BookPDF Available

Around Godel's Theorem, 2nd edition (in Russian)

Authors:

Abstract

Textbook for students in mathematical logic and foundations of mathematics. Axiomatic set theory. First order arithmetic. Hilbert's 10th problem. Incompleteness theorems. Consequences. Connected results: double incompleteness theorem, unsolvability of reasoning, theorem on the size of proofs, diophantine incompleteness, Loeb's theorem. Around Ramsey's theorem. [[[[[]]]]] For an extended English translation, see: Karlis Podnieks, What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around, 2015, https://www.researchgate.net/publication/306112247_What_is_Mathematics_Godel's_Theorem_and_Around
1
Version released: July 18, 2013
Латвийский университет
Институт математики и информатики
К. М. Подниекс
ВОКРУГ
ТЕОРЕМЫ
ГЕДЕЛЯ
Рига "Зинатне" 1992
2
УДК 164 519.9
П о д н и е к с К. М. Вокруг теоремы Геделя. – Рига: Зинатне, 1992. –
191 с. - ISBN 5-7966-0928-9.
Проведен методологический анализ природы математики.
Показано, что сущность математического метода состоит в исследовании
застывших моделей. Обоснована несостоятельность утверждений об
ограниченности аксиоматического метода. Предлагается следующая
методологическая оценка теоремы Геделя о неполноте:
Всякая формальная теория с методологической точки зрения
является моделью некоторой застывшей системы мышления. С учетом
этого основной вывод из теоремы о неполноте можно переформулировать
так: всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления
неизбежно оказывается несовершенной в ней содержатся либо
противоречия, либо проблемы, для решения которых данной
(застывшей!) системы недостаточно. Именно в строгом доказательстве
принципиального несовершенства всякой застывшей системы
мышления состоит подлинный диалектический смысл достижений
Геделя.
Изложены важнейшие результаты математической логики XX в.,
знание которых необходимо для понимания предлагаемой методологи-
ческой концепции.
Библиогр. 33 назв.
Научный редактор канд.физ.-мат.наук В. К. Детловс
Р е ц е н з е н т ы:
проф., д-р физ.-мат.наук Р. В. Фрейвалд
проф., д-р физ.-мат.наук В. А. Успенский
© К. М. Подниекс, 1992
K. M. Podnieks. AROUND GOEDEL'S THEOREM. Riga: Zinatne, 1992, 191 pp.
This work is licensed under a Creative Commons License and is
copyrighted © 1992 by me, Karlis Podnieks.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..............................................................................................4
1. ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ ........................................................................6
1.1. Платонизм − философия работающих математиков ........................6
1.2. Исследование застывших моделей − сущность математического
метода .........................................................................................................11
1.3. Интуиция и аксиоматизация .............................................................15
1.4. Формальные теории ...........................................................................22
1.5. Логика .................................................................................................25
1.6. Программа Гильберта ........................................................................28
2. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ...................................32
2.1. Возникновение интуитивной теории множеств ..............................32
2.2. Формализация противоречивой теории множеств .........................37
2.3. Аксиомы Цермело-Френкеля ............................................................41
2.4. Вокруг проблемы континуума ..........................................................54
3. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА ........................................................67
3.1. От аксиом Пеано до аксиом элементарной арифметики ................67
3.2. Натуральные числа в других теориях ..............................................75
3.3. Теорема о представимости ................................................................77
4. ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА......................................................88
4.1. История проблемы и ее решения ......................................................88
4.2. Начало и план доказательства ..........................................................93
4.3. Исследование уравнения Ферма .......................................................96
4.4. Диофантово представление последовательности решений
уравнения Ферма .....................................................................................103
4.5. Диофантово представление экспоненты ........................................106
4.6. Диофантовы представления числа сочетаний и факториала .......109
4.7. Устранение ограниченного квантора всеобщности ......................112
5. ТЕОРЕМЫ О НЕПОЛНОТЕ ...................................................................119
5.1. Парадокс лжеца ................................................................................119
5.2. Лемма об автоссылках .....................................................................120
5.3. Теорема Геделя о неполноте ...........................................................124
5.4. Вторая теорема Геделя ....................................................................131
6. ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ................................................................138
6.1. Методологическое значение теорем о неполноте .........................138
6.2. Теорема о двойной неполноте ........................................................142
6.3. Проблема творчества в математике ................................................146
6.4. Теорема о сокращении доказательств ............................................149
6.5. Теорема Геделя в диофантовой форме ...........................................152
6.6. Теорема Леба ....................................................................................154
ИЗ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ .............................................................................157
ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ РАМСЕЯ ..................................................................164
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................176
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Является ли Ваша философия математики платонистской или нет,
это можно определить с помощью следующего теста. Рассмотрим
последовательность простых чисел-близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), ...
Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это предполо-
жение не доказано не опровергнуто) до сих пор. Верите ли Вы, что
несмотря ни на что гипотеза должна быть "объективно" истинной или
ложной? Для обоснования своей веры Вы можете воспользоваться
следующим рассуждением. Представим себе, что мы продвигаемся
вперед вдоль последовательности натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...
и время от времени встречаем пары близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43),...
Существует ведь только две возможности: а) мы доходим до последней
пары близнецов и больше их не встречаем этом случае гипотеза
оказывается ложной), б) пары близнецов появляются все время (тогда
гипотеза истинна).
Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы
привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они
составляют некий специфический "мир", который очень похож на мир
повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое
достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным,
либо ложным. Поэтому Вы не в состоянии представить третью
возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни
бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы
осознаем, что система натуральных чисел содержит не только некоторую
информацию о действительном мире, но и множество элементов
фантазии. Почему Вы полагаете, что этот фантастический мир людям
удалось "сфантазировать" так идеально правильно, что на вопрос о
количестве близнецов обязательно будет существовать ответ?
Данная монография предназначена для математиков, физиков,
философов том числе для студентов старших курсов этих специаль-
5
ностей) и всех интересующихся методологическими проблемами науки.
Философы и физики для знакомства с основными методологи-
ческими выводами могут ограничиться чтением разделов 1, 2.1, 2.4, 5.1,
5.3, 5.4, 6.1–6.3, пропуская непонятные математические подробности.
Математики должны, вообще говоря, изучить весь материал, за
исключением разделов 2.4 и 4.3–4.7, которые могут изучаться
факультативно.
Издание может использоваться в качестве учебного пособия по
курсу математической логики (как вторая его часть после изучения
исчисления высказываний и исчисления предикатов).
В разделе 4 изложено решение десятой проблемы Гильберта
одно из самых красивых рассуждений в истории математики.
Автор выражает признательность научному редактору В. К. Детловсу за
множество предложений, способствовавших улучшению текста.
Октябрь 1991 г. К. П о д н и е к с
6
1. ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ
1.1. Платонизм − философия работающих математиков
Французский математик Шарль Эрмит сказал как-то: он убежден в
том, что числа и функции это не изобретения математиков, они
существуют независимо от нас, как существуют вещи реального мира.
Было время, когда это высказывание цитировалось как свидетельство
"стихийного материализма выдающихся ученых".
Однако такие высказывания математиков свидетельствуют совсем
о другом об их стихийном платонизме. Платонистское отношение
математиков к объектам своих исследований обусловлено самой
природой математического метода. Но, разумеется, при решении
методологических вопросов такой философии придерживаться уже
нельзя. Как трудно, однако, изменить привычки, обретенные в ходе
повседневной работы, когда переходишь в сферу методологии...
Но сначала о платонизме самого Платона (427−347 гг. до н.э.),
который жил на закате "золотого века" Древней Греции. В 431−404 гг. до
н.э. велась обескровившая Грецию Пелопоннесская война, а в 337 г.
через 10 лет после смерти Платона Грецию покорила Македония. В
своей конкретной форме философия Платона сформировалась под
влиянием греческой математики.
Развитие греческой математики в VI−V вв. до н.э. привело к
образованию математических объектов в современном смысле этого
слова: представления о числах, точках, прямых и т.д. стабилизировались
и тем самым оторвались от своего первоисточника − свойств и
отношений объектов реального мира. "Математическая прямая не имеет
ширины, а точка вообще не имеет размеров". Ничего в точности такого в
реальном мире нет: вместо прямых встречаются более или менее гладкие
полосы, а вместо точек − пятна различной формы и размеров. Однако без
этого перехода к идеализированному (но зато стабильному, застывшему)
миру точек, прямых и т.д. математические знания остались бы на уровне
ремесла, так и не достигнув уровня науки. Только идеализация
(упрощение, исключение второстепенных деталей) сделала возможным
такой эффективный инструмент, как евклидова геометрия.
7
В свою очередь, понятие натурального числа (1, 2, 3, 4, ...)
возникло в ходе оперирования совокупностями несливающихся
предметов. Процесс становления этого понятия завершился по-существу
уже в VI в. до н.э., когда во времена Пифагора были доказаны первые
теоремы о системе натуральных чисел в целом, например, теорема о том,
что простых чисел существует "больше любого наперед заданного
количества". Ясно, что об эмпирической проверке таких утверждений
речи быть не может. Но в то время понятие натурального числа уже
оторвалось от своего реального источника "количественных
закономерностей совокупностей несливающихся предметов", и стало
функционировать самостоятельно − как модель. Натуральный ряд чисел
это идеализация упомянутых количественных закономерностей.
Человек абстрагировал его на основе практического опыта с небольшими
совокупностями (1, 2, 3, 10, 100, 1000 и т.д. предметов). Для
совокупностей гораздо больших (многие миллионы предметов) он
предположил аналогичные закономерности и тем самым идеализировал
может быть, как заметил П. К. Рашевский [1973], даже исказил)
реальную ситуацию.
В самом деле, количество атомов в данном листе бумаги четное
или нечетное? С точки зрения традиционной арифметики оно "обязано"
каждый момент времени) быть либо четным, либо нечетным. В
действительности же лист бумаги никакого точного числа атомов не
имеет (хотя бы из-за сотен тысяч ядерных реакций, происходящих
каждую секунду под воздействием космических лучей). Кроме того,
согласно новейшим космологическим теориям, полное число
элементарных частиц во Вселенной значительно меньше 10200. Как мы
должны тогда относиться к утверждениям вроде "10200 +1 нечетное
число"? Очевидно, таким образом, что арифметика занимается не только
практически полезными алгоритмами вычисления, но и вещами
совершенно фантастическими, лишенными непосредственного реального
смысла.
Разумеется, древние греки не могли видеть все это столь ясно.
Рассуждая о количестве простых чисел, они думали, что обсуждают вещи
столь же реальные, как те совокупности предметов, от которых понятие
натурального ряда было абстрагировано.
Итак, первый в истории математики процесс идеализации
закончился стабилизацией понятий о числах, точках, прямых и т.д. Эти
понятия определились и надолго стали общепринятыми в обществе
математиков. Этот момент наступил еще в V в. до н.э. Стабилизация
понятий свидетельствует об их отделении от реальных объектов,
обращение с которыми привело людей к выработке этих понятий. Ведь
8
застывшим может стать только понятие, уже оторванное от своих
реальных прообразов, продолжающих самостоятельную жизнь и
содержащих огромное разнообразие второстепенных и изменяющихся
нюансов. Работая в области геометрии, математик исследует не
непосредственно отношения реальных объектов, а свое сложившееся
(застывшее) представление о них идеализированный "мир" точек,
прямых и т.д. Если бы он во время своих размышлений постоянно
вспоминал об особенностях реальных вещей степени их гладкости и
т.п.), то вместо науки (общих, эффективных и далеко идущих геометри-
ческих методов) мы имели бы только простейшие, специфические
алгоритмы, найденные путем проб и ошибок или с помощью
элементарной интуиции. Именно на таком уровне остановилось развитие
математики Древнего Востока.
Для греческих философов появление математического метода
было новостью: исследовать не непосредственно природу, а какое-то
застывшее представление о ней, субъективно воспринимаемое в процессе
исследования как "последняя" реальность, дальше которой ничего нет.
Рождение математического метода разные философы отметили по-
разному (но, разумеется, никто из них не сумел тогда дать правильную
оценку такого сложного явления). Платон, изучая математику, пришел к
весьма оригинальному мировоззрению, согласно которому существует
два мира: мир идей (идеально строгий и точный, упорядоченный и
гармоничный как мир геометрических образов) и мир вещей
(несовершенный, "размытый", хаотический). Каждая реальная вещь
представлялась Платону несовершенной, приблизительной реализацией
своей "идеи" оторая существует независимо от самой вещи в мире
идей). Характерно также остроумное, но совершенно фантастическое
представление Платона о природе математического исследования: перед
рождением человека его душа обитает в мире идей, а во время своей
земной жизни, занимаясь математикой, она постепенно вспоминает опыт,
обретенный в мире идей. Разумеется, это перевернутое вверх ногами
представление о действительной природе математического метода.
Конечный результат развития математических понятий застывшая
система идеализированных объектов принимается Платоном за
исходную позицию, вокруг которой "танцуют" вещи реального мира.
Платон старался по-своему объяснить стороны процесса познания,
которые были недоступны философии его времени из-за недостаточной
конкретно-научной базы. В данном случае речь шла об объяснении
природы идеализированных математических объектов. Для правильного
ее объяснения греческая наука не имела достаточной базы в таких
областях, как физика, биология, физиология и психология.
Сегодня мы называем платонизмом любую философскую
9
позицию, которая какую-либо систему идеальных объектов человеческой
мысли трактует как особый, независимо существующий мир. Именно
такой оказывается и философия "работающих" математиков, которые, как
правило, не задумываются о "природе" своей деятельности.
Платонистское отношение к объектам своего исследования
неизбежно для математика: в своей повседневной работе он оперирует
числами, функциями, точками, прямыми и т.д. как объектами,
составляющими некоторое подобие мира, как "последней реальностью",
за которой нет никакой другой, "более подлинной" реальности. Да и как
иначе можно глубоко исследовать систему понятий, которая
стабилизировалась и оторвалась от своего первоисточника? Именно в
платонизме работающих математиков одна изайн" творческой силы
математики!
Это объясняет и неизбежность элементов платонизма в
мировоззрении математиков, как правило, не очень искушенных в
философии. Привычки, обретенные в повседневной работе, обладают
огромной силой. Когда математик, не имеющий достаточной
философской подготовки, берется за решение методологических
вопросов, за объяснение природы своих результатов, он невольно
привносит в рассуждения элементы платонизма. Этим страдали и
страдают в равной мере как рядовые, так и великие математики.
Заявления математиков об объективном характере своих результатов
как правило, не материализм, а платонизм! Самые выдающиеся среди
немногих исключений из этого правила А. Н. Колмогоров и В. М.
Глушков.
Правда, платоник в некотором смысле "лучше" субъективного
идеалиста, утверждающего, что математические объекты − произвольные
творения человеческого ума. Следует, однако, различать людей, которые
просто объявляют свои построения объективными, существующими
независимо от нас, людей, и материалистов, которые пытаются объяснить
происхождение математических понятий и определить закономерности
их развития.
Является ли Ваша собственная философия математики
платонистской или нет, это легко определить с помощью следующего
теста. Рассмотрим последовательность простых чисел-близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), ...
(простые числа принято называть близнецами, если их разность равна 2).
Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это
предположение не доказано не опровергнуто) до сих пор. Верите ли
Вы, что несмотря ни на что, гипотеза должна быть "объективно"
10
истинной или ложной? Для обоснования своей веры Вы можете восполь-
зоваться следующим рассуждением. Представим себе, что мы
продвигаемся вперед вдоль последовательности натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
и время от времени встречаем пары близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), ...
Существует ведь только две возможности: а) мы доходим до последней
пары близнецов и больше их не встречаем этом случае гипотеза
оказывается ложной), б) пары близнецов появляются все время (тогда
гипотеза истинна).
Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы
привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они
составляют некий специфический мир, который очень похож на мир
повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое
достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным,
либо ложным. Поэтому Вы и не в состоянии представить третью
возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни
бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы
вспомним, следуя П. К. Рашевскому, что система натуральных чисел
содержит не только некоторую информацию о действительном мире, но и
множество элементов фантазии. Почему Вы полагаете, что этот
фантастический мир людям удалось "сфантазировать" так идеально
правильно, что на вопрос о количестве близнецов обязательно будет
существовать ответ?
(Другая иллюстрация платонистского подхода к методологическим
вопросам математики − высказывание Н. Н. Лузина о континуум-
проблеме в разделе 2.4.)
И Ваш платонизм, и платонизм Н. Н. Лузина это нормальный
платонизм работающего математика, стимулирующий занятие
проблемами любой сложности − ведь заранее никогда неизвестно,
разрешима проблема или нет.
Однако, переходя к решению методологических вопросов, уже
нельзя давать волю платонистским привычкам (полагая, что несмотря на
неразрешимость проблемы близнецов "для нас, людей", их количество
"объективно" является либо конечным, либо бесконечным). Это означает
допускать существование мира идей (мира чисел), не зависящего от
аксиом, используемых в рассуждениях математиков. Тогда платонизм
математический превращается в платонизм философский. Такие люди
утверждают, что традиционные аксиомы не передают адекватно все
богатство содержательной математики, что надо искать более адекватные
11
аксиомы, и даже что никакая фиксированная система аксиом не в
состоянии представить богатство математики полностью. Это погоня за
миражами никакого подлинного мира математики, не зависящего от
аксиом, с помощью которых он исследуется, разумеется, не существует.
Правильная же оценка ситуации состоит в следующем.
Если обнаружено, что традиционные аксиомы математики не
позволяют решить какую-либо проблему, то это свидетельствует о
внутреннем несовершенстве данных аксиом (а не об их неадекватности
какому-то "миру"). Возможно, следует заняться совершенствованием
аксиом. И всегда оказывается, что вариантов развития, как правило,
несколько. Например, можно принять так называемую аксиому
конструктивности или противоречащую ей аксиому
детерминированности (см. раздел 2.4). Так как эти варианты
противоречат друг другу, то о приближении к единственному
"подлинному миру математики" здесь не может быть и речи.
Наш главный вывод состоит в следующем: хотя повседневная
работа математиков постоянно толкает их в платонизм (и как творческий
метод этот платонизм весьма эффективен), при решении
методологических вопросов от него следует сознательно отказываться.
Игнорирование этой проблемы основной недостаток многих
философских сочинений, посвященных математике.
1.2. Исследование застывших моделей − сущность
математического метода
Термин "модель" используется ниже в смысле, принятом в
прикладной математике, а не в логике (т.е. мы будем обсуждать модели
природных процессов и технических устройств, а не модели множеств
формул).
Что характерно для математического подхода к решению какой-
либо (физической, технической и т.п.) проблемы? Характерно прежде
всего стремление как можно скорее "покончить с реальностью", перейти
к исследованию определенной (фиксированной) математической модели.
Поэтому в процессе формулирования задачи часто задаются вопросы:
можно ли предположить, что данная зависимость линейна, можно ли
пренебречь такими-то возмущениями, можно ли считать данное
распределение вероятностей равномерным (нормальным или
пуассоновским) и т.д., и т.п. Во всем этом видно стремление скорее и с
использованием по возможности меньшего числа исходных принципов
сформулировать математическую задачу, решение которой несмотря на
12
сделанные упрощения дало бы какое-то решение исходной проблемы.
Математики приучают себя к жизни (именно к жизни!) в мире
математических понятий, а в отдельные периоды (пока идет разработка
конкретной проблемы) даже в узко-специальном мире определенной
модели. После того как модель создана, для математиков ее исследование
становится самоцелью. В процессе работы они отвлекаются от
отражающего аспекта модели, совершенно игнорируют его. Именно в
этом − причина платонистского отношения математиков к объектам своих
исследований. Именно в этом источник творческой силы математики,
источник "непостижимой эффективности математики в естествознании и
технике" (Е. Вигнер). Благодаря такому подходу математики умеют
извлекать максимум следствий из минимума посылок. Именно
разработанность математических моделей (наличие готовых алгоритмов,
общих методов) делает их применение таким эффективным. Ведь модель,
если ее единственное достоинство адекватность оригиналу, сама по
себе бесполезна, если нет методов и алгоритмов, позволяющих в
реальное время вывести заключения, дающие новые знания об
оригинале. И ключ к этой разработанности − умение математиков
(буквально) жить в мире разрабатываемой модели, забывая обо всем
другом. Это даже создает для некоторых из них репутацию сухарей,
отшельников и чудаков.
Таким образом, платонизм является фактически психологией
работающих математиков, и философией он оказывается только с их
собственной субъективной точки зрения.
С появлением математики все научные теории следовало бы
делить на два класса:
а) теории с развивающейся системой принципов,
б) теории с застывшей системой принципов.
Теории класса а) в ходе своего развития обогащаются новыми
принципами, которые нельзя обосновать ранее принятыми. Появлению
таких принципов мы обязаны фантазии специалистов, которые
опираются на все более совершенную экспериментальную базу. Прогресс
теории состоит здесь прежде всего в этом процессе обогащения.
С другой стороны, в математике, физике, отчасти в химии и
совсем редко в других науках встречаются теории, принципиальная
основа которых со временем не меняется, а если и меняется это
изменение квалифицируется как переход к новой теории. Так, на теорию
относительности А. Эйнштейна можно смотреть как на уточнение
классической механики И. Ньютона, как на дальнейшее развитие той же
ньютоновской теории. Но поскольку обе теории очень точно определены,
13
то на переход "от Ньютона к Эйнштейну" можно смотреть и как на
переход к другой теории. Развитие этих теорий продолжается по сей
день: доказываются новые теоремы, изобретаются новые методы
расчетов и т.д. Однако принципиальная основа (исходные постулаты)
каждой из них остается неизменной (такой, какой она была при жизни их
создателей). Только те положения признаются относящимися к данной
теории, которые можно вывести из (давно известных) ее основных
принципов. Все, что выходит за рамки этих принципов, относится уже к
другой теории.
Застывшая система основных принципов отличительная
особенность всякой математической теории. Математическая модель
какого-либо явления природы или технического устройства − это
непременно застывшая модель, сближению которой с оригиналом
положен предел. Только такую модель может исследовать математик.
Всякая попытка уточнить модель (видоизменить ее определение с целью
еще больше приблизить к оригиналу) приводит к новой модели, которая
опять должна "застыть", чтобы ею мог заниматься математик.
Формирование математических моделей, их уточнение это не
собственно математическая деятельность, она относится к той отрасли
науки или техники, которая заинтересована в конечном результате
исследования.
Сформулированная выше концепция сущности математики не
является общепринятой и, как правило, воспринимается с трудом. Что же
препятствует восприятию математических теорий как застывших? "Во-
первых, математические теории почти никогда не рассматриваются
изолированно одна от другой.... теория множеств одновременно с ее
возникновением начала применяться к изучению геометрических
объектов (собственно, для этого она и была создана). Чем продуктивнее,
чем ближе к практике математическая теория, тем сильнее проявляется
эта тенденция. Во-вторых, внутри любой теории ее теоремы состоят, как
правило, из двух частей: условия и заключения. Заключение теоремы
является, таким образом, следствием не только застывшей совокупности
аксиом, но и конкретного, специфического для данной теоремы условия.
А что такое условие, как не расширение застывшей системы принципов?
В-третьих, любая математическая теория открыта для пополнения
новыми понятиями. Так, в анализе вслед за понятием непрерывности
функции вводятся: понятие точки разрыва, классификация таких точек,
понятие функции, непрерывной на отрезке,..., равномерной
непрерывности, условие Лифшица,... и т.д. Исследуются свойства
каждого нового понятия, и эти свойства постепенно оттесняют далеко на
задний план исходную совокупность аксиом.... Все это нисколько не
противоречит тезису о неизменности исходной системы принципов
14
(аксиом и правил вывода), но препятствует восприятию математических
теорий как "застывших" работающими математиками." (из письма С. С.
Лаврова, 1988 г.)
Итак, математический метод исследование застывших моделей.
Очень важно, что математическая модель (именно потому, что она
застывшая) уже не привязана жестко к оригиналу. Может оказаться, что
модель была выбрана неудачно (плохо отвечает оригиналу), однако это не
препятствует ее исследованию ведь застывшая модель точно
определена. Можно сказать поэтому, что математическая модель "не
нуждается" в оригинале, она не обязательно является моделью чего-то,
она модель "сама по себе". Такую модель можно видоизменить
(получив новую), руководствуясь уже не интересами соответствия
оригиналу, а просто ради эксперимента или исходя из эстетических
соображений. Так легко получаются "модели сами по себе", не имеющие
реальных оригиналов. Застывший характер математических моделей
делает это явление возможным и даже неизбежным.
Если математический метод исследование застывших моделей,
то чем является в таком случае сама математика? Модели могут быть
более или менее общими (сравним, например, школьную арифметику,
теорию относительности и какую-либо конкретную модель Солнечной
системы). Частные модели лучше всего исследовать под руководством
специалистов, которые эти модели строят и используют. Сочетание
специальной подготовки с достаточной математической подготовкой
одном человеке или в коллективе) будет здесь наиболее эффективным.
Исследование же моделей, которые представляют более общий (или даже
всеобщий) интерес и имеют широкую область применения (применимы в
исследовании целого ряда более специальных моделей), составляет
содержание особой науки, которую принято называть математикой. Так,
своей широкой применимостью в различных областях науки
примечателен математический анализ (дифференциальное и
интегральное исчисление). Это типичный пример модели (теории),
которая относится к математике. С другой стороны, конкретная модель
Солнечной системы (используемая, в частности для точного
предсказания солнечных затмений) является слишком специальной,
чтобы относить ее к математике (хотя это и математическая модель).
Застывший характер математических моделей и теорий составляет
как силу, так и слабость математики. Извлечь максимум информации из
минимума посылок это умение математиков многократно доказало
свою эффективность в науке и технике. Однако обратной стороной такой
силы является слабость: никакая конкретная застывшая модель (теория)
не в состоянии решить все проблемы, возникающие в науке (или даже
только в математике). Этот диалектический тезис блестяще подтвердился
15
в знаменитой теореме Геделя о неполноте.
И еще одна слабость: математика, оторвавшись от действительных
проблем, управляемая только своими "внутренними потребностями", на
наших глазах расплывается и разбухает... Создаются теории и целые
отрасли математики, которые еще долго не будут (а может быть,
принципиально не могут) применяться к исследованию реальных
проблем. Как пошутил польский писатель С. Лем в своей книге "Сумма
технологий", математик сумасшедший портной, который шьет
"всевозможные одежды", надеясь сшить и кое-что пригодное для
одевания. Как мы видели, эти отрицательные явления неизбежное
следствие самой природы математического метода.
1.3. Интуиция и аксиоматизация
Застывший характер математических моделей и теорий не всегда
бросается в глаза − мешает платонистская привычка смотреть на объекты
математики как на особый "не зависящий от нас мир", который "нами
только изучается".
Мало кто будет оспаривать застывший характер теории, которая
полностью аксиоматизирована. В аксиомах такой теории выражены все
принципы рассуждения, которые в ней допускаются. Тем самым
принципиальная основа теории зафиксирована и всякое ее изменение
выражается в явных изменениях аксиом.
Каким образом, однако, можно считать застывшими теории,
которые не аксиоматизированы? Так, все математики сходятся во мнении
относительно того, какие рассуждения о свойствах натуральных чисел
следует признать доказательными, а какие приводят только к гипотезам
или ошибкам. И это несмотря на то, что большинство математиков не
знают ничего о каких-либо аксиомах арифметики! И даже в случаях,
когда теория вроде бы построена на аксиомах (как, например, геометрия
в "Началах" Евклида), в ее рассуждениях могут быть обнаружены
моменты, не вызывающие разногласий относительно их справедливости,
но в аксиомах тем не менее не отраженные. Например, различные
свойства отношения "точка A лежит на прямой между точками B и C"
используются у Евклида без всякого обоснования. Только в XIX в. М.
Паш ввел "аксиомы порядка", характеризующие это отношение. Тем не
менее и раньше все математики рассуждали о нем одинаково, не
сознавая, как это у них получается.
Пытаясь объяснить это явление, приходим к понятию интуиции.
Обычно оно почему-то связывается с творческим мышлением, с
16
"непосредственным постижением истины" и т.п. Но здесь нас интересует
гораздо более прозаический аспект интуиции.
Человеческий мозг является настолько сложной системой связей и
процессов, что нет никакой надежды, что "слабый свет сознания" будет
держать под контролем все детали этого электрохимического фейерверка.
Это заставляет признать, что кроме мыслительных процессов, которые
осознаются (полностью или частично), в мозгу постоянно происходит
масса процессов бессознательного мышления. Причем, как показывает
опыт, если бессознательный процесс приводит к результатам, имеющим
большое значение для данной личности, то результат иногда
распознается сознанием. Однако сам процесс, приведший к результату,
при этом может остаться скрытым от сознания (отсюда и впечатление
"откровения", см. Ж. Адамар [1945], А. Пуанкаре [1908]).
Если существуют бессознательные процессы мышления, то
должны существовать и неосознанные "разумные принципы",
регулирующие это мышление (ведь оно приводит не только к
беспорядочным сновидениям, но и к разумному решению реальных
проблем). Такие принципы могут управлять и теми процессами
мышления, которые частично осознаются.
В случае математических теорий мы как раз имеем дело с
определенным комплексом бессознательных принципов, которые наряду
с аксиомами (или даже совсем без них) регулируют наши рассуждения.
Такие бессознательные регулирующие факторы, вырабатываемые в ходе
интенсивных умственных занятий в определенной области, и следует
называть интуицией. Можно говорить поэтому, что помимо явно
сформулированных аксиом и правил вывода теория может быть
зафиксирована и в особой интуиции. Можно говорить об интуиции
натурального ряда, которая (без каких-либо аксиом) однозначно
регулирует наши рассуждения о натуральных числах, или о "евклидовой
интуиции", которая делает геометрию вполне определенной, хотя в
аксиомах Евклида содержатся далеко не все предпосылки
геометрических рассуждений.
Но как объяснить возникновение интуиций, одинаково
управляющих рассуждениями стольких людей? По-видимому, решающим
здесь является то, что люди существа примерно одинаковые, что все
они имеют дело с примерно одинаковым внешним миром и в процессе
обучения, воспитания, практической и научной деятельности они
стремятся к согласию между собой.
Со временем, когда исследования достигают определенного
уровня сложности, постоянство (определенность) интуитивных моделей
становится недостаточным. Тогда среди специалистов начинают
17
возникать разногласия: какие способы рассуждений допустимы, а какие −
нет. Но даже если постоянства и достаточно, оно может оказаться "не
того рода". Может оказаться, например, что допустимые (по общему
мнению) способы рассуждения приводят к нелепым выводам. В истории
математики подобные ситуации бывали: крах дискретной геометрической
интуиции в результате открытия несоизмеримых отрезков (конец VI в. до
н.э.), подозрительность к отрицательным и комплексным числам (до
конца XVIII в.), спор Л. Эйлера и Ж. д'Аламбера относительно понятия
функции (XVIII в.), плохо обоснованное обращение с расходящимися
рядами (XVIII–XIX вв.), трудности восприятия теории множеств
Кантора, парадоксы в этой теории (XIX в.), скандал с аксиомой выбора
(начало ХХ в.). Все это следствие неизбежной неконтролируемости
бессознательных процессов. По-видимому, "принципы", регулирующие
эти процессы, отбираются и укрепляются посредством своеобразного
"естественного отбора на полезность". Однако мы знаем, что
естественный отбор страдает "близорукостью", что он не способен на
безошибочную далеко идущую координацию. Поэтому появление
парадоксов (как действительных, так и мнимых) неудивительно.
Определяющая интуиция теории не всегда остается постоянной
особенно много изменений происходит на начальном этапе становления
теории (когда интуиция, как и сама теория, еще не сложилась
окончательно). На этом, самом деликатном, этапе между специалистами
возникают особенно резкие разногласия (над новаторами издеваются и
т.п.).
Надежный выход из положения может состоять только в переводе
(хотя бы части) бессознательных принципов в сознательные
последующим исследованием их согласованности). В буквальном смысле
такой перевод невозможен: мы не можем знать внутреннюю
дифференциацию факторов, составляющих интуицию. Поэтому речь
может идти только о реконструкции этого "черного ящика" явными
средствами.
Существует два метода такой реконструкции: генетический и
аксиоматический. С помощью генетического метода пытаются
моделировать интуицию средствами другой теории (которая сама может
также быть интуитивной). Таким образом, "подозрительная" интуиция
моделируется на базе более надежной интуиции. Этим способом удалось
преодолеть подозрительность к комплексным числам, вводя их
геометрическую интерпретацию (каждое комплексное число
представляется точкой на плоскости, т.е. средствами евклидовой
геометрии). В результате даже такие необычные свойства этих чисел, как
бесконечное множество значений lоg(x) для отрицательного x,
превратились в простые теоремы геометрического или топологического
18
характера. И споры по поводу всевозможных кажущихся парадоксов,
связанных с комплексными числами, утратили почву. Там, где раньше
могли ориентироваться только выдающиеся математики, теперь легко
ориентируется любой школьник.
Аналогичное прояснение ситуации наступило с определением
основных понятий математического анализа (предел последовательности,
непрерывность и т.д.) в терминах "эпсилон-дельта". Однако оказалось,
что некоторые из понятий, реконструированных в терминах "эпсилон-
дельта", обладают неожиданными свойствами, которых у их
интуитивного прообраза не было. Так, раньше полагали, что всякая
непрерывная функция дифференцируема почти всюду, кроме отдельных
исключительных точек "разлома". Однако если руководствоваться
точным определением непрерывности, то оказывается, что можно
построить непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной
точке (пример нигде не дифференцируемой функции К. Вейерштрасса). У
А. Пуанкаре эти функции вызывали отвращение и он называл их язвой...
Появление у реконструированных понятий неожиданных свойств,
во-первых, свидетельствует о том, что здесь происходит именно
реконструкция не простое копирование интуитивных понятий), а во-
вторых, это заставляет серьезно рассматривать вопрос об адекватности
реконструкций.
Генетический метод "проясняет" одну интуицию средствами
другой, т.е. действует относительно. Аксиоматический метод, напротив,
действует "абсолютно" и состоит в следующем. Среди общепризнанных
утверждений об объектах теории выделяются некоторые объявляемые
аксиомами, т.е. "истинами", не требующими доказательства. После этого
остальные утверждения теории уже требуется доказывать на основе
аксиом. Доказательства могут содержать и интуитивные элементы,
которые должны иметь более элементарный (более очевидный) характер
по сравнению с тем, что выражено в аксиомах. Часто эти элементы
сводятся к интуитивному использованию чисто логических средств
рассуждения, арифметики целых чисел, математического анализа или
теории множеств. Наиболее известные случаи, когда применялся
аксиоматический метод: аксиомы Дж. Пеано для арифметики целых
чисел, аксиомы Евклида, аксиомы Д. Гильберта для той же евклидовой
геометрии, аксиомы Э. Цермело и А. Френкеля для теории множеств.
Аксиоматизация (так же как генетический метод) дает всего лишь
реконструкцию интуитивных понятий. Проблема адекватности
реконструкции здесь обычно сводится к вопросу: все ли существенные
характеристики интуитивных понятий отражены в аксиомах или какая-то
часть забыта? Более сложными являются случаи, когда аксиоматизация
19
применяется не просто для реконструкции существующей интуитивной
теории "один к одному", а для спасения последней, когда та запуталась в
парадоксах. Система аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств
была создана именно в такой ситуации: в интуитивной теории множеств
Г. Кантора были обнаружены парадоксы и аксиоматизация явилась
единственным выходом из положения. Проблема адекватности
реконструкции здесь особенно сложна: сохранено ли все положительное
содержание интуитивной теории?
В чем может состоять критерий адекватности реконструкции?
Рассмотрим в качестве примера определение понятия действительного
числа через рациональные числа. Такие определения были предложены в
1870-х гг. одновременно несколькими математиками . Дедекиндом, Г.
Кантором и др.). В результате многие подразумеваемые ранее свойства
действительных чисел превратились в теоремы. Но почему мы считаем
эти реконструкции удовлетворительными? Достаточно ли точно и полно
передают они исходное интуитивное понятие действительного числа?
Как обосновать точность и полноту реконструкции, если исходное
понятие существует только в интуиции и всякое его выделение оттуда
становится новой реконструкцией, адекватность которой опять
нуждается в обосновании? Другого пути нет: мы должны
руководствоваться только тем, как интуитивное понятие проявляет себя
в практике математических рассуждений. Если все свойства
действительных чисел, которые ранее считались очевидными и которые
хотя бы раз фиксировались на бумаге, доказаны как теоремы (на основе
нового, реконструированного понятия), если все теоремы
математического анализа, доказанные ранее с использованием
интуитивного понятия, передоказаны на основе реконструированного
понятия, то те стороны интуитивного понятия действительного числа,
которые успели проявить себя в математической практике, в
реконструкции отражены.
Но, быть может, некоторые стороны интуитивного понятия еще не
проявили себя, но могут проявить в будущем? Оспаривать такое
предположение, казалось бы, очень трудно. В самом деле, допустим, что
так оно и случится: явится через 100 лет математик X и докажет новую
теорему математического анализа, используя свойство действительных
чисел, которое ранее никто не использовал .е. оно себя в
математической практике никак не проявляло). И тогда все сразу
согласятся, что это неотъемлемое свойство действительных чисел? И что
оно подразумевалось и 100 лет назад? Последнее во всяком случае уже
нельзя будет проверить никто из ныне живущих математиков до
открытия X не доживет! Другими словами, предполагать, что в
интуитивных математических понятиях скрыты какие-то аспекты,
20
которые очень долго не проявляют себя на практике ("на бумаге"), − это
все тот же математический платонизм, считающий мир математических
объектов существующим независимо от рассуждений математиков.
В ряде случаев дополнительным аргументом в пользу совпадения
интуитивных понятий и их реконструкций оказывается построение
нескольких принципиально различных, но эквивалентных
реконструкций. Так, при уточнении понятия действительного числа в
1870-х гг. Г. Кантор определял действительные числа как сходящиеся
последовательности рациональных чисел, Р. Дедекинд − как "сечения" во
множестве рациональных чисел. Можно строго доказать эквивалентность
этих реконструкций.
Другим впечатляющим примером является уточнение (казалось
бы, весьма неопределенного) интуитивного понятия вычислимости (или
понятия алгоритма). Начиная с 1930-х гг. было предложено множество
различающихся по форме уточнений понятия алгоритма: рекурсивные
функции, машины Тьюринга, лямбда-исчисление А. Черча, канонические
системы Э. Поста, нормальные алгорифмы А. А. Маркова и др. И во всех
случаях была строго доказана эквивалентность этих уточнений.
Эквивалентность различных реконструкций одного интуитивного
понятия свидетельствует, что объем реконструированных понятий не
является случайным. Это очень важный аргумент в пользу замены
интуитивного понятия реконструкцией.
Тенденция перехода от интуитивных понятий к более или менее
явным их реконструкциям в истории математики проявляется достаточно
четко. Интуитивные теории не могут развиваться без этих
реконструкций: усложнение понятий и методов приводит к
необходимости их явной реконструкции просто для обеспечения
нормального развития теории. В большинстве случаев реконструкция
выполняется генетическим методом, а когда дело касается
фундаментальных математических понятий апример, понятия
множества) − аксиоматическим методом (фундаментальные понятия
потому и фундаментальны, что их нельзя "генетически" свести к другим
понятиям).
Теорема К. Геделя о неполноте (см. раздел 5.3) породила
множество рассуждений о том, что аксиоматический метод недостаточен
для реконструкции "живого, содержательного" математического
мышления. Аксиоматику сравнивали с прокрустовым ложем, которое не в
состоянии вместить все богатство содержательной математики. Это
рецидив платонизма. Разве могут в математике какие-либо доказательные
рассуждения происходить иначе, как по схеме "посылки заключение"?
Если так и всякое математическое рассуждение сводится к цепи
21
заключений, то можно спросить: эти заключения происходят по
определенным правилам таким, которые не меняются от одного
случая к другому и от одного математика к другому)? И если правила
являются определенными, то, будучи функцией человеческого мозга,
могут ли они быть такими, что их нельзя никак явно сформулировать?
Если какие-либо "правила" нельзя явно сформулировать, то,
следовательно, нельзя доказать их определенность! Ну, а полагать, что в
математике кроме рассуждений (по определенным правилам) имеются
"объекты", существующие независимо от этих рассуждений, означает
впасть в обыкновенный платонизм работающего математика.
Таким образом, преждевременно говорить об ограниченности
аксиоматизации границы ее применимости, по-видимому, совпадают с
границами применимости самой математики (см. раздел 6.1).
В процессе развития математических теорий аксиоматизация и
интуиция взаимодействуют. Аксиоматизация "проясняет" интуицию,
когда та "запуталась в себе". Но аксиоматизация влечет за собой и
неприятные последствия: многие рассуждения, которые в интуитивной
теории опытный специалист проводит очень быстро и представляет
компактно, в аксиоматической теории оказываются очень громоздкими.
Поэтому после замены интуитивной теории аксиоматической (особенно
если эта замена неэквивалентна по причине недостатков интуитивной
теории) специалисты развивают новую интуицию, которая
восстанавливает способность теории к творческому развитию. Пример
тому история аксиоматизации теории множеств. Когда в интуитивной
теории множеств Кантора в 1890-х гг. были обнаружены противоречия,
от них удалось избавиться путем аксиоматизации. Естественно, что
созданная аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
отличалась от интуитивной теории Кантора не только формой, но и
отдельными аспектами содержания. Для работы в новой теории
специалисты развили модифицированную интуицию (в том числе особую
интуицию множеств и классов). Ныне вполне нормальной считается
работа в теории Цермело-Френкеля на интуитивном уровне. Именно на
таком уровне доказываются серьезные новые теоремы этой теории.
Какую пользу дает аксиоматизация?
Во-первых, аксиоматизация позволяет "подправить" интуицию:
устранить неточности, двусмысленности и парадоксы, которые иногда
возникают из-за неполной контролируемости бессознательных
процессов. Самый впечатляющий пример историю аксиоматизации
теории множеств, мы только что отметили.
Во-вторых, аксиоматизация позволяет подвергнуть подробному
исследованию отношения между принципами теории (прежде всего
22
установить их зависимость или независимость), а также между этими
принципами и теоремами теории. Для доказательства конкретной
теоремы иногда требуются не все аксиомы теории, а только их часть.
Исследования такого рода могут привести к созданию более общих
теорий, которые применимы в различных конкретных теориях.
Характерными примерами являются теория групп и многочисленные ее
алгебраические ответвления.
В-третьих, нередко после аксиоматизации удается установить
недостаточность данной теории для решения отдельных проблем,
естественно возникающих в ней. Именно так произошло с континуум-
проблемой в теории множеств. В таких случаях можно ставить вопрос о
необходимости совершенствования системы аксиом теории, о развитии
альтернативных вариантов теории и т.д.
1.4. Формальные теории
Насколько далеко может зайти процесс аксиоматизации теории?
Возможно ли полное изгнание интуиции из рассуждений теории, т.е.
исчерпывающее сведение теории к системе аксиом и правил вывода?
В трудах Г. Фреге, Б. Рассела и Д. Гильберта, относящихся к концу
XIX началу ХХ вв., процесс аксиоматизации ряда серьезных
математических теорий действительно удалось довести до конца. Они
были представлены в виде исчерпывающей системы аксиом и правил
вывода, без всякой примеси интуиции. Логическая техника,
разработанная этими корифеями, позволяет полностью
аксиоматизировать любую теорию, которая основана на застывшей
системе принципов (т.е. любую математическую теорию).
Как же выглядят такие полностью аксиоматизированные теории?
Чаще всего их называют формальными теориями, подчеркивая, что в
них ни один шаг рассуждения нельзя сделать, не сославшись на
"документ" − точно сформулированный список аксиом и правил вывода.
Даже "самоочевидные" логические принципы вроде "если A влечет B и B
влечет C, то A влечет C" должны выводиться из явно сформулированных
аксиом и правил вывода.
Более точно понятие формальности можно определить в терминах
теории алгоритмов: теорию T можно считать формальной, если построен
алгоритм (механически применяемая процедура вычисления) для
проверки правильности рассуждений с точки зрения принципов теории T.
Это значит, что если некто предлалагает математический текст,
являющийся, по его мнению, доказательством некоторой теоремы в
23
теории T, то механически применяя алгоритм, мы можем проверить,
действительно ли предложенный текст соответствует стандартам
правильности, принятым в T. Таким образом, стандарт правильности
рассуждений для теории T определен настолько точно, что проверку его
соблюдения можно передать вычислительной машине (следует помнить,
что речь идет о проверке правильности готовых доказательств, а не об
их поиске!). Если проверку правильности доказательств в какой-либо
теории нельзя передать вычислительной машине и она доступна в полной
мере только человеку, значит, еще не все принципы теории
аксиоматизированы (то, что мы не умеем передать машине, остается в
нашей интуиции и "оттуда" регулирует наши рассуждения).
В качестве несерьезного примера формальной теории можно
рассматривать игру в шахматы − назовем это теорией Ш. Утверждениями
в Ш будем считать позиции (всевозможные расположения фигур на
доске вместе с указанием "ход белых" или "ход черных"). Тогда аксиомой
теории Ш естественно считать начальную позицию, а правилами
вывода правила игры, которые определяют, какие ходы допустимы в
каждой позиции. Правила позволяют получать из одних утверждений
другие. В частности, отправляясь от нашей единственной аксиомы, мы
можем получать теоремы Ш. Общая характеристика теорем Ш состоит,
очевидно, в том, что это всевозможные позиции, которые могут
получиться, если передвигать фигуры, соблюдая правила.
Упражнение 1.1. Найдите пример недоказуемого утверждения
теории Ш.
В чем выражается формальность теории Ш? Если некто
предлагает нам "математический текст" и утверждает, что это −
доказательство теоремы A в теории Ш, то ясно, что речь идет о
непроверенной записи шахматной партии, законченной (или отложенной)
в позиции A. Проверка не является, однако, проблемой: правила игры
сформулированы настолько точно, что можно составить программу для
вычислительной машины, которая будет осуществлять такие проверки.
(Еще раз напомним, что речь идет о проверке правильности записи
шахматной партии, а не о проверке того, можно ли заданную позицию
получить, играя по правилам, − эта задача намного сложнее!)
Упражнение 1.2. Оцените объем текста этой программы на одном
из языков высокого уровня.
Несколько серьезнее другой пример формальной теории (мы
заимствуем его у П. Лоренцена). Утверждениями в теории L являются
всевозможные цепочки, составленные из букв a, b например a, aa, aba,
abaab. Единственной аксиомой L является цепочка a, наконец, в L
имеется два правила вывода:
24
X
Xb
;
X
aXa
.
Такая запись означает, что в теории L из цепочки X непосредственно
выводятся Xb и aXa. Примером теоремы L является цепочка aababb:
a ├ ab ├ aaba ├ aabab ├ aababb.
Этот факт обычно записывается так: L aababb (читается: в теории L
доказуемо утверждение aababb).
Упражнение 1.3. а) Напишите все теоремы L, содержащие не
более 7 букв.
б) Опишите алгоритм, отличающий теоремы L от других ее
утверждений.
Очень важное общее свойство формальных теорий дает
следующее
Упражнение 1.4. Покажите, что множество всех теорем
формальной теории является эффективно перечислимым (по другой
терминологии − рекурсивно перечислимым).
Таким образом, теоретически для каждой формальной теории
существует вычислительная машина, которая печатает на бумаге подряд
все ее теоремы ничего кроме теорем). К сожалению, в общем случае
такая машина мало подходит для решения проблемы, которая обычно
интересует математиков: доказуемо ли в данной теории данное
утверждение? Если, сидя возле машины, мы дождались момента, когда
интересующее нас утверждение напечатано, то проблема решена
(утверждение оказалось доказуемым). Но пока этот момент не наступил,
мы не можем знать, будет ли утверждение напечатано через некоторое
время или не будет напечатано вообще.
Теорию T принято называть разрешимой (или эффективно
разрешимой), если существует алгоритм, распознающий теоремы T среди
всех ее рассуждений. В упражнении 1.3 Вы доказали, что теория L
является разрешимой.
Языки серьезных формальных теорий содержат символ отрицания
"¬". В таких теориях решение проблемы, выраженной в некотором
утверждении A, означает либо доказательство A, либо его опровержение
.е. доказательство ¬A). Если для решения проблемы попытаться
воспользоваться перечисляющей машиной из упражнения 1.4, то мы,
сидя возле машины, должны дожидаться печати утверждения A или ¬A.
Если будут напечатаны оба утверждения, это будет означать, что теория T
противоречива ней можно доказать некоторое утверждение вместе с
его отрицанием). Однако всего здесь четыре возможности: а) будет
25
напечатано A, но не ¬A, б) будет напечатано ¬A, но не A, в) будет
напечатано и A, и ¬A (тогда теория T противоречива), г) не будет
напечатано ни A, ни ¬A. В случае г) мы можем сидеть у перечисляющей
машины сколь угодно долго, однако ни напечатания A, ни ¬A не
дождемся. В этом случае теорию T принято называть неполной
полной называется теория, в которой любое утверждение, которое можно
сформулировать средствами языка теории, можно либо доказать, либо
опровергнуть).
Упражнение 1.5. Докажите, что всякая полная формальная теория
разрешима.
1.5. Логика
Логикой принято называть набор средств рассуждения,
применяемых во многих теориях. Соответственно и каждая серьезная
формальная теория должна иметь среди своих аксиом логические
аксиомы, а среди своих правил вывода − логические правила.
Внешней оболочкой каждой теории является ее язык, на котором
записываются утверждения теории (аксиомы, теоремы, гипотезы и т.д.).
Первичными неделимыми единицами языка серьезных формальных
теорий считаются:
а) переменные своем интуитивном понимании теории мы
всегда "неофициально" приписываем переменным какую-либо
одинаковую для всех область значений: "все натуральные числа", "все
множества" и т.п.),
б) константы (например, "0" в арифметике интуитивно мы
приписываем каждой константе "неофициальное" конкретное значение из
области значений переменных),
в) функциональные символы (например, "+" в арифметике
"неофициально" это функция x+y),
г) предикатные символы (язык любой серьезной теории
содержит как минимум символ "=", интуитивно понимаемый как
равенство "объектов" теории),
д) логические связки и кванторы (отрицание "¬", дизъюнкция
"˅", конъюнкция "˄", импликация "→", квантор существования " ",
квантор всеобщности " "),
е) скобки и запятые.
Из переменных, констант и функциональных символов также
26
скобок и запятых) по особым для каждого языка правилам составляются
термы. Например, в арифметике возможен терм (x+y)+1, где x, y
переменные, 1 константа, + функциональный символ. Интуитивно,
терм либо составное обозначение для "объекта" из области значений
переменных (например, (1+1)+1 обозначение числа 3), либо
обозначение функции.
Далее, из термов и предикатных символов составляются
атомарные формулы. Например, (t1=t2 ), где t1, t2 любые термы
теории. Атомарная формула P(t1, ..., tn ), где ti термы, Р предикатный
символ, представляет собой утверждение, что "объекты", обозначенные
термами t1, ... ,tn , находятся в отношении, обозначенном через Р.
Из атомарных формул, логических связок и кванторов по
обычным правилам составляются формулы теории, например
( x)((x=0)˅¬(x=0)).
Это пример замкнутой формулы, все переменные которой связаны
кванторами. Замкнутая формула "определенное утверждение об
объектах теории", тогда как "истинность" формулы, имеющей свободные
переменные, может зависеть от того, какие конкретные значения эти
переменные принимают. Например, формула (x=0)˅(x=1) оказывается
"истинной" при x=1 и "ложной" при x=2.
Покажем теперь, как можно сформулировать список логических
аксиом и правил вывода, достаточный для воспроизведения
общепринятых логических средств рассуждения. Большинство аксиом
будут представлены схемами аксиом (каждая схема включает в себя
бесконечное, но легко распознаваемое семейство аксиом).
Эквивалентность не считается самостоятельной логической связкой,
A↔B определяется как (A→B)˄(B→A).
Сначала список аксиом:
L1) A→(B→A),
L2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)),
L3) A→(B→A˄B),
L4) A˄B→A,
L5) A˄B→B,
L6) A→A˅B,
L7) B→A˅B,
L8) (A→C)→((B→C)→(A˅B→C)),
27
L9) (A→B)→((A→¬B)→¬A),
L10) ¬A→(A→B) (из противоречия следует все),
L11) A˅¬A (закон исключенного третьего),
L12) ( x)D(x)→D(t),
L13) D(t)→( x)D(x).
Здесь A, B, C произвольные формулы, D формула и t терм такие,
что кванторы D не связывают переменных, входящих в t.
Это были схемы аксиом исчисления предикатов. Далее следуют
аксиомы, описывающие свойства равенства:
L14) x=x,
L15) x=y → y=x,
L16) x=y → ((y=z)→(x=z)),
L17) x=t → (D(x, x)→D(x, t)).
Здесь D − формула, содержащая x и переменные терма t только свободно.
Обозначение D(x, x) предполагает, что все вхождения переменной x в
формулу D разбиты на две группы. Если все вхождения второй группы
заменить на t, получится формула D(x, t).
Кроме аксиом нужны еще три правила вывода:
A,AB
B
,
CD(x)
C(∀ x)D(x)
,
D(t)→ C
(∃ x)D(x) C
.
Первое правило принято называть MODUS PONENS, в нем A, B
произвольные формулы теории. В остальных двух правилах формула C
не должна содержать x и переменные терма t.
Приведенный здесь список аксиом и правил вывода достаточен
для построения обычных логических средств рассуждения,
используемых в математических теориях. Определение всякой серьезной
формальной теории должно включать либо этот список, либо один из
многих возможных его эквивалентов. Особенности же каждой отдельной
теории проявляются: а) в количестве констант, функциональных и
предикатных символов, б) в правилах образования термов и атомарных
формул, в) в собственных аксиомах теории. Собственных правил
вывода формальные теории обычно не имеют.
Полный набор перечисленных выше аксиом задает так
называемую классическую логику. Она используется в подавляющем
большинстве математических теорий. Исключив схему аксиом L11: A˅¬A
(закон исключенного третьего), получаем так называемую
28
конструктивную (или интуиционистскую) логику. В теориях,
использующих конструктивную логику, невозможны доказательства
существования объектов методом "от противного". Такие
неконструктивные доказательства существования основаны на схеме
¬¬A→A, которая равносильна L11 целью доказать утверждение A мы
принимаем ¬A в качестве гипотезы, выводим противоречие, т.е.
доказываем ¬¬A, и делаем вывод об истинности A). Подробнее о
конструктивной математике см. А. Г. Драгалин [1979], Б. А. Кушнер
[1973].
Интересную роль играет схема L10: ¬A→(A→B). Согласно ей
если в теории обнаружено противоречие (выведены одновременно
некоторая формула A и ее отрицание ¬A), то тем самым становится
выводимой любая формула B. Таким образом, для доказательства
непротиворечивости какой-либо теории достаточно установить
невыводимость в этой теории хотя бы одной формулы (например, 0=1)).
Следствием логических аксиом является также формула ( x)x=x
(проверьте). Таким образом, принятие одних только логических аксиом
уже гарантирует "существование" по крайней мере одного "объекта"
теории.
Важным логическим принципом является теорема дедукции:
если в теории T, приняв в качестве гипотезы формулу A, можно доказать
формулу B (сокращенная запись T, A ├ B), причем в этом доказательстве
к свободным переменным из A не применяются второе и третье правила
вывода, то T A→B, т.е. уже без всяких гипотез в теории Т доказуема
импликация A→B.
Упражнение 1.6. Покажите, используя теорему дедукции, что
аксиомы L15, L16 следуют из остальных аксиом.
1.6. Программа Гильберта
К началу XX в. честь математики была поставлена под серьезное
сомнение: в теории множеств были обнаружены парадоксы самые
настоящие противоречия. К этому времени теория множеств уже успела
показать себя как естественная основа и плодотворнейшее орудие
математики. Для спасения "основы и орудия" немецкий математик Давид
Гильберт предложил в 1904 г. свою программу перестройки оснований
математики, которая состояла из двух частей:
а) Представить существующую математику (включая очищенный
от парадоксов вариант теории множеств) в виде формальной теории.
29
б) Доказать непротиворечивость полученной теории .е.
доказать, что в этой теории никакое утверждение не может быть доказано
вместе со своим отрицанием).
Решить задачу п. а) означало довести до конца процесс
аксиоматизации математики, который в XIX в. и так уже продвинулся
решительным образом (уточнение понятий функции, непрерывности,
действительного числа, аксиоматизация арифметики натуральных чисел,
геометрии и т.д.). Задача же п. б) была радикальным нововведением
попытаться доказать непротиворечивость полученной в п. а)
всеобъемлющей теории. Д. Гильберт первым понял, что решение до
конца задачи а) делает возможной постановку задачи б).
Дело в том, что, не решив до конца а), т.е. оставаясь отчасти в
области интуитивной математики, нельзя говорить об абсолютном
доказательстве непротиворечивости математики. В интуитивной теории
можно надеяться обнаружить противоречие, т.е. можно надеяться
доказать, соблюдая общепринятые (интуитивные) правила рассуждения,
некоторое утверждение вместе с его отрицанием. Но никак нельзя даже
пытаться доказывать непротиворечивость интуитивной теории,
поскольку утверждение о непротиворечивости относится к множеству
всех теорем, доказуемых в теории, т.е. к совокупности, четкого
определения которой мы как раз не имеем.
Однако, если вместо интуитивной теории взять формальную,
положение изменяется. Множество теорем формальной теории является
уже точно определенным объектом. Несмотря на это оно все же
бесконечно. Каким же образом Д. Гильберт рассчитывал получить
доказательство утверждения о непротиворечивости, относящегося ко
всему этому бесконечному множеству?
Вернемся к нашим примерам формальных теорий. В теории Ш
множество всех теорем оказывается, правда, конечным (хотя конечность
эта с практической точки зрения ближе к бесконечности). Легко доказать
следующее утверждение, относящееся ко всем теоремам Ш: ни в одной
теореме белые не имеют 10 ферзей. В самом деле, достаточно заметить,
что в аксиоме Ш белые имеют 1 ферзь и 8 пешек и что по правилам игры
белым ферзем может стать только белая пешка. Остальное решает
арифметика: 1+8<10. Таким образом, мы подметили в системе аксиом и
правил вывода теории Ш особенности, которые делают справедливым
наше общее утверждение о теоремах Ш.
Аналогичные возможности имеем в случае теории L. Можно
доказать, например, следующее утверждение, относящееся ко всем
теоремам L: если X − теорема, то aaX − тоже теорема. В самом деле, если
X=a (X аксиома), то L aaa по второму правилу вывода. Это базис
30
индукции. Шаг индукции: если для теоремы X выводимость aaX уже
установлена, то для теорем aXa и Xb имеем aaX aaaXa, aaX aaXb.
Таким образом, индукцией по структуре вывода справедливость нашего
утверждения установлена.
Итак, если множество всех теорем теории точно определено,
можно доказывать утверждения, относящиеся ко всем теоремам
одновременно. Д. Гильберт полагал, что утверждение о
непротиворечивости теории не будет исключением. Грубо говоря, он
надеялся подметить особенности системы аксиом всей математики,
которые делают вывод противоречия невозможным.
Заметим, однако, что утверждение, относящееся к бесконечному
множеству объектов, не может быть доказано простой эмпирической
проверкой (перебором объектов). Всякое его доказательство неизбежно
должно быть теоретическим. Например, при доказательстве
утверждения L X L aaX мы воспользовались математической
индукцией. Так в какой же теории следует доказывать
непротиворечивость формальной теории, охватывающей всю
существующую математику? Ясно, что средства рассуждения,
используемые для обоснования непротиворечивости некоторой теории Т,
должны быть более надежными по сравнению со средствами,
допускаемыми в самой теории Т. В самом деле, можно ли доверять
доказательству непротиворечивости, если в нем используются
сомнительные средства, сами нуждающиеся в обосновании? Но если
теория Т охватывает всю математику, то никаких средств рассуждения,
выходящих за рамки Т, математик знать не может. Поэтому необходимые
для доказательства непротиворечивости средства рассуждения мы
вынуждены черпать из самой (универсальной) теории Т из той ее
части, которая представляется нам наиболее надежной.
В математике четко выделяется два уровня "надежности"
рассуждений:
1) арифметические ("дискретные") рассуждения используют
только понятие целого числа и аналогичные дискретные объекты,
2) теоретико-множественные рассуждения используют
канторовское понятие о произвольном множестве.
Первый уровень считается надежным (его мало кто подвергает
сомнению), второй опасным (его только недавно "очистили" от явных
противоречий). Д. Гильберт рассчитывал, разумеется, на доказательство
непротиворечивости всей математики средствами первого уровня.
Сразу, как только Д. Гильберт объявил о своем проекте (1904 г.),
французский математик А. Пуанкаре высказал сомнения в его
31
реальности. По мнению А. Пуанкаре, Д. Гильберт, доказывая
непротиворечивость математики с помощью математической индукции
(самое важное средство первого уровня), допускает в своих
рассуждениях порочный круг. Непротиворечивость математики означает
и непротиворечивость математической индукции,... доказанную с ее же
помощью! Мало кто тогда (включая самого Д. Гильберта) мог осознать
серьезность этого намека... Но через 25 лет К. Гедель доказал, что А.
Пуанкаре был прав: абсолютное доказательство непротиворечивости
математики невозможно (см. раздел 5.4).
32
2. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
2.1. Возникновение интуитивной теории множеств
Возникновение интуиции произвольного бесконечного множества
– закономерный результат развития математики XIX в. Приемы
образования новых математических понятий, характерные для первой
половины XIX в., в теории множеств оказались доведенными до
логического конца. Последний шаг был сделан немецким математиком
Георгом Кантором под влиянием конкретной проблемы из "старой"
математики. К интуитивному понятию о произвольном бесконечном
множестве Г. Кантора привела, как ни странно, проблема сходимости
рядов Фурье. В 1872 г. он доказал теорему о единственности разложения
функции в ряд Фурье для рядов, которые сходятся в интервале (a, b)
всюду, исключая, возможно, конечное число точек, и задался вопросом:
насколько можно эту теорему обобщить?
В то время математики почти не думали и не говорили об отрезке
прямой как о множестве точек. Они представляли себе отрезок как
континуум непрерывную, сплошную среду, в которой можно отмечать
отдельные точки, но не задумывались над тем, "состоит" ли среда
целиком из точек, исчерпывается ли ими. Сегодня трудно вообразить
такое, но в середине XIX в. эта точка зрения господствовала.
Представление об отрезках прямых как совокупностях точек
появилось в самом начале развития "чистой" математики – в VI в. до н.э.
Естественно, тогда речь могла идти только о точках положительных
размеров и о конечном их числе в каждом отрезке. Если считать при этом,
что все точки одинаковые, то легко сделать вывод, что отношение
любых двух отрезков должно выражаться рациональным числом. Такая
интуиция успела уже достаточно сильно укорениться, когда было
обнаружено существование несоизмеримых отрезков (прежде всего
несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны). С этим открытием
связан первый кризис основ математики: дискретная геометрическая
интуиция потерпела крах. Выход из кризиса был найден в V в. до н.э. – от
представления об отрезке прямой как о совокупности точек пришлось
отказаться. Вместо него отрезок представлялся как сплошная среда, в
которой можно отмечать отдельные точки, можно определить отношение
двух отрезков и т.д. Эта новая интуиция сохранялась практически без
33
изменений до 70-х гг. XIX в., и ее не смогло поколебать даже изобретение
бесконечно малых величин.
Итак, Г. Кантор не мог сразу задаться вопросом: останется ли в
силе теорема о единственности разложения, если множество
исключительных точек будет бесконечным? У него не могло быть тогда
еще общего понятия о бесконечном множестве точек. Поэтому он начал с
простейшего вида бесконечных множеств с множеств, имеющих одну
предельную точку, например
{
1
n
| n ≥ 1 }.
Предельной точкой этого множества является нуль. И Г.Кантору удалось
доказать теорему единственности для случая, когда множество
исключительных точек имеет одну предельную точку. Дальнейшее
обобщение на случай множества с конечным числом предельных точек
уже тривиально.
Следующий шаг к простейшему множеству, имеющему
бесконечно много предельных точек. Такое множество имеет
единственную предельную точку второго порядка, вокруг которой
сгущаются "обычные" предельные точки, например
{
1
m+1
n
| m, n ≥ 1}.
И для таких множеств Г.Кантору удалось доказать свою теорему
единственности. Дальше можно идти к предельным точкам третьего,
четвертого и других порядков, вовлекая в работу все более сложные
бесконечные множества точек.
Так постепенно, в процессе работы со все более сложными
множествами точек, у Г. Кантора начало формироваться интуитивное
понятие о произвольном бесконечном множестве. Уже попытка
систематизации множеств с предельными точками определенных
порядков провоцирует введение этого понятия. Вводится понятие так
называемого производного множества: если P множество точек, то P'
множество предельных точек P. По индукции можно определять дальше
P'', P''', P'''',...
Упражнение 2.1. Покажите, что при фиксированном k для
множества
Qk ={
1
n1
+...+1
nk
| n1 ,..., nk ≥ 1 }
k-е производное множество Qk(K) состоит из единственной точки 0.
34
Свою теорему о единственности разложения в ряд Фурье Г.
Кантору удалось обобщить на любые множества исключительных точек
конечного порядка, т.е. на любые множества P, для которых одна из
производных P(k) конечна.
Но и отсюда можно двинуться дальше. Можно перейти к
предельным точкам "бесконечного порядка" так естественно называть
точку, которая является предельной точкой k-го порядка для любого
натурального числа k. Это значит, что производное множество
бесконечного порядка P(ω) определяется как пересечение P'∩P''∩P'''∩...
Разумеется, Г. Кантор доказал теорему о единственности и для случая,
когда для множества исключительных точек P производное множество
P(ω) является конечным. Но и отсюда можно двинуться дальше к
производным множествам
P(ω+1) = (P(ω) )', P(ω+2) , P(ω+3) ,...,
P(ω∙2) , P(ω∙2+1) ,..., P(ω∙3) , P(ω∙3=1) ,...,
P(ω∙ω) , P(ω∙ω+1) , ...
Таким образом, те же ряды Фурье привели Г. Кантора не только к
интуиции произвольного бесконечного множества, но и к расширению
понятия натурального числа к так называемым бесконечным
порядковым числам (или ординалам, см. дальше).
Упражнение 2.2. Попробуйте построить множество P такое, что
P(ω) ={0}, или P(ω∙2) ={0}, или P(ω∙ω) ={0}. Указание: возьмите
объединение всех множеств Rk =Qk ∩[ 0,
1
k
].
К осени 1873 г. наступил решающий перелом: 29 сентября Г.
Кантор пишет в письме Р.Дедекинду, что можно установить взаимно
однозначное соответствие между рациональными и натуральными
числами. Это была известная теперь всем конструкция:
123456789...
1
1
1
2
2
1
1
3
3
1
1
4
2
3
3
2
4
1...
2 3 3 4 4 4 5 5 5 ...
.
Сначала идут несократимые дроби с суммой числителя и знаменателя,
равной 2, затем с суммой, равной 3, и т.д. И еще: в этом же письме Г.
Кантор спрашивает: а не удастся ли и все действительные числа
перенумеровать с помощью натуральных чисел?
Это была целая революция в представлениях о математическом
35
континууме! Г. Кантор уже считает числовую прямую множеством точек
– не просто средой, в которой можно отмечать отдельные точки, а средой,
которая состоит из точек, исчерпывается ими! Это закономерный
результат занятий Г. Кантора все более сложными множествами точек – в
его глазах континуум "расчленился" на отдельные точки. Сейчас
представление о континууме как о множестве точек опять (через 2000
лет!) прочно вошло в математику, поэтому трудно вообразить, что когда-
то здесь могли быть какие-то проблемы.
В ответном письме Р. Дедекинд показал, как можно
перенумеровать натуральными числами все алгебраические числа. Но
перенумеровать все действительные числа ему не удалось...
Разумеется, это не случайно, поскольку в своем следующем
письме Р. Дедекинду (7 декабря 1873 г.) Г. Кантор показывает, что
взаимно однозначное соответствие между натуральными и
действительными числами невозможно. В своем доказательстве Г.
Кантор применил конструкцию, названную впоследствии диагональным
методом. Он исходил из произвольной последовательности
действительных чисел a1 , a2 ,..., an ,... и произвольного интервала (b, c),
делил интервал на три части, брал ту из частей, которая не содержит a1 ,
затем делил на три эту часть и брал ту треть, которая не содержит a2 , и
т.д. В результате получалась последовательность стягивающихся
интервалов (bi, ci):
b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ... ≤ c3 ≤ c2 ≤ c1.
Общая точка (предел) этих интервалов и представляет собой
действительное число, не входящее в последовательность a1 , a2 ,..., an ,...
Таким образом, никакая последовательность, пронумерованная
натуральными числами, не может исчерпать все действительные числа.
Это была еще одна революция в представлениях о
математической бесконечности. Оказывается, наряду с бесконечным
множеством натуральных чисел существует "еще более бесконечное"
множество действительных чисел, т.е. существуют бесконечности по
крайней мере двух типов. Теорема Кантора дает также поразительно
простое доказательство существования трансцендентных чисел
одновременно доказательство того, что трансцендентных чисел "гораздо
больше", чем алгебраических, которые можно перенумеровать с
помощью натуральных чисел). Правда, конкретные трансцендентные
числа построил еще в 1844 г. Ж. Лиувилль, а в 1873 г. Ш. Эрмит доказал,
что трансцендентным является число e.
Обнаружив существование двух типов бесконечности, Г. Кантор
36
пошел дальше: в письме Р. Дедекинду от 5 января 1874 г. он пишет о
своих попытках сравнить континуумы различной размерности.
Например, где больше точек: внутри квадрата или в отрезке прямой?
Казалось бы, чем больше размерность, тем больше должно быть точек. Г.
Кантор также поверил в это и более 3 лет пытался доказать. Только потом
он наконец решил попытаться доказать противное (невероятное!) что в
квадрате столько же точек, сколько в отрезке. И это ему сразу же удалось,
о чем он сообщил в письме Р. Дедекинду от 20 июня 1877 г. Конструкцию
Г. Кантора легко объяснить любому школьнику. Отображение квадрата
[0, 1)×[0, 1) в отрезок [0,1] задается с помощью десятичных разложений
координат:
(x, y) № z,
x=0,abcd...,
y=0,ABCD...,
z=0,aAbBcCdD...
Г. Кантору показалось, что его доказательство "уничтожило"
понятие размерности. В ответном письме Р. Дедекинд указал, что
отображение Г. Кантора, будучи взаимно однозначным, не является
непрерывным (при непрерывном отображении размерность вроде бы
должна сохраняться?). Однако позднее Дж. Пеано в 1890 г. и Д.
Гильберт в 1891 г. сумели построить непрерывное отображение отрезка
на квадрат (но это отображение взаимно однозначным уже не оказалось).
И только в 1911 г. голландский математик Л. Брауэр (позднее –
основоположник интуиционизма) доказал, что размерность сохраняется
при отображениях, которые одновременно являются и непрерывными, и
взаимно однозначными.
Тогда же, в 1877 г. Г. Кантор пришел к континуум-проблеме:
поработав с самыми различными множествами точек (на прямой, на
плоскости, в пространстве), он обнаружил только два типа бесконечных
множеств:
счетные множества (их элементы можно перенумеровать с
помощью натуральных чисел),
множества, эквивалентные всему континууму (например,
отрезку прямой).
Никаких множеств "промежуточной мощности" (содержащих элементов
больше, чем натуральных чисел, но меньше, чем континуум) обнаружено
не было (подробнее см раздел 2.4). Поэтому Г. Кантор предположил, что
таких множеств вообще не существует. Это предположение принято
называть континуум-гипотезой: всякое бесконечное множество точек на
37
прямой либо является счетным, либо эквивалентно всему континууму.
Много лет потратил Г. Кантор, пытаясь доказать эту гипотезу.
Континуум-проблема – одна из самых красивых проблем во всей
математике ее суть легко объяснить любому школьнику. Решить ее не
удалось ни Г. Кантору, ни многочисленным его последователям.
В 1895 г. Г. Кантора, изнуренного безуспешными попытками
доказать континуум-гипотезу, настигает еще один удар он
обнаруживает в своей теории множеств... противоречие! Об этом он
сообщает в письме Д. Гильберту. В 1897 г. еще одно противоречие
обнаруживает (и немедленно публикует) итальянский математик Ч.
Бурали-Форти...
Более основательное изучение ранней истории теории множеств
по книгам Ф. А. Медведева [1965, 1982] только усилит впечатление, что
эта теория является закономерным результатом развития математики XIX
в.: в канторовском понятии о произвольном бесконечном множестве
доведены до логического конца принципы математического мышления,
характерные для всего предыдущего периода. И что обнаруженные
противоречия столь же закономерны.
2.2. Формализация противоречивой теории множеств
Сейчас мы будем заниматься формализацией теории множеств в
том виде, в каком она была создана Г. Кантором. В основу этой теории
положено интуитивное представление о "мире множеств", в котором все
множества конечные, и бесконечные) существуют одновременно и в
"готовом виде". В своих аксиомах теории множеств мы хотим отразить
законы, характеризующие этот застывший "мир множеств".
Уже в самом начале возникает, однако, такой вопрос: возможен ли
мир, состоящий только из множеств? Множество может состоять из
элементов-множеств. Но что лежит тогда в основании этой "башни"? Т.е.
если x2 – элемент множества x1 , а x3 элемент x2 , x4 – элемент x3 и т.д.,
то неужели в этой цепи никогда не появится что-то более "осязаемое" по
сравнению с множествами, состоящими из множеств? Как показал в 1925
г. Дж. фон Нейман, теория множеств вполне может обойтись без
введения "осязаемых" объектов. В самом деле, если бы "в мире множеств
ничего не было", то этот мир представлял бы собой пустое множество, а
это уже кое-что. Обозначим это "кое-что" через 0. Тогда мы можем
образовать еще одно множество, состоящее из одного элемента 0, т.е.
множество {0}. Следующим шагом может быть образование множества
38
из двух элементов: {0,{0}}, и т. д.:
x0 =0, x1 ={0}, x2 ={0,{0}},..., xn+1 = xn { xn },...
Таким образом, даже предположив, что "ничего нет", мы получаем
бесконечно много множеств, т.е. если в основу "башни множеств"
положить пустое множество, это нас по существу ничем не ограничивает
(ср. К. Дэвлин [1977]).
Теперь мы можем определить язык теории множеств.
Переменными будут служить, как обычно, x, y, z, ... с индексами или
без них. Значениями переменных (интуитивно) будем считать
произвольные множества (поскольку в "мире множеств" существуют
только множества).
Константы (например, 0 для обозначения пустого множества) мы
вводить не станем. Позднее увидим, что без них можно обойтись.
Совершенно необходимо, однако, ввести особый предикатный символ
" " ("принадлежит") в дополнение к общему для всех теорий символу
"=". В результате появятся атомарные формулы двух видов: x y ("x
принадлежит y" или "x является элементом множества y") и x=y ("x, y
одно и то же множество"). Атомарные формулы будем соединять с
помощью логических связок и кванторов, создавая формулы теории
множеств. Например, формула ( y)¬(y x) утверждает, что x есть пустое∀ ∈
множество, а формула
( y)( z)(z ∃ ∀ x ↔ z=y)
– что x содержит единственный элемент.
Как и всякая серьезная формальная теория, теория множеств
принимает логические аксиомы и правила вывода (классическую логику).
Переходя к собственным аксиомам теории множеств, мы должны прежде
всего определить специфическое для этой теории понятие равенства: "два
множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов".
Несмотря на кажущуюся тривиальность это определение требует
специальной аксиомы. Из логических аксиом оно не выводится. Из
логических аксиом можно вывести (проверьте), что
x=y → ( z)(z x ↔ z y).∀ ∈
Это естественно: если x равно y, то все, что можно сказать об x, можно
сказать и об y. Однако если множества x,y определены по-разному и
лишь ценой некоторых усилий мы сумели установить, что ( z)(z x ↔ z∀ ∈
y), то отсюда вытекает x=y лишь при специфическом для теории
множеств понятии равенства. Логика безразлична к символу " ", она не
приписывает ему никаких индивидуальных свойств. Именно поэтому мы
и должны ввести специальную аксиому:
39
( x y)(( z)(z x ↔ z y)→ x=y). ∀ ∀ (Z1)
Это так называемая аксиома экстенсиональности. Она и определяет
специфическое понимание равенства в теории множеств (термин
"экстенсиональность" означает независимость от конкретного вида
определения).
Уже само принятие логических аксиом и правил вывода (то, что
мы относим их к "миру множеств") гарантирует существование по
крайней мере одного множества: следствием логических аксиом является
формула ( x)x=x. Здесь просто утверждается существование некоторого
множества x, без каких-либо индивидуальных свойств. Чтобы получить
множества, обладающие конкретными свойствами, нужны специальные
аксиомы.
Г. Кантор писал в свое время: "Множество – это многое, мыслимое
нами как единое". Но каким образом многое можно мыслить как единое?
Тольк