Penetration factor of the surfaces in fast algorithm of solution of contact problems for wheel and rail.

Abstract

Values of penetration factor of wheel and rail surfaces that is used on application of fast algorithm for solution of normal contact problems are defined. Three cases had been considered: contact area has not strongly expressed spatial character; contact patch is situated nearby middle of rail rolling surface, radii of curvature of wheel and rail profiles have close values; contact patch is situated on fillet sections of the profiles.

Full text

Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)
46
УДК 629.4.015:539.3
В.И. Сакало, А.В. Сакало
КОЭФФИЦИЕНТ ВНЕДРЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В БЫСТРОМ АЛГОРИТМЕ
РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КОЛЕСА И РЕЛЬСА
1
Определены значения коэффициентов внедрения поверхностей колеса и рельса, используемых при приме-
нении быстрого алгоритма для решения нормальных контактных задач. Рассмотрены три случая: область
контакта имеет не сильно выраженный пространственный характер; пятно контакта располагается вблизи
середины поверхности качения рельса, радиусы кривизны профилей колеса и рельса близки по значению;
пятно располагается на галтельных участках профилей.
Ключевые слова: быстрый алгоритм, коэффициент внедрения, область контакта, распределение контактных
давлений, метод конечных элементов.
При решении нормальной контактной задачи для колеса и рельса с применением
быстрого алгоритма используется коэффициент внедрения их поверхностей. Его введение
в расчет обусловлено способом определения формы и размеров пятна контакта. Он состо-
ит в том, что контактирующие тела представляются поверхностями, которые могут про-
никать одна сквозь другую. Поверхности располагаются так, что они контактируют в од-
ной точке, называемой точкой начального контакта. Затем одной из них задается переме-
щение δ в направлении общей нормали в точке начального контакта. Линия пересечения
поверхностей, которая является линией равных зазоров δ между поверхностями контакта,
могла бы быть принята за контур контактного пятна [1;2]. Реальная область контакта
меньше очерченной этой линией в связи с тем, что точки поверхностей, расположенные у
её контура, перемещаются от контактирующих поверхностей внутрь тел под действием
давлений на действительной поверхности контакта и не входят в контакт. Реальную об-
ласть контакта определяют как область, ограниченную линией пересечения поверхностей
при внедрении, умноженном на величину, называемую коэффициентом внедрения. В ра-
боте [1] рекомендуется принимать его равным 0,55, а в работе [3] – равным 0,65.
Для определения распределения давлений на поверхности контакта используются
различные способы. Как правило, вводится предположение о том, что по направлению ка-
чения колеса они распределены по уравнению эллипса или квадратичной параболы.
Решение нормальной контактной задачи зависит от уравнения зазора между поверх-
ностями контакта тел. Оно может быть задано в аналитической форме либо дискретно.
Для уравнения зазора используют полином второй степени. При численном решении для
решения задач тесного контакта может быть использован полином четвёртой степени.
При сопоставлении решений контактных задач, полученных с применением конечноэле-
ментных расчётных схем и быстрого алгоритма, установлено, что в зависимости от урав-
нения зазора коэффициент внедрения может меняться в широких пределах – от 0,3 до 0,7
при принятых диапазонах варьирования коэффициентов полинома.
Решение контактной задачи для колеса и рельса упрощается благодаря двум обстоя-
тельствам: поверхность колеса представляет собой поверхность вращения, а поверхность
рельса – некруглый цилиндр. Пусть начало декартовой системы координат располагается
в точке начального контакта колеса и рельса, ось x направлена параллельно оси рельса,
ось z – по касательной к контуру поперечного сечения рельса, ось y – вдоль общей норма-
ли к поверхностям контакта (рис. 1). Тогда уравнение зазора в плоскостях, параллельных
xy, представляется уравнением окружности или квадратичной параболы.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 14-01-00662 А).

Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)
47
Необходимость в решении нормальной контактной задачи для колеса и рельса воз-
никает при моделировании движения железнодорожного экипажа. На шаге интегрирова-
ния дифференциальных уравнений движения на её основе с применением, как правило,
алгоритма FASTSIM [3] получается распределение касательных напряжений на поверхно-
сти контакта, зависящее от крипов и спина, определяются касательные силы, вводимые в
уравнения. Если для моделирования движения применяется метод, дающий значение нор-
мальной силы в контакте на каждом шаге по времени, форма контакта и распределение
давлений могут быть определены непосредственно из решения Герца при условиях: изме-
нением радиусов кривизны поверхностей колеса и рельса в плоскости yz в пределах кон-
такта можно пренебречь, эти радиусы кривизны не слишком близки по значениям. Если
радиусы кривизны близки, решение Герца не может быть использовано. Как правило, оно
не может быть использовано для случаев, когда контакт располагается вблизи галтельных
участков колеса и рельса, так как даже при небольшой протяженности контакта вдоль
контуров их поперечных сечений радиусы кривизны сильно меняются. В этих случаях для
решения контактной задачи следует применять быстрый алгоритм.
Если применяется метод, дающий значение внедрения поверхностей колеса и рельса
на каждом шаге, для решения контактной задачи необходимо использование быстрого ал-
горитма.
Практический интерес в первую очередь представляют следующие варианты, для
которых необходимо определить коэффициенты внедрения:
1. Пространственный характер области контакта не сильно выражен. Такой контакт
можно заменить эквивалентным герцевским [4], для которого решение можно получить
аналитическим методом: размеры области контакта и распределение давлений – из реше-
ния Герца, внедрение поверхностей контакта – через сближение тел [5]. В работе эта зада-
ча решалась также методом конечных элементов для определения параметров конечно-
элементных схем, обеспечивающих корректное решение.
2. Контакт располагается в средней части поверхности катания колеса, радиусы кри-
визны профилей поверхностей колеса и рельса близки по значениям, пятно носит про-
странственный характер и вытянуто в поперечном направлении относительно рельса.
3. Контакт располагается на галтельных участках колеса и рельса, причём радиусы
галтелей близки по значениям.
В работе для решения контактных задач применён метод конечных элементов.
При рассмотрении первого варианта моделировалась задача контакта двух стальных
цилиндров со взаимно перпендикулярными осями. Радиус одного из них R2 был принят
равным 200 мм, а радиус другого R1 варьировался в диапазоне от 200 до 2500 мм. Из ци-
линдров выделены фрагменты размерами 40×30×50 мм по осям x, y, z соответственно
(рис. 1). В области предполагаемого контакта размер шестигранного конечного элемента
составил 0,5 мм. На узлы фрагмента 2, расположенные на его нижней грани, накладыва-
лись связи по трём осям. Узлам фрагмента 1, лежащим на верхней грани, задавались пе-
ремещения δ по оси z, накладывались связи, позволяющие перемещения узлов, располо-
женных на оси z, только по её направлению. Перемещение δ подбиралось таким образом,
чтобы в контакте возникала нормальная сила N, равная 100 кН.
Слабым местом решения контактной задачи методом конечных элементов является
зависимость точности определения размеров эллиптического контактного пятна от разме-
ров конечных элементов. Для повышения точности определения длины полуоси исполь-
зовалось распределение давлений по полуэллипсу:
2
2
01a
x
pp 
. (1)

Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)
48
По результатам расчёта определялось давление pA в точке А с координатой xA, распо-
ложенной на оси x (рис. 2). Из выражения (1) размер полуоси равен
2
0
1









p
p
x
a
A
A
. (2)
Для того чтобы при применении быстрого ал-
горитма получить размер полуоси пятна контакта a,
необходимо фрагменту 1 задать внедрение δ0
(рис. 3). Уравнение окружности – профиля контакт-
ной поверхности этого фрагмента:
 
2
1
2
1
2RRyx 
.
Выразим отсюда y:
22
1
2
1xRRy 
.
Подставив x = a, y = δ0, получим необходимое внедрение:
22
1
2
10 aRR 

. (3)
С использованием зависимостей (2) и (3) определяется коэффициент внедрения

/
0

В
K
.
Аналогично определяется внедрение, необходимое для получения другой полуоси
эллипса контакта – b. Эллип-
сы, получаемые при решении
контактной задачи для пятна
контакта и получаемые с при-
менением быстрого алгоритма
как линии пересечения внед-
рённых поверхностей, не яв-
ляются подобными. Поэтому
при подборе коэффициента
внедрения, обеспечивающего
необходимый размер полуоси
b, он отличается от получен-
ного с использованием зави-
симости (3). В связи с этим
внедрение задавалось таким,
чтобы в быстром алгоритме площадь пятна контакта равнялась площади герцевского кон-
такта
ab

. Профили поверхностей фрагментов могут быть приближённо заданы уравне-
ниями
1
2
2R
x
y
,
2
2
2R
z
y
. (4)
При задании внедрения δ0 в первое уравнение зависимостей (4) необходимо подста-
вить y = δ0, x = aэ, а во второе – y = δ0, z = bэ, где aэ, bэ – полуоси эллипса, эквивалентного
по площади действительной области контакта. Тогда быстрый алгоритм даёт полуоси
01
2

Raэ
,
02
2

Rbэ
.
Определяем коэффициент внедрения:
210
2RRab


,
21
02RR
ab


,
21
2RR
ab
KВ


.
Рис. 2. Уточнение длины полу-
оси эллипса контакта
A
p
p0
pA
x
xA
a
y
x
δ0
a
Рис. 3. Определение необходи-
мого внедрения поверхностей
тел
Рис. 1. Фрагменты цилиндров
z
y
x
R1
R2
2
1

Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)
49
Результаты расчётов параметров контакта и коэффициента внедрения с использова-
нием решения Герца и быстрого алгоритма представлены в табл. 1.
Таблица 1
Параметры контакта двух цилиндров и значения коэффициентов
внедрения при N = 100 кН, R2 = 200 мм
Радиус R1, мм
200
300
400
600
1000
1400
1800
2500
Внедрение δ, мм
0,1325
0,1235
0,117
0,108
0,0997
0,091
0,086
0,08
Максимальное
давление p0, МПа
1776
1556
1429
1274
1116
1028
969
902
Длины
полуосей
a, мм
5,15
6,29
7,22
8,76
11,09
13
14,41
16,61
b, мм
5,15
4,81
4,57
4,23
3,83
3,58
3,41
3,19
ab/

1
0,764
0,633
0,483
0,345
0,278
0,236
0,19
KВ
0,5
0,5
0,5
0,49
0,486
0,48
0,476
0,47
В табл. 1 приведены значения коэффициентов внедрения, полученные с использова-
нием решения Герца. В качестве внедрений взяты сближения тел, зависимость для кото-
рых приведена в работе [5]. Их величина чувствительна к размерам выделенных фрагмен-
тов и конечных элементов при решении задач методом конечных элементов. При недоста-
точно больших размерах фрагментов необходимое для получения заданной силы в кон-
такте внедрение получается заниженным, а коэффициент внедрения – завышенным. Зна-
чения отношения
ab/

, полученные путём решения задачи Герца и с применением
быстрого алгоритма, различаются (табл. 2).
Таблица 2
Значения
ab/

(для тех же условий, что и в табл. 1)
Радиус R1, мм
200
300
400
600
1000
1400
1800
2500
Решение Герца
1
0,764
0,633
0,483
0,345
0,278
0,236
0,19
Быстрый алгоритм
1
0,816
0,707
0,58
0,45
0,378
0,333
0,28
Из данных, приведенных в табл. 2, видно, что эллиптические области контакта,
определяемые из решения Герца и с применением быстрого алгоритма, не являются по-
добными. Причём эта тенденция усиливается с увеличением эксцентриситета эллипса.
Второй вариант представлен задачей контакта колеса и рельса с изношенными по-
верхностями катания. Предполагается, что контакт располагается вблизи середины по-
верхности качения рельса, радиусы кривизны профилей не меняются в пределах предпо-
лагаемого пятна контакта и приняты равными: для рельса – Rр = 500 мм, для колеса –
Rк1 = 530 мм. В плоскости перекатывания колеса его радиус Rк равен радиусу круга ката-
ния 475 мм. Конечноэлементные схемы фрагментов, прилегающих к поверхностям кон-
такта, показаны на рис. 4а. Использованы шестигранные конечные элементы с размерами
рёбер в области контакта 1 мм.
Внедрение контактных поверхностей фрагментов реализовано заданием перемеще-
ния δ узлов, расположенных на верхней грани фрагмента 1, по оси y, равного 0,051 мм,
при закреплённой нижней грани фрагмента 2. В результате решения контактной задачи
получена нормальная сила на поверхности контакта, равная 100,4 кН. Максимальные дав-
ления в центре контакта – 469,4 МПа. Размеры полуосей пятна контакта, найденные с
применением процедуры уточнения, составили: a = 26,21 мм – по оси x, b = 4,02 мм – по
оси z (рис. 4б).
Площадь области контакта вычислена как для плоской эллиптической области:
2
мм331 abF

.

Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)
50
При определении внедрения поверхности колеса, ко-
торое необходимо задать при применении быстрого алго-
ритма, использованы приближённые уравнения окружно-
стей, получаемых в сечениях фрагментов координатными
плоскостями zy и zx. При этом уравнения зазоров между по-
верхностями фрагментов можно представить в следующем
виде:
– в плоскости zy
к
R
z
y2
2

; (5)
– в плоскости xy
1
22
22 кр R
x
R
x
y
. (6)
Если в уравнениях (5) и (6) у и
y
задать равными δ0, x
принимает значение размера полуоси контакта a, а z – зна-
чение полуоси b:
к
R
b
2
2
0

; (7)
1
22
022 кр R
a
R
a

. (8)
Приравняв правые части уравнений (7) и (8), получим
соотношение между полуосями области контакта:
)11( 1kpk RRRab 
.
Для того чтобы площадь определенной с помощью
быстрого алгоритма области контакта равнялась получен-
ной из решения методом конечных элементов, полуоси
должны быть равны а = 21,3 мм, b = 4,94 мм. Внедрение при
этом может быть определено из уравнений (7) или (8). Оно
оказалось равным 0,0257 мм. Для второго варианта получен
коэффициент внедрения поверхностей 0,504.
В третьем варианте рассмотрен случай, когда контакт
расположен на галтельных участках поверхностей колеса и
рельса так, что нормаль, проведенная из точки начального
контакта, наклонена под углом 45° к оси колеса. Конечно-
элементные схемы фрагментов колеса 1 и рельса 2, приле-
гающих к области контакта, показаны на рис. 5а. Ось y
направлена вдоль общей нормали к поверхностям, прохо-
дящей через точку начального контакта. Плоскость yz явля-
ется главной. Она наклонена к оси колеса под углом 45°. Ра-
диус кривизны поверхности колеса в этой плоскости принят
равным 672 мм. Его изменением на ширине контакта можно
пренебречь вследствие малых размеров контактного пятна.
Для профилей галтельных участков колеса и рельса заданы
радиусы
1к
R
= 15,14 мм и
p
R
= 15 мм. Длины рёбер конеч-
ных элементов в области контакта приняты равными 0,5 мм.
Рис. 5. Конечноэлементная
модель фрагментов (а)
и распределение дав-
лений на поверхности
контакта (б)
б)
а)
1
2
Рис. 4. Конечноэлементная
модель фрагментов (а) и
распределение давлений на
поверхности контакта (б)
а)
б)
1
2
а

Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. № 1(45)
51
Как и во втором варианте, нагружение фрагментов задавалось путём смещения
верхней грани фрагмента 1 вдоль оси у. При смещении δ, равном 0,055 мм, получена нор-
мальная сила в контакте 100 кН. Распределение нормальных давлений на поверхности
контакта показано на рис. 5б. Максимальное давление составило 818 МПа. Приближённо
оценены полуширина контакта b = 5,7 мм и проекция полудлины на ось x ax = 9,55 мм.
Дана оценка проекции пятна контакта на координатную плоскость xz в предположении,
что по форме она близка к эллипсу:
2
мм171 baF x

.
При применении быстрого алгоритма для окружностей, которые получены в сечениях
контактных поверхностей главными плоскостями, использованы уравнения без введения
упрощений. Уравнения зазоров между поверхностями записываются в следующем виде:
– в главной плоскости yz
22 zRRy kk 
; (9)
– в главной плоскости xy
221
22
1xRxRRRy kpkp 
. (10)
Положим y и ∆y равными δ0. Тогда в уравнениях (9) и (10) x принимает значение a, а
z – значение b. Приравняв их правые части, получим
2221
22
1
22 ][ xkxppkkk aRaRRRRRb 
.
Для того чтобы проекция области контакта на плоскость xz равнялась 171 мм2, вели-
чины ax и b должны быть равны 8,56 и 6,36 мм соответственно. Тогда из уравнения (9)
определяется внедрение δ0 = 0,03 мм. При решении задачи методом конечных элементов
внедрение задавалось равным 0,055 мм. Получен коэффициент внедрения для третьего
варианта 0,545.
Итак, определены значения коэффициентов внедрения поверхностей колеса и рель-
са, используемых при решении нормальной контактной задачи с применением быстрого
алгоритма. Если пространственный характер пятна контакта не сильно выражен, он может
быть приведен к эквивалентному герцевскому. Коэффициент внедрения в этом случае за-
висит от соотношения полуосей эллипса и меняется от 0,5 до 0,47. Для случая, когда от-
ношение полуосей составляет 6,5 и область контакта представляет пространственную по-
верхность, получен коэффициент внедрения 0,504.
При расположении контакта на галтельных участках колеса и рельса поверхность
области контакта носит явно выраженный пространственный характер. Для этого случая
получено значение коэффициента внедрения 0,545.
Для рассмотренных вариантов контакта колеса и рельса разброс значений коэффи-
циента внедрения небольшой, что позволяет при использовании быстрого алгоритма ре-
шения контактных задач принимать его среднее значение 0,5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kik, W. A fast, approximate method to calculate normal load at contact between wheel and rail and creep
forces during rolling / W. Kik, J. Piotrowski // Proceedings of the 2nd mini conference on contact mechanics
and wear of rail/wheel systems. – Budapest, 1996. – P. 52-61.
2. Linder, C. Prediction of wheel wear / C. Linder, H. Brauchli // Proceedings of the 2nd mini conference on
contact mechanics and wear of rail/wheel systems. – Budapest, 1996. – P. 215-223.
3. Kalker, J.J. Three-dimensional elastic bodies in rolling contact / J.J. Kalker. – Dordrecht; Boston; London:
Kluwer academic publishers, 1990. – 314 p.
4. Harder, R.F. Generalized approximations of wheel-rail creep forces and contact patch frictional work using
neural network simulation / R.F. Harder, L.L. Meekisho, J. Jones, V. Rhoades // Proceedings of the 2nd mini
conference on contact mechanics and wear of rail/wheel systems. – Budapest, 1996. – P. 21-33.
5. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. – М.: Мир, 1980. – 510 с.
Материал поступил в редколлегию 1.12.14.