Polylogarithms and the Asymptotic Formula for the Moments of Lebesgue’s Singular Function

Abstract

Recall the Lebesgue's singular function. We define a Lebesgue's singular function L(t) as the unique continuous solution of the functional equationL(t)=qL(2t)+pL(2t−1),L(t) = qL(2t) +pL(2t-1),where p,q>0p,q>0, q=1−pq=1-p, p≠qp\ne q.The moments of Lebesque' singular function are defined asMn=∫01tndL(t),n=0,1,…M_n = \int_0^1t^n dL(t), \quad n = 0, 1, \dotsThe main result of this paper isMn=nlog⁡2pe−τ(n)(1+O(n−0.99)),M_n =n^{\log_2 p} e^{-\tau(n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right),whereτ(x)=12ln⁡p+Γ′(1)log⁡2p+1ln⁡2∂∂zLiz(−qp)∣z=1\tau(x) = \frac12\ln p + \Gamma'(1)\log_2 p +\frac1{\ln 2}\frac{\partial}{\partial z}\left.Li_{z}\left(-\frac{q}{p}\right)\right|_{z=1} %+\\ \\+\frac1{\ln 2}\sum_{k\ne0} \Gamma(z_k)Li_{z_k+1}\left(-\frac{q}{p}\right) x^{-z_k},zk=2πikln⁡2,  k≠0.z_k = \frac{2\pi ik}{\ln 2}, \ \ k\ne 0.The proof is based on analytic techniques such as the poissonization and the Mellin transform.

Full text

Моделирование и анализ информационных систем. Т. 23, № 5 (2016), с. 595–602
Modeling and Analysis of Information Systems. Vol. 23, No 5 (2016), pp. 595–602
c
Tимофеев Е.А., 2016
DOI: 10.18255/1818-1015-2016-5-595-602
УДК 519.17
Полилогарифмы и асимптотика моментов
сингулярной функции Лебега
Tимофеев Е.А.
получена 10 июля 2016
Аннотация.
Напомним, что сингулярная функция Лебега L(t)определяется как единственное решение
уравнения
L(t) = qL(2t) + pL(2t−1),
где p, q > 0,q= 1 −p,p6=q.
Моментами функции L(t)будем называть величины
Mn=Z1
0
tndL(t), n = 0,1, . . .
Основной результат настоящей работы
Mn=nlog2pe−τ(n)1 + O(n−0.99),
где функция τ(x)является периодической от log2xс периодом 1 и задается как
τ(x) = 1
2ln p+ Γ0(1) log2p+1
ln 2
∂
∂z Liz−q
p


z=1
+1
ln 2 X
k6=0
Γ(zk) Lizk+1 −q
px−zk,
zk=2πik
ln 2 , k 6= 0.
Доказательство основано на применении пуассонизации и преобразования Меллина.
Ключевые слова: моменты, самоподобие, функция Лебега, сингулярная функция, преобразо-
вание Меллина, полилогарифм, асимптотика
Для цитирования: Tимофеев Е.А., "Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега",
Моделирование и анализ информационных систем,23:5 (2016), 595–602.
Об авторах:
Тимофеев Евгений Александрович, orcid.org/0000-0002-0980-2507, доктор физ.-мат. наук, профессор
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия, e-mail: timofeevEA@gmail.com
595

596 Моделирование и анализ информационных систем. Т. 23, № 5 (2016)
Modeling and Analysis of Information Systems. Vol. 23, No 5 (2016)
Напомним, что сингулярная функция Лебега L(t)является единственным реше-
нием уравнения
L(t) = qL(2t) + pL(2t−1),(1)
где p, q > 0,q= 1 −p,p6=q.
Заметим, что при p=qфункция L(t) = t,0≤t≤1.
Эта функция была введена Ломницким и Уламом [2] в 1934 г. Де Рам [5] по-
казал, что L(t)является единственным непрерывным решением функционального
уравнения
L(t) = qL(2t),0≤t≤1/2,
q+pL(2t−1),1/2≤t≤1,(2)
которое является эквивалентной формой уравнения (1). Примеры функций L(t)для
различных значений параметра показаны на рис. 1. Сингулярная функция Лебега
L(t)является функцией распределения случайной величины ξ:
L(t) = P rob{ξ < t}.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рис. 1. Сингулярные функции Лебега для q= 0.1,0.2,0.3,0.4
Fig. 1. Lebesgue’s singular functions for q= 0.1,0.2,0.3,0.4
Изучению различных свойств сингулярных распределений на отрезке [0,1] в по-
следнее время посвящено большое число работ. Полученные результаты находят
применение в теории чисел, теории динамических систем.

Tимофеев Е.А.
Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега 597
Моментами функции L(t)будем называть величины
Mn=Z1
0
tndL(t), n = 0,1, . . . (3)
В [11] показано, что величины Mnудовлетворяют рекуррентному уравнению
Mn=q2−nMn+p2−n
n
X
k=0 n
kMk, n = 0,1, . . . (4)
В [11] также найдена асимптотика моментов. В настоящей работе константы
асимптотики найдены в явном виде через полилогарифмы.
Теорема 1. Справедлива оценка
Mn=nlog2pe−τ(log2n)1 + O(n−0.99),
где
τ(x) = 1
2ln p+ Γ0(1) log2p+1
ln 2
∂
∂z Liz−q
p


z=1
+
+1
ln 2 X
k6=0
Γ(zk) Lizk+1 −q
px−zk,(5)
zk=2πik
ln 2 , k 6= 0.(6)
Доказательство. Приведем доказательство теоремы, которое основано на приме-
нении пуассонизации и преобразования Меллина.
Введем функцию M(x), положив
M(x) =
∞
X
n=0
Mn
xn
n!e−x.(7)
Подставляя (4)в(7), получим
M(x) =
=q
∞
X
n=0
2−nMn
xn
n!e−x+p
∞
X
n=0
xn
n!e−x2−n
n
X
k=0 n
kMk=
=qM (x/2)e−x/2+pM (x/2).(8)
Отсюда и из условия M0= 1, получаем
M(x) =
∞
Y
k=1 p+qe−2−kx.(9)

598 Моделирование и анализ информационных систем. Т. 23, № 5 (2016)
Modeling and Analysis of Information Systems. Vol. 23, No 5 (2016)
Отметим, что при p=qимеем
M(x) = 1−e−x
x.
Введем вспомогательную функцию G(x), положив
G(x) = ln M(x) =
∞
X
k=1
ln p+qe−2−kx.(10)
Для нахождения функции G(x)применим преобразование Меллина
˜
G(z) = Z∞
0
G(x)xz−1dx, (11)
в результате получим
˜
G(z) =
∞
X
k=1
2kz Z∞
0
xz−1ln p+qe−xdx.
В полосе
−1<<z < 0
ряд сходится, а интеграл можно проинтегрировать по частям
˜
G(z) = 2z
1−2z
q
pz Z∞
0
xz
q/p +exdx.
Последний интеграл вычисляется через гамма-функцию и полилогарифм Liz(w),
для которого справедливо интегральное представление [9]
Liz(w) = w
Γ(z)Z∞
0
xz−1
ex−wdx
в области <z > 0,w∈C\[1,∞].
Поэтому в полосе −1<<z < 0имеем
˜
G(z) = −2z
1−2zΓ(z) Liz+1 −q
p.(12)
Функцию ˜
G(z)можно продолжить на всю комплексную полуплоскость <z > −1,
в которой она будет иметь полюса:
1) простые — в точках z=zk, от функции 1
1−2z, где zkопределено в (6);
2) двойной — в точке z= 0, от функций Γ(z)и1
1−2z.
Отметим, что при p=qточки zkне являются полюсами, поскольку [8, 9.522.2]
Liz+1(−1) = (2−z−1)ζ(z+ 1),
где ζ(z)– дзета-функция Римана. Следовательно,
˜
G(z) = −Γ(z)ζ(z+ 1).

Tимофеев Е.А.
Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега 599
Применяя обратное преобразование Меллина, получим
G(x) = 1
2πi
−σ+i∞
Z
−σ−i∞
˜
G(z)x−zdz, (13)
где 0< σ < 1.
Для нахождения G(x)по формуле (13) применим теорему о вычетах для правой
полуплоскости <z > −σ, где 0< σ < 1. Отметим, что интеграл в (13) берется по
часовой стрелке.
Поэтому
G(x)≈ − Res ˜
G(z)x−z,0−X
k6=0
Res ˜
G(z)x−z, zk.
Найдем вычеты функции ˜
G(z)x−z.
Для функции P(z)
zQ(z),P(0) 6= 0,Q(0) = 0,Q0(0) 6= 0, вычет в точке z= 0 находится
по формуле
Res P(z)
zQ(z),0=P0(0)
Q0(0) −P(0)Q00(0)
2Q0(0)2.
Применим эту формулу с
P(z) = −2zΓ(z+ 1)x−zLiz+1 −q
p,
Q(z)=1−2z.
Поскольку Li1(w) = −ln(1 −w)[3] имеем
P(0) = −ln p,
P0(0) = ln xln p−ln 2 ln p−Γ0(1) ln p−∂
∂z Liz−q
p


z=1
,
Q0(0) = −ln 2, Q00(0) = −ln22.
Следовательно,
Res ˜
G(z)x−z,0=−log2pln x+1
2ln p+ Γ0(1) log2p+1
ln 2
∂
∂z Liz−q
p


z=1
.
В остальных полюсах
Res ˜
G(z)x−z, zk=1
ln 2Γ(zk) Lizk+1 −q
px−zk.
Гамма-функция экспоненциально быстро убывает при =z→ ±∞ [8]. Остальные
функции имеют не более чем степенной рост на горизонтальных отрезках
=z=2πik +πi
ln 2 , σ ≤ <z≤γ;

600 Моделирование и анализ информационных систем. Т. 23, № 5 (2016)
Modeling and Analysis of Information Systems. Vol. 23, No 5 (2016)
между полюсами zk. Поэтому можно применить теорему 4 и следствие 1 из рабо-
ты [6], из которых получим асимптотику G(x)при x→ ∞ в следующем виде
G(x) = −Res ˜
G(z)x−z,0−X
k6=0
Res ˜
G(z)x−z, zk+O(x−γ),
для любого γ > 0.
Подставляя найденные вычеты и применяя обозначение функции τ, определен-
ной в (5), получим
G(x) = log2pln x−τ(x) + O(x−γ),(14)
для любого γ > 0.
Из (14) и (10) получаем асимптотику функции M(x)при x→ ∞
M(x) = xlog2pe−τ(x)+O(x−γ),
где функция τопределена в (5).
Поскольку величина M(x)получена усреднением величин Mn(пуассонизацией)
и удовлетворяет рекуррентному уравнению (9), то для нахождения величин Mn
можно применить теорему 10.5 из [7]. Условия этой теоремы состоят в нахождении
числа β, для которого верны следующие два неравенства для достаточно больших
по модулю чисел z=x+iy:

p+qe−z/2
2−β≤1−η;
в конусе Sθ={z:|=z| ≤ θ<z}, где 0< η < 1,0< θ – некоторые константы;

p+qe−z/2
ex/2≤eα|z|/2;
вне конуса Sθ, где α < 1– некоторая константа.
Нетрудно видеть, что первое неравенство выполняется при любом β > log2pи
любом θ > 0. Второе неравенство выполняется при любом θ < 1.
Следовательно, теорема 10.5 из [7] применима и выполняется оценка
Mn=M(n)1 + O(n−0.99)
при β= log2p+ 0.01.

Tимофеев Е.А.
Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега 601
Список литературы / References
[1] Flajolet P., Sedgewick R., Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008.
[2] Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires
et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta
Mathematicae,23:1 (1934), 237–278.
[3] NIST Handbook of Mathematical Functions, ed. Olver F.W.J., Cambridge University Press,
2010.
[4] Salem R., “On some singular monotonic functions which are strictly increasing,”, Trans.
Amer. Math. Soc.,53:3 (1943), 427–439.
[5] De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals,
ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 285–298.
[6] Flajolet P., Gourdon X., Dumas P., “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”,
Theoretical Computer Science,144:1–2 (1995), 3–58.
[7] Szpankowski W., Average Case Analysis of Algorithms on Sequences, John Wiley & Sons,
New York, 2001.
[8] Gradstein I. S., Ryzhik I. M., Table of integrals, Series, and Products, Academic Press,
1994.
[9] Prudnikov A.P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I., Integrals and Series, More Special
Functions, 3, Gordon & Breach Sci., New York, 1990.
[10] Timofeev E. A., “Bias of a nonparametric entropy estimator for Markov measures”, Journal
of Mathematical Sciences,176:2 (2011), 255–269.
[11] Тимофеев Е. А., “Асимптотика моментов сингулярной функции Лебега”, Модели-
рование и анализ информационных систем,22:5 (2015), 723–730;[Timofeev E. A.,
“Asymptotic Formula for the Moments of Lebesgue’s Singular Function”, Modeling and
Analysis of Information Systems,22:5 (2015), 723–730, (in Russian).]
Timofeev E. A., "Polylogarithms and the Asymptotic Formula for the Moments of
Lebesgue’s Singular Function", Modeling and Analysis of Information Systems,23:5 (2016),
595–602.
DOI: 10.18255/1818-1015-2016-5-595-602
Abstract. Recall the Lebesgue’s singular function. We define a Lebesgue’s singular function L(t)
as the unique continuous solution of the functional equation
L(t) = qL(2t) + pL(2t−1),
where p, q > 0, q= 1 −p,p6=q. The moments of Lebesque’ singular function are defined as
Mn=Z1
0
tndL(t), n = 0,1, . . .
The main result of this paper is
Mn=nlog2pe−τ(n)1 + O(n−0.99),
where
τ(x) = 1
2ln p+ Γ0(1) log2p+1
ln 2
∂
∂z Liz−q
p


z=1
+1
ln 2 X
k6=0
Γ(zk) Lizk+1 −q
px−zk,
zk=2πik
ln 2 , k 6= 0.

602 Моделирование и анализ информационных систем. Т. 23, № 5 (2016)
Modeling and Analysis of Information Systems. Vol. 23, No 5 (2016)
The proof is based on analytic techniques such as the poissonization and the Mellin transform.
Keywords: moments, self-similar, Lebesgue’s function, singular, Mellin transform, polylogarithm,
asymptotic
On the authors:
Evgeniy A. Timofeev, orcid.org/0000-0002-0980-2507, ScD, professor
P.G. Demidov Yaroslavl State University,
14 Sovetskaya str., Yaroslavl 150003, Russia, e-mail: timofeevEA@gmail.com