Content uploaded by Thomaz Maia de Almeida
Author content
All content in this area was uploaded by Thomaz Maia de Almeida on Jul 26, 2016
Content may be subject to copyright.
Transformada wavelet como energia externa de contornos
ativos radiais
Thomaz M. Almeida1, Paulo C. Cortez1, Auzuir R. Alexandria2, John H. S. Fe
´lix3
1Departamento de Teleinforma
´tica – Universidade Federal do Ceara
´(UFC)
Caixa Postal 6007 – 60.755-640 – Fortaleza – CE – Brasil
2´
Area da indu
´stria – Instituto Federal do Ceara
´(IFCE) – Fortaleza – CE
3Departamento de Engenharia e Energias
Universidade da Integrac¸a
˜o Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira – Redenc¸a
˜o – CE
{thomaz,cortez}@lesc.ufc.br, auzuir@ifce.edu.br, jhsfelix@gmail.com
Abstract. The active contour methods consist in minimizing the contours energy
calculated by the sum of internal energy and external energy which are respec-
tively dependent on the contour geometry and pixels intensity of the image to
be segmented. Traditionally, the external energy is calculated from the gradient
of input image. In this paper, we propose the validation of signal after wavelet
transform for calculating the radial active contours external energy. We tes-
ted in metallographic images for automatic calculation of mechanical hardness
and compared with the specialist calculations (based on ABNT NBR NM 187-1)
generating average differences around 5
Resumo. Os me
´todos de contornos ativos consistem na minimizac¸ a
˜o da energia
de contornos calculada pela soma da energia interna e da energia externa, que
sa
˜o, respectivamente, dependentes da geometria do contorno e da intensidade
dos pixels da imagem a ser segmentada. Tradicionalmente, a energia externa
e
´calculada pelo gradiente da imagem de entrada. Propo
˜e-se neste trabalho a
validac¸a
˜o do sinal transformado apo
´s transformada Wavelet para o ca
´lculo da
energia externa em contornos ativos radiais. Testes em imagens metalogra
´ficas
sa
˜o realizados visando o ca
´lculo automa
´tico da dureza Brinell e confrontados
com ca
´lculos manuais pelo especialista (mediante tabela da norma ABNT NBR
NM 187-1) gerando diferenc¸as medianas em torno de 5%.
1. Introduc¸ ˜
ao
O ensaio de dureza e
´fundamental para a avaliac¸a
˜o das propriedades meca
ˆnicas de
materiais met´
alicos, tais como resistˆ
encia ao desgaste, ductilidade, tens˜
ao de escoa-
mento, entre outras. A medic¸a
˜o manual de durezas e
´bastante subjetiva, pois a leitura
do valor do dia
ˆmetro (ou diagonal), da identac¸a
˜o do penetrador depende diretamente
do a
ˆngulo de visa
˜o do operador (efeito de paralaxe) e da calibrac¸a
˜o do equipamento
[Albuquerque et al. 2008].
Sistemas de Visa
˜o Computacional sa
˜o capazes de realizar ana
´lise automa
´tica
em imagens digitais, possuindo aplicac¸o
˜es em va
´rias a
´reas, tais como: Engenharia
Biome
´dica, Robo
´tica e Indu
´stria. Embora as aplicac¸o
˜es sejam diversas e frequente-
mente na
˜o relacionadas, os Sistemas de Visa
˜o possuem a etapa da segmentac¸a
˜o como
241
a mais importante, pois seu sucesso e
´primordial para a qualidade dos resultados obtidos
[Gonzalez and Woods 2008].
Dentre as te
´cnicas de segmentac¸a
˜o de imagens, destaca-se o me
´todo de contor-
nos ativos (MCA), conhecido como snakes [Kass et al. 1987], que permite segmentar as
imagens por detecc¸a
˜o de contorno. Essa te
´cnica consiste na deformac¸a
˜o de uma curva
ajustando-a ao contorno do objeto a ser segmentado. A deformac¸a
˜o ocorre atrave
´s da
busca das menores energias dependendo da geometria da curva (energia interna) e das
caracter´
ısticas da imagem (energia externa) [Kass et al. 1987].
Apesar de ser uma te
´cnica desenvolvida ha
´mais de 20 anos, ainda e
´bastante
citada por apresentar bons resultados em relac¸a
˜o ao custo computacional e a
`qualidade de
segmentac¸a
˜o. Desde a sua criac¸a
˜o, os MCAs te
ˆm sido utilizados como base para criac¸ a
˜o
de novas te
´cnicas de segmentac¸a
˜o, tais como: snakes balloon [Cohen and Cohen 1993],
snakes GVF [Xu and Prince 1998], t-snakes [Terzopoulos and Mcinerney 1999], active
rays [Denzler and Niemann 1996] e snakes radiais [Chen et al. 2001].
O MCA radial e
´semelhante aos active rays [Denzler and Niemann 1996] e foi
desenvolvido visando diminuir o custo computacional dos snakes, podendo ser aplicado
ate
´em situac¸o
˜es em tempo real [Chen et al. 2001]. O que torna o me
´todo mais ra
´pido e
´a
mudanc¸a nos ca
´lculos da energia e busca da m´
ınima energia de duas dimenso
˜es (2D) para
uma u
´nica dimensa
˜o (1D); a implementac¸a
˜o do algoritmo, a estrutura de dados etc; se
tornando muito u
´til no rastreamento de pessoas e objetos [Denzler and Niemann 1996].
A transformada Wavelet (TW) e
´uma poderosa ferramenta de processamento de
sinais, que permite analisar um sinal tanto no dom´
ınio da freque
ˆncia como no dom´
ınio do
tempo [Daubechies 1990].
Este trabalho propo
˜e utilizar a transformada wavelet unidimensional (1D) como
nova energia externa de contornos ativos radiais para realizar uma medic¸a
˜o automa
´tica da
dureza Brinell, a partir de imagens metalogra
´ficas.
2. Dureza Brinnel
Os ensaios meca
ˆnicos para medic¸a
˜o de dureza sa
˜o amplamente utilizados para analisar
algumas das caracter´
ısticas meca
ˆnicas presentes em materiais meta
´licos. A partir da
medic¸a
˜o da dureza pode-se estimar, por exemplo, a resiste
ˆncia a
`deformac¸a
˜o pla
´stica
permanente, a resiste
ˆncia a
`penetrac¸a
˜o de um material duro em outro, a resiste
ˆncia do
material ao desgaste, informac¸o
˜es sobre ductilidade, tratamento te
´rmico, tensa
˜o de esco-
amento e de corte, entre outras caracter´
ısticas.
O ensaio de dureza Brinell consiste na aplicac¸ a
˜o de uma carga esfe
´rica de ac¸o
endurecido (temperado) de um determinado dia
ˆmetro D sobre uma superf´
ıcie polida de
um metal por meio de uma carga P durante um determinado tempo, produzindo uma a
´rea
esfe
´rica de dia
ˆmetro d (Figura 1).
A dureza Brinell (HB) e
´a relac¸a
˜o entre a carga aplicada Fe a a
´rea esfe
´rica im-
pressa no metal ensaiado e pode ser calculada por [Callister 2002]
HB =2P
πD[D−√D2−d2],(1)
242 Artigos Completos
Figura 1. Impressa
˜o do penetrador de dureza Brinell.
em que Prepresenta a carga aplicada em kgf, Do dia
ˆmetro da esfera penetradora e da
diagonal me
´dia da identac¸a
˜o em mm.
Para a aplicac¸a
˜o do sistema desenvolvido deve-se adquirir a imagem da calota do
penetrador atrave
´s de microscopia o
´ptica. Para a obtenc¸a
˜o de resultados satisfato
´rios na
medic¸a
˜o, os corpos de prova sa
˜o preparados de acordo com a norma ABNT NBR NM
187-1 [ABNT 1999], visando a eliminac¸a
˜o de impurezas no material.
3. MCA tradicional
O MCA tradicional, proposto por [Kass et al. 1987], consiste inicialmente em criar uma
curva em torno do objeto de interesse. Esta curva e
´conduzida, atrave
´s de forc¸as, ate
´a
`s
bordas do objeto e evolui de tal modo que a sua energia diminui a cada nova iterac¸ a
˜o. O
MCA e
´a parametrizac¸a
˜o 2D de uma curva geome
´trica da forma [Bouhours 2006]
n[ 0,1] →R2s→c(s) = [x(s), y(s)] (2)
O modelo e
´chamado deforma
´vel porque ele esta
´descrito por uma func¸a
˜o energia
Esque varia em [Kass et al. 1987]
Es=Z1
0[Eint(c(s)) + Eext (c(s))]ds, (3)
em que Es´
e a energia total do contorno, Eext a energia externa e Eint a energia interna.
A energia externa Eext diz respeito a
`frac¸a
˜o da energia totalmente obtida a partir
de informac¸o
˜es da imagem e pode ser definida por [Sonka et al. 2008]
Eext =wlineEline +wg radEgrad +wtermEterm ,(4)
em que Eline considera a energia proveniente das linhas, Egrad a energia oriunda do gra-
diente da imagem e Eterm a energia advinda das terminac¸ ˜
oes. Os termos wline ,wgrad e
wterm sa
˜o os fatores de ponderac¸a
˜o realativos a cada termo na Equac¸a
˜o 4.
O gradiente da imagem pode ser adotado como termo u
´nico de Eext, pois,
este termo j´
a considera as bordas levando em conta as linhas e terminac¸ ˜
oes
[Nixon and Aguado 2002].
Computer on the Beach 2012 243
A energia Eint representa a parcela da energia composta pelas forc¸as internas do
MCA. Estas forc¸as dependem diretamente do formato do contorno e sa
˜o definidas por
Eint =Z1
0[e1|c0(s)|2+e2|c00(s)|2]ds, (5)
em que |c0(s)|e|c00(s)|representam, respectivamente, a primeira e segunda derivac¸a
˜o e os
termos e1ee2sa
˜o coeficientes de releva
ˆncia para as duas forc¸ as citadas [Kass et al. 1987].
O primeiro termo da Equac¸ a
˜o 5, |c0(s)|, e
´a forc¸a de elasticidade. Esta forc¸a
exprime a faculdade para cada ponto da curva se distanciar ou se aproximar dos pontos
vizinhos deixando-os uniformemente espac¸ados.
O segundo termo, |c00(s)|, e
´a forc¸a de suavizac¸a
˜o da curva. Esta atua no
espac¸amento angular interno ao contorno evitando a
ˆngulos agudos, mantendo o contorno
cont´
ınuo e suave.
4. MCA radial
Um dos primeiros trabalhos envolvendo detecc¸a
˜o de contorno em feixes radiais datam de
1983 [Buda et al. 1983], pore
´m, um dos trabalhos mais conhecidos e relevantes sobre o
tema e
´conhecido como Active Rays [Denzler and Niemann 1996].
A te
´cnica e
´aplicada em rastreamento de contornos em tempo real e consiste em
definir um ponto de origem dentro desse contorno e, a partir da´
ı, encontrar os pontos que
o definem. A busca e
´efetuada ao longo de raios que divergem a partir de uma origem
central m. Para isso, equac¸o
˜es do MCA tradicional sa
˜o adaptadas. O contorno c(s)passa
a ser definido como
n[ 0,1] →R2s→c(s) = cm[φ(s), λ(s)] (6)
em que c(s)e
´o contorno ativo e cm(s)e
´o contorno definido a partir da origem m, em
coordenadas polares (φ, λ)[Denzler and Niemann 1996].
Similarmente ao MCA tradicional, a energia total, E, e
´dada por
[Denzler and Niemann 1996]
E=Z1
0[Ei(λ(φ)) + Ee(λ(φ))]ds, (7)
em que Ee
´a energia total do contorno, EeeEisa
˜o, respectivamente, as energias externas
e internas ao longo do Active Ray λem um a
ˆngulo φ.
[Denzler and Niemann 1996] calculam a energia interna em cada ponto do con-
torno cmpor
Ei(cm) = α(φ)|d
dφ λ(φ)|2+β(φ)|d2
dφ2λ(φ)|2
2,(8)
em que α(φ)eβ(φ)sa
˜o os coeficientes de releva
ˆncias para cada a
ˆngulo φao longo do
raio λ.
244 Artigos Completos
O primeiro termo da Equac¸a
˜o 8 remete a
`forc¸a de elasticidade e o segundo a
`forc¸a
de suavizac¸a
˜o. Observa-se pela referida Equac¸a
˜o que estas energias, diferentemente do
MCA tradicional, podem ser calculadas ao longo de um raio de tamanho λ.
Outro trabalho relevante e
´o conhecido contornos ativos radiais o
´timos
[Chen et al. 2001], em que e
´utilizado programac¸a
˜o dina
ˆmica na busca da otimizac¸a
˜o
da energia do contorno. [Chen et al. 2001] definem a energia externa Eeem func¸a
˜o do
gradiente da imagem a ser segmentada
Ee(cm(φ)) = θ(φ)g
−
dλ(φ)
dφ
2
(9)
em que θ(φ)e
´o fator de ponderac¸a
˜o desta energia e ge
´uma func¸a
˜o na
˜o linear monotoni-
camente crescente ao longo do raio λem um a
ˆngulo φ.
Por possuir um sistema de busca unidimensional (ao longo do raio) o MCA ra-
dial realiza ca
´lculos mais rapidamente podendo ser embarcado em dispositivos DSP.
[Gemignani et al. 2007], por exemplo, aplicaram a te
´cnica embarcada em DSPs visando
a segmentac¸a
˜o de arte
´rias em imagens de ultrassom.
5. A transformada Wavelet
A transformada Wavelet (TW) de uma func¸ a
˜o real e
´definida por [Mallat 2008]
Wf(u, s) = Z+∞
−∞
f(t)ψu,s(t)dt, (10)
em que a func¸a
˜oψ(t) = ψ1,0(t)e
´denominada Wavelet-ma
˜ee as demais, obtidas por meio
de translac¸a
˜oue escalas de para
ˆmetros s, sa
˜o chamadas de Wavelets-filhas e sa
˜o definidas
por [Mallat 2008]
ψ(u,s)(t) = 1
q|s|ψt−u
s,(11)
em que o para
ˆmetro bfavorece o deslocamento da Wavelet e o termo 1
√sevita que
mudanc¸as de escala alterem a energia da func¸a
˜o.
Uma caracter´
ıstica importante da TW e
´que ela pode funcionar como um bom
detector de bordas em sinais, pois, nas proximidades de uma descontinuidade h´
a um cru-
zamento por zero da TW. Um exemplo de ana
´lise da TW em um determinado sinal e
´
mostrado na Figura 2 em que ha
´um cruzamento por zero da TW para o lado positivo
quando o sinal cruza para o lado negativo.
Baseado na Figura 2 e
´poss´
ıvel inferir que o pico e o vale da TW nem sempre
acontecem exatamente no pico e no vale do sinal. Existe um atraso (ou adiantamento) por
parte da transformada wavelet. Logo, e
´poss´
ıvel que o pico da transformada se de
ˆantes
do cruzamento por zero do sinal, exatamente quando ele cruzar ou depois de ter cruzado,
que sa
˜o as situac¸o
˜es exemplificadas nas Figuras 3 (a), (b) e (c), respectivamente.
Para permitir a recuperac¸a
˜o do sinal f(t)apo
´s a operac¸a
˜o com a
transformada, aplica-se a anti-transformada da Wavelet reconstruindo o sinal
[Gonzalez and Woods 2008]
Computer on the Beach 2012 245
Figura 2. Exemplo de TW em um determinado sinal.
Figura 3. Pico da TW em relac¸ a
˜o a um determinado sinal em que (a) esta
´atrasada
(b) no cruzamento por zero e (c) adiantada.
f(t) = 1
CΨZ∞
0Z∞
−∞
WΨ(u, s)Ψu,s(t)
u2dsdu, (12)
em que [Gonzalez and Woods 2008]
CΨ=Z∞
−∞
|Ψ(µ)|2
|µ|dµ, (13)
eΨ(µ)e
´a transformada de Fourier de ψ(t).
6. Transformada Wavelet como energia externa
A TW possui uma importante caracter´
ıstica que a faz muito eficiente se utilizada como
energia externa de contornos ativos radiais. O me
´todo proposto consiste em aplicar a TW
1D ao longo dos raios da imagem, representados por coordenadas polares, e utilizar a
reconstruc¸a
˜o do sinal como energia externa de contornos ativos radiais. Para que, dessa
maneira, os pontos de controle (no
´s) dos raios sejam guiados a
`s bordas, que sa
˜o valores
ma
´ximos da TW. Ou seja, visto que existe um crescimento no valor da TW e um pico na
descontinuidade do sinal, os no
´s do MCA radial sa
˜o guiados a este pico (Figura 4).
Figura 4. Exemplo da TW de um pulso unita
´rio somado a
`derivada do mesmo.
Sabe-se que a Wavelet-m˜
ae pode assumir diversas formas e sua escolha e
´um fator
importante para um bom resultado [Parranga 2002]. Na
˜o apenas a Wavelet escolhida mas
246 Artigos Completos
tambe
´m a largura do sinal influenciam no seu resultado. Como ja
´mostrado na Figura 3 a
TW pode na
˜o ser precisa. Este fato e
´um problema no tocante a
`detecc¸a
˜o de bordas, visto
que a TW pode ter um pico adiantado ou atrasado em relac¸a
˜o ao sinal, fazendo os no
´s do
MCA radial estacionarem em uma falsa borda.
Para contornar essa perda de precisa
˜o torna-se necessa
´rio a adesa
˜o da derivada do
sinal a
`Wavelet reconstru´
ıda. Para que, dessa maneira, haja um pico em toda borda do
sinal. Um exemplo disto esta
´ilustrado na Figura 5 em que ha
´a func¸a
˜o pulso unita
´rio
f(t)da Figura 4 e a reconstruc¸ a
˜o da TW somada a
`derivada de f(t). Dessa maneira e
´per-
cept´
ıvel o suave crescimento da energia wavelet e seu pico no pico do sinal (representando
as bordas de um objeto).
Figura 5. Exemplo da TW de um pulso unita
´rio somado a
`derivada do mesmo.
A energia TW e
´normalizada entre 0 e 1 e e
´utilizado seu valor absoluto como
energia externa. Desta maneira, a energia externa dos snakes radiais e
´dada por
Eext(λ, φ) = |f(t)|,(14)
em que f(t)e
´o sinal reconstru´
ıdo, que pode ser normalizado pela expressa
˜o
En
ext(λ, φ) = 1 −|f(λ)|
max(|f(λi)|),(15)
e somado a
`derivada do sinal normalizada. Logo, a nova energia externa e
´ca
´lculada por
En
ext(λ, φ) = "1−|f(λ)|
max(|f(λi)|)#+
df (φ)
dφ
2
,(16)
para λi∈[0, λmax], em que λmax e
´o u
´ltimo ponto atingido pelo raio em que a energia
externa esta
´sendo calculada.
7. Metodologia
O algoritmo desenvolvido e
´implementado em Matlab utilizando te
´cnicas de processa-
mento e ana
´lise de imagem, e visa tornar mais preciso os resultados de medic¸a
˜o de dureza
Brinell.
Antes de realizar o ensaio da dureza deve-se preparar a amostra. Para tal e
´reali-
zado polimento utilizando lixas com granulometria ate
´600 µm e pasta de diamante ate
´
1/4µm. O ensaio e
´realizado e as imagens sa
˜o adquiridas atrave
´s de microscopia o
´ptica
utilizando o microsco
´pio ZEISS modelo Jenaplan.
Computer on the Beach 2012 247
Durante o ensaio foi aplicado uma carga de valor P= 187,5kgf e um dia
ˆmetro
Ddo penetrador igual a 2,5mm. Apo
´s a obtenc¸a
˜o das imagens e
´realizado o ca
´lculo au-
toma
´tico da dureza Brinell utilizando o sistema de segmentac¸a
˜o baseado no MCA radial.
Apo
´s va
´rios testes verificou-se que as melhores Wavelets-ma
˜e foram de Meyer
(DMEY) em seu 5on´
ıvel de decomposic¸a
˜o e de Daubechies (DB10) em seu 6on´
ıvel de
decomposic¸a
˜o por possu´
ırem os melhores resultados dado a
`s caracter´
ısticas das imagens
de dureza.
8. Testes e resultados obtidos
Para verificar a eficie
ˆncia do uso da transformada Wavelet como energia externa em al-
goritmos de contornos radiais e
´implementado o MCA utilizando como expresso
˜es para
ca
´lculo das energias internas a Equac¸a
˜o 8. Como energia externa e
´utilizada a Equac¸a
˜o
16. Para a minimizac¸a
˜o da energia total do contorno utiliza-se o algoritmo guloso com
espac¸o de busca ao longo do raio. O espac¸o de busca e
´composto pela vizinhanc¸a de 2
pontos do raio: o ponto atual, dois pontos depois e dois pontos antes, totalizando 5 pontos
verificados.
Um exemplo de um resultado experimental obtido e
´apresentado na Figura 6, em
que a partir dos dia
ˆmetros do contorno apresentado em vermelho e
´realizado o ca
´lculo da
dureza Brinell mediante Equac¸a
˜o 1.
Figura 6. Resultado da segmentac¸ a
˜o da identac¸a
˜o da dureza Brinell a partir da
imagem da Figura 1.
Os resultados obtidos pelo ca
´lculo manual, consultando a tabela correspondente
da norma ABNT NBR NM 187-1 [ABNT 1999] e pelo sistema desenvolvido, podem ser
comparados na Tabela 1.
Na referida tabela e
´ainda apresentado o erro me
´dio entre as duas Wavelets es-
colhidas e a medida via norma ABNT NBR NM 187-1 [ABNT 1999] gerando um erro
mediano de 5.68% e 3.78% para as duas wavelets testadas, de Meyer e Daubechies, res-
pectivamente.
9. Conclusa
˜o
Os resultados obtidos pelo me
´todo proposto mostram que a reconstruc¸ a
˜o da transformada
Wavelet e
´bastante eficiente em relac¸a
˜o a
`s definic¸o
˜es mais cla
´ssicas de energia externa
248 Artigos Completos
Img ABNT dmey erro %db erro %
01 295 273 7,45 302 2,37
02 246 248 0,81 251 2,03
03 239 237 0,83 248 3,76
04 236 240 1,69 245 3,81
05 298 227 23,8 240 19,4
06 219 310 41,5 203 7,30
07 222 210 5,40 212 4,50
08 257 232 9,72 245 4,66
09 222 210 5,40 217 2,25
10 200 207 3,50 203 1,50
11 211 205 2,84 212 0,47
12 249 254 2,00 257 3,21
13 269 273 1,48 280 4,08
14 218 210 3,66 222 1,83
15 285 257 9,82 270 5,26
16 223 201 9,86 217 2,69
17 350 322 8,00 340 2,85
18 325 298 8,30 302 7,07
19 302 284 5,96 287 4,96
20 307 280 8,79 284 7,49
Tabela 1. Resultados das medidas de dureza Brinell.
e pode ser utilizada como energia externa em contornos ativos radiais. Em imagens de
dureza Brinell foi verificado uma relac¸a
˜o de depende
ˆncia entre a precisa
˜o da TW e a qua-
lidade do polimento da amostra, em que quanto melhor o polimento da amostra, melhor
a precisa
˜o da TW.
Apo
´s a validac¸a
˜o do me
´todo proposto esta
´sendo realizado um estudo so-
bre a robustez do me
´todo correlacionando diferentes tipos de Wavelets em diferentes
decomposic¸o
˜es e aplicac¸a
˜o do me
´todo em imagens me
´dicas como tomografia compu-
tadorizada, ressona
ˆncia magne
´tica card´
ıaca e ecocardiograma.
Refere
ˆncias
ABNT (1999). Nbr nm 187-1: Materiais meta
´licos - dureza brinell. parte 1: Medic¸a
˜o da
dureza brinell.
Albuquerque, V. H., Tavares, J. M. R., and Rebouc¸ as Filho, P. P. (2008). Medic¸a
˜o au-
toma
´tica da dureza brinnel utilizando te
´cnicas de processamento e ana
´lise de imagem.
5oCongresso Luso-Moc¸ambicano de Engenharia.
Bouhours, A. (2006). Segmentac¸a
˜o do ventr´
ıculo esquerdo em imagens de ecocardio-
gramas usando contornos ativos (snake). Mestrado, Universidade Federal do Ceara
´-
UFC, Fortaleza.
Buda, A. J., Delp, E. J., Meyer, C. R., Jenkins, J. M., Smith, D. N., Bookstein, F. L., and
Pitt, B. (1983). Automatic computer processing of digital 2-dimensional echocardio-
grams. The American Journal of Cardiology, 52(3):384 – 389.
Computer on the Beach 2012 249
Callister, W. D. (2002). Cie
ˆncia de Engenharia de Materiais: uma Introduc¸a
˜o. LTC, 5
edition.
Chen, Y., Huang, T. S., and Ave, N. M. (2001). Optimal radial contour tracking by
dynamic programming. pages 626–629.
Cohen, L. D. and Cohen, I. (1993). Finite-element methods for active contour models and
balloons for 2-d and 3-d images. IEEE transactions on Pattern analysis and Machine
Intelligence, 15(11):1131 – 1147.
Daubechies, I. (1990). The wavelet transform, time-frequencylocalization and signal
analysis. IEEE Transaction on Information Theory, 36(5):961–1005.
Denzler, J. and Niemann, H. (1996). Active rays: A new approach to contour tracking.
International Journal of Computing and Information Technology, 4:9–16.
Gemignani, V., Faita, F., Ghiadoni, L., Poggianti, E., and Demi, M. (2007). A system for
real-time measurement of the brachial artery diameter in b-mode ultrasound images.
Medical Imaging, IEEE Transactions on, 26(3):393–404.
Gonzalez, R. and Woods, R. (2008). Digital Image Processing, Third Edition. Prentice
Hall.
Kass, M., Witkin, A., and Terzopoulos, D. (1987). Snakes: active contours models.
International Journal on Computer Vision, 1:321 – 331.
Mallat, S. (2008). A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press.
Nixon, M. and Aguado, A. (2002). Feature Extration and Image Processing. Reed Edu-
cation and Professional Publishing Ltd, Oxford - UK.
Parranga, A. (2002). Aplicac¸˜
ao da transformada de wavelet na an´
alise e classificac¸ ˜
ao de
sinais de vozes patolo
´gicas. Master’s thesis, Universidade Federal do Rio Grande do
Sul - UFRS.
Sonka, M., Hlavac, V., and Boyle, R. (2008). Digital Image Processing And Computer
Vision. Nelson Engineering.
Terzopoulos, D. and Mcinerney, T. (1999). T-snakes: Topology adaptive snakes. Medical
Image Analysis, 4(2):73 – 91.
Xu, C. and Prince, J. L. (1998). Snakes, shapes, and gradient vector flow. IEEE Transac-
tions on Image Processing, 7(3):359 – 369.
250 Artigos Completos