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Caractérisation des Quenines et leur représentation spirale

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Les nombres de Raymond Queneau sont les entiers n pour lesquels la quenine (permutation spirale envoyant tout nombre pair sur sa moitié et tout nombre impair sur son opposé ajouté à n) est d'ordre maximal n. Nous étudions dans cette note la caractérisation des nombres de Queneau, les précédentes caractérisations étant à notre connaissance incomplètes. Nous proposons en outre une nouvelle représentation graphique, sous forme de spirale, à la fois des quenines à racine primitive différente de 2 et également des spinines, généralisation des quenines par la méthode des effacements de Jacques Roubaud. Nous étendons ensuite cette représentation spirale aux pérecquines.
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Math. &Sci. hum. /Mathematics and Social Sciences (46eannée, n184, 2008(4), p. 9–23)
CARACTÉRISATION DES QUENINES
ET LEUR REPRÉSENTATION SPIRALE
Jean-Guillaume DUMAS1
résumé Les nombres de Raymond Queneau sont les entiers npour lesquels la quenine (per-
mutation spirale envoyant tout nombre pair sur sa moitié et tout nombre impair sur son opposé
ajouté à n) est d’ordre maximal n. Nous étudions dans cette note la caractérisation des nombres de
Queneau, les précédentes caractérisations étant à notre connaissance incomplètes. Nous proposons
en outre une nouvelle représentation graphique, sous forme de spirale, à la fois des quenines à
racine primitive différente de 2 et également des spinines, généralisation des quenines par la mé-
thode des effacements de Jacques Roubaud. Nous étendons ensuite cette représentation spirale aux
pérecquines.
mots clés – Pérecquine, Permutation de Queneau-Daniel, Quenine, Racine primitive, Spi-
rale.
summary – Characterization of Quenines and their spiral representation
The Raymond Queneau numbers are the integers nfor which the quenine (the spiral permutation
sending even numbers to their halves and odd numbers to their opposites added to n) is of order n. In
this note, we study the characterization of Queneau numbers, since previous characterizations one,
to our knowledge incomplete. We also propose a new graphical representation, of spiral shape, both
of the quenines with primitive root distinct from 2 and of the spinines, which generalize quenines
by Jacques Roubaud’s erasing technique. We then extend this representation to pérecquines.
keywords – Perecquine, Primitive root, Queneau-Daniel permutation, Quenine, Sestina,
Spiral.
1. L’OULIPO, LA POÉSIE DES TROUBADOURS ET LES QUENINES
Arnaut Daniel est un troubadour de la fin du XIIesiècle. Un de ses poèmes célèbres,
ongle et oncle (cf. Figure 1), est une série de six strophes de six vers chacune [Rou-
baud, 1969]. Chacun des mots à la rime de la première strophe est reproduit dans
les strophes suivantes dans un autre ordre. Plus précisément, chaque passage d’une
strophe à l’autre est déterminé de la même façon, à l’aide de la spirale de la Figure
2 :
1Laboratoire J. Kuntzmann, 51, rue des Mathématiques, Université de Grenoble, UMR CNRS
5224, BP 53X, 38041 Grenoble, Jean-Guillaume.Dumas@imag.fr
10 j.-g. dumas
Sextine
Ce vœu dur qui dans le cœur m’entre,
nul bec ne peut le déchirer, ni ongle
de lausengier, qui médisant perd l’âme ;
et ne l’osant battre à branche ou à verge,
secrètement, là où il n’y a point d’oncle,
j’aurai ma joie en verger ou en chambre.
Quand j’ai souvenir de la chambre
où à mon dam je sais que pas un n’entre,
tant me sont durs plus que frère ni oncle
nul membre n’ai qui ne tremble, ni d’ongle,
plus que ne fait l’enfant devant la verge :
telle est ma peur de l’avoir trop dans l’âme !
Puisse-t-elle de corps, non d’âme,
me recevoir en secret dans sa chambre !
Car plus me blesse au cœur que coup de verge
si qui la sert là où elle est ne rentre !
Toujours serai pour elle chair et ongle
et ne croirai conseil d’ami ni d’oncle.
Et jamais la sur de mon oncle
je n’aimai plus ni tant, de par mon âme
Et si voisin que l’est le doigt de l’ongle,
je voudrais être, à son gré, de sa chambre
plus peut L’Amour qui dans le cœur me rentre
faire de moi qu’un fort de frêle verge.
Car depuis que fleurit la verge
sèche et qu’Adam légua neveux et oncles,
si fine amour, qui dans le cœur me rentre,
ne fut jamais en corps, ni même en âme ;
où qu’elle soit, dehors ou dans sa chambre,
mon cœur y tient comme la chair à l’ongle.
Car ainsi se prend et s’énongle
mon cœur en elle ainsi qu’écorce en verge ;
elle est de joie tour et palais et chambre,
et je ne prise autant parents ni oncle :
au ciel j’aurai deux fois joyeuse l’âme,
si jamais nul, de trop aimer, n’y entre.
Arnaut envoie sa chanson d’ongle et d’oncle
à toi qui tiens son âme sous ta verge,
son Désiré, dont le prix en chambre entre.
Sestina
Lo ferm voler qu’el còr m’intra
no’m pùt ges bècs escoissendre ni ongla
de lausengièr, qui pèrd per mal dir s’arma ;
e car non l’aus batre amb ram ni amb verja,
sivals a frau, lai ont non aurai oncle,
jausirai jòi, en vergièr o dins chambra.
Quand mi soven de la chambra
ont a mon dam sai que nulhs òm non intra,
ans me son tuch plus que fraire ni oncle,
non ai membre no’m fremisca, neis l’ongla,
aissì com fai l’énfans denant la verja :
tal paor ai no’l sia tròp de l’arma.
Del còr li fos, non de l’arma,
e consentis m’a celat dins sa chambra !
Que plus mi nafra’l còr que còps de verja
car lo sieus sèrvs lai ont ilh es non intra;
tots temps serai amb lièis com charns et ongla,
e non creirai chastic d’amic ni d’oncle.
Anc la seror de mon oncle
non amèi plus ni tant, per aquesta’arma !
Qu’aitant vesins com es lo dets de l’ongla,
s’a lièis plagués, vòlgra èsser de sa chambra ;
de mi pòt far l’amors qu’ins el còr m’intra
mièlhs a son vòl qu’òm fòrts de frévol verja.
Puèis florit la secha verja
ni d’En Adam mògron nebot ni oncle,
tant fina amors com cela qu’el còr m’intra
non cug fos anc en còrs, ni eis en arma ;
ont qu’ilh estei, fòrs en plaça o dins chambra,
mos còrs no’s part de lièis tant com ten l’ongla.
Qu’aissi s’enpren e s’enongla
mons còrs en lièis com l’escòrça en la verja ;
qu’ilh m’es de jòi tors e palatz e chambra,
e non am tant fraire, parent ni oncle :
qu’en paradis n’aurà doble jòi m’arma,
si ja nulhs òm per ben amar lai intra.
Arnauts tramet sa chançon d’ongla e d’oncle,
a grat de lièis que de sa verja à l’arma,
son Desirat, cui prètz en chambra intra.
figure 1. Ongle et oncle, Arnaut Daniel, XIIesiècle
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 11
σ6
§1 §2 §3 §4 §5 §6
O6(1) 16 3 5 4 2
21 6 3 5 4
35 4 2 1 6
42 1 6 3 5
54 2 1 6 3
63 5 4 2 1
3
5
6
2
4
1
figure 2. Permutation spirale de la sextine
En effet, si l’on inscrit de haut en bas les rimes d’une strophe, dans la strophe
suivante, ces rimes se retrouvent dans l’ordre donné lorsque l’on suit les méandres
de la spirale : en partant du bas, en 6, on tourne pour rencontrer successivement 1,
5, 2, 4, 3 qui forment bien les rimes de la deuxième strophe. Ce type de permutation
sur 6vers est appelé une sextine et a été généralisé à nvers par Raymond Queneau.
définitions 1 (Bringer, 1969).
– Une permutation spirale est une permutation σnde l’ensemble {1,2, . . . , n}
vérifiant la condition suivante :
σn(2p) = p
σn(2p+ 1) = np
Le sous-groupe cyclique Gn, engendré par σnest le groupe de Queneau-Daniel.
Les entiers ntels que Gnsoit de cardinal nsont dits admissibles.
Une permutation spirale avec nadmissible est appelée une quenine, ou encore
une nine.
Autrement dit, nest admissible si et seulement si les orbites poétiques de chacune
des rimes sont d’ordre spiralique n, i.e. chaque rime se trouve une seule fois à un
endroit donné de la strophe dans l’ensemble du poème. Arnaut Daniel a exhibé une
quenine de cardinal 6, mais toutes les quenines ne sont pas possibles : par exemple,
il n’y a pas de quenine de cardinal 4, puisque, par exemple, l’orbite de 3est le sin-
gleton {3}[Roubaud, 1993]. L’Oulipo, et plus particulièrement Jacques Roubaud,
s’est alors intéressé à la quête des quenines, à l’aide des corps finis.
En effet, considérons la permutation δn, inverse de σn. Celle-ci peut être définie
comme suit [Audin, 2007] :
δn(x) = 2xsi 2xn
2n+ 1 2xsinon
démonstration. Soit xtel que 2xnalors σnδn(x) = σn(2x) = x. Pour xtel
que 2x>nalors σnδn(x) = σn(2(nx) + 1) = n(nx) = x. Donc σnδn=Id
et σnétant bijective, δnest son inverse.
12 j.-g. dumas
Il est clair que les cardinaux des sous-groupes cycliques engendrés par δnou σn
sont identiques. Il revient donc au même d’étudier l’un ou l’autre des sous-groupes.
L’idée est de considérer les entiers modulo 2n+ 1. Dans ce cas, δn(x)est simplement
plus ou moins 2x: il existe un e∈ {0,1}tel que δn(x)(1)e2x[2n+ 1]. À partir
de là Monique Bringer a montré un certain nombre de résultats dont les suivants :
théorème 1 (Bringer, 1969).
Si nest admissible alors 2n+ 1 est premier.
n= 4pn’est pas admissible.
n= 2p1n’est pas admissible.
Si net 2n+ 1 sont premiers, nest admissible.
Si n= 2pet que pet 4p+ 1 = 2n+ 1 sont premiers, nest admissible.
démonstration. Reprenons seulement de [Bringer, 1969] la preuve que 2n+ 1 est
forcément premier. Sinon, il existe qun diviseur de 2n+ 1 avec q > 1. Dans ce cas,
pour tout mde l’orbite de q, on a m(1)e2kq. Ce qui implique forcément que q
divise mpuisqu’il divise à la fois 2n+ 1 et (1)e2kq. Donc l’orbite de qne contient
que des diviseurs de q. Or, 1, . . . , q 1ne divisent pas qdonc l’orbite de qne peut
être complète. Par la suite 2n+ 1 ne peut être admissible.
Or, il est possible de complètement caractériser les quenines. Ceci peut être fait
avec un peu de théorie des corps finis.
2. CARACTÉRISATION DES QUENINES
Nous rappelons qu’un générateur du groupe des inversibles d’un corps fini est ap-
pelé une racine primitive de l’unité. En effet c’est une racine q1-ième de 1et la
primitivité vient du fait qu’elle n’est pas une racine d’ordre inférieur.
Nous avons vu que Monique Bringer a donné une condition suffisante et les cas
particuliers du Théorème 1 ; Jacques Roubaud donne une caractérisation dans
[Roubaud, 1993, 2.4.II] qui semble incorrecte : « Une condition nécessaire et suf-
fisante pour que nsoit admissible est qu’il soit d’ordre nou 2ndans le groupe
multiplicatif des entiers modulo 2n+ 1. »
Dans cette caractérisation, le cas où nest pair n’est pas considéré : un contre
exemple simple est celui de l’octine : 2est d’ordre 8modulo 17, mais malheureuse-
ment l’orbite de 2n’est que d’ordre spiralique 4, ce qui rend l’octine impossible.
Nous donnons donc ici une caractérisation complète :
théorème 2.2n+ 1 étant premier, soit Z/
2n+1Zle corps à 2n+ 1 éléments, alors
nest admissible si et seulement si :
Soit 2est d’ordre 2n(2est racine primitive) dans Z/
2n+1Z.
Soit nest impair et 2est d’ordre ndans Z/
2n+1Z.
démonstration. Tout d’abord prouvons la condition nécessaire. Comme l’ordre
de 2divise 2n, le cardinal des inversibles de Z/
2n+1Z, les seuls ordres possibles,
différents de net 2n, sont strictement inférieurs à n. Supposons que 2est d’ordre
j < n. Alors nous avons δj
n(2) ≡ ±2j2≡ ±2. Nous avons donc deux cas :
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 13
1. Si δj
n(2) = 2, alors l’orbite de 2ne contient que j < n éléments, ce qui n’est
pas suffisant car nest supposé admissible.
2. Dans l’autre cas, δj
n(2) ≡ −2. Or 1δj
n(x)npar définition. Donc
12n+ 1 2n, ou encore n1. Mais 2est d’ordre 2modulo 21 + 1 = 3.
Donc si nest admissible, alors 2est d’ordre nou 2nmodulo 2n+ 1.
Il ne nous reste plus qu’à exclure le cas où n= 2pest pair et 2est d’ordre
nmodulo 2n+ 1. En effet, dans ce cas 2p≡ −1 [2n+ 1]. Il s’en suit que
δp
n(2) (1)k2p2≡ ±2. Or, nous avons vu que δp
n(2) 6=2. Il s’en suit de nouveau
que la seule possibilité est δp
n(2) 2. Mais alors nn’est pas admissible puisque
l’orbite de 2par δnne contient qu’au plus p=n
2< n éléments distincts.
Nous prouvons ensuite la condition suffisante. Prenons ωle cardinal de la plus
petite orbite des éléments de {1, . . . , n}par δnet supposons que l’élément usoit
d’ordre ω. Dans ce cas, le fait qu’il existe ktel que δω
n(u)u(1)k2ωu. implique
donc que (1)k2ω1, car uest inversible. Cela revient à 2ω≡ ±1et il y a deux
cas :
1. Si 2ω1. Alors ωest plus grand que l’ordre de 2. Donc ωnet donc ω=n
car la permutation est au plus d’ordre n.
2. Si 2ω≡ −1Alors
(a) Soit l’ordre de 2est j= 2net donc 2n≡ −1. Ainsi 2n+ω= 1 et donc
ω=n.
(b) Soit l’ordre de 2est j=net nest impair. Alors (2ω)2= (1)2= 1, ce qui
prouve que ndivise 2ω. Or nest impair donc le lemme de Gauß implique
que ndivise ω. Là encore ω=n.
Ainsi, nous pouvons décider facilement si une quenine donnée existe ou non. La
Table 1 donne les 178 premières quenines2.
1 2 35 6 9 1114 18 2326 29 30 33
353941 50 5153 65 69 74 81 8386 89 90
9598 99105 113 119131134 135146 155158 173 174
179183186 189 191194 209 210 221 230 231233 239243
245 251254 261 270 273 278 281 293 299303306 309 323
326 329 330 338 350 354 359371375378 386 393 398 410
411413 414 419426 429 431438 441 443453 470 473 483
491495509 515519530 531543545 554 558 561 575585
593 606 611614 615618 629 638 639641 645 650 651653
659683686 690 713 719723725 726 741 743746 749 755
761 765 771774 779783785 791803809 810 818 831833
834 846 866 870 873 879891893 911923930 933 935938
939950 953 965 974 975986 989 993 998
table 1. Les quenines inférieures à 1000. indique que 2est d’ordre ndans Z/
2n+1Z
2Dans [Roubaud, 1993], Jacques Roubaud indique que 141 est une quenine, ceci est inexact
[Esposito, 2000] : en particulier, 2est d’ordre seulement 94 = 2 47 <141 = 3 47 modulo 283.
14 j.-g. dumas
Cette suite se retrouve sur le site de l’encyclopédie en ligne des suites d’entiers de
N. J. A. Sloane à la référence A0546393. Il est à noter que Joerg Arndt a conjecturé
la caractérisation suivante des quenines [Arndt, 2009, 41.8.2] : elles correspondent
aux « bases normales optimales de type 2 dans GF(2n)». En fait cette conjecture est
une conséquence directe du Théorème 2 et se réécrit de la manière suivante :
corollaire 1.2n+ 1 étant premier, soit Z/
2n+1Zle corps à 2n+ 1 éléments,
alors nest admissible si et seulement si :
Soit 2est d’ordre 2ndans Z/
2n+1Zet n1ou 2 mod 4.
Soit 2est d’ordre ndans Z/
2n+1Zet n3 mod 4.
démonstration. Les différences entre le corollaire et le Théorème 2 résident dans
les deux points suivants :
1. 2est d’ordre 2nest incompatible avec n3 mod 4.
2. 2est d’ordre nest incompatible avec n1 mod 4.
Dans les deux cas le caractère de résiduïcité de 2(voir par exemple [Bach, 1996,
Théorème 5.8.1]) nous donne la réponse :
1. Si n3 mod 4 alors 2n+ 1 7 mod 8 et donc 2est un résidu quadratique
modulo 2n+1. Ce qui implique que l’ordre de 2ne peut donc pas être maximal
2n, mais seulement inférieur ou égal à n.
2. Au contraire, si n1 mod 4 alors 2n+ 1 3 mod 8 et donc dans cas 2
n’est pas un résidu quadratique modulo 2n+ 1. Supposons alors que l’ordre
de 2est n. Il s’en suit que 2n1ou encore 24k+1 1. Cela implique que
24k+2 22k+122et donc 2serait un résidu quadratique ce qui est absurde.
3. GÉNÉRALISATIONS DES QUENINES
Jacques Roubaud, dans [Roubaud, 1993] généralise les quenines aux k-quenines,
permutations pour lesquelles la multiplication par 2est remplacée par une multipli-
cation par k, considérons δ3,n(x):
δ3,n(x) =
3xsi 3xn
2n+ 1 3xsi n < 3x2n
3x(2n+ 1) sinon
Notons que 2n+1 étant premier, 3xne peut pas être égal à 2n+ 1. Cette généralisa-
tion donne par exemple directement l’octine, ou 3-quenine : 16254783.
La Table 2 donne les entiers dont 3est une racine primitive de 2n+ 1, premier,
qui ne sont pas des 2-quenines.
Dans le cas de 3, et plus généralement pour tout k,3est appelé le multiplicateur
de la quenine et n
kest appelé le rayon, pour la raison qui suit.
3http ://www.research.att.com/˜njas/sequences/A054639.
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 15
8 15 21 44 56 63 68 111 116 125128 140 141
165 176 200 224 260 284 285 296 308 315 320 345 369
404 405 428 440 455464 476 485488 506 524 548 551
581596 608 663 680 704 711 716 729 740 776 789 800
806 813 848 849 854 860 861 905915 944 956 999
table 2. Les 3-quenines inférieures à 1000 qui ne sont pas des 2-quenines. indique que 3
est d’ordre ndans Z/
2n+1Z.
En effet, la représentation en spirale n’est plus valable, il faut l’adapter à la
racine primitive 3, i.e. aux trois cas possibles dans la définition de σou δ. L’idée est
de considérer 3« rayons » comme sur les Figures 3 et 4.
Comme il est possible d’utiliser n’importe quelle racine primitive, il faut donc
généraliser cette représentation à une spirale comportant un nombre de rayons exac-
tement égal au multiplicateur (i.e. à la racine primitive utilisée).
2
1
6
5
4
3
7 8
figure 3. La 3-octine
3
5
6
2
1
4
987
figure 4. La 3-neuvine
Ainsi, tous les entiers ndont 2n+ 1 est premier permettent d’avoir une per-
mutation spirale généralisée. Il suffit de savoir fabriquer des racines primitives. En
particulier, la plus petite racine primitive est intéressante puisqu’elle permet d’avoir
la représentation spirale la plus “simple” en ce sens qu’elle présente le moins de
rayons possibles.
définition 1.La plus petite racine primitive de mest notée χ(m).
4. CARACTÉRISATION GÉNÉRALE
Dans cette section, nous étendons la caractérisation du Théorème 2 à toutes les
racines primitives, en notant δn,g la permutation spirale de multiplicateur g:
théorème 3.Soit nun entier tel que 2n+1 est premier et soit gn. Soit Z/
2n+1Z
le corps à 2n+ 1 éléments, alors δn,g est d’ordre nsi et seulement si :
Soit gest d’ordre 2n(gest racine primitive) dans Z/
2n+1Z.
Soit nest impair et gest d’ordre ndans Z/
2n+1Z.
16 j.-g. dumas
La preuve est identique à celle du Théorème 2 à l’exception de la condition
gn:
démonstration. Supposons que gest d’ordre j < n. Alors nous avons
δj
n,g(g)≡ ±gjg≡ ±g. Nous avons donc deux cas :
1. Si δj
n,g(g) = g, alors l’orbite de gne contient que j < n éléments, ce qui n’est
pas suffisant car nest supposé admissible.
2. Dans l’autre cas, δj
n,g(g)≡ −g. Or 1δj
n,g(x)npar définition. Donc
12n+ 1 gn, ou encore n<g. C’est là que la condition supplémentaire
est nécessaire.
Donc si nest admissible, alors gest d’ordre nou 2nmodulo 2n+ 1.
Il ne nous reste plus qu’à exclure le cas où n= 2pest pair et gest d’ordre
nmodulo 2n+ 1. En effet, dans ce cas gp≡ −1 [2n+ 1]. Il s’en suit que
δp
n,g(g)(1)kgpg≡ ±g. Or, nous avons vu que δp
n,g(g)6=g, grâce à la condition
et par ailleurs, δp
n,g(g)gimpliquerait que l’orbite de gne contienne qu’au plus
p=n
2< n éléments.
Nous prouvons ensuite la condition suffisante. Prenons ωle cardinal de la plus
petite orbite des éléments de {1, . . . , n}par δn,g et supposons que l’élément usoit
d’ordre ω. Dans ce cas, le fait qu’il existe ktel que δω
n,g(u)u(1)kgωu. implique
donc que (1)kgω1, car uest inversible. Cela revient à gω≡ ±1et il y a deux
cas :
1. Si gω1. Alors ωest plus grand que l’ordre de g. Donc ωnet donc ω=n
car la permutation est au plus d’ordre n.
2. Si gω≡ −1Alors
(a) Soit l’ordre de gest j= 2net donc gn≡ −1. Ainsi gn+ω= 1 et donc
ω=n.
(b) Soit l’ordre de gest j=net nest impair. Alors (gω)2= (1)2= 1, ce qui
prouve que ndivise 2ω. Or nest impair donc le lemme de Gauß implique
que ndivise ω. Là encore ω=n.
Ce théorème nous permet alors de conclure sur l’existence des quenines :
corollaire 2.Soit ntel que 2n+ 1 est premier. Il existe g∈ {1, .., n}tel que δn,g
soit d’ordre n.
démonstration. On considère la plus petite racine primitive modulo 2n+ 1,
χ(2n+ 1). Il y a deux cas :
1. Si χ(2n+ 1) n. Alors δn,χ(2n+1) convient.
2. Sinon posons g=χ(2n+ 1). L’ordre jde gest soit n, soit 2n. En effet,
gn≡ −1et donc si (g)j=gnj+j= 1 alors 2n|(n+ 1)jou encore n|(n+ 1)j
et comme net n+ 1 sont premiers entre eux n|j. Ensuite, soit nest pair et
donc (g)n= (1)ngn=gn6= 1, et donc gest forcément d’ordre 2n, soit
nest impair, (g)n=(gn) = 1 et l’ordre de (g)est n. Dans les deux cas
δn,χ(2n+1) convient.
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 17
Par exemple, la 2-dixhuitine existe, mais on peut préférer la 5-dixhuitine de rayon
18
5= 3.6qui est donnée sur la Figure 6.
1
2
3
4
111098
7
6
5
figure 5. La 3-onzine
figure 6. La 5-dixhuitine
En particulier, la Table 3 donne la liste des p-quenines inférieures à 1000 avec
leur plus petite racine primitive.
Par ailleurs, le théorème suivant montre que l’on pourrait toujours utiliser la
plus petite racine :
théorème 4 (Grosswald, 1981).Le nombre de racines primitives modulo pdans
un intervalle de taille au moins p.499 est supérieur à c(p1).498 pour c.537 dès
que log2(p1) 24. En particulier il existe alors des racines primitives modulo p
inférieures à p.499.
Ainsi, on peut vérifier que tout premier p16777216 possède bien une racine
primitive plus petite que p
2, (voir par exemple [Silva, 2000]). Les autres nombres
premiers vérifient
p.499 p1
2
et possèdent donc une racine primitive convenable, leur plus petite racine primitive.
Néanmoins, chercher la plus petite racine primitive est plus difficile que de trouver
une racine primitive quelconque, voir par exemple [Shoup, 1992; Murata, 1991 ;
Elliott, 1997]. Le Corollaire 2 nous garantit qu’en choisissant une racine primitive
au hasard, soit celle-ci soit sa négation modulo 2n+ 1 sera donc plus petite que n
et permettra alors la fabrication d’une n-ine.
5. LA QUÊTE DES SPININES
Il à noter qu’il est possible de fabriquer des racines primitives, au moins de manière
probabiliste, avec un algorithme polynomial (donc ne nécessitant pas de factorisation
de ϕni d’exploration exhaustive de l’ordre) [Dubrois, Dumas, 2006]. Les éléments
18 j.-g. dumas
1(2) 2 (2) 3 (2) 5 (2) 6 (2) 8 (3) 9 (2) 11 (2) 14 (2) 15 (3)
18 (2) 20 (6) 21 (3) 23 (2) 26 (2) 29 (2) 30 (2) 33 (2) 35(2) 36 (5)
39 (2) 41(2) 44(3) 48 (5) 50 (2) 51 (2) 53(2) 54 (6) 56 (3) 63 (3)
65 (2) 68 (3) 69 (2) 74 (2) 75 (5) 78 (5) 81 (2) 83 (2) 86 (2) 89 (2)
90 (2) 95(2) 96 (5) 98(2) 99 (2) 105 (2) 111 (3) 113(2) 114 (6) 116 (3)
119 (2) 120 (7) 125 (3) 128 (3) 131 (2) 134 (2) 135 (2) 138 (5) 140 (3) 141 (3)
146(2) 153 (5) 155(2) 156 (10) 158 (2) 165 (3) 168 (10) 173(2) 174 (2) 176 (3)
179(2) 183 (2) 186 (2) 189 (2) 191 (2) 194 (2) 198 (5) 200(3) 204 (21) 209 (2)
210 (2) 215(5) 216 (5) 219 (5) 221(2) 224 (3) 228 (13) 230 (2) 231 (2) 233(2)
239(2) 243 (2) 245 (2) 249 (5) 251 (2) 254 (2) 260 (3) 261 (2) 270 (2) 273 (2)
278(2) 281(2) 284(3) 285 (3) 288 (5) 293(2) 296 (3) 299(2) 300 (7) 303 (2)
306 (2) 308 (3) 309 (2) 315 (3) 320 (3) 321 (7) 323 (2) 326(2) 329 (2) 330 (2)
336 (5) 338(2) 341(5) 345 (3) 350 (2) 354 (2) 359(2) 363 (5) 366 (6) 369 (3)
371 (2) 375 (2) 378 (2) 380(6) 384 (11) 386 (2) 393 (2) 398 (2) 404 (3) 405 (3)
410 (2) 411 (2) 413(2) 414 (2) 419(2) 426 (2) 428 (3) 429 (2) 431 (2) 438 (2)
440(3) 441 (2) 443 (2) 453 (2) 455(3) 459 (5) 464(3) 468 (5) 470 (2) 473(2)
476 (3) 483 (2) 485 (3) 488 (3) 491 (2) 495 (2) 498 (7) 504 (11) 506 (3) 509 (2)
510 (10) 515 (2) 516 (5) 519 (2) 524(3) 525 (5) 530 (2) 531 (2) 534 (6) 543 (2)
545 (2) 546 (5) 548 (3) 551 (3) 554 (2) 558 (2) 561 (2) 564 (11) 575(2) 576 (5)
581(3) 585 (2) 590 (7) 593(2) 596 (3) 600 (11) 606 (2) 608 (3) 611 (2) 614 (2)
615 (2) 618 (2) 624 (7) 629 (2) 638(2) 639 (2) 641(2) 644 (6) 645 (2) 648 (10)
650 (2) 651 (2) 653(2) 659(2) 660 (13) 663 (3) 680(3) 683 (2) 686(2) 690 (2)
699 (5) 704 (3) 711 (3) 713(2) 714 (6) 716 (3) 719(2) 723 (2) 725 (2) 726 (2)
729 (3) 735 (5) 740(3) 741 (2) 743 (2) 744 (14) 746 (2) 749 (2) 755(2) 761(2)
765 (2) 771 (2) 774 (2) 776 (3) 779(2) 783 (2) 785 (2) 789 (3) 791 (2) 798 (11)
800 (3) 803 (2) 804 (7) 806 (3) 809 (2) 810 (2) 813 (3) 818 (2) 828 (11) 831 (2)
833(2) 834 (2) 846 (2) 848 (3) 849 (3) 854 (3) 860 (3) 861 (3) 866(2) 870 (2)
873 (2) 876 (7) 879 (2) 888 (5) 891 (2) 893(2) 894 (6) 900 (11) 905 (3) 911 (2)
915 (3) 923 (2) 930 (2) 933 (2) 935(2) 936 (10) 938(2) 939 (2) 944 (3) 950 (2)
953(2) 956 (3) 965 (2) 966 (5) 974 (2) 975 (2) 986(2) 989 (2) 993 (2) 996 (5)
998(2) 999 (3)
table 3. Les p-quenines inférieures à 1000 avec p, minimal, entre parenthèses. indique
que pest d’ordre seulement ndans Z/
2n+1Z.
ainsi obtenus n’étant pas prouvés primitifs, ils sont appelés racines primitives indus-
trielles. Néanmoins, aucun contre-exemple n’ayant été trouvé à [Dubrois, Dumas,
2006, algorithme 3], il semble donc possible de fabriquer de manière effective des
quenines pour tout ntel que 2n+ 1 est premier.
Dans [Roubaud, 1993], Jacques Roubaud se désole néanmoins que seuls les entiers
ntels que 2n+ 1 soit premier possèdent une permutation spirale. Il propose alors
une généralisation à tous les nombres en procédant par effacement ce qui donne
l’algorithme général 1 de fabrication de pseudo-quenines ou spinines.
définition 2.La n-spinine, ou n-ine puisqu’il n’y a pas d’ambiguïté est la permu-
tation obtenue par effacements sur la χ(m)-m-ine spirale avec mle plus petit entier
supérieur à ntel que 2m+ 1 est premier.
Ainsi, on peut fabriquer pour tout ndes permutations (ça on le savait déjà !)
qui proviennent d’une permutation spirale. Afin de différencier les permutations,
nous notons la 7-spinine (ou plus simplement la septine), obtenue par effacement
de 8dans la 3-octine, comme 3; 8-septine. Par opposition, la permutation qui serait
obtenue par effacement des 8et 9dans la 2-neuvine serait notée 2; 9-septine.
Il reste à savoir comment représenter les septines sous forme de spirale. Pour
cela, il faut remarquer que les nombres effacés sont successifs et plus grands que n.
Ce sont donc les derniers de la spirale. En outre l’effacement va les remplacer dans la
n-spinine par les entiers qui les suivent dans la m-quenine. L’idée de représentation
est donc d’écrire les nombres sur les rayons classiques de la spirale en omettant les
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 19
algorithme 1 Spinine [Roubaud, 1993]
Entrée Un entier n > 0quelconque.
Sortie La spinine d’ordre n.
1: Trouver le plus petit mntel que 2m+ 1 soit premier.
2: Fabriquer la χ(m)-m-ine, ou si mest trop grand une m-ine quelconque en fabri-
quant une racine primitive industrielle.
3: Fabriquer l’orbite spiralique de 1de la m-ine. Cela permet de vérifier (mais de
manière non polynomiale en la taille de n) si la racine obtenue ci-dessus est bien
primitive.
4: Dans cette orbite spiralique de 1,effacer tous les entiers supérieurs à n.
5: L’orbite ainsi obtenue est périodique de période n.
successeurs des nombres effacés. Ces successeurs sont alors écrits en fin de rayon
dans l’ordre des effacements. Cela fonctionne par exemple sur la dixine obtenue à
partir de la 2-onzine : 16310597842.
Nous détaillons plutôt la fabrication de la septine par effacement de la 2-neuvine :
1. Prenons n= 7.
2. Choisissons m= 9 (m= 8 serait le plus petit).
3. Fabriquons [9,1,8,2,7,3,6,4,5] la 2-neuvine ...
4. Et 195763842l’orbite spiralique de 1.
5. Effaçons dans l’orbite de 1le 8et le 9, ils sont remplacés respectivement par
4et 5qui seront donc placés en fin de spirale.
La Figure 7 montre deux réalisations de la septine, les 3; 8-septine et 2; 9-septine
respectivement à partir de la 3-octine et de la 2-neuvine.
1
2
3
6
4
5
7
2
1
6
5
4
3
7
figure 7. Septines, à partir de la 3-octine à gauche et de la 2-neuvine à droite.
Si la septine issue de l’octine possède bien une forme de spirale, l’effacement du 8
dans la permutation se transcrit par un simple effacement sur la spirale, on voit que
celle issue de la neuvine, bien que toujours spiralique est malheureusement d’une
esthétique plus discutable. En effet, il est nécessaire que les groupes “6, 7” et “4, 5”
soient sur le même rayon mais ils ne s’y retrouvent pas dans un ordre croissant . . .
20 j.-g. dumas
6. PÉRECTINES
L’absence de dixine « pure » (i.e. sans effacement) a conduit Jacques Roubaud et
Georges Pérec a développer une autre permutation similaire, dorénavant appelée
pérecquine. En effet, Georges Pérec en a eu besoin pour le développement de son
œuvre, la vie mode d’emploi, mais la méthode des effacements n’existait pas encore
[Roubaud, 1993].
définition 3.Une pérecquine est une permutation πnde l’ensemble {1,2, . . . , n}
vérifiant la condition suivante :
πn(x) = 2xsi 2xn
2x(n+ 1) sinon
Pour ces permutations, la caractérisation est beaucoup plus simple et donne en
particulier que n+ 1 doit être premier :
théorème 5.La permutation πn(x) = 2x[n+ 1] est d’ordre nsi et seulement si 2
est d’ordre nmodulo n+ 1.
démonstration. πn(x)=2xmod n+ 1 donc πk
n(x)=2kxmod n+ 1. Ainsi,
l’ordre spiralique de tout élément est celui de 2dans l’anneau Z/
n+1Z.
De même que pour les quenines, il est aisé de généraliser les pérecquines à tous
les ntels que n+ 1 soit premier par l’utilisation d’une racine primitive. La méthode
des effacements est également valable pour généraliser à tout net nous allons voir
que la représentation spirale généralisée de la Section 5. est tout à fait adaptée.
7. ORIENTATION DES RAYONS
Par analogie avec le cas des k-quenines pour k > 2on donne la représentation spirale
de la Figure 8 aux pérecquines : l’idée est de faire deux rayons pour chaque moitié
de la permutation et de renverser le deuxième rayon par rapport aux quenines.
16 379105842
21
37
42
58
63
79
84
910
10 5
4
3
2
1
5
6
7
8
9
10
figure 8. Pérecquine de 10
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 21
Contrairement aux quenines, les rayons sont toujours croissants vers le centre de
la spirale, même dans le cas de la généralisation à toutes les racines primitives des
Figures 9 et 10. En effet, le changement d’orientation, vers l’extérieur de la spirale,
correspond dans les k-quenines au changement de signe dans le calcul δn(x) = ±k(x)
mod 2n+1. Or les pérecquines ne présentent pas ce changement de signe et donc par
conséquent elles ne présentent pas non plus le changement d’orientation des rayons.
1
2
4
3
65
figure 9. La 3-pérecquine de 6
1
2
3
16
15
14
6
5
4
13
12
11
7
8
9
10
figure 10. La 5-pérecquine de 16
Cela est également le cas pour les effacements des pérecquines comme illustré
sur les Figures 11 et 12.
4
3
2
1
6
7
8
9
5
figure 11. La 2,10-pérecquine de 9
1
2
3
5
7
6
4
figure 12. La 2,10-pérecquine de 7
Dans le cas des quenines, l’alternance de l’orientation des rayons est due au
changement de signe de la congruence, comme nous venons de le voir. La question
qui reste posée est la détermination de cette orientation sur la représentation spirale.
22 j.-g. dumas
En regardant les Figures 3, 4 et 5 des 3-octine, 3-neuvine et 3-onzine, on distingue
deux types de 3, n-quenines, suivant que le rayon horizontal est à gauche ou à droite.
En observant cette orientation de rayons sur plus de quenines, comme par exemple
sur la Figure 13, il semble que les 3, n-quenines de type 1(rayon sortant à gauche)
soient celles qui vérifient n0 mod 3, alors que les 3, n-quenines de type 2(rayon
sortant à droite) vérifient n2 mod 3.
3,8 3,9 3,11 3,14 3,15
figure 13. Quelques orientations de 3, n-quenines
Une généralisation de cette conjecture permettrait alors de dessiner les g, n-
quenines, comme celle de la Figure 6, sans connaissance a priori de la permutation
générée.
BIBLIOGRAPHIE
arndt j.,Algorithms for programmers, [http ://www.jjj.de/fxt/#fxtbook], [to appear
2009].
audin m., « Mathématiques et littérature », Mathématiques et Sciences humaines 178,
2007, p. 63-86.
bach e., shallit j.,Algorithmic Number Theory : Efficient Algorithms, Cambridge (MA),
MIT press, 1996.
bringer m., « Sur un problème de Raymond Queneau », Mathématiques et Sciences hu-
maines 27, 1969, p. 13-20.
dubrois j., dumas j.-g., “Efficient polynomial time algorithms computing industrial-
strength primitive roots”, Information Processing letters 97(2), 2006, p. 41-45.
elliot p.d.t.a., murata l., “On the average of the least primitive root modulo p”,
Journal of the London Mathematicial Society 56(2), p. 435-454.
esposito-farèse g.,Oulipian exercices (7), 2000, [http ://www.iap.fr/users/esposito/
oulipo7.html].
grosswald e., “On Burgess’ bound for primitive roots modulo primes and an application
to γ(p)”, American Journal of Mathematics 103(6), 1981, p. 1171-1183.
murata l., “On the magnitude of the least prime primitive root”, Journl of Number Theory
37(1), 1991, p. 47-66.
oliveira e silva t.,Least primitive root of prime numbers, 2000, [http ://www.ieeta.pt/
˜tos/p-roots.html].
roubaud j., « Un problème combinatoire posé par la poésie lyrique des troubadours »,
Mathématiques et Sciences humaines 27, 1969, p. 5-12.
caractérisation des quenines et leur représentation spirale 23
roubaud j., « Réflexions historiques et combinatoires sur la n-ine autrement dit que-
nine », La bibliothèque Oulipienne 5(66), 2000, p. 99-124. [Contribution à la réunion 395
de l’Oulipo, le 17 septembre 1993].
shoup v., “Searching for primitive roots in finite fields”, Mathematics of Computation
58(197), 1992, p. 369-380.
... On the other hand, some old contributions [5,6] and many recent papers [13,18,21,22] dealing with Queneau numbers are purely mathematical: they provide (partial or complete) characterizations of the Queneau numbers or they investigate the properties of (subsets of) the set of all Queneau numbers without hardly any reference to their poetical origins. ...
... J. Roubaud's approach has been completed successfully by J.-G. Dumas in [13], which -as J. Roubaud in [9]-refers to [5] but not to [6]. From [13] we quote the following two complete, refined characterizations (Theorem 2 and Corollary 1 in [13], respectively). ...
... Dumas in [13], which -as J. Roubaud in [9]-refers to [5] but not to [6]. From [13] we quote the following two complete, refined characterizations (Theorem 2 and Corollary 1 in [13], respectively). These results together with their proofs are also quoted in [20] and in [19]. ...
Technical Report
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Publications dealing with Queneau numbers can be divided roughly into two categories. In the first one the relation to poetry and, more generally, to literature is the central issue. The second one consists of papers that investigate the mathematical properties of the Queneau numbers and of integer sequences that are closely related. Our comments in this survey are restricted to this second category. Keywords and phrases: integer sequence, Queneau-Daniel permutation, Queneau number, distribution of prime numbers, Artin's conjecture on primitive roots.
... The following characterization originates from [21] (Theorem 10.10); cf. Theorem 5 in [9]. Theorem 2.6. ...
... The twist operation is a major tool in characterizing the behavior of some types of reversalbounded multipushdown acceptors [15,16]. But there is a much earlier interest in P (T ) or rather in P (T −1 ): T −1 n plays an important role in generalizations of a certain verse form called sextine or sestina in Italian [19,20,8,9]. The original sextine is based on T −1 6 and consists of six stanzas of six lines each; remember that 6 belongs to the set P (T −1 ). ...
... is T -prime if and only if 2n+1 is a prime number, and at least one of −2 and +2 is a generator of Z ⋆ 2n+1 . 2 Reference [9], which does refer to [7] but not to [8], includes two characterizations of P (T −1 ) (viz. Theorem 2 and Corollary 1 in [9]). ...
Article
Full-text available
Some length-preserving operations on strings only permute the symbol positions in strings; such an operation X gives rise to a family {X n } n≥2 of similar permutations. We investigate the structure and the order of the cyclic group generated by X n. We call an integer n X-prime if X n consists of a single cycle of length n (n ≥ 2). Then we show some properties of these X-primes, particularly, how X-primes are related to X ′-primes as well as to ordinary prime numbers. Here X and X ′ range over well-known examples (reversal, cyclic shift, shuffle, twist) and some new ones based on the Archimedes spiral and on the Josephus problem.
... But there is a much earlier interest in P (T ) or rather in P (T −1 ): p(T −1 , n) plays an important role in generalizations of a certain verse form called sextine or sestina in Italian; cf. [22,23,8,10]. The original sextine is based on p(T −1 , 6) and consists of six stanzas of six lines each; remember that 6 belongs to the set P (T −1 ). ...
... If n = 5 and we apply p(T, 5) to its respective arguments (1, 2, 3, 4, 5), we obtain (2, 4, 5, 3, 1). Alternatively, we compute q 5 by multiplying its respective arguments by 2, which yields (2,4,6,8,10) (1) n ≡ 1 (mod 4) and +2 is a generator of the multiplicative group Z ⋆ 2n+1 of Z 2n+1 , but −2 is not. ...
... Reference [10], which does refer to [7] but not to [8], includes two characterizations of P (T −1 ) (viz. Theorem 2 and Corollary 1 in [10]): If n ∈ N and p = 2n+1, then • n is T −1 -prime if and only if p is a prime number and either 2 is of order 2n in Z/pZ, or n is odd and 2 is of order n in Z/pZ, and • n is T −1 -prime if and only if p is a prime number and either 2 is of order 2n in Z/pZ and n ≡ 1 or 2 (mod 4), or 2 is of order n in Z/pZ and n ≡ 3 (mod 4), from which it is possible [11] to infer Theorem 4.15 as well. ...
Article
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We study some length-preserving operations on strings that permute the symbol positions in strings. These operations include some well-known examples (reversal, circular or cyclic shift, shuffle, twist, operations induced by the Josephus problem) and some new ones based on Archimedes spiral. Such a permuting operation X gives rise to a family {p(X, n)} n≥2 of similar permutations. We investigate the structure and the order of the cyclic group generated by such a permutation p(X, n). We call an integer n X-prime if p(X, n) consists of a single cycle of length n (n ≥ 2). Then we show some properties of these X-primes, particularly, how X-primes are related to X ′ -primes as well as to ordinary prime numbers.
... The following characterization originates from [21] (Theorem 10.10); cf. Theorem 5 in [9]. Theorem 2.6. ...
... The twist operation is a major tool in characterizing the behavior of some types of reversalbounded multipushdown acceptors [15,16]. But there is a much earlier interest in P (T ) or rather in P (T −1 ): T −1 n plays an important role in generalizations of a certain verse form called sextine or sestina in Italian [19,20,8,9]. The original sextine is based on T −1 6 and consists of six stanzas of six lines each; remember that 6 belongs to the set P (T −1 ). ...
... is T -prime if and only if 2n+1 is a prime number, and at least one of −2 and +2 is a generator of Z ⋆ 2n+1 . 2 Reference [9], which does refer to [7] but not to [8], includes two characterizations of P (T −1 ) (viz. Theorem 2 and Corollary 1 in [9]). ...
Article
Some length-preserving operations on strings only permute the symbol positions in strings; such an operation $X$ gives rise to a family $\{X_n\}_{n\geq2}$ of similar permutations. We investigate the structure and the order of the cyclic group generated by $X_n$. We call an integer $n$ $X$-{\em prime} if $X_n$ consists of a single cycle of length $n$ ($n\geq2$). Then we show some properties of these $X$-primes, particularly, how $X$-primes are related to $X^\prime$-primes as well as to ordinary prime numbers. Here $X$ and $X^\prime$ range over well-known examples (reversal, cyclic shift, shuffle, twist) and some new ones based on Archimedes spiral and on the Josephus problem.
... Para hallar los n admisibles basta demostrar que δ n tiene orden n. Se ha encontrado que estudiar δ n en vez de σ n es lo más conveniente ( [4], [10]). Por esta razón nos concentraremos en δ n . ...
... A continuación demostramos una serie de resultados la mayoría de tipo combinatorio que se refieren a la primera de las anteriores preguntas. Empezamos con los de M. Bringer [4], pero siguiendo las sugerencias de [10], en el sentido de que δ n (x) ≡ (−1) e 2x(mód 2n + 1), e ∈ {0, 1}, y recurrentemente δ i n (x) ≡ (−1) e 2x i (mód 2n + 1). Proposición 4.1. ...
Conference Paper
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Resumen. En este artículo de carácter expositivo mostramos en primer lugar cómo un poema lírico medieval puede conducirnos sorprendente-mente a estudiar subgrupos del grupo simétrico. En segundo lugar, mostramos cómo la fórmula estructural de las rimas en el poema pue-de generalizarse y conducir a interesantes preguntas matemáticas las cuales podemos responder mediante teoremas. Finalmente es posible relacionar esto con la conjetura de E. Artin sobre las raíces primitivas módulo un número primo, problema aún no resuelto. Abstract. In this expository paper we show firstly how a medieval lyric poem leads us to study subgroups of the symmetric group. Secondly, we show how the estructural rhymes formula in the poem can be generalized and lead to interesting mathematical questions which can be answered by means of theorems. Finally, we remark that these results can be related to a celebrated unproved conjecture of E. Artin on the primitive roots modulo a prime number. 2010 AMS Mathematics Subject Classification. 00A09, 00A99 La unión de un matemático con el poeta, fervor con medida, pasión con corrección, esto es ciertamente lo ideal. William James Ningún matemático puede ser un matemático completo si no tiene también algo de poeta. K. Weierstrass (en una carta a Sonia Kovalevskaya) 1 Este es el texto ampliado de la charla que dio el autor en el marco de la Cátedra José Ce-lestino Mutis, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, en 2011.
... 17 DUMAS (2008) Tras la poesía, seguimos en prosa. ...
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OuLiPo – Ouvroir de Littérature Potentielle – was created in 1960 at the initiative of Raymond Queneau – a man of letters interested in mathematics – and François Le Lionnais – a man of science interested in literature –, and supported by a group of writers , mathematicians and painters. OuLiPo rejects inspiration as the only source of creativity; the restriction – the ‘contrainte’ – is its creative engine. In this paper we will give some examples of oulipian texts written under mathematical restriction. Essentially, mathematics underlies the structure of texts: combinatorics, geometry, topology or graph theory will appear as inspiring patterns in all these proposals.
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Several ways of interleaving, as studied in theoretical computer science, and some subjects from mathematics can be modeled by length-preserving operations on strings, that only permute the symbol positions in strings. Each such operation X gives rise to a family {Xn}n≥2} of similar permutations. We call an integer n X-prime if Xn consists of a single cycle of length n(n≥2). For some instances of X - such as shuffle, twist, operations based on the Archimedes' spiral and on the Josephus problem - we investigate the distribution of X-primes and of the associated (ordinary) prime numbers, which leads to variations of some well-known conjectures in number theory.
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Le calcul scientifique est souvent associé au calcul numérique. Pourtant dans de nombreuses disciplines scientifiques il est nécessaire d'aller au-delà du calcul approché : nécessité de certification des résultats, calculs dans des structures mathématiques discrètes, instabilité des algorithmique numériques. Le calcul exact s'attache donc à donner des résultats exacts ou certifiés. Cependant, la principale obstruction à l'utilisation du Calcul Formel est bien souvent les faibles performances des systèmes commerciaux y compris pour les opérations fondamentales comme l'algèbre linéaire. L'objectif de ces travaux est donc de réduire l'écart entre le calcul exact et le calcul numérique, tant sur le plan algorithmique, que sur le plan logiciel. Les défis sont multiples : développer une arithmétique efficace dans les structures discrètes ; concevoir des algorithmes ayant un terme dominant de complexité optimal même en tenant compte de la croissance des données intermédiaires ; transcrire ces algorithmes dans des logiciels combinant efficacité pérenne, interfaçage et généricité.
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We remind the readers of several ways writers have used mathematical constraints and structures, from the Middle Ages to the present times. Then, from the structure of a group with four elements, we produce a text.