Das digitale Übungsheft

Abstract

Das digitale Schulbuch ist in aller Munde. Eine bloße „Eins-zu-Eins-Übersetzung“ der Schulbücher in eine digitale Version schöpft die Möglichkeiten der digitalen Welt jedoch nur unzureichend aus. Hier gilt es, innovativ zu denken: Warum nicht auch Übungsbeispiele automatisch generieren, inklusive vollständigem Lösungsweg? Warum nicht auch Kompetenz-Checks individuell für jeden Lernenden automatisch erstellen?

Full text

Entwurf – Original erschienen in: Neuherz, E., Ebner, M. (2016) Das digital Übungsheft. L.A. Multimedia 2016 (1). S. 35-38
neo Lernhilfen
Das digitale Übungsheft
Edgar Neuherz & Martin Ebner
Abbildung 1: Lernplattform www.neo-Lerhilfen.eu
Das digitale Schulbuch ist in aller Munde. Eine bloße „Eins-zu-Eins-Übersetzung“ der
Schulbücher in eine digitale Version schöpft die Möglichkeiten der digitalen Welt jedoch nur
unzureichend aus. Hier gilt es, innovativ zu denken: Warum nicht auch Übungsbeispiele
automatisch generieren, inklusive vollständigem Lösungsweg? Warum nicht auch
Kompetenz-Checks individuell für jeden Lernenden automatisch erstellen?
Durch die Heterogenität der Schülerinnen und Schüler wird es für Pädagoginnen und
Pädagogen immer schwieriger, auf individuelle Bedürfnisse und Anforderungen einzelner
Lernenden einzugehen. Der Einsatz von computergenerierten Aufgaben ermöglicht es jedoch
auf individuelle Präferenzen einzugehen und durch eigenverantwortliches Üben gezielt diese zu
verbessern.

2
neo-Lernhilfen
Die Online-Plattform http://www.neo-lernhilfen.eu unterstützt dabei Lehrende, Schülerinnen
und Schüler, sowie Eltern mit einfach anwendbaren Mathematik-Aufgaben im PDF-Format. Im
Mittelpunkt steht dabei die Kombination von digitalen, zeitgemäßen Medien und altbewährtem,
eigenständigen Lernen (Üben). Die Plattform wird von einem Disserationsvorhaben begleitet,
welches neben der technischen Entwicklung auch den didaktischen Einsatz erforscht zur
Stärkung des individuellen Unterrichts.
Das Besondere daran: Der Aufgabenpool wird täglich aktualisiert und erweitert. Dazu werden
Variablen wie Zahlenwerte oder textliche Parameter immer wieder neu generiert, wodurch
ähnliche aber trotzdem unterschiedliche Beispiele entstehen, die an Lehrplan und Schulstufe
angepasst sind. So entsteht aus einem mathematischen Beispiel, wie man es aus Lehrbüchern
oder Schularbeiten kennt, eine praktisch unbegrenzte Anzahl an verschiedenen Beispielen. Alle
zum Lernen notwendigen Elemente wie Grafiken, Tabellen und vor allem ausführliche
Lösungswege werden automatisch mitgeneriert. Neben Abiturbeispielen sind auch viele
Übungsbeispiele und Kompetenzchecks aus dem Lehrplan für Oberstufen verfügbar.
Abbildung 2: Kompatible Geräte (Reader, Tablets, SmartPhone)
Alle Lernunterlagen werden im PDF-Format angeboten und können auf allen gängigen
Endgeräten, wie z.B. Desktop-PCs, Tablets, Smartphones, Reader, verwendet werden. Daraus
ergeben sich für Lehrende/Lernende folgende Vorteile:

3
• Unbeschränkte Nutzungsdauer
• Kein Kopierschutz
• Unterlagen können offline verwendet werden
• Ergänzung durch eigene Notizen und Markierungen möglich
Lernunterlagen
Nach Ihrer Anmeldung / Registrierung auf der Plattform (https://www.neo-lernhilfen.at/preise/)
werden Ihnen im Menü Lernbeispiele die Unterlagen zur Auswahl angeboten. Durch die
Eingabe (von z.B. „Verzinsung“) im Suchfeld kann die Ausgabe Liste auf ein Thema
eingeschränkt werden.
Abbildung 3: Lernbeispiele - Auswahl
Durch Anklicken des Download-Button können Sie nun eine PDF-Datei Ihrer Wahl
downloaden.
Abbildung 4: Lernunterlage im PDF-Format
Bitte beachten Sie: beim Gratis-Abo haben Sie nur einen beschränkten Zugriff auf die
Lernunterlagen, d.h. die Lernunterlagen haben keinen Lösungsteil. Es werden Mathematik-
Aufgaben aus folgenden Aufgabenbereiche zur Verfügung gestellt:

4
• Grundkompetenzen
Diese orientieren sich derzeit nach den standardisierten Kompetenzaufgaben des
österreichischen Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des
österreichischen Schulwesens (http://www.bifie.at ).
• Übungsbeispiele
Rechenbeispiele zum Üben aus verschieden Themenbereichen der Mathematik und
sollen den Schülerinnen und Schülern helfen eine Lösungsroutine zu entwickeln.
• Zentralmatura
Sie entsprechen sowohl im Umfang als auch der Art der Fragestellung einer
standardisierten Reifeprüfung.
Durch die Randomisierung der Aufgaben stehen täglich neue Beispiele aus dem selben
Themengebiet zur Verfügung.
Abbildung 5: Drei Beispiele aus dem Bereich Übungsbeispiele
Abbildung 6: 2 x 2 Beispiele aus dem Bereich Grundkompetenzen
1.1 Rechnen mit Termen
1.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-01
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (x 8) · (x + 8) 2 (a  6) · (a  8) 3 (u  3) · (u  9)
4 (x  2) · (x  10) 5 (a  10) · (a + 6) 6 (8u + 4) · (4u + 2)
7 (9x  2) · (3x + 3) 8 (2u + 2) · (10u + 9) 9 (6a + 9) · (10a  4)
1.1.2 Zerlegung von Termen in ein Pro dukt aus zwei Binomen
2
2015-01-01
Ergänze folgende Binome sodaß die Gleichung erfüllt ist.
10 u
2
+6u  27 = (u + 9) · (u ) 11 x
2
 16x + 60 = (x  6) · (x )
12 x
2
 14x + 45 = (x  5) · (x ) 13 u
2
 u  90 = (u  10) · (u )
14 x
2
 6x +9=(x  3) · (x ) 15 u
2
+ 12u + 32 = (u + 4) · (u )
16 u
2
+ 12u + 20 = (u + 2) · (u ) 17 a
2
 a  12 = (a + 3) · (a )
18 a
2
+2a  15 = (a  3) · (a ) 19 x
2
 7x + 10 = (x  5) · (x )
3
2015-01-01
Ergänze folgende Binome sodaß die Gleichung erfüllt ist.
20 a
2
+ 10a + 21 = (a ) · (a ) 21 x
2
 7x + 10 = (x ) · (x )
22 u
2
 36 = (u ) · (u ) 23 u
2
+2u  15 = (u ) · (u )
24 x
2
+ 13x + 42 = (x ) · (x ) 25 u
2
 7u  30 = (u ) · (u )
1.1.3 Anwendung der Binomischen Formeln
4
2015-01-01
Folgende Terme sind nur mit Hilfe der binomischen Formeln zu berechnen:
26 (u  8)
2
27 (a  7)
2
28 (x  4)
2
29 (u + 6)
2
30 (5x +8y)
2
31 (5u +8v)
2
32 (7u +4v)
2
33 (5a +5b)
2
34 (3a  3b)(3a+3b)
35 (10u  3v ) (10u +3v) 36 (3u  6v )(3u +6v) 37 (5x  3y )(5x +3y)
2
1.1 Rechnen mit Termen
1.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-03
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (a  3) · (a  4) 2 (u  6) · (u + 2) 3 (x  10) · (x + 6)
4 (x + 9) · (x + 7) 5 (u  6) · (u  6) 6 (9a  2) · (8a  2)
7 (3x + 7) · (6x  4) 8 (2x + 5) · (6x  10) 9 (4a + 6) · (10a  7)
1.1.2 Zerlegung von Termen in ein Pro dukt aus zwei Binomen
2
2015-01-03
Ergänze folgende Binome sodaß die Gleichung erfüllt ist.
10 u
2
+ 15u + 50 = (u + 5) · (u ) 11 x
2
 x  56 = (x  8) · (x )
12 u
2
+ 11u + 30 = (u + 5) · (u ) 13 x
2
 9=(x  3) · (x )
14 x
2
 18x + 80 = (x  10) · (x ) 15 u
2
 81 = (u  9) · (u )
16 x
2
 10x + 16 = (x  8) · (x ) 17 x
2
 100 = (x + 10) · (x )
18 u
2
+ 12u + 20 = (u + 10) · (u ) 19 u
2
 2u  80 = (u + 8) · (u )
3
2015-01-03
Ergänze folgende Binome sodaß die Gleichung erfüllt ist.
20 a
2
 8a  20 = (a ) · (a ) 21 u
2
 14u + 40 = (u ) · (u )
22 a
2
 13a + 42 = (a ) · (a ) 23 u
2
+ 12u + 32 = (u ) · (u )
24 x
2
+ 14x + 48 = (x ) · (x ) 25 u
2
+ 16u + 63 = (u ) · (u )
1.1.3 Anwendung der Binomischen Formeln
4
2015-01-03
Folgende Terme sind nur mit Hilfe der binomischen Formeln zu berechnen:
26 (a + 6)
2
27 (x  10)
2
28 (x + 8)
2
29 (x + 6)
2
30 (3x +3y)
2
31 (10a +4b)
2
32 (2x +5y)
2
33 (10a +3b)
2
34 (6a  7b)(6a+7b)
35 (7x  3y )(7x +3y) 36 (3u  4v)(3u +4v) 37 (9a  7b)(9a +7b)
3
1.1 Rechnen mit Termen
1.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-02
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (u + 4) · (u  8) 2 (a + 4) · (a + 4) 3 (a  5) · (a + 8)
4 (x + 9) · (x  3) 5 (u + 9) · (u  5) 6 (8x  2) · (4x + 5)
7 (2u + 10) · (3u  6) 8 (4x + 10) · (4x + 9) 9 (9a  8) · (9a + 3)
1.1.2 Zerlegung von Termen in ein Pro dukt aus zwei Binomen
2
2015-01-02
Ergänze folgende Binome sodaß die Gleichung erfüllt ist.
10 x
2
 3x  40 = (x  8) · (x ) 11 u
2
 12u + 32 = (u  4) · (u )
12 x
2
 16 = (x  4) · (x ) 13 x
2
+ x  30 = (x + 6) · (x )
14 x
2
+ 16x + 60 = (x + 6) · (x ) 15 u
2
 13u + 40 = (u  8) · (u )
16 x
2
 5x  24 = (x + 3) · (x ) 17 a
2
 5a +6 =(a  3) · (a )
18 x
2
 20x + 100 = (x  10) · (x ) 19 u
2
+ u  20 = (u  4) · (u )
3
2015-01-02
Ergänze folgende Binome sodaß die Gleichung erfüllt ist.
20 a
2
 11a + 18 = (a ) · (a ) 21 u
2
 18u + 80 = (u ) · (u )
22 u
2
+ 11u + 18 = (u ) · (u ) 23 x
2
 16 = (x ) · (x )
24 x
2
 19x + 90 = (x ) · (x ) 25 x
2
+8x  20 = (x ) · (x )
1.1.3 Anwendung der Binomischen Formeln
4
2015-01-02
Folgende Terme sind nur mit Hilfe der binomischen Formeln zu berechnen:
26 (u  9)
2
27 (x  2)
2
28 (x + 7)
2
29 (x + 9)
2
30 (8a + 10b)
2
31 (5x +7y)
2
32 (7x +3y)
2
33 (8a +2b)
2
34 (2x  2y )(2x +2y)
35 (6u  3v )(6u +3v) 36 (7a  4b)(7a+4b) 37 (4x  7y)(4x +7y)
3
Aufgabe 2
Differenzenquotient
2
2015-12-20
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.
AN 1.3
AN 1.3 1012
Die Funktionsgleichung lautet f (x)=0,6x
2
 6x + 18.
0
x
3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
f
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
f (x)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an, die für die gegebene Funktion zutreffend ist (sind)!
Die momentane Änderungsrate an der Stelle
x
5
=
9
ist größer als
die momentane Änderungsrate an der Stelle x
4
=8.
Die Steigung der Sekante durch die Punkte
P
1
und
P
5
ist größer
als die momentane Änderungsrate an der Stelle x
2
=5
Die mittlere Änderungsrate in den Intervallen
[4; 9]
und
[3; 10]
ist gleich groß.
Die momentane Änderungsrate an der Stelle
x
3
=
6,5
hat den
Wert 1,8.
Die absolute Änderung in den Intervallen
[5; 8]
und
[9; 10]
ist
gleich groß.
7
Aufgabe 1
Differenzenquotient
1
2015-12-31
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.
AN 1.3
AN 1.3 1012
Die Funktionsgleichung lautet f (x)=0,3x
2
 2,4x  5,8.
0
x
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4
f
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
f (x)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an, die für die gegebene Funktion zutreffend ist (sind)!
Die momentane Änderungsrate an der Stelle
x
3
=
2,5
hat den
Wert 0,6.
Die momentane Änderungsrate an der Stelle
x
5
=
0
ist kleiner als
die momentane Änderungsrate an der Stelle x
4
= 1.
Die Steigung der Sekante durch die Punkte
P
0
und
P
6
ist größer
als die momentanen Änderungsrate an der Stelle x
3
= 2,5
Die mittlere Änderungsrate in den Intervallen
[5; 0]
und
[6; 1]
ist gleich groß.
Die Steigung der Sekante durch die Punkte
P
1
und
P
5
ist gleich
der momentanen Änderungsrate an der Stelle x
2
= 4
6
Aufgabe 10
Eigenschaften von Funktionen
10
2015-12-20
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.
AN 3.3
AN 3.3 1013
Von einer Funktion sind die beiden Extrempunkte
P
1
und
P
5
, zwei Wendepunkte
P
2
und
P
4
und ein Sattelpunkt
P
3
gegeben.
0
x
f
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
f
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie jene beiden zutreffenden Aussagen an!
f
00
(x
3
)=0
f
0
(x
3
) > 0
f
0
(x
1
)=0
f
0
(x
5
) > 0
f
00
(x
4
) > 0
15
Aufgabe 10
Eigenschaften von Funktionen
10
2015-12-25
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.
AN 3.3
AN 3.3 1013
Von einer Funktion sind drei Extrempunkte P
1
, P
3
und P
5
und zwei Wendepunkte P
2
und P
4
gegeben.
0
x
f
P
0
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
f
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
f
0
(x
2
) < 0
f
0
(x
3
) > 0
f
0
(x
4
) > 0
f
00
(x
3
)=0
f
0
(x
5
) < 0
f
0
(x
1
)=0
15
2.1 Rechnen mit Termen
2.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-03
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (a  3) · (a  4)
Produkt zweier Binome:
1
a + (3) ) · ( a + (4)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
(4) · a +
3
˙ ˝¸ ˚
(3) · a +
4
˙ ˝¸ ˚
(3) · (4) =
=
1
2
3
4
a
2
 4 · a  3 · a + 12 =
= a
2
 4a  3a + 12 = a
2
 7a + 12
2 (u  6) · (u + 2)
Produkt zweier Binome:
1
u + (6) ) · ( u + 2
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
u · u +
2
˙ ˝¸ ˚
2 · u +
3
˙ ˝¸ ˚
(6) · u +
4
˙ ˝¸ ˚
(6) · 2 =
=
1
2
3
4
u
2
+2· u  6 · u  12 =
= u
2
+2u  6u  12 = u
2
 4u  12
3 (x  10) · (x + 6)
Produkt zweier Binome:
1
x + (10) ) · ( x + 6
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
6 · x +
3
˙ ˝¸ ˚
(10) · x +
4
˙ ˝¸ ˚
(10) · 6 =
=
1
2
3
4
x
2
+6· x  10 · x  60 =
= x
2
+6x  10x  60 = x
2
 4x  60
4 (x + 9) · (x + 7)
Produkt zweier Binome:
1
x + 9 ) · ( x + 7
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
7 · x +
3
˙ ˝¸ ˚
9 · x +
4
˙ ˝¸ ˚
9 · 7 =
=
1
2
3
4
x
2
+7· x +9· x + 63 =
= x
2
+7x +9x + 63 = x
2
+ 16x + 63
7
2.1 Rechnen mit Termen
2.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-01
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (x  8) · (x + 8)
Produkt zweier Binome:
1
x + (8) ) · ( x + 8
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
8 · x +
3
˙ ˝¸ ˚
(8) · x +
4
˙ ˝¸ ˚
(8) · 8 =
=
1
2
3
4
x
2
+8· x  8 · x  64 =
= x
2
+8x  8x  64 = x
2
 64
2 (a  6) · (a  8)
Produkt zweier Binome:
1
a + (6) ) · ( a + (8)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
(8) · a +
3
˙ ˝¸ ˚
(6) · a +
4
˙ ˝¸ ˚
(6) · (8) =
=
1
2
3
4
a
2
 8 · a  6 · a + 48 =
= a
2
 8a  6a + 48 = a
2
 14a + 48
3 (u  3) · (u  9)
Produkt zweier Binome:
1
u + (3) ) · ( u + (9)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
u · u +
2
˙ ˝¸ ˚
(9) · u +
3
˙ ˝¸ ˚
(3) · u +
4
˙ ˝¸ ˚
(3) · (9) =
=
1
2
3
4
u
2
 9 · u  3 · u + 27 =
= u
2
 9u  3u + 27 = u
2
 12u + 27
4 (x  2) · (x  10)
Produkt zweier Binome:
1
x + (2) ) · ( x + (10)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
(10) · x +
3
˙ ˝¸ ˚
(2) · x +
4
˙ ˝¸ ˚
(2) · (10) =
=
1
2
3
4
x
2
 10 · x  2 · x + 20 =
= x
2
 10x  2x + 20 = x
2
 12x + 20
6
2.1 Rechnen mit Termen
2.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-02
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (u + 4) · (u  8)
Produkt zweier Binome:
1
u + 4 ) · ( u + (8)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
u · u +
2
˙ ˝¸ ˚
(8) · u +
3
˙ ˝¸ ˚
4 · u +
4
˙ ˝¸ ˚
4 · (8) =
=
1
2
3
4
u
2
 8 · u +4· u  32 =
= u
2
 8u +4u  32 = u
2
 4u  32
2 (a + 4) · (a + 4)
Produkt zweier Binome:
1
a + 4 ) · ( a + 4
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
4 · a +
3
˙ ˝¸ ˚
4 · a +
4
˙ ˝¸ ˚
4 · 4 =
=
1
2
3
4
a
2
+4· a +4· a + 16 =
= a
2
+4a +4a + 16 = a
2
+8a + 16
3 (a  5) · (a + 8)
Produkt zweier Binome:
1
a + (5) ) · ( a + 8
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
8 · a +
3
˙ ˝¸ ˚
(5) · a +
4
˙ ˝¸ ˚
(5) · 8 =
=
1
2
3
4
a
2
+8· a  5 · a  40 =
= a
2
+8a  5a  40 = a
2
+3a  40
4 (x + 9) · (x  3)
Produkt zweier Binome:
1
x + 9 ) · ( x + (3)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
(3) · x +
3
˙ ˝¸ ˚
9 · x +
4
˙ ˝¸ ˚
9 · (3) =
=
1
2
3
4
x
2
 3 · x +9· x  27 =
= x
2
 3x +9x  27 = x
2
+6x  27
7
2.1 Rechnen mit Termen
2.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-01
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (x  8) · (x + 8)
Produkt zweier Binome:
1
x + (8) ) · ( x + 8
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
8 · x +
3
˙ ˝¸ ˚
(8) · x +
4
˙ ˝¸ ˚
(8) · 8 =
=
1
2
3
4
x
2
+8· x  8 · x  64 =
= x
2
+8x  8x  64 = x
2
 64
2 (a  6) · (a  8)
Produkt zweier Binome:
1
a + (6) ) · ( a + (8)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
(8) · a +
3
˙ ˝¸ ˚
(6) · a +
4
˙ ˝¸ ˚
(6) · (8) =
=
1
2
3
4
a
2
 8 · a  6 · a + 48 =
= a
2
 8a  6a + 48 = a
2
 14a + 48
3 (u  3) · (u  9)
Produkt zweier Binome:
1
u + (3) ) · ( u + (9)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
u · u +
2
˙ ˝¸ ˚
(9) · u +
3
˙ ˝¸ ˚
(3) · u +
4
˙ ˝¸ ˚
(3) · (9) =
=
1
2
3
4
u
2
 9 · u  3 · u + 27 =
= u
2
 9u  3u + 27 = u
2
 12u + 27
4 (x  2) · (x  10)
Produkt zweier Binome:
1
x + (2) ) · ( x + (10)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
(10) · x +
3
˙ ˝¸ ˚
(2) · x +
4
˙ ˝¸ ˚
(2) · (10) =
=
1
2
3
4
x
2
 10 · x  2 · x + 20 =
= x
2
 10x  2x + 20 = x
2
 12x + 20
6
2.1 Rechnen mit Termen
2.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-03
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (a  3) · (a  4)
Produkt zweier Binome:
1
a + (3) ) · ( a + (4)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
(4) · a +
3
˙ ˝¸ ˚
(3) · a +
4
˙ ˝¸ ˚
(3) · (4) =
=
1
2
3
4
a
2
 4 · a  3 · a + 12 =
= a
2
 4a  3a + 12 = a
2
 7a + 12
2 (u  6) · (u + 2)
Produkt zweier Binome:
1
u + (6) ) · ( u + 2
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
u · u +
2
˙ ˝¸ ˚
2 · u +
3
˙ ˝¸ ˚
(6) · u +
4
˙ ˝¸ ˚
(6) · 2 =
=
1
2
3
4
u
2
+2· u  6 · u  12 =
= u
2
+2u  6u  12 = u
2
 4u  12
3 (x  10) · (x + 6)
Produkt zweier Binome:
1
x + (10) ) · ( x + 6
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
6 · x +
3
˙ ˝¸ ˚
(10) · x +
4
˙ ˝¸ ˚
(10) · 6 =
=
1
2
3
4
x
2
+6· x  10 · x  60 =
= x
2
+6x  10x  60 = x
2
 4x  60
4 (x + 9) · (x + 7)
Produkt zweier Binome:
1
x + 9 ) · ( x + 7
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
7 · x +
3
˙ ˝¸ ˚
9 · x +
4
˙ ˝¸ ˚
9 · 7 =
=
1
2
3
4
x
2
+7· x +9· x + 63 =
= x
2
+7x +9x + 63 = x
2
+ 16x + 63
7
2.1 Rechnen mit Termen
2.1.1 Multiplikation von Binomen
1
2015-01-02
Folgende Binome sind zu multiplizieren (Hinweis: Achte auf das Vorzeichen):
1 (u + 4) · (u  8)
Produkt zweier Binome:
1
u + 4 ) · ( u + (8)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
u · u +
2
˙ ˝¸ ˚
(8) · u +
3
˙ ˝¸ ˚
4 · u +
4
˙ ˝¸ ˚
4 · (8) =
=
1
2
3
4
u
2
 8 · u +4· u  32 =
= u
2
 8u +4u  32 = u
2
 4u  32
2 (a + 4) · (a + 4)
Produkt zweier Binome:
1
a + 4 ) · ( a + 4
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
4 · a +
3
˙ ˝¸ ˚
4 · a +
4
˙ ˝¸ ˚
4 · 4 =
=
1
2
3
4
a
2
+4· a +4· a + 16 =
= a
2
+4a +4a + 16 = a
2
+8a + 16
3 (a  5) · (a + 8)
Produkt zweier Binome:
1
a + (5) ) · ( a + 8
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
a · a +
2
˙ ˝¸ ˚
8 · a +
3
˙ ˝¸ ˚
(5) · a +
4
˙ ˝¸ ˚
(5) · 8 =
=
1
2
3
4
a
2
+8· a  5 · a  40 =
= a
2
+8a  5a  40 = a
2
+3a  40
4 (x + 9) · (x  3)
Produkt zweier Binome:
1
x + 9 ) · ( x + (3)
2
=
1
˙ ˝¸ ˚
x · x +
2
˙ ˝¸ ˚
(3) · x +
3
˙ ˝¸ ˚
9 · x +
4
˙ ˝¸ ˚
9 · (3) =
=
1
2
3
4
x
2
 3 · x +9· x  27 =
= x
2
 3x +9x  27 = x
2
+6x  27
7

5
Didaktischer Einsatz aus Lehrendensicht
Im Folgenden wird ein typisches Einsatzszenario mit Tablet und Stift in Kombination mit
einem Beamer verwendet. Für die Vorbereitung des Unterrichts dient dabei ein PC.
Im Unterricht hat sich das iPad Pro in Kombination mit Apple Pencil und der Software MS
OneNote sehr bewährt. Anstatt auf der Tafel wird auf dem Tablet geschrieben. Die Inhalte
werden dabei mit einem Beamer auf eine Leinwand projiziert. Die Schülerinnen und Schüler
können damit sehr leicht die z.B. schrittweise Entwicklung einer Formel oder die Berechnung
der Lösung einer Aufgabe verfolgen.
Beispielhafte Unterrichtsvorbereitung
Ein Teil der Unterrichtsvorbereitung beinhaltet auch, geeignete Übungsbeispiele für den
Unterricht auszuwählen. Hierzu können für den Unterricht in MS OneNote verschiedene
Abschnitte je Themenbereicht angelegt werden.
Im konkreten Fall wählt man z.B. im Abschnitt Finanzmathematik die Seite
Einfache Verzinsung und kann nun eine Seite aus der Lernunterlage von neo-Lernhilfen mit
dem Thema Einfache Verzinsung mit Drag & Drop in den ausgewählten Bereich von
MS OneNote einfügen.
Abbildung 7: Einfügen einer Seite in MS OneNote mit Drag & Drop
Beispielhafter didaktischer Einsatz im Unterricht
Da die Inhalte von MS OneNote mit allen registrierten Endgeräten synchronisiert werden, kann
man nun im Unterricht via iPad auf die Inhalte der Vorbereitung zugreifen. Das Arbeiten mit
dem Tablet bietet im Vergleich zur Schultafel durchaus auch Vorteile:

6
• Einfache Korrektur von Fehler (Rückgängig)
• Konsequentere Auswahl von Farben
• Verschiedene Auswahl an Stiften
• Einfache Verwendung eines Markers
• Zeichenhilfe für geometrische Objekte (Rechteck, Oval)
• Das Handling mit Stift ist mittelfristig angenehmer als mit Kreide oder Marker
Abbildung 8: Arbeiten mit iPad Pro und MS OneNote
Beispiele aus dem Bereich Grundkompetenzen bzw. Zentralmatura können dazu verwendet
werden um Zusammenhänge zu diskutieren.
Abbildung 9: Arbeiten mit dem iPad Pro - Grundkompetenzaufgabe

7
Unterstützung der Schülerinnen und Schüler
Lernen ist ein selbständiger Prozess der von keinem Lehrenden abgenommen werden kann. Die
Rolle des Lehrerenden beschränkt sich auf die Rolle eines Mentors, d.h. er kann den
Schülerinnen und Schülern beim Lernen helfen und sie eben gezielt unterstützt. Insbesondere
in der Mathematik sind sowohl einerseits eine gewisse Routine beim Rechnen als auch
anderseits ein Verstehen der Zusammenhänge wesentliche Elemente des erfolgreichen Lernens.
Verwendung der Lernunterlagen aus dem Bereich Übungsbeispiele
Mit den Übungsbeispielen können Schülerinnen und Schüler durch regelmäßiges Üben für
einen bestimmten Themenbereich – z.B. Brüche, Potenzen – sich die notwendige Routine
erarbeiten.
Abbildung 10: Regelmäßiges Üben (Printversion)
Die Übungsbeispiele im PDF-Format können ausgedruckt werden und im konventionellen Sinn
mit Bleistift und Radiergummi bearbeitet werden. Es ist aber auch möglich die Unterlagen in
Kombination mit einem Tablet o.ä. zu verwenden. Hierbei kann direkt auf dem Tablet
gearbeitet werden.

8
Abbildung 11: Üben auf einem iPad Pro – SplitScreen (Digitale Version)
Verwendung der Lernunterlagen aus den Bereichen Grundkompetenzen
Der Katalog der Grundkompetenzen ist entsprechend dem österr. Bildungsauftrag an
„Allgemein bildenden höheren Schulen (AHS)“ strukturiert und beinhaltet die Themenbereiche
Algebra und Geometrie (AG), Funktionale Abhängigkeiten (FA), Analysis (AN) und
Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS). Für die Lösung der Aufgaben können entsprechend den
Bildungsstandards acht verschiedene Antwortformate (Offenes-, halboffenes Antwortformat,
Lückentext, Multiple-Choice-Aufgaben, ...) generiert werden (https://www.bifie.at/node/1442).
Mit den Beispielen aus dem Bereich Grundkompetenzen kann eine Schülerin bzw. ein Schüler
sein Verständnis zu einem bestimmten Themenbereich kontrollieren.

9
Abbildung 12: Beispiele aus dem Bereich Grundkompetenzen
Zukunftsperspektiven
Die hier vorgestellte technische Entwicklung zeigt die zukünftige Stoßrichtung des Unterrichts
auf, nämlich jene des individualisierten Unterrichts. Nötige Übungsbeispiel können je nach
Bedarf generiert werden und stehen in beliebiger großer Zahl zur Verfügung. Überspitzt
formuliert könnte man behaupten, dass jede Schülerin und Schüler sein persönliches Schulbuch
bekommt. Durch die vorhanden Lösungswege ist das Lernen gleichzeitig leicht anleitbar. In der
beschriebenen Kombinationen mit Tablet und Stifteingabe ist auch der fortschreitenden
Digitalisierung Rechnung getragen. Die ersten Einsätze in der Schulpraxis zeigen gute und
zufriedenstellende Ergebnisse. Insbesonders ist die Einfachheit im Umgang mit diesen digitalen
Inhalten sowohl in der Lehre oder beim Lernen beeindruckend und konkurrenziert nicht die
derzeitigige Lehr- und Lernsituation. Vielmehr wird der Einsatz der digitalen Technologien
fließend und tritt in den Hintergrund. Dies wird heute in der Forschung als seamless learning
bezeichnet.
Schlussendlich sehen wir aber noch viel Forschungsbedarf. So liegt natürlich nahe, solche
Beispiele im Rahmen von e-Assignments einzusetzen, inl. deren Archivierung.
Selbstverständlich bestünde auch die Möglichkeit indivivueller Überprüfungen / Tests indem
diese ebenfalls automatisch generiert werden. Auf der anderen Seite muss über die
Unterrichtsgestaltung nachgedacht werden, wenn jeder Lernende über andere Beispiele verfügt.
Hier scheinen Konzepte wie flipped classroom eventuell vielversprechend, eben solche die den
Übungsteil der Lehre stark in die Präsenz legen. Individualisierung bedeutet letztendlich in
einem gewissen Maße auch individuelle Betreeung. In Zusammenarbeit mit Learning Analytics
könnten sich hier aber generell neue Erkenntnisse für die Lehr- und Lernforschung ergeben. An
diesen und weiteren Themen, wie z.B. die Erarbeitung von möglichen Geschäftsmodellen, wird
derzeit an der Technsichen Universität Graz geforscht und die vorgestellte Applikation
weiterentwickelt.
Aufgabe 2
Steigung einer linearen Funktion
2
2015-12-31
Lineare Funktionen können auf verschiedene Weise dargestellt werden.
FA 2 .2
FA2.2 1001
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die
zutreffende
Darstellung an, bei der die Steigung der dargestellten linearen Funktion den
Wert k =2annimmt!
x
r(x)
5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
l(x )=
8+4x
2
f (x )=4  2x
x
p(x)
4
4,0
6
8,0
10
16,0
x
h(x)
0
4,0
2
0,0
4
4,0
x
m(x)
5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
7
Aufgabe 4
Potenzfunktionen
4
2015-12-31
Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von Potenzfunktionen.
FA 3 .1
FA3.1 1001
Die grafische Darstellung der abgebildeten Potenzfunktionen enthalten alle Pol- und Nullstellen.
Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Graphen einer Potenzfunktion jeweils die entsprechende Funktionsgleichungen zu.
0
x
4 3 2 1
1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
F
0
x
4 3 2 1
1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
E
0
x
2 1
1 2 3 4 5 6
4
3
2
1
1
2
3
4
B
0
x
2 1
1 2 3 4 5 6
4
3
2
1
1
2
3
4
C
A
Die Potenzfunktion hat die Funktions-
gleichung f(x)= (x + 1)
2
.
B
Die Potenzfunktion hat die Funktions-
gleichung f(x)=x  2.
C
Die Potenzfunktion hat die Funktions-
gleichung f(x)=
1
(x  2)
3
.
D
Die Potenzfunktion hat die Funktions-
gleichung f(x)=
1
(x  1)
2
.
E
Die Potenzfunktion hat die Funktions-
gleichung f(x)=
1
x
3
.
F
Die Potenzfunktion hat die Funktions-
gleichung f(x)=
1
x
2
.
9
Aufgabe 6
Quadratische Funktionen
6
2015-12-31
Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von quadratischen Funktionen.
FA 4 .1
FA 4. 1 10 02
0
x
1
1 2 3 4 5 6 7
5
4
3
2
1
1
2
3
Aufgabenstellung
Berechne die Koeffizienten a, b und c und gib die Funktionsgleichung f(x) an!
11
Aufgabe 11
Trigonometrische Funktion
11
2015-12-31
Gegeben ist der Graph einer trigonometrischen Funktionen.
FA 6 .2
FA6.2 1001
Die Funktion f hat die Funktionsgleichung f(x)=2· sin
1
x +
⇡
2
2
.
0
xx
f (x )
2 · sin
1
x +
⇡
2
2
Aufgabenstellung
Beschriften Sie im Diagramm die Koordinatenachsen so, dass die grafische Darstellung mit der gegebenen
Funktionsgleichung übereinstimmt. Die Beschriftung beider Achsen muss dabei mindesten zwei Werte umfassen!
16