O aspektima modeliranja temeljnog nosača i tla za FEM analizu

Abstract

U ovom radu su prikazani aspekti modeliranja izdvojenog temeljnog nosača i tla za uticaj statičkog opterećenja. Temeljni nosač je razmatran primenom linijskih, površinskih i prostornih konačnih elemenata, dok je tlo modelirano oprugama sa zamenjujućim konstantama i primenom prostornih konačnih elemenata. Svi tipovi proračunskih modela razmatrani su sa nivoa matematičkog modeliranja i aspekata primenjivosti u praktične svrhe.

Full text

1
Mladen Ćosić
1
, Mitar Đogo
2
O ASPEKTIMA MODELIRANJA TEMELJNOG NOSAČA I TLA ZA
FEM ANALIZU
Rezime
U ovom radu su prikazani aspekti modeliranja izdvojenog temeljnog nosača i tla za uticaj
statičkog opterećenja. Temeljni nosač je razmatran primenom linijskih, površinskih i
prostornih konačnih elemenata, dok je tlo modelirano oprugama sa zamenjujućim
konstantama i primenom prostornih konačnih elemenata. Svi tipovi proračunskih modela
razmatrani su sa nivoa matematičkog modeliranja i aspekata primenjivosti u praktične
svrhe.
Ključne reči
modeliranje konstrukcije i tla, metoda konačnih elemenata, 3D solid konačni elementi
ASPECTS OF MODELING FOUNDATION GIRDER AND SOIL
FOR FEM ANALYSIS
Summary
This paper presents the fundamental aspects of modeling separate foundation girder and
ground for the influence of static load. The foundation girder is considered using the line,
surface and spatial finite elements, while the soil is modeled by replacing the spring
constants and application of spatial finite elements. All types calculated models are
reviewed with the level of mathematical modeling and the practical aspects of applicability
purposes.
Key words
modeling of structure and soil, finite element method, 3D solid finite elements
1
mladen165@inffo.net
2
Mentor, Prof. Dr, Fakultet tehničkih nauka, Univerzitet u Novom Sadu, mitar@uns.ac.rs

IV Regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta
2
1. UVOD
Klasični postupci za analizu temeljnog nosača zasnivaju se na tretmanu istog kao statički
određen nosač SON, statički neodređen nosač SNN ili elastičan nosač oslonjen na
homogen, elastičan i izotropan poluprostor HEIP (HEIS-homogeneous isotropic elastic
half-space) [1].
Osnovna pretpostavka od koje se polazi u analizi SON nosača je ravnomerna raspodela
reaktivnog opterećenja. Reaktivno opterećenje se dobija iz odnosa:
L
R
q
, (1)
gde je R rezultanta i L ukupna dužina nosača.
U slučaju analize SNN nosača primenjuje se metoda sila, tako što se temeljni nosač tretira
kao kontinualani pravolinijski nosač na više polja. Broj statičke neodređenosti kod
kontinualnog nosača, jednak je broju srednjih oslonaca n, odnosno broju krutih uglova.
Osnovni sistem se dobija zamenom n krutih uglova zglobovima i ubacivanjem istog broja
parova momenata kao statički nepoznatih veličina. Uslovne jednačine metode sila glase:
0σσX...σXσX
................................................................
0σσX...σXσX
0σσX...σXσX
0nnnn2n21n1
20n2n222211
10n1n122111



, (2)
gde je Xinepoznata sistema, dok se δik određuje prema:


s
ki
ik ds
EI
MM
σ
. (3)
Proračun temeljnog nosača na elastičnoj podlozi zasniva se na rešavanju diferencijalne
jednačine:
   
 
EI
xqxp
dx
yd
4
4

, (4)
gde je p(x) funkcija koja definiše ponašanje opterećenja duž nosača, a q(x) funkcija koja
definiše promene reaktivnog opterećenja zavisno od podloge. Primenom metode konačnih
razlika diferencijalna jednačina (4) se svodi na sistem linearnih algebarskih jednačina, čije
rešenje daje funkciju q(x), tako da diferencijalna jednačina za neku tačku intervala k glasi:
 
kk
4
2k1kk1k2k qp
EI
C
yy4y6y4y  
. (5)
Primenom Bussinesq-ovog rešenja za prostorno stanje napona i deformacija uspostavlja se
veza između vektora y i q:
 
ki
0
i
2
0
ki F
πE
qν1
y

, (6)
tako da se daljim transformacijama dobija:
βpqβEAF 
, (7)
a iz koje se dobija:
βpqβEB 
, (8)

GEOREKS 2009
3
odnosno:
 
pβLq 1

, (9)
pri čemu je:
 
EIν1
CπE
β2
0
4
0


. (10)
Razvojem softvera za numeričku analizu konstrukcija metodom konačnih elemenata MKE
(FEM-finite element method), otvaraju se mogućnosti za realističnije modeliranje temeljnih
nosača, tla i prelaznih uslova. Istraživanje prikazano u ovom radu se zasniva na primeni
konačnih elemenata KE u modeliranju i numeričkoj analizi, dok se prethodno opisane
procedure izlažu kao komparativne.
2. MODELIRANJE TEMELJNOG NOSAČA LINIJSKIM KE
Metod konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Sam metod se zasniva na
fizičkoj diskretizaciji jednačina graničnog problema. Osnova za sva razmatranja predstavlja
deo domena konačnih dimenzija, poddomen ili konačni element (KE). Sa aspekta fizičke
diskretizacije, razmatrani domen kao kontinum, zamenjuje se diskretnim modelom
međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode. Naponsko-
deformacijsko stanje u konačnom elementu opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i
konačnog broja parametara u čvorovima, koje predstavljaju osnovne nepoznate veličine za
proračun.
Linijski KE imaju jednu dimenziju (dužina) izraženu u odnosu na dve ostale (širina i
visina), pa su i najčešće primenjivani KE za modeliranje grednih nosača. Gredni (beam) KE
se zasnivaju na primenu Bernoulli-Euler-ove hipoteze o ravnim ortogonalnim presecima,
dok se rebro KE (rib) zasnova na primeni Timoshenko-ove hipoteze da preseci ostaju ravni,
ali ne i upravni na deformabilnu osu temeljnog nosača. Osnovne kinematičke veličine u
čvorovima KE nosača su generalisana pomeranja u, v, w u pravcu osa x, y, z i obrtanja φx,
φy, φzoko osa x, y, z (slika 1.) [2]. Broj stepeni slobode u čvoru jednak je broju
generalisanih pomeranja u čvoru. Broj stepeni slobode KE jednak je zbiru stepeni slobode u
čvorovima KE.
Slika 1. Generalisane sile i generalisana pomeranja u čvorovima linijskog KE
Veza sila-pomeranje za sve KE:
*
j
*
j
*
j
*
jQqkR 
, (11)
matrično glasi:








*
kj,
*
ij,
R
R
=








*
kkj,
*
kij,
*
ikj,
*
iij,
kk
kk






*
k
*
i
q
q
-








kj,
*
ij,
Q
Q
, (12)

IV Regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta
4
odnosno može da se formuliše kao:
*
i
*
i
m
1j
*
k
*
ik
*
i
*
ii QPqKqK  

. (13)
Uvođenjem preko bazne matrice krutosti, matrica krutosti KE temeljnog nosača sa učešćem
smičućih efekata glasi:
       
   
     
 
       
   
     
 






















































lφ1
4EIφ0.251
lφ1
6EI
0
lφ1
2EIφ0.5-1
lφ1
6EI
0
lφ1
6EI
lφ1
12EI
0
lφ1
6EI
lφ1
12EI
0
00
l
EF
00
l
EF
lφ1
2EIφ0.5-1
lφ1
6EI
0
lφ1
4EIφ0.251
lφ1
6EI
0
lφ1
6EI
lφ1
12EI
0
lφ1
6EI
lφ1
12EI
0
00
l
EF
00
l
EF
k
222
2323
222
2323
. (14)
Temeljni nosač se takođe može tretirati kao nosač na elastičnoj podlozi uniformne krutosti,
s'tim što se podloga predstavlja pomoću elastičnih opruga koje su ravnomerno raspodeljene
duž ose štapa (slika 2.). Opruge predstavljaju linijski elastični oslonac (Winkler-ovog tipa)
sa reakcijama oslonaca kao unutrašnjim silama, kod kojih je krutost po jedinici dužine c
(kN/m').
Slika 2. KE temeljnog nosača na elastičnoj podlozi
Uticaj elastičnih opruga na KE može da se zameni reaktivnim transverzalnim opterećenjem
koje je proporcionalno poprečnim pomeranjima v(x):
pr(x)=cv(x). (15)
Kontinualnom raspodeljenom opterećenju duž ose KE nosača ekvivalentno je koncentrisano
opterećenje na krajevima KE:
R=

l
0r
TdxpN
=

l
0r
TdxNNcq
=Cq, (16)
pri čemu je matrica krutosti elastične podloge:
C=

l
0r
TdxNNc
. (17)
Integracijom po interpolacionim polinomima dobija se:
C=
















22
22
4L22L3L13L
22L15613L54
3L13L4L22L
13L5422L156
. (18)
Matrica krutosti KE temeljnog nosača koji je oslonjen n a elastičnu podlogu jednaka je zbiru
konvencionalne matrice krutosti KE temeljnog nosača i matrice krutosti podloge:
ke=(k+C). (19)

GEOREKS 2009
5
Kao reprezentativni primer razmatran je temeljni nosač opterećen vertikalnim
koncentrisanim silama (slika 3.).
Slika 3. Temeljni nosač opterećen vertikalnim koncentrisanim silama
Prvi proračunski slučaj je kada se temeljni nosač razmatra kao kontinualni nosač (KTN-
kontinualni temeljni nosač), dok se u drugom slučaju temeljni nosač razmatra na elastičnoj
podlozi (LEO-linijski elastični oslonci) (slika 4.).
a)
b)
Slika 4. Proračunski slučajevi:a) kontinualni temeljni nosač, b) nosač na elastičnoj podlozi
Numeričke analize sprovedene su primenom softvera AxisVM i Sap2000. Vrednosti
momenata savijanja M1za proračunske modele prikazani su na slici 5., dok su momenti
savijanja M3prikazani na slici 6.
Slika 5. Momenat savijanja M1(G-gredni KE, R-rebro KE)
Slika 6. Momenat savijanja M3(G-gredni KE, R-rebro KE)
Evidentna je razlika rezultata dobijenih primenom različitih meto da kojim se vrši
modeliranje temeljnog nosača i uzimanje u obzir interakcije tlo-temeljni nosač.
Komparacijom vrednosti dobijenih modeliranjem temeljnog nosača kao statički određenog
nosača i primenom programa Sap2000 kojim se modelira temeljni nosač kao kontinualni
nosač, razlika momenata savijanja M3iznosi i do 360%. O ovome treba voditi računa pri
uzimanju u obzir metode kojom će se vršiti dimenzionisanje temeljnog nosača. Uticaj

IV Regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta
6
smičućih deformacija u ovom primeru iznosio je do 5%. Za odnose h/L veće od 0.2 uticaj
deformacije smicanja u pojedinim elementima matrice krutosti prelazi iznad 10%.
Analiziranjem temeljnog nosača kao nosača na elastičnim osloncima dobija se realnija
naponsko-deformacijska slika sleganja, za razliku od modela temeljnog nosača kao
kontinualnog sistema.
3. MODELIRANJE TEMELJNOG NOSAČA POVRŠINSKIM KE
Modeliranje temeljnog nosača primenom površinskih KE omogućava uvid u realnije
naponsko-deformacijsko stanje. Površinski konačni elementi imaju dve dimenzije izražene
u odnosu na treću (debljina), tako da je opšti princip da se temeljni nosač modelira
primenom površinskih konačnih elemenata ljuska (shell). Konačni elementi ljuske su
simultano opterećeni: tangencijalno, odnosno membranski (opterećene u sopstvenoj površi)
i ortogonalno na savijanje (normalno na sopstvenu površ) [3]. Druga solucija je da se
direktno koriste membranski konačni elementi (membrane) za vertikalno rebro i konačni
elementi za ploču (plate). Membranski KE je trougaoni ili četvorougaoni, izoparametarski,
sa osam čvorova, ravan i konstantne debljine. Ploča KE je četvorougaoni Heterosis
formulisan u skladu sa Mindlin-Reissner–ovom teorijom, izoparametarski, sa osam čvorova,
ravan i konstantne debljine.
Stanje napona i deformacija je zavisno od fleksibilnosti tla kao podl oge. Numerički
postupak za proračun i analizu temeljnog nosača zasniva se na jednakosti pomeranja nosača
i tla u izabranom broju tačaka, u kontaktnoj površi. Reaktivno opterećenje u okviru svakog
KE predstavlja se pomoću izoparametarskih polinoma, na isti način kao i polje pomeranja
[4].
Na osnovu pretpostavke o tlu kao elastičnom, homogenom, izotropnom, poluprostoru,
proizilazi da je veza između pomeranja w i reaktivnog opterećenja r data linearnim
jednoznačnim funkcijama, tako da važi:
w=Fr, (20)
gde je F simetrična matrica (matrica fleksibilnosti tla). Veza između pomeranja w i
pomeranja u čvorovima, odnosno veza između reaktivnog opterećenja r u elementu i
reaktivnih opterećenja u čvorovima data je preko:
w=


8
1i ei wN
, r=


8
1i ei rN
, (21)
gde je Niinterpolaciona funkcija. Diferenciranjem izraza za potencijalnu energiju sistema i
primenom stava o minimumu energije dobija se sistem algebarskih jednačina:






θθθw
wθww
KK
KHFK






Θ
r
=






θ
w
Q
Q
. (22)
Kao osnovne nepoznate uzimaju se reaktivna opterećenja r, a ne pomeranja u čvorovima w,
tako da nije potrebno izvršiti proračun matrice krutosti. Za formiranje sistema jednačina
potrebno je sračunati elemente fleksibilnosti podloge F. Kao polaznu osn ovu za to
predstavlja Boussingesque-ovo rešenje za homogeni, izotropan, elastični poluprostor
opterećen koncentrisanom silom:
w=
p
ρπE
ν1
0
0

, (23)
gde je v0Poisson-ov koeficijent.

GEOREKS 2009
7
Za sve proračunske modele korišćeni su površinski četvorougaoni KE za formiranje
generalne mreže konačnih elemenata, dok je kod modela u AxisVM softveru dodatno
izvršeno progušćenje mreže KE u zoni apliciranja koncentrisane sile (slika 7.).
Slika 7. Model temeljnog nosača formiran iz površinskih KE u AxisVM
Na slici 8.a) su prikazani naponi, odnosno sile u rebru temeljnog nosača, dok su na slici 8.b)
prikazane trajektorije glavnih napona u AxisVM.
Slika 8. a) membrana nxy (kN/m), b) trajektorije glavnih napona (AxisVM)
Na slici 9.a) su prikazani naponi, odnosno sile u rebru temeljnog nosača, dok su na slici 9.b)
prikazani momenti savijanja u ploči temeljnog nosača u Sap2000.
Slika 9. a) membrana nx(kN/m), b) ploča my(kNm/m) (Sap2000)
4. MODELIRANJE TEMELJNOG NOSAČA PROSTORNIM KE
Modeliranje temeljnog nosača primenom prostornih (solid) KE omogućava najkvalitetniji
prikaz naponsko-deformacijskog stanja temeljnog nosača. Solid KE su sa osam čvorova
(svaki čvor ima tri translaciona stepena slobode pomeranja), heksaedarski, izoparametarski i
koristi se 2x2x2 numerička integraciona šema (slika 10.) [5]. Osnovne nepoznate u
čvorovima su komponenete pomeranja u, v i w tako da je ukupan broj stepeni slobode
3x8=24. Promena pomeranja u elementu je linearna kao što su i koordinate, tako da se
pomeranja u elementu mogu izraziti istom funkcijom kao i koordinate. U matričnoj formi
deformacije se predstavljaju preko:
ε=Bd, (24)

IV Regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta
8
gde je B matrica izvoda, d matrica čvornih pomeranja.
Slika 10. Solid KE sa definisanim čvorovima i stranama
Pošto je matrica B izražena u lokalnim koordinatama, integracija matrice krutosti vrši se u
istim koordinatama. Matrica krutosti se dobija prema izrazu:
K=

ve
t
edvDBB
, (25)
gde je Bematrica elastičnih konstanti.
Mreža konačnih elemenata temeljnog nosača generiše se poštujući principe maksimalne
dimenzije jedne stranice KE i odnosa dimenzija strana KE (slika 11.). Uticaj komponenti
krutosti tla uvodi se preko elastičnih oslonaca koji mogu biti čvorni ili površinski.
Slika 11. 3D model temeljnog nosača formiran iz solid KE u Sap2000
Na slici 12.a) je prikazan napon S11, a na slici 12.b) napon S11 u temeljnom nosaču.
Slika 12. a) napon S11 (MPa), b) napon S22 (MPa)
Na slici 13.a) je prikazan napon Smax, a na slici 13.b) napon Smin u temeljnom nosaču.
Slika 13. a) napon Smax (MPa), b) napon Smin (MPa)
Poboljšanje prethodnog modela, kod koga se uticaj komponenata krutosti tla uvodi preko
elastičnih oslonaca, može se izvršiti modeliranjem tla preko solid KE. Kod modela
elastičnih oslonaca prema Winkler-ovom modelu ponašanja tla, pritisak u svakoj tački
kontaktne površi temelja proporcionalan je elastičnom sleganju u toj tački. Sa druge strane
kada se tlo modelira kao 3D model solid KE, tada se temeljni nosač ponaša kao nosač na

GEOREKS 2009
9
HEIP-u. Usled dejstva spoljašnjih uticaja na kontaktu temeljni nosač-tlo javiće se na
određenim mestima pritisak, a na određenim naponi zatezanja na kontaktnoj spojnici. Da bi
se opisalo realno ponašanje na nivou kontaktne spojnice potrebno primeniti elemente veze
(link elements). Pošto se uzimaju u obzir samo naponi pritiska u analizi, primenjuju se
kontaktni elementi veze (gap elements) [6]. Za uspostavljanje kontinuiteta veze interakcije
temeljni nosač-tlo primenjuje se diskretan model kontaktnog elementa, kojim se vrši
povezivanje čvorova KE (slika 14.a). Kontaktni element karakterišu dva stanja: aktivno
(kontakt je uspostavljen, veoma velika krutost) i neaktivno (kontakt nije uspostavljen,
veoma mala krutost) (slika 14.b).
a) b)
Slika 14. a) čvorni kontaktni element, b) dijagram sila-pomeranje kontaktnog elementa
Primenjujući kontaktne elemente u modeliranju prelazne zone temeljn i nosač-tlo, potrebno
je i primeniti geometrijski nelinearnu inkrementalno-iterativnu analizu. Usled nelinearnog
ponašanja (promenu stanja prati velika promena krutosti) kontaktnog elementa, mogu se
javiti ozbiljne teškoće u obezbeđenju konvergencije nelinearnog rešenja. U samoj
formulaciji problema smatraće se da pri inkrementalnim situacijama nastupa takva promena
geometrije zone kontakta, da inicijalnoj generisanoj mreži konačnih elemenata odgovara
konfiguracija mreže konačnih elemenata za bilo koju inkrementalnu situaciju. Ovim se
uvode pojednostavljenja u analizi sistema čime se eliminiše upotreba dodatn ih algoritama
za pretraživanje povoljne konfiguracije u povezivanju čvorova m reže u i-toj inkrementalnoj
analizi, ili čak primena adaptivne metode za korekciju mreže konačnih elemenata sistema.
Jednačina kontakta se može direktno formulisati za svaki par čvorova (slika 14.a) [7], tako
da su geometrijski uslovi kontaktne veze za jedan i-ti par čvorova:
 
0gnuug i
1
i
1
i
2
iNi 
, (26)
gde su uiαvektori pomeranja i-tog para čvorova koji odgovaraju domenu Вα, giinicijalni
razmak između i-tog para čvorova. Pošto je parametar kojim se definiše veličina inicijalnog
otvora nezavisan od polja pomeranja, to se varijacijom (26) dobija:
 
1
i
1
i
2
iNi nηηgδ 
. (27)
Uzimajući u obzir da u interakciji dva domena učestvuje nckontaktnih elemenata potrebno
je integralom:
 
c
h
i
c
n
1i Γ
h
N
h
N
ΓNN ΓdgδλΓdgδλ
, (28)
u kome je λNpolje Lagrange-ovih multiplikatora, uαpolja pomeranja oba domena koji se
razmatraju u analizi kontakta, gNfunkcija zazora, otvora (gap function), obuhvatiti sumu
svih aktivnih kontaktnih čvorova.U ovoj analizi se primenjuje penal formulacija (penalty
formulation), a koja se zasniva na diskretizaciji metode Lagrange-ovih multiplikatora
(Lagrange multiplier method).
Da bi se uspostavila kompatibilnost deformacija na kontaktu temeljni nosač -tlo, potrebno je
uzeti u obzir da komponenta krutosti u pravcu veze Kzima veliku vrednost (Kz=1010kN/m).

IV Regionalni kongres studenata geotehnoloških fakulteta
10
Pošto je primenjen kontaktni čvorni element, to je potrebno ispuniti uslov o veličini KE u
kontaktnoj zoni, odnosno o dovoljnom broju kontaktnih elemenata kako se takođe ne bi
narušila kompatibilnost deformacija. Ukupan broj solid KE modela iznosi 3036, dok je broj
jednačina ravnoteže sistema 10629. Na slici 15.a) je prikazan napon S11, na slici 15.b)
napon S22, na slici 16.a) napon Smax, a na slici 16.b) napon Smin za 3D model temeljnog
nosača i tla.
Slika 15. a) napon S11 (MPa), b) napon S22 (MPa)
Slika 16. a) napon Smax (MPa), b) napon Smin (MPa)
5. ZAKLJUČAK
Primenom metode konačnih elemenata, realističnog prostornog modeliranja i savremenih
postupaka u modeliranju kontaktnih zona konstrukcija-tlo moguće je sprovesti veoma
pouzdane analize. Trodimenzionalni model temeljnog nosača i temeljnog tla predstavlja
najrealniji model za analizu sa aspekta interakcije dva diferentna sistema i sagledavanja
stvarnih naponsko-deformacijskih stanja u tlu.
LITERATURA
[1] S. Stevanović: ''Fundiranje I'', Naučna knjiga, Beograd, 1989.
[2] M. Sekulović: ''Matrična analiza konstrukcija'', Građevinska knjiga, Beograd, 1991.
[3] D. Kovačević: "MKE modeliranje u analizi konstrukcija", Građevinska knjiga, Beograd,
2006.
[4] A. Poceski: ''Mešoviti metod konačnih elemenata'', Građevinska knjiga, Beograd, 1990.
[5] ''SAP 2000 Integrated software for structural analysis and design-ANALYSIS REFERENCE
MANUAL'', CSI, USA, California, Berkeley, 2002.
[6] M. Ćosić: ''Eliminacija napona zatezanja na kontaktu temeljna konstrukcija-tlo'', Geotehnički
aspekti građevinarstva, III savetovanje, Zlatibor, Srbija, 20 -23. oktobar, 2009, str. 129-136.
[7] P. Wriggers: ''Computational Contact Mechanics'', Springer -Verlag, New York, 2006.