Chapter

Die Antinomien

January 1991

DOI:10.1007/978-3-642-74344-3_5

In book: Briefe (pp.8-10)

Authors:

Die Cantorsche Mengenlehre wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts für viele Mathematiker und Philosophen suspekt, als Russell den Nachweis erbrachte, daß man auf in sich widerspruchsvolle (nicht „konsistente“) Mengen stößt, wenn man den Cantorschen Mengenbegriff in uneingeschränkter Allgemeinheit anwendet. Hier kann die Beschäftigung mit Cantors Korrespondenz zu der Erkenntnis verhelfen, daß Cantor selbst schon Jahre zuvor die Möglichkeit solcher Antinomienbildung erkannt hatte. Wir wissen das aus seiner Korrespondenz mit Hilbert aus den Jahren 1897 und 1898. Der Schöpfer der Mengenlehre argumentiert, daß er ja immer verlangt habe, daß die Mengen „wohl definiert“ sein müssen. Und in sich widerspruchsvolle Mengen sind eben nicht wohldefiniert. Später hat er noch hinzugefügt, daß die Mengen auch „fertig“ sein müssen.

ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.

ResearchGate has not been able to resolve any references for this publication.

Chapter

Brücken ins Unendliche

January 2011

Pierre Basieux

Dies hat kein Theologe oder Philosoph geschrieben, sondern ein Mathematiker, nämlich David Hilbert. Theologen und Philosophen ergehen sich in phantastischen Spekulationen über das Unendliche und die Ewigkeit, aber am Ende lautet ihre Erkenntnis: »Nix Genaues weiß man nicht«. Die Mathematik hingegen erhebt den Anspruch, die wahre Wissenschaft vom Unendlichen zu sein.

Chapter

Kant über Zeichen in und außerhalb der Mathematik

March 2021

Axel Hesper

Aber sind wir vollkommener Erkenntnis wirklich nicht fähig? An irgendetwas muß diese Vorstellung doch orientiert sein bzw. gewesen sein, weil man sonst nicht auf diesen Gedanken gekommen wäre. Leibniz formulierte noch vorsichtig, daß vielleicht die Zahlen, also das Mathematische dieses Ideal erfülle.

Article

Einfacher, ordinalzahlfreier Beweis f�r die Wohlordnung der M�chtigkeiten

December 1957 · Mathematische Zeitschrift

Jürgen Schmidt

Unter den verschiedenen/iq uivalenten Formulierungen des Auswahlaxioms ist seiner Schmiegsamkeit in der Anwendung wegen das als Lemma von Zog~ bekannte, letztlich auf HAUSDORFF zuriickgehende Maximalprinzip 1) in die Schlfisselposition gefiickt; in der Tat lassen sich j a viele dieser Formulierungen, insbesondere das Auswahlaxiom selbst und der Zermelosche Wohlordnungssatz, als direkte ... [Show full abstract] Spezialisierungen des allgemeinen Maximalprinzips auffassen. Lange Zeit war hier eine gewisse Einschr/inkung zu machen gewesen, insofern die zahlreichen kardinalzahlarit hmetischen ~quivalenzen ffir das Auswahlaxiom ~), nach dem immer wieder reproduzierten Vorgang von CANTOR, weniger auf dem allgemeinen Maximalprinzip als speziell auf dem Wohlordnungssatz und der Ordinalzahltheorie zu beruhen schienen; dahingestellt blieb, ob nicht auch etwa der Satz yon der Vergleichbarkeit oder gar vonder Wohlordnung der M~ichtigkeiten den Charakter eines spezieUen Maximalprinzips bes~iBe3). So hatte man sich lange Zeit damit abgefunden4), dab diese und andere Fundamentals~tze aus der Theorie der abstrakten (strukturlosen) Mengen anscheinend nur auf dem Umwege fiber eine hinreichend ausgebaute Theorie gewisser strukturierter, eben der wohlgeordneten Mengen zu gewinnen seien; lange schien es bei der etwas paradoxen Situation bleiben zu sollen, dab das aUgemeine Maximalprinzip -- ein fiir die heutige Mathematik grundlegendes und, wie es scheint, unentbehrliches logisches Prinzip -- zwar seine Elastizit~it, seine bequeme Anwendbarkeit in' reicheren Strukturtheorien wie Algebra,

Chapter

Erratum to: Falsche Orientierung am großen Bruder?

January 1973

Wolfgang Stegmüller

Auf die Frage nach dem Gegenstand der Wissenschaftstheorie könnte man die Antwort geben: „Kein Mensch weiß, wovon die Wissenschaftstheorie handelt; denn sie ist eine Disziplin ohne Objekt.“Dies würde an die Art und Weise erinnern, in der einst B. Russell die Mathematik charakterisierte. Aber während er in der für ihn typischen humorvollen Weise auf das Problem der mathematischen Erkenntnis ... [Show full abstract] hinweisen wollte, könnte die vorliegende Antwort durchaus ernst gemeint sein und das heißt hier: durchaus boshaft.

Chapter

Was ist "Gute Mathematik"?

October 2013

Bert-Wolfgang Schulze

Die Vorstellung, ob in oder an der Mathematik etwas gut oder schlecht ist, mag gegenstandslos erscheinen, wo in der Mathematik ein Kondensat von „zutreffendem“ Denken gesehen wird. Ist jedoch das Gute eine Art Relevanz in Bezug auf verschiedene Zweckbestimmungen, so müssten jeweilige Bezugsgrößen definiert werden, etwa „cum praxi“ zu sein. Es wäre interessant, in der Mathematik eine Art Metrik zu ... [Show full abstract] besitzen, die es erlaubt, die Nähe ihrer Gebiete zur Realität auszudrücken. Viel leichter haben es diejenigen, die von vornherein genau wissen, was gute Mathematik ist; hier darf sich die Bewunderung in luftige Höhen ranken. Vorgelagert wäre die Erkenntnis, was die Mathematik selbst ist. Man behilft sich gern mit der Erklärung, Mathematik ist, was in Mathematikbüchern steht. Blumen würde man dann dadurch definieren, dass sie in Blumenläden stehen. Gut müsste Mathematik sein, wenn sie nichts falsches aussagt. Davon gehen wir bei der Mathematik aber ohnehin aus, vorausgesetzt, man hat sich erklärt, was „falsch“ ist. Es scheint daher generell nur gute und überhaupt keine schlechte Mathematik zu geben.

Chapter

Ein geistesgeschichtliches Paradoxon

January 1991

Georg Cantor

Georg Cantor hat in seinen Briefen mehrfach die Ansicht vertreten, daß erst kommende Generationen von Mathematikern seine Leistungen würdigen könnten. Man könnte behaupten, daß er Recht behalten hat; allerdings muß man hinzufügen, daß seine Theorie eine formalistische Deutung erfahren hat, die ihm gar nicht gefallen würde. Aber im „Zentralblatt“nehmen heute die Berichte über Forschungen zur ... [Show full abstract] Mengenlehre einen breiten Raum ein, und die Grundkonzeptionen seiner Mengenlehre sind in die Strukturtheorien unseres Jahrhunderts eingegangen. Das Interesse an seiner Person wird dadurch dokumentiert, daß es über keinen Mathematiker des letzten Jahrhunderts so viele biographische Schriften gibt wie über Cantor.