функцiй f01(x), f02(x), f12 (x), за допомогою
яких означається дослiджувана функцiя f(x). Нагадаємо [7], що
рiвнем деякої функцiї g(x)називається множина
f−1(y0) = {x:g(x) = y0},
де y0— елемент множини E(g)значень функцiї g(x).
Теорема 4. Якщо y0= 0 або y0трiйково-рацiональне, то α0(f−1
ij (y0)) = log32.
Якщо y0— трiйково-iррацiональне, то 0≤α0(f−1
ij (y0)) ≤log32,
де α0(f−1
ij (y0)) — фрактальна розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича
множини f−1
ij (y0).
Доведення.
(1) Якщо y0= 0, то множиною прообразiв є множина канторiвського
типу, розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича якої дорiвнює log32,
що слiдує з означень функцiй f01(x), f02(x), f12(x). Множинами
прообразiв нуля для цих функцiй, вiдповiдно, будуть наступнi
множини:
E1={x:x= ∆3
e1e2...en..., en∈ {0,1}},
E2={x:x= ∆3
u1u2...un..., un∈ {0,2}},
E3={x:x= ∆3
v1v2...vn..., vn∈ {1,2}}.
Зауваження 2.Варто звернути увагу на те, що множиною
значень для кожної з функцiй f01(x), f02 (x), f12(x)є множина E1.
(2) Нехай y0— трiйково-рацiональне число, тобто
y0=1
sl1+1
sl2+... +1
sln0+0
sln0+1 +0
sln0+2 +...,
тодi множиною прообразiв f−1
01 (y0),f−1
02 (y0),f−1
12 (y0)будуть
всi рацiональнi числа з вiдрiзка [0,1], трiйкове зображення
яких має перiод з використанням цифр {0,1},{0,2},{1,2}
вiдповiдно, а також iррацiональнi числа, у трiйковому зображеннi
яких, пiсля фiксованого номеру n0вживаються лише цифри
з вiдповiдної двоелементної множини цифр.
Легко показати, що розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича
такої множини прообразiв фiксованого трiйково-рацiонального
елемента y0з множини значень однiєї з функцiй f01(y0),
f02(y0),f12(y0), дорiвнює log32.
Доведення проведемо, наприклад, для функцiї f01(x).
f−1
01 (y0) = x:x=aln0+1
sln0eln0+1
s+eln0+2
s2+... +eln0+m
sm+...=
10 С. О. СЕРБЕНЮК
=x:x=aln0+1
sln0E1,де aln= ∆3
e1...el1−12el1+1...el2−12el2+1 ...eln0−1200...,
n0— фiксоване число з множини додатних цiлих чисел,
en∈ {0,1},n∈N.
Оскiльки n0— фiксоване число, то
α0(f−1
01 (y0)) = α0(E1) = log32,
де α0(f−1
01 (y0)) — розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича множини
f−1
01 (y0).
Аналогiчно можна провести доведення i для iнших двох
функцiй.
(3) Нехай y0— трiйково-iррацiональне число, тобто
y0=1
sl1+1
sl2+... +1
sln+...,
тодi
f−1
ij (y0) = {x:x=b
∆l1l2...ln...
kk...k... , ln∈N},
де b
∆l1l2...ln...
kk...k... — число з вiдрiзка [0,1], в трiйковому зображеннi
якого на позицiях l1, l2, ..., ln, ..., знаходиться цифра k, а на
iнших позицiях в представленнi — лише цифри з множини
{i, j}.
Слiд зауважити, що натуральнi числа l1, l2, ..., ln, ... — фiксованi
i залежать вiд числа y0такого, що y0=fij (x0). Тобто, маємо
задану монотонно зростаючу послiдовнiсть натуральних чисел
(ln).
Тодi, в залежностi вiд частоти цифри 1в трiйковому представленнi
(зображеннi) числа y0, отримаємо 0≤α0(f−1
ij (y0)) ≤log32.
Дiйсно, оскльки
b
∆l1l2...ln...
kk...k... = ∆3
00...00
| {z }
e1−1
k000...000
| {z }
e2−e1−1
k... +b
∆l1l2...ln...
00...0... ,де
∆3
00...00
| {z }
e1−1
k000...000
| {z }
e2−e1−1
k... — фiксоване число, яке залежить
тiльки вiд y0, а b
∆l1l2...ln...
00...0... — пiдмножина множини C[3, Vij]
(при k6= 0 ), причому
α0(f−1
ij (y0)) →0при n
ln→1,
α0(f−1
ij (y0)) →log32при n
ln→0.
Останнi вiдношення справедливi i при k= 0.
Наслiдок 1. Функцiя f(x)зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича.
ФУНКЦIЯ 11
Доведення. Оскiльки функцiя f(x)є лiнiйною комбiнацiєю функцiй
ax +bта fij(x), тому з фрактальних властивостей рiвнiв функцiї
fij (x)i з вiдомого факту про належнiсть лiнiйної функцiї ax +bдо
групи перетворень простору R1, що зберiгають розмiрнiсть Хаусдорфа-
Безиковича i випливає твердження наслiдку.
Дiйсно, функцiя fij (x)скiнченнiй чи континуальнiй нуль-множинi
Лебега з [0,1] ставить у вiдповiднiсть деяке число з множини E1,
але водночас лiнiйна функцiя зберiгає розмiрнiсть множини-прообразу.
Наслiдок 2. Iснує функцiя, що не зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа-
Безиковича, але лiнiйна комбiнацiя цiєї функцiї та лiнiйної функцiї
зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича.
З властивостi (8) функцiї f(x)слiдує наступне твердження
Наслiдок 3. Iснують функцiї, що не зберiгають розмiрнiсть Хаусдорфа-
Безиковича, але їх лiнiйна комбiнацiя зберiгає розмiрнiсть Хаусдорфа-
Безиковича.
5. Фрактальнi властивостi графiка дослiджуваної
функцiї
Нехай в трiйковiй системi числення
X= [0; 1]×[0; 1] = ((x, y) : x=
∞
X
m=1
αm
sm, αm∈N0
2, y =
∞
X
m=1
βm
sm, βm∈N0
2).
Тодi множина точок
u(α1β1)(α2β2)...(αmβm)= ∆3
α1α2...αm×∆3
β1β2...βm
є квадратом зi стороною, довжина якої рiвнна 3−mi який називають
квадратом рангу mз основою (α1β1)(α2β2)...(αmβm).
Якщо E⊂X, то число
αK(E) = inf{α:b
Hα(E)=0}= sup{α:b
Hα(E) = ∞},де
b
Hα(E) = lim
ε→0inf
d≤εK(E, d)dα,
K(E, d)— найменша кiлькiсть квадратiв дiаметра d, необхiдних
для покриття множини E, називають фрактальною клiтинковою
ентропiйною розмiрнiстю множини E.
Цiлком очевидним є той факт, що фрактальна клiтинкова ентропiйна
розмiрнiсть є бiльшою або рiвною розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича.
Теорема 5. Фрактальна клiтинкова ентропiйна розмiрнiсть графiка
функцiї f(x)дорiвнює 1.
Доведення. З означення та властивостей функцiї f(x)випливає,
що її графiк належить трьом з шести квадратiв першого рангу
u(ij)=i
3;i+ 1
3×j
3;j+ 1
3, i ∈N0
2, j ∈N0
2,
12 С. О. СЕРБЕНЮК
а саме u(00),u(12) ,u(21).
Графiк належить 9 = 32з81 = 34квадратiв другого рангу.
u(i1j2)(i2j2)=i1
3+i2
32;i1
3+i2+ 1
32×j1
3+j2
32;j+ 1
3+j2+ 1
32, i ∈N0
2, j ∈N0
2,
i1∈N0
2, i2∈N0
2, j1∈N0
2, j2∈N0
2, а саме:
(1) та частина графiка, що належала квадрату u(00), належить
трьом квадратам u(00)(00),u(00)(12),u(00)(21);
(2) та частина графiка, що належала квадрату u(12), належить
трьом квадратам u(12)(00),u(12)(12),u(12)(21);
(3) та частина графiка, що належала квадрату u(21), належить
трьом квадратам u(21)(00),u(21)(12),u(21)(21); i т. д.
Графiк Γfфункцiї f(x)мiститься в 3mквадратах m-го рангу з
довжиною сторони 3−m. Тому
b
Hα(Γf) = lim
m→∞ 3m√3−2m+ 3−2mα= lim
m→∞ 3m2·3−2mα
2=
= lim
m→∞ 32m
α−2m·2α
2= lim
m→∞ 2α
2·(31−α)m.
Оскiльки 3(1−α)m→0при всiх α > 1, то αK(Γf)=1.
6. Iнтеграл Лебега
Нехай E— лiнiйна обмежена множина простору дiйсних чисел,
G— множина всiх вiдкритих множин, кожна з яких включає E, а
F— множина всiх замкнених множин, кожна з яких включається
вE.
Нагадаємо, що лiнiйна обмежена множина Eназивається вимiрюваною
(вимiрною) за Лебегом, якщо зовнiшня та внутрiшня мiри Лебега
цiєї множини рiвнi мiж собою.
Зовнiшньою мiрою Лебега обмеженої множини Eназивають точну
нижню межу мiр вiдкритих множин, кожна з яких включає E, i
позначають:
m∗E= inf
G⊃EmG.
Внутрiшньою мiрою Лебега обмеженої множини Eназивають
точну верхню межу мiр замкнених множин, кожна з яких включається
вE, i позначають:
m∗E= sup
F⊂E
mF .
Функцiя g(x)називається вимiрною за Лебегом, якщо для будь-
якого c∈Rмножина {x:g(x)≤c}є вимiрною.
Нехай функцiя y=g(x)— визначена на вимiрнiй множинi Ei
вимiрна. Припустимо, що iснують дiйснi числа A, B такi, що для
будь-якого x∈E A < g(x)< B.
Нехай T={y0, y1, y2, ..., yn}, де A=y0< y1< y2< ... < yn=B.
ФУНКЦIЯ 13
Введемо позначення
El={x:x∈E, yl−1≤g(x)< yl}, l = 1, n.
Очевидно, що
El={x:x∈E, g(x)< yl}∩{x:x∈E, g(x)≥yl−1}— вимiрна
для кожного l= 1, n.
Вибравши по одному для кожного lдовiльнi числа yl∈[yl−1;yl),
отримаємо множину
Y={y1, y2, ..., yn}.
Суму
n
X
l=1
(yl·mEl)
називають iнтегральною сумою Лебега i позначають σ(g, T , Y ).
Якщо iснує границя
lim
λ(T)→0σ(g, T , Y ),де λ(T) = max
l=1,n 4yl= max
l=1,n
(yl−yl−1),
яка не залежить нi вiд способу розбиття [A;B]на частини, нi вiд
вибору точок на кожному з елементарних напiввiдрiзкiв, то її називають
iнтегралом Лебега функцiї gна множинi E:
ZE
g(x)dx := lim
λ(T)→0σ(g, T , Y ).
Знайдемо iнтеграл Лебега вiд дослiджуваної функцiї f(x). Очевидно,
що A= 0, B = 1 . Тому
T=0 = y0<1
3n=y1<2
3n=y2< ... < 3n−1
3n=y3n−1<1 = B.
Тобто, yl— трiйково-рацiональне число з перiодом (0).
Знайдемо множини El. Тобто, такi:
El=x:x∈E, l−1
3n≤f(x)<l
3n, l = 1,3n.
Нехай n= 1, тодi
E1={x: 0 ≤f(x)<1
3}} = [∆3
000...; ∆3
0111...) = 0; 1
3,
E2={x:1
3≤f(x)<2
3}= [∆3
200...; ∆3
222...) = 2
3; 1,
E3={x:2
3≤f(x)<1}= [∆3
1000...; ∆3
2000...) = 1
3;2
3,
за означенням функцiї f(x).
Методом математичної iндукцiї легко показати, що множиною
Elє також трiйковий цилiндр.
14 С. О. СЕРБЕНЮК
Нехай τ— скiнченний набiр трiйкових цифр. Виберемо yl= ∆3
α1α2...αnτ τ τ...
для, вiдповiдно, цилiндра ∆3
α1α2...αn. Очевидно, що умова λ(T)→0
є еквiвалентною умовi n→ ∞.
Тодi Z[0;1]
f(x)dx := lim
λ(T)→0σ(f, T , Y ) =
= lim
n→∞
1
3n(∆3
00...0
|{z}
n
ττ... + ∆3
00...01
| {z }
n
τ τ... +... + ∆3
22...2
|{z}
n
ττ...) =
=.lim
n→∞
1
3n·∆3
3n3n...3n
| {z }
n
τ τ...
=.lim
n→∞ ∆3
111...1
| {z }
n
ττ... =1
2.
Лема 3. Iнтеграл Лебега вiд функцiї f(x)дорiвнює 1
2.
7. Про один клас функцiй, кожна з яких володiє з
дослiджуваною функцiєю однаковими
диференцiальними та фрактальними властивостями
У трiйковiй системi числення можна означити m= 3! = 6 функцiй,
визначених на вiдрiзку [0,1], виду
∆3
α1α2...αn...
fm
→∆3
ϕm(α1)ϕm(α2)...ϕm(αn)...,
де функцiя ϕm(αn), визначена на алфавiтi трiйкової системи числення,
для кожної з функцiй fm(x), m = 1,6задається з таблицi
01 2
ϕ1(αn) 0 1 2
ϕ2(αn) 0 2 1
ϕ3(αn) 1 0 2
ϕ4(αn) 1 2 0
ϕ5(αn) 2 0 1
ϕ6(αn) 2 1 0
Очевидно, що функцiя f1(x)є функцiєю y=x, а функцiя f6(x)—
функцiєю y= 1 −x.
У данiй статтi дослiджувалися основнi властивостi функцiї f2(x).
Придiлимо увагу диференцiальним та фрактальним властивостям
решти функцiй з цього класу, а саме: f3(x), f4(x), f5(x).
Лема 4. Функцiю f3(x)можна означити за допомогою наступних
трьох еквiвалентних мiж собою форм:
•
f3(x) = 1
2−x+ 3f01(x),де ∆3
α1α2...αn...
f01
→∆3
ϕ01(α1)ϕ01 (α2)...ϕ01(αn)... ,
ϕ01(i) = i2−i
2,i∈N2
0;
ФУНКЦIЯ 15
•
f3(x)=2x−1+3f12 (x),де ∆3
α1α2...αn...
f12
→∆3
ϕ12(α1)ϕ12 (α2)...ϕ12(αn)... ,
ϕ12(i) = i2−3i+2
2,i∈N2
0.
•
f3(x) = 1
2+x
2−3
2f02(x)),де ∆3
α1α2...αn...
f02
→∆3
ϕ02(α1)ϕ02 (α2)...ϕ02(αn)... ,
ϕ02(i) = −i2+ 2i,i∈N2
0.
Доведеня.
1) ϕ3(i) = 1 −i+ 3i2−i
2=3i2−5i+ 2
2.
2) ϕ3(i)=2i−2+3i2−3i+ 2
2=3i2−5i+ 2
2=
1,якщо i= 0;
0,якщо i= 1;
2,якщо i= 2.
3) ϕ3(i) = 2 + i−3(2i−i2)
2=3i2−5i+ 2
2.
Лема 5. Функцiю f4(x)можна означити за допомогою наступних
трьох еквiвалентних мiж собою форм:
•
f4(x) = 1
2+x−3f01(x),де ∆3
α1α2...αn...
f01
→∆3
ϕ01(α1)ϕ01 (α2)...ϕ01(αn)... ,
ϕ01(i) = i2−i
2,i∈N2
0;
•
f4(x)=2−2x−3f12(x),де ∆3
α1α2...αn...
f12
→∆3
ϕ12(α1)ϕ12 (α2)...ϕ12(αn)... ,
ϕ12(i) = i2−3i+2
2,i∈N2
0.
•
f4(x) = 1
2−x
2+3
2f02(x)),де ∆3
α1α2...αn...
f02
→∆3
ϕ02(α1)ϕ02 (α2)...ϕ02(αn)... ,
ϕ02(i) = −i2+ 2i,i∈N2
0.
Доведеня.
1) ϕ4(i) = 1 + i−3i2−i
2=−3i2+ 5i+ 2
2=
1,якщо i= 0;
2,якщо i= 1;
0,якщо i= 2.
Аналогiчно доводяться й iншi два випадки.
Лема 6. Функцiю f5(x)можна означити за допомогою наступних
трьох еквiвалентних мiж собою форм:
16 С. О. СЕРБЕНЮК
•
f5(x)=1−2x+ 3f01(x),де ∆3
α1α2...αn...
f01
→∆3
ϕ01(α1)ϕ01 (α2)...ϕ01(αn)... ,
ϕ01(i) = i2−i
2,i∈N2
0;
•
f5(x) = x−1
2+ 3f12(x),де ∆3
α1α2...αn...
f12
→∆3
ϕ12(α1)ϕ12 (α2)...ϕ12(αn)... ,
ϕ12(i) = i2−3i+2
2,i∈N2
0.
•
f5(x) = 1 −x
2−3
2f02(x)),де ∆3
α1α2...αn...
f02
→∆3
ϕ02(α1)ϕ02 (α2)...ϕ02(αn)... ,
ϕ02(i) = −i2+ 2i,i∈N2
0.
Доведеня.
1) ϕ5(i) = 1 −2i−3i2−i
2=3i2−7i+ 4
2=
2,якщо i= 0;
0,якщо i= 1;
1,якщо i= 2.
Аналогiчно доводяться й iншi два випадки.
Таким чином, з останнiх лем та проведеного у статтi дослiдження,
можна сформулювати наступну теорему.
Теорема 6. Нехай fm(x)— функцiя (вiдмiнна вiд функцiй y=x,
y= 1 −x) у трiйковiй системi числення, визначена на вiдрiзку
[0,1] (за умови використання серед трiйково-рацiональних чисел
лише чисел з перiодом (0)), виду
∆3
α1α2...αn...
fm
→∆3
ϕm(α1)ϕm(α2)...ϕm(αn)...,
де функцiя ϕm(αn)визначена на алфавiтi трiйкової системи числення
та
0 1 2
ϕm(αn)i j k
i, j, k — рiзнi цифри трiйкової системи числення у довiльному
порядку.
Тодi функцiя fm(x)є майже скрiзь неперервною та майже скрiзь
не диференцiйовною (в розумiннi мiри Лебега) функцiєю, що зберiгає
розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича, з фрактальною ентропiйною
розмiрнiстю графiка, рiвною 1.
Лiтература
[1] Banach S. Uber die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionnenmengen // Stud.
Math. — 1931.— 3.— P. 174–179.
[2] Mazurkiewicz S. Sur les functions non derivables // Stud. Math. — 1931.— 3.—
P. 244.
[3] Falconer K. J. Fractal geometry. — Chichester, Wiley, 1990. — 290 p.
ФУНКЦIЯ 17
[4] Hensley D. Continued Fraction Cantor Sets, Hausdorff Dimension and Func-
tional Analysis // Journal of number theory. — 1992.— 40.— P. 336–358.
[5] Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Фрактальна геометрiя та перетворення,
що зберiгають розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича // Динамiчнi системи:
Працi Українського математичного конгресу 2001 — Київ: Iн-т математики
НАН України, 2003.— С. 77–93.
[6] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. — 296 с.
[7] Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi однiєї непервної нiде не
диференцiйовної функцiї // Науковий часопис НПУ iменi М. П.
Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки — Київ: НПУ iменi М. П.
Драгоманова.— 2003, №?.— С. ? —?.
[8] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В., Фрактальные множества, функции,
распределения. — Киев: Наукова думка, 1992. — 208 с.
[9] Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991. — 254 с.
