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LA METHODE MONTE CARLO
ET SES APPLICATIONS
Ce document est un chapitre d'un mémoire de Master en Mathématiques
Spécialité : Mathématiques fondamentales et appliquées
Préparé par: BENMICIA Rima et FEDALA Fatiha
Encadreur: LEDRA Mohammed
Soutenu le 25 mai 2016 au centre Universitaire de Mila- Algérie
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LA METHODE MONTE-CARLO ET SES APPLICATIONS
1 Introduction
Le terme méthode de Monte-Carlo désigne toute méthode visant à calculer une valeur
numérique en utilisant des procédés aléatoires, c’est à dire des techniques probabilistes. Le
nom de cette méthode fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Il n’y a pas de
définition précise de ce qu’est une technique de type Monte-Carlo, mais la description la plus
habituelle consiste à dire que les méthodes de ce type se caractérisent par l’utilisation du
hasard pour résoudre des problèmes centrés sur le calcul d’une valeur numérique. La réponse
fournie sera une réponse statistique.
La méthode de Monte Carlo a été préférée dans de très nombreux secteurs scientifiques
et technologiques. La puissance développée des ordinateurs a permis à ces méthodes de
devenir opérationnelles et de s'étendre dans des domaines différents tel que la finance, les
mathématiques, la physique, la biologie moléculaire et génétique, les télécommunications, les
réseaux, la recherche opérationnelle et bien d’autres encore. D’une façon générale,
l’utilisation de cette méthode recouvre tous les domaines où l’utilisation des méthodes
scientifiques se heurte à des difficultés. Dans ce contexte, on distingue deux grands domaines
où la méthode de Monté Carlo peut être utilisée avec succès :
Problème déterministes: Ce sont des problèmes de nature déterministe faisant appel
aux calculs numériques. On site comme exemple de ces problème:
Estimation des surfaces.
Calculs d’intégrales multiples.
Résolution d’équations différentielles.
Résolution de systèmes d’équations algébriques.
Résolution de problèmes d’optimisation combinatoire.
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Phénomènes et processus aléatoires : on site comme exemple de ces problème:
Mouvement de particules.
Systèmes stochastiques de gestion ou de production.
Reconnaissance de formes (analyse d’images, de paroles, …).
Systèmes de commande décrits par des équations différentielles ordinaires ou des
équations aux différences.
2 Principe de la méthode Monté Carlo
L'une des procédures pour calculer une quantité par la méthode de Monte-Carlo est de
la mettre tout d’abord sous la forme d’une espérance, à l’issu de cette étape, il reste à calculer
cette quantité par une espérance E(X) de la variable aléatoire X. Pour ce calcul, il convient de
savoir simuler une variable aléatoire selon la loi de X. On dispose alors d’une suite (Xi)1≤ i ≤ N
de N réalisations de la variable aléatoire . On approxime alors E(X) par :
() ≈
(+⋯+) (1)
3 Calcul d'intégrale par la méthode de Monte Carlo
3.1 Calcul de l'intégrale par l'espérance
Le calcul de l'intégrale =∫()
par la méthode de Monte Carlo se ramène à
résoudre l'intégrale suivante :
=∫()
[,] (2)
Dans ce cas, la méthode de Monte Carlo consiste à écrire cette intégrale sous forme
d’espérance de f qui est la généralisation de la moyenne de f sur [0, 1]d, et avec u une variable
aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1]d:
=(()) (3)
On approxime l'intégrale comme suit:
I ≈ =
∑()
(4)
3
Les points xi sont choisis dans l'intervalle Ω, donc quand le nombre des points N augmente
l'approximation sera plus précise et on a:
=∫()
=
→ =
→
∑()
(5)
Pour voir les procédés un peu plus claires, nous approchons le calcul de l'intégrale sur
un intervalle [a, b] de ℝ, c'est à dire calculer l'intégrale =∫()
. Soient x1, x2, ..., xN
des points aléatoires dans l'intervalle [a, b], après le calcul des f(x1), f(x2),..., f(xN), on peut
écrire la formulation générale suivante:
=∫()
≈
∑()
(6)
Ces résultats sont des résultats de deux autres résultats importants, il s'agit de la loi forte des
grands nombres et le théorème de limite centrale :
Théorème de loi forte des grands nombres
Soit (, ≥ ), une suite de réalisations de la variable aléatoire . On suppose que
(││) < +∞. Alors, pour presque tout ω (i.e. Ǝ ∈ avec () = 0 et ∉ N))
() = lim→∞
()+⋯+() (7)
Théorème de limite centrale
Soit ( , ≥1) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X, telles
que ||< +∞
On note σ2 la variance de X :
=((−))=()−()
Alors la suite
√
=√
∑
− =
√∑−()
(8)
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Converge en loi vers une gaussienne centrée réduite. C'est-à-dire :
∀ < ,lim→∞(
√ ≤ ≤
√) = ∫
√
(9)
Cette méthode ne dépend pas de la régularité de f qui doit être juste mesurable.
Souvent on cherche à calculer une intégrale plus générale :
I ≈∫ ()()
ℝ = ∫(,… ,)(,…, ),… (10)
En considérant f positive et ∫() = 1
ℝ, on obtiendra alors:
=(()) (11)
où est une variable aléatoire à valeur dans ℝ de loi .Ainsi on peut approcher l'intégrale I
par l'expression suivante:
≈ =
∑()
(12)
C’est la loi forte des grands nombres qui permet de justifier la convergence de la
méthode, et le théorème de la limite centrale qui précise la vitesse de convergence. Pour avoir
une idée de l’intérêt de la méthode, il faut pouvoir évaluer l’erreur commise définie par:
|ɛ|=(())−
∑()
(13)
Le théorème de la limite centrale donne un asymptotique de l’erreur ɛ, mais de
nature aléatoire. Dans ce cas, la loi de l’erreur finit par ressembler à une loi gaussienne
centrée. Dans les applications, on remplace ɛ par une gaussienne centrée de variance σ
.
Le théorème de la limite centrale ne permet jamais de borner l’erreur (support d’une
gaussienne est égale à ℝ en entier). On présente souvent l’erreur de la méthode de Monte-
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Carlo, soit en donnant l’´ecart-type de l’erreur ɛ, soit en donnant un intervalle de confiance à
95% pour le résultat. L’intervalle de confiance de la méthode à 95% est :
[,] = [−1.96 σ
√ , + 1.96 σ
√] (14)
En général le calcul de la valeur de σ est approximée par la méthode de Monte Carlo:
∑[()]−
∑()
→
(15
)
La vitesse de convergence est en
√, ce qui n’est pas très rapide, mais c’est parfois la seule
méthode abordable, de plus cette vitesse ne change pas si on est en grande dimension, et elle
ne dépend pas de la régularité de la fonction.
3. 2 Calcul d'intégrale par la méthode de rejet
L’estimation d’une intégrale peut également se faire en utilisant les méthodes de
simulation de loi uniforme dans certaines parties de ℝ2. Afin de simplifier les notations, on ne
supposera ici que ()≥0. Il est connu que l’intégrale d’une fonction est l’aire sous la
courbe de celle-ci. Estimer l’intégrale I = ∫ ()()
ℝ revient donc à estimer l’aire de
la partie D = { (,)∈ ℝ, 0 ≤ ≤ ()()} de ℝ2:
=∫ ()()
ℝ=λ() (16)
Afin d’estimer cette aire, on peut procéder de la façon suivante. Choisir un domaine D′
contenant D, tirer N points uniformément dans D′ et calculer la proportion fn d’entre eux qui
tombe dans D: cette quantité estime I /λ(D′). Finalement, on estime donc I par λ(D′)·fn.
4 Calcul d'aire (Approximation de π)
La Méthode de Monte-Carlo permet la résolution de certains problèmes numériques
déterministes. On résout les problèmes de façon approchée avec une simulation.
Dans ce paragraphe nous présentons brièvement l'approximation du nombre π par l’estimation
de la surface d'un quart de disque de forme circulaire de rayon 1. Dans ce cas, on tire au
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hasard des coordonnées x et y, chacune dans l’intervalle [0,1[. Si x² + y² < 1 alors le point P de
coordonnées (x, y) appartient au quart de disque D de centre (0,0) et de rayon 1. La probabilité
que P appartienne à D est π/4 (rapport de l’aire de D et du carré l’englobant). Donc, si on tire
au hasard n points, et si P d’entre eux appartiennent à D, on s’attend à avoir : p/n ≈ π/4. On en
tire donc une approximation de π égal à 4p/n.
5 Simulation des trajectoires électroniques par la méthode de Monte Carlo
Les trajectoires électroniques dans un solide ont un caractère fortement aléatoire ; c’est
pour cette raison que la méthode de monte Carlo est habituellement utilisée. Cette méthode
consiste à décomposer la trajectoire de chaque électron en un grand nombre de séquences. La
figure (1) montre une étape de la trajectoire d’un électron.
Figure 1 : Représentation d’une étape d’une
trajectoire électronique dans un solide.
Dans cette section on présente les différentes étapes et les modèles physiques employés
par un logiciel appelé CASINO. Ce logiciel exploite pleinement l’environnement naturel du
fonctionnement du microordinateur. En utilisant le logiciel CASINO version 2.42, la position
initiale de l’électron sur l’échantillon est ainsi calculée en utilisant les équations suivantes:
= ()
×. × cos (2) (17-a)
= ()
×. × cos (2) (17-b)
où d est le diamètre du faisceau électronique, R1, R2 et R3 sont des nombres aléatoires générés
par le micro-ordinateur distribués uniformément sur l'intervalle [0, 1].
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L’angle initial de pénétration est fixé par l’utilisateur. La distance entre deux collisions
successives est calculée par les équations suivantes:
()=− . ln() (18)
= ∑
(19)
où Ci et Ai sont la fraction de poids et la masse atomique de l’élément i respectivement,
ρ (g/ cm3) la densité de la région, NA le nombre d’Avogadro. La valeur de la section efficace
de diffusion de chaque élément chimique de la région est calculée ou tabulé.
Ce logiciel ne prend pas en considération l’effet de la diffusion inélastique sur la
déviation d’électron. Il regroupe tous les événements de perte d’énergie d’électron dans une
fonction de dissipation d’énergie continue. Avec cette condition, l'énergie entre les collisions
peut être calculée en utilisant les équations suivantes:
= +
(20)
=,×
∑
1.116
+
(21)
où Zj et Jj sont respectivement le nombre atomique et le potentiel moyen d’ionisation de
l’élément j et Kj est une variable dépendante seulement du numéro Zj.
Dans le cas d’un élément simple, l’équation (18) prend la forme suivante :
=,×
1.116
+ (22)
L’angle de collision élastique est déterminé en utilisant la section efficace élastique et
un nombre aléatoire généré uniformément entre 0 et 1. Ces étapes sont répétées jusqu’à ce que
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l’énergie de l’électron soit inferieure à 50 eV ou l’électron est rétrodiffusé vers l’extérieur de
la cible. L’énergie minimale peut être ajustée en utilisant les options de simulations mais il
déconseille d’utiliser une valeur inferieure à 50 eV.
6 Références
[1] Céline BARANGER et Julien MATHIAUD, Méthode de Monte-Carlo, 2012/2013
Lien: wwwdfr.ensta.fr/Cours/docs/D11-2/coursMonteCarloENSTA
[2] Méthodes de Monte Carlo,
Lien: ljk.imag.fr/membres/Laurent.Zwald/L3IUPMAI2011/TP6/TP62011.pdf
[3] Basics of Monte Carlo simulations, Kai Nordlund 2006
Lien: www.acclab.helsinki.fi/~knordlun/mc/mc5nc.pdf
[4] Numerical Integration Using Monte Carlo Method
Lien: http://www.eecs.wsu.edu/~osman/EE351_S06/montecarlo.pdf.
[5] EL KHATIB Nader, LECOT Christian, Exposé de Mathématique, Calcul intégrale par la
méthode de Monte Carlo, Université de Savoie, Maitrise d'Ingénierie Mathématiques
[6] LAURE ELIE BERNARD LAPEYRE, Introduction aux Méthodes de Monte-Carlo,
Septembre 2001
[7] Emmanuel Grenier, Quelle est la « bonne » formule de l’écart-type ?, Reims Management
School
[8] Bernard. YCART, Méthodes de Monte-Carlo, UFR Mathématiques et Informatique
Universitée René Descartes, Paris
Lien: www-ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/polys/montec.pdf
[9] Eric GILLON, Approximation de Pi par la méthode de Monte-Carlo, 2008-2009
Lien: http://histoiredechiffres.free.fr/formation/ressources%20%20tableur/methode%20de%20Monte-carlo.pdf
[10] D. SOUDANI, Simulation Monte Carlo des trajectoires électroniques dans les solides,
Mémoire de Master encadré par M.LEDRA, Université de Biskra, Juin 2011
[11] D. DROUIN, P. Covington,R. Gauvin, «CASINO : A New Monte Carlo Code In C Language
For Electron Beam Interaction –Part II: Tabulated Values Of The Mott Cross Section», Scanning,
Vol.19, (1997) 20-28.
[12] D. DROUIN, A. R. Couture, D. Joly, X. Tastet, V. Aimez, «CASINO V2.42- A Fast
and Easy to use Modeling Tool for Scanning Electron Microscopy and Microanalysis
Users», Scanning, Vol. 29,(2007) 92 -101.
