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Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 33, n. 1, 1304 (2011)
www.sbfisica.org.br
Potˆencia de tra¸c˜ao de um ve´ıculo automotor
que se movimenta com velocidade constante
(Tractive power of a motor vehicle moving at constant speed)
Fernando Lang da Silveira1
Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil
Recebido em 11/8/2009; Aceito em 23/1/2011; Publicado em 21/3/2011
Um modelo para a potˆencia de tra¸c˜ao de ve´ıculos automotores como fun¸c˜ao da velocidade do ve´ıculo, da
resistˆencia ao rolamento nas rodas e do arrasto aerodinˆamico do ar ´e proposto. Um teste emp´ırico para o mo-
delo, baseado em dados sobre a potˆencia nominal m´axima e a velocidade m´axima de 155 ve´ıculos ´e apresentado,
corroborando o modelo de que a potˆencia m´axima est´a relacionada com o cubo da velocidade m´axima.
Palavras-chave: potˆencia de tra¸c˜ao, velocidade m´axima de autom´oveis, resistˆencia ao rolamento, arrasto do ar.
A model for a motor vehicles’ tractive power as a function of the speed, the rolling resistance on their wheels,
and the air’s aerodynamic drag force, is proposed. Based on both nominal top power and top speed data of
155 vehicles, an empiric test for this model is presented, and corroborates the assumption that the top power is
related to the cube of the top speed.
Keywords: tractive power, vehicle top speed, rolling resistance, air’s drag force.
1. Introdu¸c˜ao
A potˆencia de tra¸c˜ao que o motor de um autom´ovel de-
senvolve ao se movimentar, com velocidade constante
sobre uma pista horizontal, est´a relacionada `as re-
sistˆencias ao movimento do autom´ovel. De maneira
inapropriada tais resistˆencias s˜ao usualmente denom-
inadas de atrito. Esta denomina¸c˜ao ´e inadequada, pre-
judicando o entendimento da dinˆamica de ve´ıculos au-
tomotores, pois as resistˆencias a serem vencidas sobre
uma pista horizontal s˜ao aquelas devidas ao movimento
em rela¸c˜ao ao ar - o arrasto aerodinˆamico - e `a re-
sistˆencia ao rolamento das rodas sobre a pista. A for¸ca
externa ao autom´ovel que o impulsiona para frente ´e
usualmente uma for¸ca de atrito est´atico (exceto quando
as rodas patinam ou deslizam sobre a pista, quando
ent˜ao vale o atrito cin´etico) entre as rodas de tra¸c˜ao
e a pista de rolamento. Desta forma a for¸ca de atrito
nas rodas de tra¸c˜ao, ao inv´es de se opor ao movimento
do autom´ovel, desempenha o importante papel de for¸ca
motora. A for¸ca de arrasto aerodinˆamico se deve pre-
ponderantemente a efeitos inerciais do ar sobre o au-
tom´ovel; o atrito viscoso do ar com as superf´ıcies do
autom´ovel ´e desprez´ıvel frente aos efeitos inerciais do
ar conforme abordaremos adiante. Ou seja, ´e equivo-
cado denominar os efeitos do ar sobre o autom´ovel de
atrito j´a que o atrito viscoso n˜ao ´e relevante neste caso.
Os objetivos desse artigo s˜ao os de discutir a mal
compreendida resistˆencia ao rolamento (ali´as, assunto
omisso na maioria dos textos universit´arios de f´ısica
geral), o arrasto aerodinˆamico e criar um modelo que
permita estabelecer as rela¸c˜oes que estes efeitos tˆem
com a potˆencia de tra¸c˜ao de um autom´ovel que se movi-
mente com velocidade constante. Adicionalmente, um
teste emp´ırico para o modelo proposto, conduzido a
partir de dados sobre a potˆencia m´axima e a velocidade
m´axima de 155 ve´ıculos ´e apresentado.
2. A resistˆencia ao rolamento nas rodas
livres ou n˜ao tracionadas
Para discutir o papel dinˆamico da resistˆencia ao rola-
mento e da for¸ca de atrito est´atico nas rodas, vamos
considerar inicialmente uma bicicleta. Em uma bici-
cleta todo o mecanismo nas duas rodas est´a acess´ıvel
a uma simples inspe¸c˜ao visual, diferentemente de um
autom´ovel onde n˜ao se tem, externamente, a vis˜ao de
tais mecanismos. Por isto optamos por considerar o que
ocorre nas rodas de uma bicicleta e depois generalizar
para quaisquer rodas de ve´ıculos automotores. Admi-
tiremos que as rodas da bicicleta rolem sem deslizar
sobre a pista, valendo ent˜ao o atrito est´atico entre elas
e a pista.
1E-mail: lang@if.ufrgs.br.
Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ısica. Printed in Brazil.
1304-2 Silveira
Consideremos a roda dianteira de uma bicicleta (a
roda livre ou n˜ao tracionada) que trafega com veloci-
dade constante sobre uma pista horizontal. Se o pavi-
mento ´e como o asfalto ou o concreto, as deforma¸c˜oes
ocorrem quase que exclusivamente na regi˜ao da roda em
contato com a pista (sendo desprez´ıveis as deforma¸c˜oes
da pr´opria pista de rolamento) e tais deforma¸c˜oes no
pneu, apesar de serem el´asticas (pois a parte defor-
mada do pneu retoma a forma original quando perde
o contato com a pista), dissipam internamente ao pneu
energia mecˆanica, aumentando a sua energia interna; a
evidˆencia dessa perda de energia mecˆanica e, por con-
sequˆencia, o aumento da energia interna, ´e o aqueci-
mento que o pneu sofre ao rodar. A resistˆencia ao ro-
lamento est´a associada `a perda de energia mecˆanica na
roda devido a essas deforma¸c˜oes com histerese mecˆanica
[1], isto ´e, devido ao fato que em um ciclo de deforma¸c˜ao
de uma dada regi˜ao da roda h´a um trabalho n˜ao nulo
e resistivo realizado. Quando a bicicleta trafega sobre
uma pista deform´avel, como ´e o caso da areia ou do
cascalho, a dissipa¸c˜ao de energia mecˆanica ser´a devida
tamb´em (e preponderantemente) `as deforma¸c˜oes per-
manentes da pista.
As a¸c˜oes sobre a roda dianteira, de acordo com a
Fig. 1, quando ela rola se trasladando com veloci-
dade constante v, s˜ao aquelas exercidas pela pista de
rolamento (a for¸ca normal `a pista - N- e a for¸ca de
atrito est´atico - A), pelo eixo que empurra a roda di-
anteira para frente - F- e para baixo, bem como o
peso da roda dianteira. Estas duas ´ultimas for¸cas n˜ao
est˜ao nomeadas na Fig. 1 apesar de estarem repre-
sentadas em ´unico vetor; encontram-se nomeadas ape-
nas as for¸cas que interessam ao desenvolvimento sub-
sequente da teoria. Desprezam-se as for¸cas que o ar
exerce na roda dianteira, admitindo-se que ela possa
girar sem atrito no eixo central, com velocidade angu-
lar wconstante.
Figura 1 - For¸cas exercidas na roda dianteira e representa¸c˜ao da
distribui¸c˜ao da press˜ao na regi˜ao de contato da roda com a pista
de rolamento.
Quando a roda rola, devido `as deforma¸c˜oes el´asticas
amortecidas, a press˜ao na regi˜ao de contato com a pista
n˜ao ´e uniforme, crescendo dentro dessa regi˜ao no sen-
tido do movimento [1]. Na Fig. 1 est´a representada a
distribui¸c˜ao da press˜ao na regi˜ao de contato com a pista
com aux´ılio de um diagrama que indica a for¸ca sobre
uma pequena ´area elementar ao longo dessa regi˜ao. As-
sim sendo a for¸ca normal resulta deslocada para frente
em rela¸c˜ao ao centro da regi˜ao de contato por uma
distˆancia d, conforme indicado na Fig. 1. Caso as de-
forma¸c˜oes fossem el´asticas sem amortecimento e n˜ao
houvesse qualquer outro efeito de histerese, a press˜ao
estaria distribu´ıda de maneira sim´etrica em rela¸c˜ao ao
centro da regi˜ao de contato com a pista, resultando que
a for¸ca normal se localizaria exatamente abaixo do eixo
da roda dianteira e, consequentemente, a distˆancia d
seria nula.
Como a roda se desloca com velocidade vconstante,
girando em torno do seu eixo com velocidade angular
wconstante, tanto o somat´orio das for¸cas quanto dos
torques (em rela¸c˜ao ao eixo de rota¸c˜ao da roda) devem
ser nulos. Da´ı resulta que
F=A(1)
A . R =N . d . (2)
Da Eq. (2) obt´em-se que a for¸ca de atrito est´atica
necess´aria para que aconte¸ca o rolamento sem desliza-
mento vale
A=d
RN. (3)
A raz˜ao dpor R´e denominada coeficiente de re-
sistˆencia ao rolamento -α- e portanto
α=d
R=A
N.(4)
A express˜ao (4) tem como consequˆencia que, se
d= 0, n˜ao h´a resistˆencia ao rolamento (α= 0).
Em disciplinas de F´ısica Geral o rolamento de um
corpo r´ıgido sobre uma superf´ıcie r´ıgida ´e usualmente
o ´unico modelo abordado teoricamente, implicando que
na ausˆencia de deforma¸c˜oes valha trivialmente d= 0.
Este modelo de corpo r´ıgido n˜ao d´a conta de que um ob-
jeto que role possa parar, somente gra¸cas ao atrito com
o pavimento, pois ao se admitir uma for¸ca de atrito n˜ao
nula para retardar o movimento de rolamento, o torque
da for¸ca de atrito aumentaria, paradoxalmente (!), a
velocidade angular w.
A express˜ao (4) implica que a diminui¸c˜ao do coefi-
ciente de resistˆencia ao rolamento pode ser conseguida
por aumentar o raio Rda roda (ve´ıculos utilit´arios e
“fora de estrada” usualmente tem rodas maiores do que
ve´ıculos convencionais, resistindo menos ao rolamento,
principalmente em terrenos irregulares) ou/e diminuir
a distˆancia d. Uma forma de diminuir d´e por diminuir
Potˆencia de tra¸c˜ao de um ve´ıculo automotor que se movimenta com velocidade constante 1304-3
a regi˜ao de contato do pneu com a pista e, para tal
ser concretizado, deve-se aumentar a press˜ao do pneu.
Da´ı se entende a raz˜ao pela qual os pneus das bicicle-
tas de corrida operarem com alta press˜ao manom´etrica
(seis ou mais atmosferas). Por outro lado, pneus de
autom´ovel que rodem abaixo da press˜ao recomendada,
sofrem maior resistˆencia ao rolamento pois tem a regi˜ao
de contato com a pista expandida, consequentemente
determinando um acr´escimo em d. Ent˜ao a energia
mecˆanica dissipada em maior quantidade produz um
aquecimento do pneu acima do normal e acarreta um
maior consumo de combust´ıvel.
Ocoeficiente de resistˆencia ao rolamento para pneus
de autom´ovel, rodando sobre pista com pavimento duro
como o asfalto ou o concreto, usualmente ´e da ordem
de 0,01, enquanto que o coeficiente de atrito est´atico
(borracha e asfalto ou concreto secos) situa-se entre
0,85 e 1,0 [2]. Lembremos que o coeficiente de atrito
est´atico, quando multiplicado pelo valor da for¸ca nor-
mal, informa sobre o valor m´aximo da for¸ca de atrito,
n˜ao expressando qual ´e efetivamente a for¸ca de atrito
em uma particular situa¸c˜ao do pneu. J´a o coeficiente de
resistˆencia ao rolamento, quando multiplicado pela in-
tensidade da for¸ca normal, resulta no valor da for¸ca de
atrito est´atico que acontece no rolamento sem desliza-
mento da roda n˜ao tracionada. Portanto, a resistˆencia
ao rolamento equivale a uma for¸ca com intensidade
cerca de 1% da intensidade da for¸ca normal `a pista,
enquanto a for¸ca de atrito m´axima poss´ıvel poderia ser
cerca de cem vezes maior. Assim justifica-se teorica-
mente o fato bem conhecido de que as rodas permitem o
deslocamento de um ve´ıculo com pequena resistˆencia ao
rolamento,2possibilitando que o esfor¸co de uma ou duas
pessoas movimente um autom´ovel sobre pavimento ho-
rizontal duro.
3. Rodas de tra¸c˜ao: resistˆencia ao ro-
lamento, for¸ca de atrito com o pavi-
mento, torque e potˆencia de tra¸c˜ao
Passamos agora a analisar a roda de tra¸c˜ao da bicicleta.
A Fig. 2 representa as a¸c˜oes na roda de tra¸c˜ao (apenas
as for¸cas que interessam ao ulterior desenvolvimento
te´orico est˜ao nomeadas com letras mai´usculas). A cor-
rente exerce sobre a engrenagem solid´aria `a roda uma
for¸ca tensora - T- que ´e respons´avel pelo torque de
tra¸c˜ao τTra¸c˜ao . O quadro traseiro (n˜ao representado na
figura), onde o eixo central da roda est´a fixo, empurra
a roda para baixo e para tr´as; adicionalmente a roda de
tra¸c˜ao ´e pressionada contra a pista de rolamento pelo
seu peso. A pista exerce a for¸ca normal - Nt- e a for¸ca
de atrito est´atico - At. Nota-se que tanto a for¸ca nor-
mal, quanto a for¸ca de atrito, produzem torques, em
rela¸c˜ao ao eixo central da roda traseira, em oposi¸c˜ao ao
torque de tra¸c˜ao; entretanto a for¸ca de atrito na roda
de tra¸c˜ao ´e a ´unica for¸ca externa `a bicicleta que age
no mesmo sentido da sua velocidade de transla¸c˜ao v,
portanto desempenhando o importante papel de for¸ca
motora da bicicleta. A roda se desloca com velocidade v
constante, girando com velocidade angular wconstante
em torno do seu eixo e, desta forma, decorre da equa¸c˜ao
de equil´ıbrio dos torques na roda traseira que
τTra¸c˜ao =At. R +Nt. d. (5)
Mas como pela express˜ao (4) d = α. R,
substituindo-se na Eq. (5) obt´em-se
τTra¸c˜ao =At. R +Nt. α . R (6)
τTra¸c˜ao = (At+α . Nt). R. (7)
Como a potˆencia de tra¸c˜ao - PTra¸c˜ao - ´e o produto da
intensidade do torque de tra¸c˜ao τTra¸c˜ao pela velocidade
angular we, substituindo-se o torque de tra¸c˜ao dado
na Eq. (7), obt´em-se
PTra¸c˜ao =τTra¸c˜ao . w = (At+α . Nt). R . w. (8)
Como R.w resulta no valor da velocidade vde
transla¸c˜ao da roda, ent˜ao
PTra¸c˜ao =τTra¸c˜ao . w = (At+α . Nt). v (9)
Figura 2 - For¸cas exercidas na roda de tra¸c˜ao da bicicleta.
As express˜oes (8) ou (9), deduzidas para a roda
de tra¸c˜ao de uma bicicleta, s˜ao v´alidas para qualquer
roda de tra¸c˜ao de ve´ıculos automotores que se utilizem
da for¸ca de atrito est´atico com a pista de rolamento
2Rodas de a¸co sobre trilhos de a¸co possuem coeficiente de resistˆencia ao rolamento entre 0,0002 e 0,001 (http://en.wikipedia.org/
wiki/Rolling resistance; acessado em 27/7/2010), permitindo a mobilidade de grandes cargas pela aplica¸c˜ao de for¸cas com intensi-
dades iguais ou inferiores a uma parte em mil do peso de tais cargas! Pneus de autom´ovel com baixa resistˆencia ao rolamento possuem
coeficiente de resistˆencia ao rolamento na faixa de 0,004 a 0,008 (http://en.wikipedia.org/wiki/Low-rolling resistance tires; aces-
sado em 8/8/2010) e pneus especiais para bicicletas de corrida, que operam com press˜ao manom´etrica de 8 atm, podem ter coeficientes
entre 0,002 e 0,005.
1304-4 Silveira
para impulsion´a-la com velocidade constante. As ex-
press˜oes (8) ou (9) explicitam que a potˆencia de tra¸c˜ao
depende de duas componentes: uma relacionada `a for¸ca
de atrito nas rodas de tra¸c˜ao e a outra relacionada `a re-
sistˆencia ao rolamento. Desta forma evidencia-se que a
resistˆencia ao rolamento n˜ao pode ser confundida com
o atrito entre a roda de tra¸c˜ao e a pista de rolamento.
O valor da for¸ca de atrito est´atico, para uma dada ve-
locidade angular da roda, cresce conforme aumenta a
potˆencia de tra¸c˜ao, sendo o seu valor m´aximo limitado
pelo produto do coeficiente de atrito est´atico -µ- pela
intensidade da for¸ca normal. Ou seja
PTra¸c˜ao ≤(µ . Nt+α . Nt). v =
(µ+α). Nt. v. (10)
4. For¸ca de arrasto do ar
Quando um corpo se movimenta atrav´es do ar, esse lhe
op˜oe uma for¸ca de resistˆencia ou de arrasto. A for¸ca
de arrasto depende do atrito viscoso do ar com as su-
perf´ıcies sobre as quais escoa e de efeitos inerciais de-
vido `a ‘colis˜ao’ do ar com o corpo em movimento. A
for¸ca de atrito viscoso ´e proporcional `a velocidade do
ar em rela¸c˜ao ao corpo; entretanto ela ´e para corpos
razoavelmente grandes (com dimens˜oes superiores a al-
guns cent´ımetros), movimentando-se com velocidades
iguais ou superiores a metros por segundo, desprez´ıvel
frente `a for¸ca de arrasto inercial [3]. A for¸ca de arrasto
inercial cresce com o quadrado da velocidade do ar em
rela¸c˜ao ao corpo.
A intensidade da for¸ca de arrasto inercial - Fa-
depende da densidade do ar - ρ- (aproximadamente
1,22 kg/m3ao n´ıvel do mar), da ´area frontal do corpo
-S- (´area do corpo na dire¸c˜ao perpendicular ao movi-
mento do ar em rela¸c˜ao ao corpo), do coeficiente de
arrasto -C- (parˆametro adimensional que depende da
forma do corpo) e da velocidade do ar - v- em rela¸c˜ao
ao corpo de acordo com a seguinte express˜ao [2]
Fa=1
2. ρ. . C . S . v2(11)
Os autom´oveis possuem coeficiente de arrasto - C -
entre 0,25 e 0,45, e ´area frontal - S- entre 1,5 e 3 m2. O
autom´ovel atual com o menor coeficiente de arrasto ´e
oAptera, sendo C=0,11 (http://en.wikipedia.org/
wiki/Aptera 2 series; acessado em 1/8/2010).
5. Potˆencia de tra¸c˜ao em fun¸c˜ao da re-
sistˆencia ao rolamento e do arrasto
do ar
A express˜ao (9) fornece a rela¸c˜ao entre a potˆencia de
tra¸c˜ao com as intensidades da for¸ca de atrito e da
for¸ca normal `a pista de rolamento nas rodas de tra¸c˜ao,
quando o ve´ıculo automotor trafega com velocidade
constante. As for¸cas de atrito est´atico nas rodas de
tra¸c˜ao, em uma pista horizontal, s˜ao as ´unicas for¸cas ex-
ternas ao autom´ovel que possuem a mesma orienta¸c˜ao
da velocidade do ve´ıculo em rela¸c˜ao `a pista, portanto,
impulsionando-o “para frente”. Resistindo ao avan¸co
do autom´ovel encontramos as for¸cas de atrito nas rodas
livres (n˜ao-tracionadas) e a for¸ca de arrasto do ar. Se
denominarmos de Ata intensidade da resultante das
for¸cas de atrito nas rodas de tra¸c˜ao, Aa intensidade
da resultante das for¸cas de atrito nas rodas livres, Faa
for¸ca de arrasto do ar, e considerando que o ve´ıculo se
desloque com velocidade vconstante, ent˜ao a seguinte
condi¸c˜ao decorre da primeira lei de Newton
At=A+Fa.(12)
Como pela Eq. (3) A = α. N (onde N´e a in-
tensidade da resultante das for¸cas normais nas rodas
n˜ao tracionadas) e dado que a velocidade do autom´ovel
em rela¸c˜ao `a pista ´e a mesma que em rela¸c˜ao ao ar
(admite-se que n˜ao haja vento e portanto o ar esteja
parado em rela¸c˜ao `a pista), substituindo as Eqs. (3) e
(11) na Eq. (12) obt´em-se
At=α . N +1
2. ρ . C . S . v 2.(13)
A substitui¸c˜ao da Eq. (13) na Eq. (9) fornece para
a potˆencia de tra¸c˜ao
PTra¸c˜ao =µα . N +1
2. ρ . C . S . v 2+α . Nt¶. v.
(14)
PTra¸c˜ao =1
2. ρ . C . S . v 3+α . (Nt+N). v . (15)
Como a soma das intensidades das for¸cas normais
`a pista em todas as rodas do autom´ovel ´e aproximada-
mente igual ao valor do peso do carro (aproximada-
mente pois a for¸ca que o ar faz sobre o autom´ovel pode
ter uma componente na dire¸c˜ao perpendicular `a pista
e n˜ao apenas na dire¸c˜ao paralela `a pista), encontra-se
PTra¸c˜ao ∼
=1
2. ρ . C . S . v 3+α . M. g . v, (16)
onde M´e a massa do autom´ovel e g´e a intensidade do
campo gravitacional.
A express˜ao (16) indica que a potˆencia de tra¸c˜ao de
um autom´ovel que se desloque na horizontal com veloci-
dade constante possui duas componentes: a primeira,
associada ao arrasto do ar, crescendo com o cubo da
velocidade e a segunda, associada `a resistˆencia ao rola-
mento, crescendo linearmente com a velocidade.
Vamos estudar agora a condi¸c˜ao para a velocidade v
na qual as duas componentes contribuem com o mesmo
valor para a potˆencia de tra¸c˜ao, ou seja, denominare-
mos de vio valor da velocidade que satisfaz a igualdade
entre as duas componentes na express˜ao (16). Portanto
Potˆencia de tra¸c˜ao de um ve´ıculo automotor que se movimenta com velocidade constante 1304-5
1
2. ρ . C . S . v 3
i=α . M. g . vi.(17)
Isolando-se vina express˜ao (17) se obt´em para vi
diferente de zero
vi=s2. α. M . g
ρ . C . S .(18)
Considerando-se agora um “autom´ovel t´ıpico” com
massa de 1200 kg, ´area frontal de 2 m2ecoeficiente de
arrasto de 0,35, encontra-se
vi=r2.0,01.1200 .9,8
1,22 .0,35 .2= 16,6m
s
∼
=60 km
h.
(19)
O resultado (19) ´e importante, demonstrando que
em velocidades compat´ıveis com o trˆansito em vias de
baixa velocidade (como as vias urbanas), a potˆencia de
tra¸c˜ao ´e predominantemente destinada a vencer a re-
sistˆencia ao rolamento. J´a nos regimes de velocidades
maiores do que vi, a potˆencia de tra¸c˜ao cada vez mais se
destina a vencer o arrasto do ar, conforme aumenta a
velocidade. Por exemplo, se v=2. via express˜ao
(16) implica que 80% da potˆencia de tra¸c˜ao deve-se
ao arrasto do ar. Na pr´oxima se¸c˜ao discutiremos uma
situa¸c˜ao extrema, a dos testes de velocidade m´axima
para autom´oveis.
6. Potˆencia de tra¸c˜ao e velocidade m´a-
xima de autom´oveis
Um teste de desempenho de um autom´ovel costuma
informar, entre outros resultados, a potˆencia nomi-
nal m´axima do motor do ve´ıculo (fornecida pelo fa-
bricante), bem como a velocidade m´axima atingida no
teste. Para a grande maioria dos autom´oveis atuais ´e
poss´ıvel se obter informa¸c˜oes sobre as suas dimens˜oes e
suas massas; para alguns autom´oveis h´a dados sobre o
coeficiente de arrasto (estas informa¸c˜oes est˜ao espalha-
das em diversos locais da web).
Uma pesquisa extensa nos possibilitou encontrar
dados sobre velocidade m´axima e potˆencia nominal
m´axima para mais de uma centena de autom´oveis.
Classificamos os autom´oveis em trˆes grupos: Grupo
1 - Autom´oveis atuais (78 elementos); Grupo 2 - Au-
tom´oveis das d´ecadas de 1960 e 1970 (45 elementos);
Grupo 3 - Caminhonetas esportivas atuais (32 elemen-
tos). O trabalho de pesquisa foi ´arduo principalmente
para o Grupo 2 pois tais testes remontam a uma ´epoca
anterior a web, n˜ao sendo f´acil de localiz´a-los. Muitos
autom´oveis e caminhonetas atuais, com motores com
potˆencia de centenas de cavalos-vapor, possuem veloci-
dade limitada eletronicamente por motivos de segu-
ran¸ca; estes ve´ıculos n˜ao foram inclu´ıdos na an´alise. O
objetivo de se buscar tais dados diz respeito a um teste
emp´ırico para a express˜ao (16) e uma compara¸c˜ao entre
os trˆes grupos de ve´ıculos.
Na verdade a potˆencia nominal m´axima do motor,
informada pelo fabricante do autom´ovel, ´e um indicador
da potˆencia de tra¸c˜ao. Usualmente a potˆencia nominal
m´axima ´e medida no eixo de sa´ıda do motor e, portanto,
´e maior do que a potˆencia m´axima de tra¸c˜ao (esta ´e de-
senvolvida nas rodas de tra¸c˜ao conforme a terceira se¸c˜ao
desse artigo). As perdas de potˆencia nos mecanismos de
transmiss˜ao do motor para as rodas situam-se entre 5%
e 10% da potˆencia medida no eixo do motor [1]. Adi-
cionalmente pode acontecer que a velocidade m´axima
atingida por um autom´ovel ocorra em um regime de
opera¸c˜ao do motor (frequˆencia de rota¸c˜ao do motor)
que n˜ao coincida com o ponto de produ¸c˜ao da m´axima
potˆencia.
Vejamos a express˜ao (16) sendo aplicada para um
dos carros esportivos mais velozes do mundo – o Bugatti
Veyron, que em um teste em 2006 atingiu a impressio-
nante marca de 408 km/h (113,3 m/s). A potˆencia
m´axima medida para o seu motor ´e cerca de 746,7 kW
(aproximadamente 1010 cv); a massa ´e 1950 kg, a ´area
frontal ´e 2,07 m2e o coeficiente de arrasto vale 0,36.
Substituindo-se os dados na Eq. (16) se encontra
PTra¸c˜ao =1
2.1,22 .0,36 .2,07 .113,33+
0,01 .1950.9,8.113,3.(20)
PTra¸c˜ao = 661,1.103+ 21,7.103=
682,8.103W∼
=920 cv.(21)
Nota-se que o resultado para a potˆencia de tra¸c˜ao ´e
compat´ıvel com a potˆencia m´axima do motor (infor-
mada pelo fabricante), diferindo desta em menos de
10%. Destaca-se na express˜ao (21) que a parcela de-
vida ao arrasto do ar ´e cerca de 30 vezes maior do que
a devida `a resistˆencia ao rolamento.
No outro extremo de velocidade m´axima, conside-
remos o antigo VW-1200 (o “Fusca”) que atingia ve-
locidade m´axima de cerca de 115 km/h (32 m/s). A
potˆencia m´axima de seu motor era cerca de 26,6 kW
(aproximadamente 36 cv), a massa valia 870 kg, a ´area
frontal era de aproximadamente 2 m2e o coeficiente de
arrasto 0,48. Substituindo-se os dados na Eq. (16) se
encontra
PTra¸c˜ao =1
2.1,22 .0,48 .2.323+
0,01 .870.9,8.32.(22)
PTra¸c˜ao = 19,2.103+ 2,7.103=
21,9.103W∼
=30 cv.(23)
Mais uma vez a express˜ao (16) fornece uma potˆencia
de tra¸c˜ao compat´ıvel com a potˆencia m´axima do motor
1304-6 Silveira
e se nota que a parcela da potˆencia devida ao arrasto
do ar ´e sete vezes maior do que a devida `a resistˆencia
ao rolamento.
Desta forma, desprezando-se na Eq. (16) o termo
linear na velocidade, tomando-se a potˆencia de tra¸c˜ao
como a potˆencia nominal m´axima - P- e sendo Va ve-
locidade m´axima, decorre a seguinte “lei de potˆencia”
P=K . V nonde n= 3.(24)
O objetivo de coletarmos os dados para os trˆes
grupos de ve´ıculos anteriormente referidos, num total
de 155 pares ordenados de valores para a velocidade
m´axima e a potˆencia m´axima, ´e testar empiricamente
a express˜ao (22), obtendo por regress˜ao o valor para o
expoente n. A corrobora¸c˜ao do modelo proposto acon-
tecer´a caso o valor de nresulte em aproximadamente 3.
Iniciamos ajustando em cada um dos trˆes grupos
separadamente uma “lei de potˆencia” utilizando o pa-
cote estat´ıstico SPSS. No Grupo 1 (autom´oveis atuais)
o expoente da “lei de potˆencia” resultou em 2,8; no
Grupo 2 (autom´oveis dos anos 60 e 70) o expoente
da “lei de potˆencia” resultou em 2,9 e no Grupo 3
(caminhonetas esportivas atuais) o expoente da “lei de
potˆencia” resultou em 3,1. Portanto os expoentes se
situam, de acordo com a expectativa te´orica, pr´oximos
a 3.
Decidimos ent˜ao proceder a um ajuste, impondo que
o expoente em cada um dos trˆes grupos fosse o mesmo,
mas possibilitando que o parˆametro multiplicativo K
na express˜ao (24) assumisse valores diferentes para os
trˆes grupos. Desta forma, ao impor que o expoente
´e o mesmo, os trˆes valores para os parˆametros multi-
plicativos s˜ao comensur´aveis entre si, isto ´e, podem ser
comparados entre si.
A Fig. 3 apresenta um gr´afico de dispers˜ao para a
potˆencia m´axima em fun¸c˜ao da velocidade m´axima nos
trˆes grupos de ve´ıculos, bem como as equa¸c˜oes de ajus-
tamento obtidas. Para representar como retas as curvas
de ajuste, as escalas dos dois eixos n˜ao s˜ao lineares nas
duas vari´aveis (velocidade m´axima e potˆencia).
Como se observa na Fig. 3, o expoente da “lei de
potˆencia” resultou em 2,86, portanto muito pr´oximo
da expectativa te´orica (n= 3). A qualidade do ajuste,
medido pelo coeficiente de determina¸c˜ao resultou em
0,95. Desta forma a express˜ao (24) tem o poder de
explicar de maneira muito boa a potˆencia m´axima em
fun¸c˜ao da velocidade m´axima nos trˆes grupos de au-
tom´oveis. A compara¸c˜ao das constantes multiplicati-
vas evidencia uma evolu¸c˜ao dos autom´oveis atuais em
rela¸c˜ao aos dos anos 60 e 70, pois hoje a mesma ve-
locidade pode ser atingida com uma potˆencia inferior,
perfazendo aproximadamente 70% (3,59/5,16 = 0,70)
da potˆencia dos ve´ıculos antigos. J´a as caminhonetas
esportivas atuais necessitam desenvolver uma potˆencia
que perfaz aproximadamente 170% (6,02/3,59 = 1,68)
da potˆencia dos autom´oveis atuais para trafegarem na
mesma velocidade. A aerodinˆamica dessas caminhone-
tas, tanto por ter coeficiente de arrasto quanto ´area
frontal maior do que dos autom´oveis atuais, determina
a necessidade de investir uma potˆencia de tra¸c˜ao supe-
rior `a dos autom´oveis para trafegar na mesma veloci-
dade. Estes ve´ıculos, do ponto de vista do consumo
energ´etico, expressam uma contradi¸c˜ao com as apre-
goadas necessidades de economia de combust´ıveis pois
maior potˆencia demanda um consumo maior de com-
bust´ıvel no mesmo percurso.
Figura 3 - Diagrama de dispers˜ao da potˆencia contra a veloci-
dade m´axima nos trˆes grupos de autom´oveis e equa¸c˜oes de ajus-
tamento.
7. Potˆencia de tra¸c˜ao em rampas
Se um ve´ıculo automotor se movimenta em um aclive,
a express˜ao (12) deve ser modificada para contemplar
o fato de que a componente do peso do ve´ıculo paralela
`a pista resiste ao seu avan¸co. Sendo θo ˆangulo de in-
clina¸c˜ao da pista com a horizontal, a express˜ao (12)
deve ser modificada para
At=A+Fa+M . g . senθ, (25)
At=α . N +1
2. ρ . C . S . v 2+M . g . senθ. (26)
Substituindo-se a Eq. (26) na Eq. (9) obt´em-se
finalmente para a potˆencia de tra¸c˜ao
PTra¸c˜ao ∼
=1
2. ρ . C . S . v 3+α . M. g. cosθ . v +
M. g. senθ . v, (27)
onde o terceiro termo a direita da express˜ao (27)
relaciona-se `a potˆencia necess´aria para vencer a re-
sistˆencia do campo gravitacional (este terceiro termo
´e nulo em pistas horizontais).
Potˆencia de tra¸c˜ao de um ve´ıculo automotor que se movimenta com velocidade constante 1304-7
Conforme Silveira [4], a inclina¸c˜ao m´axima re-
comendada pelo DNIT para rodovias de Classe 0
(estradas brasileiras do tipo BR, onde acontecem os
mais altos fluxos de ve´ıculos) ´e de cerca de 3◦. Con-
sideremos um autom´ovel de porte m´edio com quatro
passageiros (massa total de aproximadamente 1600 kg),
com coeficiente de arrasto de 0,35, ´area frontal de 2 m2,
movimentando-se com velocidade constante de 90 km/h
(25 m/s) em um aclive com 3◦de inclina¸c˜ao. Ent˜ao a
potˆencia de tra¸c˜ao calculada pela express˜ao (27) resulta
em
PTra¸c˜ao ∼
=1
2.1,22 .0,35 .2.253+
0,01 .1600.9.8.cos (3◦).25 +
1600.9.8.sen (3◦).25,
PTra¸c˜ao ∼
=6,67 .103+
3,91 .103+ 20,52 .103= 31,10 .103W,(28)
PTra¸c˜ao ∼
=42 cv.(29)
´
E importante notar que mais de 60% da potˆencia
de tra¸c˜ao necess´aria para se movimentar nesse aclive ´e
dispendida para vencer a resistˆencia devida ao campo
gravitacional. Entretanto para um autom´ovel m´edio,
com potˆencia nominal m´axima superior a 100 cv, tal
n˜ao se constitui em um problema e ele poder´a trafegar
nesses aclives a 90 km/h ou mais.
Imaginemos agora um caminh˜ao com massa de
40.000 kg (caminh˜oes desse porte ou at´e maiores
trafegam comumente em rodovias de Classe 0 ), ´area
frontal de 6 m2,coeficiente de arrasto de 0,7, trafegando
a 90 km/h (25 m/s) no mesmo aclive. A potˆencia de
tra¸c˜ao resulta em
PTra¸c˜ao ∼
=1
2.1,22 .0,7.6.253+
0,01 .40000 .9,8.cos (3◦).25 +
40000 .9,8.sen (3◦).25,
PTra¸c˜ao ∼
=40,03 .103+ 97,87 .103+
512,89 .103= 650,79 .103W,(30)
PTra¸c˜ao ∼
=879 cv.(31)
O valor calculado na Eq. (31) excede em muito
a potˆencia nominal m´axima dos motores de caminh˜ao,
impedindo-os de trafegar em aclives com esta inclina¸c˜ao
na velocidade pressuposta; a velocidade compat´ıvel com
a potˆencia dos motores desses caminh˜oes situa-se, em
tais aclives, em aproximadamente 40 km/h. Adicional-
mente quando um caminh˜ao desce pela mesma rampa,
a potˆencia desenvolvida pelo campo gravitacional deixa
de ser resistente para ser motora e os sistemas de freio
do ve´ıculo (freio por atrito e freio motor) ter´a que ser
capaz de absorver e dissipar tal potˆencia sob pena de
a velocidade crescer excessivamente. Assim se entende
porque em rodovias de Classe 0 n˜ao deve haver ram-
pas com inclina¸c˜oes superiores a 3◦; adicionalmente em
rampas com estas inclina¸c˜oes, faz-se necess´aria uma ter-
ceira pista para que os caminh˜oes possam trafegar em
velocidades menores do que a dos autom´oveis, sem en-
tretanto congestionar o trˆansito. Na express˜ao (30) os
termos de potˆencia relativos `a supera¸c˜ao da resistˆencia
do ar e da resistˆencia ao rolamento quando somados
resultam em cerca de 190 cv, e dado que a potˆencia
nominal m´axima do caminh˜ao ´e de duas ou mais cen-
tenas de cavalos-vapor, conclui-se que facilmente este
ve´ıculo pode manter a velocidade de 90 km/h ou mais
em pistas horizontais.
8. Conclus˜ao
Neste artigo tratamos das resistˆencias ao movimento
de um ve´ıculo automotor, demonstrando teoricamente
e comprovando empiricamente que a potˆencia de tra¸c˜ao
para manter o autom´ovel com velocidade constante em
uma pista horizontal com velocidade igual ou supe-
rior a 100 km/h destina-se quase que exclusivamente
a vencer o arrasto do ar. Nesta situa¸c˜ao a potˆencia
de tra¸c˜ao est´a relacionada `a velocidade por uma “lei
de potˆencia” com expoente aproximadamente igual a
3 conforme obtido por regress˜ao para trˆes grupos de
autom´oveis, perfazendo 155 pares ordenados de veloci-
dade e potˆencia m´axima em usuais testes de desem-
penho de ve´ıculos automotores.
O desenvolvimento do tema envolve uma
matem´atica elementar mas uma f´ısica rica conceitual-
mente, propiciando a abordagem de interessantes
temas, geralmente omissos em textos de f´ısica geral,
como a resistˆencia ao rolamento e como o arrasto iner-
cial produzido pelo ar sobre um corpo em movimento
atrav´es do fluido. O interesse que os conhecidos testes
de desempenho de autom´oveis despertam nos alunos
pode ser aproveitado para iniciar e aprofundar os con-
ceitos e a teoria sobre a dinˆamica de ve´ıculos automo-
tores.
Referˆencias
[1] M.D. Artmonov, V.A. Ilarionov and N.M. Morin, Mo-
tor Vehicles (MIR, Moscou, 1976).
[2] R. Bosch, Manual de Tecnologia Automotiva (Edgard
Blucher, S˜ao Paulo, 2005).
[3] C.E. Aguiar e G.A Rubini, Revista Brasileira de Ensino
de F´ısica 26, 297 (2004).
[4] F.L. Silveira, F´ısica na Escola 8(2), 16 (2007).