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RESUMEN
El análisis de componentes principales (PCA) es una técnica estadística de análisis multivariante que se emplea para
extraer información relevante de un conjunto inicial de variables correlacionadas transformándolas en variables no
correlacionadas, con el objeto de identificar patrones y estructuras. El objetivo de este artículo es utilizar la técnica
de PCA para determinar los principales factores de riesgo de la curva de rendimientos, con un énfasis especial en la
gestión activa de carteras de renta fija, proporcionando el enfoque del gestor de carteras o practitioner.
Palabras claves: análisis de componentes principales / gestión activa de carteras / renta fija / tipos de interés / fac-
tor de riesgo.
Códigos JEL: G11, G12.
ABSTRACT
The principal component analysis (PCA) is a statistical technique of multivariate analysis, which is used to extract
relevant information from an initial set of correlated variables transforming them into uncorrelated variables in
order to identify patterns and structures. The aim of this paper is to use the technique of principal component analy-
sis to identify the main risk factors in the yield curve, with a special emphasis on the active management of fixed inco-
me portfolios, providing the approach of a portfolio manager or practitioner.
Keywords: principal component analysis / active portfolio management / fixed income / interest rates / risk factor.
JEL Classification: G11, G12.
Recibido: 3 de febrero 2014 Aceptado: 2 de marzo de 2014
* Licenciado en Ciencias Económicas por la Universidad Autónoma de Madrid. MSc en Economía por la London School of
Economics. Profesor de Finanzas en la EFA y el Instituto BME. Actualmente trabaja en la División de Gestión de Activos del
Banco de España. Contacto: mariobajo@gmail.com
ANÁLISIS FINANCIERO
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Mario Bajo Traver: Aplicaciones prácticas del Análisis de Componentes Principales en Gestión de Carteras de
Renta Fija (I). Determinación de los principales factores de riesgo de la curva de rendimientos. Practical
applications of Principal Component Analysis in Fixed Income Portfolio Management (I): Determination
of the main risk factors of the yield curve
Análisis Financiero, n.º 124. 2014. Págs.: 20-36
Mario Bajo Traver*
Aplicaciones prácticas del Análisis
de Componentes Principales
en Gestión de Carteras de Renta
Fija (I). Determinación de los
principales factores de riesgo
de la curva de rendimientos
Practical applications of Principal Component
Analysis in Fixed Income Portfolio Management (I):
Determination of the main risk factors of the yield curve
«La simplicidad es lo más difícil de conseguir en este
mundo, es el último límite de la experiencia y el último
esfuerzo del genio».
George Sand (Francia, 1804-1878)
1. INTRODUCTION
El análisis de componentes principales (Principal Com-
ponent Analysis o PCA) es una técnica estadística de
análisis multivariante. Esta metodología de análisis se
emplea para extraer información relevante de un con-
junto inicial de variables correlacionadas transformán-
dolas en variables no correlacionadas, con el objeto de
identificar patrones y estructuras, y cuantificar la
importancia de cada una de ellas la hora de determinar
la variabilidad en dicho conjunto de datos. Estas carac-
terísticas hacen que el PCA haya sido empleado desde
hace tiempo en el área de las finanzas dadas sus múlti-
ples aplicaciones prácticas aunque, en la realidad, dicha
técnica estadística no está muy extendida en el ámbito
de la gestión de carteras.
Un elemento que hace que esta metodología de análisis
sea especialmente atractiva para el análisis y la gestión
de carteras de renta fija, es el hecho de que partiendo
de un conjunto de rentabilidades de bonos de distintos
vencimientos, el PCA permite identificar y reducir el
análisis a un número relativamente pequeño de deter-
minantes de la ETTI, es decir, permite cuantificar los
principales factores de riesgo que determinan la diná-
mica de la curva de tipos: nivel, pendiente y curvatura.
Otro punto a favor del uso de PCA en renta fija es el
enfoque que emplea para calcular y cubrir el riesgo de
tipo de interés de una cartera. De manera habitual, el
gestor utiliza la duración modificada como métrica
representativa del riesgo de tipo de interés de su carte-
ra, lo que implícitamente asume una correlación per-
fecta entre todos los puntos de la ETTI, sin una estruc-
tura de volatilidad. La mejora introducida por Ho
(1992) con el concepto de duración parcial (key rate
duration), sigue adoleciendo de un problema clave: no
tiene en cuenta las varianzas y la correlación entre los
distintos vértices de la curva. El PCA trata de cubrir
este gap, teniendo en cuenta tanto la estructura de vola-
tilidad de los tipos de interés como su correlación.
Sin ánimo de ser exhaustivos, además del análisis de
los principales determinantes de una curva de tipos,
algunas de las aplicaciones prácticas del PCA en ges-
tión de carteras de renta fija son la cobertura o inmuni-
zación de la duración de una cartera de bonos y la
detección de oportunidades de valor relativo en la
ETTI, en donde el gestor trata de generar valor añadi-
do al retorno de la cartera sin tomar una posición direc-
cional de mercado, construyendo carteras o trades
curva-neutral. También, en ocasiones en las cuales el
gestor desea adoptar una posición determinada en
curva, el PCA sirve para calcular posiciones que tienen
en cuenta la dinámica de la curva de tipos y sus distin-
tos factores de riesgo, por ejemplo mediante estrategias
de pendiente o estrategias butterfly ponderadas por
PCA, que permiten tener en cuenta los cambios de
nivel y los cambios de pendiente. Asimismo, esta
metodología puede aplicarse para analizar bonos con
riesgo de crédito, emisiones en distintas divisas, CDS
de distintos emisores, análisis de varias curvas o para
llevar a cabo un ejercicio de atribución de resultados.
El objetivo de este artículo es utilizar la técnica de análi-
sis de componentes principales para determinar los prin-
cipales factores de riesgo de la curva de rendimientos,
con un énfasis especial en la gestión activa de carteras de
renta fija y sin entrar, más de lo estrictamente necesario,
en los desarrollos matemáticos, es decir, proporcionando
el enfoque del gestor de carteras o practitioner.
2. PCA Y ALGUNOS CONCEPTOS MATEMÁTICOS
El PCA se emplea para estudiar la relación existente
entre un grupo de pvariables correlacionadas entre sí
(como pueden ser las series históricas de las rentabili-
dades de los bonos que componen una curva de tipos
de interés) y que contienen una información común.
Para ello PCA transforma el conjunto inicial de varia-
bles en un conjunto de variables nuevas denominadas
componentes o factores y que no están correlacionadas
entre sí, es decir, que no aportan información redun-
dante entre ellas.
APLICACIONES PRÁCTICAS DEL ANÁLISIS DE COMPONENTES ... 21
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Estas nuevas variables son combinaciones lineales de
las variables iniciales y se van construyendo según el
orden de importancia en cuanto a la variabilidad total
que explican de los datos iniciales.
La técnica de PCA se define matemáticamente como
una transformación lineal ortogonal que transforma un
conjunto de variables iniciales a un nuevo sistema de
coordenadas de manera que la mayor varianza1se sitúa
en la primera coordenada (llamado el primer compo-
nente principal o PC1), la segunda mayor varianza en
la segunda coordenada, y así sucesivamente.
Desde un punto de vista práctico el PCA busca generar
un número menor de variables m(m < p),de manera
que no estén correlacionadas entre sí y a su vez recojan
la mayor parte de la información de los datos iniciales
sujetos a análisis. Es decir, el PCA trata de solucionar
dos problemas comunes en el análisis de datos:
a. La dificultad para identificar la relación entre las
variables cuando empleamos un número elevado
de ellas, lo cual hace necesario reducir el número
de variables (lo que se denomina “reducción de
dimensión”).
b. Muchas veces dichas variables pueden estar corre-
lacionadas entre sí, siendo difícil visualizar e iden-
tificar las relaciones entre ellas.
Aunque el desarrollo matemático2de la técnica de
componentes principales no es el objeto principal del
artículo, es necesario poseer algunas nociones básicas
de la misma. Para ello, resulta imprescindible manejar
una serie de conceptos que serán empleados posterior-
mente en la aplicación de la metodología de PCA.
Supongamos un conjunto inicial de pvariables que
queremos analizar (x1 , x2, … ,xp), las cuales están corre-
lacionadas entre sí3, como pueden ser las series tempo-
rales de los distintos tipos de interés que componen una
curva de rendimientos de un mismo emisor.
Una de las características del PCA es trabajar con
variables que revierten a su media, por lo que como pri-
mer paso, se procede a transformar las variables origi-
nales, bien expresándolas como desviaciones respecto
a su media o bien tipificándolas4. Dado que los tipos de
interés son variables que se expresan en la misma uni-
dad, las variables se expresan en diferencias frente a su
media muestral, no siendo necesario tipificarlas.
Seguidamente, se obtiene la matriz de varianzas y
covarianzas5(Ω), una matriz cuadrada de dimensión
pxp, que posee en su diagonal principal las varianzas
σ2
ide cada variable inicial xi, y en los elementos no
diagonales las correspondientes covarianzas σij.
El objetivo del análisis es obtener un conjunto de pvaria-
bles finales o “componentes principales” (y1 , y2 ,…, yp),
las cuales no están correlacionadas entre sí pero refle-
jan la variabilidad del conjunto inicial y se definen
como combinación lineal de todas las variables inicia-
les, es decir,
para cada una de las pvariables finales yjy para cada
observación muestral t:
De esta manera, podemos expresar matricialmente el
primer componente principal (y1) como:
y1= Vector de dimensión (nx1) y primer componente
principal (PC1)
X= Matriz de dimensión (nxp) de variables iniciales
dispuestas en columnas
a1 = Vector de constantes (px1) para cada yj : el auto-
vector a1es pués el nexo que relaciona las variables
originales con cada una de las variables transformadas
o componentes principales.
ANÁLISIS FINANCIERO
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Podemos expresar matricialmente las variables trans-
formadas en función de los autovectores y de las varia-
bles iniciales:
En donde
Y’ = matriz traspuesta6de componentes principales con
dimensión (pxn)
A’ = matriz traspuesta de autovectores con dimensión
(pxp)
X’ = matriz traspuesta de variables originales transfor-
madas7con dimensión (pxn).
Es decir, el elemento n-ésimo del primer componente
principal Y1se define como:
No obstante, podemos querer expresar la relación a la
inversa, es decir, representar las variables iniciales
como función de los componentes principales. Por
ejemplo, como gestores de cartera, podemos querer
expresar la variación de los tipos de interés en función
de los tres grandes movimientos de la curva de rendi-
mientos: movimientos de nivel, de pendiente y de cur-
vatura (ver apartado 4).
De esta manera, partimos de la relación Y’ = A’ X’ y
premultiplicando ambos lados de la igualdad por [A’]-1
y sabiendo que A es una matriz ortogonal8A-1 = A’,
con lo que:
En caso de que hubiéramos trabajado con los datos ori-
ginales en desviaciones respecto a la media, tendríamos
que añadir la media de los datos originales.
En donde
X’* = matriz traspuesta de variables originales, sin
transformar, con dimensión (pxn).
μμ= vector columna de pmedias muestrales, con
dimensión (pxn).
Recordemos que el autovalor λjcorresponde a la
varianza del componente principal yj, la cual se define
por medio del autovector aj:
Teniendo en cuenta que la matriz Λde autovalores es
diagonal, la variabilidad total de los componentes prin-
cipales sería:
La suma de varianzas de las variables originales (xi)
coincide con la suma de las varianzas de los compo-
nentes principales (yi) y con la suma de los autovalores
de la matriz de covarianzas muestral Ω.
De esta manera, podemos calcular el porcentaje de varian-
za total explicado por la componente principal i-ésima9:
Asimismo, podemos determinar el porcentaje de la
variabilidad total recogido por las mprimeras compo-
nentes principales (m<p).
En las aplicaciones prácticas de PCA, seleccionamos
un número menor de componentes principales, gene-
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ralmente tres, de forma que recojan el porcentaje máxi-
mo de variabilidad total.
2.1. Algunas limitaciones del PCA
Algunas de las limitaciones del análisis de componen-
tes principales son comunes a otras técnicas estadísti-
cas o econométricas. Por ejemplo, en el estudio de los
tipos de interés mediante el uso de datos históricos, se
realiza el análisis de los movimientos futuros de la
curva de tipos. Por lo tanto, una de las hipótesis implí-
citas en que se sustenta la validez de los resultados de
esta técnica es que la dinámica de la curva de tipos en
el futuro será similar a como ha sido en el pasado. Esta
hipótesis es válida hasta que dicha dinámica de merca-
do cambia o se produce un cambio estructural. Un
ejemplo de esto es la política monetaria expansiva
seguida por la Reserva Federal de los EEUU desde
2008, momento en el cual la autoridad monetaria man-
tiene los tipos de interés en niveles mínimos debido a
la debilidad en el crecimiento económico y el elevado
desempleo, lo cual ha causado que la dinámica en los
movimientos de los tipos de interés en la zona corta y
la zona larga (2 y 10 años) haya cambiado en relación
a como era antes. El hecho de que los tipos a corto han
permanecido anclados a los tipos de intervención
implica que la dirección de los tipos y los cambios de
pendiente vengan determinados principalmente por el
movimiento en los tipos a largo, cambiando sustancial-
mente la estructura de los autovectores.
De esta manera, la selección del periodo temporal se
convierte en una de las principales decisiones a tomar
para que los resultados puedan ser válidos. Asimismo,
como técnica estadística que es, el PCA está sujeto a
error de estimación, no obstante, la matemática subya-
cente a esta técnica multivariante pueda dar una falsa
sensación de precisión.
La técnica de PCA también lleva implícita una serie de
hipótesis sobre distribuciones que pueden resultar no
ser del todo plausibles, como una matriz de varianzas y
covarianzas fija durante todo el periodo muestral con-
siderado (estacionariedad).
En algunas circunstancias es muy difícil, si no imposi-
ble, descubrir la verdadera interpretación económica de
los componentes principales, ya que las nuevas varia-
bles generadas son combinaciones lineales de las varia-
bles originales. Es por tanto tarea del analista o gestor,
desde un punto de vista subjetivo y basado en su cono-
cimiento de las variables analizadas el asignar el “qué
representa qué”.
Adicionalmente, para que la técnica de PCA funcione
correctamente, hay que transformar las series de datos
originales de manera que su media sea cero. Dicho pro-
ceso implica que los resultados del PCA son respecto a
las variables transformadas, no respecto a las variables
iniciales, lo cual hace que la interpretación y aplicación
del PCA resulta más difícil.
Otro aspecto importante que puede afectar a los resulta-
dos obtenidos es la elección de los vencimientos dentro
de la curva de rendimientos ya que el PCA trata a todos
los vencimientos incorporados como equivalentes. Por lo
tanto, la decisión de que vértices de la ETTI incorporar
como inputs del modelo es un aspecto importante a tener
en cuenta. Así, el gestor de carteras deberá incorporar
aquellos tramos temporales de la curva en los cuales tiene
libertad de acción para tomar posiciones, es decir, que
sean representativos de su política de inversión y no
incluir aquellos plazos en donde no puede posicionarse.
3. PCA Y LOS PRINCIPALES FACTORES DE RIESGO
DE LA CURVA DE RENDIMIENTOS
Quizá la aplicación clásica por excelencia de la técnica
de PCA en renta fija es la obtención y cuantificación de
los principales determinantes de la dinámica de la
curva de tipos de interés, es decir, de sus factores de
riesgo. Para una curva de Tesoro considerada como
libre de riesgo de default, los tres principales determi-
nantes de los movimientos de la ETTI10 son: la direc-
ción del mercado11 (level), la pendiente de la curva
(slope or steepness) y la curvatura (curvature).
Como punto de partida, seleccionamos como variables
iniciales a emplear en el PCA los puntos de la curva de
rendimientos que mejor representan o bien el mercado
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o bien nuestra cartera de renta fija y buscamos las
series temporales de esos vértices. De esta manera, la
matriz X inicial contiene las series históricas de los
tipos de interés, ya sean en nivel, o en variación.
Generalmente en las aplicaciones de PCA en renta fija, el
consenso de mercado es emplear las series de las variables:
1. En nivel absoluto (nivel de tipos de interés) cuando
el objetivo del análisis es determinar las relaciones a
largo plazo existente entre los distintos puntos de la
curva, por ejemplo, a la hora de calcular los importes
nominales necesarios para establecer una estrategia
butterfly 2-5-10 ponderada por PCA.
2. En diferencias (variaciones de tipos de interés)
cuando el objetivo es, por ejemplo, neutralizar la
posición de duración de una cartera de bonos y
necesitamos para ello calcular los ratios de cober-
tura (hegde ratios) correspondientes a cada vértice.
Una vez seleccionadas las variables iniciales se procede,
mediante el uso de un software estadístico, al cálculo de
autovectores y autovalores de la matriz de varianzas y
covarianzas y la obtención de las componentes principa-
les. Así, obtenemos un modelo factorial que relaciona
variables iniciales y variables transformadas, en donde
estas últimas son una combinación lineal de las primeras
(ver gráfico 2). Como veremos más adelante, los tres pri-
meros componentes principales representan los factores
de riesgo de nivel, pendiente y curvatura en la ETTI.
Esta cuantificación de los distintos factores de riesgo
en los tres determinantes de la curva, resulta especial-
mente relevante cuando queremos establecer una estra-
tegia de inversión sobre un factor y que sea, a su vez,
lo más inmune posible al resto de factores. Por ejem-
plo, si queremos construir una estrategia butterfly como
pura apuesta de curvatura comprando en las alas el
bono a 2 años y el bono a 10, y vendiendo el bono a 5
años (+2s/-5s/+10s), entonces nos gustaría neutralizar
el resultado de dicho trade a cambios en la dirección
del mercado así como a cambios de pendiente, de
manera que sean únicamente las variaciones en el
grado de concavidad/convexidad entre los tres vértices
las que determinen el resultado de la estrategia.
No obstante, en la realidad, una estrategia butterfly puede
arrojar una determinada correlación con estrategias puras
de duración o con estrategias de pendiente (steepening/
flattening), arrojando en determinados momentos una
elevada direccionalidad (positiva o negativa) tanto con el
nivel de tipos de interés como con la pendiente de la
curva12, lo cual haría que la posición adoptada estuviera
influida por factores no deseados. Los gráficos 3 y 4
muestran la relación entre una estrategia butterfly (+2s/-
5s/+10s) y el nivel de tipos de interés, representado por la
TIR del bono a 5 años y la pendiente 2-10 para el merca-
do de Treasuries estadounidense.
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A continuación llevamos a cabo un ejercicio de PCA
sobre la curva de rendimientos del Tesoro estadouni-
dense, tomando datos semanales de julio de 2010 a
octubre de 2013. El gráfico 5 muestra la evolución de
los distintos tipos de interés, tomando vencimientos de
a 2 años hasta 30 años, pudiéndose apreciar la elevada
correlación existente entre ellos.
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Como se ha comentado anteriormente, a través del PCA
buscamos transformar un conjunto inicial de variables
iniciales correlacionadas (tipos de interés) en una serie
de variables finales o componentes principales no corre-
lacionadas entre sí (factores de riesgo de la ETTI).
Los autovectores de la matriz de varianzas y covarian-
zas, también denominados “factor loadings”, represen-
tan las relaciones estructurales y la dinámica del merca-
do, mientras que los autovalores reflejan la importancia
relativa de cada componente principal a la hora de expli-
car la variabilidad total del conjunto inicial de variables.
El gráfico 6 muestra los autovalores obtenidos en el
análisis, pudiéndose apreciar como el primer compo-
nente principal explica más del 98% de la variabilidad
de los movimientos de la curva estadounidense, mien-
tras que los tres primeros factores conjuntamente,
explican casi el 100%.
Esta es la situación típica que se obtiene al llevar a
cabo un PCA sobre una única curva de rendimientos,
lo cual significa que, independientemente del núme-
ro de puntos de curva que tomemos inicialmente,
toda la información del mercado de Treasuries puede
ser reducida y expresada tan solo en función de tres
variables.
A continuación, examinando los autovectores obteni-
dos, y más en concreto su forma, podemos extraer
información estructural acerca del mercado de deuda
pública estadounidense. El gráfico 7 muestra los 3 pri-
meros autovectores de la curva norteamericana.
La interpretación de los autovectores se aprecia de
manera más clara al hacernos la siguiente pregunta:
¿qué ocurre con los tipos de interés cuando el compo-
nente principal i-ésimo aumenta en 1 unidad?.
i) En el gráfico 7 podemos observar cómo un incre-
mento de una unidad en el primer componente princi-
pal (Y1 o PC1) se corresponde con un incremento en
todos los tipos de interés en la curva dado que todos los
elementos del autovector son positivos. De esta mane-
ra, podemos interpretar el primer componente prin-
cipal como el factor de riesgo de tendencia o direc-
cionalidad de la curva de rendimientos.
ii) Si a continuación nos fijamos en la forma de este
primer autovector, podemos observar como si Y1
aumenta en una unidad, el aumento de rentabilidad
producido en los distintos vértices de la curva no es
idéntico, sino que, para el horizonte temporal analiza-
do, los tipos de la zona corta (2 y 5 años) aumentan en
menor proporción que los de la zona larga (10 y 30
años). Es decir, el PC1 no representa movimientos
paralelos de curva como los implícitos en la métrica
de duración, sino un desplazamiento de nivel que
incorpora un cierto grado de pendiente y de curva-
tura.
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iii) La forma concreta en que este cambio de nivel se
produce entre los distintos vértices de la curva, tiene
su reflejo en los elementos del autovector. Si asumi-
mos una variación de un punto básico en uno de los
vértices, por ejemplo en la rentabilidad del bono a 5
años, calculando el ratio entre el resto de elementos
del autovector y a1,5 (a1,i /a1,5) podemos calcular cuán-
to varía cada tipo de interés por cada punto básico de
incremento en el belly de la curva. Estos ratios cons-
tituyen lo que se denomina yield betas13 y son parte
esencial en la cobertura de riesgo de tipo de interés
mediante PCA.
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Pasando a la interpretación del segundo autovector, si
Y2incrementa en una unidad, los tipos en la zona
corta caen y en la zona larga a partir del 7 años
aumentan tal y como se aprecia en los valores del
autovector a2que cruzan el eje x una vez. Por lo tanto,
el segundo componente principal PC2 refleja el fac-
tor de riesgo de la pendiente de la curva de tipos
que no está ya incorporado en el PC1, es decir, sin
tener en cuenta los cambios de pendiente inherentes a
movimientos direccionales ya capturados en el primer
autovector. Y de la misma manera que antes, la forma
del autovector revela y cuantifica la forma de los
movimientos de steepening y flattening de los distin-
tos puntos de la curva.
Y por último, si Y3aumenta en 1, los tipos a corto a
aumentan (2 y 5 años), los tipos en la zona media y
larga caen (7 y 10 años) y los tipos a muy largo plazo
(30 años) repuntan, lo cual interpretamos como el
factor de riesgo de la curvatura no recogido ya en el
PC1 y el PC2. Este efecto se ve en los elementos del
autovector a3que cortan el eje x dos veces.
El gráfico 8 muestra la evolución temporal de los tres
primeros componentes principales, mientras que el
gráfico 9 pone de manifiesto la relación existente
entre los distintos componentes principales (no corre-
lacionados entre sí) y los factores de riesgo de curva
correspondientes.
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En primer lugar vemos la evolución del PC1, al que
hemos asociado el factor de riesgo de direccionalidad,
en relación a la TIR del bono a 10 años. En segundo
lugar, la evolución del PC2, al que hemos asociado el
factor de riesgo de pendiente, aparece junto a la pen-
diente 5-30, y en tercer lugar vemos la evolución del
PC3, al que hemos definido como el efecto de curva-
tura, junto a una estrategia butterfly (+5,-7,+30). De
igual manera que los autovalores van siendo cada vez
menores en cada componente principal por su menor
explicación de la variabilidad total, el coeficiente de
determinación en una regresión lineal de cada compo-
nente y la variable correspondiente va siendo también
menor.
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Finalizamos con una breve reflexión en relación al
periodo muestral a emplear en el PCA, dado que al
igual que ocurre en otras técnicas de análisis, éste va a
determinar que el resultado obtenido sea uno u otro.
Generalmente, el uso de un periodo muestral relativa-
mente largo suele aportar mayor estabilidad a los pará-
metros, pero se asume el riesgo de que haya habido un
cambio estructural en las variables o que la dinámica
actual de mercado sea muy distinta de esas estimacio-
nes de largo plazo. Por el contrario, un periodo de esti-
mación excesivamente corto puede estar sesgado por la
coyuntura actual, arrojando parámetros que no son
estables a medio y largo plazo.
A continuación, llevamos a cabo un ejercicio empírico
sobre la curva de Treasuries para ver la estabilidad del
autovector a1 del primer componente principal (por ser
el más representativo), analizando para ello variaciones
semanales de varios tipos de interés desde 3 meses
hasta 30 años para un periodo comprendido entre 1977
y 2013.
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• En primer lugar, calculamos el autovector para dis-
tintas ventanas temporales, corriendo el análisis
con periodos muestrales de distinta amplitud,
desde 3 años hasta el periodo muestral completo
(1977-2013).
• En segundo lugar repetimos el análisis, pero esta vez
en lugar de segmentar por la longitud del periodo, lo
hacemos en base a si nos encontramos en un merca-
do alcista con bajadas de las rentabilidades, en un
mercado bajista con repuntes en las Tires o si el mer-
cado está moviéndose en rango sin una tendencia
muy definida. El gráfico 11 muestra la subdivisión
realizada en base a la tendencia del tipo de interés a
10 años empleado como referencia.
El gráfico 12 muestra la forma del autovector en los
distintos horizontes temporales considerados, dedu-
ciéndose a simple vista que la decisión del periodo de
análisis es muy relevante para los resultados obtenidos.
Partiendo de la estructura del autovector en todo el
periodo muestral (1977-2013), se puede observar como
el tipo de interés a tres meses va perdiendo relevancia
al igual que lo hace el tipo a 2 años. Esto es debido al
proceso de reducción de los tipos de interés y los Fed
Funds14 así como un mayor “fine tuning” en la política
monetaria llevada a cabo por la Reserva Federal. El
belly de la curva, representado por el tipo a 5 años, per-
manece bastante estable, mientras que la zona larga,
representada por los vencimientos a 10 y 30 años,
adquiere una mayor relevancia en la explicación del
movimiento de la ETTI. En el periodo más largo con-
siderado (1977-2013), el tipo de interés a 2 años es el
más relevante, mientras que tomando un periodo más
corto de los tres últimos años (2011-2013), son los
movimientos del tipo a 10 años los más relevantes en la
curva de rendimientos, lo que está en línea con la evi-
dencia empírica observada al comienzo del artículo
sobre los tipos de interés en EE.UU.
El gráfico 13 muestra los resultados correspondientes a la
segunda parte del análisis, en donde obtenemos el primer
autovector en tres contextos distintos: para el periodo
muestral completo, para periodos de mercado alcista y
para periodos de mercado bajista. La primera impresión
es que la estructura del autovector parece más estable
segmentando por tendencia de mercado que cuando
variamos la longitud de la muestra empleada en el PCA.
Independientemente del impacto directo sobre el tipo a 3
meses, lo que si se aprecia es un comportamiento distin-
to entre la zona del 2 y del 5 años en función de la ten-
dencia de mercado. Cuando este está corrigiendo con
subidas de tipos, es la referencia de 2 años la que más
sube, mientras que en mercados alcistas con bajadas de
rentabilidades, es el tipo a 5 años el que más se beneficia.
No obstante, habría que realizar un análisis conjunto
combinando la dirección de mercado con distintos plazos
temporales para llegar a conclusiones más sólidas.
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Mario Bajo Traver: Aplicaciones prácticas del Análisis de Componentes Principales en Gestión de Carteras de
Renta Fija (I). Determinación de los principales factores de riesgo de la curva de rendimientos. Practical
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of the main risk factors of the yield curve
Análisis Financiero, n.º 124. 2014. Págs.: 20-36
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of the main risk factors of the yield curve
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4. CONCLUSIÓN
El análisis de componentes principales (PCA) es una
técnica estadística que aporta dos beneficios clave para
ser empleada en el diseño de estrategias de inversión
por parte de un gestor de carteras: incorpora al análisis
de las variables empleadas tanto las varianzas como las
correlaciones y permite reducir el estudio de un núme-
ro elevado de parámetros (como son los tipos de
interés) a un conjunto reducido de componentes que
representan los principales factores de riesgo a los que
se enfrenta el gestor. Esta simplificación ofrece al ges-
tor una visión de la estructura del mercado muy útil a
la hora de adoptar posiciones en los distintos factores
de riesgo.
De la aplicación de esta técnica estadística al mercado
de renta fija, ya sea mediante el análisis de los tipos de
interés en nivel o en variación, podemos deducir de los
resultados obtenidos que es la tendencia general del
mercado o los cambios de nivel de la curva el factor de
riesgo más relevante para la gestión de carteras de renta
fija, es decir, la decisión que toma el gestor en términos
de “duración” o exposición de la cartera a variaciones
en el nivel general de la curva de rendimientos es la de
mayor importancia a la hora de explicar el retorno de la
cartera.
De este modo, el PCA revela que la decisión de apues-
ta por un mercado alcista o bajista de tipos es mucho
más importante, en términos de retorno, que aquellas
decisiones de valor relativo sobre distintas zonas de la
ETTI como pueden ser posiciones en pendiente (flatte-
ning o steepening) o estrategias de inversión basadas
en el análisis de la curvatura (butterflies).
No obstante, es precisamente este factor de riesgo
direccional de mercado o beta, el que muchas veces el
gestor trata de evitar ante situaciones de mucha volati-
lidad o cuando el mercado se encuentra cotizando en
rango sin una tendencia direccional clara. En estas
situaciones el gestor puede querer tomar una posición
en su cartera en donde cubre el riesgo sistemático y rea-
liza apuestas en curva con posiciones largas y cortas
frente al índice de referencia en distintos tramos de la
curva.
El uso de la técnica de PCA va más allá del estudio de
una única curva de Deuda Pública, pudiendo aplicarse
a activos con riesgo de crédito – tanto instrumentos de
contado como derivados–, al análisis simultaneo de
varias curvas, a distintas divisas, etc. En estas situacio-
nes, la interpretación de los autovectores y los compo-
nentes principales puede ser mucho menos directa que
para el análisis de una curva de Tesoro, lo cual también
abre un campo de investigación y aplicación de la téc-
nica mucho más rico e interesante. Aquí merece la pena
recalcar que cuando este tipo de análisis se lleva a cabo
para una curva de rendimientos de un emisor con ries-
go de crédito, hay que controlar la dirección e intensi-
dad de la correlación existente entre el componente de
tipo de interés libre de riesgo y el componente de dife-
rencial de crédito.
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Notas
1.- Aquí merece la pena destacar el concepto de que una
mayor información se relaciona con el concepto de una
mayor variabilidad. A mayor varianza se considera que
existe mayor información.
2.- Ver Peña, C. (2004) para un análisis exhaustivo de la
matemática del PCA.
3.- Para comprobar que las correlaciones entre las variables
son distintas de cero de modo significativo se puede llevar
a cabo el test de esfericidad de Barlett.
4.- Dada una variable aleatoria con media µy desviación típi-
ca
σ
, se denomina valor tipificado o estandarizado z, de
una observación x, a la distancia con respecto a la media
medido en número de desviaciones típicas, es decir, en el
caso de una variable que sigue una distribución normal, la
tipificación transforma una variable xdistribuida N(µ,
σ
),
en otra variable zque sigue una distribución N(0,1). Dicha
transformación permite la comparación entre dos valores
de dos distribuciones normales diferentes.
5.- Se emplea la matriz de covarianzas (ΩΩ) cuando las varia-
bles iniciales están expresadas en desviaciones frente a su
media y es la matriz de correlaciones (ρρ) cuando las varia-
bles están tipificadas.
6.- Las variables están dispuestas en fila, con sus correspon-
dientes observaciones muestrales.
7.- Bien en desviaciones respecto a la media o tipificadas.
8.- Una matriz ortogonal (como es la matriz A de autovecto-
res) es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide
con su matriz traspuesta. De otro modo, una matriz A se
dice que es ortogonal si y solo si sus vectores fila o colum-
na son cada uno un conjunto ortonormal de vectores, y por
lo tanto, det A=+/-1.
9.- Si las variables están tipificadas en vez de estar expresadas
en desviaciones respecto de la media, la matriz de covarian-
zas es igual a la matriz de correlaciones, por lo que , con lo
que traza (Ω) traza (P) = p, la proporción de la componente
principal i-ésima en la variabilidad total será de λi/p.
10.- Ver Litterman y Scheinkman (1991).
11.- La dirección de mercado viene definida por la dirección
general de los tipos de interés, como un movimiento para-
lelo de la curva de rendimientos. Por otro lado, el cambio
de pendiente y de curvatura representa los movimientos
no paralelos de curva.
12.- Ver Bajo, M y Rodríguez, E. (2013) para una explicación
en mayor profundidad sobre estrategias butterfly sobre la
curva de rendimientos.
13.- Ver Schofield, N. y Bowler, T.
14.- Federal funds rate o tipo de interés de los fondos federa-
les es el tipo al cual instituciones depositarias privadas
(principalmente bancos) prestan dinero en la Reserva
Federal a otras instituciones depositarias, generalmente
de un día para otro, con el objeto de cubrir el nivel de
reservas exigido.
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