Content uploaded by Symon Serbenyuk
Author content
All content in this area was uploaded by Symon Serbenyuk on Jun 02, 2016
Content may be subject to copyright.
Нехай маємо деяку фiксовану послiдовнiсть (dn)натуральних
чисел, бiльших одиницi, та послiдовнiсть множин (An), де
An≡ {0,1, ..., dn−1}.
Означення 1
Числовим знакододатним рядом Кантора (далi: рядом Кантора)
називається вираз виду
ε1
d1
+ε2
d1d2
+... +εn
d1d2...dn
+..., де εn∈An∀n∈N.(1)
Число dnназиватимемо n-тим елементом, а число εn—n-тою
цифрою ряду Кантора (1).
Факт представлення числа x∈[0,1] у виглядi розкладу (1)
x=ε1
d1
+ε2
d1d2
+... +εn
d1d2...dn
+...
позначається ∆D
ε1ε2...εn... i таке позначення називається
зображенням числа xрядом Кантора.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 2 / 17
Означення 2
Числовим знакопочережним рядом Кантора називається вираз
виду
−ε1
d1
+ε2
d1d2
−ε3
d1d2d3
+... +(−1)nεn
d1d2d3...dn
+..., (2)
де εn∈An={0,1,2, ..., dn−1}для будь-якого n∈N.
Число dnназиватимемо n-тим елементом, а число εn—n-тою
цифрою знакопочережного ряду Кантора (2).
Той факт, що деяке число xпредставляється у виглядi (2),
позначатимемо ∆−D
ε1ε2...εn.... Останнє позначення називатимемо
зображенням числа xзнакопочережним рядом Кантора або
нега-D-зображенням.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 3 / 17
Задачi
Систематичний виклад тополого-метричної, фрактальної i
ймовiрнiсної теорiй зображень чисел знакододатними та
знакопочережними рядами Кантора:
дослiдження збiжностi;
єдинiсть розкладу числа в ряд Кантора;
геометрiя зображення рядами Кантора ( геометричне значення
цифр, тополого-метричнi властивостi цилiндричних множин,
метричнi спiввiдношення i т. п.);
критерiї рацiональностi;
тополого-метричнi i фрактальнi властивостi множини пiдсум;
дослiдження властивостей операторiв зсуву цифр;
взаємозв’язок мiж знакододатними i знакопочережними рядами
Кантора;
знаходження класiв покриттiв, достатнiх для коректного
обчислення розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича;
дослiдження фрактальних властивостей множин спецiального
виду;
задання функцiї розподiлу i т. д..
Застосування.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 4 / 17
Критерiї рацiональностi
Число, яке має зображення рядом Кантора
∆D
ε1ε2...εn−1[εn−1][dn+1−1][dn+2 −1]...,εn6= 0,називається
квазiперiодичним з квазiперiодом [dn−1].
Означення 3
Числа, зображення яких рядом Кантора мiстять перiод (0),
називаються D-рацiональними числами. Загалом, D-рацiональнi
числа мають два представлення рядом Кантора (перiодом (0) та
квазiперiодом [dn−1]).
Теорема 1
Рацiональне число p
q∈(0,1) є D-рацiональним тодi i тiльки тодi,
коли iснує такий номер n0, що d1d2...dn0≡0(mod q).
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 5 / 17
Теорема 2
Число xє рацiональним тодi i тiльки тодi, коли iснують n∈Z+i
c∈Nтакi, що ˆϕn(x) = ˆϕn+c(x).
Теорема 3
Число x= ∆D
ε1ε2...εn... є рацiональним тодi i тiльки тодi, коли
iснують n∈Z+ic∈Nтакi, що
∆D
0...0
|{z}
n
εn+1εn+2 εn+3... =dn+1 ...dn+c∆D
0...0
|{z}
n+c
εn+c+1εn+c+2 εn+c+3... .
Твердження теорем 2 i 3 є еквiвалентними.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 7 / 17
Розглянемо випадок, коли для довiльного n∈Z+ˆϕn(x) = const.
Такi числа, вiдмiннi вiд 0та 1, справдi iснують. Наприклад,
x=1
3+2
3·5+3
3·5·7+... +n
3·5·... ·(2n+ 1) +... = ˆϕn(x) = 1
2.
Лема 1
Нехай Z+3n0— фiксоване число. Умова ˆϕn(x) = const є
справедливою для всiх n≥n0тодi i тiльки тодi, коли εn
dn−1=const
для всiх n>n0.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 8 / 17
Наслiдок 1
Множина чисел, для представлення яких рядом Кантора (1)
справедливою є умова
ˆϕn(x) = x∀n∈N,
є скiнченнною множиною порядку minndn, причому
x=ε
d−1,де d= min
ndnта ε∈ {0,1, ..., d −1}.
Лема 2
Нехай d= minndnта {0,1, ..., d −1} 3 ε— фiксоване число.
ˆϕn(x) = x=ε
d−1тодi i тiльки тодi, коли для представлення числа
xрядом Кантора (1) справедливою є умова:
Z+3εn=dn−1
d−1ε
для всiх n∈N.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Кантора лютий 2014 9 / 17
Наслiдок 2
Нехай n0— фiксоване цiле додатне число та
d0= min
n>n0
dn, ε0— чисельник звичайного дробу εn0+k
d1d2...dn0dn0+1...dn0+k
в розкладi (1) числа xза умови, що dn0+k=d0.
ˆϕn(x) = const для всiх n≥n0тодi i тiльки тодi, коли для
кожного n>n0справджується умова:
Z+3εn=dn−1
d0−1ε0
в представленнi (1) числа x.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Канторалютий 2014 10 / 17
Теорема 4
Число x, представлене у виглядi розкладу в ряд Кантора (1), є
рацiональним тодi i тiльки тодi, коли iснує пiдпослiдовнiсть (nm)
послiдовностi натуральних чисел така, що для всiх m= 1,2, ...,
виконуються умови:
σm
δm
=εnm+1dnm+2...dnm+1 +... +εnm+1−1dnm+1 +εnm+1
dnm+1dnm+2...dnm+1 −1=const;
σm=δm
δσ, де δ= min
m∈Nδmта σ— число в чисельнику звичайного
дробу iз нескiнченної суми
x0=
∞
X
m=1
εnm+1dnm+2dnm+3...dnm+1 +... +εnm+1 −1dnm+1 +εnm+1
(dn1+1...dn2)(dn2+1...dn3)...(dnm+1...dnm+1 ),
знаменник якого дорiвює (δ1+ 1)(δ2+ 1)...(δ+ 1).
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Канторалютий 2014 11 / 17
Задання функцiй
Нехай (dn)— обмежена послiдовнiсть натуральних чисел,
бiльших 1,(An)— послiдовнiсть множин An≡ {0,1, ..., dn−1}i
задано знакопочережний ряд Кантора виду:
∞
X
n=1
1 + εn
d1d2...dn
(−1)n+1 ≡∆−C
ε1ε2...εn..., εn∈An.
Очевидно, що
[0; 1] 3x= ∆−C
ε1ε2...εn... ≡∆D
ε1[d2−1−ε2]ε3[d4−1−ε4]...ε2n−1[d2n−1−ε2n]....
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Канторалютий 2014 12 / 17
Розглянемо систему рiвнянь:
f( ˆϕk(x)) = ˜
β(k+1,εk+1)+ ˜p(k+1,εk+1 )·f( ˆϕk+1(x)),(3)
де k= 0,1,2,3, ...,x= ∆D
ε1[d2−1−ε2]ε3[d4−1−ε4]... та
˜
β(n,εn)=(β(n,εn),якщо n— непарне;
β(n,dn−1−εn),якщо n— парне,
(аналогiчно задається i ˜p(n,εn))
β(n,εn)=
0,якщо εn= 0;
Pεn−1
i=0 p(n,i),якщо 0< εn< dn−1;
1−p(n,dn−1),якщо εn=dn−1.
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Канторалютий 2014 14 / 17
Система рiвнянь
fin+ ˆϕn(x)
dn=˜
β(n,in)+ ˜p(n,in)·f( ˆϕn(x)),(4)
де in∈An,n= 1,2,3, ..., є еквiвалентною системi рiвнянь (3).
Теорема 5
Система функцiональних рiвнянь (3) має єдиний розв’язок з
множини обмежених i визначених на вiдрiзку [0; 1] функцiй, який
має вигляд
f(x) = β(1,ε1(x)) +
∞
X
k=2
˜
β(k,εk(x))
k−1
Y
j=1
˜p(j,εj(x))
.(5)
Сербенюк С.О. (IМ НАН України) Знакододатнi та знакопочережнi ряди Канторалютий 2014 15 / 17