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Verfahren zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen.

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Die qualitative Bewertung eines Messprozesses erfolgt bei allen messenden Fachdisziplinen durch die Zuordnung einer Messunsicherheit. Das allgemeine Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz findet hierbei in der Geodäsie breite Anwendung. Bei nicht-linearen Problemen werden zur Abschätzung des Unsicherheitsbudgets vermehrt auch Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt. Die Einführung des Leitfadens zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM) hat zu einer Sensibilisierung und kritischen Auseinandersetzung mit der Bestimmung von Unsicherheiten in der Metrologie beigetragen. Während das Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz strenggenommen nur bei linearen Problemen zu korrekten Ergebnissen führt, benötigt die Monte-Carlo-Simulation eine hohe Rechnerleistung um korrekte Resultate zu erzielen. In diesem Beitrag werden Verfahren zur nicht-linearen Transformation von Parametern und Unsicherheiten vorgestellt und an ausgewählten Fall-beispielen miteinander verglichen.
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274
Verfahren zur Transformation von Parametern und
Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen
Michael LÖSLER, Hermann BÄHR und Thomas ULRICH
Zusammenfassung
Die qualitative Bewertung eines Messprozesses erfolgt bei allen messenden Fachdisziplinen
durch die Zuordnung einer Messunsicherheit. Das allgemeine Varianz-Kovarianz-
Fortpflanzungsgesetz findet hierbei in der Geodäsie breite Anwendung. Bei nicht-linearen
Problemen werden zur Abschätzung des Unsicherheitsbudgets vermehrt auch Monte-Carlo-
Simulationen eingesetzt. Die Einführung des Leitfadens zur Angabe der Unsicherheit beim
Messen (GUM) hat zu einer Sensibilisierung und kritischen Auseinandersetzung mit der
Bestimmung von Unsicherheiten in der Metrologie beigetragen. Während das Varianz-
Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz strenggenommen nur bei linearen Problemen zu korrekten
Ergebnissen führt, benötigt die Monte-Carlo-Simulation eine hohe Rechnerleistung um
korrekte Resultate zu erzielen. In diesem Beitrag werden Verfahren zur nicht-linearen
Transformation von Parametern und Unsicherheiten vorgestellt und an ausgewählten Fall-
beispielen miteinander verglichen.
1 Transformation bei nicht-linearen Zusammenhägen
Die vollständige Beschreibung eines Mess- und Auswerteprozesses umfasst neben der
Ergebnispräsentation auch eine transparente und sachlogische Darstellung der Unsicherhei-
ten. Unter dem Begriff der (Mess-)Unsicherheit versteht der GUM hierbei einen Parameter,
der der Messgröße vernünftigerweise zugeordnet werden kann und die Streuung des Mess-
ergebnisses charakterisiert (vgl. JCGM 100:2008). Neben der Quantifizierung der Einfluss-
größen, die auf den Messprozess limitierend wirken, ist auf eine möglichst verlustfreie
Zusammenführung dieser Größen zu achten, insbesondere wenn es sich um einen nicht-
linearen Zusammenhang handelt. In der Geodäsie wird fast ausnahmslos das allgemeine
Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz propagiert (z.B. JÄGER ET AL. 2005, NIEMEI-
ER 2008). Die Approximation des funktionalen Zusammenhangs
, mit

, erfolgt hierbei durch eine Taylorreihenentwicklung. Für einen Entwick-
lungsgrad von ergibt sich die Reihe zu (vgl. GUSTAFSSON 2000, S. 314)
 
  
 
  
 
(1)
worin und die Jacobi- bzw. Hesse-Matrix mit den ersten bzw. zweiten partiellen Ablei-
tungen an der Stelle
beschreiben
1
. Kann mit ein hinreichend linearer Zusammen-
hang unterstellt werden, so erfolgt häufig ein Abbruch in Gl (1) bereits nach dem linearen
Glied. Dies führt unmittelbar auf das allgemeine Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz
(vgl. JÄGER ET AL. 2005), welches im Kontext des GUM auch als Unsicherheitsfortpflan-
1
Der Ausdruck


bezeichnet eine Matrix, dessen
-tes Element

ist.
Zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen 275
zungsgesetz (UP1; eng. (First Order) Uncertainty Propagation) bezeichnet wird (vgl. JCGM
100:2008). Der Erwartungswert
und dessen Unsicherheiten
ergeben sich dann be-
kanntermaßen zu
, (2a)

. (2b)
Erscheint ein Abbruch der Taylorreihe nach dem linearen Glied ungerechtfertigt, weil der
funktionale Zusammenhang nicht (hinreichend) linear ist und somit , führen die
Gl (2a) und (2b) zu einer verzerrten Schätzung (vgl. LERRO & BAR-SHALOM 1993; MANO-
LAKIS 2011). Eine Berücksichtigung von liefert (z.B. ATHANS 1968; GUSTAFSSON 2000,
S. 318)

, (3a)




. (3b)
Das Maß der Verzerrung kann leicht durch einen Vergleich der Gl (2a) und (3a) bzw. (2b)
und (3b) abgelesen werden. Deutlich wird, dass sich nicht nur das Konfidenzintervall und
somit die Unsicherheiten sondern auch der Erwartungswert ändern. Die Berücksichtigung
der zweiten partiellen Ableitung bei der Transformation wird nachfolgend mit UP2 (eng.
Second Order Uncertainty Propagation) bezeichnet.
Während beide Verfahren die Funktion
durch eine Approximation mittels Taylor-
reihenentwicklung beschreiben, welche u.U. komplexe partielle Ableitungen benötigen,
lassen sich Erwartungswerte und Unsicherheiten auch aus unabhängigen Wiederholun-
gen eines Zufallsexperimentes ableiten


, (4a)


 

 

(4b)
wenn (z.B. JCGM 101:2008). In der messtechnischen Praxis wird diese intuitive
Vorgehensweise schon aus ökonomischen Gründen keine Anwendung finden, jedoch lässt
sich die grundlegende Idee leicht abstrahieren. Die Monte-Carlo-Simulation (MCS) ist ein
numerisches Verfahren, welches unter Verwendung von geeigneten Zufallszahlen die
Gl (4a) und (4b) löst, indem das Zufallsexperiment -mal simuliert wird, wobei z.B.

gewählt wird. Im Gegensatz zur Taylorreihenentwicklung sind Linearisie-
rungsfehler ausgeschlossen, da keine partiellen Ableitungen benötigt werden. Dennoch
benötigt die Monte-Carlo-Simulation u.U. eine lange Laufzeit um einen genügend großen
Stichprobenumfang zu generieren und Gl (4a) bzw. (4b) zuverlässig zu lösen
(vgl. SCHWEITZER & SCHWIEGER 2015).
Die sogenannte Unscented Transformation (UT) ist ein von JULIER & UHLMANN (1997A)
vorgeschlagenes Approximationsverfahren zur Transformation von Unsicherheiten, wel-
ches insbesondere bei Echtzeitanwendungen wie bspw. dem Kalman Filter eingesetzt wird
(z.B. JULIER & UHLMANN 2004; GUSTAFSSON & HENDEBY 2008). Analog zur MCS benö-
tigt dieses Verfahren keine partiellen Ableitungen sondern leitet
und
aus einer syn-
thetischen Stichprobe ab. Im Gegensatz zur MCS erfolgt die Transformation jedoch nicht
durch eine -fache zufällige Stichprobe sondern durch eine diskretisierte Menge neuralgi-
scher Punkte, die häufig als -Punkte bezeichnet werden. Die Anzahl der benötigten
276 M. Lösler, H. Bähr und T. Ulrich
-Punkte ergibt sich aus der Dimension des Vektors
und beträgt lediglich  .
Jedem -Punkt
ist ferner ein korrespondierendes Gewicht
zugeordnet, wobei
gilt.

 
 


 
 


(5)
mit
 
 . Hierin beschreibt die Streuung der -Punkte und ist eine zu-
sätzliche Tuningkonstante der sogenannten modifizierten Unscented Transformation. Typi-
sche Werte für normalverteilte Eingangsgrößen sind 

und
(vgl. WAN & VAN DER MERWE 2000; JULIER 2002). Die Quadratwurzel
der Matrix
kann u.a. durch spektrale Zerlegung gewonnen werden (vgl. KANZOW 2005, S. 14). Eine
Transformation der nach Gl (5) ermittelten -Punkte liefert
, (6)
aus denen sich die gesuchten Zielgrößen
und
ergeben:


, (7a)

 

 


   

 

 
(7b)
worin für normalverteilte Eingangsgrößen zu wählen ist (JULIER 2002).
2 Anwendungsbeispiele
Um die o.g. vier Verfahren zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten besser
einordnen zu können, soll ihre Anwendung zunächst an zwei einfachen Beispielen in den
folgenden Kapiteln 2.1 und 2.2 demonstriert werden. Die Beispiele entstammen typischen
messtechnischen Aufgabenfeldern und sind aus didaktischen Gründen von geringer Kom-
plexität. Ferner wird im Abschnitt 2.3 ein Praxisbeispiel vorgestellt, welches zur Echtzeit-
bestimmung einer Trajektorie auf die Unscented Transformation zurückgreift.
2.1 Ermittlung eines Abstandsmaßes aus Koordinaten
Die Bestimmung der Länge eines Objektes oder des Abstandes zwischen Objekten gehört
im Bereich der Toleranz- und Qualitätsüberwachung zu den klassischen Aufgaben in der
industriellen Messtechnik. Kann das Istmaß nicht direkt beobachtet werden, sind indirekte
Verfahren einzusetzen und der Abstand bspw. aus Koordinaten abzuleiten
(z.B. HEUNECKE 2014). So setzten u.a. verschiedene Institutionen zur Sollstreckenbestim-
mung auf EDM-Kalibrierbasen Lasertracker ein. Da diese nicht direkt auf den Messpfeilern
zu zentrieren sind, erfolgt die Bestimmung der Pfeilerabstände auf der Basis von gemesse-
nen Koordinaten (z.B. HEUNECKE 2012; ESCHELBACH ET AL. 2015).
Zur Bestimmung eines horizontalen Abstandsmaßes
 
 
(8)
Zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen 277
liegen die Punkte
und
aus einer Messung vor. Die Ausrichtung
des Koordinatensystems ist so gewählt, dass der gesuchte Abstand in -Richtung verläuft.
Bei der Aufnahme wurde daher darauf geachtet, dass insbesondere diese Komponente mit
 eine hohe Sensitivität gegenüber
 aufweist. Abhängigkeiten
zwischen den Koordinatenkomponenten existieren nicht.
Tabelle 1: Ergebnisse der Abstandsbestimmung mit zugehörigen Unsicherheiten.
UP1
UP2
MCS
UT
Abstand
1,0000 m
1,0025 m
1,0025 m
1,0025 m
Unsicherheit
0,0141 m
0,0146 m
0,0145 m
0,0146 m
Tabelle 1 stellt die Ergebnisse der Abstandsbestimmung der vier Verfahren gegenüber. Die
MCS wurde mit einer Stichprobenanzahl von 
durchgeführt. Da dieses Verfahren
für gegen den wahren Wert strebt, kann dieser als Referenzlösung betrachtet wer-
den. Die ermittelten Unsicherheiten
aller vier Lösungen weisen vergleichbare Größen-
ordnungen auf, sodass für diese Konfiguration kein Verfahren zu bevorzugen wäre. Interes-
sant ist hingegen der Schätzwert für den Abstand . Gut zu erkennen ist, dass die Lösungen
von UP2 und UT denen der Referenzlösung der MCS entsprechen und lediglich die UP1-
Lösung abweicht und  kürzer ist.
Abb. 1:
Mittels MCS simulierte Punkte für
und
und exemplarisch dargestellte Strecken und
, deren Differenzen sich beim Mitteln auf-
heben, und eine merkmalsbestimmende Stre-
cke . Achsen ungleich skaliert.
Dass der Abstand größer als  sein muss, lässt sich für dieses Beispiel anhand der MCS
einfach veranschaulichen, siehe Abbildung 1. Durch die zufällig gewählten Positionen der
Punkte

und

ergeben sich zum einen Abstände (), die rzer sind als  aber
auch Entfernungen (), die größer sind. Während die Differenzen dieser Strecken sich beim
Mitteln durch Gl (4a) gegenseitig aufheben würden, entstehen zusätzlich noch Konfigurati-
onen (), die stets größer sind als  und kein entsprechend kürzeres Pendant aufweisen.
Der Effekt wird zusätzlich noch durch die Lage und Ausdehnung der Konfidenzbereiche
der Punkte verstärkt je größer hier das Verhältnis zwischen kleiner und großer Halbachse
ist, desto größer wird der Bias . Dies wird auch durch eine nähere Betrachtung der UP2-
Lösung ersichtlich. Der Bias , der durch den Linearisierungsfehler bei der UP1-Lösung
entsteht, wird fast vollständig durch die Berücksichtigung der Hesse-Matrix in Gl (3a)
kompensiert.
278 M. Lösler, H. Bähr und T. Ulrich




 
 
 (9)
In Gl (9) fließen bei der Bestimmung von  lediglich die Unsicherheiten der -
Komponenten der beiden Punkte ein. Je größer demnach die Unsicherheiten quer zur Stre-
cke werden, desto größer wird die Verzerrung .
Berücksichtigt man, dass bei der MCS die Schätzung von  nur aus den simulierten Stre-
cken resultiert, für die es kein entsprechendes Pendant gibt, so wird ungeachtet der Vor-
teile dieses Verfahrens die Laufzeitineffizienz der MCS deutlich. Eine Optimierung der
Laufzeit könnte demnach allein dadurch erreicht werden, dass nur die merkmalsbestim-
menden Strecken in Gl (4a) und (4b) verwendet werden. Wird zusätzlich auch die Ordnung
der stochastischen Momente beschränkt, welche durch das Verfahren approximiert werden
sollen, so lässt sich die Anzahl der notwendigen Wiederholungen weiter einschränken.
Abb. 2:
Konfidenzbereiche der Punkte
und
,
sowie die neuralgischen -Punkte der UT und
deren Transformation nach Gl (6). Zur Ver-
meidung von perspektivischen Überlagerun-
gen wurde der Punkt
versetzt dargestellt.
Ein praktisch anwendbares Verfahren ist die UT, die zur Bestimmung des Abstandes ledig-
lich   -Punkte benötigt. Abbildung 2 zeigt die neuralgischen Punkte der UT
nach Gl (5) und die daraus verwendeten Streckenkombinationen nach Gl (6). Um Überlage-
rungen der dargestellten Strecken
in der Abbildung zu vermeiden, wurde
im Plot
verschoben. Neben den Ellipsenzentren liegen die ausgewählten Punkte alle am Rand der
skalierten Konfidenzbereiche der Punkte, konfigurationsbedingt sogar an den jeweiligen
Extremstellen der Ellipsen. Die neun Strecken, die zur Bestimmung von in Gl (7a) ein-
fließen, beginnen stets im Zentrum einer Ellipse und somit direkt in
bzw.
. Hierdurch
gehen in Gl (7a) lediglich zwei Strecken ein, die kürzer als  sind.
2.2 Bestimmung kartesischer Koordinaten aus polaren Messelementen
Die Umwandlung von polaren Messelementen in kartesische Koordinaten gehört zu den
Standardverfahren in der Geodäsie und wird gelegentlich auch als erste geodätische Grund-
aufgabe bezeichnet. Die Relevanz der Umformung beruht vor allem auf der Tatsache, dass
vornehmlich Polarmessinstrumente wie Totalstationen, Laserscanner oder Lasertracker zur
Datenerhebung eingesetzt, Resultate zumeist jedoch in einem rechtwinkligen kartesischen
System gefordert werden. Bei der Auswertung von Laserscanner- und Lasertrackerdaten ist
es daher üblich, die polaren Messelemente direkt bei der Registrierung in kartesische Koor-
dinaten zu wandeln und dem Anwender für die weitere Verarbeitung zur Verfügung zu
Zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen 279
stellen. Das Anwendungsspektrum koordinatenbezogener Auswertestrategien ist vielfältig
und reichen von der Formanalyse bis hin zur Deformationsanalyse (z.B. AHN 2004,
MONSERRAT & CROSETTO 2008).
Die nicht-lineare Transformation zur Überführung von Polarelementen in ebene kartesische
Koordinaten lautet


, (10)
worin die horizontale Strecke und den Richtungswinkel bezeichnen. Sowohl die Stre-
cke als auch der Richtungswinkel entstammen idR. einer Messung und sind somit unwei-
gerlich mit verschiedenen Unsicherheiten behaftet. In Abhängigkeit vom Genauigkeitsver-
hältnis zwischen der Strecke und dem Richtungswinkel deformiert sich das Konfidenzin-
tervall. Während für
ein linienförmiges Intervall entsteht, verformt es sich für
zu einem kreisbogenförmigen Intervall. Abbildung 3 stellt die Änderungen des
resultierenden Konfidenzbereichs in Abhängigkeit des Verhältnisses
dar. Mit Hin-
blick auf Gl (4a) wird unmittelbar deutlich, dass die Lage des transformierten Erwartungs-
wertes ebenfalls variieren muss. Während für
die kartesische Koordinate im Zent-
rum des linienförmigen Intervalls liegt, rückt die Position mit genauer werdender Strecke
immer weiter Richtung Koordinatenursprung und liegt für
nicht mehr im Zentrum
der simulierten Punktwolke.
Abb. 3: Polares Konfidenzintervall in Abhängigkeit des Verhältnisses zwischen Stre-
cken- und Richtungswinkelunsicherheit. Die schwarz dargestellte Intervallgrenze
ergibt sich aus einer spektralen Zerlegung und die grauen Punkte entstammen ei-
ner MCS. Rot dargestellt ist der aus der MCS abgeleitete Schätzwert für die kar-
tesische Koordinate, der sich aus dem Mittelwert über alle Simulationen ergibt.
Tabelle 2 fasst die numerischen Ergebnisse einer Umwandlung nach Gl (10) von polaren
Elementen in kartesische Koordinaten zusammen, wobei die Streckenmessung gegenüber
der Richtungswinkelmessung als genauer angenommen wurde.
280 M. Lösler, H. Bähr und T. Ulrich
Analog zum Ergebnis in Abschnitt 2.1 sind die größten Differenzen in den UP1-
Ergebnissen zu erkennen, während UP2 und UT praktisch der MCS-Lösung entsprechen. In
den transformierten Unsicherheiten hingegen lassen sich scheinbar nur geringfüge Diffe-
renzen erkennen. Deutlicher wird der Unterschied, wenn die Ausrichtung der großen und
kleinen Halbachse der entstehenden Konfidenzellipse durch eine spektrale Zerlegung,
(z.B. JÄGER ET AL. 2005, S. 28)

, (11)
parallel zu den Achsen des gewählten Koordinatensystems liegen oder die entstehenden
Konfidenzellipsen geplottet werden.
Tabelle 2: Ergebnisse der Transformation der polaren Elemente ,
in
kartesische Koordinaten bei einer angenommen Messunsicherheit von
 und
.
UP1
UP2
MCS
UT








 
 
 
 
 
 
 
 








Abbildung 4 stellt die transformierten Lösungen graphisch gegenüber. Es ist deutlich zu
erkennen, dass nicht nur die Lage des transformierten Punktes sondern auch das zugehörige
Konfidenzintervall der UP1-Lösung von den übrigen Lösungen abweicht. Die Berücksich-
tigung der zweiten partiellen Ableitung führt auch bei diesem Extrembeispiel bereits auf
eine Lösung, die der MCS praktisch entspricht. Die Differenzen zwischen UT und UP2 sind
sehr gering und im signifikanten Stellenbereich nicht zu erkennen. Dies liegt vor allem
daran, dass die UT die UP2-Lösung approximiert (siehe auch GUSTAFS-
SON & HENDEBY 2008).
Das Konfidenzintervall der UP1-Lösung wird gegenüber den anderen drei Lösungen deut-
lich unterschätzt, was auch durch den minimalen Eigenwert in Tabelle 2 deutlich wird, der
fast eine Zehnerpotenz kleiner ist und zu einer sehr schnallen Konfidenzellipse führt, vgl.
Abbildung 4.
Anwendungen der UT finden sich in der industriellen Messtechnik sowohl im klassischen
statischen (z.B. Lösler et al. 2015) als auch im kinematischen Bereich bspw. im Zusam-
menhang mit einem Kalman-Filter. Diese Erweiterung des Filters wird hierbei häufig als
Unscented-Kalman-Filter bezeichnet (vgl. SIMON 2006). Insbesondere wenn die Genauig-
keit der Streckenmessung gegenüber der Winkelmessung deutlich höher ist, wie dies bspw.
im Radarbereich (z.B. LI ET AL. 2004) oder beim Einsatz eines Lasertrackers
(z.B. ULRICH 2013) der Fall ist, liefert das Unscented-Kalman-Filter gegenüber dem Exten-
ded-Kalman-Filter eine bessere Schätzung für die Parameter und deren Unsicherheiten
(vgl. JULIER & UHLMANN 1997B; SIMON 2006).
Zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen 281
Abb. 4: Gegenüberstellung der Konfidenzellipsen der Umformung von polaren Koordi-
naten in kartesische. Die Halbachsen der Ellipsen wurden aus Darstellungsgrün-
den mit  skaliert.
2.3 Bestimmung von Messunsicherheiten bei kinematischen Prozessen in
Echtzeit
Wie von ULRICH (2013) und ULRICH (2015) gezeigt, ist ein Bayes-Filter für die Bestim-
mung der Messunsicherheit von kinematischen Messungen in Echtzeit geeignet und kon-
form zum GUM. Ein besonderer Vorteil dabei ist, dass nicht-beobachtbare Größen zuver-
lässig geschätzt werden und so in die Bestimmung der Unsicherheit mit einfließen. Als
Beispiel kann hier die Beobachtung einer Industrieroboterbahn genannt werden, welche oft
mit einem Lasertracker oder photogrammetrischen System durchgeführt wird. Hierbei kann
aber z.B. nicht die Geschwindigkeit des Objektes direkt erfasst werden. Diese leistet jedoch
über eine imperfekte Synchronisierung einen Beitrag zur Messunsicherheit.
Die Schätzung nicht-beobachtbarer Größen hängt hauptsächlich von der korrekten Bewe-
gungsbeschreibung und deren mathematischen Modellierung ab. Da eine Roboterbewegung
in der Regel nicht auf nur ein Modell reduziert werden kann, werden von ULRICH (2013)
mehrere Modelle parallel in einem »Hybrid Estimator (HE)« zusammengefasst. Die nicht-
linearen Modelle wurden hierbei in einem Unscented-Kalman-Filter implementiert, um eine
möglichst gute Schätzung zu erhalten. In einem HE werden die einzelnen Modelle über ihre
Modellwahrscheinlichkeit bewertet, sodass Linearisierungsfehler zu vermeiden sind.
Abbildung 5 zeigt entlang eines Teils einer Testtrajektorie das Ergebnis der Zustandsschät-
zung eines HE im Vergleich mit einem herkömmlichen linearen Kalman-Filter Ansatz.
Hierbei handelt es sich um eine Trajektorie, die mit einem Leica Lasertracker AT901 auf-
genommen wurde. Ein Industrieroboter bewegte den Reflektor des Lasertrackers entlang
einer Trajektorie mit einer konstanten Geschwindigkeit von 
. Es zeigt sich deut-
lich, dass der HE an kritischen Stellen insbesondere beim Wechsel der Bewegungsrich-
tung eine bessere Zustandsschätzung liefert als das lineare Kalman-Filter. Bei der HE
282 M. Lösler, H. Bähr und T. Ulrich
Lösung wurde zusätzlich ein nicht-lineares erweitertes Lasertracker Modell in den Unscen-
ted-Kalman-Filtern implementiert und auf das herkömmliche stark simplifizierte lineare
Lasertracker Modell verzichtet. Mittels der MCS wurde für jede neue Messung eine neue
Kovarianz-Matrix ermittelt, da die Unsicherheit von der relativen Lage im Raum sowie von
der momentanen Bewegung abhängt. Das erweiterte Modell umfasst insgesamt 23 Parame-
ter, welche grob in die drei Gruppen geometrisch/statische, kinematische und meteorologi-
sche Parameter eingeteilt werden können. Somit zeigt sich ein deutlicher Unterschied zwi-
schen einer Auswertestrategie, die im Bewegungs- und Messmodell komplett auf Lineari-
sierung beruht gegenüber einer nicht-linearisierten Modellierung.
Abb. 5: Gegenüberstellung der Ergebnisse einer Zustandsschätzung einer Roboterbahn
mittels einem Hybrid Estimator und einem linearen Kalman Filter.
3 Zusammenfassung
In der Geodäsie wird zur Abschätzung von Unsicherheiten vorrangig das allgemeine Vari-
anz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz angewandt, da bei klassischen Anwendungen ein
hinreichend linearer Zusammenhang zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen unter-
stellt werden kann. Ist dieser jedoch nicht gegeben, so führt diese linearisierte Transforma-
tion zu verzerrten Resultaten. Abhilfe schafft die Monte-Carlo-Simulation (MCS). Da die-
ses Verfahren keine Approximation durch eine Taylorreihe verwendet, sind Linearisie-
rungsfehler auszuschließen. Zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten benö-
tigt die MCS jedoch eine sehr hohe Stichprobenanzahl, um zuverlässige Ergebnisse zu
generieren. Weiterhin lassen sich die Ergebnisse aufgrund des zufälligen Charakters nie
vollständig numerisch reproduzieren.
Ist bei einem nicht-linearen Problem der Aufwand zum Bilden der zweiten partiellen Ab-
leitungen vertretbar, so ist es u.U. empfehlenswert, die Taylorreihenentwicklung fortzufüh-
ren, um die Verzerrung der Schätzung der linearen Transformation für die Parametern und
den zugehörigen Unsicherheiten zu minimieren. In den im Abschnitt 2 vorgestellten Bei-
Zur Transformation von Parametern und Unsicherheiten bei nicht-linearen Zusammenhängen 283
spielen reicht die Berücksichtigung der zweiten partiellen Ableitung bereits aus, um prak-
tisch gleichwertige Ergebnisse wie bei der MCS zu erhalten. Diese Beispiele stellen Auf-
grund des gewählten stochastischen Modells bereits Extremsituationen dar, die in der prak-
tischen Ingenieurgeodäsie in dieser Form nur selten vorkommen.
Die Unscented Transformation ist ein in der Geodäsie bisher kaum bekanntes bzw. einge-
setztes Verfahren zur Transformation von Parametern und zum Ableitung von Unsicherhei-
ten. Ähnlich wie die MCS benötigt dieses Approximationsverfahren keine partiellen Ablei-
tungen. Im Gegensatz zur MCS wird jedoch keine große Stichprobe benötigt, sondern die
Transformation mit einigen wenigen neuralgischen Punkten durchgeführt. Die transformier-
ten Parameter entsprechen denen, die sich auch durch die Berücksichtigung der zweiten
partiellen Ableitungen ergeben. Das Verfahren ist daher besonders für Echtzeitanwendun-
gen und Problemstellungen, wo das Bilden der ersten und zweiten partiellen Ableitung
einen hohen Komplexitätsgrad erreicht, geeignet.
Die Ermittlung von realistischen Unsicherheiten setzt nicht nur eine umfassende Quantifi-
zierung und Bemessung der genauigkeitslimitierenden Faktoren voraus, sondern auch eine
sachgerechte Verknüpfung dieser Größen. So ist beim Einsatz des allgemeinen Varianz-
Kovarianz-Fortpflanzungsgesetzes zu validieren, ob ein Abbruch nach dem linearen Glied
gerechtfertigt ist. Auf der anderen Seite darf kritisch hinterfragt werden, ob der rechentech-
nische Aufwand einer MCS gerechtfertigt ist oder ob das Problem nicht bereits durch res-
sourcenschonendere Verfahren wie bspw. der Unscented Transformation hinreichend genau
gelöst werden kann.
Literatur
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... Several solution strategies exist for obtaining estimates for the variances and covariances of parameters in nonlinear problems. Following the study of Lösler et al. (2016), four main procedures (but not only these) can be distinguished: ...
... In other words the function should be approximated well by its tangent within the region of interest -that is, the region of dispersion of the random variables.". In the same line of thinking, Lösler et al. (2016) considered this approximate solution for the variances and covariances as "distorted". ...
... The solution coming from this procedure can be seen as a better approximation than the first order variances-covariances, however, it also needs to be verified in the same manner as the first order approximation. A numerical example for this approach can be found in (Lösler et al. 2016). ...
Research
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This dissertation deals with a class of nonlinear adjustment problems that has a direct least squares solution for certain weighting cases. In the literature of mathematical statistics these problems are expressed in a nonlinear model called Errors-In-Variables (EIV) and their solution became popular as total least squares (TLS). The TLS solution is direct and involves the use of singular value decomposition (SVD), presented in most cases for adjustment problems with equally weighted and uncorrelated measurements. Additionally, several weighted total least squares (WTLS) algorithms have been published in the last years for deriving iterative solutions, when more general weighting cases have to be taken into account and without linearizing the problem in any step of the solution process. This research provides firstly a well defined mathematical relationship between TLS and direct least squares solutions. As a by-product, a systematic approach for the direct solution of these adjustments is established, using a consistent and complete mathematical formalization. By transforming the problem to the solution of a quadratic or cubic algebraic equation, which is identical with those resulting from TLS, it will be shown that TLS is an algorithmic approach already known to the geodetic community and not a new method. A second contribution of this work is the clear overview of weighted least squares solutions for the discussed class of problems, i.e. the WTLS solution in the terminology of the statistical community. It will be shown that for certain weighting cases a direct solution still exists, for which two new solution strategies will be proposed. Further, stochastic models with more general weight matrices are examined, including correlations between the measurements or even singular cofactor matrices. New algorithms are developed and presented, that provide iterative weighted least squares solutions without linearizing the original nonlinear problem. The aim of this work is the popularization of the TLS approach, by presenting a complete framework for obtaining a (weighted) least squares solution for the investigated class of nonlinear adjustment problems. The proposed approaches and the implemented algorithms can be employed for obtaining direct solutions in engineering tasks for which efficiency is important, while iterative solutions can be derived for stochastic models with more general weights.
... Converting polar coordinates into Cartesian coordinates and vice versa yields biased parameters, if the nonlinearity of f is neglected (e. g. Manolakis 2011, Lösler et al. 2016. More generally, the linear property of the expectation, i. e., ...
Article
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To evaluate the benefit of a measurement procedure onto the estimated parameters, the dispersion of the parameters is usually used. To draw objective conclusions, unbiased or at least almost unbiased estimates are required. In geodesy, most of the functional relations are nonlinear but the statistical properties of the estimates are usually obtained by a linearised substitute-problem. Since the statistical properties of linear models cannot be passed to the nonlinear case, the estimates are biased. In this contribution, the bias of the parameters as well as the bias of the dispersion in nonlinear implicit models is investigated, using a second-order Taylor expansion. Nonlinear implicit models are general models and are used, for instance, in the framework of surface-fitting or coordinate transformation, which considers errors for the coordinates in source and target system. The bias is introduced as a further indicator to validate the benefit of an adapted measurement process using more precise measuring instruments. Since some parametrisations yield an ill-posed problem, also the case of a singular equation system is investigated. To demonstrate the second-order effect onto the estimates, a best-fitting plane is adjusted under varying configurations. Such a configuration is recommended in evaluating uncertainties of optical 3D measuring systems, e.g. in the framework of the VDI/VDE 2634 guideline. The estimated bias is used as an indicator whether a large number of poor observations provides better results than a small but precise sample.
Chapter
Regressionskurven und -flächen besitzen ein breites Anwendungsspektrum nicht nur in den messenden Disziplinen. So geben bspw. Formparameter Aufschluss über die Fertigungsqualität eines Bauteils in der Toleranzprüfung. Weiterhin liefert die Regressionsanalyse wichtige Indikatoren über Veränderungen an einem Objekt in der Deformationsanalyse oder über das Vorliegen eines Trends in der Zeitreihenanalyse. Die Regressionsanalyse ermöglicht auch das indirekte Bestimmen von unzugänglichen oder nicht materialisierbaren Kenngrößen wie bspw. eine Drehachse. Aus diesem Grund verfügen kommerzielle Softwarepakete i. A. über Routinen zur Bestimmung von geometrischen Primitiven wie Kugeln, Ebenen oder Zylinder. In diesem Beitrag wird das neu entwickelte Modul Java·Unified·Form·Fitting (JUniForm) vorgestellt, welches Teil des freien Ausgleichungspakets Java·Applied·Geodesy·3D (JAG3D) ist. Neben der Bestimmung von geometrischen Primitiven wird demonstriert, dass JUniForm das Verschneiden bzw. Kombinieren von unterschiedlichen Geometrien zum Ableiten zusätzlicher Kenngrößen ermöglicht. Weiterhin wird gezeigt, dass die Performanz gegenüber der Vorgängerversion deutlich gesteigert werden konnte, sodass auch eine Verarbeitung größerer Punktmengen möglich ist. Die Richtigkeit der Ergebnisse wird mit Validierungsdatensätzen, die das National Institute of Standards and Technology (NIST) bereitstellt, belegt.
Article
Zusammenfassung: Für die Analyse geodätischer Beobachtungen ist i. A. eine sinnvolle Wahl der Koordinatendarstellung notwendig. Obwohl viele terrestrische Instrumente polare Messelemente registrieren, erfolgt die Auswertung häufig mit abgeleiteten kartesischen Koordinaten, anstatt mit den originären polaren Messelementen. In diesem Beitrag wird mittels sequenzieller quadratischer Programmierung untersucht, unter welcher Voraussetzung die Modellparameter einer Optimierungsaufgabe bezüglich eines Wechsels in der Koordinatendarstellung invariant sind. Am Beispiel einer Regressionsparabel wird gezeigt, dass neben der sachgerechten Transformation des funktionalen und des stochastischen Modells auch für die Zielfunktion eine äquivalente Umformung nötig ist. Summary: The analysing process of geodetic observations usually requires a decision on the used coordinate representation. Most of the terrestrial measurement instruments register polar observations, but during the analysis process, transformed Cartesian coordinates are often used. In this investigation, the invariance of the estimated parameters regarding a change in the coordinate representation is studied by means of the sequential quadratic programming. Exemplified on a best-fitting parabola, it is shown that the adequate transformation of the functional and the stochastic model is not sufficient to obtain identical estimates, because also an adapted target function is required to get corresponding results.
Article
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Um Messinstrumente prüfen und kalibrieren zu können, müssen Sollwerte mit übergeordneter Genauigkeit vorliegen. Die Überprüfung elektronischer Distanzmesser (EDM) bzw. elektronischer Tachymeter ist in vielen Bundesländern durch die Vermessungsverwaltungen verbindlich vorgeschrieben und erfolgt in der Regel auf einer Kalibrierbasis im Feld. Soll neben der Additionskonstante auch der Maßstab verifiziert werden, sind Sollstrecken notwendig. An die Genauigkeit und Zuverlässigkeit dieser Sollstrecken werden deshalb erhöhte Ansprüche gestellt. Für die Überprüfung von Tachymetern der höchsten Genauigkeitsklasse wird in diesem Beitrag der Einsatz eines mobilen Lasertrackers vorgeschlagen. Es werden das Messkonzept zur Erfassung der Strecken, die Ermittlung der meteorologischen Umgebungsparameter und die Auswertestrategie skizziert, um aus den Messdaten die Sollstrecken der Kalibrierbasis abzuleiten. Im Frühjahr 2013 konnte das Verfahren in einer Messkampagne erfolgreich verifiziert werden.
Chapter
Quality assurance in civil engineering is a complex and multifaceted field. Especially for successful automation it plays an important role. One aspect of the quality assurance relates to the geometry of a building. In order to determine and control geometric elements, measurement and evaluation processes of engineering geodesy have to be integrated into the construction processes. So the task of engineering geodesy is to create the basis for bringing the planned building geometry in quality-assured reality. One way to describe the quality is to define a quality model, which describes the quality on the basis of characteristics, which are substantiated by parameters. In generally the characteristics and the parameters are derived from the requirements. For engineering geodesy processes in civil engineering a process- and product-oriented quality model consisting of the characteristics “accuracy”, “correctness”, “completeness”, “reliability” and “timelessness” was build. These five characteristics are substantiated by altogether ten parameters. In addition to the well-known parameters like “standard deviation” in geodesy and “tolerance” in civil engineering, other parameters like “number of missing elements” and “condition density” help to have a complete and detailed description of the quality of the geometry of a building and the related processes. The parameters can be differentiated in process- and product-related parameters. Finally the quality parameters can be analyzed to get a significant statement about the actual reached quality within the process.
Article
The proof of tolerances in building construction is of great practical importance and the disregard of tolerances the cause of many disputes. The suitability of a measurement procedure for testing tolerances is largely dependent on the attainable accuracy of the actual sizes to be determined. It can be shown by covariance propagation (Gauss method) that tachometry, levelling and laser scanning can sufficiently guarantee accuracies to perform proofs according to the requirements of the German standards DIN 18202 and DIN 18701-1 in general. At that, it is important to grant the testimony as it corresponds to the classification of the types of tolerances in DIN 18202. The standard provides the quantities to be tested as dimensions, angles, deviations from straightness and deviations from flatness. The specified tolerances at DIN 18202 are to be applied in building construction, unless other accuracies are contracted.
Chapter
The goal in this section is to explain the fundamentals of Kalman filter theory by penetrating a few illustrative examples. The Kalman filter requires a state space model for describing the signal dynamics. To describe the role of the model in filtering, the concrete example of target tracking is used throughout the chapter. After presentation of state space modelling and the Kalman filter, numerical aspects as square root implementation, non-linear models and the extended Kalman filter and computational aspects are presented. The idea of using the Kalman filter for sensor fusion is described, and whiteness test on the innovations is presented.
Article
Am Supraleitenden Darmstädter Elektronenlinearbeschleuniger (S-DALINAC) des Instituts für Kernphysik der Technischen Universität Darmstadt erfolgte im ersten Quartal 2015 die Erfassung der räumlichen Ausrichtung von Dipol- und Quadrupolmagneten sowie der Strahlführung zwischen den Kryostatmodulen mit einem mobilen Lasertracker Leica AT401. Die erhobenen Daten dienen zur Rekonstruktion aller Magnetpositionen des Teilchenbeschleunigers und sind die Grundlage für die Erweiterung des S-DALINAC um eine zusätzliche Rezirkulationsstrahlführung und den Umbau eines weiteren Strahlführungsabschnittes. Die Auswertung der Lasertracker-Messungen wird mittels Bündelausgleichung unter Berücksichtigung eines umfassenden stochastischen Modells, das durch eine Unscented Transformation abgeleitet wird, prozessiert. Zur Bestimmung der räumlichen Ausrichtung der Magneten und zur Ableitung des Strahlorbits werden Schätzungen von geometrischen Primitiven (Ebenen, Doppelzylinder) herangezogen.
Article
Photogrametric systems are widely used in the field of industrial metrology to measure kinematic tasks such as tracking robot movements. In order to assess spatiotemporal deviations of a kinematic movement, it is crucial to have a reliable uncertainty of the kinematic measurements. Common methods to evaluate the uncertainty in kinematic measurements include approximations specified by the manufactures, various analytical adjustment methods and Kalman filters. Here a hybrid system estimator in conjunction with a kinematic measurement model is applied. This method can be applied to processes which include various types of kinematic behaviour, constant velocity, variable acceleration or variable turn rates. Additionally, it has been shown that the approach is in accordance with GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). The approach is compared to the Kalman filter using simulated data to achieve an overall error calculation. Furthermore, the new approach is used for the analysis of a rotating system as this system has both a constant and a variable turn rate. As the new approach reduces overshoots it is more appropriate for analysing kinematic processes than the Kalman filter. In comparison with the manufacturer's approximations, the new approach takes account of kinematic behaviour, with an improved description of the real measurement process. Therefore, this approach is well-suited to the analysis of kinematic processes with unknown changes in kinematic behaviour.
Article
Laser trackers are widely used to measure kinematic tasks such as tracking robot movements. Common methods to evaluate the uncertainty in the kinematic measurement include approximations specified by the manufacturers, various analytical adjustment methods and the Kalman filter. In this paper a new, real-time technique is proposed, which estimates the 4D-path (3D-position + time) uncertainty of an arbitrary path in space. Here a hybrid system estimator is applied in conjunction with the kinematic measurement model. This method can be applied to processes, which include various types of kinematic behaviour, constant velocity, variable acceleration or variable turn rates. The new approach is compared with the Kalman filter and a manufacturer's approximations. The comparison was made using data obtained by tracking an industrial robot's tool centre point with a Leica laser tracker AT901 and a Leica laser tracker LTD500. It shows that the new approach is more appropriate to analysing kinematic processes than the Kalman filter, as it reduces overshoots and decreases the estimated variance. In comparison with the manufacturer's approximations, the new approach takes account of kinematic behaviour with an improved description of the real measurement process and a reduction in estimated variance. This approach is therefore well suited to the analysis of kinematic processes with unknown changes in kinematic behaviour as well as the fusion among laser trackers.