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INTRODUÇÃO À IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS
Técnicas Lineares e Não Lineares: Teoria e Aplicação
Universidade Federal de Minas Gerais
Reitor: Jaime Arturo Ramírez
Vice-Reitora: Sandra Regina Goulart Almeida
Editora UFMG
Diretor: Wander Melo Miranda
Vice-Diretor: Roberto Alexandre do Carmo Said
Conselho Editorial
Wander Melo Miranda (presidente)
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Eduardo de Campos Valadares
Élder Antônio Sousa Paiva
Fausto Borém
Flavio de Lemos Carsalade
Maria Cristina Soares de Gouvêa
Roberto Alexandre do Carmo Said
Luis Antonio Aguirre
INTRODUÇÃO À IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS
Técnicas Lineares e Não Lineares: Teoria e Aplicação
4
a
edição revista
Belo Horizonte
Editora UFMG
2014
c
2000 by Editora UFMG
2004 – 2. ed.
2007 – 3. ed.
2014 – 4. ed.
Este livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem
autorização escrita do Editor.
A284i Aguirre, Luis Antonio
Introdução à identificação de sistemas : técnicas lineares e
não lineares : teoria e aplicação / Luis Antonio Aguirre. - 4. ed.
rev. - Belo Horizonte : Editora UFMG, 2014.
776 p.: il.
Inclui bibliografia.
ISBN: 978-85-423-0079-6
1. Matemática 2. Sistemas lineares I. Título
CDD: 510
CDU: 51
Elab orada pela Biblioteca Professor Antônio Luiz Paixão - FAFICH-UFMG
Coordenação editorial Michel Gannam
Assistência editorial Eliane Sousa
Direitos autorais Maria Margareth de Lima e Renato Fernandes
Coordenação de textos Maria do Carmo Leite Ribeiro
Revisão de provas Alexandre Vasconcelos de Melo
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Àquele que é poderoso para nos guardar de tropeços e para nos
apresentar com exultação, imaculados diante da sua glória, ao
únicoDeus, nosso Salvador, mediante JesusCristo,Senhor nosso,
glória, majestade, império e soberania, antes de todas as eras, e
agora, e por todos os séculos. Amém.
Judas 24–25
Sumário
Simbologia e Abreviações 17
Apresentação à Quarta Edição 23
Apresentação à Primeira Edição 25
Introdução 31
Capítulo 1
Modelagem Matemática 49
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2 Alguns Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.1 Considerações frequentemente feitas em modelagem . 50
1.2.2 Tipos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2.3 Representações de modelos lineares . . . . . . . . . . 59
1.3 Estimação de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4 Modelagem pela Física: um Estudo de Caso . . . . . . . . . 68
1.4.1 A equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.4.2 Relações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.4.3 Determinação de parâmetros . . . . . . . . . . . . . 73
1.4.4 Sintonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4.5 Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.5 Identificação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.6 Simulação de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.6.1 Modelos contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.6.2 Modelos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Capítulo 2
Representações Lineares 91
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2 Funções de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2.1 Polos, zeros e resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2.2 Decomposição em frações parciais . . . . . . . . . . . 95
2.3 Resposta Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.1 Funções de transferência de primeira ordem . . . . . 103
2.3.2 Funções de transferência de segunda ordem . . . . . 104
2.3.3 Funções de transferência com atraso puro de tempo . 107
2.4 Resposta em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.4.1 Funções de transferência de primeira ordem . . . . . 112
2.4.2 Funções de transferência de segunda ordem . . . . . 115
2.4.3 Funções de transferência com atraso puro de tempo . 117
2.5 Representação no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Representações em Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . 121
2.6.1 Modelo de resposta ao impulso finita . . . . . . . . . 123
2.6.2 Modelo ARX e AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6.3 Modelo ARMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.6.4 Modelo ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.6.5 Modelos de erro na saída . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.6.6 Modelo Box-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.7 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Capítulo 3
Métodos Determinísticos 137
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2 Alguns Casos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.1 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.2 Sistemas de segunda ordem pouco amortecidos . . . 139
3.3 O Método de Sundaresan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.1 O caso sobreamortecido . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3.2 O caso subamortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4 Identificação em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5 Identificação Usando Convolução . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.6 Identificação no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . . 160
3.7 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Capítulo 4
Métodos Não Paramétricos 177
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2 Funções de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2.1 Identificação baseada em funções de correlação . . . 180
4.2.2 Estimação baseada em funções de correlação . . . . . 190
4.3 Sinais Aleatórios e Pseudoaleatórios . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.1 Sinais binários pseudoaleatórios . . . . . . . . . . . . 195
4.4 Efeito do Ruído no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . 200
4.4.1 Funções de densidade de potência espectral . . . . . 201
4.5 Persistência de Excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Capítulo 5
O Estimador de Mínimos Quadrados 221
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.2 Sistemas de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2.1 Sistemas com solução única . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2.2 Sistemas sobredeterminados . . . . . . . . . . . . . . 225
5.3 O Método de Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4 Propriedades do Estimador MQ . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.4.1 Relação entre o estimador MQ e funções de correlação 230
5.4.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.4.3 O estimador de mínimos quadrados ponderados . . . 235
5.5 Métodos de Predição de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Capítulo 6
Propriedades Estatísticas de Estimadores 259
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.2 Polarização de Estimadores – Conceitos . . . . . . . . . . . 260
6.3 Polarização do Estimador MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.3.1 Uma interpretação de polarização . . . . . . . . . . . 264
6.3.2 Polarização em modelos ARX . . . . . . . . . . . . . 268
6.3.3 O problema de erros nas variáveis . . . . . . . . . . . 272
6.4 Covariância de Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.4.1 Variância de estimadores do tipo
ˆ
θ = Ay ...... 275
6.5 Consistência e Eficiência de Estimadores . . . . . . . . . . . 278
6.5.1 A Norma de Cramér-Rao . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Capítulo 7
Estimadores Não Polarizados 291
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.2 O Estimador Estendido de MQ . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.2.1 O estimador EMQ e o problema de erros nas variáveis 304
7.3 O Estimador Generalizado de MQ . . . . . . . . . . . . . . 305
7.4 O Estimador GMQ Iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.5 O Método das Variáveis Instrumentais . . . . . . . . . . . . 311
7.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Capítulo 8
Estimadores Recursivos 331
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.2 Atualização Recursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.2.1 Atualização recursiva não polarizada . . . . . . . . . 319
8.2.2 Atualização recursiva não polarizada de mínima
covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.3 Estimador Recursivo de Mínimos Quadrados . . . . . . . . . 338
8.4 Outros Estimadores Recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.5 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo . . . . . . . . 342
8.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Capítulo 9
O Filtro de Kalman 355
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.2 Conceitos Básicos Relativos ao KF . . . . . . . . . . . . . . 356
9.2.1 O caso estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.2.2 O caso dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.3 O Filtro de Kalman Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.3.1 A etapa de propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
9.3.2 A etapa de assimilação . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9.3.3 As equações do filtro de Kalman discreto . . . . . . 372
9.4 O Filtro de Kalman Estendido . . . . . . . . . . . . . . . . 373
9.5 O Filtro de Kalman Unscented ................ 375
9.5.1 A transformação unscented .............. 377
9.6 Aplicação do KF: Um Estudo de Caso . . . . . . . . . . . . 380
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Capítulo 10
Representações Não Lineares 385
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.2 Representações Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.2.1 A série de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.2.2 Modelos de Hammerstein e de Wiener . . . . . . . . 387
10.2.3 Algumas representações NAR(MA)X . . . . . . . . . 390
10.2.4 Modelos polinomiais contínuos . . . . . . . . . . . . 391
10.2.5 Funções radiais de base . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.2.6 Redes neurais artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.2.7 O neurônio neofuzzy .................. 396
10.3 O Modelo Polinomial NARMAX . . . . . . . . . . . . . . . 398
10.4 O Modelo Raciona l NA RMAX . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.5 Agrupamento de Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
10.6 Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10.6.1 Número de pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . 407
10.6.2 Localização de pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . 408
10.6.3 Estabilidade de pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . 409
10.6.4 Simetria de pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . 411
10.7 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Capítulo 11
11 Identificação de Sistemas Não Lineares: Algoritmos 439
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
11.2 Algoritmos MQ Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.2.1 O método clássico de Gram-Schmidt (CGS) . . . . . 441
11.2.2 O método modificado de Gram-Schmidt (MGS) . . . 443
11.2.3 O método de Golub-Householder (GH) . . . . . . . . 443
11.3 A Taxa de Redução de E rro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 45
11.3.1 O algoritmo CGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
11.3.2 O algoritmo MGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
11.3.3 O algoritmo GH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
11.4 Algoritmos para Mo d elos Racionais . . . . . . . . . . . . . . 456
11.5 Estimadores com Restriçõ es e Multiobjetivos . . . . . . . . 460
11.5.1 Estimador MQ com restrições . . . . . . . . . . . . . 461
11.5.2 Estimador com função custo composta . . . . . . . . 461
11.5.3 Estimador biobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
11.5.4 Decisor de mínima correlação . . . . . . . . . . . . . 464
11.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Capítulo 12
Projeto de Testes e Escolha de Estruturas 477
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
12.2 Escolha e Coleta de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.2.1 Escolha de entradas e de saídas . . . . . . . . . . . . 478
12.2.2 Uso de correlações não triviais . . . . . . . . . . . . 479
12.2.3 Escolha de sinais de entrada . . . . . . . . . . . . . . 483
12.2.4 Escolha do tempo de amostragem . . . . . . . . . . . 489
12.3 Seleção d a Es trutura de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . 493
12.3.1 Seleção da ordem de modelos lineares . . . . . . . . 493
12.3.2 Seleção da estrutura de modelos não lineares . . . . 500
12.4 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
Capítulo 13
Validação de Mo delos 515
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
13.2 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
13.2.1 Consistência de predição no espaço de estados . . . . 526
13.3 Sincronização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
13.3.1 Adaptação ao caso de tempo discreto . . . . . . . . . 529
13.3.2 O custo de sincronização . . . . . . . . . . . . . . . . 531
13.3.3 Classe de sincronização . . . . . . . . . . . . . . . . 531
13.3.4 Comparando modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
13.4 Análise de Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
13.5 Validação para Apl icações em Malh a Fechada . . . . . . . . 539
13.6 Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Capítulo 14
Tópicos Especiais em Modelagem e Identificação 553
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
14.2 Dominância Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
14.2.1 Índices de Dominância Modal . . . . . . . . . . . . . 554
14.2.2 Algumas propriedades dos IDM . . . . . . . . . . . . 556
14.2.3 Os IDM e a energia da resposta ao impulso . . . . . 560
14.2.4 IDM e a norma L
∞
................... 561
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Capítulo 15
Identificação Caixa Cinza 565
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
15.2 Aproximação da Característica Estática . . . . . . . . . . . 567
15.3 Ajuste Exato d a Característica Estática . . . . . . . . . . . 575
15.3.1 O problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
15.3.2 Ajuste exato da característica estática . . . . . . . . 5 76
15.4 Uso de In formação Au xili ar em Redes . . . . . . . . . . . . 581
15.4.1 Aproximando a característica estática em redes MLP 582
15.4.2 Aproximando a característica estática em redes RBF 585
15.4.3 Simetria em redes MLP . . . . . . . . . . . . . . . . 591
15.4.4 Simetria em redes RBF . . . . . . . . . . . . . . . . 595
15.5 Sistemas com Zona Morta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
15.5.1 A bifurcação transcrítica . . . . . . . . . . . . . . . . 601
15.4.2 Características estáticas com dois segmentos . . . . . 603
15.4.3 Características estáticas parabólicas ceifadas . . . . . 608
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
Capítulo 16
Estudo de Casos 619
16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
16.2 Oscilador Eletrônico Caótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.2.1 O circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.2.2 Identificação monovariável . . . . . . . . . . . . . . . 623
16.2.3 Identificação multivariável . . . . . . . . . . . . . . . 631
16.3 Um Pequeno Aquecedor Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . 633
16.4 Um Conversor CC-CC Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
16.4.1 O conversor buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
16.4.2 Testes e aquisição de dados . . . . . . . . . . . . . . 639
16.4.3 Identificação de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . 640
16.5 Válvula Pneumática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
16.6 Aquecedor com Dissipação Variável . . . . . . . . . . . . . . 647
16.6.1 Descrição de testes e dados . . . . . . . . . . . . . . 648
16.6.2 Identificação de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . 649
16.6.3 Estimação recursiva de características estáticas . . . 653
16.7 Dados d e Si stema Respiratório . . . . . . . . . . . . . . . . 656
16.7.1 Modelos identificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
16.7.2 Análise de estabilidade baseada em modelo . . . . . 661
16.8 Dados d e Frequência Cardíaca . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
16.9 Flotação em Co lun a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
16.9.1 A planta piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
16.9.2 Os testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
16.9.3 Os modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
16.10 Série Temporal de Preços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
16.11 Estimação de Parâmetros d e Máquina . . . . . . . . . . . . 682
16.11.1 O modelo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
16.11.2 Os dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
16.11.3 Estimação recursiva de parâmetros . . . . . . . . . . 685
16.12 Robôs de Futebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
16.13 Movimento Facial Durante a Fala . . . . . . . . . . . . . . 694
16.14 Previsão de Consumo de Energia . . . . . . . . . . . . . . . 698
Leitura Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
Anexo A
Alguns Resultados Sobre Vetores e Matrizes 705
A.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
A.2 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
A.3 Algumas Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
A.4 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
Anexo B
Decomposição de Matrizes 709
B.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
B.2 Fatoração de Choleski e Fatoração LU ............ 709
B.3 A transformação de Householder . . . . . . . . . . . . . . . 711
B.4 Decomposição em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . 712
B.4.1 Aplicação à estimação de parâmetros . . . . . . . . . 713
Anexo C
Conceitos de Estatística 715
C.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
C.2 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
C.3 Propriedades Assintóticas de Estimadores . . . . . . . . . . 718
Anexo D
Tab elas de Transformadas de Laplace 721
Anexo E
Alguns Termos Básicos 723
Referências 731
Índice Remissivo 757
Índice de Autores 767
Sobre o Autor 776
Simbologia e Abreviações
Observações Gerais
Neste livro, matrizes são indicadas por letras latinas maiúsculas em itálico,
por exemplo X, e por letras gregas maiúsculas, por exemplo Ψ. Vetores são
indicados usando-se letras (gregas e latinas) minúsculas e em negrito, por
exemplo e e ψ. Escalares são representados por letras gregas minúsculas
com ou sem subíndice, por exemplo α, θ
i
, e por l etras minúsculas do alfabeto
latino em itálico, com ou sem argumento, por exemplo t, y(k).
Alguns dos conjuntos de dados usados no presente livro, bem como
algumas das rotinas utilizadas para gerar certas figuras, estão disponíveis no
seguinte site: http://www.cpdee.ufmg.br/˜MACSIN. No texto, dados e roti-
nas disponíveis em forma eletrônica são indicados pelo símbolo @@ sendo que
o nome do arquivo correspondente será escrito com este tipo de fonte.
Osímbolo✷ indica o fim de exemplos.
Simbologia
A seguir listam-se os principais símbolos usados de forma geral. O uso
específico de símbolos será definido in loco.
A matriz de estimadores lineares do tipo
ˆ
θ = Ay;
d
e
dimensão de imersão;
E[·] esperança matemática;
e(k) erro no instante k, pode ou não ser branco;
e vetor de erro, pode ou não ser branco;
F matriz de informação de Fisher (6.43);
H(s),H(z) transformadas de Laplace e Z de h(t) e h(k), respectivamente.
Fu nções de transferência no domínio s e z, respectivamente;
H(jω) resposta em frequência de sistema em tempo contínuo;
H(e
jω
) resposta em frequência de sistema em tempo discreto;
h(k) resposta ao impulso no instante k;
h resposta ao impulso expressa em forma de vetor;
18 Simbologia e Abreviações
J
MQ
função custo minimizada pelo estimador MQ (5.41);
j
√
−1;
K ganho estático;
N número de observações num conjunto de dados;
n
ξ
máximo atraso entre os regressores de ruído;
n
r
número de restrições no caso do estimador MQR;
n
u
máximo atraso entre os regressores de entrada;
n
y
máximo atraso entre os regressores de saída;
n
θ
número de parâmetros estimados num modelo, n
θ
=dim[θ];
q
−1
operador de atraso, y(k)q
−1
= y(k − 1);
R matriz de covariância do ruído;
R(s) transformada de Laplace do sinal de referência de uma malha;
r
u
(τ) função de autocorrelação de u(k) no atraso τ;
r
uy
(τ) função de correlação cruzada de u(k) e y(k) no atraso τ ;
T
s
tempo de amostragem;
U(s),U(z) trans formad as de Lap lace e Z de u(t) e u(k), respectivamente;
u(k) entrada de sistemas não autônomos no instante k;
V
N
(
ˆ
θ,Z
N
) função de custo geral (5.41);
X ma triz de regressores de modelo s estáticos;
Y (s),Y(z) transformadas de Laplace e Z de y(t) e y(k), respectivamente;
y(k) sinal de saída no instante k;
y
i
(k) sinal de saída ideal, ou seja, sem ruído;
y
∞
valor de y(t) ou y(k) em regime permanente;
z vetor de variáveis instrumentais;
Z matriz de regressores instrumentais;
Z
N
conjunto de dados (entrada e saída) com registros de comprimento N (5.38);
IN conjunto de números naturais: 1, 2,...;
IR conjunto de números reais;
ZZ conjunto de números inteiros: {...,−1, 0, 1,...};
ZZ
+
conjunto de números inteiros não negativos: {0, 1, 2,...};
γ
i
i-ésimo índice de dominância modal;
δ(0) função delta de Kronecker;
ζ quociente (ou coeficiente) de amortecimento;
θ vetor de parâmetros a estimar;
ˆ
θ vetor de parâmetros estimado;
ˆ
θ
MQ
vetor de parâmetros estimado usando o estimador MQ;
θ
i
i-ésimo parâmetro do vetor θ;
λ fator de esquecimento;
ν(k) variável aleatória (sempre) branca;
ξ vetor de resíduos;
ξ(k) resíduo no instante k;
Simbologia e Abreviações 19
σ
2
e
variância do sinal e(k);
τ constante de tempo;
τ
d
atraso puro de tempo;
Φ
u
(ω) função de densidade espectral ou espectro de u(k);
Φ
uy
(e
jω
) função de densidade de potência do espectro cruzado de u(k) e y(k);
Ψ matriz de regressores de modelos dinâmicos;
ψ(k − 1) vetor de regressores que contém observações até o instante k − 1;
ω frequência;
ω
n
frequência natural não amortecida;
cov[·] covariância ou matriz de covariância;
F{·} transformada de Fourier;
f(·) função genérica (normalmente a ser aproximada e estimada);
Im[·]parteimaginária;
L{·} transformada de Laplace;
max[·] valor máximo;
plim[·] limite de probabilidade;
Prob[·] probabilidade;
rank[·] posto da matriz;
Re[·]partereal;
tr[·] traço de uma matriz;
var[·] variância;
Z{·} transformada Z;
|·| norma �
1
;
· norma euclideana ou �
2
;
T
transposição de vetores ou matrizes;
ˆ valor estimado;
∗
complexo conjugado;
x(k) média temporal de x(k);
x(k)
�
indica que o valor médio foi subtraído, ou seja, x(k)
�
= x(k) − x(k);
˙x derivada temporal de x,
dx
dt
;
⊥ símbolo de ortogonalidade;
Abreviações
A seguir são listadas as principais abreviações usadas no li vro. No caso
de siglas consagradas na literatura internacional, optou-se por manter as
mesmas em inglês.
AE algoritmo do elipsoide;
AIC critério de informação de Akaike (Akaike’s information criterion);
20 Simbologia e Abreviações
AR autorregressivo;
ARIMA modelo autorregressivo integrado, de média móvel
(autoregressive integrated, moving average model );
ARMAX modelo autorregressivo, de média móvel com entradas exógenas
(autoregressive moving average model with exogenous inputs);
ARX modelo autorregressivo com entradas exógenas
(autoregressive model with exogenous inputs);
CGS referente ao método clássico de Gram-Schmidt;
dB decibéis;
EMQ estendido de mínimos quadrados;
ERR taxa de redução de erro (error reduction ratio);
FAC função de autocorrelação;
FCC função de correlação cruzada;
FIR resposta finita ao impulso (finite impulse response);
FT função de transferência;
GH referente ao método de Golub-Householder;
GMQ generalizado de mínimos quadrados;
IDM índice(s) de dominância mod al;
IIR resposta infinita ao impulso (infinite impulse response);
MA média móvel (moving average);
MDI índices de dominânci a modal (modal dominance indices);
MIMO multientradas, multisaídas (multi-input, multi-output);
MISO multientradas, e uma saída (multi-input, single-output);
MGS referente ao método modificado de Gram-Schmidt;
MQ mínimos quadrados;
MQO mínimos quadrad os ortogonai s;
MQP mínimos quadrados ponderados;
MQR mínimos quadrados com restrições;
MQT mínimos quadrados totais;
NARMAX modelo não linear autorregressivo, de média móvel com entradas exógenas
(nonlinear autoregressive moving average model with exogenous inputs);
NARX modelo não linear autorregressivo, com entradas exógenas
(nonlinear autoregressive model with exoge nou s inputs);
PCA análise de componentes principais (principal component analysis);
PE persistência de excitação;
PID controlador proporcional, integral e derivativo;
PPA para pequenas amostras;
PRBS sinal binário pseudoaleatório (pseudo-random binary signal);
RBF função radial de base (radial basis function);
RMQ recursivo de mínimos quadrados;
RNA rede neural artificial;
RTD resistance temperature detector;
Simbologia e Abreviações 21
SISO uma entrada e uma saída (single-input, single-output);
SNR relação sinal ruído (signal to noise ratio), 10 log(σ
2
y
/σ
2
e
) (dB);
SVD decomposição em valores singulares (singular value decomposition);
TF transformada de Fourier;
U(µ, σ) ruído branco uniforme com média µ e desvio padrão σ;
TDF transformada discreta de Fourier;
VARX modelo vetorial autorregressivo com entradas exógenas
(vector autoregressive model with exogenous inputs);
VI variáveis instrumentais;
WGN(0,σ) ruído branco gau ssiano com média nula e desvio padrão σ.
Apresentação à Quarta Edição
Uma das razões pelas quais tenho me empenhado em produzir uma nova
edição deste livro é a boa receptividade que o mesmo tem tido, pelo que sou
grato à comunidade técnica e acadêmica. Outra razão é simplesmente que
o texto nunca está como gostaria, mas fico satisfeito em oferecer a alunos e
colegas uma edição que apresenta melhorias.
Ao contrário do que ocorreu com as duas últimas edições, em que novos
capítulos foram acrescentados, nesta os capítulos são os mesmos da edição
anterior. O material novo incluído nesta edição foi inserido n as seções exis-
tentes e, principalmente, na forma de novos Complementos ao fim de alguns
capítulos. Além disso, há quase trinta novos exercícios propostos e mais de
uma centena de referências a m ais do que n a terceira edição. A abordagem
de alguns temas foi ajustada visando uma leitura mais fácil e espero qu e o
leitor encontre o texto da presente edição mais claro e elegante.
Registro aqui alguns agradecimentos, sendo que outros estão expressos
na introdução do Capítulo 16. Agradeço à equipe da Editora UFMG pelo
apoio editorial. Agradeço a contribuição de Elb ert Macau, José Ernesto
Araújo Filho e Ubiratan Freitas e Clóvis Pereira pelo exemplo descrito no
capítulo introdutório sobre uma câmara de termovácuo do INPE (Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais). Dentre as pessoas que contribuíram com
uma leitura crítica do texto estão Bruno Teixeira, Eduardo Mendes, Gustavo
Salgado, Marcelo Duarte e Tales Jesus. Por fim, sou constantemente grato
a Deus pelo amor e apoio de minha amada esposa e filhas.
Luis Antonio Aguirre
Belo Horizonte, junho de 2014
Apresentação à Primeira Edição
Representar, por meio de modelos matemáticos, sistem as e fenômenos ob-
servados sempre foi um desafio. Desde a Antiguidade, o homem tem pro-
curado descrever matematicamente sistemas experim entais para ajudá-lo a
entendê-los e, assim, resolver problemas relaci ona dos a eles. Apesar do de-
senvolvimento de novas técnicas de modelagem, o antigo desafio de represen-
tar u m sistema físico usando-se um análogo matemático parece permanecer
inalterado.
Uma das mudanças ocorridas em meados dos anos 90 foi a crescente ne-
cessidade de desenvolver formas de obter modelos matemáticos a partir de
dados observados e não exclusivamente partindo-se das equações que descre-
vem a física do pro cesso. As possíveis razões para essa mudança são muitas,
mas parece instrutivo mencionar as seguintes: em primeiro lugar, de forma
geral, os sistemas com os quais se precisava lidar eram mais complexos ,
consequentemente, nem sempre era possível escrever as equações básicas
do sistema, procedimento conhecido como modelagem fenomenológica, ou
modelagem baseada na física do processo; em segundo lugar, compu tadores
baratos e com b om desempenho tornaram-se acessíveis, viabilizando, assim,
usá-los para processar dados coletados diretamente dos sistemas e, a partir
de tais observações, desenvolver modelos matemáticos capazes de explicar os
dados, procedimento conhecido como mo d elagem empírica ou identificação
de sistemas.
No presente livro, referimo-nos à identificação de sistemas como sendo
uma área do conhecimento que estuda maneiras de modelar e analisar sis-
temas a partir de observações, ou seja, de dados. Mas como observado,
“identificação de sistemas e estimação de parâmetros sempre significarão
coisas diferentes para pessoas diferentes” (Rake,1980,p.526).
Na última década tem-se verificado mais uma tendência geral que tor-
nará o uso de técnicas de identificação e análise de sistemas desejável e até
mesmo necessário em praticamente todas as áreas do conhecimento humano.
Essa tendência é a inegável capacidade que hoje se tem de coletar dados
com informação sobre a dinâmica do sistema que está sendo observado.
Assim, o que há vinte anos estava restrito a poucos laboratórios de pes-
quisa, hoje se encontra em praticamente qualquer laboratório e indústria,
a saber, sistemas de aquisição de dados confiáveis capazes de monitorar
26 Apresentação à Primeira Edição
variáveis de sistemas e processos experimentais com taxas de amostragem
que garantem a representação dinâmica do sistema por meio de tais da-
dos. Esse fato tem impulsionad o muitos a enveredarem p elo s caminhos da
identificação de sistemas. Tais caminhos são promissores, mas há algumas
dificuldades reservadas àqueles que os trilharem. Em primeiro lugar, cita-
se o fato universalmente reconhecido que a identificação de sistemas, sob
muitos a spectos, ainda é uma “arte”, significando que ainda há um certo
grau de subjetivismo na aplicação das técnicas disponíveis. Mas nem tudo
é subjetivo, pelo contrário, há diversos algoritmos cujo grau de sofisticação é
grande o que, muitas vezes, dificulta seu entendimento e sua aplicação. Em
segundo lugar, os aspectos teóricos podem se tornar empecilhos à aplicação
dos algoritmos de identificação a sistemas experimentais. Uma crítica cons-
tante dos estudantes da área é a dificuldade que sentem de entender e tirar
proveito da literatura disponível que é, na sua maioria, de cunho teórico.
O presente livro surgiu como resultado de treze anos de prática e cinco de
ensino de identificação de sistemas. Tem por objetivo apresentar o assunto
de um ponto de vista prático mas ao mesmo tempo abordar os principais
pontos teóricos. Assim, o texto se presta tanto àqueles que querem utilizar
técnicas de identificação de sistemas como também àqueles que precisam
entender mais a fundo os aspectos teóricos envolvidos.
A fim de atingir este objetivo, cada capítulo contém informações básicas
nas seções principais, ao passo que questões mais específicas são discutidas
nos complementos, que podem ser usados em cursos de pós-gradu ação ou
sugeridos como leitura complementar. Detalhes mais específicos da teoria
de identificação de sistemas foram deliberadamente mencionados de forma
breve ou simplesmente omitidos. Por outro lado, houve a preocupação de
ilustrar as técn icas descritas no livro utilizando-se vários exemplos, muitos
deles usando dados de si stemas dinâmicos experimentais. De forma que
no mesmo texto encontram-se aspectos teóricos e práticos da identificação
de sistemas. No último capítulo, onze estudos de caso são estudados e
analisados usando-se técnicas descritas ao longo do livro.
Versões preliminares deste texto foram utilizadas tanto em cursos de
especialização como de pós-graduação. Um curso introdutório à modela-
gem matemática de sistemas em nível de especialização ou como disciplina
optativa ao fim de um curso de nível superior cobriria os Capítulos 1 a 5,
12, 13 e alguns estudos de casos do Capítulo 16. Por outro lado, um curso
de pós-graduação em identificação de sistemas e estimação de parâmetros
cobriria tipicamente os Capítulos 4 a 8, 12, 13, e tópicos selecionados dos
Capítulos 10, 11, 14 e 16. Nesse caso, considera-se que o aluno está familia-
rizado com o assunto dos Capítulos 1 a 3, principalmente com a Seção 2.6.
Em ambas as alternativas, o uso dos complementos no fim dos capítulos fica
a critério do professor. Os complementos podem ser omitidos sem perda de
Apresentação à Primeira Edição 27
continuidade. Considerando-se o texto como um todo, ele é basicamente
autocontido, mas conhecimentos básicos de sistemas dinâmicos lineares e
de processos estocásticos são úteis. O livro compreende um número razoá-
vel de exemplos e exercícios, muitos dos quais usam dados experimentais
que estão disponíveis na Internet. A ssi m sendo, o professor pode solicitar
aos alunos que certos exemplos sejam refeitos como constam no livro ou
mesmo usando algum outro conjunto de dados disponível. Além dos dados,
também estão disponíveis na Internet pequenos programas com a implemen-
tação do código que produz os resultados de alguns exemplos do livro. Dessa
maneira o estudante pode ver como certos algoritmos são implementados
na prática. Acredita-se que tais aspectos con ferem ao livro características
singulares e que facilitarão tanto o aprendizado do aluno quanto o professor
na desafiadora tarefa de ensinar identificação de sistemas.
O Capítulo 1 descreve alguns conceitos básicos sobre modelagem mate-
mática de sistemas. Na seção 1.4 discute-se detalhadamente o único exem-
plo de modelagem pela física do processo descrito no livro. O objetivo
desse exemplo é salientar as principais etapas desse tipo de modelagem e
contrastá-lo com a identificação de sistemas. Desse ponto de vista, esse
capítulo pode ser visto como m otivação para a leitura do restante do livro.
O Capítulo 2 é uma breve revisão sobre representações lineares de sis-
temas dinâmicos. Dependendo do públ ico alvo, esse capítulo pode ser omi-
tido sem maiores problemas ou recomendado p ara leitura extraclasse. A
Seção 2.6 apresenta representações lineares discretas do tipo ARMAX, mo-
delo de erro na s aíd a e modelo do tipo Box-Jenkins. Essas representações
matemáticas são fundamentais para o restante do livro, uma vez que são os
parâmetros dessas representações que serão o foco dos Capítulos 5 a 8, que
compõem a espinha dorsal da obra.
O Capítulo 3 trata da identificação de sistemas usando métodos deter-
minísticos tais como a respota ao degrau. Em muitas situações práticas as
técnicas discutidas nesse capítulo serão suficientes para obter-se bons mode-
los do sistema. Como discutido, o problema potencial de tais métodos é que
eles não trabalham com o ruído nos dados, ou seja, não foram adaptados
para manipular a incerteza inerente em medições.
O problema do ruído ou incertezas nos dados começa a ser tratado no
Capítulo 4. Nesse capítulo a identificação de m odelos não paramétricos é
utilizada como um meio para começar a abordar o problema de ruído nos
dados. Apesar desses métodos serem viáveis per se, esse capítulo é visto
como uma transição entre os métodos determinísticos e os estocásticos, ou
como uma introdução ao próximo capítulo.
O Capítulo 5 trata do estimador de mínimos quadrados clássico. Esse
estimador é apresentado como sendo o resultado natural d e tentar levar em
28 Apresentação à Primeira Edição
consideração as incertezas de medição presentes nos dados. O princípio da
ortogonalidade desse estimador é descrito e sua interpretação é discutida.
Os conceitos desse capítulo são fundamentais para os capítulos de 6 a 8.
O Capítulo 6 trata basicamente das propriedade de polarização e cova-
riância de estimadores. Por um lado, esses aspectos são de cunho teórico,
mas sua devida compreensão permite entender em detalhes as características
dos estimadores não polarizados descritos no Capítulo 7. Dentre os estima-
dores exi stentes, apresentam-se quatro: o estimador estendido de mínimos
quadrados, o estimador generalizado de mínimos quadrados em batelada e a
respectiva impl ementação iterativa e o estimador de variáveis instrumentais.
Uma preocupação desse capítulo é que o leitor entenda, baseado na discus-
são do capítulo anterior, as principais características desses estimadores e
por que eles reduzem o problema da polarização.
O Capítulo 8 trata da estimação recursi va d e parâmetros. Diversas im-
plementações recursivas dos algoritmos apresentados nos Capítulos 5 e 8 são
discutidas. Mostra-se como o Filtro de Kalman é equivalente ao estimador
recursivo de mínimos quadrados para os casos em que o problema é para-
metrizado de forma a estimar estados, em vez dos p arâmetros de modelos
do tipo ARMAX. Aspectos relevantes na implementação em tempo real de
algoritmos de estimação são discutidos nesse capítulo.
Os capítulos 9 e 10 (respectivamente, capítulos 10 e 11, a partir da ter-
ceira edição) compõem uma unidade. Esses capítulos tratam da identifica-
ção de sistemas não lineares. Em particular, o Capítulo 9 menciona algumas
das representações mais comumente usadas na modelagem de sistemas di-
nâmicos não lineares, com especial ênfase em modelos polinomiais discretos
por serem esses extensões naturais dos modelos ARMAX que foram deta-
lhadamente estudados ao longo do livro. Detalhes sobre os algoritmos de
identificação e suas principais diferenças com relação àqueles usados para
modelos lineares são discutidos no Capítulo 10.
Os capítul os 11 e 12 (respectivamente, capítulos 12 e 13, a partir da
terceira edição) são de cunho muito prático. O primeiro trata da execução de
testes dinâmicos, da escolha de sinais, da coleta de dados e da determinação
da estrutura de modelos. O Capítulo 12 descreve ferramentas úteis na
validação de modelos.
O Capítulo 13 (Capítulo 14, a partir da terceira edição) descreve tópicos
especiais em modelagem matemática. Em particular trata de técnicas de
aproximação de modelos. O material contido nesse capítulo deve ser visto
como complementar ao assunto do livro e pode ser omitido sem perda de
continuidade.
Finalmente, o Capítulo 14 (Capítulo 16, a partir da terceira edição)
descreve 1 1 estudos de casos (a partir da terceira edição, o livro apresenta
14 estudos de caso). São 11 problemas em que o ponto de partida é um
Apresentação à Primeira Edição 29
sistema experimental o qual deseja-se modelar, analisar ou monitorar. Em
cada caso isso é feito usando-se as técnicas descritas ao longo do livro. Os
casos estudados n esse capítulo p odem ser abordados ao longo do curso,
ilustrando, assim, aspectos diversos dos assuntos tratados.
Uma das características do presente livro é o grande número de exem-
plos e estudo de casos que usam dados experimentais. Ta is dados di-
zem respeito a sistemas bastante diversificados e incl uem sinais biomédi-
cos, econômicos, de processos elétricos, mecânicos, mi nerais, eletrônicos,
térmicos e pneumáticos, entre outros. Tal variedade foi possível graças
à ajuda de um grande número de pessoas com as quais tive a satisfa-
ção de trabalhar. Dentre elas mencio no Álvaro Souza, Antonio Aguirre,
Carlos Martinez, Cecília Cassini, Constantino Seixas, Cris tiano Jácome,
Eduardo Jardim, Eduardo Mendes, Eduardo Saraiva, Fábio Jota, Francisco
Magalhães, Giovani Rodrigues, Guilherme Pereira, Herlon Cam argo, Ho-
mero Guimarães, Jú lio Cruz, Leonardo Tôrres, Marcelo Corrêa, Mário
Campos, Miroslav Bires, Murilo Gomes, Paulo Seixas, Pedro Donoso, Pedro
Oliveira, Ricardo Nicolin i, Rodolfo Santana, Rúbens Santos Filho, Ubira-
tan Freitas e Vinícius Barros. Versões preliminares do texto foram lidas por
dezenas de estudantes, cuja leitura crítica e sugestões foram apreciadas.
Gostaria também de registrar minha profunda apreciação ao professor
Ronaldo Tadêu Pena, com quem aprendi os fundamentos da modelagem
matemática de sistemas.
Fo i uma grande satisfação trabalhar com a equipe da Editora UFMG.
Registro minha gratidão pela ajuda e profissionalismo. Agradeço também
ao professor Luiz Otávio Fagundes Amaral p elo incentivo e apoio na fase
de preparação deste livro.
Considero de inestimável valor o amor de minha esposa Janete, o ca-
rinho de nossas filhas Priscila, Nerissa e Pauline, e o constante apoio e
encorajamento dos nossos queridos pais e irmãos.
Luis Antonio Aguirre
Belo Horizonte, agosto de 2000
