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Der Funktionsbegriff im Übergang zur Sekundarstufe II
Abstract
Es wird das Design-Projekt “Der Funktionsbegriff im Übergang zur Sekundarstufe II” aus der Mathematikdidaktik beschrieben. In diesem Projekt sollen Erkenntnisse darüber gewonnen werden, wie der fragmentierte Umgang mit Funktionen, den Lernende oft aus der Sekundarstufe I mitbringen, überwunden werden kann. Insbesondere soll der Frage nachgegangen werden, welche Aspekte der Lernökologie diesen Prozess fördern oder behindern können. Dazu wird ein Design konzipiert, das in seiner Umsetzung funktional-flexibilisierende Deutungen bekannter geometrischer Formeln anregt. Hierbei kommen Theorien zum Einsatz, welche die institutionelle Lernebene mit den individuellen und kollektiven Lernprozessen verbinden.
Schülerinnen und Schüler sollen ihr Funktionsverständnis aus der Sekundarstufe I im Fach Mathematik zu Beginn der Qualifikationsphase zu einem integrierten Funktionsverständnis weiterentwickeln. Ein wesentlicher Schritt in diese Richtung ist die Flexibilisierung des Umgangs mit Funktionen. Zu diesem Zweck wird im Projekt „Funktionen im Übergang zur Sekundarstufe II“ das Design-Prinzip „Formeln funktional betrachten“ genutzt und in drei Designzyklen ausgeschärft. In diesem Artikel werden zentrale Schritte dieses Prozesses empirisch gestützt nachgezeichnet: Nach einer stoffdidaktischen Analyse von Formeln aus der Geometrie adressiert das Design von Aufgaben die strukturelle Deutung von Funktionen im Kontext von Geometrie. Die mangelhafte Zugänglichkeit dieser innermathematischen Umsetzung des Design-Prinzips wird im zweiten Zyklus durch Kontextbezüge behoben, die den dynamischen Charakter von funktionalen Zusammenhängen in den Formeln illustrieren. Der rein illustrative Charakter erweist sich jedoch als ungeeignet, bei Lernenden ein Erkenntnisbedürfnis der Bildung eines erweiterten und flexiblen Funktionskonzeptes zu erzeugen. Um dies zu erreichen, wird das Deuten von Formeln als Funktion im dritten Zyklus zu einer heuristischen Problemlösestrategie für eine kontextbezogene Problemsituation umgewandelt.
Die Qualität von Unterricht kann langfristig nur über Lehrpersonen verbessert werden. Innovative Designs können diese Lehrpersonen aber irritieren und erhöhte Unsicherheit erzeugen. Ob diese Unsicherheit als Ausgangspunkt von Veränderung genutzt wird, hängt sehr davon ab, wie das Design fachlich und fachdidaktisch gedeutet wird, welche Erfahrungen damit gemacht werden und wie diese reflektiert werden. Dies wiederum wird gefiltert durch die epistemologischen Beliefs sowie durch die Trias beliefs – assumptions – knowledge zum Lehren und Lernen des Faches, kurz BAKs genannt. Vorgestellt wird eine duale Fallstudie zu zwei Mathematiklehrpersonen, die auf das gleiche innovative Design unterschiedlich reagieren. Irritationen mit dem Design und seine Implementation können als Chance und Anschub genutzt werden, den eigenen Unterricht und sein professionelles Umfeld zu verändern, etwa durch den Aufbau kollegialer Kooperation, die unterschiedliche primäre Bedürfnisse erfüllen können. Ist diese Irritation gering oder bleibt sie gar aus, dann gibt es auch keinen Anlass für explizit innovative Veränderungsschritte. Dennoch kann sich Unterricht weiter entwickeln, etwa durch langsames Einflechten passender Ideen in die eigene Unterrichtskonzeption und deren Umsetzung, wie in der vorliegenden Fallstudie berichtet wird.
This paper is about the development of a task sequence to help overcome the fragmented understanding of the ‘function’ concept that students often bring with them into the initial stage of upper secondary school level. Our aim is to make the students’ use of functions more flexible in certain respects, for example when functions are required to be used as tools for modelling. The core idea of our task design is to interpret formulas as functional relations. The tasks are developed along the lines of a Design-Based Research approach in which several theoretical approaches are employed in a complementary way. The paper will show how this complementarity frames and informs the design as well as the analysis of data about how a student solves the tasks. Mediated by the task sequence, students’ development in terms of how their use of functions becomes more flexible is reconstructed. In the analysis, a key constraint for developing a flexible use of functions is identified: their poor understanding of the coordinate system and its scaling and utilization as a reference space for graphical representations of functions.
The chapter briefly introduces the Anthropological Theory of the Didactic (ATD) by referring to the data from Chap. 2. ATD provides a frame for investigating mathematical and didactic activities in terms of praxeologies, focusing on their components, dynamics, and the conditions that enable their existence and development in a given institutional setting. The main idea of the concept of praxeologies is that all human activities comprise and link two parts, a practice and a theory one.
The chapter briefly introduces the theory of Interest-Dense Situations (IDS) by referring to the data from Chap. 2. IDS provides a frame for how interest-dense situations and their epistemic and interest supporting character are shaped through social interactions in mathematics classes distinguishing three levels: the social interactions and how the participants are involved, the dynamic of the epistemic processes, and the attribution of mathematical value.
The chapter briefly introduces the theoretical framework of Abstraction in Context (AiC) by referring to the data from Chap. 2. AiC provides a model of nested epistemic actions for investigating, at a micro-analytic level, learning processes which lead to new (to the learner) constructs (concepts, strategies, …). AiC posits three phases: the need for a new construct, the emergence of the new construct, and its consolidation.
The concept of “functional thinking” has a long tradition in mathematics education. It was a fundamental goal in the Meran proposals for mathematics teaching (1905). After a period of enthusiastic acceptance it became out of fashion during the “new math” era. But it has been rediscovered in the last decade. This paper is a report about this development. It reviews contributions to this concept, and it tries to make evident that functional thinking is a fruitful didactical concept. © 1989, GDM - Gesellschaft für Didaktik der Mathematik. All rights reserved.
Was verändert sich, wenn … Experimente zum Funktionsbegriff
- A Beckmann
Conceptual Blending, Form and Meaning
- G Fauconnier
- M Tuner