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Vie pédagogique no136 Septembre • Octobre 2005
PARLER LES MATHÉMATIQUES
par Nadine Bednarz
«D
Dossier
«Dans cette étape finale du travail,
il est possible que j’utilise des signes
algébriques; mais assez fréquemment,
je ne les utilise pas de la façon usuelle
et normale. Je ne prends pas le temps
d’écrire complètement les équations,
mon seul souci étant pour ainsi dire de
voir quel aspect elles ont. Ces équa-
tions (ou certains de leurs termes) sont
souvent disposées dans un ordre parti-
culier et bizarre, comme des acteurs
sur une scène, grâce à quoi elles me
parlent tant que je continue à les
considérer.» (Hadamard 1975: 80)
Cette citation du ma-
thématicien Hada-
mard en dit long sur
la manière dont s’éla-
bore la découverte
mathématique. Le lan
-
gage mathématique
symbolique y est mis
au second plan pour
donner un sens à la
construction, et c’est
seulement au moment
de la communication
finale des résultats
qu’il réapparaîtra.
Le propos de mon
article va dans ce
sens. Je vise à mon-
trer l’importance qu’il
peut y avoir pour les élèves et pour l’en-
seignant à s’éloigner du langage spécifique
des mathématiques, de manière à « faire par-
ler les mathématiques », à construire un sens
aux concepts, aux raisonnements, au symbo-
lisme en mathématiques. Cette verbalisation
et le développement d’une flexibilité dans les
explications orales ou écrites rejoignent le
développement de la compétence de com-
munication en mathématiques (MEQ 2003).
J’illustrerai cela avec deux exemples d’ex-
ploitation de situations touchant à la généra-
lisation et à la construction de formules, de
même qu’à la résolution d’équations. J’ai
volontairement retenu l’algèbre, car l’utilisa-
tion de symboles dans ce cas est souvent
perçue par plusieurs comme « du chinois »,
en raison du peu de sens qu’ils accordent à
ce symbolisme. D’autres exemples touchant
à l’exploitation de situations mathématiques
au primaire peuvent être trouvés relative-
ment à l’apprentissage des opérations arith-
métiques (Bednarz et autres 1992 et 1993), de
la résolution de problèmes (Bednarz 1996)
ou encore de la numération (Bednarz et
Dufour 1984; Bednarz 1991). Ils mettent
en place des situations de communication
forçant la production de messages à carac-
tère mathématique par les élèves.
Premier exemple : construction
de formules et généralisation
en algèbre
La situation suivante, qui pourrait être
exploitée au premier cycle du secondaire,
illustre la pertinence de « faire parler » les
mathématiques, de les contextualiser, de
les représenter. Il s’agit de favoriser la cons-
truction de sens par les élèves, notamment à
l’égard du symbolisme en algèbre.
Une mise en situation, dans laquelle le con-
texte et la consigne donnée vont être impor-
tants, est proposée aux élèves :
Un manufacturier produit des fenêtres
selon un certain modèle, toujours le
même; les fenêtres produites sont carrées,
formées au centre de carreaux trans-
parents et autour, en bordure, de car-
reaux colorés [on montre aux élèves
simultanément un transparent présentant,
en désordre, différentes fenêtres, de diffé-
rentes grosseurs, construites par le manu-
facturier]. Notre manufacturier produit
donc des fenêtres de différentes grosseurs,
construites toujours de la même façon
[des carreaux transparents au centre, des
carreaux colorés en bordure].
L’ouvrier en chef,
responsable de la
production, doit com-
mander des carreaux
de couleur pour fa-
briquer les fenêtres,
et il aimerait ne
pas avoir à compter
chaque fois le nombre
de carreaux de cou-
leur que cela lui
prend pour produire
une fenêtre. Peux-tu
l’aider?
Écris une lettre à
l’ouvrier en chef,
dans laquelle tu lui
indiques une manière
de faire pour trouver
rapidement le nombre de carreaux de
couleur nécessaires pour produire sa
fenêtre, et ce, pour n’importe quelle
grandeur de fenêtre.
Après s’être assuré que les élèves ont bien
compris la mise en situation (en leur faisant
par exemple reformuler celle-ci dans leurs
propres mots), on les laisse (en équipe ou
individuellement) rédiger leur message.
Plusieurs messages sont ici possibles (la
situation est en ce sens très riche), corres-
pondant à différentes visualisations sous-
jacentes, certaines solutions proposées
20
Photo : Denis Garon
pouvant fonctionner, mais d’autres étant
erronées. Voici quelques exemples de mes-
sages produits par des élèves de troisième
secondaire (classe faible) :
1. « Supposons que vous avez une longueur
de 8 carreaux de couleur. On fait moins 1.
On multiplie par 4. Ça vous donne le
nombre de carreaux de couleur.»
Dans ce cas, la méthode de calcul n’est pas
exprimée de façon générale mais pour un
nombre particulier, soit une longueur de
8 carreaux; toutefois, ce calcul pourrait faci-
lement être étendu à toute fenêtre.
2. «Vous comptez les carreaux transparents
sur la largeur. Multipliez par 4. Vous
ajoutez alors 4 carreaux pour les 4 coins. »
3. « On prend le nombre de carreaux de
couleur sur un côté. Multipliez par 4.
Après on enlève 4 (pour les 4 carreaux de
coin comptés en trop). »
4. «Vous comptez les carreaux transparents
sur un côté, vous faites plus 2. Puis vous
multipliez par 4, moins 4 pour les 4 coins. »
5. « Il faut que tu fasses nombre de carreaux
sur un côté fois nombre de carreaux sur
un côté pour le grand contour. Tu fais la
même chose pour le carré transparent, et
tu l’enlèves. »
6. « Tu prends le nombre de carreaux colorés
sur un côté fois 4. »
Dans ce dernier cas, la solution est erronée.
Les différents messages écrits par les élèves
sont mis sur transparents, et l’on revient sur
ceux-ci collectivement :
L’ouvrier qui reçoit ce message va-t-il le
comprendre? [Au besoin, les élèves seront
appelés, à cette étape, à reformuler le mes-
sage produit pour qu’il soit clair et puisse
être compris par celui qui va le recevoir.]
Le message lui permettra-t-il effective-
ment de calculer le nombre de carreaux
de couleur nécessaires pour fabriquer
une fenêtre, quelle que soit sa grandeur?
Pourquoi? [La validation des différents
messages est ici réalisée par les élèves en
s’appuyant sur une verbalisation du mes-
sage dans le contexte et le support du
dessin des fenêtres qui permet de visua-
liser et d’expliquer pourquoi le message
fonctionne ou non.]
Tous les messages alors retenus comme
valides sont écrits au tableau. On travaille
maintenant à leur exploitation :
On cherche à pouvoir communiquer tous
ces messages à l’ouvrier en chef de
manière efficace, pour qu’il puisse rapide-
ment en prendre connaissance et décider
de celui qu’il retient. Trouve un moyen de
lui communiquer brièvement l’information.
Voici quelques messages symboliques pro-
duits à cette étape par les mêmes élèves sur
le message 1 reformulé à l’étape précédente
Tu prends le nombre de carreaux de
couleur sur un côté, tu fais moins 1. Tu multi-
plies par 4. Ça te donne le nombre de car-
reaux de couleur.») :
1. «4 (n-1) »
2. « (L-1).4 »
3. « L Longueur d’un côté (L-1) x 4»
4. « N-1 x 4»
5. « (Nombre de carreaux – 1) x 4»
6. « x-1 X 4»
7. « (C-1). 4 »
8. « (c.c/L – 1) x 4»
En 8, on a une traduction littérale du message
en mots : « carreaux de couleur sur la lon-
gueur moins 1 fois 4 ».
On reviendra collectivement sur les différents
messages symboliques produits par les
élèves :
Les messages produits permettent-ils de
trouver le nombre de carreaux de couleur
qu’il faut pour construire une fenêtre,
et ce, quelle que soit la grandeur de la
fenêtre?
Là encore, la validation sera faite par les
élèves, en s’appuyant sur une verbalisation
de cette notation dans le contexte et le
dessin; l’élève est ainsi amené à faire parler
les symboles, à leur donner un sens.
Certaines symbolisations seront à cette occa-
sion rejetées: par exemple, dans le message 8,
les élèves décoderont peut-être ce message
en lui donnant un tout autre sens, et l’on fera
alors ressortir son ambiguïté.
Certaines symbolisations seront précisées :
Que veut dire le N, le C ou le n, par exemple?
On se rendra compte à cette occasion qu’il
est possible d’utiliser des lettres différentes
pour représenter la même réalité, soit le
nombre de carreaux de couleur sur un côté.
Certains conventions seront introduites :
Le message 1 et le message 4, par exemple,
veulent-ils dire la même chose? En quoi
les parenthèses sont-elles importantes?
Qu’indiquent-elles? On peut écrire un même
message de différentes façons : 4 (n-1) ou
(n-1) X 4, etc.
On pourra demander aux élèves si ces mes-
sages sont tous équivalents? Si oui, ils devront
en préciser la raison.
D’autres prolongements seront aussi exploités :
Si maintenant on dispose de 84 carreaux
de couleur, quelle fenêtre pourra-t-on fabri-
quer? Combien de carreaux aura-t-elle sur
son côté? Comment le sais-tu?
L’exemple d’une réponse fournie par un élève
montre clairement que son raisonnement
s’appuie sur le travail précédent de verbalisa-
tion et de visualisation en contexte : « Tu fais
84 moins 4 parce que tu enlèves les 4 coins,
tu vas obtenir 80, divisé par 4 tu vas obtenir
20 pour les carreaux transparents, donc 22
pour les carreaux de couleur.»
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et valider les messages produits. Ils établissent
à cette occasion des liens entre le langage
mathématique et le langage courant. La justi-
fication du caractère adéquat ou non du mes-
sage produit par l’élève, la verbalisation du
symbolisme et l’explicitation des conventions
d’écriture et de la démarche de résolution
d’équation sont autant d’occasions pour
l’élève de parler les mathématiques.
Plusieurs éléments de la compétence trans-
versale de communication sont également
sollicités. L’élève doit en effet établir l’inten-
tion de la communication et en tenir compte
dans la production de son message. Ce mes-
sage s’adresse à quelqu’un d’autre (l’ouvrier
en chef ) qui devra pouvoir le comprendre et
le décoder pour l’utiliser. L’élève doit par
ailleurs ajuster la communication (le message
produit) en fonction de la réaction possible
du destinataire. Lors du retour collectif, on
demande en effet aux élèves si l’ouvrier va
comprendre le message proposé, s’il pourra
en tirer parti. Si les élèves disent que le mes-
sage n’est pas clair, on leur demandera de le
reformuler…
Second exemple : résolution
d’équations
Tiré d’un exercice de physique, l’exemple
suivant permettra de montrer l’importance de
la verbalisation dans le travail sur la résolu-
tion d’équations. La suivante est proposée à
des élèves de deuxième secondaire :
1,30 = 1,64-0,5xI
(il s’agit de trouver l’intensité I).
Comment cette équation serait-elle résolue
habituellement à l’école?
1,64-0,5x I = 1,30
(-1,64) -0,5xI = 1,30-1,64
-0,5xI = -0,34
0,5xI = 0,34
(divisé par 0,5) I = 0,34 : 0,5
I = 0.68
Dans ce qui précède, aucune verbalisation
n’est présente, on ne trouve écrite qu’une
série de manipulations, au cours desquelles
d’ailleurs de nombreuses erreurs peuvent se
produire. On peut se demander quelle signifi-
cation a pour l’élève le fait de résoudre une
telle équation.
Comment donner un sens à celle-ci pour que
l’élève s’engage de façon réfléchie dans la
résolution et puisse trouver vite la solution?
En cachant le nombre 0,5xI, on peut verbali-
ser l’expression comme une différence de
deux nombres, dont le résultat est égal à 1,30.
Un de ces nombres étant 1,64, l’autre nombre
sera donc 0,34 (il faut enlever 0,34 à 1,64
pour retrouver 1,30). On a ainsi 0.5xI = 0,34.
La moitié de l’intensité recherchée étant 0,34,
l’intensité est alors égale à 0,68.
Prenons un autre exemple : 3 a /5 = 1.
Essayons de verbaliser la résolution de cette
équation de trois manières différentes (ce
que l’on peut demander aux élèves) de telle
sorte que l’on puisse trouver rapidement la
solution (l’exercice est à faire mentalement) :
1. Première verbalisation possible : « Par
quel nombre faut-il multiplier 3/5 pour
avoir 1 comme résultat (réponse : par le
nombre 5/3)? »
L’élève visualise dans ce cas l’équation de
départ comme étant 3/5 fois a = 1;
2. Deuxième verbalisation possible (en
cachant 3a) : « J’ai un certain nombre qui,
divisé par 5, me donne 1. Ce nombre est
cinq fois plus grand que 1 (on a donc
3a = 5). Et le nombre recherché a est trois
fois plus petit que 5 (a = 5/3). »
L’élève visualise dans ce cas l’équation de
départ comme étant 3a divisé par 5 = 1;
3. Troisième verbalisation possible (en
cachant a/5) : « J’ai un nombre qui multi-
plié par 3 me donne 1. Ce nombre est
donc trois fois plus petit (a/5 = 1/3). Et le
nombre recherché (a) est cinq fois plus
grand (a = 5/3). »
L’élève visualise dans ce cas l’équation de
départ comme étant 3 fois a/5 = 1.
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Réflexion sur ce premier exemple:
développement de la compétence
de communication
À travers la réalisation de cette situation en
classe, les élèves sont amenés à vivre une
démarche complète de généralisation (orien-
tation privilégiée par le nouveau programme
d’études en algèbre) permettant entre autres
de voir la pertinence d’un passage à l’algèbre
et de construire un sens au symbolisme et
aux conventions d’écriture. Ils vont par
ailleurs vivre une véritable situation de com-
munication. Plusieurs éléments de la compé-
tence de communication en mathématiques
sont sollicités dans l’exploitation de cette
situation.
Les élèves doivent en effet produire un mes-
sage écrit pour expliquer à quelqu’un d’autre
une manière rapide de calculer. Ils doivent
par la suite produire un message symbolique.
Il leur faut justifier les conventions introduites
Photo : Denis Garon
Parler les équations et leur résolution n’est
pas nécessaire bien sûr dans tout le travail
algébrique, et des automatismes auront peu
à peu à être intériorisés. Cependant, ce travail
apparaît essentiel pour donner un certain
sens à cette résolution au départ : il rend pos-
sible la résolution mentale d’équations et
contribue à faire voir à l’élève que, lorsqu’on
a un certain type d’équations simples, on a
résolu le problème (nul besoin de manipula-
tions à n’en plus finir…). Il permet aussi de
pouvoir envisager différentes visualisations
de l’équation et d’amener l’élève à dévelop-
per une flexibilité dans le passage d’une écri-
ture à l’autre (dans l’exemple précédent,
il faut pouvoir voir 3a/5 comme 3/5 fois a;
3a divisé par 5, ou encore 3 fois a/5).
Ce travail favorise par
ailleurs le fait de s’engager
avec discernement dans
la résolution en faisant
preuve de jugement
critique. Par exemple,
dans l’équation suivante :
x/14 + 2x = 6+ x/14 (ou
3/4+ x = 1/2+x), l’élève
devra voir vite, s’il donne
un sens à l’équation, que
dans le premier cas x = 3
et que dans le second il
n’y a aucune solution.
Il est d’ailleurs intéressant
de verbaliser la question
posée aux élèves de
différentes façons pour
forcer une réflexion sur
ce qu’est une équation
Trouve la ou les solu-
tions si elles existent; pour
quelles valeurs de x l’éga-
lité est-elle satisfaite? Je
pense à un nombre dans
ma tête, je ne te dis pas
ce que c’est. Si je prends
les 3/5 de ce nombre,
j’obtiens 1, quel est mon
nombre? »).
Parler les mathématiques dans
ce cas veut dire quoi?
À travers cet exemple, j’ai voulu illustrer le
potentiel d’une verbalisation des mathéma-
tiques. Celle-ci renvoie à la capacité de mettre
en évidence dans un langage signifiant pour
l’élève les éléments clés d’un concept (ici
celui d’équation), à la capacité de mettre en
mots les raisonnements importants, à une
certaine flexibilité (capacité de formuler un
concept donné de différentes façons), à la
capacité d’utiliser le langage de tous les jours
pour expliquer les concepts mathématiques
et les raisonnements et à la capacité d’utiliser
un langage adapté aux élèves et de prendre
une distance par rapport au langage tech-
nique (formel) des mathématiques.
Conclusion
Les exemples précédents montrent l’impor-
tance de la verbalisation en mathématiques.
La capacité d’utiliser différents niveaux
de langage, d’utiliser des métaphores et des
analogies, de contextualiser les mathéma-
tiques (de les parler en contexte, comme
dans le premier exemple), de passer d’un
niveau de langage à l’autre (comme dans le
deuxième exemple), de mettre en mots les
raisonnements importants, est une habileté
centrale en mathématiques. Cette verbali-
sation permet de construire un sens aux
concepts, aux raisonnements et au symbo-
lisme en mathématiques. Elle assure que
l’élève exercera un certain contrôle sur
l’activité mathématique.
Mme Nadine Bednarz est professeure au
Département des mathématiques de l’Uni-
versité du Québec à Montréal.
Références bibliographiques
BEDNARZ, N. « Interactions sociales et construction d’un
système d’écriture des nombres en classe primaire »,
dans C. Garnier et autres (dir.), Après Vygotski et Piaget.
Perspectives sociale et constructiviste, Bruxelles, Éditions
De Boeck, 1991.
BEDNARZ, N. « Language Activities, Conceptualization
and Problem Solving : The Role Played by Verbalization
in the Development of Mathematical Thought by
Young Children», dans H.M. Mansfield, N.A. Pateman et
N. Bednarz (dir.), Mathematics for Tomorrow’s Young
Children : International Perspectives on Curriculum,
Dordrecht, Kluwer, 1996.
BEDNARZ, N., et B. DUFOUR-JANVIER. «La numération:
une stratégie didactique cherchant à favoriser une
meilleure compréhension », Grand N, no34, 1984.
BEDNARZ, N. et autres. « Apprendre à penser en mathé-
matiques: un exemple d’intervention pédagogique auprès
de jeunes enfants », Vie pédagogique, no79, mai-juin,
1992.
BEDNARZ, N. et autres. « Socio-constructivist Viewpoint
on the Use of Symbolism in Mathematics Education »,
The Alberta Journal of Educational Research, vol. XXXIX,
no1, mars 1993.
HADAMARD, J. Essai sur la psychologie de l’invention
dans le domaine mathématique, Paris, Gauthier-Villars,
1975.
Vie pédagogique no136 Septembre • Octobre 2005
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Photo : Denis Garon
Article
Partant de la définition de l’apprentissage et des objets mathématiques selon Radford (2008), cet article propose une réflexion sur l’interdépendance des objets mathématiques, leurs symbolisations et les interactions sociales dans le processus d’apprentissage. Il vise à interroger la manière dont s’articulent ces trois composantes indissociables et présente, sur cette base, un modèle intégratif de l’apprentissage des mathématiques. Il vise à examiner en particulier l’importance des interactions entre l’enseignant ou l’enseignante et les élèves. Si l’importance des interactions sociales est démontrée depuis de nombreuses années, ce sont en effet principalement les interactions entre les élèves qui ont été étudiées (Schubauer-Leoni et Perret-Clermont, 1997; Iiskala, Vauras, Lehtinen et Salonen, 2011). Ce n’est qu’assez récemment que l’importance des interactions entre l’enseignant ou l’enseignante et les élèves a été mise en évidence. Dans notre article, nous proposons donc d’analyser plus particulièrement les interactions entre l’enseignant ou l’enseignante et les élèves, dans le contexte d’une activité de généralisation en algèbre. Nous montrons l’importance d’interventions de qualité de la part de l’enseignant, sur la base du modèle de Jacobs et al. (2010, dans Callejo et Zapareta, 2016), pour faire émerger les savoirs mathématiques des pratiques sociales de la classe.
Article
Full-text available
Cet article propose tout d’abord l’exploitation d’une activité de généralisation basée sur des motifs ( patterns ) figuratifs destinée à développer la pensée algébrique. L’activité a été organisée sur la base d’un modèle intégrant une structuration dans les processus de raisonnement basée sur le modèle de Dörfler (1991) en étroite interaction avec une structuration des symbolisations selon une chaîne de significations. Ensuite, cet article présente une analyse des raisonnements et des symbolisations des élèves de début du secondaire au cours de cette activité. Si les premiers résultats témoignent de la capacité des élèves à produire une grande diversité de moyens de généralisation, ils révèlent également certains obstacles rencontrés par les élèves dans le processus de généralisation ainsi que des difficultés à produire des formules utilisant le symbolisme algébrique.
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