The elastic properties of fullerite (Упругие свойства фуллерита)

Abstract

Three equilibrium fullerite structures are prepared by molecular dynamics simulation: two of them are made of fullerene C60 and have either simple cubic or face centered cubic lattices and the third one is made of fullerene-like molecule C48 with simple cubic lattice. The compliance and elastic moduli are calculated from molecular dynamics. Analytical methods are used to calculate the engineering elastic constants such as Poisson’s ratio, shear modulus and Young’s modulus. It is found that two of considered structures are auxetics, i.e., they demonstrate a negative Poisson’s ratio.

Full text

Фундаментальные проблемы современного материаловедения том 13 №1 (2016)
© Рысаева Л.Х., Баимова Ю.А., Лисовенко Д.С., Крылова К.А., Дмитриев С.В., Городцов В.А., 2016
105
УДК 539.3
Рысаева Л.Х.1,2, Баимова Ю.А.1,3, Лисовенко Д.С.4,5,6, Крылова К.А.1,
Дмитриев С.В.1,7, Городцов В.А.4,6
УПРУГИЕ СВОЙСТВА ФУЛЛЕРИТА
Методом молекулярной динамики исследованы равновесные структуры фуллерита и получены модули
упругости и податливости трех типов структур. Изучены фуллериты на основе фуллерена С60 с двумя ти-
пами укладки – простой кубической и гранецентрированной, а также фуллерит на основе фуллереноподоб-
ной молекулы С48 с простой кубической укладкой. Аналитические расчеты, проведенные на основе упругих
констант, полученных молекулярно-динамическим моделированием, показали, что две из рассмотренных
структур являются ауксетиками, т.е. имеют отрицательный коэффициент Пуассона.
Ключевые слова: фуллерит, ауксетик, упругие свойства.
Three equilibrium fullerite structures are prepared by molecular dynamics simulation: two of them are made of
fullerene C60 and have either simple cubic or face centered cubic lattices and the third one is made of fullerene-like
molecule C48 with simple cubic lattice. The compliance and elastic moduli are calculated from molecular dynamics.
Analytical methods are used to calculate the engineering elastic constants such as Poisson’s ratio, shear modulus
and Young’s modulus. It is found that two of considered structures are auxetics, i.e., they demonstrate a negative
Poisson’s ratio.
Keywords: fullerite, auxetic, elastic properties.
Введение
В последние десятилетия все большее вни-
мание исследователей привлекают объемные
углеродные наноматериалы, демонстрирующие
новые интересные свойства [1]. Немалый инте-
рес представляют и объемные углеродные на-
ноструктуры, созданные на основе чешуек гра-
фена, углеродных нанотрубок и фуллеренов [2-
6]. Среди таких наноматериалов хорошо из-
вестным является фуллерит – материал, со-
стоящий из молекул фуллерена. Одной из наи-
более исследованных структур является фулле-
рит на основе фуллерена С60.
Несмотря на то, что фуллерит известен до-
вольно давно, его механические свойства и ха-
рактеристики остаются малоизученными. К на-
стоящему моменту имеются исследования уп-
ругих свойств поликристаллических образцов
фуллерита [7], измерения модуля Юнга на мо-
нокристаллических образцах малых размеров
[8, 9] и исследования поликристаллических
пленок. Ранее также были выполнены измере-
ния упругих постоянных некоторых алмазопо-
добных структур и фуллерита [10-13]. Упругие
модули монокристаллического С60 были опре-
делены на основе измерения скоростей ультра-
звука и составили величины порядка
с11~15 ГПа, c
12~9 ГПа и c
44~6 ГПа [10], иссле-
дован релаксационный вклад [11] и темпера-
турное поведение [12, 13] модулей упругости.
В работе [14] на основе модулей жесткости, по-
лученных в [12], исследовались упругие свой-
ства фуллерита в зависимости от температуры.
Одним из интересных и важных направле-
ний исследования является поиск материалов,
обладающих необычными механическими
свойствами. Анализ упругих свойств различ-
ных наноструктур показал, что они могут иметь
отрицательный коэффициент Пуассона [15, 16].
У многих материалов различных кристалличе-
ских систем обнаруживается отрицательный
коэффициент Пуассона при растяжениях в оп-
ределенных направлениях [17-19]. На данный
момент список известных материалов с отрица-
тельным коэффициентом Пуассона включает
более чем четыреста наименований. Представ-
ляется интересным поиск таких уникальных
структур среди кристаллов фуллерита.
Целью данной работы является изучение
упругих характеристик трех различных кри-
сталлов фуллерита. Результаты, полученные
методом молекулярной динамики, используют-

Рысаева Л.Х., Баимова Ю.А., Лисовенко Д.С., Крылова К.А., Дмитриев С.В., Городцов В.А.
Фунд. пробл. совр. материаловед. т.13. №1. 2016. С. 105-109
106
ся для расчета технических констант упругости
аналитическими методами.
1. Описание модели
Расчетные ячейки фуллерита были созданы
на основе фуллерена С60 и фуллереноподобной
молекулы С48. Формирование начальной струк-
туры осуществлялось с помощью написанной
авторами программы, которая позволяет ком-
бинировать различные структурные элементы в
объемные структуры, такие как фуллерит. По-
скольку из эксперимента известно, что устой-
чивыми являются фуллериты на основе С60 с
ПК (простой кубической) и ГЦК (гранецентри-
рованной) укладкой, в данной работе рассмат-
ривались именно эти две конфигурации. Для
сравнения был рассмотрен также фуллерит на
основе молекулы С48 с ПК укладкой. На рис.1
показан пример фуллерита на основе С60 с ГЦК
укладкой.
Рис.1. Пример структуры фуллерита С60 с ГЦК ук-
ладкой.
Релаксация структур и расчеты модулей sij
проводилось с помощью программы LAMMPS
[20] с потенциалом межатомного взаимодейст-
вия AIREBO [21], который успешно был ис-
пользован для исследования тепловых и меха-
нических свойств различных углеродных сис-
тем, таких как смятый графен, графан и др. [22-
25]. Все исследования проводились при нуле-
вой температуре. Постоянство температур под-
держивалось с помощью термостата Носе-
Хувера. В начальный момент структура релак-
сировала до достижения локального или гло-
бального минимума потенциальной энергии.
После чего, производились расчеты sij.
Для расчета s
11 и s
12 к расчетной ячейке
было приложено одноосное растяжение вдоль
оси x посредством добавления растягивающего
напряжения σxx=200 МПа. Напряжение выбира-
лось таким образом, чтобы итоговая деформа-
ция не превышала 2%. При этом остальные
компоненты напряжения были равны нулю
(σyy=σzz=σxy=σxz=σyz=0). Определялись ненулевые
деформации ɛxx и ɛyy=ɛzz и по ним рассчитыва-
лись костанты s
11 и s
12. Для определения s
44
прикладывалось сдвиговое напряжение
σxy= 100 МПа, а все остальные компоненты тен-
зора напряжения были равны нулю. По найден-
ному значению ɛxy было рассчитано s44. Упру-
гие модули с11, с12 и с44 рассчитывались из
формул:
1
4444 −
=sc ,
(
)
1
12111211 −
−=− sscc , и
(
)
1
12111211 22 −
+=+ sscc .
Полученные значения упругих модулей
были использованы в аналитических расчетах.
2. Результаты и обсуждение
Значения модулей податливости и жестко-
сти, полученные методом молекулярной дина-
мики, представлены в табл.1.
Таблица 1. Константы податливости и жесткости
для трех структур
Структура
s11, ГПа-1 s44, ГПа-1 s
12, ГПа-1
С48 10.5 6.61 -4.68
С60 ПК 43.3 218 -1.87
С60 ГЦК 0.052 0.0348 -0.0224
Структура
c11 c44 c12
С48 331 МПа 151 МПа 265 МПа
С60 ПК 23.2 МПа
4.59 МПа
1.05 МПа
С60 ГЦК 55.3 ГПа 28.7 ГПа 41.8 ГПа
На основании значений модулей податли-
вости, представленных в табл.1, была проана-
лизирована изменчивость упругих «техниче-
ских коэффициентов». В табл.2-4 представлены
результаты аналитических расчетов. В них да-
ны следующие комбинации модулей податли-
востей
441211 s5.0ss −−≡∆ , 11
s/∆≡δ ,
∆−≡Π /s2 12 , 441211 s/)ss(2P −≡ .
Детали расчета коэффициента Пуассона,
модуля Юнга и модуля сдвига представлены в
[18, 26, 27].

Упругие свойства фуллерита
BPMS, Vol.13, No.1, 2016, pp. 105-109
107
Таблица 2. Экстремальные значения модуля Юнга
Структура ∆, ГПа-1 Е100 Е110 Е111
С48 11.9 95.1 МПа 219 МПа 386 МПа
С60 ПК -63.7 23.1 МПа 13.3 МПа 11.7 МПа
С60 ГЦК 0.06 19.2 ГПа 42.6 ГПа 71.4 ГПа
Таблица 3. Значения коэффициента Пуассона и безразмерных параметров П, δ
Структура
результат П δ νmin νmax <ν> ν100 ν001,110
110,011
ν
ν111
С48 аукс. 0.787
1.13
-0.28 1.02 0.39 0.44 1.02 -0.28 0.28
С60 ПК неаукс. -0.059
-1.47
0.01 0.45 0.2 0.04 0.02 0.45 0.27
С60 ГЦК аукс. 0.788
1.10
-0.26 0.96 0.36 0.43 0.96 -0.26 0.25
Таблица 4. Максимальные и минимальные значения модуля сдвига
Структура
Р G1, МПа G2, МПа
С48 4.60 151 МПа 32.9 МПа
С60 ПК 0.415 4.59 МПа 11.1 МПа
С60 ГЦК 4.28 28.7 ГПа 6.72 ГПа
Экстремальные значения модулей Юнга и
значения коэффициента анизотропии для раз-
личных видов фуллеритов представлены в
табл.2. Фуллерит С60 с ПК укладкой имеет от-
рицательную анизотропию. Для него макси-
мальное значение модуля Юнга наблюдается
при растяжении в направлении [100]. Два дру-
гих фуллерита имеют положительную анизо-
тропию, и для них максимум модуля Юнга бу-
дет при растяжении в направлении [111]. Мак-
симальное значение модуля Юнга для фулле-
рита С60 с ГЦК укладкой превосходит более
чем в 180 раз максимальные значения модулей
для двух других фуллеритов. Глобальные мак-
симумы выделены в табл.2 полужирным шриф-
том.
В табл.3 представлены результаты расчета
минимального и максимального значений ко-
эффициента Пуассона (ν
min и νmax), его усред-
ненное по всем направлениям значение <ν>,
значения безразмерных параметров П, δ, а так-
же экстремумы при частных ориентациях. Ос-
новываясь на безразмерных комплексах
Π
и
δ
, все кубические кристаллы можно поделить
на три типа: неауксетики (
1
>
Π
, 0
>
δ
и 0
<
Π
,
0
<
δ
), имеющие положительный коэффициент
Пуассона при любой ориентации кристаллов,
частичные ауксетики ( 10
<
Π
<
при 0
>
δ
и
0
<
δ
), изменяющие знак коэффициента Пуас-
сона в зависимости от ориентации, и полные
ауксетики ( 0
<
Π
, 0
>
δ
и
1
>
Π
, 0
<
δ
), обла-
дающие отрицательным коэффициентом Пуас-
сона при любой ориентации кристаллов. Расче-
ты коэффициентов Пуассона показали, что два
из рассмотренных материалов являются час-
тичными ауксетиками. Для фуллерита С60 с
гранецентрированной кубической укладкой
минимальное значение коэффициента Пуассона
равно -0.26, а для фуллерита С48 с простой ку-
бической укладкой оно равно -0.28.
Рис.2. Поверхность ауксетичности для фуллерита
С60 с ГЦК укладкой
На рис.2 представлена поверхность ауксе-
тичности для фуллерита С60 с ГЦК укладкой в
пространстве углов Эйлера с периодичностью
2/T π=
ϕ, π=
θ2T и π=
ψ
T. Зона ауксетично-
сти находится внутри представленных поверх-
ностей. Такая зона позволяет через углы Эйле-
ра определить направления растяжения, при

Рысаева Л.Х., Баимова Ю.А., Лисовенко Д.С., Крылова К.А., Дмитриев С.В., Городцов В.А.
Фунд. пробл. совр. материаловед. т.13. №1. 2016. С. 105-109
108
которых наблюдается отрицательный коэффи-
циент Пуассона. Поверхность ауксетичности
для фуллерита С48 имеет аналогичный вид, т.к.
он характеризуется такими же значениями без-
размерных параметров П, δ.
Минимальные и максимальные значения
модулей сдвига для фуллеритов представлены в
табл.4. Наибольшим модулем сдвига обладает
фуллерит С60 с ГЦК укладкой.
Заключение
Методом молекулярной динамики были
получены модули податливости для трех фул-
леритов, созданных на основе фуллеренов С60 и
С48. На основе полученных данных были ис-
следованы их упругие характеристики – модуль
Юнга, коэффициент Пуассона и модуль сдвига.
Показано, что две из исследованных струк-
тур (фуллерит С48 и фуллерит С60 с ГЦК уклад-
кой) являются ауксетиками, т.е. имеют отрица-
тельный коэффициент Пуассона. Представлен-
ные в работе результаты показывают качест-
венное совпадение с ранее известными из лите-
ратуры модулями жесткости фуллерита С60, оп-
ределенными экспериментально в [10]. Однако,
полученные расчетные значения в несколько
раз больше. Это можно объяснить тем, что экс-
периментально полученные монокристаллы
фуллерита содержат много дефектов и, кроме
того, экспериментальные измерения проводят-
ся при конечных температурах, в то время как
представленные в работе расчеты проводились
для идеального кристалла при нулевой темпе-
ратуре.
Изучение механических свойств данного
материала представляет большой интерес, по-
скольку фуллерит может применяться для соз-
дания новых композиционных материалов, за-
щитных покрытий, а также в энергетике, био-
химии и медицине.
ДСВ благодарит за финансовую поддерж-
ку Российский Научный Фонд (грант
№14
‑
13
‑
00982), БЮА благодарит за финансо-
вую поддержку стипендию Президента РФ
молодым ученым и аспирантам (СП-
4037.2015.1). Р.Л.Х. благодарит грант РФФИ
№16-32-00483-мол_а. Расчеты упругих кон-
стант проводились ЛДС в рамках гранта Пре-
зидента РФ для государственной поддержки
молодых российских учёных – кандидатов наук
МК-5891.2015.1.
Список используемой литературы
1. Мулюков Р.Р., Баимова Ю.А. Углеродные
наноматериалы: учебное пособие. Уфа: РИЦ
БашГУ, 2015. 160 с.
2. Баимова Ю.А., Мурзаев Р.Т., Дмитриев
С.В. Механические свойства объемных угле-
родных материалов // ФТТ. 2014. т.56. в.10.
С. 1946-1952.
3. Baimova J.A., Liu B., Dmitriev S.V., Srikanth
N., Zhou K. Mechanical properties of bulk carbon
nanostructures: effect of loading and temperature
// Phys. Chem. Chem. Phys. 2014. V.16. P. 19505-
19513.
4. Baimova J.A., Liu B., Dmitriev S.V., Zhou K.
Mechanical properties and structures of bulk na-
nomaterials based on carbon nanopolymorph
// Physica Status Solidi - Rapid Research Letters.
2014. V.8. No.4. P. 336-340.
5. Старостенков М.Д., Лощина И.В. Струк-
турно-геометрический анализ молекул фулле-
рена // Вестник АлтГТУ им. Ползунова. Барна-
ул, АГТУ. 1999. №1. С. 106-109.
6. Старостенков М.Д., Лощина И.В., Демья-
нов Б.Ф. Исследование углеродных нанострук-
тур с использованием потенциала Терцоффа
// Фундаментальные проблемы современного
материаловедения. 2005.т.2. №1. C. 62-67.
7. Кобелев Н.П., Моравский А.П., Сойфер
Я.М., Башкин И.О., Рыбченко О.Г. Упругие и
диссипативные свойства фуллерита // ФТТ.
1994. т.36. в.1. С. 2732.
8. Hoen S., Chopra N.G., Xiang X.-D. et al.
Elastic properties of a van der Waals solid: C
60
// Phys. Rev. B. 1992. V.46. No.12. P. 737.
9. Shi X.D., Kortan A.R., Williams J.M. et al.
Sound velocity and attenuation in single-crystal
C60 // Phys. Rev. Lett. 1992. V.68. P. 827.
10. Кобелев Н.П., Николаев Р.К., Сойфер Я.М.,
Хасанов С.С. Упругие модули монокристалли-
ческого C60 // ФТТ. 1998. т.40. в.1. С. 173.
11. Кобелев Н.П. О релаксационном вкладе в
сдвиговые модули упругости низкотемператур-
ной фазы твердого C60 // ФТТ. 2002. т.44. в.1.
С. 188.
12. Кобелев Н.П., Николаев Р.К., Сидоров
Н.С., Сойфер Я.М. Особенности температурно-
го поведения упругих модулей твердого C
60
// ФТТ. 2002. т.44. в.3. С. 415.
13. Кобелев Н.П., Николаев Р.К., Сидоров
Н.С., Сойфер Я.М. Температурная зависимость
упругих модулей твердого C
60 // ФТТ. 2001.
т.43. в.12. С. 2244.

Упругие свойства фуллерита
________________
Сведения об авторах
Рысаева Лейсан Халиловна, инженер ИПСМ РАН, lesya813rys@gmail.com
Баимова Юлия Айдаровна, к.ф.-м.н., с.н.с. ИПСМ РАН, julia.a.baimova@gmail.com
Лисовенко Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н., с.н.с. ИПМ РАН, lisovenk@ipmnet.ru
Крылова Карина Александровна, к.ф.-м.н., м.н.с. ИПСМ РАН, karina-buk@yandex.ru
Дмитриев Сергей Владимирович, д.ф.-м.н., профессор, зав. лабораторией ИПСМ РАН, dmitriev.sergey.v@gmail.com
Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., в.н.с. ИПМ РАН, gorod@ipmnet.ru
BPMS, Vol.13, No.1, 2016, pp. 105-109
109
14. Раранський М.Д., Балазюк В.Н., Гунько
М.М., Струк А.Я. Аналiз особливостей ауксе-
тичних властивостей фуллерита С60 // Восточ-
но-европейский журнал передовых технологий.
2015. т.5/5. №77. С. 18.
15. Van Lier G., Van Alsenoy C., Van Doren V.
and Geerligs P. Ab initio study of the elastic prop-
erties of single-walled carbon nanotubes and gra-
phene // Chem. Phys. Lett. 2000. V.326. P. 181-
185.
16. Scarpa F., Adhikari S. and Wang C. Y. Me-
chanical properties of non-reconstructed defective
single-wall carbon nanotubes // J. Phys. D: Appl.
Phys. 2009. V.42. P. 142002.
17. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовен-
ко Д.С. Ауксетическая механика кристалличе-
ских материалов // Известия РАН, МТТ. 2010.
№4. С. 43.
18. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовен-
ко Д.С., Волков М.А. Отрицательный коэффи-
циент Пуассона для кубических кристаллов и
нано/микротрубок // Физ. Мезомех. 2013. т.16.
№6. С. 13.
19. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисо-
венко Д.С., Волков М.А. Auxetics among 6-
constant tetragonal crystals // Письма о материа-
лах. 2015. т.5. №4. С. 409.
20. http://lammps.sandia.gov/.
21. Stuart S., Tutein A., Harrison J. A reactive po-
tential for hydrocarbons with intermolecular inter-
actions // J. Chem. Phys. 2000. V.112. P. 6472.
22. Baimova J.A., Liu B., Dmitriev S.V., Zhou K.
Mechanical properties and structures of bulk na-
nomaterials based on carbon nanopolymorph
// Physica Status Solidi - Rapid Research Letters.
2014. V.8. No.4. P. 336-340.
23. Баимова Ю.А. Влияние дефекта Стоуна-
Троуэрра-Уоллеса и температуры на прочность
деформированного графена // Фундаменталь-
ные проблемы современного материаловеде-
ния. 2013. т.10. №4. С. 553-557.
24. Baimova J.A., L. Bo, Zhou K, Dmitriev S.V.,
Nazarov A.A. Effect of Stone-Thrower-Wales de-
fect on structural stability of graphene at zero and
finite temperatures // Europhys. Lett. 2013. V.103.
P. 46001.
25. Баимова Ю.А., Жоу К. Взаимодействие ин-
дентора атомно-силового микроскопа с морщи-
нами на графеновых нанолентах // Письма о
материалах. 2012. т.2. в.3. С. 139-142.
26. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисо-
венко Д.С. Модуль Юнга кубических ауксети-
ков // Письма о материалах. 2011. т.1. №3.
С. 127.
27. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисо-
венко Д.С. Модуль сдвига кубических кри-
сталлов // Письма о материалах. 2012. т.2. №1.
С. 21.
1Институт проблем сверхпластично-
сти металлов РАН, Уфа, Россия.
2Башкирский государственный универ-
ситет, Уфа, Россия.
3Институт физики металлов УрО
РАН, Екатеринбург, Россия.
4Институт проблем механики РАН,
Москва, Россия.
5Российская академия народного хозяй-
ства и государственной службы при Пре-
зиденте РФ, Москва, Россия.
6Московский авиационный институт
(национальный исследовательский универ-
ситет), Москва, Россия.
7Национальный исследовательский
Томский государственный университет,
Томск, Россия.
Подписано в печать 24.02.16.