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Steuerung von Verkehrsflüssen in Mehrgüternetzwerken mit heterogenen Nutzern durch Mautgebühren

Authors:

Abstract and Figures

Wir zeigen auf Grundlage der Ausarbeitung von Fleischer et al. (2004) die Existenz von Maut, welche in Mehrgüternetzwerken mit heterogenen Nutzern das Systemoptimum, das heißt die Minimierung der Gesamtreisezeit, erzwingt. Mit ihrem konstruktiven Beweis geben Fleischer et al. die Möglichkeit, die optimale Maut in polynomieller Zeit in der Anzahl der Kanten des Netzwerkes zu berechnen. Für die Höhe der nötigen Kantenmaut geben sie eine exponentielle obere Schranke in der Anzahl der Kanten des Netzwerkes an. Des Weiteren betrachten sie allgemeine Auslastungsspiele, auf welche die Resultate der Mehrgüternetzwerke übertragen werden können. Abschließend zeigen sie, dass in allgemeinen Auslastungsspielen eine exponentielle Maut zur Erzwingung des Systemoptimums nicht nur hinreichend, sondern notwendig ist. Diese Resultate werden wir hier präsentieren. Zusätzlich zu den Resultaten der Ausarbeitung von Fleischer et al. untersuchen wir die exponentielle obere Schranke an die Mauthöhe in Mehrgüternetzwerken genauer und zeigen, dass sie für Mehrgüternetzwerke, in denen die maximale Länge eines Pfades hinreichend klein ist, verbesserbar ist.
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Bachelorarbeit Mathematik
Steuerung von Verkehrsflüssen in
Mehrgüternetzwerken mit heterogenen
Nutzern durch Mautgebühren
Theresa Thunig
4. März 2013
Betreuer: Prof. Dr. Rolf H. Möhring
Zweitgutachter: Prof. Dr. Martin Skutella
Institut für Mathematik
Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Technische Universität Berlin
Eidesstattliche Versicherung
Hiermit erkläre ich an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbststän-
dig und eigenhändig sowie ausschließlich unter Verwendung der aufgeführten
Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.
Berlin, den 4. März 2013
Theresa Thunig
Zusammenfassung
Wir zeigen auf Grundlage der Ausarbeitung von Fleischer et al. [7] die Existenz
von Maut, welche in Mehrgüternetzwerken mit heterogenen Nutzern das Syste-
moptimum, das heißt die Minimierung der Gesamtreisezeit, erzwingt. Mit ihrem
konstruktiven Beweis geben Fleischer et al. die Möglichkeit, die optimale Maut
in polynomieller Zeit in der Anzahl der Kanten des Netzwerkes zu berechnen.
Für die Höhe der nötigen Kantenmaut geben sie eine exponentielle obere Schran-
ke in der Anzahl der Kanten des Netzwerkes an. Des Weiteren betrachten sie
allgemeine Auslastungsspiele, auf welche die Resultate der Mehrgüternetzwerke
übertragen werden können. Abschließend zeigen sie, dass in allgemeinen Aus-
lastungsspielen eine exponentielle Maut zur Erzwingung des Systemoptimums
nicht nur hinreichend, sondern notwendig ist. Diese Resultate werden wir hier
präsentieren. Zusätzlich zu den Resultaten der Ausarbeitung von Fleischer et
al. untersuchen wir die exponentielle obere Schranke an die Mauthöhe in Mehr-
güternetzwerken genauer und zeigen, dass sie für Mehrgüternetzwerke, in denen
die maximale Länge eines Pfades hinreichend klein ist, verbesserbar ist.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
2 Das diskrete Modell 6
2.1 Existenz von optimaler Maut im diskreten Modell . . . . . . . . 8
2.2 Charakterisierung erzwingbarer Auslastungen . . . . . . . . . . . 14
3 Berechnung der Maut in polynomieller Zeit 16
4 Schranken an die Mauthöhe 18
4.1 Exponentielle obere Schranke an die Mauthöhe . . . . . . . . . . 18
4.2 Untersuchung der oberen Schranke an die Mauthöhe . . . . . . . 19
5 Das stetige Modell 25
5.1 Existenz von optimaler Maut im stetigen Modell . . . . . . . . . 25
6 Allgemeine Auslastungsspiele 28
6.1 Existenz von optimaler Maut in allgemeinen Auslastungsspielen . 29
6.2 Schranken an die Mauthöhe in allgemeinen Auslastungsspielen . 32
6.3 Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Fazit 34
Literatur 37
1 Einleitung
Der Begriff Maut steht für eine Gebühr, die man für die Nutzung von Straßen
oder anderen Verkehrswegen zahlen muss. Mauten wurden schon in Form von
Wegezöllen im 11. Jahrhundert erhoben. Damals musste ein Wegezoll gezahlt
werden, um Straßen passieren zu dürfen. Heute wird Maut meist als Straßen-
benutzungsgebühr erhoben und in vielen verschiedenen Formen eingesetzt. In
Frankreich ist beispielsweise ein großer Teil des Autobahnnetzes mautpflichtig,
wobei die Maut nach der gefahrenen Strecke abgerechnet wird. Eine andere Form
der Maut, die dem früheren Wegezoll ähnelt, gibt es in Dänemark, wo man für
die Benutzung von bestimmten Brücken eine Gebühr zahlen muss. In London
dagegen wird eine Kordonmaut für den Innenstadtbereich erhoben, sodass Au-
tofahrer eine Gebühr zahlen müssen, wenn sie diesen befahren möchten. Maut
kann auch verkehrsmittelspezifisch eingesetzt werden, wie es in Deutschland mit
der LKW-Maut der Fall ist. Auch in Bergen, Singapur und vielen weiteren Städ-
ten bzw. Ländern werden Mautgebühren erhoben. In vielen Fällen wird dabei
die Maut als Finanzquelle genutzt, um den Ausbau und Erhalt der Infrastruk-
tur zu finanzieren. Aber kann Maut außer als Finanzquelle auch dafür genutzt
werden, den Gesamtverkehrsfluss zu verbessern oder sogar zu optimieren?
In Netzwerken ohne Maut möchte in der Realität jeder Nutzer seine Rei-
sezeit minimieren. Dabei entsteht das sogenannte Nash-Gleichgewicht, bei dem
sich kein Nutzer durch alleinigen Routenwechsel verbessern kann. Es ist be-
kannt, dass dieses in der Regel nicht dem Systemoptimum entspricht, welches
die Gesamtreisezeit minimiert. Führt man jedoch eine Maut auf den Kanten
des Netzwerkes ein, so werden die Nutzer bei ihrer Routenwahl nicht mehr nur
ihre Reisezeit minimieren, sondern auch die entstehenden Mautkosten berück-
sichtigen, womit sich das Nash-Gleichgewicht verändern kann. Sobald monetäre
Aspekte in Form der Maut bei der Wahl der Route ins Spiel kommen, muss man
diese in der Modellierung des Netzwerkes mit den zeitlichen Aspekten geeignet
kombinieren. Dazu werden wir den in der Verkehrsplanung als ‘value of travel
time savings’ bezeichneten Latenzsensitivitätsfaktor benutzen, der uns angibt,
wie viele Geldeinheiten die Einsparung einer Reisezeitstunde wert ist. In den
Gesamtkosten für den Nutzer kann die in Geldeinheiten angebbare benötigte
Reisezeit somit mit der Maut verrechnet werden. Benutzt man für alle Nut-
zer die gleiche Latenzsensitivität, so bezeichnet man das Modell als Netzwerk
mit homogenen Nutzern. Man wird jedoch schnell feststellen, dass unterschied-
liche Nutzer in der Realität auch unterschiedlich auf Maut reagieren können.
Mit dieser Art heterogener Nutzer, werden wir uns in dieser Bachelorarbeit be-
schäftigen, indem wir die Resultate der Arbeit „Tolls for heterogeneous selfish
users in multicommodity networks and generalized congestions games“ von 2004
von Fleischer, Jain und Mahdian [7] betrachten. Wir beschäftigen uns also mit
der Frage, ob man in einem Mehrgüternetzwerk mit heterogenen Nutzern das
Nash-Gleichgewicht durch Einführung einer Maut systemoptimal machen kann
oder auch, ob man Nutzer eines Systems durch die Einführung von Maut so
beeinflussen kann, dass sich eine gewünschte Belastung der Kanten einstellt.
1
Um einen besseren Einstieg in diese Fragestellung zu ermöglichen, betrach-
ten wir zunächst ein Beispiel, in dem wir durch die Einführung von Maut das
Systemoptimum erzwingen wollen. Gegeben sei das Eingüternetzwerk aus Ab-
bildung 1 mit infinitisemal kleinen Nutzern mit der Gesamtgröße d= 1, die alle
von snach tgelangen wollen.
st
l(x)=1
l(x) = x
d= 1
Abbildung 1: Minimalbeispiel eines Eingüternetzwerkes
Die Latenz (oder Reisezeit) auf dem oberen Pfad beträgt immer 1, die auf
dem unteren entspricht der Anzahl der Nutzer, die diesen wählen. Lässt man
die Nutzer ihren Weg wählen, so minimiert jeder Nutzer für sich seine Kosten,
welche in einem System ohne Maut der Latenz entsprechen. In unserem Mini-
malbeispiel entspricht das so entstehende Nash-Gleichgewicht der Belastung aus
Abbildung 2 mit einer Gesamtlatenz von CNash = 1.
st
0
1
CNash = 1
Abbildung 2: Nash-Gleichgewicht im Minimalbeispiel
Betrachten wir einen -kleinen Nutzer, der auf die obere Kante wechselt.
Obwohl er sich durch diesen Wechsel in seiner Reisezeit nicht verschlechtert,
würde er sofort zurückwechseln, da die Latenz auf der unteren Kante nach sei-
nem Wechsel (1 )1betragen würde. Somit kann sich kein Nutzer durch
alleinigen Routenwechsel verbessern, weshalb die in Abbildung 2 dargestellte
Belastung dem Nash-Gleichgewicht entspricht.
Man kann sich vorstellen, dass der Netzwerkbetreiber ein anderes Gleichge-
wicht anstrebt: die Minimierung der Gesamtlatenz, welche dem Systemoptimum
entspricht. Das Systemoptimum in diesem Netzwerk entpspricht der folgenden
Belastung mit einer Gesamtlatenz von CSO = (1
2)2+1
2=3
4.
2
st
1
2
1
2
CSO =3
4
Abbildung 3: Systemoptimum im Minimalbeispiel
Betrachtet man die Gesamtlatenz C(z) = z2+ (1 z)ausgedrückt mit
der Belastung zauf der unteren Kante, so sieht man, dass deren Ableitung
C0(z) = 2z1bei z=1
2eine Nullstelle hat. Die Gesamtlatenz nimmt damit
in der dargestellte Belastung das Optimum an, welches in diesem Fall dem
Minimum entspricht. Somit stellt die in Abbildung 3 dargestellte Belastung
das Systemoptimum dar.
Pigou [12] betrachtete dieses Netzwerk schon 1920 zur Untersuchung des
Kostenunterschiedes zwischen der minimal möglichen mittleren Gesamtreisezeit
(dem Systemoptimum) und den Kosten, die bei der eigennützigen Routenwahl
(dem Nash-Gleichgewicht) entstehen. Das Verhältnis dieser beiden Werte wird
auch als Preis der Anarchie bezeichnet (Koutsoupias und Papadimitriou [10]):
POA =CNash
CSO
.
Da stets gilt CSO CNash, folgt POA 1. Geht der Preis der Anarchie gegen
1, so ist der negative Einfluss der eigennützigen Routenwahl relativ gering und
die Kosten der beiden Gleichgewichte ähnlich. In unserem Beispiel beträgt der
Preis der Anarchie POA =4
3. Mit leichter Veränderung der Kostenfunktion
der unteren Kante kann man jedoch ein Netzwerk erreichen, bei dem er gegen
unendlich geht (Roughgarden [13], S. 31f.).
Die Frage in unserem Fall ist, ob der Netzwerkbetreiber durch die Einführung
von Maut erreichen kann, dass sich das Systemoptimum als Nash-Gleichgewicht
einstellt. In Netzwerken, bei denen die eigennützige Routenwahl einen hohen
negativen Einfluss auf die mittlere Gesamtreisezeit hat, wäre dies besonders
erwünscht.
Angenommen in unserem Beispielnetz reagieren alle Nutzer gleich auf Maut
und minimieren ihre generalisierten Kosten als Summe von Reisezeit in Geld-
einheiten und Maut, so kann die Erzwingung des Systemoptimums durch die
Einführung einer Maut von 1
2auf der unteren Kante erreicht werden. Die neuen
Kostenfunktionen der Kanten seien in Abbildung 4 noch einmal abgebildet.
3
st
c(x)=1
c(x) = x+1
2
Abbildung 4: Kantenkosten nach Einführung der Maut im Minimalbeispiel
Man kann leicht sehen, dass mit diesen veränderten Kostenfunktionen im
Nash-Gleichgewicht nur noch die Hälfte der Nutzer die untere Kante wählen
und sich damit das Systemoptimum einstellt. Aber existiert in jedem Netzwerk
eine optimale Maut, die das Systemoptimum erzwingt?
In ihrer Arbeit betrachten Fleischer et al. [7] heterogene Nutzer, die un-
terschiedlich auf Maut reagieren können. Für homogene Nutzer, die alle gleich
auf Maut reagieren, wurde die Aussage schon 1956 von Beckman, McGuire und
Winsten bewiesen:
Satz(1956, Beckman et al. [1]).Das Systemoptimum ist für Mehrgüternetzwerke
mit homogenen Nutzern durch Maut erzwingbar.
Beweisidee. Sei f= (fe)eEdas Systemoptimum. Im Systemoptimum wird sich
die Gesamtlatenz nicht verbessern, wenn ein infinitesimal kleiner Nutzer seinen
Pfad ändert. Das heißt, die Ableitungen aller Pfadlatenzen sind gleich, was man
salopp schreiben kann als
∂f X
ep
le(fe)fe
| {z }
Pfadlatenz
=
∂f X
ep0
le(fe)fep, p0Pfade.
Weil die Summe endlich ist, kann die Ableitung in die Summe gezogen werden,
also gilt X
ep
∂f le(fe)fe=X
ep0
∂f le(fe)fep, p0Pfade
und damit nach Anwendung der Produktregel
X
ep
l0
e(fe)fe
| {z }
Kantenmaut
+le(fe)
|{z}
Kantenlatenz
| {z }
Kantenkosten
=X
ep0
l0
e(fe)fe+le(fe)p, p0Pfade.
Wählt man l0
e(fe)feals Mautkosten der Kante e, so entspricht die Summe
l0
e(fe)fe+le(fe)den Kantenkosten für die Benutzung der Kante e, da alle Nut-
zer gleich auf Maut reagieren. Mit Maut l0
e(fe)fesind also die Pfadkosten aller
Pfade gleich und alle Nutzer haben somit gleiche Kosten, was die Bedingung für
ein Nash-Gleichgewicht ist. Damit haben wir eine Maut gefunden, mit der sich
das Systemoptimum als Nash-Gleichgewicht einstellt.
4
Die Erweiterung dieser Aussage auf heterogene Nutzer gelang erst 50 Jahre
später. Zunächst schränkten sich Cole, Dodis und Roughgarden 2003 bei ihrer
Betrachtung auf Eingüternetzwerke, das heißt Netzwerke mit nur einem Quelle-
Ziel-Paar, ein:
Satz (2003, Cole et al. [5]).Das Systemoptimum ist für Eingüternetzwerke mit
heterogenen Nutzern durch Maut erzwingbar.
Beweisidee. Im Beweis konstruieren Cole et al. eine stetige Abbildung, die jeder
Maut eine bessere Maut zuordnet, in dem Sinne, dass die von der Maut erzwun-
gene Auslastung die Gesamtlatenz verringert. Auf diese Abbildung wird der
Fixpunktsatz von Brouwer [3] angewendet, um zu zeigen, dass sie mindestens
einen Fixpunkt hat. Zu zeigen ist nun noch, dass die Fixpunkte der Abbildung
die gewünschten optimalen Mauten sind, die das Systemoptimum erzwingen.
Dieser Beweis ist nicht offensichtlich und macht starken Gebrauch von den Ei-
genschaften des zugrunde liegenden Netzwerkes. Bei Interesse kann dieser in der
Ausarbeitung [5] nachgelesen werden.
Ein Jahr später haben Fleischer et al. bewiesen, dass die Einschränkung auf
Eingüternetzwerke für die Existenz von optimaler Maut nicht nötig ist.
Satz(2004, Fleischer et al. [7]).Das Systemoptimum ist für Mehrgüternetzwerke
mit heterogenen Nutzern durch Maut erzwingbar.
Im Beweis dieser Aussage, der in dieser Arbeit vorgestellt werden soll, geben
Fleischer et al. ein lineares Programm an, mit dem die optimale Maut sogar
berechnet werden kann. Formuliert man dieses um, so kann die Maut in po-
lynomieller Zeit bezogen auf die Anzahl der Kanten des Netzwerkes berechnet
werden. Außerdem charakterisieren Fleischer et al. die Menge der erzwingba-
ren Flüsse und zeigen, dass nicht nur das Systemoptimum erzwingbar ist. Auch
eine obere Schranke an die Mauthöhe, welche exponentiell in der Anzahl der
Kanten des Netzwerkes ist, wird bewiesen. Damit ist ein besserer Realitäts-
bezug gegeben, da in der Realität die Maut möglichst klein gehalten werden
sollte. Abschließend übertragen die Autoren die Resultate auf allgemeine Aus-
lastungsspiele und zeigen, dass dort eine exponentielle Maut zur Erzwingung
des Systemoptimums nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig ist.
Diese Resultate wollen wir im Folgenden genauer betrachten. Zusätzlich zu
den Resultaten der Ausarbeitung von Fleischer et al. untersuchen wir die expo-
nentielle obere Schranke an die Mauthöhe in Mehrgüternetzwerken in Kapitel
4.2 genauer und zeigen, dass sie für Mehrgüternetzwerke, in denen die maximale
Länge eines Pfades hinreichend klein ist, verbesserbar ist.
2 Das diskrete Modell
Bevor wir die angesprochenen Resulate beweisen können, müssen wir einige
Begriffe definieren.
Definition 2.1. Ein Mehrgüternetzwerk im diskreten Modell besteht aus
einem gerichteten Graphen G= (V, E),
einer nichtfallenden, stetigen Latenzfunktion le: [0,1] R0für alle Kan-
ten eE,
5
KGütern {(si, ti, di)}K
i=1,
Latenzsensitivitäten αi0für alle Güter i.
O. B. d. A. gelte Pidi= 1. Des Weiteren sei Pidie Menge aller Pfade von si
nach tiin Gund P=SiPi.
s1
s2
t2
t1
x
2
x
2x
x+ 1
1l(x)
d1=1
4, d2=3
4
α1= 1, α2= 2
Abbildung 5: Beispiel für ein Mehrgüternetzwerk im diskreten Modell
Die Latenzfunktion legibt an, wie viel Latenz jedes Gut aufbringen muss,
um eine Kante ebei der entsprechenden Belastung zu nutzen. Jedes Gut enthält
die Informationen, wie viele infinitesimal kleine Agenten divom Startknoten si
zum Zielknoten tigeschickt werden sollen. Die Latenzsensitivitäten αigeben
die Reaktion der Agenten des Typs iauf Verzögerung an und werden bei der
Definition der Streckenkosten genauer betrachtet.
Im folgenden sei mstets die Anzahl der Kanten und ndie Anzahl der Knoten
des Netzwerkes, das heißt es sei m=|E|und n=|V|.
Definition 2.2. Ein Mehrgüterfluss im diskreten Modell ist ein Vektor
f= (fi
p)i=1,...,K,pPi
mit nichtnegativen Einträgen.
Ein Mehrgüterfluss gibt an, dass das i-te Gut fi
pEinheiten entlang pschickt.
Definition 2.3. Ein Mehrgüterfluss fheißt zulässig, wenn gilt
X
pPi
fi
p=dii.
Ein zulässiger Mehrgüterfluss erfüllt damit die Nachfrage dijedes Gutes i.
Da Mehrgüterflüsse eine exponentielle Größe in der Anzahl der Pfade ha-
ben, definiert man einen weiteren Begriff, um die Belastung eines Netzwerkes in
polynomieller Größe angeben zu können:
6
Definition 2.4. Eine Auslastung im diskreten Modell ist ein Vektor
g= (ge)eE.
Jeder Fluss finduziert eine Auslastung
fe=X
iX
pPi:ep
fi
p.
Im Unterschied zu einem Mehrgüterfluss definiert eine Auslastung die Ver-
teilung der Agenten auf das Netzwerk kantenweise. Dabei wird Kante evon
geEinheiten genutzt. Aus einer Auslastung kann man damit im Gegensatz zu
einem Mehrgüterfluss nicht mehr auf die Verteilung eines Gutes auf die Pfade
schließen. Aus diesem Grund werden Auslastungen für uns im Folgenden nütz-
lich sein, da einem Netzwerkbetreiber, der eine bestimmte Kantenbelastung er-
zwingen möchte, in der Regel nicht wichtig ist, wie die einzelnen Güter sich auf
die Kanten verteilen. Um trotz der Güterunabhängikeit definieren zu können,
ab wann es mit einer festen Auslastung bzw. Kantenbelastung möglich ist die
geforderte Nachfrage zu erfüllen, nutzt man die Zulässigkeit des zugehörigen
Mehrgüterflusses:
Definition 2.5. Eine Auslastung gheißt zulässig, wenn ein zulässiger Mehr-
güterfluss fexistiert, für dessen induzierte Auslastung fegilt: fegeeE.
2.1 Existenz von optimaler Maut im diskreten Modell
Führen wir nun auf jeder Kante eMautkosten τeein, so werden die Kosten, die
Gut ifür die Nutzung einer Kante aufbringen muss, beschrieben durch
αile(fe) + τe.
Die Latenzsensitivität αiist dabei ein positiver Indikator für die Reaktion von
Agenten des Typs iauf Verspätung und wird in der Verkehrsplanung auch als
‘value of travel time savings’ bezeichnet, da er den Geldwert der Reisezeiter-
sparnis angibt.
Zunächst nehmen wir an, dass die Kosten eines Weges der Summe der Kan-
tenkosten auf dem Weg entsprechen. In Kapitel 6.3 werden wir sehen, dass diese
Annahme verallgemeinert werden kann. Den mit Maut (τe)eEausgestatteten
Graphen wollen wir mit Gτbezeichnen.
Ziel ist es nun, die Maut so anzupassen, dass eine bestimmte Kantenauslas-
tung (zum Beispiel das Systemoptimum) erzwungen wird.
Definition 2.6. Eine Auslastung gheißt erzwingbar, wenn eine Menge nicht-
negativer Maut τexistiert, sodass die vom Nashfluss in Gτinduzierte Auslastung
gist.
Eine Auslastung ist also erzwingbar, wenn sie sich als Nash-Gleichgewicht
im Graphen Gτeinstellt, wobei ein Nashfluss folgendermaßen definiert sei:
Definition 2.7. Ein Fluss fin Gτist ein Nashfluss, wenn
αilp(f) + τpαilp0(f) + τp0
für alle iund p, p0Pimit fi
p>0. Ein Nashfluss entspricht damit einem Fluss,
bei dem sich kein Nutzer durch alleinigen Routenwechsel verbessern kann.
7
Definition 2.8. Eine Auslastung gheißt optimal, wenn g
X
eE
le(g)ge
über alle zulässigen Auslastungen minimiert.
Optimale Auslastungen minimieren damit die Gesamtlatenz und sind sys-
temoptimal.
Mit den eingeführten Begriffen können wir nun die Hauptaussage der Arbeit
von Fleischer et al. formulieren.
Korollar 2.1 (Fleischer et al. [7]).Für jedes diskrete Mehrgüternetzwerk exis-
tiert Maut, die eine optimale Auslastung gerzwingt.
Wenn wir dieses Korollar beweisen können, wissen wir, dass in diskreten
Mehrgüternetzwerken das Nash-Gleichgewicht mit Maut systemoptimal gemacht
werden kann. Für den Beweis benötigen wir allerdings noch einige Vorüberle-
gungen.
Sei gdie Auslastung, die erzwungen werden soll. Wir betrachten das lineare
Programm Pg, welches wir für unsere Beweise nutzen wollen:
Pg: min X
i
αiX
pPi
lp(g)fi
p(P.1)
sodass X
iX
pPi:ep
fi
pgeeE(P.2)
X
pPi
fi
p=dii(P.3)
fi
p0ipPi(P.4)
Betrachtet man Bedingung (P.2), so stellt man fest, dass dies die Bedingung
für die Zulässigkeit von gals Auslastung ist. Fluss fin Pgexistiert also nach
Definition 2.5, wenn gzulässig ist. (P.3) und (P.4) sind Bedingungen für die
Zulässigkeit von fals Mehrgüterfluss. Die Kostenfunktion (P.1) minimiert bei
Latenzkosten von Auslastung gund Belastungen von Fluss f, die Gesamtlatenz
für alle Güter in Geldeinheiten. Gesucht wird also ein zulässiger Fluss f, der
eine Auslastung induziert, die nicht größer ist als gund die Gesamtlatenz in
Geldeinheiten minimiert.
Um mit dem aufgestellen linearen Programm Pgdie Aussage beweisen zu
können, nutzen wir die Theorie der Dualität aus der linearen Optimierung (siehe
zum Beispiel Papadimitriou und Steiglitz [11], S. 67ff.). Es gibt viele verschie-
dene Formulierungen der Dualitätsregeln, wir werden folgende Formulierung
nutzen, um unser lineares Programm Pgzu dualisieren:
8
lineares Programm:
min aTx
sodass P x p
Cx =c
x0
duales Programm:
max cTzpTt
sodass CTzPTta
t0
Um das lineare Programm Pgmit den angegebenen Dualisierungsregeln
leichter dualisieren zu können, formulieren wir es zunächst um. Man kann nach-
vollziehen, dass Pgäquivalent zu dem folgenden linearen Programm in Matrix-
schreibweise ist.
P
g: min (αilp(g))T
i=1,...,K,pPif(P.1)
sodass Bf (ge)eE(P.2)
Cf = (dj)j=1,...,K (P.3)
f0(P.4)
Dabei ist f= (fi
p)i=1,...,K,pPials Mehrgüterfluss ein Spaltenvektor, der alle
Nutzertypen idurchläuft und für festes iauch alle Pfade pPi. Der Vektor f
ist also |P|=Pi|Pi|-dimensional, da alle Pfade aus Pgenau einmal durchlau-
fen werden. Analog ist (αilp(g))T
i=1,...,K,pPiein |P|-dimensionaler Zeilenvektor.
Dann ist Beine (m× |P|)-Matrix mit Einträgen
Be,p =(1ep
0sonst
und Ceine (K× |P|)-Matrix mit Einträgen
Cj,p =(1pPj
0sonst.
Auf dieses lineare Programm können wir nun leichter die oben formulierten
Dualisierungsregeln anwenden und erhalten das folgende lineare Programm als
duales Programm von Pg.
D
g: max (di)T
i=1,...,K z(ge)T
eEτ(D.1)
sodass CTzBTτ(αilp(g))T
i=1,...,K,pPi(D.2)
τ0(D.3)
Um mit dem dualen Programm besser arbeiten zu können, formulieren wir es
erneut um und erhalten:
Dg: max X
i
diziX
eE
geτe(D.1)
sodass ziX
ep
τeαilp(g)ipPi(D.2)
τe0eE(D.3)
9
Betrachten wir τals Mautkosten, so steht Bedingung (D.2) für die Zulässig-
keit von τals Maut. Bedingung (D.1) bedeutet, dass zifür jedes Gut inicht grö-
ßer als die Kosten (Latenz und Maut) aller Pfade pPiwird, da umformuliert
gilt ziαilp(g)+Pepτe. Da zikleiner gleich der Kosten aller nutzbaren Pfade
für Gut iist, ist es auch kleiner gleich der Kosten des kürzesten Pfades, also
den Kosten, die ein Agent von Typ iaufbringen muss, um sein Ziel zu erreichen.
Der Minuend der Kostenfunktion ist somit kleiner gleich der Gesamtkosten aller
Güter bei Auslastung g. Von ihm wird die Summe der zu zahlenden Mautkos-
ten bei Auslastung gabgezogen. Da maximiert wird, wird zialso im Optimum
maximal sein und damit die minimal möglichen Kosten für Gut idarstellen.
Diese Interpretation passt mit der Tatsache zusammen, dass das primale und
duale Programm im Optimum den gleichen Zielfunktionswert annehmen. Wir
erhalten also im dualen Programm einen Ausdruck für die Maut, obwohl wir im
primalen Programm nur eine Auslastung angeben, die im Nash-Gleichgewicht
erzwungen werden soll.
Zu den linearen Programmen Pgund Dglassen sich folgende Beobachtungen
machen.
Beobachtung 2.1 (Fleischer et al. [7]).Sind fund (τ, z)optimale Lösungen
von Pgund Dg, dann ist fein Nashfluss.
Beweis. Nach dem Satz vom komplementären Schlupf (Papadimitriou und Steig-
litz [11], S. 72) gilt
fi
p>0zi=X
ep
τe+αilp(g).
Die Variable zirepräsentiert also die Kosten des von Gut igenutzten Pfades
pund damit die Kosten jedes von Gut igenutzten Pfades. Da für alle nicht
genutzten Pfade p0gilt
X
ep0
τe+αilp0(g)(D.1)
zi=X
ep
τe+αilp(g),
kann sich kein Nutzer durch alleinigen Routenwechsel verbessern und fist damit
ein Nashfluss.
Beobachtung 2.2 (Fleischer et al. [7]).Ist geine zulässige Auslastung, so
haben Pgund Dgoptimale Lösungen.
Beweis. Pghat mit Fluss f, der ginduziert, eine zulässige Lösung. Definiere
τe:= 0 eE, zi:= 0 i.
Dann ist (τ, z )eine zulässige Lösung von Dg, weil gilt
αi
|{z}
0
lp(g)
|{z}
0
+X
ep
τe
|{z}
=0
0 = zi.
Also haben Pgund Dgbeide zulässige und nach dem Satz über primal-duale
Paare auch optimale Lösungen (Papadimitriou und Steiglitz [11], S. 70).
10
Mit Beobachtung 2.1 und 2.2 wissen wir nun, dass Pgeine optimale Lösung
hat, sobald geine zulässige Auslastung ist und diese optimale Lösung von Pg
ein Nashfluss ist.
Des Weiteren lässt sich aus dem linearen Programm eine minimale Auslas-
tung definieren, die das folgende Theorem und dessen Beweis vorbereitet.
Definition 2.9. Eine Auslastung gheißt minimal genau dann, wenn das lineare
Programm Pgeine optimale Lösung hat, in der die Ungleichung (P.1) für alle
Kanten eEscharf ist.
Zusätzlich formulieren wir folgende Definition für den späteren Beweis der
Hauptaussage.
Definition 2.10. Eine Auslastung gheißt minimal zulässig, wenn sie zulässig
ist und für alle Auslastungen g0mit g0
egeeEund g0
e< gefür mindestens
eine Kante egilt: g0ist nicht mehr zulässig.
Eine minimal zulässige Auslastung kann also auf keiner Kante verringert
werden, ohne dass sie ihre Zulässigkeit verliert.
Theorem 2.1 (Fleischer et al. [7]).Eine zulässige Auslastung gist erzwingbar
genau dann, wenn gminimal ist.
Beweis. Sei geine minimale Auslastung. Dann exisitiert eine optimale Lö-
sung fvon Pg, in der die Ungleichung (P.1) scharf ist für alle Kanten e. Daraus
folgt finduziert g. Außerdem existiert eine optimale Lösung (τ, z )von Dg,
womit wir mit Beobachtung 2.1 wissen, dass fein Nashfluss in Gτist. Die Aus-
lastung gwird also von einem Nashfluss in Gτinduziert und ist mit Maut τ
erzwingbar.
Sei gerzwingbar. Dann existiert Maut τ, sodass gvom Nashfluss fin
Gτinduziert wird. Da fAuslastung ginduziert, gilt also
ge=X
iX
pPi:ep
fi
peE,
das heißt Ungleichung (P.1) ist in fscharf für alle Kanten e. Da fein Fluss ist,
gilt außerdem
fi
p0ipPi
und Bedingung (P.3) ist damit erfüllt. Weiter gilt
X
pPi
fi
p=dii,
das heißt Bedingung (P.2) gilt für f. Also ist fzulässig für Pg. Wir wollen nun
zeigen, dass foptimal für Pgist. Da fein Nashfluss in Gτist, haben alle Pfade,
die von Agenten des Typs igenutzt werden, den gleichen Nutzen, das heißt es
gilt
αilp(g) + τp=αilp0(g) + τp0p, p0Pi:fi
p, f i
p0>0.
Für alle idefinieren wir zials die minimalen Kosten für Nutzertyp i:
zi:= αilp(g) + τpmit pPi:fi
p>0.
11
Dann ist ziwohldefiniert, da alle Agenten des Typs iPfade mit gleichen Kosten
nutzen. Da fein Nashfluss ist, gilt außerdem
zi=αilp(g) + τpαilbp(g) + τbpipPi:fi
p>0,bpPi:fi
bp= 0
und damit Bedingung (D.1). Betrachten wir (τ, z)als Lösung von Dg, so ist
diese also zulässig. Damit sind fals Lösung von Pgund (τ, z)als Lösung von
Dgbeide zulässig und erfüllen die Bedingungen des komplementären Schlupfes:
Nach Definition von zigilt
fi
p>0ziX
ep
τe=αilp(g).
Und umgekehrt
ziX
ep
τe< αilp(g)zi< αilp(g) + X
ep
τefi
p= 0,
da zidie minimalen Kosten angibt und es somit mindestens einen günsti-
geren Pfad pfür Nutzertyp igibt.
Weil gvon finduziert wird, gilt
X
iX
pPi:ep
fi
p=geeE,
also auch für e=e0mit τe0>0.
Weil fein Fluss in Pgist, gilt
X
pPi
fi
p=dii,
also auch für i=jmit zj>0.
Nach dem Satz vom komplementären Schlupf folgt also, dass fin Pgund (τ, z)
in Dgoptimal sind. Also hat Pgeine optimale Lösung f, die Ungleichung (P.1)
scharf macht für alle Kanten e, das heißt gist minimal.
Mit diesen Vorüberlegungen, können wir nun beweisen, dass das Systemop-
timum durch Maut erzwingbar ist:
Beweis von Korollar 2.1. Sei geine optimale Auslastung. Wir wollen diese zu
einer minimal zulässigen Auslastung machen und zeigen, dass sie minimal ist.
Über minimale Auslastungen wissen wir mit Theorem 2.1, dass sie erzwingbar
sind. Also müssen wir zuletzt nur noch zeigen, dass bei der Veränderung der
Auslastung die Optimalität nicht verloren geht.
Betrachten wir also zunächst die Kanten von Gin einer beliebigen Reihen-
folge e1, e2, . . . , e|E|. Sei g(0) := g. Für jede Kante eisei g(i)die Auslastung
mit
g(i)
e=g(i1)
ee6=ei
und g(i)
eisei der minimale Wert, sodass Pg(i)noch eine zulässige Lösung hat.
g:= g(0) g(1) g(2) → · · · → g(|E|)=: g
12
Dann ist g(|E|)=: gminimal zulässig nach Definition.
Da gzulässig ist, hat Pgmit Beobachtung 2.2 eine optimale Lösung. Diese
macht Ungleichung (P.1) scharf für alle Kanten, da gminimal zulässig ist. Nach
Definition ist gsomit minimal und mit Theorem 2.1 erzwingbar.
Es ist noch zu zeigen, dass goptimal ist: Es gilt
X
eE
le(g)g
e
g
egeeE
X
eE
le(g)ge,
weil Latenzfunktionen nichtfallend sind. Also ist goptimal, weil goptimal
ist.
2.2 Charakterisierung erzwingbarer Auslastungen
In vielen Situationen ist es das Systemoptimum, welches man erzwingen möchte,
aber das nächste Korollar zeigt, dass auch andere Auslastungen erzwingbar sind.
Korollar 2.2 (Fleischer et al. [7]).Ist w(g): Rm7→ Reine beliebige, in jedem
Argument nichtfallende Funktion, dann existiert Maut, die eine Auslastung er-
zwingt, die wüber alle zulässigen Auslastungen minimiert.
Beweis. Der Beweis von Korollar 2.1 funktioniert auch, wenn man eine opti-
male Auslastung gals eine Auslastung definiert, die eine beliebige nichtfallende
Funktion wminimiert: w(g)w(g0)für alle zulässigen Auslastungen g0.
Man muss nur den letzten Teil des Beweises anpassen, in dem gezeigt wird,
dass goptimal ist. Es gilt
w(g)
g
egeeE
w(g),
da wnichtfallend ist. Also ist goptimal, weil goptimal ist.
Anwendungsbeispiel 2.1. Die Erzwingung einer Auslastung g, die
max
imin
pPi
lp(g)
minimiert, stellt sicher, dass ein Notfallfahrzeug von jeder Quelle sidas entspre-
chende Ziel tiin kürzestmöglicher Zeit erreicht, da dieses den latenzminimalen
Weg von sinach tiwählt, Typ idabei jedoch beliebig ist.
Eine optimale Auslastung minimiert zwar die Gesamtlatenz, berücksichtigt
dabei aber nicht die einzelnen Latenzsensitivitäten der Nutzer. So kann es sein,
dass gerade die Nutzer mit einer hohen Latenzsensitivität im Systemoptimum
längere Wege wählen müssen, damit die Gesamtlatenz niedrig bleibt. Es kann
deshalb sinnvoll sein, Optimalität wie folgt zu definieren.
Definition 2.11. Ein Fluss fist gewichtet optimal, wenn er
X
i
αiX
pPi
lp(f)fi
p
über alle zulässigen Flüsse minimiert.
13
Ein gewichtet optimaler Fluss minimiert damit die gleiche Summe wie die
Zielfunktion von Pg, welche der Gesamtlatenz ausgedrückt in Geldeinheiten ent-
spricht. Wir werden sehen, dass gewichtet optimale Flüsse auch erzwingbar sind.
Damit sind nicht nur die von einzelnen Nutzern unabhängigen Kantenbelastun-
gen in Form von Auslastungen, sondern auch die Verteilungen der Nutzer auf
Pfade in Form von Flüssen erzwingbar.
Korollar 2.3 (Fleischer et al. [7]).In jedem Mehrgüternetzwerk existiert Maut,
die einen gewichtet optimalen Fluss ferzwingt.
Beweis. Sei fder gewichtet optimale Fluss, der PeEf
eminimiert. Wir wäh-
len damit unter den gewichtet optimalen Flüssen den Fluss aus, bei dem jeder
Nutzer den kantenminimalen Weg unter den ihm zur Auswahl stehenden Wegen
wählt. Wir wollen zeigen, dass fbzw. dessen induzierte Auslastung minimal
ist, um Theorem 2.1 anwenden zu können.
Angenommen fist nicht minimal, dann existiert eine optimale Lösung f
von Pf, für die die Ungleichung (P.1) für mindestens eine Kante eEnicht
scharf ist. Es gilt also fef
efür alle Kanten und fe< f
efür mindestens eine
Kante eEund damit PeEfe<PeEf
e. Außerdem gilt
X
i
αiX
pPi
lp(f)fi
p
lpnichtfallend
X
i
αiX
pPi
lp(f)fi
p
fopt. in Pf
X
i
αiX
pPi
lp(f)fi
p.
Da fgewichtet optimal ist, ist auch f gewichtet optimal, was ein Widerspruch
dazu ist, dass wir fals gewichtet optimalen Fluss gewählt haben, der PeEf
e
minimiert.
Also ist fminimal und damit mit Theorem 2.1 erzwingbar.
Im Beweis von Korollar 2.1 haben wir gesehen, dass wir aus einer zulässigen
Auslastung durch Reduzierung der Kantenauslastungen eine erzwingbare Aus-
lastung machen können. Die gleiche Konstruktion können wir nutzen, um zu
zeigen, dass jede zulässige Auslastung erzwingbar im folgenden Sinn ist.
Definition 2.12. Maut τerzwingt Auslastung gschwach, wenn es eine Aus-
lastung g0< g gibt, die von τerzwungen wird.
Korollar 2.4 (Fleischer et al. [7]).Jede zulässige Auslastung gist schwach
erzwingbar.
Beweis. Sei geine zulässige Auslastung. Wir betrachten die Kanten von Gwie
im Beweis zu Korollar 2.1 in einer beliebigen Reihenfolge e1, . . . , em. Für jede
Kante minimieren wir die Belastung auf ihr, sodass die Auslastung noch zulässig
bleibt. Die resultierende Auslastung g0ist minimal zulässig nach Konstruktion
und damit wie im Beweis von Korollar 2.1 minimal. Also ist g0mit Theorem 2.1
erzwingbar. Da g0ggilt, ist gdamit schwach erzwingbar.
Dieses Korollar kann zum Beispiel angewendet werden, um die Maut zu
berechnen, die nötig ist, damit eine festgelegte maximale Kantenbelastung nicht
überschritten wird, ohne dass dabei ein bestimmter Fluss oder eine bestimmte
Auslastung vorgegeben werden muss, die erzwungen werden soll.
14
3 Berechnung der Maut in polynomieller Zeit
Mithilfe des linearen Programms kann die Maut, die zur Erzwingung einer Aus-
lastung gbenötigt wird, berechnet werden. Momentan ist diese Berechnung
exponentiell in der Anzahl der Kanten des Netzwerkes, da der Fluss in Pgfür
alle exponentiell vielen Pfade angegeben wird. Wir können die Berechnung je-
doch polynomiell machen, indem wir Pgso umformulieren, dass der Fluss für
alle Kanten angegeben wird. Wir wollen also Variabelen fi
eieEstatt
fi
pipPinutzen:
P0
g: min X
i
αiX
eE
le(g)fi
e(P0.1)
sodass X
i
fi
egeeE(P0.2)
X
eδ+(si)
fi
e=dii(P0.3)
X
eδ(ti)
fi
e=dii(P0.4)
X
eδ+(v)
fi
eX
eδ(v)
fi
e= 0 ivV\{si, ti}(P0.5)
fi
e0ieE(P0.6)
Bei der Umformulierung des linearen Programms entstehen Kapazitätsbeschrän-
kungsbedingungen (P0.1) für alle Kanten eund Flusserhaltungsbedingungen
(P0.4) für alle Knoten vdes Netzwerkes und alle Güter i, wobei Quelle siund
Ziel timit Bedingung (P0.2) und (P0.3) gesondert betrachtet werden. P0
gist nun
polynomiell in der Anzahl der Kanten des Netzwerkes.
Um das neu erhaltene lineare Programm P0
gleichter dualisieren zu können,
formulieren wir es erneut um. Es lässt sich nachvollziehen, dass P0
gäquivalent
zu folgendem linearen Programm in Matrixschreibweise ist.
P00
g: min (αile(g))T
i=1,...,K,eEe
f(P00.1)
sodass Je
f(ge)eE(P00.2)
Ie
f= (Di,v)i=1,...,K ,vV(P00.3)
e
f0(P00.4)
Dabei sei e
f= (fi
e)i=1,...,K,eEein (Km)-dimensionaler Spaltenvektor, der alle
Nutzertypen idurchläuft und für festes iauch alle Kanten edes Netzwerkes.
Analog ist (αile(g))T
i=1,...,K,eEein (Km)-dimensionaler Zeilenvektor. Weiter
gilt mit Emals (m×m)-Einheitsmatrix für die Bedingung (P00.2) der Kapazi-
tätsbeschränkung
J= (Em, Em, . . . , Em
| {z }
kmal
),
das heißt Jist eine (m×Km)-Matrix mit Einträgen
Je,(i,e)=(1e=e
0sonst.
15
Für die Bedingung (P00.3) der Flusserhaltung gilt
I(i,v),(i,e)=
1eδ+(v), i =i
1eδ(v), i =i
0sonst,
sodass Ieine (K n ×Km)-Blockmatrix ist, bei der nur die Blöcke auf der Diago-
nalen besetzt sind. Des Weiteren ist (Di,v)i=1,...,K,vVein (K n)-dimensionaler
Spaltenvektor mit
Di,v =
div=si
div=ti
0sonst,
der alle Nutzertypen idurchläuft und für festes iauch alle Knoten vdes Netz-
werkes.
Auf das umformulierte lineare Programm P00
gkönnen wir nun leicht die Dua-
lisierungsregeln anwenden und erhalten das folgende duale Programm, in dem
die Maut weiterhin als Variable τefür alle Kanten eenthalten ist.
D00
g: max (Di,v)T
i=1,...,K,vVz(ge)T
eEτ(D00.1)
sodass ITzJTτ(αile(g))i=1,...,K,eE(D00.2)
τ0(D00.3)
Um die Summenschreibweise aus P0
gwiederzuerlangen, formulieren wir D00
ger-
neut um und erhalten das äquivalente duale Programm D0
gzu P0
g, womit wir
polynomiell in mbleiben:
D0g: max X
i
di(zsi
izti
i)X
eE
geτe(D0.1)
sodass zu
izv
iτeαile(g)ie= (u, v)E(D0.2)
τe0eE(D0.3)
Mit einem LP-Löser können die polynomiellen linearen Programme P0
gund
D0
gin polynomieller Zeit gelöst werden, womit die optimale Maut und der kor-
respondierende Nashfluss in polynomieller Zeit berechenbar sind.
Es kann vorkommen, dass es verschiedene Kantenmauten gibt, mit denen
die gleiche Auslastung erzwungen wird. Um aus der Menge dieser Mauten eine
für unsere Anwendung beste Maut zu erhalten, formulieren wir das lineare Pro-
gramm Dgweiter um: Da der optimale Wert der Zielfunktion nach dem Lösen
des linearen Programms mit dem LP-Löser bekannt ist, können wir in Dgei-
ne Ungleichung hinzufügen, die sicherstellt, dass dieser angenommen wird. Die
Zielfunktion ist damit überflüssig und wir erhalten ein Gleichungssystem, dass
uns eine Charakterisierung der Menge der Mauten gibt, die gerzwingt. Mit einer
neuen Zielfunktion kann nun eine Maut gefunden werden, die gerzwingt und
zusätzlich optimal bezüglich eines anderen Kriteriums ist. Eine Anwendung ist
die Minimierung der Summe der Kantenmauten, um insgesamt möglichst we-
nig Maut einführen zu müssen. Sinnvoll ist jedoch auch die Minimierung der
maximalen Kantenmaut, womit wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.
16
4 Schranken an die Mauthöhe
In der Realität ist es nicht möglich, auf Straßen eine beliebig hohe Maut ein-
zuführen. Um die bewiesenen Resultate trotzdem nutzen zu können, betrachten
wir nun obere und untere Schranken an die Mauthöhe, um diese einzugrenzen.
4.1 Exponentielle obere Schranke an die Mauthöhe
Fleischer et al. gelingt in ihrer Arbeit der Beweis einer oberen Schranke an die
Mauthöhe, den wir im Folgenden untersuchen wollen. Für ihre Arbeit macht
diese obere Schranke den Übergang zum stetigen Modell und den zugehörigen
Beweis der Existenz einer optimalen Maut möglich. Für uns bildet sie zusätzlich
die Grundlage zu weiteren Untersuchungen an die maximale Mauthöhe.
Im Folgenden sei αmax := maxiαidie maximale Latenzsensitivität und
lmax := maxeEle(1) die maximale Latenz einer Kante.
Theorem 4.1 (Fleischer et al. [7]).Ist Gein Mehrgüternetzwerk und geine
erzwingbare Auslastung in G, dann ist gerzwingbar mit Maut τ, sodass gilt:
τeTeE,
wobei Teine Zahl ist, die nur von der maximalen Latenzsensitivität αmax, der
maximalen Latenz einer Kante lmax und exponentiell von der Anzahl der Kanten
abhängt, nicht aber von der Anzahl der Güter.
Beweis. Betrachten wir eine zulässige Basislösung (τ, z)des dualen Programms
Dg.Dghat K+mVariablen und damit K+mUngleichungen, die in (τ, z)
scharf sind, also K+mGleichungen mit eindeutiger Lösung (τ, z). Jedes zi
muss in mindestens einer dieser Gleichungen vorkommen, da (τ, z)sonst keine
eindeutige Lösung und damit keine Basislösung wäre. Also kann zizum Beispiel
durch ein Einsetzungsverfahren eliminiert werden. Wir erhalten
zi=αilp0(g) + X
ep0
τe
für ein p0Pifür das die Ungleichung scharf ist.
Nach Eliminierung aller zibleiben mGleichungen übrig. Diese haben die
Form
τe= 0 oder X
ep
τe+αilp(g) = zi=αilp0(g) + X
ep0
τe.
Schreiben wir diese Gleichungen als Gleichungssystem A τ =b, so erhalten wir
eine (m×m)-Matrix Amit Einträgen ±1,0und einen m-dimensionalen Vektor
bmit Einträgen 0und
αi
|{z}
αmax
lp(g)
|{z}
mlmax
αilp0(g)
| {z }
0
maxlmax .
Die Menge aller (m×m)-Matrizen mit Einträgen ±1,0ist endlich und damit
auch die Menge aller Inversen davon. Somit wird das Maximum über alle mögli-
chen Einträge von diesen inversen Matrizen angenommen. Bezeichnen wir dieses
als S.Sist endlich und hängt nur von mund nicht von Kab. Also gilt
τ=A1bτemSαmax mlmax
=m2max lmax =: TeE.
17
Die Unabhängigkeit dieser Schranke von der Anzahl der Nutzer ist gegeben, weil
in Definition 2.1 eines diskreten Mehrgüternetzwerkes o. B. d. A. angenommen
wurde, dass sich der Bedarf dialler Nutzer zu eins aufsummiert, das heißt, dass
Pidi= 1 gilt.
4.2 Untersuchung der oberen Schranke an die Mauthöhe
In der Ausarbeitung von Fleischer et al. wird offen gelassen, ob die bewiesene
obere Schranke an die Mauthöhe in Mehrgüternetzwerken scharf ist und dies
nur für allgemeine Auslastungsspiele gezeigt (siehe Kapitel 6.2). Dieser Pro-
blemstellung wollen wir uns in diesem Abschnitt widmen und Untersuchungen
zur oberen Schranke an die Mauthöhe in Mehrgüternetzwerken anstellen.
Zunächst lässt sich feststellen, dass die Abhängigkeit der Schranke von der
maximalen Latenz einer Kante lmax und der maximalen Latenzsensitivität αmax
in jedem Fall nötig ist. Dazu betrachten wir das in Abbildung 6 dargestellte
diskrete Mehrgüternetzwerk.
st
l(x)=1
l(x)=0
Abbildung 6: Beispiel für ein Mehrgüternetzwerk, in dem zur Erzwingung der
gewünschten Auslastung eine Maut τe=αmaxlmax nötig ist
Beispiel 4.1. Gegeben sei das abgebildete Mehrgüternetzwerk mit den Knoten
sund tund zwei parallelen Kanten. Die Latenzfunktion der unteren Kante sei
die Nullfunktion l(x)=0, die der oberen Kante sei die konstante Latenzfunk-
tion l(x) = 1 = lmax. Wollen wir in diesem Netzwerk mit infinitesimal kleinen
Nutzern mit Gesamtgröße d= 1, die alle Start s, Ziel tund die gleiche La-
tenzsensitivität αmax haben, eine Gleichverteilung erzwingen, so ist eine Maut
αmaxlmax auf der unteren Kante nötig, um die Attraktivität beider Kanten für
alle Nutzer auszugleichen. Da die Kosten einer Kante efür Nutzer idefiniert
sind als αile+τe, betragen die Kosten beider Kanten nach Einführung der Maut
αmaxlmax , weshalb sich die gewünschte Gleichverteilung ergibt.
Wenn eine der beiden Größen lmax und αmax exponentiell in der Anzahl der
Kanten des Netzwerkes ist, lässt sich also nicht vermeiden, dass auch die benö-
tigte Maut exponentiell in der Anzahl der Kanten ist. Um die bewiesene obere
Schranke zu verbessern, müssen wir also versuchen, den maximalen Eintrag S
der inversen Matrix von Aim Beweis zu Theorem 4.1 besser abzuschätzen. Dazu
untersuchen wir diesen zunächst für den allgemeinen Fall eines Mehrgüternetz-
werkes genauer.
18
Theorem 4.2. Der maximale Eintrag Sder Inversen von Aim Beweis von
Theorem 4.1 ist höchstens exponentiell in der Anzahl der Kanten mdes Netz-
werkes im Sinne der Fakultät. Es gilt
S(m1)!.
Für die auf einer beliebigen Kante enötige Maut gilt damit
τem2(m1)! lmaxαmax .
Beweis. Erinnern wir uns an den Beweis von Theorem 4.1, so haben wir dort
das Gleichungssystem =bbetrachtet. Die Matrix Ahat dabei nur Einträge
1, -1 und 0. Außerdem ist Ainvertierbar, da =beindeutig lösbar ist. Durch
Vertauschen von Zeilen kann für die Determinante von Aerreicht werden, dass
det A > 0gilt. Also kann det A1erreicht werden. Dabei müssen τund bim
System mitgetauscht werden, um weiterhin das gleiche Netzwerk abzubilden.
Des Weiteren gilt nach der Leibnizformel (Bosch [4], S. 141)
det A=X
πSm
sgnπ
|{z}
±1
·aπ(1),1·. . . ·aπ(m),m
| {z }
±1oder 0
m!,
da es m!viele Permutationen in Smgibt, wobei Smdie symmetrische Gruppe
aller Permutationen einer m-elementigen Menge sei. Mit der Cramerschen Regel
(Bosch [4], S. 151ff.) folgt
(A1)ij =(Aadj)ij
det A(Aadj)ij = (1)i+jdet A0
ji (m1)!,
wobei Aadj die adjungierte Matrix von A(Bosch [4], S. 152) und A0
ji die Matrix
Anach Streichung der j-ten Zeile und i-ten Spalte ist.
Die am Ende der Ausarbeitung von Fleischer et al. gegebene untere Schranke
an die Mauthöhe in allgemeinen Auslastungsspielen (siehe Kapitel 6.2) zeigt
nur die exponentielle Abhängigkeit von mim Sinne der Zweierpotenz 2m. Da
2m< m!für m > 3besteht eine Lücke zwischen beiden exponentiellen Größen,
auf die Fleischer et al. in ihrer Ausarbeitung nicht eingehen. Es ist also möglich,
dass es ein Beispiel für allgemeine Auslastungsspiele gibt, in dem die benötigte
Maut noch größer ist als in dem von Fleischer et al. gegebenen Beispiel, oder dass
man die eben untersuchte obere Schranke an die Mauthöhe besser einschränken
kann. Im allgemeinen Fall eines Mehrgüternetzwerkes müssen wir diese Frage
hier unbeantwortet lassen. Im Spezialfall eines Mehrgüternetzwerkes, in dem
jeder Weg maximal aus kKanten besteht, können wir die allgemeine obere
Schranke jedoch verbessern, indem wir den maximalen Eintrag Sder Inversen
von Aaus dem Beweis von Theorem 4.1 besser abschätzen:
Theorem 4.3. Ist Gein Netzwerk, in dem jeder Weg aus maximal kKanten
besteht und geine erzwingbare Auslastung in G, dann ist gerzwingbar mit Maut
τ, sodass gilt:
τemk(2k)m2αmaxlmax =: TkeE.
Tkist damit wie die obere Schranke Taus Theorem 4.1 eine Zahl, die nur von
der maximalen Latenzsensitivität αmax, der maximalen Latenz einer Kante lmax
und exponentiell von der Anzahl der Kanten abhängt, nicht aber von der Anzahl
der Güter.
19
Beweis. Hat jeder Weg maximal kKanten, so besitzt die Matrix Aaus dem
Gleichungssystem =baus dem Beweis von Theorem 4.1 pro Zeile maximal
2kNicht-Null-Einträge, da die Zeilen von Aentweder aus einer Gleichung τe= 0
oder aus X
ep
τeX
ep0
τe=αilp0(g)αilp(g)
entstehen und damit im ersten Fall nur eine Eins für die Kante eauf der keine
Maut nötig ist und sonst Nullen enthalten und im zweiten Fall maximal k-mal
den Wert 1 für die Kanten des Weges p, maximal k-mal den Wert -1 für die
Kanten des Weges p0und sonst Nullen enthalten. Somit kann die Determinante
von Amithilfe der Laplaceentwicklung nach einer beliebigen i-ten Zeile (Bosch
[4], S. 153), wie folgt abgeschätzt werden:
det A=
m
X
j=1
(1)i+jAij det(A0
ij )
2kdet(A0
ij ),
wobei A0
ij wieder die Matrix ist, die aus Adurch Streichen der i-ten Zeile und
j-ten Spalte hervorgeht. Diese Abschätzung gilt auch für Matrizen, die aus A
durch Streichung von beliebig vielen Zeilen und Spalten hervorgehen, da diese
weiterhin maximal 2kNicht-Null-Einträge pro Zeile haben. Dabei erhält man bei
jedem Schritt eine um eine Dimension kleinere quadratische Untermatrix von A.
Zuletzt gilt für die Unterdeterminante einer (1 ×1)-Matrix A1die Abschätzung
det A11, sodass für die Determinante von Afolgt
det A(2k)m1det A1(2k)m1.
Da wie im Beweis von Theorem 4.2 durch Vertauschen von Zeilen erreicht werden
kann, dass det A1, gilt mit der Cramerschen Regel
(A1)ij =(Aadj)ij
det A(Aadj)ij = (1)i+jdet A0
ji (2k)m2
und damit
S= max
i,j (A1)ij (2k)m2.
Da jeder Weg aus maximal kKanten besteht, gilt außerdem
max
ibiαi
|{z}
αmax
lp0(g)
|{z}
klmax
αilp(g)
| {z }
0
maxlmax.
Somit folgt für die Maut für alle Kanten eE
τe= (A1b)e=
m
X
k=1
(A1)ekbk
m
X
k=1
Smax
ibi
mk(2k)m2αmaxlmax =: Tk,
womit die Behauptung bewiesen ist.
20
Diese Abschätzung ist für festes kasymptotisch besser als die Abschätzung
aus Theorem 4.2, da für die Fakultät mit der Stirling Formel (Königsberger [9],
S. 227f.) für m→ ∞ gilt
(m1)! p2π(m1) m1
em1
.
Im Folgenden wollen wir genauer untersuchen, wann TkTgilt.
Beobachtung 4.1. Besteht in einem Mehrgüternetzwerke jeder Weg aus maxi-
mal km
6Kanten, so ist die in Theorem 4.3 gegebene obere Schranke Tkeine
bessere Abschätzung an die Mauthöhe, als die Schranke Taus Theorem 4.2.
Beweis. Da mit der Stirling Formel insbesondere gilt
T=m2(m1)! αmaxlmax > m2p2π(m1) m1
em1
αmaxlmax ,
untersuchen wir, für welche k
Tkm2p2π(m1) m1
em1
αmaxlmax
(2k)m2m
kp2π(m1) m1
em1
k1
2m
k1
m2
| {z }
1
(2π(m1)) 1
2(m2) m1
em1
m2
| {z }
>m1
efür m>3
gilt. Man kann nachprüfen, dass die rechte Seite nach unten abgeschätzt werden
kann durch 1
2(2π(m1)) 1
2(m2) m1
em
6.
Somit gilt TkT, falls jeder Weg im gegebenen Mehrgüternetzwerk maximal
km
6Kanten hat.
Da in jedem Mehrgüternetzwerk die maximale Weglänge durch die Anzahl
nder Knoten beschränkt ist, kann Theorem 4.3 mit k=nauf jedes Mehrgüter-
netzwerk angewendet werden. Gilt dabei für das Netzwerk nm
6, also m6n,
so ist diese Abschätzung besser als die in Theorem 4.2 gegebene obere Schranke
an die Mauthöhe.
Für k= 1, das heißt Mehrgüternetzwerke, in denen jeder Weg genau aus
einer Kante besteht, gilt mit der Abschätzung aus Theorem 4.3 für die optimale
Maut τeTk=m2m2αmaxlmax eE. Für diesen Spezialfall finden wir
jedoch noch eine bessere Abschätzung. Um dies zu zeigen, erinnern wir uns
zunächst an den Begriff der totalen Unimodularität.
Definition 4.1 (Papadimitriou und Steiglitz [11], S. 316).Eine Matrix Aheißt
total unimodular, wenn jede quadratische, invertierbare Teilmatrix von Auni-
modular ist, das heißt, wenn jede Unterdeterminante von Aden Wert ±1oder
0hat.
21
Mit dieser Definition lässt sich leicht nachvollziehen, dass für eine total uni-
modulare Matrix Aauch ihre Transponierte ATtotal unimodular ist. Das nächs-
te Theorem liefert uns ein Kriterium, um die totale Unimodularität einer Matrix
nachzuweisen.
Theorem 4.4 (Papadimitriou und Steiglitz [11], S. 317).Eine Matrix Aist total
unimodular, falls eine disjunkte Aufteilung I1, I2der Zeilen von Aexistiert, für
die folgende vier Bedingungen gelten:
1. Jeder Eintrag in Ahat den Wert 0, 1 oder -1.
2. Jede Spalte von Aenthält maximal zwei Nicht-Null-Einträge.
3. Wenn zwei Nicht-Null-Einträge in einer Spalte von Adas gleiche Vorzei-
chen haben, so ist die zugehörige Zeile des einen Eintrages in I1und die
andere in I2.
4. Wenn zwei Nicht-Null-Einträge in einer Spalte von Adas entgegengesetzte
Vorzeichen haben, so sind die zugehörigen Zeilen der Einträge beide in I1
oder beide in I2.
Theorem 4.5. Sei Gein Netzwerk, in dem jeder Weg genau aus einer Kante
besteht (zum Beispiel ein Netzwerk mit parallelen Kanten) und geine erzwing-
bare Auslastung in G. Dann ist gerzwingbar mit Maut τ, sodass gilt:
τemaxlmax =: T1eE.
T1ist damit eine Zahl, die nur von der maximalen Latenzsensitivität αmax,
der maximalen Latenz einer Kante lmax und linear von der Anzahl der Kanten
abhängt, nicht aber von der Anzahl der Güter.
Beweis. Wir betrachten wieder das Gleichungssystem =baus dem Beweis
von Theorem 4.1 und wollen zunächst mithilfe von Theorem 4.4 zeigen, dass
ATund damit auch Atotal unimodular sind, wenn jeder Weg genau aus einer
Kante besteht.
Bedingung 1 aus Theorem 4.4 gilt für ATauch schon im allgemeinen Fall
von Theorem 4.1, da Anur Einträge ±1und 0enthält.
Bedingung 2 gilt für AT, da jede Zeile von Amaximal zwei Nicht-Null-
Einträge enthält. Dies gilt, da jeder Weg im Netzwerk aus einer Kante besteht
und damit die Zeilen von Aentweder aus einer Gleichung τe= 0 oder aus
X
ep
τeX
ep0
τe=αilp0(g)αilp(g)
τeτe0=αile0(g)αile(g)
entstehen und damit im ersten Fall nur eine Eins für die Kante eauf der keine
Maut nötig ist und sonst Nullen enthalten und im zweiten Fall genau einmal
den Wert 1 für die Kante des Weges p, einmal den Wert -1 für die Kante des
Weges p0und sonst Nullen enthalten. Jede Spalte von AThat also maximal zwei
Nicht-Null-Einträge.
Der Fall von Bedingung 3 tritt nicht ein, da Apro Zeile maximal eine 1 und
eine -1 enthält und somit in ATnie zwei Nicht-Null-Einträge in einer Spalte das
gleiche Vorzeichen haben. Somit ist Bedingung 3 trivialerweise erfüllt.
22
Wählt man I2=, so ist auch Bedingung 4 erfüllt, da dann I1alle Zeilen
von ATenthält und somit zugehörige Zeilen zu zwei Nicht-Null-Einträgen mit
engegengesetztem Vorzeichen in einer Spalte von ATzwingend in der gleichen
Menge sind.
Wir haben also gezeigt, dass ATtotal unimodular ist, womit auch Atotal
unimodular ist. Jede Unterdeterminante von Ahat also den Wert ±1oder 0.
Nach der Cramerschen Regel gilt wie im Beweis von Theorem 4.2
(A1)ij =(Aadj)ij
det A=(1)i+jdet A0
ji
det A
|{z}
=±1
=(±1wenn det A0
ji =±1
0sonst ,
wobei A0
ji die Matrix Anach Streichung der j-ten Zeile und i-ten Spalte ist.
Für den maximalen Eintrag Sder Inversen von Agilt damit
S= max
i,j (A1)ij 1.
Da jeder Weg nur aus einer Kante besteht, kann auch der maximale Eintrag in
bbesser abgeschätzt werden. Es gilt
max
ibiαi
|{z}
αmax
le0(g)
|{z}
lmax
αile(g)
| {z }
0
αmaxlmax ,
womit für die Maut für alle Kanten eEfolgt
τe= (A1b)e=
m
X
k=1
(A1)ekbk
m
X
k=1
Smax
ibi
maxlmax =: T1.
Die benötigte Maut ist damit linear in mund wie in Theorem 4.1 weiterhin
abhängig von αmax und lmax.
Die soeben bewiesene Schranke gilt für Mehrgüternetzwerke, in denen jeder
Weg genau eine Kante besitzt. Betrachtet man als Spezialfall davon Netzwerke
mit parallelen Kanten, so gibt es nur einen Quell- und einen Zielknoten, sodass
diese Netzwerke spezielle Eingüternetzwerke darstellen. Für Eingüternetzwerke
hat Fleischer [6] in einer Ausarbeitung von 2005 eine bessere Abschätzung der
Mauthöhe gezeigt. Sie hat bewiesen, dass eine in der maximalen Pfadlatenz
L:= maxpPlp(1) und der maximalen Latenzsensitivität αmax lineare Maut
τe1 + αmaxL1 + max lmax eE
für heterogene Nutzer hinreichend und notwendig ist, um das Systemoptimum
zu erzwingen, wobei ndie Anzahl der Knoten des Netzwerkes ist. Da die ma-
ximale Latenz eines Pfades im Fall von Netzwerken mit parallelen Kanten der
maximalen Latenz einer Kante entspricht, gilt somit als Abschätzung für die
optimale Maut in diesem Spezialfall τe1 + αmaxlmax für alle Kanten e, was
eine Verbesserung bezüglich unserer Abschätzung bedeutet.
23
5 Das stetige Modell
Im diskreten Modell haben alle Agenten des Typs idie gleiche Latenzsensitivi-
tät αi. Um die Realität besser abbilden zu können, wollen wir unterschiedliche
Latenzsensitivitäten für Agenten eines Typs zulassen. Dazu definieren wir das
stetige Modell eines Mehrgüternetzwerkes wie folgt:
Definition 5.1. Ein Mehrgüternetzwerk im stetigen Modell besteht wie im dis-
kreten Modell aus
einem gerichteten Graphen G= (V, E),
einer nichtfallenden, stetigen Latenzfunktion le: [0,1] R0für alle Kan-
ten eE,
KGütern {(si, ti, di)}K
i=1, wobei o. B. d. A. Pidi= 1 gelte.
Im Unterschied zum diskreten Modell bekommt jeder infinitesimal kleine Agent
vom Typ ieine reelle Zahl a[0, di]zugeordnet. O. B. d. A. seien die Agenten
dabei aufsteigend nach ihrer Latenzsensitivität geordnet. Wählt man als Sensiti-
vitätsfunktion αi: [0, di]R0die Abbildung, die jedem Agenten bzw. der ihm
zugeordneten Zahl adie zugehörige Latenzsensitivität zuordnet, so erhält man
nichtfallende Sensitivitätsfunktionen αifür alle Güter i.
Definition 5.2. Ein Mehrgüterfluss im stetigen Modell bezeichnet eine Menge
(fi)i=1,...,K lebesgue-messbarer Funktionen fi: [0, di]Pi.
Bei einem Mehrgüterfluss im stetigen Modell wird also jedem Agent ein Pfad
zugeordnet.
Um wie im diskreten Modell zu beschreiben, wie viel Belastung Gut iauf
Pfad pschickt, definieren wir den Flussanteil fi
p, welcher der Größe der Agenten
vom Typ ientspricht, die Pfad pwählen:
Definition 5.3. Der Flussanteil fi
pvon Gut iauf Pfad pPiist definiert als
die Lebesguegröße der Menge {a[0, di] : fi(a) = p}.
Alle anderen im diskreten Modell eingeführten Definitionen, wie zum Beispiel
die von einem Fluss induzierte Auslastung oder die Latenz eines Pfades gelten
im stetigen Modell weiterhin. Auch die Kosten eines Pfades pPifür Agent
a[0, di]des Typs ientsprechen im stetigen Modell weiterhin der Summe
αi(a)lp(f) + τp,
wobei hier nur zu beachten ist, dass die Latenzsensitivität im Unterschied zum
diskreten Modell keine Konstante mehr ist.
5.1 Existenz von optimaler Maut im stetigen Modell
Unser Ziel ist es, die im diskreten Modell bewiesenen Resultate auf das stetige
Modell zu übertragen. Um die Existenz von Maut, die eine optimale Auslas-
tung erzwingt, im stetigen Modell mithilfe von Korollar 2.1 zu beweisen, wollen
wir die Sensitivitätsfunktionen αidurch Treppenfunktionen approximieren, die
in einzelne Güter aufgeteilt werden können, sodass wir das stetige Modell in
ein diskretes Modell überführen. Zunächst benötigen wir jedoch folgende zwei
Hilfslemmata.
24
Lemma 5.1 (Fleischer et al. [7]).Für alle iseien αiTreppenfunktionen mit
einer beschränkten Stufenanzahl. Dann existiert Maut, die eine optimale Aus-
lastung erzwingt.
Beweis. Sei ridie Anzahl der Stufen in der Funktion αi. Wir ersetzen jedes
Gut idurch riGüter, jedes zugehörig zu einem Schritt in αi. Dann hat jedes
dieser neuen Güter konstante Latenzsensitivität, die dem Wert der Funktion αi
im entsprechenden Intervall bzw. Schritt entspricht. Die Nachfrage bzw. Größe
jedes Gutes entspricht der Länge des zugehörigen Intervalls.
Das entstandene Netzwerk ist äquivalent zum Ausgangsnetzwerk in dem
Sinne, dass ein Nashfluss im Ausgangsnetzwerk einem Nashfluss im entstande-
nen Netzwerk entspricht. Zusätzlich entspricht das entstandene Netzwerk einem
Netzwerk im diskreten Modell, weshalb Korollar 2.1 anwendbar ist und somit
Maut in diesem Netzwerk (und damit auch im Ausgangsnetzwerk) existiert, die
eine optimale Auslastung erzwingt.
Lemma 5.2 (Fleischer et al. [7]).Für jedes Mehrgüternetzwerk im stetigen
Modell und jede zulässige Maut gibt es einen Nashfluss f, sodass die Menge
{a[0, di] : fi(a) = p}und damit die Menge aller Agenten des Typs i, die Pfad
pwählen, für alle iund pPizusammenhängend ist.
Beweis. Sei fNashfluss im stetigen Modell. Es kann gezeigt werden, dass für
zwei beliebige Agenten a, b [0, di]gilt:
a < b lfi(a)(f)lfi(b)(f),
das heißt, wenn aeine niedrigere Latenzsensitivität hat als b, ist die Pfadlatenz
seines Pfades höher als die von b.
Sei dazu a<b. Dann gilt αaαb, weil die Agenten aufsteigend nach ihrer
Latenzsensitivität sortiert sind. Da fein Nashfluss ist, können sich Agent aund
bdurch Routenwechsel nicht verbessern, das heißt es gilt
αalfi(a)+τfi(a)αalfi(b)+τfi(b)
und
αblfi(b)+τfi(b)αblfi(a)+τfi(a).
Daraus folgt
αa(lfi(a)lfi(b)) + τfi(a)τfi(b)0
und
αb(lfi(b)lfi(a)) + τfi(b)τfi(a)0.
Addiert man beide Ungleichungen, erhält man
lfi(a)(αaαb)lfi(b)(αaαb)0(lfi(a)lfi(b))(αaαb)0.
Da αaαbgilt, folgt
lfi(a)lfi(b)0lfi(a)lfi(b),
womit die Teilaussage bewiesen ist.
Dieses Resultat und die Lebesgue-Messbarkeit von fikann genutzt werden,
um fiso zu verändern, dass fimmer noch Nashfluss ist, aber die Bedingungen
des Lemmas erfüllt. Wir vertauschen dazu nur noch die Pfade der Agenten des
gleichen Typs, die gleich lange Wege wählen, sodass alle Agenten des Typs i,
die den gleichen Pfad wählen, in [0, di]nebeneinander liegen.
25
Mit Lemma 5.2 wissen wir, dass alle Agenten des Typs i, die den gleichen
Pfad nehmen, im Intervall [0, di]nebeneinander liegen und die gleiche Latenz-
sensitivität αihaben, da die Kosten jedes Agenten im Nashfluss gleich sind. Also
können die Agenten immer in Stufen aufgeteilt werden, deren Anzahl durch die
Gesamtanzahl an möglichen Pfaden im Netzwerk beschränkt ist. Zusammen mit
Lemma 5.1, welches den Übergang vom diskreten zum stetigen Modell möglich
macht, wenn eine Treppenfunktion als Sensitivitätsfunktion vorhanden ist, kön-
nen wir nun die Existenz von optimaler Maut im stetigen Modell und damit das
Gegenstück zu Korollar 2.1 beweisen.
Theorem 5.1 (Fleischer et al. [7]).Für jedes Mehrgüternetzwerk im stetigen
Modell existiert Maut, die eine optimale Auslastung erzwingt.
Beweis. Wir schätzen für jedes Gut idie Funktion αidurch eine Folge α1
i, α2
i, . . .
von Treppenfunktionen mit limk→∞ αk
i=αiab. Sei Gkdas Netzwerk, in dem αi
für alle idurch αk
iersetzt wurde. Mit Lemma 5.1 gilt für alle k, dass eine Maut
τkexistiert, die eine optimale Auslastung in Gkerzwingt. Sei f(k)der Nashfluss
in Gkbezüglich der Maut τk, der die Bedingung aus Lemma 5.2 erfüllt. Dann
kann die Funktion f(k)i, die den Fluss von Gut ials Teil des Gesamtflusses
f(k)darstellt, für alle irepräsentiert werden durch die Endpunkte der Intervalle
Ai
p:= {a[0, di] : f(k)i(a) = p}, auf denen sie konstant ist:
f(k)i
p=Lebesguegröße der Menge Ai
p= max Ai
pmin Ai
p.
Also kann der Nashfluss f(k)wie ein diskreter Mehrgüterfluss durch eine Folge
von höchstens |P|=|SiPi|Zahlen in [0,1] repräsentiert werden, was der Anzahl
der Pfade im Netzwerk entspricht, wobei di1, da Pidi= 1.
Da Gkdiskret ist, gilt mit Theorem 4.1 unabhängig von k:
τk
eTeE.
Zusammen gilt somit
(τk, f (k))[0, T ]×[0,1]|P|.
Das Tupel (τk, f (k))ist also Element einer kompakten, da abgeschlossenen, be-
schränkten und endlich dimensionalen Menge. Somit existiert nach Bolzano-
Weierstraß (Königsberger [9], S. 89) eine konvergente Teilfolge k1, k2, . . . , sodass
für diese Teilfolge gilt
(τk, f (k))k→∞
(τ , f)[0, T ]×[0,1]|P|.
Der resultierende Nashfluss fist damit als diskreter Mehrgüterfluss darstell-
bar und die resultierende Maut τist weiterhin beschränkt durch T. Da Maut
τkFluss f(k)in Gkerzwingt, erzwingt Maut τFluss fin einem Netzwerk G
mit originalen Latenzsensitivitätsfunktionen αi, was dem originalen Netzwerk
entspricht, da außer diesen nichts verändert wurde. Da f(k)eine optimale Aus-
lastung in Gkinduziert, induziert feine optimale Auslastung in G. Maut τ
erzwingt also eine optimale Auslastung in G.
Wie wir in diesem Beweis gesehen haben, kann die optimale Maut und der
zugehörige Nashfluss im stetigen Modell als Grenzwert von optimalen Mauten
26
und zugehörigen Nashflüssen im diskreten Modell dargestellt werden. Damit gilt
die obere Schranke an die Mauthöhe aus Theorem 4.1 auch im stetigen Modell.
Aber auch die anderen Resultate aus dem diskreten Modell, wie die polynomielle
Berechnung der Maut, können auf das stetige Modell übertragen werden, weil
der Nashfluss und die Latenzsensitivitäten wie im diskreten Modell darstellbar
und damit die linearen Progamme Pgund Dgbenutzbar sind. Somit sind auch
die Korollare 2.2 bis 2.4 auf das stetige Modell übertragbar.
6 Allgemeine Auslastungsspiele
Bevor wir die für Mehrgüternetzwerke bewiesenen Resultate auf allgemeine Aus-
lastungsspiele übertragen, führen wir zunächst die von Fleischer et al. benutze
Notation für allgemeine Auslastungsspiele ein:
Definition 6.1. Ein allgemeines Auslastungsspiel besteht aus NNutzertypen
und MRessourcen. Jeder Nutzertyp iwird beschrieben durch
eine Gesamtgröße divon infinitesimal kleinen Nutzern,
eine konstante Latenzsensitivität αi0,
eine Strategiemenge Si.
Wie in Mehrgüternetzwerken gelte o. B. d. A. Pidi= 1. Jede Ressource jwird
beschrieben durch
eine Anzahl der Nutzer, die diese benutzen,
eine nichtfallende Latenzfunktion lj:R0R0, die für eine Auslastung
der Ressource die zugehörige Latenz angibt, die die Nutzer aufbringen müs-
sen, um die Ressource zu nutzen.
Abbildung 7: Beispiel eines Auslastungsspieles mit neun Ressourcen und zwei
Nutzertypen mit den Strategiemengen S1und S2
Der Unterschied zu Mehrgüternetzwerken ist, dass in allgemeinen Auslas-
tungsspielen die Netzwerkstruktur nicht mehr vorhanden ist. Die Latenzsensiti-
vitäten αisind jedoch pro Nutzertyp iwie im diskreten Modell eines Mehrgüter-
netzwerkes konstant. Möchte man ein Mehrgüternetzwerk als Auslastungsspiel
beschreiben, so entspricht die Menge der Ressourcen im Auslastungsspiel der
Menge an Kanten im Mehrgüternetzwerk. Statt der Menge der Pfade Pibe-
trachtet man in allgemeinen Auslastungsspielen die Menge der Strategien Si,
27
die Nutzertyp iwählen kann. Eine Strategie ist dabei eine Kombination von
Ressourcen. Mit allgemeinen Auslastungsspielen können also allgemeinere Situa-
tionen, denen kein Netzwerk zugrunde liegt, modelliert werden. Im Folgenden
werden wir sehen, dass die bewiesenen Resultate auf allgemeine Auslastungs-
spiele übertragbar sind.
Definition 6.2. Als eine Auslastung in allgemeinen Auslastungsspielen be-
zeichnen wir einen Vektor in RM
0, der die Benutzung jeder Ressource beschreibt.
Ein Auslastung gibt wie in Mehrgüternetzwerken an, wieviele infinitesimal
kleine Nutzer die einzelnen Ressourcen gewählt haben. Aus ihr ist damit nicht
das Verhalten der einzelnen Nutzertypen rekonstruierbar.
Definition 6.3. Eine Auslastung vheißt zulässig, wenn es eine Möglichkeit
gibt, jeden Nutzer zufriedenzustellen, ohne eine Ressource jmehr zu benutzen
als vjangibt. Eine Auslastung vheißt minimal zulässig, wenn sie auf keiner
Ressource reduziert werden kann, ohne dass die Zulässigkeit verloren geht.
6.1 Existenz von optimaler Maut in allgemeinen Auslas-
tungsspielen
Um eine bestimmte Benutzung der Ressourcen zu erzwingen, wollen wir diese
bemauten. Sei τjdie Maut auf Ressource j. Wir gehen weiterhin davon aus,
dass die Kosten bei Benutzung einer Strategie der Summe der Ressourcenkosten
entsprechen, die diese Strategie enthält. Nutzer vom Typ iwählen also eine
Strategie SSi, die
αiX
jS
lj(vj) + X
jS
τj:= αilS(v) + τS
minimiert, wobei vdie aktuelle Auslastung sei. Das Nash-Gleichgewicht in allge-
meinen Auslastungsspielen ist wie in Definition 2.7 definiert als die Auslastung,
bei der sich kein Nutzer durch alleinigen Strategienwechsel verbessern kann,
was formal der Auslastung vNash entspricht, für die für alle iund alle Strategien
SSi, die von mindestens einem Nutzer benutzt werden, gilt
αilS(vNash) + τSαilS0(vNash ) + τS0S0Si.
Damit können wir Erzwingbarkeit einer Auslastung wie in Mehrgüternetzwerken
definieren:
Definition 6.4. Eine Auslastung vist erzwingbar, wenn eine Maut τexistiert,
sodass vals Nash-Gleichgewicht im mit Maut τausgestatteten Auslastungsspiel
entsteht.
Auch in allgemeinen Auslastungsspielen können wir bestimmte Auslastungen
erzwingen:
Theorem 6.1 (Fleischer et al. [7]).Sei veine minimal zulässige Auslastung.
Dann existiert nichtnegative Maut, die verzwingt.
28
Beweis. Sei xiS die Größe bzw. Anzahl der Nutzer des i-ten Typs, die Strategie
Sgewählt haben. Sei weiter
liS := αiX
jS
lj(vj) = αilS(v)
die Latenz der Strategie Sfür Nutzertyp iin Geldeinheiten ausgedrückt. Wir be-
weisen das Theorem wie für Mehrgüternetzwerke mithilfe linearer Programme.
Betrachten wir dazu zunächst das folgende lineare Programm:
Pv: min X
iX
SSi
liS xiS (Pv.1)
sodass X
iX
SSi:jS
xiS vjj(Pv.2)
X
SSi
xiS dii(Pv.3)
xiS 0iSSi(Pv.4)
Dieses lineare Programm minimiert für die aus xiS entstehende Auslastung die
Gesamtkosten in Geldeinheiten ausgedrückt. Dabei gilt die Nebenbedingung
(Pv.2), dass die Auslastung vnicht überschritten wird, was erfüllt werden kann,
sobald vzulässig ist. Außerdem soll für jeden Nutzertyp imit Bedingung (Pv.3)
mindestens der geforderte Bedarf diverschickt werden und xiS mit Bedingung
(Pv.4) als Auslastung zulässig sein. Da vin unserem Fall zulässig ist, existiert
somit nach Definition immer eine zulässige Lösung für Pv. Um die Maut zu
erhalten, die verzwingt, wollen wir Pvdualisieren. Dazu formulieren wir das
lineare Programm zunächst um und erhalten
P0
v: min (liS)T
i=1,...,N,SSix(P0
v.1)
sodass V x (vj)j=1,...,M (P0
v.2)
Dx ≤ −(di)i=1,...,N (P0
v.3)
x0(P0
v.4)
Dabei sei xder s-dimensionale Spaltenvektoren mit den Einträgen xiS, wobei
s:= |SiSi|die Anzahl aller möglichen Strategien sei. (In Mehrgüternetzwer-
ken entspricht xdem Fluss aus Definition 2.2, aus dem man im Gegensatz zur
Auslastung das Verhalten der einzelnen Nutzertypen rekonstruieren kann.) Des
Weiteren sei Veine (M×s)-Matrix mit Einträgen
Vj,S =(1jS
0sonst.
und Deine (N×s)-Matrix mit Einträgen
Di,S =(1SSi
0sonst.
29
Das duale Programm von P0
ventspricht dann
D0
v: max (di)T
i=1,...,N z(vj)T
j=1,...,M τ(D0
v.1)
sodass DTzVTτ(liS )i=1,...,N,S Si(D0
v.2)
z0(D0
v.3)
τ0(D0
v.4)
mit z= (zi)i=1,...,N und τ= (τj)j=1,...,M , was ausformuliert dem folgenden
dualen Programm entspricht:
Dv: max X
i
diziX
j
vjτj(Dv.1)
sodass ziliS +X
jS
τjiSSi(Dv.2)
zi0i(Dv.3)
τj0j(Dv.4)
Wir wollen τjals die Maut der Ressource jinterpretieren, weshalb Bedingung
(Dv.2) aussagt, dass zinicht größer als die Kosten von Strategie Sfür Nutzer des
Typs iwerden darf. Da zimit positivem Koeffizienten in der Kostenfunktion
vorkommt, soll es maximiert werden und entspricht damit im Optimum den
geringsten Kosten, die ein Nutzer vom Typ ihaben kann, um seinen Bedarf
abzudecken.
Da liS positiv ist, hat Dvmit zi= 0 iund τj= 0 jeine zulässige
Lösung. Pvund Dvhaben nach dem Satz über primal-duale Paare also beide
optimale Lösungen (Papadimitriou und Steiglitz [11], S. 70). Nach dem Satz
vom komplementären Schlupf (Papadimitriou und Steiglitz [11], S. 72) gilt für
eine primale optimale Lösung xund eine dual optimale Lösung (τ, z ):
xiS >0zi=liS +X
jS
τj.
Das heißt, wird Strategie Svon Nutzern des Typs igenutzt, so entsprechen die
Kosten für die Nutzung der Ressource Svon Nutzern des Typs iden kleinst-
möglichen Kosten. Jeder Nutzer wählt damit die günstigste Strategie für sich.
xentspricht also dem Nash-Gleichgewicht im Auslastungsspiel mit Maut τund
ergibt die Auslastung v, wenn diese minimal zulässig ist, da dann die Neben-
bedingungen (Pv.2) und (Pv.3) für alle zulässigen Lösungen xiS von Pvnach
Definition scharf sind. Die minimal zulässige Auslastung vist damit mit nicht-
negativer Maut erzwingbar. Das Finden der entsprechenden Maut τläuft wie
bei Mehrgüternetzwerken auf das Lösen der linearen Programme hinaus.
Dieses Theorem liefert uns das gleiche Resultat wie Korollar 2.1 im diskreten
Modell eines Mehrgüternetzwerkes, nämlich die Existenz von Maut, die eine
(system-)optimale Auslastung verzwingt.
Korollar 6.1 (Fleischer et al. [7]).Sei veine optimale Auslastung, das heißt
es gelte X
iX
SSi
liS (v)viS X
iX
SSi
liS (v0)v0
iS
für alle zulässigen Auslastungen v0, dann ist vmit Maut erzwingbar.
30
Beweis. Wie im Beweis von Korollar 2.1 konstruieren wir aus veine minimal
zulässige Auslastung vv. Dann ist verzwingbar mit Theorem 6.1. Da
Latenzfunktionen nichtfallend sind und v
iS viS iSSigilt, folgt
X
iX
SSi
liS (v)v
iS X
iX
SSi
liS (v)viS .
Weil voptimal ist, haben wir mit veine optimale Auslastung erzwungen.
Analog zu Mehrgüternetzwerken können wir in allgemeinen Auslastungs-
spielen den Begriff der schwachen Erzwingbarkeit definieren und das zugehörige
Resultat von den Mehrgüternetzwerken übernehmen.
Definition 6.5. Maut τerzwingt die Auslastung vschwach, wenn eine Aus-
lastung v0vexistiert, die von τerzwungen wird.
Korollar 6.2 (Fleischer et al. [7]).Sei veine zulässige Auslastung. Dann ist v
mit Maut schwach erzwingbar.
Beweis. Der Beweis funktioniert analog zu dem Beweis von Korollar 2.4: Wir
konstruieren aus veine minimal zulässige Auslastung vv. Diese ist erzwing-
bar mit Theorem 6.1. Die Auslastung vist damit schwach erzwingbar.
6.2 Schranken an die Mauthöhe in allgemeinen Auslas-
tungsspielen
Da die Struktur der linearen Programme Pvund Dv, welche die optimale Maut
in allgemeinen Auslastungsspielen beschreiben, die gleiche ist wie die der linea-
ren Programme Pgund Dgder Mehrgüternetzwerke, ist die exponentielle obere
Schranke an die Mauthöhe aus Theorem 4.1 auf allgemeine Auslastungsspiele
übertragbar. Für allgemeine Auslastungspiele haben Fleischer et al. zusätzlich
ein Beispiel gefunden, in dem eine exponentielle Maut in der Anzahl der Res-
sourcen nötig ist, um die gewünschte Auslastung zu erzwingen. Dieses Beispiel,
welches in Abbildung 8 dargestellt ist, zeigt damit, dass die gegebene exponen-
tielle Schranke an die Mauthöhe scharf ist.
Beispiel 6.1 (Fleischer et al. [7]).Betrachten wir das Auslastungsspiel mit
kNutzertypen,
2(k+ 1) Ressourcen a0, . . . , ak, b0, . . . , bk,
gleicher Latenzsensitivität für alle Nutzer,
Strategiemengen Si={{ai1, bi1},{ai},{bi}} für alle Nutzertypen i,
Latenz eins bei Benutzung von a0und b0,
Latenz null bei Benutzung aller anderen Ressourcen.
Die Auslastung, die erzwungen werden soll, habe
auf a0, b0, akund bkeine Belastung von 1
3,
auf allen anderen Ressourcen eine Belastung von 2
3.
31
a0a1. . . ai1aiai+1 . . . ak
b0b1. . . bi1bibi+1 . . . bk
l(x)=1 l(x) = 0
SiSi+1
Abbildung 8: Beispiel eines Auslastungsspieles, bei dem eine exponentiell hohe
Maut nötig ist, um die gewünschte Auslastung zu erzwingen
Wie sieht die Maut aus, die diese Auslastung erzwingt? Betrachten wir Nutzer-
typ 1 mit der Strategiemenge S1={{a0, b0},{a1},{b1}}. Da kein anderer Nut-
zertyp die Ressourcen a0und b0zur Verfügung hat, muss bei Nutzertyp 1 für
die gewünschte Belastung von 1
3auf dieser Resource gesorgt werden. Betrachtet
man die Strategiemenge S2, so stellt man außerdem fest, dass Nutzertyp 2 die
Ressourcen a1und b1nur mit gleicher Auslastung belasten kann. Um auf ihnen
die gewünschte Belastung von 2
3zu erhalten, muss also auch Nutzertyp 1 beide
Strategien {a1}und {b1}ausgewogen belasten, also jeweils mit 1
3. Führt man
nach diesem Prinzip fort, stellt man fest, dass, um die gewünschte Auslastung
zu erzwingen, für alle Nutzertypen eine Gleichverteilung auf die drei möglichen
Strategien erzwungen werden muss. Die Maut müssen wir also so einführen, dass
die Kosten aller Strategien für jeden Nutzertypen gleich hoch sind und sich da-
mit die gewünschte Gleichverteilung ergibt. Im Folgenden bezeichne c(s)für eine
Strategie sSidie Kosten der Strategie für Nutzertyp i. Für Nutzertyp 1 gilt
ohne Maut c(a0, b0) = 2,c(a1) = c(b1) = 0. Damit alle drei Strategien gleiche
Kosten haben, führen wir für die Ressourcen a1und b1eine Maut von 2 Ein-
heiten ein. Damit erhalten wir die Strategiekosten c(a0, b0) = c(a1) = c(b1) = 2.
Für Nutzertyp 2 gilt damit c(a1, b1)=4,c(a2) = c(b2)=0, weshalb wir zusätz-
lich für die Ressourcen a2und b2eine Maut von 4 Einheiten einführen müssen.
Man sieht schnell, dass insgesamt folgende Maut nötig ist:
τai=τbi=τai1+τbi1i > 1
τa1=τb1= 2.
Die Maut ist also exponentiell in der Anzahl der Nutzertypen kund damit in
der Anzahl der Ressourcen. Hier ist die Unabhängigkeit der Mauthöhe von der
Anzahl der Nutzertypen nicht möglich, da diese von der Anzahl der Ressourcen
abhängt.
Da dieses Beispiel nicht auf Mehrgüternetzwerke übertragbar ist, lässt die
Ausarbeitung von Fleischer et al. offen, ob die bewiesene exponentielle Schranke
auch in Mehrgüternetzwerken scharf ist.
32
6.3 Verallgemeinerungen
Betrachten wir noch einmal die Herleitung des linearen Programms im Beweis
von Satz 6.1, so können wir feststellen, dass wir Veränderungen an der Varia-
ble liS =αiPjSlj(vj)vornehmen können, ohne dass sich die Struktur des
linearen Programms oder die Beweise der Resultate verändern. Genauer gel-
ten die bewiesenen Resultate aus Kapitel 6.1 weiterhin für folgende aufeinander
aufbauende Verallgemeinerungen:
Die Latenz einer Ressource kann vom Nutzertyp iabhängen. Dies ist bei-
spielsweise bei Straßen mit Busspuren der Fall, die Busse und Taxen bei
Stau schneller passieren können als PKW. Die Latenzfunktion lässt sich
in diesem Fall umformulieren als nichtfallende Funktion lj i :R0RN
0,
welche für eine gegebene Auslastung der Ressource jangibt, welche La-
tenz von Nutzertyp ibei Benutzung dieser Ressource aufgebracht werden
muss. Dabei kann die Latenzsensitivität αischon in die Latenzfunktion
lji aufgenommen werden, sodass diese die Latenz in Geldeinheiten angibt.
Es würde also gelten liS =PjSlji (vj).
Die Latenz einer Ressource kann von der Gesamtauslastung aller Res-
sourcen abhängen, statt nur von der Ressource selbst. Mit dieser Verall-
gemeinerung sind zum Beispiel Abhängigkeiten zwischen den Ressourcen
abbildbar. Die Latenzfunktion ergibt sich dabei als lji :RM
0RN
0und
gibt für eine gegebene Auslastung aller Ressourcen an, welche Latenz in
Geldeinheiten Nutzer des Typs iaufbringen müssen, um die Ressource j
zu nutzen. Es folgt liS =PjSlji(v).
Die Latenz eines Weges kann eine beliebige Funktion abhängig von seinen
Kantenlatenzen darstellen und muss nicht mehr zwingend die Summe der
Kantenlatenzen sein. Somit könnte man beispielsweise Schwachstellen im
Netz über die maximale Kantenlatenz untersuchen. Die Latenzfunktion
lässt sich dann endgültig schreiben als liS :Si×RM
0R0. Sie gibt
für eine gegebene Gesamtauslastung aller Ressourcen und eine Strategie
SSian, wie viel Latenz in Geldeinheiten Nutzer des Typs ifür die
Benutzung der Strategie Saufbringen müssen.
7 Fazit
Fleischer, Jain und Mahdian haben nicht nur gezeigt, dass das Resultat von
Beckman von 1956 vollständig auf heterogene Nutzer erweiterbar ist, sondern
sich auch weiterführende Fragen zum Realitätsbezug gestellt und beantwortet.
Besonders hervorzuheben ist, dass ihnen ein konstruktiver Beweis der Existenz
der optimalen Maut gelungen ist, sodass nicht nur deren Existenz, sondern auch
deren Berechnung mithilfe der linearen Programme möglich ist.
Mithilfe der Resultate der Arbeit von Fleischer et al. lässt sich also für ein
beliebiges Mehrgüternetzwerk mit heterogenen Nutzern die optimale Maut fin-
den, welche das Systemoptimum erzwingt. Obwohl sich diese optimale Maut in
der Realität nicht ohne Weiteres durch eine separate Bemautung aller Kanten
des Netzwerkes umsetzen lässt, kann man die gewonnenen Informationen nut-
zen, um den Preis der Anarchie durch eine vereinfachte Maut zu reduzieren.
33
Eine Möglichkeit der Vereinfachung wäre beispielsweise die konstante Bemau-
tung eines begrenzten Gebietes, wie es in London durchgeführt wird, womit
sich die Datenerfassung zur Abrechnung der Maut, sowie die Information der
Nutzer über die Tarifstruktur im Vergleich zur separaten Kantenmaut enorm
vereinfacht. Aber auch kompliziertere Abrechnungssysteme werden umgesetzt.
Der deutschen LKW-Maut liegt beispielsweise ein System zugrunde, welches eine
sehr differenzierte Abrechnung der Maut erlaubt. Bei diesem, von der Firma Toll
Collect entwickelten System, können die Nutzer zwischen einer satellitengesteu-
erten und automatischen Buchungsvariante per Fahrzeuggerät und einer ma-
nuellen Buchungsvariante per Mautstellen-Terminal oder Internet wählen (Toll
Collect GmbH [14]). Dabei wird die Maut nach der gefahrenen Strecke und
der Art des Fahrzeuges berechnet. Bemautet werden momentan Autobahnen
und ausgewählte Abschnitte einzelner Bundesstraßen. Da im bemauteten Stre-
ckennetz jedoch nur vereinzelt Kontrollpunkte nötig sind, um Fahrzeuge ohne
Fahrzeuggerät zu erfassen, die keine Maut gezahlt haben, ist eine Ausweitung
des bemautbaren Streckennetzes mit geringem Aufwand möglich. Mautpflichtig
sind LKW ab 12 Tonnen. Das System könnte man aber auch auf andere Ver-
kehrsmittel ausweiten und so eine kantenbasierte Maut, wie wir sie in dieser
Arbeit modellierten, in die Realität umsetzen.
Eine Vereinfachung der Maut, zum Beispiel durch eine Einschränkung der
Anzahl bemautbarer Kanten, bleibt jedoch trotzdem attraktiv. Aus diesem
Grund haben sich andere Ausarbeitungen weitergehend mit dem Thema ausein-
andergesetzt. Hoefer et al. [8] befassen sich beispielsweise mit der Frage, ob die
Erzwingung des Systemoptimums möglich ist, wenn die Menge der bemautbaren
Straßen des Netzwerkes beliebig eingegrenzt wird. Sie zeigen, dass das Finden
einer optimalen Maut für den allgemeinen Fall NP-schwer ist. Weiterführend
stellten sich deshalb Bonifaci et al. [2] die Frage, wie stark die durch Maut er-
zwingbare Auslastung für ein gegebenes bemautbares Teilnetzwerk vom Syste-
moptimum abweicht. Sie zeigten, dass der Preis der Anarchie bei polynomiellen
Latenzfunktionen auch für eingeschränkte Maut noch wesentlich reduziert wer-
den kann, solange die Einschränkungen der Maut auf Kanten mit hochgradigen
Latenzfunktionen nicht zu stark sind.
Hat man die Existenz der optimalen Maut gezeigt und deren Berechnung
ermöglicht, ist ein weiteres Ziel die Minimale der optimalen Mauten zu be-
stimmen, was die Frage aufwirft, wie groß diese minimale Maut werden kann.
Fleischer et al. haben in ihrer Ausarbeitung nur eine, in der Anzahl der Kan-
ten des Netzwerkes allgemein exponentielle, obere Schranke an die Mauthöhe in
Mehrgüternetzwerken bewiesen, die zusätzlich linear von der maximalen Latenz-
sensitivität der Nutzer und der maximalen Latenz der Kanten abhängt. Mit den
zusätzlichen Untersuchungen der oberen Schranke an die Mauthöhe in Kapitel
4.2 wollten wir deshalb in dieser Bachelorarbeit der Frage nach der maximal
nötigen Maut näher auf den Grund gehen. Im Fall von Mehrgüternetzwerken
konnten wir mit Theorem 4.2 zeigen, dass die optimale Maut maximal exponen-
tiell im Sinne der Fakultät von der Anzahl der Kanten des Netzwerkes abhängt
und damit die allgemeine obere Schranke von Fleischer et al. konkretisieren.
Da Fleischer et al. in Beispiel 6.1 für die untere Schranke an die Mauthöhe in
allgemeinen Auslastungsspielen nur die Exponentialität der nötigen Maut im
Sinne der Zweierpotenz zeigen, bleibt damit die Frage offen, ob sich für allge-
meine Auslastungsspiele ein Beispiel finden lässt, wo die benötigte Maut noch
größer ist als im gegebenen Beispiel oder ob die in Theorem 4.1 bewiesene obere
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Schranke verbessert werden kann. Um zu untersuchen, ob die obere Schranke
von Fleischer et al. reduzierbar ist, haben wir zunächst mit Beispiel 4.1 gezeigt,
dass die Abhängigkeit von der maximalen Latenzsensitivität der Nutzer und
der maximalen Latenz der Kanten nicht einmal im einfachsten Fall eines Netz-
werkes mit zwei parallelen Kanten vernachlässigbar ist. Die Abhängikeit von
der Anzahl der Kanten des Netzwerkes konnten wir jedoch für Spezialfälle re-
duzieren: Für den Spezialfall eines Netzwerkes, in dem jeder Weg aus maximal
kKanten besteht, konnten wir mit Theorem 4.3 eine bessere Abschätzung an
die Mauthöhe finden, solange km
6. In diesem Fall ist die benötigte Maut
exponentiell in der Anzahl mder Kanten des Netzwerkes im Sinne der Potenz
(2k)m2, was für festes kasymptotisch besser ist als die Fakultät (m1)!. Da
in jedem Mehrgüternetzwerk die maximale Weglänge durch die Anzahl nder
Knoten beschränkt ist, kann Theorem 4.3 mit k=nauf jedes Mehrgüternetz-
werk angewendet werden. Gilt dabei für das Netzwerk nm
6, also m6n, so
ist diese obere Schranke an die Mauthöhe im Sinne der Potenz (2n)m2besser
als die in Theorem 4.2 gegebene Abschätzung im Sinne der Fakultät (m1)!.
Ist k= 1, so konnten wir die obere Schranke an die Mauthöhe noch weiter
reduzieren. Für diese speziellen Mehrgüternetzwerke, in denen jeder Weg aus
genau einer Kanten besteht (was Netwerke mit parallelen Kanten einschließt),
konnten wir mit Theorem 4.5 zeigen, dass nur eine lineare Maut in der Anzahl
der Kanten des Netzwerkes nötig ist.
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Literatur
[1] Beckman, M. ; McGuire, C. B. ; Winsten, C. B.: Studies in the Eco-
nomics of Transportation. Yale University Press, 1956
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non-atomic network routing games. In: Proceedings of the 4th internatio-
nal conference on Algorithmic game theory. Berlin, Heidelberg : Springer-
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single source networks. In: Theoretical Computer Science, 348(2-3), 2005,
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[7] Fleischer, L. ; Jain, K. ; Mahdian, M.: Tolls for heterogeneous selfish
users in multicommodity networks and generalized congestion games. In:
Foundations of Computer Science, 2004. Proceedings. 45th Annual IEEE
Symposium on, 2004, S. 277 – 285
[8] Hoefer, M. ; Olbrich, L. ; Skopalik, A.: Taxing Subnetworks. In: In-
ternet and network economics : 4th International Workshop, WINE, 2008,
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[9] Königsberger, K.: Analysis 1. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2004
[10] Koutsoupias, E. ; Papadimitriou, C.: Worst-case equilibria. In: Com-
puter Science Review 3(2), 2009, S. 65–69
[11] Papadimitriou, C. H. ; Steiglitz, K.: Combinatorial Optimization, Al-
gorithms and Complexity. Englewood Cliffs, New Jersey : Prentice-Hall,
Inc., 1982
[12] Pigou, A. C.: The Economics of Welfare. Macmillan, 1920
[13] Roughgarden, T.: Selfish routing and the price of anarchy. Cambridge,
Massachusetts : MIT Press, 2005
[14] Toll Collect GmbH:Pressemitteilungen. 2012. – URL http://www.
toll-collect.de/presse. – Zugriffsdatum: 27.02.2013
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Conference Paper
Full-text available
An effective means to reduce the inefficiency of Nash flows in non- atomic network routing games is to impose tolls on the arcs of the network. It is a well-known fact that marginal cost tolls induce a Nash flow that corresponds to a minimum cost flow. However, despite their effectiveness, marginal cost tolls suffer from two major drawbacks, namely (i) that potentially every arc of the network is tolled, and (ii) that the imposed tolls can be arbitrarily large. In this paper, we study the restricted network toll problem in which tolls can be imposed on the arcs of the network but are restricted to not exceed a predefined threshold for every arc. We show that optimal restricted tolls can be computed efficiently for parallel-arc networks and affine latency functions. This generalizes a previous work on taxing subnetworks to arbitrary restrictions. Our algorithm is quite simple, but relies on solving several convex programs. The key to our approach is a characterization of the flows that are inducible by restricted tolls for single-commodity networks. We also derive bounds on the efficiency of restricted tolls for multi-commodity networks and polynomial latency functions. These bounds are tight even for parallel-arc networks. Our bounds show that restricted tolls can significantly reduce the price of anarchy if the restrictions imposed on arcs with high-degree polynomials are not too severe. Our proof is constructive. We define tolls respecting the given thresholds and show that these tolls lead to a reduced price of anarchy by using a (\lambda,\mu)-smoothness approach.
Book
Full-text available
Selfish routing is a classical mathematical model of how self-interested users might route traffic through a congested network. The outcome of selfish routing is generally inefficient, in that it fails to optimize natural objective functions. The price of anarchy is a quantitative measure of this inefficiency. We survey recent work that analyzes the price of anarchy of selfish routing. We also describe related results on bounding the worst-possible severity of a phenomenon called Braess's Paradox, and on three techniques for reducing the price of anarchy of selfish routing. This survey concentrates on the contributions of the author's PhD thesis, but also discusses several more recent results in the area.
Book
One of the problems in economics that economists have devoted a considerable amount of attention in prevalent years has been to ensure consistency in the models they employ. Assuming markets to be generally in some state of equilibrium, it is asked under what circumstances such equilibrium is possible. The fundamental mathematical tools used to address this concern are fixed point theorems: the conditions under which sets of assumptions have a solution. This book gives the reader access to the mathematical techniques involved and goes on to apply fixed point theorems to proving the existence of equilibria for economics and for co-operative and noncooperative games. Special emphasis is given to economics and games in cases where the preferences of agents may not be transitive. The author presents topical proofs of old results in order to further clarify the results. He also proposes fresh results, notably in the last chapter, that refer to the core of a game without transitivity. This book will be useful as a text or reference work for mathematical economists and graduate and advanced undergraduate students.
Article
In a system where noncooperative agents share a common resource, we propose the price of anarchy, which is the ratio between the worst possible Nash equilibrium and the social optimum, as a measure of the effectiveness of the system. Deriving upper and lower bounds for this ratio in a model where several agents share a very simple network leads to some interesting mathematics, results, and open problems.22The conference version of this work [Koutsoupias and Papadimitriou (1999) [17]] appeared a decade ago and it has been followed by a large amount of work on the concept of the price of anarchy (as witnessed by the extensive coverage in Nisan et al. (2007) [9]). In this journal version we tried to keep as much as possible the text of the original paper. There are, though, important changes because results that were substantially improved in the meantime are omitted. The other notable change is that here we use the term "price of anarchy" instead of the original term "coordination ratio". The use of the latter term faded away in the literature, being replaced by the term "price of anarchy" which was first introduced in Papadimitriou (2001) [18].
Article
We show that tolls that are linear in the latency of the maximum latency path are necessary and sufficient to induce heterogeneous network users to independently choose routes that lead to traffic with minimum average latency. This improves upon the earlier bound of O(n(3)l(max)) given by Cole, Dodis, and Roughgarden in STOC 03. (Here, n is the number of nodes in the network; and l(max) is the maximum latency of any edge.) Our proof is also simpler, relating the Nash flow to the optimal flow as flows rather than cuts. We model the set of users as the set [0, 1] ordered by their increasing willingness to pay tolls to reduce latency-their valuation of time. Cole et al. give an algorithm that computes optimal tolls for a bounded number of agent valuations, under the very strong assumption that they know which path each user type takes in the Nash flow imposed by these (unknown) tolls. We show that in series parallel graphs, the set of paths traveled by users in any Nash flow with optimal tolls is independent of the distribution of valuations of time of the users. In particular, for any continuum of users (not restricted to a finite number of valuation classes) in series parallel graphs, we show how to compute these paths without knowing alpha. We give a simple example to demonstrate that if the graph is not series parallel, then the set of paths traveled by users in the Nash flow depends critically on the distribution of users' valuations of time. (c) 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.
Conference Paper
We prove the existence of tolls to induce multicommodity, heterogeneous network users that independently choose routes minimizing their own linear function of tolls versus latency to collectively form the traffic pattern of a minimum average latency flow. This generalizes both the previous known results of the existence of tolls for multicommodity, homogeneous users (Beckman et al., 1956) and for single commodity, heterogeneous users (Cole et al., 2003). Unlike previous proofs for single commodity users in general graphs, our proof is constructive - it does not rely on a fixed point theorem - and results in a simple polynomial-sized linear program to compute tolls when the number of different types of users is bounded by a polynomial. We show that our proof gives a complete characterization of flows that are enforceable by tolls. In particular, tolls exist to induce any traffic pattern that is the result of minimizing an arbitrary function from R<sup>E(G)</sup> to the reals that is nondecreasing in each of its arguments. Thus, tolls exist to induce flows with minimum average weighted latency, minimum maximum latency, and other natural objectives. We give an exponential bound on tolls that is independent of the number of network users and the number of commodities. We use this to show that multicommodity tolls also exist when users are not from discrete classes, but instead define a general function that trades off latency versus toll preference. Finally, we show that our result extends to very general frameworks. In particular, we show that tolls exist to induce the Nash equilibrium of general nonatomic congestion games to be system optimal. In particular, tolls exist even when 1) latencies depend on user type; 2) latency functions are nonseparable functions of traffic on edges; 3) the latency of a set S is an arbitrary function of the latencies of the resources contained in S. Our exponential bound on size of tolls also holds in this case; and we give an example of a congestion game that shows this is tight; it requires tolls that are exponential in the size of the game.