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Mathematics practice without feedback: A desirable difficulty in a classroom setting

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Recent research highlights the potential benefits of practice without feedback on learner’s strategy knowledge. However, most prior work has been conducted in one-on-one settings with short retention intervals. We compared the effects of mathematics practice with and without correct-answer feedback on immediate and 1-week delayed performance in a classroom setting. In a randomized experiment, 243 second- and third-grade children received strategy instruction and then practiced solving relevant problems in small groups within their classroom. During practice, children received immediate feedback (after each problem), summative feedback (after all the problems in the set), or no feedback. During the practice task, immediate feedback led to the best performance. However, practice without feedback led to higher levels of mastery on the 1-week knowledge retention test. Thus, instructional practices that seem less effective at first can, for some children, ultimately result in more desirable learning.
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ORIGINAL RESEARCH
Mathematics practice without feedback: A desirable
difficulty in a classroom setting
Emily R. Fyfe
1
Bethany Rittle-Johnson
2
Received: 19 October 2015 / Accepted: 21 November 2016 / Published online: 28 November 2016
Springer Science+Business Media Dordrecht 2016
Abstract Recent research highlights the potential benefits of practice without feedback on
learner’s strategy knowledge. However, most prior work has been conducted in one-on-one
settings with short retention intervals. We compared the effects of mathematics practice
with and without correct-answer feedback on immediate and 1-week delayed performance
in a classroom setting. In a randomized experiment, 243 second- and third-grade children
received strategy instruction and then practiced solving relevant problems in small groups
within their classroom. During practice, children received immediate feedback (after each
problem), summative feedback (after all the problems in the set), or no feedback. During
the practice task, immediate feedback led to the best performance. However, practice
without feedback led to higher levels of mastery on the 1-week knowledge retention test.
Thus, instructional practices that seem less effective at first can, for some children, ulti-
mately result in more desirable learning.
Keywords Feedback Problem solving Mathematics learning Mathematical
equivalence
There are some instructional practices that seem less effective at first, yet ultimately result
in desirable learning. These practices are often called ‘‘desirable difficulties’’ (Bjork 1999);
they create difficulties at first (e.g., high error rates, slow acquisition), but these difficulties
often trigger deep processing of target problems in a way that enhances later retention. For
example, interleaving different problem types during practice can take longer and result in
less accurate performance than blocking the same problem types together, but it often
&Emily R. Fyfe
efyfe@indiana.edu
1
Department of Psychological and Brain Sciences, Indiana University, 1101 E. 10th Street,
Bloomington, IN 47405, USA
2
Department of Psychology and Human Development, Vanderbilt University, Nashville, TN, USA
123
Instr Sci (2017) 45:177–194
DOI 10.1007/s11251-016-9401-1
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... The importance of feedback in spaced retrieval practice has been widely debated [26]- [33]. Reviews have indicated that spaced retrieval practice can be effective even when feedback is minimal [33]. ...
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Zusammenfassung Der digitale Wandel stellt Lehrkräfte im Unterricht vor neue Anforderungen. Insbesondere Physiklehrkräfte müssen für das schulische Experimentieren nicht nur spezifische Messtechnik und Software nutzen können, sondern auch Grundkenntnisse des Programmierens beherrschen. Hinzu kommt, dass die (Physik-)Lehrkräfte sich in kurzen Zeitspannen immer wieder selbstständig neue digitale Technologien erschließen müssen. In diesem Buchkapitel wird das neu konzipierte lehramtsspezifische Elektronikpraktikum der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel vorgestellt, in dem Physiklehramtsstudierende am Beispiel des Mikrocontrollers Arduino neben den Grundlagen der Elektronik auch diese digitalen Kompetenzen für ihre spätere Lehrtätigkeit entwickeln sollen. Durch die Begleitforschung im Design-based-Research-Ansatz konnte eine Reihe an konsistenten Indizien gesammelt werden, welche die Konzeption des lehramtsspezifischen Elektronikpraktikums stützen. Eine explorativ angelegte Interviewstudie zeigt, dass die Studierenden die wahrgenommene Relevanz aus einer schulpraktischen Perspektive beurteilen, Lerninhalte zur Förderung digitaler Kompetenzen erfolgreich integriert werden konnten und das Einüben selbstständigen Arbeitens das Selbstvertrauen der Studierenden fördert, sich in neue digitale Technologien einzuarbeiten.
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Zusammenfassung Dieser Artikel beschäftigt sich mit verschiedenen Ansätzen der Entwicklung feedbackorientierter Lernumgebungen zur Gestaltung immer offener gefasster Aufgabenstellungen mit Machine Learning (ML), Augmented Reality und 3D-Druck. Vom Begriff „Feedback“ ausgehend werden Aspekte des computerbasierten Feedbacks dargestellt. Dabei wird die in der Hochschulmathematik sehr beliebte Software STACK als ein aktuelles Beispiel für vielfältige Feedbackmöglichkeiten aufgezeigt. Die konkrete Ausgestaltung von computerbasiertem Feedback mittels STACK führt dann zu Überlegungen, wie Feedback für noch „offenere“ Aufgabenstellungen designt werden kann. Der Hauptteil dieses Artikels zeigt dies an Praxisbeispielen. Für die Mathematikdidaktik sollen Bereiche ausgelotet werden, um vielfältige neue digital gestützte Feedbackansätze zu entwickeln.
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Zusammenfassung Eyetracking bezeichnet die Erfassung und Analyse von Blickdaten und ermöglicht einen Einblick in die kognitiven Prozesse beim Lernen und damit die Identifikation von Lernhürden. Durch die Identifikation von Lernhürden eröffnet diese Methodik eine neuartige Möglichkeit zur Analyse und Verbesserung von Lernprozessen. In diesem Beitrag werden erste Ergebnisse einer Eyetracking-Studie zur Interpretation von linearen Funktionen vorgestellt, welche wesentlicher Bestandteil der schulischen, aber auch universitären MINT-Ausbildung sind. Ein kompetenter Umgang mit diesem Funktionstyp in unterschiedlichen Repräsentationsformen ist daher essenziell. Schülerinnen und Schüler haben jedoch häufig Schwierigkeiten mit der Interpretation linearer Funktionen, insbesondere in unterschiedlichen disziplinären Kontexten. Die hier beschriebene Studie basiert auf einem validierten Testinstrument von Ceuppens et al. (2019) und wurde mit N = 131 Schülerinnen und Schülern der gymnasialen Oberstufe durchgeführt. Das Testinstrument besteht aus Paaren von Mathematik- und Kinematik-Items, welche zueinander ähnlich sind und sich nur im Kontext der Aufgabenstellung und in den disziplinüblichen Bezeichnungen unterscheiden. Insbesondere ist zur Lösung das gleiche mathematische Verfahren (Bestimmung von Steigung und y-Achsenabschnitt) erforderlich. Die Grundvoraussetzung für die Lösung dieser Items stellen mathematische Fähigkeiten dar, beispielsweise die Bestimmung von Steigung und Ordinatenabschnitt. Die Analyse der Eyetracking-Daten eröffnet hierbei Einsichten in kognitive Prozesse bei der Anwendung mathematischer Prozeduren zur Lösung von Items im mathematischen und physikalischen Kontext.
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Zusammenfassung Das Potenzial eines adäquaten digitalen Medieneinsatzes ist vielfach bestätigt. Im Kontrast dazu stehen Ergebnisse, dass digitale Medien im alltäglichen Schulunterricht, insbesondere für die Schülerhand, kaum genutzt werden. Eine mögliche Ursache liegt in dem mangelnden Wissen seitens der Lehrkräfte, um digitale Technologien zielgerichtet im Unterricht zu nutzen. Im folgenden Beitrag wird die Entwicklung eines Lehr-Lern-Labor-Seminars vorgestellt, in dem Studierenden die Fähigkeit zur Beurteilung interaktiver Arbeitsblätter als Beitrag zu den digitalen Kompetenzen angehender Lehrkräfte vermittelt werden soll. Anhand eines Fallbeispiels eines Studierenden werden Veränderungen in der Fähigkeit im Laufe des Seminars aufgezeigt.
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In diesem Auftaktbeitrag zum Doppelband „Die Zukunft des MINT-Lernens“ werden von den Herausgebenden zentrale Aspekte der Diskussion über die Entwicklung des mathematischen, naturwissenschaftlichen und informatischen Unterrichts im Zeitalter der fortschreitenden Digitalisierung beleuchtet und wichtige Begriffe definiert. Er gibt einen Einblick in Facetten der 21st Century Skills, die für ein Leben in einer zunehmend digitalisierten Gesellschaft als nützlich oder gar notwendig erachtet werden und durch MINT-Unterricht gefördert werden können. Darüber hinaus wird auf Grundlage bekannter Modelle ein eigenes „Kompetenzmodell der Zukunft des MINT-Lernens für Lehrende“ präsentiert, das ausgehend vom vernetzten Professionswissen den Versuch unternimmt, die wesentlichen Facetten der Kompetenzen von Lehrpersonen und des Lehr-Lern-Prozesses abzubilden. Von hier aus wird der Bogen gespannt zu Definitionen für die Begriffe „digitale Technologien“, „digitale Werkzeuge“ und „digitale Lernumgebungen“. Es werden die Anwendung dieser digitalen Aspekte zur Förderung von Lernprozessen reflektiert und Qualitätskriterien sowie Ziele für deren Nutzung beschrieben. Auf dieser Grundlage wird abschließend ein Ausblick auf die Inhalte aller 22 weiteren Beiträge des Doppelbands gegeben.
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Zusammenfassung Der lernzielorientierte Einsatz digitaler Technologien im Mathematikunterricht stellt eine Anforderung an Lehrkräfte dar, die in der jüngeren Vergangenheit an Bedeutung gewonnen hat (Dede, 2010; Voogt & Roblin, 2012). Zugleich berichten viele Lehrkräfte in Deutschland, dass sie sich unzureichend auf die Erfüllung dieser Anforderung vorbereitet sehen (Autorengruppe Bildungsberichterstattung, 2020). Insbesondere im internationalen Vergleich zeigt sich, dass Lehrkräfte in Deutschland eine niedrige Selbstwirksamkeitserwartung bezogen auf den Einsatz digitaler Technologien aufweisen (Fraillon et al., 2019). Die vorliegende quantitative Studie knüpft an diese Befunde an und untersucht die Selbstwirksamkeitserwartung hinsichtlich des Einsatzes digitaler Technologien im Mathematikunterricht anhand der Aussagen von n = 249 Lehramtsstudierenden: Auf Grundlage der Control-Value Theory (Pekrun, 2006) werden die Effekte subjektiver Kontroll- und Werteinschätzung auf das Erleben von Freude beim Einsatz digitaler Technologien untersucht und aufbauend auf der Theorie von Bandura (1997) wird der Zusammenhang dieser drei Faktoren mit der Selbstwirksamkeitserwartung in den Blick genommen. Die Ergebnisse der Studie weisen darauf hin, dass der wahrgenommenen Kontrolle über digitale Technologien erheblich größere Bedeutung zukommt als der Beurteilung des Wertes und dass das Erleben von Freude zwischen diesen beiden Einschätzungen und der Selbstwirksamkeitserwartung vermittelt. Die Bedeutung der Ergebnisse für die Aus- und Fortbildung von Lehrkräften wird diskutiert.
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Zusammenfassung Der Beitrag stellt die Ergebnisse einer Vorstudie und einer experimentellen Studie ( N = 273) in der Sekundarstufe und der Universität im Kontext der Programmierung, genauer der Programmablaufverfolgung (Tracing), vor. Das Ziel ist die automatische Generierung von Items in einem adaptiven Testsystem, die bekannte Fehlvorstellungen sichtbar machen können. Verglichen werden dazu zunächst die empirisch unter Lernenden ermittelten Schwierigkeiten bekannter Items mit den Schwierigkeiten, die aus einem theoretischen Vorhersagemodell abgeleitet werden, sowie mit einem Rating von Experten. Darauf aufbauend werden Items anhand von einfachen Regeln generiert und in einer Hauptstudie deren durch die Regeln vorhergesagte Schwierigkeitsrangfolge empirisch überprüft. Die Ergebnisse zeigen, dass eine solche regelbasierte Generierung von Items vielversprechend ist. Bestimmte Programmkonstrukte sind hinsichtlich ihrer Schwierigkeit auf diese Weise gut klassifizierbar und können so für die automatisierte Itemkonstruktion genutzt werden. Praktisch erlauben solche adaptiven Testverfahren in kurzer Zeit die Diagnose von Fehlvorstellungen, die eine große Hürde in der Programmierausbildung darstellen. Aufgrund der Regeln und des Itemformats ist es darüber hinaus möglich, gezielt Feedback zu den Fehlvorstellungen an die Testerinnen und Tester, oder auch die Lernenden selbst, zu geben.
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Zusammenfassung Im folgenden Beitrag werden zwei Projekte vorgestellt, die sich mit der Entwicklung und dem Einsatz von geometriebezogenen Lernumgebungen zur Förderung des fachunabhängigen Konzepts des Computational Thinking auf der Unterrichts- sowie der Fortbildungsebene im Fach Mathematik befassen. Auf Ebene des Unterrichts wird das Förderpotenzial einer Lernumgebung mit einem Lernroboter untersucht. Auf Ebene der Fortbildung wird das Design theoriebasiert hergeleitet und es werden Ergebnisse ausgewählter Begleitforschung zu Möglichkeiten und Grenzen vorgestellt. Damit werden exemplarisch zwei Handlungsfelder der Implementierung eines im Zuge der Digitalisierung zentralen Konstrukts, dem Computational Thinking, in der Grundschule fachbezogen in den Blick genommen.
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Zusammenfassung Die systematische Untersuchung der Gebrauchstauglichkeit (Usability) von Online-Lernplattformen stellt eine wichtige Voraussetzung dar, um die Erfahrungen, Probleme und Wünsche der Nutzerinnen und Nutzer angemessen einschätzen sowie bei der Gestaltung oder Weiterentwicklung des E-Learning-Angebots einbeziehen zu können. Dieses Kapitel zeigt am Beispiel der Online-Lernplattform ViviAn, wie das Vorhaben einer Usability-Evaluation gelingen kann. Das Nutzungsverhalten bei der Bearbeitung von Lerneinheiten wurde über einen mehrwöchigen Erhebungszeitraum mittels Matomo Analytics für 168 Studierende erfasst und quantifiziert. Ergänzend füllten die Teilnehmenden einen Fragebogen aus, in dem Einschätzungen zu verschiedenen Aspekten der Lernplattform erhoben wurden. Die Ergebnisse zeigen, dass die Lernplattform überdurchschnittlich gut bewertet wird. Die Auswertung zeigt darüber hinaus, dass die Mehrheit der Nutzerinnen und Nutzer mit einer geeigneten Bildschirmauflösung gearbeitet und die neu hinzugefügten Funktionalitäten (z. B. Skalierbarkeit und Verschiebbarkeit von Fenstern und Menüs) auch genutzt haben. Im Zuge der Auswertung der Freitextantworten konnten weitere Usability-Probleme und Wünsche identifiziert werden, die im Rahmen der Weiterentwicklung von ViviAn berücksichtigt werden, um einen – gemäß der Usability-Definition – noch effektiveren, effizienteren und zufriedenstellenderen Gebrauch der Plattform zu ermöglich.
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A typical mathematics assignment consists primarily of practice problems requiring the strategy introduced in the immediately preceding lesson (e.g., a dozen problems that are solved by using the Pythagorean theorem). This means that students know which strategy is needed to solve each problem before they read the problem. In an alternative approach known as interleaved practice, problems from the course are rearranged so that a portion of each assignment includes different kinds of problems in an interleaved order. Interleaved practice requires students to choose a strategy on the basis of the problem itself, as they must do when they encounter a problem during a comprehensive examination or subsequent course. In the experiment reported here, 126 seventh-grade students received the same practice problems over a 3-month period, but the problems were arranged so that skills were learned by interleaved practice or by the usual blocked approach. The practice phase concluded with a review session, followed 1 or 30 days later by an unannounced test. Compared with blocked practice, interleaved practice produced higher scores on both the immediate and delayed tests (Cohen's ds = 0.42 and 0.79, respectively).
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This experiment tested if a modified version of arithmetic practice facilitates understanding of math equivalence. Children within 2nd-grade classrooms (N = 166) were randomly assigned to practice single-digit addition facts using 1 of 2 workbooks. In the control workbook, problems were presented in the traditional "operations = answer" format (e.g., 4 + 3 = __) and were organized pseudorandomly throughout the workbook. In the modified workbook, problems were presented with operations on the right side (e.g., __ = 4 + 3), the equal sign was sometimes replaced by relational words (e.g., "is equal to"), and problems were organized by equivalent sums such that several problems in a row would all have the same sum. Children who used the modified workbook constructed a better understanding of math equivalence than did children who used the control workbook. This advantage persisted approximately 5-6 months after the practice had ended, and there were no observed "trade-offs" with computational fluency. A mediation analysis showed that the modified practice improved understanding as intended by decreasing children's reliance on operational patterns. Results suggest that small differences in the organization and format of arithmetic practice can yield substantial differences in children's understanding of fundamental mathematics concepts.
Book
How do children acquire the vast array of concepts, strategies, and skills that distinguish the thinking of infants and toddlers from that of preschoolers, older children, and adolescents? In this new book, Robert Siegler addresses these and other fundamental questions about children's thinking. Previous theories have tended to depict cognitive development much like a staircase. At an early age, children think in one way; as they get older, they step up to increasingly higher ways of thinking. Siegler proposes that viewing the development within an evolutionary framework is more useful than a staircase model. The evolution of species depends on mechanisms for generating variability, for choosing adaptively among the variants, and for preserving the lessons of past experience so that successful variants become increasingly prevalent. The development of children's thinking appears to depend on mechanisms to fulfill these same functions. Siegler's theory is consistent with a great deal of evidence. It unifies phenomena from such areas as problem solving, reasoning, and memory, and reveals commonalities in the thinking of people of all ages. Most important, it leads to valuable insights regarding a basic question about children's thinking asked by cognitive, developmental, and educational psychologists: How does change occur?
Article
Feedback is an essential construct for many theories of learning and instruction, and an understanding of the conditions for effective feedback should facilitate both theoretical development and instructional practice. In an early review of feedback effects in written instruction, Kulhavy (1977) proposed that feedback’s chief instructional significance is to correct errors. This error-correcting action was thought to be a function of presentation timing, response certainty, and whether students could merely copy answers from feedback without having to generate their own. The present meta-analysis reviewed 58 effect sizes from 40 reports. Feedback effects were found to vary with control for presearch availability, type of feedback, use of pretests, and type of instruction and could be quite large under optimal conditions. Mediated intentional feedback for retrieval and application of specific knowledge appears to stimulate the correction of erroneous responses in situations where its mindful (Salomon & Globerson, 1987) reception is encouraged.
Article
Feedback can be a powerful learning tool, but its effects vary widely. Research has suggested that learners' prior knowledge may moderate the effects of feedback; however, no causal link has been established. In Experiment 1, we randomly assigned elementary schoolchildren (N = 108) to a condition based on a crossing of 2 factors: induced strategy knowledge (yes vs. no) and immediate, verification feedback (present vs. absent). Feedback had positive effects for children who were not taught a correct strategy, but negative effects for children with induced knowledge of a correct strategy. In Experiment 2, we induced strategy knowledge in all children (N = 101) and randomly assigned them to 1 of 3 conditions: no feedback, immediate correct-answer feedback, or summative correct-answer feedback. Again, feedback had negative effects relative to no feedback. Results provide evidence for a causal role of prior knowledge and indicate that minimal feedback can both help and hinder learning.