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Obstáculos Epistemológicos na Aprendizagem de Grandezas e Medidas na Escola Básica

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Abstract

Resumo: O tópico de Grandezas e Medidas na escola básica está dentro de um dos grandes blocos de conteúdos considerados como fundamentais para a etapa da formação escolar pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino Fundamental. No entanto, muitos dos conceitos de Grandezas e Medidas não são compreendidos de forma adequada pelos alunos que se deparam com barreiras aparentemente intransponíveis para avançarem para as etapas posteriores do ensino. Tais dificuldades geram a má utilização de fórmulas matemáticas e a compreensão equivocada de algumas Grandezas como massa, temperatura, velocidade, densidade demográfica, entre outras, que se constituem em excelentes temas articuladores com outras áreas científicas (Química e Física, por exemplo). O objetivo deste artigo é analisar os erros mais comuns de Grandezas e Medidas, interpretando e classificando-os a partir dos quatro tipos de obstáculos no ensino de Matemática definidos por Guy Brousseau. Palavras-chave: Obstáculos de Aprendizagem. Medidas. Grandezas. 1. Introdução e fundamentação teórica As experiências vivenciadas por nós como professores, ou mesmo enquanto alunos, levaram-nos a investigar os equívocos mais comuns cometidos por alunos nos estudos envolvendo tópicos de Grandezas e Medidas. Através dessa investigação, queremos chegar a pistas dos obstáculos envolvidos no erro do aluno, sob a perspectiva de Guy Brousseau, as quais podem nos levar a uma reflexão da nossa metodologia de ensino para gerenciar e superar os obstáculos que comprometem a aprendizagem.
XIV EBRAPEM – Campo Grande, MS – 2010.
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Obstáculos Epistemológicos na Aprendizagem de Grandezas e
Medidas na Escola Básica
Luzia Maya Kikuchi1
Wanessa Aparecida Trevizan2
Resumo
O tópico de Grandezas e Medidas na escola básica está dentro de um dos grandes blocos de conteúdos
considerados como fundamentais para a etapa da formação escolar pelos Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) para o Ensino Fundamental. No entanto, muitos dos conceitos de Grandezas e Medidas não são
compreendidos de forma adequada pelos alunos que se deparam com barreiras aparentemente intransponíveis
para avançarem para as etapas posteriores do ensino. Tais dificuldades geram a má utilização de fórmulas
matemáticas e a compreensão equivocada de algumas Grandezas como massa, temperatura, velocidade,
densidade demográfica, entre outras, que se constituem em excelentes temas articuladores com outras áreas
científicas (Química e Física, por exemplo). O objetivo deste artigo é analisar os erros mais comuns de Grandezas
e Medidas, interpretando e classificando-os a partir dos quatro tipos de obstáculos no ensino de Matemática
definidos por Guy Brousseau.
Palavras-chave: Obstáculos de Aprendizagem. Medidas. Grandezas.
1. Introdução e fundamentação teórica
As experiências vivenciadas por nós como professores, ou mesmo enquanto alunos,
levaram-nos a investigar os equívocos mais comuns cometidos por alunos nos estudos
envolvendo tópicos de Grandezas e Medidas. Através dessa investigação, queremos chegar a
pistas dos obstáculos envolvidos no erro do aluno, sob a perspectiva de Guy Brousseau, as
quais podem nos levar a uma reflexão da nossa metodologia de ensino para gerenciar e superar
os obstáculos que comprometem a aprendizagem.
Foi o filósofo Gaston Bachelard (1884–1962) quem desenvolveu a noção de obstáculo
epistemológico. Suas análises eram dedicadas à concepção de rupturas entre o conhecimento
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comum e o conhecimento científico ao longo do tempo. Traçando um paralelo com o ensino,
essa ideia sugere que para ocorrer a aprendizagem, o aluno precisa romper ou desconstruir o
senso comum adquirido através de um conhecimento anterior, quando este o impede de
compreender uma nova situação em que nunca fora exposto anteriormente.
Podemos investigar, através do ponto de vista de Bachelard, a ideia do erro que tanto
aflige a vida de um aluno. Para o autor, o erro não significa o fracasso e sim um passo
importante para que se avance em um conhecimento novo. Se o senso comum é o que o
impede de progredir, então é necessário que ocorra uma ruptura. Desse modo, o professor não
deve recriminar um aluno que comete um erro ou equívoco, mas mostrar caminhos que levem
à compreensão do erro que necessita ser retificado para se chegar a uma conclusão aceita
como correta. O impedimento de se avançar no conhecimento é chamado por Bachelard de
obstáculo.
Jean Piaget (1896-1980) estudou o processo de equilibração na construção do
conhecimento, o que faz os trabalhos de Bachelard terem alguma aproximação com os de
Piaget. Em sua teoria de Epistemologia Genética, o sujeito constrói o pensamento através da
interação homem-objeto. O autor entende que esse processo constitui um fenômeno que tem
essencialmente um caráter universal, ou seja, de igual ocorrência para todos os indivíduos da
espécie humana, porém passível de variações conforme o conteúdo cultural em que o
indivíduo está inserido. Seguindo esse raciocínio, dois elementos básicos ao desenvolvimento
humano estão envolvidos no trabalho de Piaget: os fatores invariantes e os fatores variantes.
Os fatores invariantes são a sequência de estruturas biológicas que o indivíduo
adquire ao nascer. Na teoria Piagetiana, o indivíduo carrega em si marcas inatas e a
tendência natural à organização e à adaptação, mas que vão se desenvolvendo em
várias etapas de sua vida.
Os fatores variantes são as influências do meio sob o sujeito. A teoria psicogenética
mostra que a inteligência é algo construído em função das interações com o meio,
tanto físico como social, em um indivíduo. Diferente das estruturas biológicas, a
inteligência não é algo herdado.
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O processo de equilibração do sujeito envolve dois mecanismos que se complementam,
são eles: a assimilação e a acomodação.
A assimilação é quando existe a tentativa de integrar uma série de experiências, aos
esquemas previamente estruturados, para haver uma compreensão da realidade em que se está
inserido no momento. A acomodação consiste na concepção de ruptura com o conhecimento
do passado, provocando uma série de transformações nas informações que acomodara
anteriormente para dar lugar à nova informação. Assim, esses mecanismos distintos sempre
atuam juntos e de forma complementar.
Posteriormente, Guy Brousseau3, inspirado nas teorias de Piaget, aplicou o conceito de
obstáculo epistemológico de Bachelard à Didática da Matemática, que este último
concentrou as aplicações de sua teoria, predominantemente, nas áreas de Ciências, mas não
explicitamente em Matemática.
Para Brousseau, um obstáculo é um conjunto de dificuldades relacionadas a um
conhecimento, que foi adaptado adequadamente, mas para um caso específico ou sob
condições especiais. Ao surgir uma nova situação e, com ela, a necessidade de rupturas e
novas acomodações, esse conhecimento torna-se obstáculo, pois o indivíduo resiste às
novidades em defesa do conhecimento já estabelecido.
Brousseau ainda afirma que para ocorrer a aprendizagem, parte-se do ensino do saber,
passando por processos de reorganização didática e de possíveis erros e contradições para se
chegar à destruição dos conhecimentos precedentes. Porém, isso não indica que o obstáculo é
apenas manifestado por meio dos erros, mas também pela impossibilidade de enfrentar certos
problemas ou de resolvê-los de maneira satisfatória”. (GOMES, 2006, p.80).
A constatação, por parte do professor, de erros e impossibilidades recorrentes entre as
diversas turmas, ou recorrentes em um mesmo sujeito, pode ser um forte indício de obstáculo.
A teoria dos obstáculos constitui-se uma das ferramentas que pode ajudá-lo a interpretar o
fenômeno para, então, buscar soluções. De acordo com Brousseau (2001, p.66), não podemos
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“deixar que a instituição convença os alunos de que fracassam porque são idiotas – ou
doentes - porque nós não queremos enfrentar nossas limitações”.
Brousseau (2001, p.65) ainda aponta várias formas de lidar com os obstáculos:
Rejeitá-los implicitamente a cada vez;
Ignorá-los (e expor novamente a teoria, como se todo erro fosse decorrente do
desconhecimento da teoria apresentada mais recentemente);
Aceitá-los sem os reconhecer;
Analisá-los com os alunos;
Reconhecê-los, expô-los e dar-lhes explicitamente um lugar no projeto de ensino.
Dentro da Didática da Matemática, Brousseau define quatro tipos de obstáculos,
correspondentes a diferentes maneiras com que podem ser tratados no plano didático. Esses
quatro tipos de obstáculos são classificados em:
Epistemológicos
Estão ligados às dificuldades conceituais, por vezes também constatadas na história da Ciência.
Ou seja, tal obstáculo decorre da falta de conhecimento aprofundado do conteúdo ou da
compreensão do seu processo de desenvolvimento ao longo da História.
Didáticos
Originados, em geral, quando professores (na maioria dos casos, bem-intencionados)
simplificam um conceito muito abstrato ou complexo usando-se de restrições (como de
conjuntos numéricos) ou de excesso de simplificações (Efeito Topázio4). Ainda pode-se
originar por criação abusiva de metáforas (Efeito Jourdain5) como uma única forma de ver um
conceito.
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Psicológicos
Estão ligados à natureza afetiva do sujeito ou às crenças da comunidade em que ele está
inserido. Se um aluno tem uma família, cujos pais ou irmãos sempre tiveram dificuldades em
Matemática, há tendência de ele carregar seus medos e o rótulo de que seja uma disciplina
difícil e de pouca compreensão.
Ontogenéticos
Ocorrem quando a maturidade não é suficiente, ou quando outras dificuldades do
desenvolvimento psicogenético do sujeito o impedem de compreender um conceito novo. Ele
precisa adquirir uma maturidade mental, para compreender um assunto, a qual não
necessariamente precisa estar ligada à idade cronológica.
Esses quatro tipos de obstáculos servirão de referência para nossa análise de exemplos
comuns de erros em atividades práticas, ligadas ao assunto de Grandezas e Medidas.
2. Objetivo
O objetivo deste artigo é analisar os erros mais comuns de Grandezas e Medidas, a
partir de um levantamento empírico, interpretando e classificando-os a partir dos quatro tipos
de obstáculos definidos por Guy Brousseau para o ensino de Matemática.
3. Metodologia do trabalho
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) no currículo de
Matemática para o ensino fundamental, os quatro grandes blocos de conteúdos são divididos
da seguinte forma:
Números e operações;
Espaço e forma;
Tratamento da informação;
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Grandezas e Medidas.
Para o bloco de Grandezas e Medidas, tema deste nosso trabalho, o PCN traz a
seguinte descrição:
Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social devido a seu caráter prático e utilitário,
e pela possibilidade de variadas conexões com outras áreas do conhecimento. Na vida em
sociedade, as Grandezas e as Medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas.
Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a
utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. As atividades em que as noções de
Grandezas e Medidas são exploradas proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos
ao espaço e às formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos
números e das operações, da ideia de proporcionalidade e um campo fértil para uma
abordagem histórica. (BRASIL, 1997, p. 39-40)
Este trecho demonstra que a compreensão de Grandezas e Medidas é fundamental para
que o aluno saiba as aplicações do conteúdo aprendido em seu cotidiano. Além disso, estas
compreensões são fundamentais para o entendimento da disciplina Ciências e, posteriormente,
das disciplinas: Física e Química.
Assim, como o próprio PCN descreve, as Grandezas tratadas neste bloco são
comprimento, massa, tempo, volume, temperatura, além de outras que são determinadas pela
razão ou produto de outras duas como: velocidade, energia elétrica, densidade demográfica.
Porém, a compreensão equivocada dessas Grandezas gera obstáculos no entendimento de
conteúdos relacionados à Matemática como demonstraremos com alguns exemplos no tópico
Resultados e discussões.
Os exemplos da análise partiram de algumas experiências vividas por nós enquanto
professores, ou mesmo de exemplos de artigos relacionados ao assunto. Através deles,
apontaremos os possíveis obstáculos que envolvem o bloco de Grandezas e Medidas,
relacionando-os à classificação de Brousseau quanto aos quatro tipos de obstáculos.
4. Resultados e discussões
É necessário, antes de tudo, esclarecer que nem toda dificuldade apresentada pelos
alunos está sendo chamada de obstáculo epistemológico. De acordo com H. El Bouazzaoui
(1988), quando dificuldade, o problema se resolve sem questionamentos da teoria e das
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concepções em curso; quando há obstáculo, o problema se resolve após uma reestruturação do
pensamento, uma mudança do ponto de vista teórico.
Um obstáculo não é a ausência de conhecimento, mas um conhecimento, válido em um
campo restrito de atuação, o qual se torna obstáculo e/ou motor para outro conhecimento.
Desse modo, não consideraremos, por exemplo, as dificuldades de manipulação aritmética,
notação científica, e utilização de fórmulas como obstáculos em Medidas e Grandezas,
consideraremos como tal as concepções e hábitos, relacionados ao assunto e adquiridos pelos
alunos, que necessitam de uma reestruturação para o prosseguimento dos estudos.
Organizamos os obstáculos, diagnosticados a partir de nossa experiência, em 12
categorias, estando estas divididas em 3 grupos para melhor compreensão.
GRUPO A
OBSTÁCULOS VINCULADOS A NOÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
Não é por acaso que o ensino de Grandezas e Medidas encontra-se sob
responsabilidade da disciplina Matemática de acordo com o PCN. O entendimento dos
conceitos e das relações que este tópico envolve pressupõe o desenvolvimento de
competências intrinsecamente ligadas ao raciocínio matemático.
Vejamos agora como algumas noções fundamentais da Matemática, como a
proporcionalidade e os conjuntos numéricos, podem aparecer como obstáculos significativos
na aprendizagem de Grandezas e Medidas.
Obstáculo 1 - O raciocínio proporcional
A proporção, aqui compreendida como uma relação de igualdade entre duas ou mais
razões, é de fundamental importância para a compreensão das Medidas, bem como de diversos
outros temas que permeiam o ensino e as necessidades do mundo real.
Para Piaget, é no nível operatório formal (12 anos em diante) que o sujeito pode
construir vários esquemas operacionais, entre eles o de proporção. Desse modo, alguns
obstáculos na aprendizagem de Grandezas e Medidas podem ser causados pela necessidade de
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compreensão da proporcionalidade numa fase anterior do desenvolvimento. Nesse caso,
consideramos a proporção como um obstáculo ontogenético.
A proporção pode ser considerada ainda um obstáculo didático, quando o professor
induz a generalização desse conceito, levando o aluno a acreditar que a proporção vale sempre,
entre quaisquer Grandezas. Ela pode ser ainda obstáculo didático quando o aluno não é levado
a diferenciar Grandezas diretamente proporcionais de Grandezas inversamente proporcionais,
ou ainda Grandezas intensivas de Grandezas extensivas.
Vejamos como, por exemplo, as Grandezas extensivas podem operar como obstáculos
na aprendizagem de uma grandeza intensiva. Sabemos que uma grandeza é dita extensiva
quando exprime extensão, quantidade (comprimento, volume, energia), sua medida tem a
origem (o zero) bem determinada. Já a grandeza intensiva exprime intensidade (temperatura e
potencial elétrico) e não é adicionável. Exemplo: não é possível afirmar que uma temperatura
é o dobro da outra, pois isso depende da escala adotada.
Temperatura
Valor da temperatura na escala
Celsius
Kelvin
A
5ºC
278 K
B
10ºC
283 K
A impressão de que toda grandeza deva ser extensiva, pode gerar no aluno problemas
na compreensão das escalas de temperatura.
Obstáculo 2 – Os conjuntos numéricos.
Podemos considerar epistemológico um obstáculo como o conjunto dos números
racionais, porque na história da Matemática ele também aparece como um obstáculo. Os
gregos, até cinco séculos antes de Cristo, desenvolviam a Matemática sem aceitar a existência
de segmentos incomensuráveis. Quando o aluno não compreende o conjunto dos números
irracionais, torna-se difícil aceitar a relação existente entre as Medidas do diâmetro e do
perímetro de uma circunferência, por exemplo.
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GRUPO B
OBSTÁCULOS VINCULADOS À DICOTOMIA TEORIA-PRÁTICA6
O divórcio entre teoria e prática, frequente no ensino, gera dificuldades, que são
evidentes sobretudo na estimativa e antecipação de resultados. Faz-se necessário, na escola, o
uso de instrumentos de medida para que o aluno compreenda o verdadeiro significado do
processo de medição, bem como a questão da precisão e as particularidades de cada grandeza.
Obstáculo 3 – Medidas enunciadas
Nota-se que, no cotidiano escolar, dificilmente faz-se medição concreta. A realidade só
é evocada nos enunciados. Isso gera um obstáculo didático, pois ao deparar-se com a
necessidade de fazer uma medida efetivamente, o aluno pode não saber selecionar e/ou
manusear os recursos apropriados.
Obstáculo 4 – Grandezas discretas
Outro obstáculo didático pode surgir dessa vez como resultado da simplificação dos
exercícios para facilitar os cálculos, ou adaptar-se aos conhecimentos do aluno em termos de
conjuntos numéricos. São fornecidas sempre Medidas exatas (preferencialmente, inteiras) que
levam o aluno a desconsiderar a natureza contínua de grande parte das Grandezas estudadas
(comprimento, massa, tempo etc.).
Obstáculo 5 – A representação do objeto
Passaremos a analisar a figura como obstáculo didático que, frequentemente, surge
num trabalho com Medidas. É comum, na didatização de um tema geométrico, a utilização de
figuras que ilustram o que está enunciado em palavras. Consensualmente, são válidas apenas
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as informações fornecidas no enunciado, ou explícitas na figura, através de símbolos. No
entanto, nem sempre é clara para o aluno a distinção entre a representação (figura) e o objeto
que está sendo tratado de fato, isso porque o aluno está acostumado com outro tipo de
representação, na qual as informações podem ser desprendidas das próprias figuras, figuras
que ele deve observar, medir, e assim por diante.
Vejamos um caso em que surgiu este obstáculo:
Ao responder a questão7 anterior, uma de nossas alunas do ano do Ensino Médio
procedeu do seguinte modo: mediu a parte do corrimão que representa 30 cm e verificou que
na parte inclinada do corrimão cabiam quatro vezes essa medida, isso a fez concluir que a
parte inclinada do corrimão media 120 cm. Logo, respondeu que o comprimento total do
corrimão era de 180 cm, ou seja, 1,8 m (alternativa a). Foi difícil convencê-la de que a figura
era apenas uma representação do objeto analisado, nem sequer proporcional a este objeto. A
escada de que se perguntava não estava ali no papel, era um objeto abstrato, do qual se
conheciam as propriedades explícitas no enunciado e, numericamente, na figura. Para
responder esta questão, era necessário lançar mão de um conhecimento que ela possuia o
Teorema de Pitágoras. Para os fins do presente trabalho, no entanto, é interessante constatar o
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fato de que a representação do objeto pode constituir-se um obstáculo didático para a
resolução de um problema.
Obstáculo 6 – Precisão
O estudo do erro instrumental é fundamental num tópico como o de Grandezas e
Medidas. Em “Os diferentes papéis do professor”, o próprio Brousseau transcreve uma aula de
Medidas e Grandezas, na qual pudemos observar a presença de um obstáculo de natureza
didática.
A professora leva para a sala de aula um recipiente vazio, um copo, uma balança e um
balde de água e realiza com os alunos a pesagem de um copo de água, dois, três. No decorrer,
das pesagens a professora faz perguntas e não as responde.
O peso8 do primeiro copo, os alunos “chutam” como numa brincadeira de adivinhação.
O peso do segundo copo, multiplicam por dois. Ao perceber que os dois copos, pesam menos
que o dobro de um, eles são induzidos a pensar que essa diferença é o peso do recipiente. Por
isso, ao estimar o peso do terceiro copo, eles somam apenas o peso correspondente à água de
um copo. No entanto, a experiência lhes garante um fracasso, pois, feita a pesagem, percebem
que os cálculos não batem com a realidade.
A professora não lhes dá explicação. Se não fazia parte da aula trabalhar o conceito de
precisão, os materiais e procedimentos deveriam ser melhor selecionados. Um dos alunos se
pronuncia: “O copo não está cheio exatamente do mesmo modo, cada vez”. Mas não é levado
em conta. A precisão de seu instrumento de medida (copo) não é discutida. Os alunos
concluem que várias pesagens de um mesmo objeto não oferecem o mesmo valor. Este
equívoco ocorre, pois para o aluno está subentendido que toda medição é precisa, como nos
enunciados dos exercícios.
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GRUPO C
OBSTÁCULOS VINCULADOS À RELAÇÃO
OBJETO-MEDIDA-GRANDEZA
Por que falar de Grandezas e Medidas, não são ambas a mesma coisa?
Utilizaremos o esquema acima representado9 para facilitar a compreensão desta
questão e para elencar os próximos seis obstáculos que observamos. Nele, o CONJUNTO
OBJETO é levado no CONJUNTO GRANDEZA pela função g. Este, por sua vez, é levado no
CONJUNTO MEDIDA através da função µ. E a função m, que leva o CONJUNTO OBJETO
no CONJUNTO MEDIDA pode ser interpretada como a composta das funções g e µ.
Para os propostos deste trabalho, define-se grandeza como tudo o que pode ser medido.
São exemplos de Grandezas: comprimento, tempo, massa, força, velocidade e temperatura.
Medida é um processo, através do qual estabelecemos valores numéricos a uma grandeza.
Por exemplo, suponhamos que o CONJUNTO OBJETO seja formado pelas figuras
geométricas planas. Neste caso, podemos eleger como CONJUNTO GRANDEZA, por
exemplo, o Conjunto área ou o Conjunto perímetro. Suponhamos que tenhamos escolhido a
primeira opção. Então, cada elemento do CONJUNTO OBJETO será levado, pela função g
(uma função comparativa) à classe dos objetos de mesma área, que corresponde a um dos
elementos do CONJUNTO GRANDEZA. Essa classe de objetos é levada, por meio da função
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µ (uma medição escolhida), a um número real não negativo, elemento do CONJUNTO
MEDIDA.
No exemplo escolhido, pode-se perceber que o CONJUNTO OBJETO é formado por
superfícies planas, o CONJUNTO GRANDEZA é formado por classes de equivalência de
superfícies de mesma área e o CONJUNTO MEDIDA é formado por números reais não
negativos, e que:
A relação exemplificada pode ser estendida aos demais objetos, Grandezas e Medidas.
Obstáculo 7 – CONJUNTO OBJETO
Analisemos o caso em que na transformação da unidade cm² para m² o aluno divide a
medida por 100. Notoriamente, a compreensão das propriedades de um CONJUNTO OBJETO
(o das figuras unidimensionais) tornou-se obstáculo didático para a compreensão de outro
CONJUNTO OBJETO (o das figuras bidimensionais).
Obstáculo 8 – CONJUNTO MEDIDA
Escolher a unidade de medida incorreta ou adicionar Medidas sem fazer a conversão
de unidades são erros que apontam para um obstáculo didático.
No ensino, é importante que se dê oportunidade ao aluno de efetuar medições de forma
intuitiva, com o emprego de unidades não convencionais e próximas de seu dia-a-dia. Tais
atividades podem contribuir para a compreensão do caráter arbitrário da unidade e para
desenvolver a habilidade de adequar a unidade à grandeza a ser medida. (LIMA 2004, p.13)
Obstáculo 9 – CONJUNTO GRANDEZA
A confusão entre Grandezas por parte do aluno aponta para um obstáculo que pode ser
considerado:
- Psicológico, no caso de confundir peso e massa. A comunidade em que está inserido,
sua família, seus pais, provavelmente chamam de peso a medida que fazem na balança.
Figura sua área medida numérica de sua área!
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Portanto, para ele há uma relação natural com essa nomenclatura, que pode constituir um
obstáculo para a compreensão do conceito científico de massa e peso.
- Epistemológico nos demais casos, como confundir área e perímetro, massa e volume
e assim por diante.
- Epistemológico ainda no caso em que a compreensão das Grandezas diretas tornam-
se obstáculos para a compreensão de Grandezas deriváveis, tais como a velocidade, que
depende de outras Grandezas diretas (comprimento e tempo). É difícil aceitar a razão ou o
produto de duas Grandezas diferentes, pois que sentido pode ter 90 km / 2 h = 45 km/h, ou
ainda, 2N x 3m = (2 x 3)J= 6J (“dois newtons vezes três metros é igual a 6 joules”)? Este tipo
de obstáculo aparece também na história, quando Euclides afirma: “a razão é uma relação
entre duas magnitudes homogêneas” (EUCLIDES apud SIERPINSKA, 1989 tradução livre).
Obstáculo 10 – RELAÇÃO OBJETO-GRANDEZA
A função g (que leva um elemento do CONJUNTO OBJETO em uma classe de objetos
no CONJUNTO GRANDEZA) é também fonte de obstáculo epistemológico. Não se
compreende esta transformação (g) no caso, por exemplo, da grandeza área, conforme ilustra o
caso a seguir:
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Ao aplicarmos esta questão10 numa sala de ano do Ensino Médio, uma das alunas
sentiu grande dificuldade em resolver o exercício. Em princípio, pensávamos que era um
desconhecimento das fórmulas ou da sua forma de aplicação. Mas, percebemos que não era
essa a dificuldade. Mesmo recebendo orientações para calcular a área do quadrado e do círculo
separadamente, a aluna não sabia o que fazer com essas Medidas. Ainda quando dissemos que
para calcular a área da sobra bastava calcular a área do quadrado e subtrair a área do círculo, a
aluna não podia compreender que sentido havia nessa operação. Isso porque não lhe era claro
o conceito da grandeza área, ou melhor, a transformação que leva cada objeto em sua área.
Essa transformação pode ser ainda considerada um obstáculo epistemológico, quando
se confunde o objeto com a grandeza. Por exemplo, o termo círculo refere-se à figura ou à sua
área? Para Euclides era natural referir-se a essas duas coisas pelo mesmo nome. Este mesmo
obstáculo pode ser também didático, quando se pergunta para o aluno quanto vale o círculo.
Obstáculo 11 – RELAÇÃO GRANDEZA-MEDIDA
A medição é um processo complexo, envolve a escolha de uma unidade de medida e o
emprego de procedimentos apropriados, muitos deles apoiados em instrumentos réguas,
relógios, balanças, recipientes graduados, entre muitos outros. Nesse processo, atribui-se, a
uma grandeza, um número, que é a medida da grandeza na unidade escolhida. A história desses
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processos de medição tem estreita ligação com a evolução tecnológica e científica das culturas
humanas. (LIMA 2004, p.13)
Portanto, é natural surgirem obstáculos no momento de efetuar medições, ou de
compreender o significado dessas Medidas numéricas. Ainda mais quando aprendem-se duas
escalas diferentes para medir a mesma grandeza, por exemplo, ângulos. Os graus podem ser
obstáculos para o entendimento dos radianos, e vice-versa.
Obstáculo 12 – RELAÇÃO OBJETO-MEDIDA
Comparar Grandezas não é o mesmo que medir Grandezas. Nem sempre isso é claro
para o aluno. Desse modo, a função g pode ser um obstáculo para a compreensão da função µ
e vice-versa.
5. Considerações finais
A questão dos obstáculos epistemológicos deve sempre estar no centro das
preocupações docentes. Isso, porque são eles os grandes responsáveis pela estagnação ou
progresso da aprendizagem. O professor não precisa se limitar a apontar o erro, mas pode
diagnosticar sua causa. Aí está a contribuição da teoria dos obstáculos epistemológicos.
Conhecendo a natureza do obstáculo, fica muito mais fácil procurar caminhos para superá-lo.
Um conhecimento anterior, que se aplicava a algumas situações restritas, não pode ser
simplesmente identificado como falso. Lidar inadequadamente com os obstáculos pode gerar
um efeito contrário: de confusão, descrédito, abandono da intuição, do raciocínio e
consequente desmotivação.
Nessa perspectiva, lidar adequadamente com os obstáculos, significa convencer o
aluno da necessidade de novos modelos e novos esquemas mentais para compreender a
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realidade proposta. Uma retificação menos profunda pode causar no aluno aquela sensação de
que o professor vai estar sempre entre ele e o saber, sensação nada conveniente se objetivamos
a autonomia do aluno pela busca do conhecimento, dentro e fora da escola.
O estudo realizado a partir da literatura (ASTOLFI, 1994, _______, 1997;
CAMPANARIO, 2000) e de nossa experiência docente indica que os obstáculos, quando
identificados e devidamente trabalhados, podem tornar-se aliados do professor no decorrer do
processo de ensino. Martinand (1986) sugere que a superação de alguns obstáculos concebidos
pode se tornar objetivos a serem alcançados; é a noção de objetivo-obstáculo. Os dados
apresentados podem auxiliar o professor para a elaboração de suas aulas, no intuito de lidar
com tais dificuldades que podem gerar a má utilização de fórmulas Matemáticas e de
compreensões equivocadas de outras Grandezas, como massa, temperatura, velocidade, dentre
outras.
Por exemplo, ao identificar no aluno o Obstáculo 7, segundo nossa categorização, faz-
se necessário introduzir novamente o conceito da nova grandeza, comparando-a com a anterior.
Se o aluno divide a medida por 100 na transformação da unidade de centímetros para metros,
não basta dizer que de cm² para m² é diferente. É preciso mostrar isso experimentalmente
através de papel quadriculado, ou outros recursos que o professor considere adequados para
que o próprio aluno chegue à conclusão de que cabem 10.000 cm² em 1 m², percebendo a
diferença entre objetos lineares e superficiais e superando, assim, os seus obstáculos.
Ao longo de nosso estudo notamos que certas dificuldades não se enquadram dentro
dos obstáculos elencados segundo Brousseau, havendo a necessidade de se buscar outros
referenciais, e ainda a troca de ideias entre diferentes disciplinas, podendo auxiliar na
identificação, gerando pistas para superar tais obstáculos.
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de Boeck & Larcier S.A, 1997, 193p.
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(Orgs.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001.
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2000.
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Matemática e Arte de SP), SP - 2007.
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APRENDIZAGEM DE CONCEITOS DE FÍSICA. Trabalho apresentado no XVI Simpósio
Nacional de Ensino de Física, 2005. Link para o trabalho:
http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/cd/resumos/T0501-1.pdf (Último acesso em:
29/11/09)
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SIERPINSKA, A. Sur um programme de recherche lié à la notion d'obstacle
épistémologique in "Construction des savoirs: obstacles & confits" Nadine Bednarz e
Catherine Garnier (org.) Colloque international; obstacle épistémologique et conflit
sociocognitif". Ed. Agence d'ARC inc: Montreal, 1989.
Thesis
Full-text available
Esta pesquisa tem como objetivo investigar os obstáculos à aprendizagem de Álgebra no Ensino Fundamental com o intuito de ajudar na compreensão das dificuldades envolvidas no aprendizado desse tópico. Para tal efeito, foi feito um levantamento da bibliografia relacionada à construção da ideia de obstáculo, erros e dificuldades relativos à aprendizagem de Matemática no Brasil e no exterior. Através desse levantamento, constatou-se que elevados índices de erros cometidos por alunos do Ensino Fundamental em países como a Inglaterra e os Estados Unidos, em problemas matemáticos relacionados à Álgebra, aproximam-se da realidade brasileira, como mostram os dados do último relatório fornecido pelo INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas). Para confirmar esses fatos, foi aplicada uma pesquisa entre os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, da rede pública do estado de São Paulo, com questões adaptadas do SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo). Para efeitos de análise, os obstáculos encontrados foram classificados sob a perspectiva de quatro categorias (Epistemológicos, Didáticos, Psicológicos e Ontogenéticos) definidas por Guy Brousseau para o ensino de Matemática. Utilizou-se também o aspecto conceitual do domínio do funcionamento cognitivo do "sujeito-emsituação", cujas bases são advindas e ampliadas da teoria piagetiana de operações lógicas e das estruturas gerais do pensamento, conhecida como a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. Esta pesquisa trata do conhecimento-em-ação e sua influência no aprendizado de Álgebra, o que é um teorema-em-ação e uma invariante operatória, além de mostrar o funcionamento dos esquemas. Desta forma, foi possível oferecer alguns indicativos ao professor do que seria necessário para compreender as dificuldades e obstáculos que envolvem o aprendizado de Álgebra e conscientizá-lo de que é relevante um acompanhamento em longo prazo e aprofundado de seus alunos para realmente obter respostas concretas sobre os obstáculos epistemológicos e os aspectos psicológicos envolvidos na aprendizagem, como definidos por Vergnaud (1994).
Conference Paper
Full-text available
Neste trabalho abordamos os resultados parciais de pesquisas finalizadas e outras em andamento versando sobre as concepções dos alunos sobre os conteúdos da disciplina de Matemática. Baseamo-nos em teorias cognitivas e didáticas para apresentar uma concepção de erro e uma alternativa para que o contrato didático se liberte de um modelo de ensino de Matemática limitado à resolução de cálculos por meio de fórmulas e técnicas sem significado para o aluno. Os exemplos analisados pertencem aos estudantes dos anos finais do Ensino Fundamental e Médio que resultam de nossa pesquisa e de práticas em sala de aula. Por fim, apresentamos sugestões de recursos tecnológicos apoiados em computadores, smartphones e tablets que o professor pode aproveitar em suas aulas para inovar no processo de ensino-aprendizagem.
El Trabajo Didáctico de los Obstáculos, em el Corazón de los Aprendizajes Científicos. Enseñanza de las Ciencias
ASTOLFI, J. P. El Trabajo Didáctico de los Obstáculos, em el Corazón de los Aprendizajes Científicos. Enseñanza de las Ciencias, v.12, n.2, p.206-216, 1994. ________ et al. Mots-clés de la didactique des sciences. Bruxele/Bélgica: Pratique Pédagogies de Boeck & Larcier S.A, 1997, 193p.
Colloque international; obstacle épistémologique et conflit sociocognitif
  • Catherine Garnier
Catherine Garnier (org.) Colloque international; obstacle épistémologique et conflit sociocognitif". Ed. Agence d'ARC inc: Montreal, 1989.
Sur um programme de recherche lié à la notion d'obstacle épistémologique in "Construction des savoirs: obstacles & confits
  • A Sierpinska
SIERPINSKA, A. Sur um programme de recherche lié à la notion d'obstacle épistémologique in "Construction des savoirs: obstacles & confits" Nadine Bednarz e