ArticlePDF Available

Sinkevich G.I. Przyczynek do historii "epsilonistyki"// Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie" No 3 (2016), 61-76.

Authors:

Abstract

Rozpatrzymy historię powstania języka „ε–δ” w pracach matematyków w XIX wieku. Pokażemy, iż mimo tego, że oznaczenia zostały wprowadzone przez Cauchy'ego w roku 1823, w pełni definicja "epsilon-delta" pojawiła się dopiero u Weierstrassa w roku 1861. Przytoczymy różne interpretacje tego zagadnienia przez matematyków w czasach późniejszych.
1
PRZYCZYNEK DO HISTORII EPSILONTYKI
G.I. Sinkevich
galina.sinkevich@gmail.com
Sankt-Petersburski Uniwersytet Architektury i Budownictwa,
Sankt-Petersburg, Rosja
(Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering Vtoraja
Krasnoarmejskaja ul. 4, St. Petersburg, 190005, Russia)
Rozpatrzymy historię powstania języka „ε–δ” w pracach matematyków w
XIX wieku. Pokażemy, mimo tego, że oznaczenia zostały wprowadzone przez
Cauchy'ego w roku 1823, w pełni definicja "epsilon-delta" pojawiła się dopiero u
Weierstrassa w roku 1861. Przytoczymy różne interpretacje tego zagadnienia przez
matematyków w czasach późniejszych.
Część pierwsza
Grattan-Guinnes pisał, że czytając Cauchy'ego, bardzo chce się rozumieć go
z punktu widzenia Weierstrassa, ale jest to podejście ahistoryczne. Chociaż okres
przejściowy do Weierstrassa też wymaga rekonstrukcji [Grattan Guinness, 2004, p.
176].
Pojęcie ciągłości z wczesnych czasów starożytnych miało wiele aspektów
czasoprzestrzenny, fizyczny, geometryczny. Wraz z pojawieniem się analizy
matematycznej i rozwojem pojęcia funkcji niewystarczającym stało się fizyczne i
geometryczne pojmowanie ciągłości, konieczna była arytmetyzacja tego pojęcia.
W XVII wieku Leibniz sformułował "Zasadę ciągłości": «Jeżeli zjawiska
(lub dane) ciągle zbliżają się do siebie w ten sposób, że w rezultacie jedno
przechodzi w drugie, to takie samo zjawisko powinno zajść również z
odpowiednimi, następstwami lub wynikami (lub niewiadomymi)» [Child, p.40].
2
John Wallis w Arithmetica Infinitorum (1655) wprowadził określenie:
"granica wielkości zmiennej to wielkość stała, do której zmienna zbliża się w
taki sposób, że między nimi może być zrobiona różnica mniejsza, niż dowolna
dana wielkość"[Wallis, 1656, p.42]. Egzemplarz tej książki Wallisa, należący do
Eulera, obecnie znajduje się w zasobie Eulera w Archiwum Akademii Nauk w
Sankt-Petersburgu.
Euler uważał za ciągłe funkcje, wyrażone jednym wzorem (dla niego
funkcja
x
y1
jest ciągła w swoim obszarze określenia, a funkcja
xy
nieciągła, ponieważ jest określana dwoma wzorami, symbol modułu pojawił się
XIX wieku u Weierstrassa). Według Eulera «reguły rachunku oparte są na zasadzie
ciągłości, zgodnie z którą linie krzywe są opisywane ruchem ciągłym punktu»,
«linia ciągła jest budowana w taki sposób, że jej natura jest wyrażana przy pomocy
jednej określonej funkcji od х» [Euler, 1748 (1961), v.2, p. 21]. Słynne stało się
sformułowanie ciągłości Eulera: „Narysować bez odrywania ołówka od papieru”.
W roku 1765 J. D'Alembert daje następującą definicję granicy: „Mówi się,
że wielkość jest granicą innej wielkości, jeżeli druga może zbliżyć się do pierwszej
bliżej, niż na dowolną daną wielkość, niezależnie od tego, jak mała jest ona
zakładana, bez tego, jednak, aby zbliżająca się wielkość mogła kiedykolwiek
przekroczyć wielkość, do której ona się zbliża; w ten sposób, różnica między taką
wielkością a jej granicą jest bezwzględnie nieokreślona” [D’Alembert, 1765, p.
155-156]. Definicja granicy u D'Alemberta miała charakter kinetyczny.
Do wzrostu zainteresowania kwestiami nieskończenie małych przyczynił się
konkurs, ogłoszony z inicjatywy J. Lagrange'а przez Berlińską Akademię Nauk w
roku 1786: ... potrzebna jest zrozumiała i dokładna teoria tego, co w matematyce
nazywane jest nieskończonym” [Yushkevich, 1973, p. 140]. 23 dzieła, przysłane na
konkurs, nie zadowoliły Akademii: „…żądana zasada nie powinna ograniczać się
rachunkiem nieskończenie małych, ale rozprzestrzeniać się również na algebrę i
geometrię, w traktowaniu starożytnym” [ibid., p. 141]. Laureatem został
3
szwajcarski matematyk, zamieszkały w tych latach w Warszawie, Simon L’Huilier
(17501840). W jego pracy "Elementarne przedstawienie zasad rachunku
wyższego", wydanej przez Akademię w roku 1786, po raz pierwszy pojawia się
symbol
x
P
lim
[LHuilier, 1786, p. 31]. Później symbol ten zaczął stosować
Lacroix
1
.
Lagrange był rozczarowany metodami nieskończonościowymi i w kolejnych
latach unikał stosowania nieskończenie małych, chociaż później zmienił swoje
zdanie.
Najpopularniejszą metodą geometrów w XVIII wieku była aproksymacja.
Na przykład, „rozwiązując równanie typu
 
ax
1
gdy μ nie jest wielkością
całkowitą, nie możemy znaleźć dokładnego rozwiązania, ale aproksymujemy je
ciągiem nieskończonym. Po określeniu liczby skończonej elementów ciągu
aproksymującego, geometrzy w XVIII wieku próbowali obliczyć górną granicę
błędu aproksymacji (ε) różnicę między sumą ciągu a jej n-ą sumą częściową.
Techniką dowodową była tu algebra nierówności” [Grabiner, 1983, p. 4].
Pierwsze dziesięciolecia XIX wieku to okres «naiwnej» teorii funkcji
analiza matematyczna rozwijała się na bazie funkcji elementarnych, ciągłych i
różniczkowalnych, i na podstawie intuicyjnych, jakościowych określeń granicy,
otoczenia, ciągłości i zbieżności.
W 1797 r. Lagrange publikuje “Traité des fonctions analytiques».
Rozpatrując funkcję fx i podstawiając zamiast x no wielkość x + i, Lagrange
twierdzi, że
 
ixf
może być rozwinięta w szereg wg potęg dodatnich i.
Współczynniki znajdowane poprzez różniczkowanie, co jest słuszne dla
1
Sylvestre Lacroix (1765 1843) był następcą Lagrange’a w Szkole Politechnicznej I profesorem analizy,
nauczycielem Cauchy’ego. W latach 1850 Weierstrass wprowadził symbol
cx
lim
; w 1905 r. John Leathem, angielski
matematyk pierwszy użył symbolu
w jego książce [Leathem, 1905].
4
znanych funkcji. Rozpatrując pierwszy wyraz rozwinięcia, Lagrange otrzymuje
 
iPfxixf
, skąd
 
ifxixf
P
. Przy czym i może być na tyle małe, aby
dowolny wyraz rozwinięcia był większy od sumy wszystkich następnych wyrazów
rozwinięcia, i ma to miejsce również dla wszystkich mniejszych wartości i
[Yushkevich A. 1977, p. 160168]. Lagrange dodaje: «Doskonałość metod
przybliżenia, w których stosowane są szeregi, zależy nie tylko od zbieżności
szeregów, ale również od możliwości oceny błędu, pochodzącego od wyrazów,
które są lekceważone; i można powiedzieć, że wszystkie metody przybliżone,
stosowane w zadaniach geometrycznych i mechanicznych, są jeszcze bardzo
niedoskonałe. Poprzednie twierdzenie w wielu przypadkach będzie mogło
przekazać brak doskonałości, bez czego ich zastosowanie często bywa
niebezpieczne [Lagrange, p. 67 68]
2
.
Od roku 1800 pojawiły się prace K.F. Gaussa na temat teorii szeregów, w
których rozpatruje się szeregi jako ciągi sum cząstkowych [Gauss,1800].
W roku 1806 ukazał się w druku artykuł André Ampère'a Recherches sur
quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle
démonstration de la série de Taylor et à l'expression finie des termes qu'on néglige
lorsqu'on arrete cette série à un terme quelconque” [Ampére, 1806], mający
bezpośredni związek z naszym tematem. Ampère dowodził w nim na 33 stronach
twierdzenie Lagrange'а o wartości średniej i w oparciu o nie otrzymuje to, co my
nazywamy szeregiem Taylora z resztą w postaci Lagrange'а. Juszkiewicz nazwał tę
pracę Ampère'а próbą analitycznego udowodnienia różniczkowalności funkcji
ciągłej [Yushkevich, 1972, p. 243].
Podstawowym narzędziem dowodów u Ampère'а były nierówności
3
, z ich
pomocą szacował on przybliżenia, charakteryzował błąd interpolacji. Podążając za
2
Przytoczone z [Yushkevich, 1972, p. 298] jako przekład A.P. Yushkevich’a.
3
Tej samej metody używali w swych pracach G. Lagrange, J.-B. Fourier (1822) i P.A. Rakhmanov (1803).
5
Lagrange'em, Ampère rozpatruje
 
ixfixf
jako funkcję dwóch zmiennych x i
i, wyrażającą stosunek różnicowy dwóch wartości x i x + i jednej zmiennej, przy
czym różnica ta nie jest równa ani zeru, ani nieskończoności dla jakiegokolwiek x,
a dla i = 0 zamienia się w
0
0
, ale nie jest ani równa zeru, ani nieskończoności.
Funkcję tą Lagrange nazwał wynikającą z pochodnej.
Zauważmy, że symbol i oznacza tu liczbę rzeczywistą. Ampère uprzedza, że
będzie rozpatrywał tylko funkcje zmiennej rzeczywistej. Ma się rozumieć, do
rozpatrzenia domyślnie były włączane tylko "dobre" funkcje ciągłe i
różniczkowalne w przedziale skończonym. Sam Ampère w swoich pracach nigdzie
nie używał terminów punkt, przedział, nachylenie, cięciwa, styczna, ani nie robił
rysunków. Ampère zaznaczał, że funkcja powinna zmniejszać się lub zwiększać ze
zmianą i. Zmienna x zmienia się od x = a do x = k, odpowiednie wartości funkcji
oznaczane jako A i К. Ampère dzieli przedział od x = a do x = k na
wielkości pośrednie b, c, d, e, którym odpowiadają wartości funkcji B, C, D, E.
Następnie tworzy on stosunki różnicowe rodzaju
ek EK
i
ae AE
oraz dowodzi
słuszności nierówności w rodzaju
ek EK
ak AK
ae AE
. Dalej między starymi
wartościami wprowadzane i zapisywane są nowe nierówności, w rezultacie dla
pewnej wartości x następuje stopniowe przybliżenie
)(' xf
do wielkości
 
.
ixfixf
Stąd okazuje się, że wielkość ta zawsze znajduje się między dwoma
wartościami pochodnej, obliczonymi między x a x + i .
Załóżmy, że
zix
i
 
p
xz xfzf
. Wówczas
 
.xzpxfzf
Kontynuując procedurę, Ampère otrzymuje
     
,
2
xzpxzxfxfzf
6
       
,
3
2
2
2xz
p
xz
xf
xzxfxfzf
        
,
4
32
3
32
2
2xz
p
xz
xf
xz
xf
xzxfxfzf
i tak dalej.
Ampère przytacza przykłady rozwinięcia niektórych funkcji elementarnych.
Następnie, rozpatrując f(x) jako pierwotną w stosunku do
 
xf
, otrzymuje on
związek znaku pochodnej ze wzrastaniem lub zmniejszaniem się funkcji. Dowód
Ampère'а wygląda bardzo topornie. Właśnie ta niedoskonałość wywołała u
Augustina Louis'a Cauchy'go (1789−1857) chęć stworzenia lakonicznej i ładnej
konstrukcji, co, jak dalej zobaczymy, stało się źródłem stworzenia języka „ε−δ”.
Od 1813 r. Cauchy wykładał w Szkole Politechnicznej, a w 1816 został
akademikiem. W roku 1821 został opublikowany jego „Cours d’Analyse” [Cauchy,
1821] (przekład na jęz. rosyjski [Cauchy (1821), 1864]), wygłoszony w
Królewskiej Szkole Politechnicznej, w którym Cauchy podaje określenie pojęcia
funkcji ciągłej: Funkcja
 
xf
, dana między dwoma znanymi granicami zmiennej
x, jest funkcją ciągłą tej zmiennej, jeżeli dla wszystkich wartości zmiennej x,
wziętej między tymi granicami, wartość liczbowa różnicy
 
xfxf
nieskończenie zmniejsza się wraz z α. Inaczej mówiąc, funkcja
 
xf
pozostaje
ciągłą dla x między dwoma danymi granicami, jeżeli między tymi granicami
nieskończenie mały przyrost zmiennej zawsze prowadzi do nieskończenie małego
wzrostu samej funkcji. Dodajmy także, iż funkcja
 
xf
, ciągła dla x, będzie ciągłą
również dla sąsiednich (voisinage) wartości zmiennej x, znajdujących się między
tymi samymi granicami, niezależnie od tego jak blisko od tych granic znajdowałby
się x [Cauchy, 1821, p. 43]. Pod pojęciem granicy rozumie on tutaj punkt
krańcowy rozpatrywanego przedziału.
7
W przyszłości przy każdym nawiązaniu do funkcji ciągłej Cauchy powtarzał
to określenie i używał tylko jego. Angielski historyk matematyki J. Gray zaznacza:
„Chociaż granice rzeczywiście pojawiły się w określeniach Cauchy'go, to tylko w
sensie punktu krańcowego obszaru określenia” [Gray, p. 62]. Gray wydziela tylko
jeden z dwóch aspektów pojmowania granicy przez Cauchy'go – jako granicy
przedziału (granicę inse-ograniczoną), pozostawiając bez uwagi badania
Cauchy'go nieokreśloności w punkcie krańcowym (granica intra-ograniczona), na
przykład, granica stosunku sinusa do łuku.
W pierwszym rozdziale Kursu analizy Cauchy rozpatruje szczególne
wartości funkcji i udowadnia twierdzenie, które będzie mu potrzebne do
rozpatrzenia równoważności nieskończenie małych:
„Jeżeli ze wzrostem zmiennej x różnica
 
 
xfxf 1
dąży do znanej
granicy k, to również ułamek
 
xxf
równocześnie dąży do tej samej granicy.
Dowód. Załóżmy, że ilość k ma wartość krańcową i że ε jest dowolnie małą
liczbą. Zgodnie z warunkiem, ze wzrostem x różnica
 
 
xfxf 1
dąży do
granicy k; oprócz tego, zawsze można wziąć tak dużą liczbę h, że przy x, równym
lub większym h, różnica ta stale będzie między granicami k ε, k + ε. Przyjmując
to, oznaczmy przez n jakąkolwiek liczbę całkowitą, wtedy każda wielkość
przyjmie postać:
     
1...,,12,1 nhfnhfhfhfhfhf
, a dlatego
ich średnia arytmetyczna, tj.
 
nhfnhf
, będzie mieścić się między granicami k
ε, k + ε. Dlatego
 
k
nhfnhf
, gdzie α wielkość między granicami –ε,
+ε.
Teraz niech
xnh
, wówczas poprzednie równanie przekształci się w
 
 
k
hx hfxf
, (1)
8
stąd
 
 
khxhfxf
i
 
   
k
x
h
xhf
xxf 1
. (2)
Aby wartość x mogła wzrastać w sposób nieokreślony, wystarczy w sposób
nieokreślony zwiększać liczbę n, nie zmieniając wartości h. Dlatego załóżmy h
jako constans w równaniu (2), a x przyjmiemy jako zmienną, dążącą do granicy
; wtedy wielkości
 
x
h
xhf ,
, zawarte w drugiej części, będą dążyć do granicy zero, a
cała druga część do granicy rodzaju
k
, gdzie α stale mieści się między –ε i +ε.
Dlatego stosunek
 
xxf
będzie posiadać granicę w postaci wielkości, zawartej
między k ε i k + ε.
Ponieważ wniosek ten jest słuszny, jak małe nie byłoby ε, to niewiadomą granicą
funkcji będzie ilość k. Innymi słowami
 
 
 
 
xfxfk
xxf 1limlim
[Cauchy, 1864, p. 46].
Analogicznie rozpatrywany jest przypadek, gdy x dąży do
[Cauchy,
1864, p. 46 49].
Jak widać, jest już tu struktura, której rozwój doprowadził do pojawienia się
metody „εδ”. Jednak ε jest tu wielkością skończoną, chociaż i dowolnie małą
oceną błędu. Cauchy udoskonala konstrukcję Ampère'а. Po upływie dwóch lat
udoskonala on uzasadnienie tego dowodu. Lecz konieczność wykładania kursu
tradycyjnie, nie skłaniając się ku nowości, na razie nie pozwalała Cauchy’emu
eksperymentować z wprowadzeniem nowych metod. Sądząc po tym, że Cauchy
musiał wykładać studentom podstawy (sprowadzenie do wspólnego mianownika,
podstawy trygonometrii, własności funkcji wykładniczych), przygotowanie
podstawowe słuchaczy było skromne. Wiadomo, że studenci głośno protestowali
9
przeciw studiowaniu liczb zespolonych zupełnie niepotrzebnego, ich zdaniem,
rozdziału matematyki.
W podstawowym kursie Cauchy'ego zawarte jest omówienie funkcji
elementarnych z jedną i kilkoma zmiennymi, funkcji ze zmienną rzeczywistą i
urojoną (zmienną zespoloną nazywano wówczas urojoną), ich właściwości, teoria
granic z porównaniem wielkości nieskończenie małych, teoria szeregów, wzory
interpolacyjne Lagrange'а.
W roku 1822 ukazała się w druku „Théorie analytique de la chaleur J.B.
Fourier'a [Fourier, 1822, p.139], w której używa on δ-przyrostów.
W 1823 roku został opublikowany "Konspekt kursu wykładów z rachunku
wielkości nieskończenie małych" [Cauchy, 1823], prowadzonego przez
Cauchy’ego w Szkole Politechnicznej. Kurs przewidziany był na 40 wykładów. W
języku rosyjskim ukazał son pod nazwą „Rachunek różniczkowy i całkowy” w
przekładzie W.J. Buniakowskiego w 1831 roku[Cauchy, (1823),1831]. Zawarte w
nim jest określenie granicy: "Jeżeli wielkości, przypisywane jakiejkolwiek
wielkości zmiennej, coraz bardziej zbliżają się do określonej wielkości tak, że w
końcu będą różnić się od niej dowolnie mało, to te ostatnie wielkości nazywają się
granicą wszystkich pozostałych" [ibid., p. 3] i określenie funkcji ciągłej: „Jeżeli
funkcja f(x) zmienia się z wielkością x w taki sposób, że dla każdej wartości tej
zmienianej wielkości, mieszczącej się w danych granicach, ma ona jedną zupełnie
określoną wielkość, wtedy różnica f(x+i) f(x) między granicami wielkości x
będzie wielkością nieskończenie małą; lecz funkcja f(x), spełniająca ten warunek,
nazywa się między tymi granicami funkcją ciągłą zmiennej x [ibid., p.11]. I dalej
w drugim wykładzie:
"Jeżeli wielkości zmienne są związane między sobą tak, że z wartości jednej
danej wielkości można otrzymać wartości pozostałych, to należy pod tym
rozumieć, że te różne wielkości wyrażane przy pomocy jednej z nich, zwanej
10
zmienną niezależną, a przedstawiane przez nią wielkości nazywane funkcjami
od tej zmiennej.
Często w obliczeniach używana jest litera dla oznaczenia jednoczesnego
zwiększenia dwóch zmiennych, zależnych jedna od drugiej. Tej uwagi nie było w
kursie z 1821 roku. Tu Cauchy wskazuje na obecność związku między przyrostem
funkcji a przyrostem argumentu, ale nie konkretyzuje zależności ich zmiany, jak
zrobił to czterdzieści lat później Weierstrass. Zamiast tego przytacza typowy dla
XVIII i XIX wieku termin „jednocześnie” (simultané). Dodajmy, że metoda
wyczerpania była współmierna z czasem antropomorficznym. Newton mówił, że
może obliczyć pole powierzchni pod parabolą w ciągu połowy kwadransa, również
jego: „w chwili, gdy upływa godzina, nie ma już więcej jakiejkolwiek figury
wpisanej lub opisanej; ale każda z nich nakłada się na figurę krzywoliniową, która
jest granicą, którą one osiągają”. Inni matematycy XVIII wieku także określali
proces graniczny jako zajmujący pewną liczbę godzin, możliwy do objęcia w
czasie. Przy czym symbol ε oznaczał błąd obliczenia, w tym również u
Cauchy'ego. Wtedy zmienna y będzie wyrażona jako funkcja zmiennej x równością
y = f(x). (1)
W takim razie, jeżeli zmienna y jest wyrażona jako funkcja zmiennej x
równością y = f(x), to ∆y, lub przyrost y od przyrostu ∆x zmiennej x, będzie
określony wzorem
y + y = f(x + x). (2)
<…> Oczywiste, (1) i (2) są związane, więc
y = f(x + x) f(x). (3)
Załóżmy teraz, że h i i dwie różne wielkości, z których pierwsza jest
skończona, a druga nieskończenie mała, i
h
i
wielkość nieskończenie mała,
wynikająca ze stosunku tych dwóch wielkości. Jeżeli ∆x odpowiada wielkość
11
skończona h, wówczas wielkość ∆y, zadana równością (5), będzie tak zwaną
różnicą skończoną funkcji f(x), i będzie, oczywiście, wielkością skończoną.
Jeżeli natomiast, odwrotnie, nadać x wartość nieskończenie małą, na
przykład, x = i = αh, to wartość y wynosi f(x + i) f(x) lub f(x + αh) f(x), i
będzie, oczywiście, nieskończenie mała. Łatwo to zauważyć na przykładzie funkcji
,cos,sin, xx
x
A
którym odpowiadają różnice
,1 x
A
i
A
x
A
ix
A
 
 
,
2
cos
2
sin2coscos
,
2
cos
2
sin2sinsin
i
x
i
xix
i
x
i
xix
każda z których ma mnożnik
1
i
A
lub
2
sin i
, który wraz z i nieskończenie
zbliża się do granicy, równej zeru.
W ten sposób, dla funkcji f(x), przyjmującej w jedyny sposób wartości
skończone dla wszystkich x, znajdujących się między dwoma danymi granicami,
różnica f(x + i) f(x) będzie zawsze między tymi granicami nieskończenie mała, tj.
f(x) jest funkcją ciągłą w tych granicach, w których ona się zmienia.
Mówi się jeszcze, że w otoczeniu jakiejkolwiek wartości szczególnej
zmiennej x funkcja f(x) zawsze jest funkcją ciągłą tej zmiennej, jeżeli jest ona
ciągła między dwoma, nawet bardzo bliskimi, granicami, zawierającymi ten dany
punkt [Cauchy, 1823, p. 17].
Przy założeniu, że dowolna funkcja ciągła jest różniczkowalna, Cauchy
udowadnia twierdzenie o wartości średniej:
Twierdzenie. Załóżmy, że funkcja
 
xf
jest ciągła między dwoma
granicami
Xxxx ,
0
. Oznaczmy przez A największą wartość jej pochodnej,
przez B najmniejsza wartość jej pochodnej między tymi samymi granicami.
12
Wtedy stosunek różnicowy
 
 
0
0
xX xfXf
koniecznie będzie mieścić się między A a
B.
Oznaczmy literami δ, ε nieskończenie małe liczby, z których pierwsza niech
będzie takiego rodzaju, że dla wartości liczbowych i, mniejszych od δ, i dla
jakiejkolwiek wielkości x, mieszczącej się między granicami x0, X, stosunek
 
ixfixf
będzie zawsze większy, od
 
xf
i mniejszy, od
 
xf
[Cauchy, (1823), 1831, p. 36].
Podobnie jak Ampère, Cauchy nie używa żadnych obrazów geometrycznych
ani punktów, ani odcinków.
Cauchy wspomina, że w tym dowodzie podąża za pracami Ampère'a, o
których mowa była powyżej. Podobnie jak Ampère, Cauchy wstawia między x0 a
X nowe wartości x1, x2,…, xn-1 tak, żeby różnica X x0 została rozłożona na części
dodatnie
,...,,, 11201
n
xXxxxx
nie przekraczające δ. „Ułamki
 
 
 
 
 
,,,
1
1
12
12
0
1
10
n
n
xX xfXf
xx xfxf
xx xfxf
znajdując się między granicami:
pierwszy:
   
00 ,xfxf
, drugi:
   
11 ,xfxf
, będą większe od
A
, ale
mniejsze od
B
. Ponieważ ułamki mają mianowniki z jednym znakiem, to
dzieląc sumę ich liczników przez sumę ich mianowników, otrzymamy ułamek
średni, tj. taki, wartość którego znajduje się między mniejszym a większym z
ułamków. Ponieważ jednak
 
 
0
0
xX xfXf
jest ułamkiem średnim, więc mieści się
on między granicami A − ε a B + ε. Ponieważ jest to słuszne dla dowolnie małego
ε, tak więc,
 
 
0
0
xX xfXf
znajduje się między granicami A a B. Inaczej mówiąc,
     
.dla
iBxf
ixfixf
xfA
Cauchy genialnie uprościł dowód Ampère'go, wprowadzając prostsze
oznaczenia. U Ampère'a dowód zajmuje połowę z 33 stron, u Cauchy'go dwie
13
strony. Ampère wprowadza osiem wielkości pomocniczych i dla każdej buduje
ocenę stosunku, zamiast uśrednienia dowodzi on skomplikowane nierówności. U
Cauchy'go dowód jest elegancki i lakoniczny.
Jednak Cauchy nie analizuje zależności ε i δ od siebie i zależności δ od
kolejnej różnicy między sąsiednimi wartościami zmiennej. Praktycznie δ pojawia
się w sposób deklaracyjny, bez jakiegokolwiek związku z pozostałą konstrukcją.
Amerykańska badaczka Judith Grabiner uważa, że Cauchy przekształcał
technikę dowodową algebry nierówności w ścisłe narzędzie oceny błędu
aproksymacji [Grabiner].
Holenderski badacz T. Koetsier sądzi, że Cauchy doszedł do swojej
koncepcji ciągłości, analizując swój dowód twierdzenia o średniej, możliwe, że
tylko w przypadku wielomianów. Oczywiste jest, że u niego xn to wielkości
zmienne, różniące się od wielkości nieskończenie małej wielkością stałą a.
Zgodnie z określeniem ciągłości Cauchy’ego, f(xn) powinny różnić się od f(a) o
wielkość nieskończenie małą. W odróżnieniu od Grabiner, Koetsier analizując
dowód Cauchy, nie wykrywa żadnych śladów ε – δ [Koetsier].
Analizując założenie Grabiner o tym, że Cauchy tylko oceniał błąd
przybliżenia, Błaszczyk, Katz i Sherry dochodzą do wniosku: „W większym
stopniu były to trudności analizy wielkości nieskończenie małych, trudności
epsilontyki. Po sformułowaniu dolnej i górnej oceny Cauchy wnioskuje, że
ostatnie wartości różnią się od pierwotnych dowolnie mało. Słychać tu słabe
odgłosy ε δ. Tymczasem Leibniz korzystał z języka, bliskiego Cauchy’emu:
“Gdy mówią, że jakieś ciągi nieskończone mają sumę, ja rozumiem to tak, że
dowolne szeregi skończone na tej samej zasadzie mają sumę, i że błąd zmniejsza
się ze zmniejszeniem ciągu, i staje się dowolnie mały”. Czy Cauchy stosował
epsilontykę? – w takim przypadku sto lat przed nim z niej korzystał Leibniz”
[Błaszczyk, Katz, Sherry, p.18].
14
Jak pisze moskiewska badaczka A.W. Dorofeewa o twierdzeniu Cauchy'go o
średniej, „wniosek ten jest słuszny tylko wówczas, jeżeli można dobrać jedną i
samą δ dla wszystkich x, a ten fakt wymaga udowodnienia [Dorofeeva, p. 48].
W 1985 roku w Paryżu ukazała się drukiem książka Bruno Belhoste'a
Cauchy. 1789 1857 [Belhoste, 1985]. W 1997 roku został opublikowany jej
przekład na język rosyjski [Belhoste,1997]. Oto, co pisze autor na temat dowodu
Cauchy'go tego twierdzenia Lagrange'а: Zamiast wzoru
 
...
32 riqipixfixf
, który pozwalał Lacroix przedstawić przyrost
funkcji możliwej do rozwinięcia w szereg i określić różniczkę, Cauchy udowodnił
twierdzenie o przyrostach skończonych: Jeżeli funkcja f nieprzerwanie jest
różniczkowalna między x a x+i, to istnieje rzeczywista liczba dodatnia θ < 1, taka,
że
 
 
ixfixfixf
.
Wyprowadził on ten wzór, używając twierdzenia o wielkościach pośrednich,
przedstawionego w Analizie algebraicznej”, z nierówności
 
 
 
 
 
 
xf
Xxx
xX xfXf
xf
Xxx
,
sup
,
inf
0
0
0
0
, (*)
która jest słuszna dla każdej funkcji ciągłej (a więc różniczkowalnej w pojęciu
Cauchy’ego) między x0 a X [Belhoste, p. 90].
Zauważmy, że twierdzenie o wartościach pośrednich w „Kursie analizy z
roku 1821 jest podane w następujący sposób: Twierdzenie o funkcji ciągłej. Jeżeli
funkcja f(x) jest funkcją ciągłą zmiennej x między granicami x=x0, x=X i b
mieści się między f(x0) a f(X), to równanie f(x)=b zawsze posiada rozwiązanie,
znajdujące się między x0 a X. [Cauchy, 1821, p. 50].
Belhoste uzupełnia twierdzenia Cauchy’ego rysunkami, podobnie jak my,
prowadząc wykład dla studentów, uzupełniamy twierdzenie Lagrange'а wykresem
funkcji i przedstawiamy cięciwę, łączącą punkty skrajne. Jednak w kursie
Cauchy’ego nie ma żadnego rysunku, i nigdzie nie ma mowy o interpretacji
15
geometrycznej twierdzeń. Sformułowanie, przytoczone przez Belhoste'a, ma
charakter współczesny.
Dalej Belhoste kontynuuje: „Dowód, przeprowadzony przez Cauchy w roku
1823 tylko dla funkcji nieprzerwanie różniczkowalnych na [x0, X], rozsławił jego
nowe metody i pozwolił zobaczyć różnicę, jaka istnieje między ciągłością prostą a
jednostajną.”
Ale jego dowód nierówności (*) był oparty na zasadniczo błędnym
założeniu: jeżeli funkcja f jest ciągła (a więc jest różniczkowalna w sensie
Cauchy’ego) między x0 a X i jeżeli ε jest liczbą dodatnią na tyle małą, na ile tego
chcemy, to jak twierdzi Cauchy, istnieje taka liczba dodatnia δ
4
, że dla wszystkich
i, mniejszych od δ i dla wszystkich x między x0 a X
     
.
xf
ixfixf
xf
W rzeczywistości, nierówność ta jest prawdziwa dla wszystkich x,
położonych między x0 a X, tylko wtedy, jeśli
f
jest funkcją jednostajnie ciągłą
między dwoma tymi liczbami (lub jest ciągła w przedziale zamkniętym
ograniczonym [x0, X]). Brak wyraźnego rozgraniczenia między ciągłością a
ciągłością jednostajną, jak pokazuje ten błąd, był słabym miejscem kursu
Cauchyego. W każdym bądź razie, twierdzenie o przyrostach skończonych było
stale używane i okazało się centralnym twierdzeniem rachunku różniczkowego”
[Belhoste, 1985, p. 9091].
Zauważmy, że i Ampère, i Cauchy mieli na myśli właśnie przedział
zamknięty ograniczony. Wszystkie przykłady do tego twierdzenia były
przytoczone dla funkcji elementarnych, które jednostajnie ciągłe w przedziale
zamkniętym. Powtórzymy jeszcze raz słowa Cauchy'ego: „Mówi się, że w
otoczeniu jakiejkolwiek wartości szczególnej zmiennej x funkcja f(x) zawsze jest
funkcją ciągłą tej zmiennej, jeżeli jest ona ciągła między dwoma, nawet bardzo
4
Zauważmy, że u Belhoste'а wyraźnie powiedziane jest, że dla epsilon dobierana jest delta, podczas gdy u
Cauchy'ego takiego wyraźnego wskazania nie ma.
16
bliskimi, granicami, zawierającymi ten dany punkt” [Cauchy, 1823, p. 17].
Formalizację wykonał E. Heine w roku 1872.
Nigdy więcej w swoich pracach, nawet w późniejszych, Cauchy nie używał
języka „ε–δ”. Jak pisze Juszkiewicz, „określenie ciągłości u Cauchy'go jest na tyle
dalekie od "epsilontyki", jak jego definicja granicy [Yushkevich, 1986, p. 69].
Aby metoda działała, ε i δ powinny być związane między sobą i ze strukturą
przedziału (obszaru). Do tego w roku 1823 roku jeszcze nie było rozwinięte
zrozumienie continuum. Przytoczymy jeszcze punkt widzenia Putnama: Gdyby
Weierstrass nie uzasadnił metody epsilon-delta, trzeba byłoby przyjąć za istniejące
aktualnie wielkości nieskończenie małe, jak stało się to z liczbami urojonymi. My
stopniowo rozszerzamy układ liczb rzeczywistych [Putnam, 1974].
Część druga
Zależność epsilon - delta jest stopniowo odkrywana w pracach poświęconych jednostajnej
zbieżności i jednostajnej ciągłości: w pracach P. Lejeune Dirichleta, JL Raabe (w czasopiśmie Krella); w
pracach G. Stokesa [1847], Seidela [1847], Riemanna [1854, paragraph 5] i Cauchy'ego [1853].
Rozwojowi epsilontyki towarzyszył rozwój pojęcia ciągłości. Rozpatrzymy
zagadnienie o podobieństwie funkcji ciągłej u Bolzano i Cauchy’ego.
W roku 1817 w Pradze ukazała się drukiem niewielka broszura Bernarda
Bolzano Rein analytisches Beweis des Lehrsatszes, das zwischen je zwey
Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle
Wurzel der Gleichung Liege”. Określa on funkcję ciągłą tak: „pod wyrażeniem, że
funkcja f (x) zmienia się zgodnie z zasadą ciągłości dla wszystkich wartości x,
które znajdują się wewnątrz lub poza znanymi granicami, rozumieć należy tylko
to, że jeżeli x jest jakąkolwiek z tych wartości, to różnica f(x + ω) f(x) może być
uczyniona mniejszą, niż jakakolwiek dana wielkość, jeżeli można przyjąć ω na tyle
dowolnie małe, lub założyć, że f(x + ω) = f(x) + ω” [Bolzano, 1817].
Bolzano znał dzieła Lagrange'а i Lacroix.
17
Zauważalne podobieństwo idei Cauchy'go i Bolzano nasunęło angielskiemu
historykowi matematyki Ivorowi Grattanowi-Guinnessowi myśl o zapożyczeniu.
Wnioski, które wyciąga Grattan-Guinness ze swojego badania, są takie:
„Charakteryzując geniusz Cauchy’ego, nie chciałbym zbyt podkreślać, jak czujnie
reagował on na bodźce zewnętrzne, usiłowałem nie osądzać go, a opisać głębokość
i rozległość jego oryginalności. Bez wątpienia, on i Gauss byli głównymi
matematykami pierwszych dziesięcioleci dziewiętnastego wieku: dlatego jego
dzieła wzbudzają szczególne zainteresowanie historyków. Kierując swoją uwagę
na pamflet Bolzana 1817, możliwe, że Cauchy, zajęty i aktywny matematyk-
badacz oraz profesor trzech paryskich college'ów, po prostu nie zwrócił uwagi, że
nie wymienił go albo wręcz zapomniał napisać, że czytał go (chociaż ja osobiście
nie uważam tego wyjaśnienia za zadowalające).”
Zauważmy także jeszcze jedną „zbieżność idei” z mało znanymi twórcami
niemieckimi, zadziwiająco podobną do historii z pamfletem Bolzana. W kwietniu
1847 Grassmann, wówczas nauczyciel szkolny w Szczecinie, wysłał Cauchy dwa
egzemplarza swojego Ausdehnungslehre 1844 r., ale nie otrzymał żadnego
potwierdzenia; tym niemniej po pewnym czasie w latach 1847 1853 Cauchy
publikuje kilka prac z „clefs algébriques”, które były oparte na tych samych ideach
a nawet miały jednakowe oznaczenia” [Grattan-Guinness, 1970].
W historii nauki jest sporo przykładów jednoczesnego powstania idei u
różnych naukowców. Można nie zgodzić się z Grattan-Guinnesem w tym, że u
podstaw tego leżało zapożyczenie. Tradycja wcześniejszego postawienia
zagadnienia mogła być na tyle silna, że uwarunkowała jednakowe rozwiązanie,
jednakową odpowiedź matematyków, pracujących w różnych krajach. Tak było z
geometrią nieeuklidesową. I z pojęciem funkcji ciągłej, Bolzano i Cauchy opierali
się na pracach Lagrange'a. Tak było z pojęciem liczby niewymiernej i ciągłości
continuum, gdy Méray, Heine i Cantor jednocześnie zaproponowali podobne
18
koncepcje, które opierały się na kryterium ciągu zbieżnego Cauchy'ego [Sinkevich
2014].
W latach 1868, 1869 i 1872 [Méray, 1872] ukazały się w druku prace
Charles'a Méray'a, w których przy pomocy granicy zbudował teorię liczb
niewymiernych [Sinkevich, G. 2012 c].
Od 1854 roku Karl Weierstrass rozpoczął wykłady na Uniwersytecie
Berlińskim. Właśnie u niego pojawia się symbolika taka, jak
n
nplim
(opublikowano w 1856 roku [Yushkevich, 1986, p.76]).
Niestety, sam Weierstrass nie opublikował, ani nie zredagował swoich
wykładów, w większości przypadków dotarły one do nas w notatkach jego
słuchaczy. Eduard Heine martwił się z tego powodu: „Zasady Pana Weierstrassa są
przedstawione bezpośrednio w jego wykładach i pośrednich doniesieniach ustnych,
w rękopiśmiennych kopiach jego wykładów, i są nader szeroko rozpowszechnione,
jednak nie były one opublikowane w redakcji autora pod jego kontrolą, co
przeszkadza percepcji całościowej” [Heine, p.172]. Jednak podstawowa koncepcja
metody „ε–δ” kształtowała się na jego wykładach berlińskich. Jak pisze
Juszkiewicz, „Współczesne ujęcie rachunku różniczkowego, z jego ε, δ-techniką
sformułowań i dowodów, ma swój początek, jak wiadomo, w wykładach
Weierstrassa w Uniwersytecie Berlińskim, opracowania których zostały wydane
przez jego słuchaczy” [Yushkevich, 1977, p. 192].
Najstarszy znany tekst Weierstrassa z wykorzystaniem techniki „ε–δ” to
konspekt jego wykładu z rachunku różniczkowego, wygłoszonego w semestrze
letnim w 1861 roku w Berlińskim Królewskim Instytucie Rzemieślniczym.
„Konspekt był ułożony przez ucznia Weierstrassа Schwarza i teraz jest
przechowywany w instytucie Mittag-Lefflera w Szwecji. Schwarz miał wtedy 18
lat i konspekt sporządził dla siebie, a nie do druku [Yushkevich, 1977, p. 192].
Zapisy Schwarza zostały odnalezione i opublikowane przez P. Dugac'a[Dugac,
19
1972]. W zapisach tych po raz pierwszy pojawia się definicja funkcji ciągłej w
języku epsilontyki: "Jeżeli f (x) jest funkcją x i x wartością określoną, to przy
przejściu x do x+h funkcja zmieni się i będzie f (x+h); różnica f (x+h) f (x)
nazywana jest zmianą, którą uzyskuje funkcja ze względu na to, że argument
przechodzi od x do x + h. Jeżeli możliwe jest określenie dla h takiej granicy δ, że
dla wszystkich wartości h, według wartości bezwzględnej jeszcze mniejszych, niż
δ, f(x+h) f(x) stanowi się jeszcze mniejsza, niż jakakolwiek na ile to możliwe
mała wielkość ε, to można powiedzieć, że nieskończenie małym zmianom
argumentu odpowiadają nieskończenie małe zmiany funkcji. Można bowiem
powiedzieć, że pewna wielkość może stać się nieskończenie mała, jeżeli jej
wartość bezwzględna może stać się mniejsza od jakiejkolwiek dowolnie wybranej
małej wielkości. Jeżeli pewna funkcja jest taka, że nieskończenie małym zmianom
argumentu odpowiadają nieskończenie małe zmiany funkcji, to można powiedzieć,
że jest ona – funkcją ciągłą argumentu, lub, że ona nieprzerwanie zmienia się wraz
ze swoim argumentem"[Yushkevich, 1977, p.189].
W roku 1872 został opublikowany artykuł E. Heinego „Wykłady z teorii
funkcji (Die Elemente der Functionenlehre), gdzie podaje on definicję funkcji
ciągłej wg Weierstrassa w języku epsilon-delta [Heine, 1872, p.178]. Jednak
granicę funkcji Heine określa na podstawie podciągów rachunkowych [ibid, 182-
183], co jest uzasadnione metodologicznie.
W roku 1885 ukazał się podręcznik О. Stolza „Wykłady z arytmetyki
ogólnej według nowego punktu widzenia” (Vorlesungen über allgemeine
Arithmetik: Nach den neueren Ansichten), w którym Stolz przedstawił definicję
Cauchy'go wg Weierstrassa, w języku „ε–δ” [Stolz, 1885].
Legenda o tym, że język epsilontyki stworzył Cauchy, pojawiła się wskutek
„lekkiej ręki” Henri Lebesgue'a w jego „Wykładach z całkowania i odnalezienia
funkcji pierwotnych w roku 1904: "Dla Cauchy'go funkcja f (x) jest ciągła dla
wartości x0 , jeżeli, jaka by nie była liczba dodatnia ε, można znaleźć η(ε) taką, że
20
nierówność
 
h
pociąga za sobą
 
00 xfhxf
; funkcja f (x) jest ciągła w
(a, b), jeżeli relacja między ε a η(ε) może b wybrana niezależnie od x0 dla
dowolnego x0 w (a, b)" [Lebesgue, 1904, p.13]. W związku z tym Juszkiewicz
pis: "W swoim słynnym dziele z teorii całkowania H. Lebesgue z jakiegoś
powodu przypisuje Cauchy'emu określenie ciągłości funkcji w punkcie,
sformułowane w terminach "epsilontyki" z początku XX wieku i charakteryzuje
definicję jako klasyczną. To jeden z wielu przykładów tego, jak modernizowane są
wypowiedzi autorów z dawnych czasów nawet przez tak wybitnych matematyków,
jakim był H. Lebesgue" [Yushkevich, 1986, p. 69].
Niestety, większość błędów historycznych zdarza się dlatego, że autorzy nie
zwracają się do pierwoźródeł, a ufają pośrednim wolnym opowiadaniom, z reguły
napisanym z użyciem języka współczesnego. Widzieliśmy wyżej interpretację
Belhoste'а poprzez supremum i infimum, widzieliśmy, jak on dodał obraz
geometryczny; widzieliśmy interpretacje Lebesgue'go, Stolza i inne. Bolzano w
roku 1817 i Cauchy w 1821 sformułowali definicje granicy w formie jakościowej i
definicje funkcji ciągłej w języku przyrostów; Cauchy jeden raz zastosował
i
przy udoskonaleniu dowodu Ampère'а, ale Cauchy stosował
i
jako skończone
oceny błędu, gdzie δ nie zależy od ε. Bolzano nigdzie nie używał tej techniki.
Zgodnie z konspektem wykładu Weierstrassa z 1861 roku, właśnie Weierstrass był
pierwszym, który użył języka
i
jako metody.
W roku 1821, gdy Cauchy pisał swój Kurs analizy”, w Berlinie urodził się
Eduard Heine, który po upływie 51 lat sformułował pojęcie ciągłości jednostajnej.
Weierstrass w roku 1821 miał 6 lat, i minęło około 40 lat, nim użył epsilontyki z
całą mocą.
W roku 1960 pojawiła się nietypowa analiza, używająca wielkości aktualnie
nieskończenie małych. Zwolennicy analizy nietypowej nazywają język epsilon-
delta wirusem w zdrowym ciele matematyki.
21
Obecnie w kursach analizy używane są trzy definicje granicy funkcji i
ciągłości funkcji: wg Heine’go, Cauchy’ego i Weierstrassa. W subtelnych
kwestiach, związanych z ciągłością, preferowany jest bardziej język epsilon-delta.
References
Ampére, A. 1806. Recherches sur quelques points de la théorie des fonctions
dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration de la série de Taylor et à
l'expression finie des termes qu'on néglige lorsqu'on arrete cette série à un terme
quelconque / Mémoir par M. Ampére, Répétiteur à l’Ecole Politechnique // Journal
de l’Ecole Politechnique. 1806. Cahier 13. P. 148181.
Bashmakova I., 1986 O roli interpretazii v istorii matematiki (On the role of
interpretation in the history of mathematics). // Istoriko-matematicheskie
issledovania (Historical-mathematical researches).- Moscow: Nauka. XXX.
P.182-194.
Belhoste, B. 1985. Cauchy. 17891857. Paris : Belin. 224 P.
Belhoste, B., 1997. Augustin Cauchy. Moscow : Nauka, 176 p.
Błaszczyk, P., Katz, M., Sherry, D. 2012. Ten misconceptions from the
history of analysis and their debunking // ArXiv : 12024153 v. 1 [math. HO] 19
Feb. 2012. 46 p. http://arxiv.org/abs/1202.4153, Foundations of Science 18 (2013),
no. 1, 43-74.
Bolzano, B. 1817. Rein analytischer beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je
zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine
reelle Wurzel der Gleichung liege. Prag, 1817// Bernard Bolzano (17811848).
Bicentenary. Early mathematical works. Prague, 1981. P. 417476.
Bolzano B.1851. Paradoksy beskonechnogo (Paradoxes of infinity).
Translation edited by I. Sleshinski. Odessa: Mathesis, 1911. 140p.
Cajory, F. 1919. A history of the conception of limits and fluxions in Great
Britain from Newton to Woodhouse. Chicago, London, 1919. 322 p.
22
Cantor, G. Ueber die Ausdehnung eines Satzes der Theorie der
trigonometrischen Reihen // Mathem. Annalen von Clebsch und Neumann, Bd.5
1872. S. 123132.
Cauchy, A.-L. 1821. Course d’Analyse de l’Ecole Royale Politechnique
(1821). Analyse Algébrique // Oeuvres. Ser. 2, t. 3. 1–471.
Cauchy, A.-L. (1821), 1864. Algebricheskij analiz (Analyse Algébrique),
translated by F.Ewald, V. Grigoriev, A. Iljin. Leipzig : Druck von Bär &
Hermann, 1864. 252 p.
Cauchy A.-L. 1823. Résumé des leçons données sur le calcul infinitésimal /
Oeuvres ser. 2, IV, 9-261.
Cauchy A.-L. (1823), 1831. Kratkoje izlozhenije urokov o differenzialnom i
integralnom ischislenii (Résumé des leçons données sur le calcul infinitésimal).
Translation by Bunjakovski. St.-Petersburg. 254 p.
Cauchy, A.-L. 1853. Note sur les séries convergentes dont les divers termes
sont des fonctions continues d’une variable réelle ou imaginaire, entre des limites
données // CR t. XXXVI, p.454, Oeuvres complètes série I, t.12, p, 30–36.
Child, J. M. (ed.), 1920. The early mathematical manuscripts of Leibniz.
Translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt with critical
and historical notes by J. M. Child. Chicago-London: The Open Court Publishing
Co.
D’Alembert, J. 1765. Limite. Encyclopédie méthodique ou par ordre de
matières. T.II Padoue 1789. p. 311-312.
Demidov, S. 1990. “Zakon nepreryvnosti” Leibniza i poniatie nepreryvnosti
funkcii u Eulera (Leibniz’ law of continuity and the notion of continuous function
in Euler). Istoriko-matematicheskie issledovania (Historical-mathematical
researches). - XXXII-XXXIII. P. 34 39.
Dini, U. 1878. Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali. Pisa.
Dorofeeva A., 1971. Formirovanie poniatija nepreryvnoy funkcii (The
formation of the notion of continuous function)// Istoria i metodologija
23
estestvennych nauk (History and methodology of natural sciences).-
Moscow:Moscow State University. XI (Mathematics and mechanics). P. 37-50.
Dugac, P. 1972. Elements d`analyse de Karl Weierstrass. Paris.
Dugac P. 1973. Poniatie predela i irrazionalnogo chisla, konzepzii Charles
Meray i Karl Weierstrass (The notion of a limit and irrational number, concepts of
Charles Méray and Karl Weierstrass) // Istoriko-matematicheskie issledovania
(Historical-mathematical researches). - XVIII. P.176180.
Euler, L. 1748, (1961). Vvedenije v analis beskonechno malych (Introductio
in analysin infinitorum). Moscow: Fismatgis, Vol. II. 315 p.
Euler, L. 1755, 1949. Institutiones calcului differentialis / In : Euler.
Differential calculus, 2 vol. Moscow-Leningrad :Gostechizdat.
Fourier, J.B. 1822. Théorie analitique de la chaleur // Oeuvres. – Paris, v. 1.
Gauss, K.F. 1800. Grundbegriffe der Lehre von der Reihen // Werke.
Leipzig : B. Bd. X/1. 1917. S. 390 394.
Grabiner, J. 1983. Who gave you the Epsilon? Cauchy and the Origin of
Rigorous Calculus // The American Mathematical Monthly. 1983. March.
Volume 90. No 3. P. 185194.
Grattan-Guinness, I. 1970. Bolzano, Cauchy and the “New Analysis” of the
Early Nineteenth Century // Archive for History of Exact Sciences. Springer
Verlag. Berlin-Heidelberg-New York. 1970. Vol. 6. No 3-5. P. 372400.
Grattan-Guinness, I. 2004. The mathematics of the past: distinguish its
history from our heritage // Historia mathematica 31 (2004), p. 163185.
Gray, J. 2008. Plato`s ghost. The modern transformation of mathematics /
Princeton University Press, Princeton, NY, 2008.
Hankel, H. 1870/71. Grenze //Allgemeine Enzyklopädie der Wissenschaften
und Künste. – Leipzig. Vol. 90. p. 185211.
Heine, E. 1872. Die Elemente der Functionenlehre // J. reine angew. Math.
1872. 74. s. 172188.
24
L`Huilier, S.-A.-J. 1786. [исправление] Exposition Élémentaire des
Principles des calcul supérieurs / S.-A.-J. L`Huilier. 1786.
Katz, M.; Sherry, D. 2012. Leibniz's laws of continuity and homogeneity.
Notices of the American Mathematical Society 59 (2012), no. 11,1550-1558.
Koetsier, T. 2009. Lakatos, Lakoff and Núňez: Towards a Satisfactory
Definition of Continuity. In Explanation and Proof in Mathematics. Philosophical
and Educational Perspectives. Edited by G. Hanna, H. Jahnke, and H. Pulte.
Springer.
Lacroix, S. F. 1797. Traité du calcul differentiel et du calcul intégral Paris,
1797, 1798, 1800. 572 p.
Lacroix, S. F. 1806. Traité élementaire de calcul différentiel et de calcul
intégral. – Paris : 1806, 1828. 646 p.
Lagrange, J. 1797. Théorie des fonctions analytique // Oeuvres de Lagrange.
Paris: 1881. V. 9.
Lagrange, J. 1811. Mécanique analytique. Paris. - 2-m ed. - V.1.
Leathem, J.G. 1905. Volume and Superface Integrals Used in Physics.
Lebesgue, H.1904, 1934. Integrirovanie i otyskanije primitivnych funkzij
(Leçons sur l’intégration et la recherché des fonctions primitives). – Moscow-
Leningrad . 324 p.
Méray, Ch. 1872. Nouveau précis d’analyse infinitésimale / Par Charles
Méray. Publication : F. Savy. XXIII Paris: 310 p.
Putnam, H. 1974. What is mathematical truth? // Proceedings of the
American Academy Workshop on the Evolution of Modern Mathematics (Boston,
Mass., 1974) // Historia Mathematica 2 (1975). No. 4. P. 529533.
Riemann B. 1854 (published1868). Ueber die Darstellbarkeit einer Function
durch eine trigonometrische Reihe //Abhandlungen der Königlichen
Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. T. XIII, 87-132.
25
Seidel, Ph.L. 1847. Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche
discontinuirliche Functionen darstellen // Abhandl. Der Math. Phys. Klasse der
Kgl. Bayerschen Akademie der Wissenschaften V, 381–394, München.
Sinkevich, G. 2012a. Uliss Dini I poniatie nepreryvnosti (Uliss Dini and the
notion of continuity) // Istoria nauki i techniki (The history of science and
technics). Moscow. 10. P. 3-11.
Sinkevich, G. 2012 b. Heinrich Eduard Heine. Teoria funkzij (Heinrich
Eduard Heine. Function theory) // Matematicheskoye modelirovanie, chislennyie
metody i komplexy programm (Mathematical simulation, calculus of
approximations and program system). St.-Petersburg. 18. P. 6-46.
Sinkevich, G. 2012 c. Rasvitie poniatija nepreryvnosty u Ch. Méray (The
development of notion of continuity in Ch. Méray) // Trudy X Miejzdunarodnych
Kolmogorovskich chtenij (Proceeding of X Kolmogorov’s reading. Jaroslavl. - P.
180-185.
Sinkevich,G. 2012 d. K istorii epsilontiki (To the history of epsilonics) //
Mathematics in Higher Education (Matematika v vyshem obrasovanii), No 10,
2012. P. 149166.
Sinkevich G. Concepts of a Numbers of C. Méray, E.Heine, G. Cantor, R.
Dedekind and K. Weierstrass / G. Sinkevich // Technical Transactions. Kraków.
2014. 1-NP. p. 211-223.
Stokes, G.G. (Presented 1847, published 1849). On the Critical values of the
sums of Periodic Series // Transactions of the Cambridge Philosophical Society.
Vol. VIII, p. 533-583.
Stolz O. 1881. B. Bolzano`s Bedeutung in der Geschichte der
Infinitesimalrechnung // Mathematische Annalen. Band 18, 1881. P. 255-279.
Stolz, О. 1885. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: Nach den neueren
Ansichten. Bd. I. Leipzig P. 156157.
Wallis, J. 1656. The arithmetic of Infinitesimals // Translated by J.A. Stedall.
USA: Springer. 2004.
26
Weierstrass, K. 1886 (1989). Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre.
Vorlesung gehalten in Berlin 1886 mit der Akademischen Antrittsrede, Berlin
1857 und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870
bis 1880/86. Teubner-Archiv für mathematic. Band 9, 272 s. Reprint 1989.
Yushkevich A. 1972. Istoria matematiki (The History of Mathematics).
Edited by A.Yushkevich.- Moscow: Nauka. Vol.3. 496 p.
Yushkevich A. 1973. L. Carnot i konkurs Berlinskoj akademii nauk 1786 na
temu o matematicheskoj teorii beskonechnogo (L.Carnot and the competition of
Berlin academy of Sciences 1786 on the mathematical theory of infinite). Istoriko-
matematicheskie issledovania (Historical-mathematical researches). XVIII. P.
132156.
Yushkevich A. 1977. Chrestomatija po istorii matematiki. Matematicheskij
analis (Reading book on the history of mathematics. Analysis), edited by
A.Yushkevich.- Moscow: Prosveschenije. 224 p.
Yushkevich A. 1986. Razvitije ponjatija predela do K. Weierstrassa (The
development of the notion of limit till K. Weierstrass). Istoriko-matematicheskie
issledovania (Historical-mathematical researches). Moscow: Nauka. XXX P.
181.
ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.
Chapter
Die folgenden Vorlesungen sollen in gewisser Hinsicht eine {ulErgänzung} der im Wintersemester 1884/85 über die Elemente der Theorie der analytischen Funktionen gehaltenen Vorlesungen bilden. {su1} Der Zweck, den jene Vorlesungen im Auge hatten, ist ja im wesentlichen erreicht worden, aber auf einem mehr synthetischen Wege, und gerade hierin liegt etwas Unbefriedigendes, indem nämlich die Allgemeinheit der so erlangten Resultate nicht völlig in Evidenz tritt. Es erscheint daher nützlich, an jene Vorlesungen anknüpfend die verschiedenen Methoden, durch welche man die Funktionentheorie begründen kann, historisch und kritisch zu verfolgen, divergierende Ansichten vorzuführen und den Versuch ihres Ausgleichs zu machen. Kurz, unsere Tendenz geht dahin, uns an den historischen Entwicklungsgang der mathematischen Wissenschaften, insbesondere der Analysis, anschließend zu zeigen, auf welche Weise man die Grundbegriffe der Wissenschaft zu begründen imstande ist. Das Ziel, welches uns dabei vorschwebt, ist zu bewirken, daß in Beziehung auf die Prinzipien der mathematischen Wissenschaften feste Grundsätze sich geltend machen. Um überhaupt in die mathematischen Wissenschaften einzudringen, ist ja allerdings die Beschäftigung mit einzelnen Problemen, die uns überhaupt erst den Umfang und den Bestand der Wissenschaft zeigt, unerläßlich. Das {ulEndziel} aber, welches man stets im Auge behalten muß, besteht darin, daß man über die {ulFundamente} der Wissenschaft ein sicheres Urteil zu erlangen suche.