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Métodos Monte Carlo e do Enxame de Partículas
Aplicados à Otimização de Sensores Baseados em
Ressonância de Plasmons de Superfície
Leonardo Machado Cavalcanti e Eduardo Fontana
Departamento de Eletrônica e Sistemas
Universidade Federal de Pernambuco, Recife – PE 50740-550, Brasil
leonardomachado3112@gmail.com, fontana@ufpe.br
Resumo— Um dos principais desafios no projeto de sensores
baseados em Ressonância de Plasmons de Superfície — RPS — é
maximizar sua sensibilidade. Neste artigo é proposto o uso de
dois algoritmos heurísticos, Monte Carlo e Enxame de Partículas,
para otimização de sensores baseados em RPS nas configurações
de Kretschmann e de Otto sem o auxílio da aproximação
lorentziana para a curva de ressonância. Devido à natureza
probabilística dos algoritmos, conseguiu-se obter um método
simples e robusto para atingir essa otimização. É feita uma
comparação quanto à eficiência computacional dos algoritmos
em relação ao método tradicional de otimização, ficando
demonstrado que o método de Enxame de Partículas é o mais
eficiente em relação às outras técnicas. Com o emprego desse
método, a dependência espectral dos parâmetros ótimos é obtida
para sensores utilizando filmes de ouro nas configurações de
Kretschmann e de Otto, tanto para aplicações em meios gasosos
quanto em meios aquosos.
Palavras-chave— RPS; otimização da sensibilidade; Enxame de
Partículas; Monte Carlo
I. INTRODUÇÃO
Plasmons de superfície — PS — são oscilações
eletromagnéticas confinadas à interface entre um dielétrico e
um condutor [1,2] com campo elétrico associado ortogonal à
interface. Embora não seja possível excitar PS por iluminação
direta de uma superfície metálica planar, eles podem ser
excitados por um prisma de acoplamento ou modificando a
superfície metálica na forma de uma grade de difração.
Particularmente para o acoplamento por prisma, que é mais
simples do que o acoplamento por grades de difração [3],
existem duas configurações bem conhecidas — Kretschmann e
Otto — que estão mostradas na Fig. 1. Na configuração de
Kretschmann, um filme fino metálico é depositado sobre a
parte superior do prisma. Já na configuração de Otto, o prisma
é separado do filme metálico por uma fina lacuna de ar ou de
material dielétrico. A configuração mais comum é a de
Kretschmann, porém a configuração de Otto é uma melhor
opção quando se deseja evitar o contato direto com a superfície
do filme metálico (por exemplo, no estudo da qualidade de
filmes finos). Vale observar também que novas opções de uso
dessa configuração no desenvolvimento de sensores foram
propostas recentemente na literatura [4]. A excitação de PS por
acoplamento de prisma baseia-se na reflexão total atenuada de
uma onda TM, i.e., com campo elétrico polarizado no plano de
incidência, conforme ilustrado na Fig.1, tunelando o feixe
incidente para a interface metal-ar, onde a oscilação é
confinada.
O fenômeno de ressonância de plasmons de superfície —
RPS — observado na medição da potência óptica refletida nas
estruturas da Fig.1, corresponde a um mínimo na dependência
angular ou espectral da curva de reflectância. No primeiro caso,
o comprimento de onda é fixado e no segundo o ângulo de
incidência é mantido constante. A Fig.2 ilustra
qualitativamente a curva de ressonância, para o caso de uma
varredura angular do ângulo de incidência. Como resultado da
forte concentração do campo eletromagnético no meio
adjacente ao metal, a localização do mínimo da ressonância é
bastante sensível a variações das propriedades ópticas desse
meio, fazendo com que o dispositivo tenha alta sensibilidade.
Portanto, uma pequena variação das propriedades ópticas do
meio adjacente ao metal corresponde a um deslocamento da
Este trabalho foi financiado pelas agências de fomento FACEPE – Fundação de
Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco e CNPq – Conselho
Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
Fig1. Sensores RPS de acoplamento por prisma nas configurações de (a)
Kretschmann e (b) Otto.
Fig. 2. Curvas de RPS para dois valores de índice de refração. Um incremento
Δn desloca a RPS para a região de ângulos crescentes, resultando em um
incremento ΔR na reflectância, para um dado ângulo de incidência.
curva de reflectância que pode ser detectado e monitorado,
conforme ilustrado na Fig.2. Sensores baseados em RPS,
doravante denominados de sensores RPS, são usados, por
exemplo, na detecção de reações biológicas, sem a utilização
de marcadores fluorescentes ou radioisotópicos [5,6].
Além de sensores RPS que medem o deslocamento do
mínimo da ressonância, tanto no domínio angular quanto no
domínio espectral, pode-se também empregar sensores RPS
que simplesmente medem variações de intensidade, para
ângulo de incidência e comprimento de onda constantes, como
ilustrado na Fig. 2. Nesse esquema, para um dado comprimento
de onda, mede-se a mudança da reflectância em um ângulo
fixo, no ponto de máxima declividade da curva de ressonância.
O projeto de sensores RPS geralmente tem como objetivo
determinar parâmetros do dispositivo que otimizem seu
desempenho, o que corresponde em última análise a maximizar
o fator de qualidade da curva de ressonância. Modificando os
parâmetros do sensor, tais como espessura do filme/lacuna,
ângulo de incidência e comprimento de onda, pode-se
encontrar os parâmetros ótimos que maximizam a
sensibilidade. Essa busca por valores ótimos não é um processo
de simples abordagem, visto que envolve a otimização de uma
função objetivo complexa não-linear.
A. Otimização do Efeito de RPS
A otimização da sensibilidade de sensores RPS foi primeiro
abordada em [7] utilizando a configuração de Kretschmann
com um ângulo de incidência ligeiramente menor que o ângulo
de ressonância. A curva de reflectância foi aproximada por
uma função lorentziana ao redor da ressonância e a espessura
foi escolhida de tal modo que a reflectância fosse zero na
ressonância. Essa situação corresponde à condição de
acoplamento crítico, isto é, quando a constante de
amortecimento intrínseco do PS se iguala à constante de
amortecimento de radiação devido a espessura finita do filme
metálico; ambas constantes de amortecimento conjuntamente
determinam a largura da curva de reflectância. Em outros
estudos, foi constatado que essa suposição estava incorreta. Na
verdade, a sensibilidade máxima não corresponde a uma
reflectância nula na ressonância, isto é, à igualdade entre as
duas constantes de amortecimento, mas sim à condição que a
constante de amortecimento de radiação é metade daquela
devida ao amortecimento intrínseco, o que corresponde a um
coeficiente de acoplamento igual a 2 [8-10].
A referência [10] apresenta uma análise sistemática da
otimização da sensibilidade de um sensor RPS na configuração
de Kretschman para filmes de Au, Ag, Al e Cu, por meio de
uma aproximação lorentziana da curva de reflectância.
Conforme descrito em [10], a operação ótima de um sensor
RPS operando a comprimento de onda e ângulo fixos seria
obtida com o ângulo de incidência fixado no ponto de
declividade absoluta máxima da curva de RPS, para uma
espessura do filme metálico tal que o coeficiente de
acoplamento é igual a 2. A otimização foi realizada por um
algoritmo de busca direta cuja convergência dependia
fortemente da estimativa inicial que nesse caso foi escolhida
como a espessura do acoplamento crítico. Resultados
numéricos foram apresentados para a dependência espectral da
espessura ótima assim como de outros parâmetros do sensor.
Destes resultados, conclui-se que praticamente em toda região
que vai do visível ao infravermelho próximo, o ouro é o metal
mais adequado para o desenvolvimento de dispositivos de alta
sensibilidade.
Um método teórico geral para maximizar a sensibilidade na
configuração de Kretschmann usando uma aproximação
lorentziana foi relatado em [11]. Uma equação descrevendo a
dependência da sensibilidade com a espessura do metal, em
conjunção com a condição de que o acoplamento crítico seja
igual a 2, foi utilizada para determinar a espessura ótima do
filme metálico. Esse resultado também foi verificado por meio
de uma detecção em tempo real de soluções de glicose em
diferentes concentrações.
Ambos os métodos de otimização descritos
sistematicamente em [10] e [11] utilizaram uma aproximação
lorentziana da curva de reflectância apenas para a configuração
de Kretschmann. Na prática, a curva de reflectância derivada
das equações de Fresnel não possui a mesma simetria de uma
função lorentziana. Ela tende a crescer mais devagar que a
função lorentziana, na região angular acima do ângulo de
ressonância. Além disso, a literatura carece de discussões sobre
análises sistemáticas da otimização da sensibilidade de
sensores na configuração de Otto.
Neste trabalho, são descritos alguns algoritmos de
otimização que podem ser aplicados para ambas configurações
de sensores RPS, Kretschmann e Otto, sem utilizar uma
aproximação lorentziana. Isso é obtido através dos algoritmos
heurísticos de otimização, que são caracterizados pela
realização de inúmeras avaliações da função objetivo sobre
toda região de busca a fim de aumentar a probabilidade de
encontrar o ótimo global da função objetivo. Esses algoritmos
não necessitam de uma estimativa inicial precisa, adequam-se a
qualquer função objetivo não-linear e complexa e, portanto,
representam uma excelente ferramenta para a proposta deste
trabalho. Entre os algoritmos heurísticos, escolheu-se dois
algoritmos simples e robustos: o algoritmo de Monte Carlo e o
algoritmo do Enxame de Partículas (do inglês Particle Swarm
Optimization – PSO) [12,13]. O algoritmo PSO, em particular,
já foi aplicado na otimização de sensores RPS na configuração
de Kretschmann em [14], entretanto o processo de otimização
baseou-se na condição de acoplamento crítico que não
corresponde à situação de máxima sensibilidade. Nas seções
seguintes descreve-se sucintamente os dois algoritmos
heurísticos escolhidos aplicando-os ao problema da otimização
de sensores RPS nas configurações de Kretschmann e de Otto,
utilizando filmes de ouro, como sugerido em [10], a fim de
encontrar os valores ótimos do ângulo de incidência e da
espessura do filme/lacuna (nossas variáveis de decisão).
II. ALGORITMOS DE MONTE CARLO E DO ENXAME DE
PARTÍCULAS
A. Algoritmo de Monte Carlo
O algoritmo de Monte Carlo [12] é um algoritmo de busca
intrinsicamente aleatório que pode ser usado para determinar o
ponto ótimo global de qualquer função objetivo. Ele sorteia
uma grande quantidade de números aleatórios (estimadores das
variáveis de decisão) dentro da região de busca, avalia a função
objetivo em cada ponto e elege o melhor ponto escolhido como
melhor candidato a ótimo global. Esse procedimento pode ser
repetido diversas vezes até que se satisfaça uma condição de
convergência — por exemplo, o número máximo de iterações
estabelecido pelo usuário. Vale sublinhar que não há
necessidade de uma estimativa inicial precisa e que para um
grande número de avaliações da função objetivo, maior será a
probabilidade de encontrar o ótimo global. Os números
sorteados são obtidos por
()
L H L
x x r x x
, (1)
em que x é um número aleatório sorteado, xL e xH são os limites
inferior e superior da região de busca e r é uma variável
aleatória uniforme entre 0 e 1. A convergência desse algoritmo
depende do número de pontos sorteados e do número de
iterações. O usuário pode ajustar esses valores a fim de analisar
a eficiência desse algoritmo. Esse algoritmo também funciona
para funções objetivo de múltiplas variáveis.
B. Algoritmo do Enxame de Partículas
O algoritmo de otimização por enxame de partículas [13]
— PSO — é um algoritmo de busca que emula o
comportamento de um enxame de partículas com o propósito
de encontrar cooperativamente o ótimo global da função
objetivo. Cada posição xi de uma partícula é sorteada
aleatoriamente e corresponde a uma estimação da variável de
decisão (ângulo de incidência ou espessura do filme/lacuna).
As partículas movem-se com velocidade variável dentro da
região de busca, comunicando entre si o melhor ponto global e
considerando suas melhores posições até então alcançadas em
sorteios anteriores. Em cada iteração, as partículas ajustam suas
posições xi e velocidades vi por meio das relações [13]
1
1 1 2 2
( ) ( )
k k k k k k
i i i i i i
v wv c r p x c r g x
, (2)
11k k k
i i i
x x v
, (3)
em que k é a ordem atual de iteração, i é a i-ésima partícula, w
é o peso de inércia, c1 e c2 são os coeficientes de aceleração, r1
e r2 são duas varáveis aleatórias uniformes entre 0 e 1, pi é o
melhor ponto alcançado por uma partícula individual e gi é o
melhor ponto alcançado pelo grupo. O peso de inércia w
controla a habilidade de exploração global do enxame de
partículas. As constantes c1 e c2 estão relacionadas,
respectivamente, com o comportamento cognitivo e com o
comportamento social do enxame, caracterizando a natureza da
exploração [13]. Valores razoáveis para esses parâmetros,
baseados em tentativa e erro são w = 0.75, c1 = 1.5 e c2 = 1.5
[13].
Como no algoritmo de Monte Carlo, a estimativa inicial
pode ser escolhida arbitrariamente dentro da região de busca. O
usuário pode definir o número de partículas e o número de
iterações para analisar a eficiência do algoritmo. A grande
vantagem do PSO sobre os demais algoritmos heurísticos é que
ele converge rapidamente e consistentemente.
III. OTIMIZAÇÃO DE SENSORES RPS NAS CONFIGURAÇÕES DE
KRETSCHMANN E DE OTTO
A otimização de sensores RPS consiste em encontrar a
espessura de filme d para o caso da configuração de
Kretschmann ou a separação — gap — entre as superfícies
metálica e de vidro, no caso da configuração de Otto. Além
disso para operação em um dado comprimento de onda, é
necessário determinar o ângulo de incidência que fornece a
máxima sensibilidade S do efeito. Esta é definida pela taxa de
variação da reflectância em relação ao índice de refração, ou
seja,
dR
Sdn
. (4)
A reflectância pode ser calculada aplicando a formulação
de Fresnel a qualquer das duas estruturas de três meios
mostradas na Fig.1, com base na expressão [15]
2
12 23 2
12 23 2
exp( 2 )
1 exp( 2 )
r r jk d
Rr r jk d
, (5)
em que d é a espessura do meio 2 e ri,i+1 é dado por [15]
11
,1
11
εε
εε
i i i i
ii
i i i i
kk
rkk
, (6)
com i =1,2, e com ki dado por [15]
2
01
ε ε (sin θ)
ii
kk
, (7)
com θ representando o ângulo de incidência, εi, a
permissividade do meio i, com i = 1, 2, 3,
Para otimizar o sensor RPS, poder-se-ia utilizar uma
aproximação lorentziana para a curva de reflectância e depois
combiná-la com (4) como foi feito em [10,11]. Entretanto,
como já discutido, a curva de reflectância não possui a mesma
simetria de uma função lorentziana. Uma solução alternativa
seria inserir (5) em (4) a fim de obter uma expressão analítica
para a sensibilidade e em seguida otimizá-la. Infelizmente, essa
abordagem envolve a derivada do valor absoluto de uma
função não-linear e complexa, tornando o trabalho
extremamente árduo. Neste artigo, é proposto o uso de
algoritmos heurísticos, avaliando a função objetivo (S = dR/dn)
numericamente. Ou seja, em vez de derivar a curva de
reflectância analiticamente, computou-se a derivada numérica
da reflectância em relação ao índice de refração e elegeu-se o
melhor ponto como candidato a ótimo global.
Os algoritmos de Monte Carlo e do Enxame de Partícula
foram implementados em MATLAB e aplicados às
configurações de Kretschmann e de Otto. Seus desempenhos
foram comparados com o algoritmo de busca direta baseado na
aproximação lorentziana (só para configuração de
Kretschmann) descrito em [10]. Em ambos algoritmos
heurísticos, otimizou-se a função objetivo considerando duas
variáveis de decisão simultaneamente, a espessura do
filme/lacuna (em µm) e o ângulo de incidência (em graus). A
estimativa inicial foi escolhida arbitrariamente dentro da região
de busca
[,θ] [0, 5] [0, 90]d
. Os resultados da simulação
para um sensor com filme de Au, prisma BK7 e ar como meio
adjacente ao metal operando em 1 µm estão apresentados na
Tabela I. Três tentativas foram efetuadas para cada um dos
algoritmos heurísticos para verificar sua consistência. A
dependência espectral das constantes ópticas do filme de ouro
foram extraídas de [16] por meio de interpolação por spline
cúbica e o índice de refração do prisma BK7 foi determinado
pela equação de Sellmeier [17].
TABELA I. Simulação dos resultados de otimização de Sensores RPS no
comprimento de onda de 1 μm.
Kretschmann, BK7-Au-Ar
Método
θ, graus
d, μm
S
Execução
Ref.[10]
42,22
0,05
337,90
11,255
Monte
Carlo
42,2236
42,2166
42,2084
0,0523
0,0510
0,0523
335,11
336,50
325,77
47,911 s
10000 pontos
500 iterações
PSO
42,2226
42,2226
42,2226
0,0504
0,0504
0,0504
338,8277
338,8277
338,8277
1,501 s
100 pontos
300 iterações
Otto, BK7-Ar-Au
Ref.[10]
–
–
–
–
Monte
Carlo
42,1333
42,1346
42,1358
2,0018
1,9905
2,0105
279,1473
279,2360
279,3335
–
PSO
42,1356
42,1356
42,1356
2,0046
2,0046
2,0046
279.3659
279.3659
279.3659
–
Da Tabela I pode-se verificar que o algoritmo que
apresentou melhor eficiência computacional, simplicidade e
consistência foi o algoritmo PSO. Ele foi 7,5 vezes mais rápido
que o algoritmo de busca direta [10] e 32 vezes mais rápido do
que o algoritmo de Monte Carlo. Ademais, seus resultados
foram bem consistentes uma vez que todos foram os mesmos
nas três tentativas.
A dependência espectral da sensibilidade ótima tanto para
configuração de Kretschmann quanto para a de Otto com ar ou
água [18] como meios adjacentes ao metal foi obtida por meio
do algoritmo PSO para a faixa de comprimentos de onda entre
0,6 µm e 1,6 µm e está apresentada na Fig. 3. Na região de
comprimentos de onda superiores a 1,6 µm começaram a
ocorrer instabilidades e problemas de convergência, muito
provavelmente devido à redução significativa da largura de
linha da RPS nessa região.
As curvas da Fig. 3 demonstram que o sensor RPS na
configuração de Kretschmann possui maior sensibilidade que
na configuração de Otto tanto para ar quanto para água. A faixa
entre 1,5 µm e 1,6 µm apresenta condições viáveis para o
projeto de sensores RPS de alta sensibilidade operando nos
mesmos comprimentos de onda dos sistemas de comunicações
ópticas, visto que, além da sensibilidade ótima atingir valores
altos em todas configurações e meios sensoriados, sistemas de
comunicação óptica de baixa perda usualmente operam em
comprimentos de onda em torno de 1,55 µm. Particularmente,
para um comprimento de onda de 1,6 µm, a sensibilidade ótima
aumenta de um fator de 1,8 a 1,9 em relação à sensibilidade
ótima em 1 µm para todas as configurações e meios
sensoriados.
Para maximizar a sensibilidade em cada comprimento de
onda, determinou-se os valores ótimos da espessura do filme
(ou do gap na configuração de Otto) e do ângulo de incidência
por meio da aplicação do algoritmo PSO em todo espectro
considerado. A dependência espectral da espessura ótima e do
ângulo de incidência ótimo estão mostradas nas Figs. 4 e 5,
respectivamente. Com respeito ao comportamento espectral do
ângulo de incidência ótimo, que é um parâmetro diretamente
ajustado pelo usuário durante as medições, pode-se observar
que seu valor foi alterado quando o meio sensoriado mudou do
ar para água como esperado para um sensor RPS. Interessante
notar que para um mesmo meio, o ângulo de incidência ótimo
permanece praticamente inalterado. A Tabela II apresenta os
parâmetros ótimos do sensor operando em 1,6 µm para ambas
configurações de acoplamento por prisma.
Fig. 3. Dependência espectral da sensibilidade ótima para as configurações de
Kretschmann e de Otto.
Fig. 4. Dependência espectral da espessura do filme/lacuna para as
configurações de Kretschmann e de Otto.
Fig. 5. Dependência espectral do ângulo de incidência ótimo para as
configurações de Kretschmann e de Otto.
TABELA II. Valores Ótimos dos Parâmetros de um Sensor RPS operando em
1,6 μm.
Configuração
S
d, µm
θ, graus
Kretschmann
BK7-Au-Ar
619,411
0,0421
42,0623
BK7-Au-H2O
287,307
0,0448
62,2774
Otto
BK7-Ar-Au
545,1886
4,5636
41,995
BK7-H2O-Au
228,5526
2,8242
62,1071
As curvas elaboradas nas Figs. 3 a 5 constatam a utilidade
dos algoritmos heurísticos, em particular o algoritmo PSO, para
o projeto de sensores RPS otimizados em ambas configurações,
de Kretschmann e de Otto. Pode-se utilizar essas curvas como
referências durante projetos de sensores RPS. Ademais, pode-
se aplicar os algoritmos heurísticos a outras configurações de
sensores RPS além dos de acoplamento por prisma, como, por
exemplo, sensores com multicamadas ou de acoplamento por
grades de difração.
IV. CONCLUSÕES
Neste artigo otimizou-se a sensibilidade de um sensor RPS
pelo uso de dois algoritmos heurísticos, de Monte Carlo e do
Enxame de Partículas, com a vantagem de não se utilizar a
aproximação lorentziana. Além disso, os algoritmos heurísticos
simplificam bastante o projeto de sensores RPS otimizados
permitindo adotar um procedimento robusto que pode ser
aplicado tanto na configuração de Kretschmann quanto na de
Otto, podendo também ser usados em outras configurações de
acoplamento. Quando comparado com o algoritmo de busca
direta descrito em [10] e com o algoritmo de Monte Carlo, o
algoritmo PSO demonstrou melhor eficiência computacional,
facilitando a elaboração das curvas de dependência espectral
dos parâmetros ótimos do sensor. Baseado nos resultados
encontrados, pode-se projetar um sensor RPS de alta
sensibilidade operando na mesma faixa de comprimentos de
onda dos sistemas de comunicações ópticas (~1,55 µm).
Constatou-se que a sensibilidade ótima em 1,6 µm é 1,8 a 1,9
vezes maior que aquela em 1 µm para todas configurações
apresentadas neste trabalho.
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