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Modélisation et étude numérique des vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces imparfaites : application aux cymbales
Abstract
Chapitre 1 Introduction 1 1.1 Applications de l'étude 1.1.1 Applications musicales 1.1.2 Applications industrielles 1.2 Cadre de l'étude 1.2.1 Vibrations non-linéaires de coques 1.2.2 Modèles récents 1.2.3 Modèle étendu et organisation du manuscrit I Effet des imperfections géométriques sur les vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces Chapitre 2 Imperfections géométriques 2.1 Introduction 2.2 Expérience sur une coque de laboratoire 2.3 Comparaison au modèle de coque sphérique mince 2.3.1 Comparaison sur les modes propres 2.3.2 Quelques éléments de comparaison sur des coefficients non-linéaires . 2.4 Autres exemples de la littérature Chapitre 3 Modèle de plaque circulaire imparfaite 3.1 Équations non-linéaires des plaques circulaires minces parfaitement planes 3.1.1 Hypothèses 3.1.2 Équations locales 3.1.3 Conditions aux limites 3.1.4 Adimensionnement 3.1.5 Projection modale 3.2 Équations non-linéaires des plaques circulaires minces imparfaites 3.2.1 Définition du défaut de forme 3.2.2 Ajout d'un défaut dans les équations locales du cas parfait 3.2.3 Projection modale 3.2.4 Diagonalisation du problème 3.2.5 Discussion et introduction aux études de convergence Chapitre 4 Application à quelques défauts de forme 4.1 Introduction 4.2 Calcul de la tendance de non-linéarité 4.3 Cas d'un défaut de forme sphérique 4.3.1 Comparaison théorique avec le modèle de coque sphérique mince 4.3.2 Comparaisons des résultats entre différents modèles analytiques 4.4 Cas de défauts axisymétriques 4.4.1 Introduction 4.4.2 Imperfection de la forme du mode (0,1) 4.4.3 Imperfection de la forme du mode (0,2) 4.5 Cas de défauts asymétriques 4.5.1 Imperfection de la forme du mode (2,0) 4.5.2 Imperfection de la forme du mode (3,0) 4.6 Conclusion sur les cas d'imperfections de formes données Chapitre 5 Cas de coques de laboratoire 5.1 Introduction 5.2 Mesure de la géométrie 5.3 Projection géométrique 5.4 Comparaison sur les fréquences propres 5.5 Comparaisons dans le domaine non-linéaire 5.5.1 Cas d'une résonance interne 1:1: 2 5.5.2 Coefficients quadratiques 5.6 Mise en évidence de l'erreur de projection 5.7 Prise en compte de cette erreur. Retour sur les résultats. 5.7.1 Nouveaux résultats sur les coefficients non-linéaires et développements 5.7.2 Influence des coefficients cubiques 5.7.3 Résultats sur d'autres coques de laboratoire 5.8 Discussion II Étude numérique de la transition vers le chaos Chapitre 6 Introduction 6.1 Expérience à reproduire 6.1.1 Protocole de mesure 6.1.2 Observations 6.1.3 Stratégie 6.2 Rappel sur la dynamique à intégrer 6.2.1 Équations 6.2.2 Difficultés numériques Chapitre 7 Schémas numériques 7.1 État de l'art 7.2 Définition de quelques opérateurs aux différences finies 7.3 Quelques propriétés sur les intégrateurs temporels numériques 7.3.1 Consistance 7.3.2 Stabilité 7.3.3 Convergence 7.3.4 Ordre 7.4 Méthodes de Runge-Kutta 7.5 Méthodes multi-pas 7.5.1 Méthodes d'Adams 7.5.2 Méthodes des di_érentiations rétrogrades 7.6 Méthode de Störmer-Verlet Chapitre 8 Schémas conservatifs 8.1 Propriété des systèmes Hamiltoniens 8.1.1 Définition du Hamiltonien 8.1.2 Propriété de symplecticité 8.2 Exemple de l'oscillateur de Duffing Chapitre 9 Application à un oscillateur de Duffing 9.1 Expériences numériques tests 9.2 Écriture des différentes méthodes 9.2.1 Méthode de Störmer-Verlet 9.2.2 Méthodes de Runge-Kutta explicites 9.2.3 Méthode des différentiations rétrogrades 9.2.4 Implémentation 9.3 Comparaison des simulations 9.3.1 Cas d'une excitation harmonique à faible amplitude 9.3.2 Cas d'une excitation harmonique à forte amplitude 9.3.3 Cas particulier d'un diagramme de bifurcation jusqu'un forçage très élevé 9.3.4 Cas d'une excitation impulsionnelle Chapitre 10 Application au système à N degrés de liberté 10.1 Énergie continue dérivée des équations modales de plaques imparfaites 10.2 Construction du schéma conservatif appliqué à la dynamique des plaques imparfaites 10.3 Implémentation 10.4 Résultats dans le cas d'un flot autonome 10.4.1 Expérience numérique test 10.4.2 Méthode de Störmer-Verlet 10.4.3 Méthode conservative Chapitre 11 Conclusions générales et perspectives 11.1 Étude de l'effet du défaut de forme 11.1.1 Principaux résultats 11.1.2 Applications 11.1.3 Perspectives 11.2 Intégrateurs numériques 11.2.1 Principaux résultats 11.2.2 Premières conclusions et suite des travaux Bibliographie Annexe A Variation de l'épaisseur sur le pourtour de la coque 3 Annexe B Imperfections de la forme de cymbales
... can have a strong impact on the modal analysis of the structure [43]. It is clear, then, that flat homogeneous structures cannot reproduce these features. ...
... Similar studies have been reported before in [188]. Recent works [43,73] based on modal methods are also available. Consider, for example, a plate excited with a sinusoidal force with frequency f exc and increasing amplitude A exc . ...
This work is concerned with the numerical simulation of percussion instruments based on physical principles. Three novel modular environments for sound synthesis are presented: a system composed of various plates vibrating under nonlinear conditions, a model for a nonlinear double membrane drum and a snare drum. All are embedded in a 3D acoustic environment. The approach adopted is based on the finite difference method, and extends recent results in the field. Starting from simple models, the modular instruments can be created by combining different components in order to obtain virtual environments with increasing complexity. The resulting numerical codes can be used by composers and musicians to create music by specifying the parameters and a score for the systems. Stability is a major concern in numerical simulation. In this work, energy techniques are employed in order to guarantee the stability of the numerical schemes for the virtual instruments, by imposing suitable coupling conditions between the various components of the system.
Before presenting the virtual instruments, the various components are individually analysed. Plates are the main elements of the multiple plate system, and they represent the first approximation to the simulation of gongs and cymbals. Similarly to plates, membranes are important in the simulation of drums. Linear and nonlinear plate/membrane vibration is thus the starting point of this work. An important aspect of percussion instruments is the modelling of collisions. A novel approach based on penalty methods is adopted here to describe lumped collisions with a mallet and distributed collisions with a string in the case of a membrane. Another point discussed in the present work is the coupling between 2D structures like plates and membranes with the 3D acoustic field, in order to obtain an integrated system. It is demonstrated how the air coupling can be implemented when nonlinearities and collisions are present. Finally, some attention is devoted to the experimental validation of the numerical simulation in the case of tom tom drums. Preliminary results comparing different types of nonlinear models for membrane vibration are presented.
... • Si w 0 = h, alors q et c sont supérieurs à 1 et les termes non linéaires sont d'un ordre de grandeur égaux ou supérieurs aux termes linéaires. C'est le choix adopté dans Camier 2009]. • Si w 0 = h 2 a 0 , seuls les termes cubiques sont petits par rapport aux termes linéaires. ...
A l’interface de l’automatique, de la mécanique et de l’acoustique musicale, le contrôle des instruments de musique s’emploie à développer des méthodes permettant de contrôler, en temps réel, leur son acoustique. Les contrôleurs utilisés dans ce domaine s’appuient sur des modèles linéaires ne prenant pas en compte les non-linéarités présentes dans le comportement de certains instruments. Les gongs d’opéra chinois présentent ainsi plusieurs phénomènes induits par des non-linéarités géométriques, dont un très caractéristique glissement fréquentiel qui impacte plusieurs de leurs modes de vibration. Le présent travail propose d’initier la mise en place d’un contrôle de ces instruments par le biais de trois étapes consécutives.Dans un premier temps, les performances et limites du contrôle modal moderne vis-à-vis des phénomènes non linéaires présents dans le comportement de l’instrument (distorsion harmonique, glissement fréquentiel, résonances internes) sont étudiées et quantifiées.Les limitations mises en évidence précédemment motivent, dans un second temps, le développement d’un modèle d’ordre réduit décrivant le mode fondamental de l’instrument. Ce mode fondamental est caractérisé et identifié expérimentalement par une méthode récente utilisant une boucle à verrouillage de phase.Enfin, les limites de l’approximation uni-modale pour la description du mode fondamental de l’instrument en situation de jeu sont étudiées. L’interaction entre les résonances internes et le phénomène de glissement fréquentiel est démontrée en régime libre, ouvrant la voie vers le développement d’un modèle réduit pour décrire le comportement du mode fondamental du gong.
... Cette symétrie est rompue pour les coques (ou dès que l'on introduit une imperfection géométrique) où apparaissent alors des termes quadratiques. [37] considèrent le cas d'un défaut de forme (imperfection géométrique à état de précontrainte nulle, noté w 0 (r, θ)), pour une plaque à bord libre. Les équations (1) deviennent alors : ...
Les travaux présentés dans ce mémoire concernent les vibrations non linéaires géométriques (grande amplitude)
des milieux minces, et plus particulièrement les plaques et les coques. Le premier chapitre présente les modèles
utilisés dans le document, en rappelant les hypothèses qui président à leur établissement. Le chapitre 2 est entièrement consacré
à la théorie des modes non linéaire et à son application pour établir
des modèles d'ordre réduit pour les vibrations de coques en non linéaire géométrique.
La définition d'un mode non linéaire (MNL) comme variété invariante de l'espace des phases
est rappelée, puis une méthode, fondée sur la théorie des formes normales, et permettant
de calculer aisément les MNLs, est présentée. Son application au cas des vibrations libres
montre qu'elle permet à moindre coût une prédiction juste de la tendance de non-linéarité
(comportement raidissant/assouplissant). L'utilisation des MNLs comme base réduite montre
son excellent comportement pour diminuer drastiquement le nombre de degrés de libertés (ddls)
pour le cas des vibrations forcées, harmoniques et basse fréquence. Le chapitre 3 traite de la transition
vers le chaos observée lorsqu'on augmente l'amplitude d'un forçage harmonique pour les structures minces.
Le cas générique observé à partir de nombreuses expériences est d'abord rappelé, montrant deux bifurcations
nettes menant d'un régime périodique à une régime quasi-périodique, puis chaotique.
La première bifurcation est analysée théoriquement et expérimentalement pour les cas particuliers
de deux résonances internes. Enfin le régime chaotique est étudié à l'aide du formalisme
de la turbulence d'ondes.
The purpose is to develop an explicit third order symplectic map (i. e. a third order integration step that preserves exactly the canonical character of the equations of motion) and to indicate the method for higher order maps. For a typical numerical integration, this method can be used to eliminate the noncanonical effects while providing the accuracy corresponding to a third order integration step.
This unique book explores both theoretical and experimental aspects of nonlinear vibrations and stability of shells and plates. It is ideal for researchers, professionals, students, and instructors. Expert researchers will find the most recent progresses in nonlinear vibrations and stability of shells and plates, including advanced problems of shells with fluid-structure interaction. Professionals will find many practical concepts, diagrams, and numerical results, useful for the design of shells and plates made of traditional and advanced materials. They will be able to understand complex phenomena such as dynamic instability, bifurcations, and chaos, without needing an extensive mathematical background. Graduate students will find (i) a complete text on nonlinear mechanics of shells and plates, collecting almost all the available theories in a simple form, (ii) an introduction to nonlinear dynamics, and (iii) the state of art on the nonlinear vibrations and stability of shells and plates, including fluid-structure interaction problems.
In this study, the nonlinear equations of vibration of small systems composed of rods subjected to large deflection are derived and discussed. Through simple arguments, a parallel is drawn between the dynamics exhibited by those rods systems, and the behavior of nonlinear percussion instruments, such as gongs. First, the physical sources of nonlinearity are identified and discussed. Secondly, the dependence of the frequency of oscillations on the amplitude of vibration is explicited. The nature of this dependence, which can be either of softening or of hardening type, is related to geometrical characteristics, such as thickness and curvature of the structure. Finally, experiments on a Chinese tam-tam are performed in order to confirm the previously discussed points .
