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Memorias del I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia

Authors:

Abstract and Figures

This Proceedings compiles the papers that have been presented on the First Meeting of GeoGebra Clubs of Zulia State, an event promoted by “Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática” (TEM Group: Technologies in Mathematics Education), which took place on April 16th, 2015 in the Graduate School of the Faculty of Humanities and Education (FHE) of the University of Zulia (LUZ), in Maracaibo city, Venezuela. The meeting was conceived as a space of socialization and integration of knowledge regarding the creation of simulations with GeoGebra, which has taken shape in seventeen speeches that show the high school students experiences during this activity.
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I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
16 de Abril de 2015
Edif. de Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación de la Universidad del Zulia
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
DISEÑO DE PORTADA
Luis Andrés Castillo, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Teléfono: +58 426-6674438
luis.castillo@aprenderenred.com.ve
Estado Zulia, Venezuela
DIAGRAMACIÓN
Ender Méndez, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Teléfono: +58 414-6741311
endere.mendes@gmail.com
Estado Zulia, Venezuela
COMPILADORES
Juan Luis Prieto González
Rafael Enrique Gutiérrez
Primera edición: Octubre de 2015
ISBN: 978-980-12-8307-2
Depósito legal: Ifx06120153701736
© 2015 Asociación Civil Aprender en Red
Los trabajos aquí publicados han sido sometidos a un proceso de evaluación a cargo de
especialistas en el campo de la Educación Matemática de diferentes universidades
Derechos reservados
© Asociación Civil Aprender en Red
http://www.aprenderenred.com.ve
Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, previa cita a la fuente:
Prieto, J.L. y Gutiérrez, R.E. (Comps.). (2015).
Memorias del I Encuentro de Clubes
GeoGebra del Estado Zulia
. Maracaibo, Venezuela: A.C. Aprender en Red.
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I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
ORGANIZADO POR
Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática
Con el apoyo del Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI)
y la Maestría en Matemática Mención Docencia de la Universidad del Zulia (LUZ)
GRUPO TEM: TECNOLOGÍAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Consejo General (Periodo 2014-2015):
Juan Luis Prieto González
Coordinador General
Rafael Enrique Gutiérrez
Coordinador Académico
Ivonne Sánchez
Coordinadora Administrativa
Luis Andrés Castillo
Coordinador de Tecnologías
Stephanie Díaz
Coordinadora del Voluntariado
CENTRO DE ESTUDIOS MATEMÁTICOS Y FÍSICOS
Dr. Rafael Luque
Director
MAESTRÍA EN MATEMÁTICA MENCIÓN DOCENCIA
Dra. María Escalona
Coordinadora
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I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
COMITÉ ORGANIZADOR
Irene Sánchez ©
Juan Luis Prieto González
Rafael Luque
COMISIÓN TÉCNICO-ACADÉMICA
Stephanie Díaz ©
Luis Andrés Castillo
Rafael Gutiérrez
Angela Cervantes
Jhorfy Reyes
Ender Méndez
Luis Fuentes
Alessandro Arenas
Marianel Escobar
COMISIÓN ADMINISTRATIVA
Ivonne Sánchez ©
Edixelys Barreto
COMISIÓN LOGÍSTICA
Verónica Navarro ©
Nixon Simanca
Lendry Rondón
Génesis García
Jaineth Pérez
José Fuenmayor
EQUIPO DE PROMOTORES
Angela Cervantes
Ivonne Sánchez
Jhorfy Reyes
Leonela Rubio
Luis Andrés Castillo
Rafael Enrique Gutiérrez
Stephanie Díaz
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I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA
EQUIPO DE EVALUADORES
Ana Duarte Castillo
Universidad Nacional Abierta
duarteann@gmail.com
Angélica Martínez
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
angelicmar5@gmail.com
Delisa Bencomo
Universidad Nacional Experimental de Guayana
delisabencomo@gmail.com
José Ortiz Buitrago
Universidad de Carabobo
ortizbuitrago@gmail.com
Juan Carlos Sotillo
Universidad Bolivariana de Venezuela
cosasdejuancho2@gmail.com
Leonard Sánchez
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda
leonardsanchez@gmail.com
Sandra Quero
Universidad del Zulia
sandra_quero@hotmail.com
Yaneth Ríos García
Universidad del Zulia
yanriosgarcia@gmail.com
Yolanda Serres Voisin
Universidad Central de Venezuela
yolanda.serres.voisin@gmail.com
Yofran Rodríguez
Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt
yofranrodriguez@hotmail.com
TRADUCCIONES AL INGLÉS
Verónica Navarro
Grupo TEM
veronica.navarro@aprenderenred.com.ve
vii
PRESENTACIÓN
“Una de las tareas más hermosas y gratificantes
que tenemos por delante como profesores y
profesoras es ayudar a los educandos a
constituir la inteligibilidad de las cosas,
ayudarlos a aprender a comprender y a
comunicar esa comprensión a los otros”.
Paulo Freire, en El Grito Manso (1996)
El libro de Memorias que se presenta a continuación compila los trabajos que se han expuesto
en el I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia”, un evento promovido por el Grupo
TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, realizado el 16 de abril del 2015 en las
instalaciones del Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación (FHE) de la Universidad
del Zulia (LUZ), en la ciudad de Maracaibo. El encuentro fue concebido como un espacio para
la socialización e integración de saberes respecto a la elaboración de simuladores con el
GeoGebra, el cual ha tomado forma en diecisiete ponencias que muestran las experiencias de
estudiantes de Educación Media al realizar esta actividad.
En sus trabajos, los jóvenes autores explican con detalle la manera de resolver tareas de
simulación de algún fenómeno real de su interés, apoyando sus reflexiones en el uso del
GeoGebra y en cierta teoría matemática que ha emergido en las discusiones con los
promotores y que les ha servido para explicar y justificar sus decisiones y acciones durante el
proceso. Estos trabajos han sido realizados por veinticinco estudiantes de Educación Media y
siete estudiantes para profesores de Matemática y Física de LUZ (promotores del Club
GeoGebra), quienes de forma libre y voluntaria han participado tanto en el desarrollo de las
actividades de simulación como en su sistematización. Estas actividades se enmarcan en el
proyecto “Club GeoGebra para la Diversidad”, iniciado por el Grupo TEM en octubre de 2013 y
que, para el año escolar 2014-2015, se ha consolidado a través de siete Clubes GeoGebra,
puestos en funcionamiento en igual número de instituciones de los municipios Maracaibo, San
Francisco, Cabimas, Mara y La Cañada de Urdaneta.
Las reflexiones sobre el trabajo en los clubes nos hacen creer que la actividad de simulación con
GeoGebra es una oportunidad de vivir la matemática desde el punto de vista de su utilidad
práctica para la modelación de fenómenos reales. Asimismo, valoramos la práctica de
sistematizar las experiencias de simulación como un medio importante para crear vínculos con
los conceptos y relaciones matemáticas escolares. Además, resaltamos la posibilidad que tienen
los promotores de los clubes, como futuros profesores de Matemática y Física, de aprender
matemática junto a los liceístas y desarrollar sus capacidades para identificar momentos de
aprendizaje propicios, interpretar el pensamiento matemático de los liceístas e intervenir con el
propósito de que estos se apropien del conocimiento institucionalizado.
Además de estos trabajos, se cuenta con una conferencia, dos conversatorios, un
reconocimiento al desempeño investigativo y una reseña. La conferencia estuvo a cargo de
Ángel Olivero y Wilmer Campos, dos estudiantes pioneros en la simulación con GeoGebra,
viii
quienes desde su experiencia reflexionan sobre las posibilidades de aprender Matemática y
ciencias afines a través de la participación en un Club GeoGebra. Los conversatorios estuvieron
a cargo de la Br. Leonela Rubio y la MSc. Milena Veliz, quienes tratan los temas de la
sistematización de las experiencias de simulación con GeoGebra y la importancia de valorar el
trabajo estudiantil, respectivamente. Seguidamente el Dr. Fidel Gerdez, en representación del
Departamento de Matemáticas y Física de la FHE de LUZ, hace un reconocimiento especial a la
Br. Leonela Rubio por ser la primera estudiante de este departamento en ser acreditada como
Investigadora PEII por el Estado. Finalmente, la reseña corresponde con la creación del Instituto
GeoGebra de Maracaibo, el primero de su tipo en Venezuela, a cargo del MSc. Juan Luis Prieto
G., coordinador de esta institución.
La organización del I Encuentro de Clubes GeoGebra contó con el apoyo del Centro de
Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) y la Maestría en Matemática mención Docencia de la
FHE de LUZ. Desde el Grupo TEM estamos muy agradecidos por esta ayuda que fue
determinante al momento de realizar el evento. Agradecemos también el apoyo y
reconocimiento hacia el encuentro de parte del Vicerrectorado Académico (VAC) de LUZ, la
División de Investigación de la FHE, la Coordinación Académica de la Zona Educativa del Zulia
(ZEZ) y la ABECyT Zulia; así como también las gestiones realizadas por nuestros profesores
aliados Hender Vera, Angélica Fuenmayor, Yender Araujo, Yvonne Rodríguez, Irene Sánchez,
Franklin Villalobos y Zulay Estrada. De manera especial damos las gracias a los padres y
representantes de los participantes de cada Club GeoGebra, quienes se hicieron presentes en el
encuentro para respaldar el proyecto. El nivel de cohesión mostrado por el equipo es una
evidencia de lo importante que resulta estrechar y mantener los vínculos entre las instituciones
de Educación Media, la universidad y la comunidad en general, cuando se quiere contribuir al
desarrollo del potencial creativo de nuestros jóvenes liceístas y futuros profesores.
Destacamos la presencia en el encuentro del Dr. Antonio Castejón (Jefe de la ZEZ), la Dra.
Xiomara Arrieta (por el VAC de LUZ), la Dra. Dalia Plata (por la Red de Investigación Estudiantil
de LUZ), la Dra. María Escalona (Coordinadora de la Maestría en Matemática mención
Docencia), la Dra. Dilida Luengo (Coordinadora del PNF de Educadores de la UBV Zulia), el
Lcdo. Heriberto Briceño (miembro de la ABECyT Zulia), el Dr. Fidel Gerdez (Jefe del
Departamento de Matemáticas y Física), los profesores Dr. Ángel Vílchez, Dra. Mercedes
Delgado y Dra. Yaneth Ríos (miembros del Departamento de Matemáticas y Física), la MSc.
Milena Veliz (Orientadora de la U.E.P. Fe y Alegría Ana Soto, Barquisimeto, Edo. Lara),
profesores de Matemática de otras instituciones, estudiantes de la Licenciatura en Educación
mención Matemáticas y Física de LUZ y participantes del PNF de Profesores de Educación
Media Micromisión Simón Rodríguez en el estado Zulia.
Para finalizar, agradecemos la colaboración de los profesores Ana Duarte Castillo, Angélica
Martínez, Delisa Bencomo, José Ortiz Buitrago, Juan Carlos Sotillo, Leonard Sánchez, Sandra
Quero, Yaneth Ríos, Yolanda Serres y Yofran Rodríguez, quienes se han dedicado a valorar,
con sentido y criterio humano y profesional, los diecisiete trabajos que se presentan en estas
memorias. También extendemos nuestro agradecimiento a la Br. Verónica Navarro, voluntaria
ix
del Grupo TEM, por realizar la traducción al inglés de cada uno de los resúmenes de los
trabajos, además de esta presentación.
Como Paulo Freire bien lo refiere al inicio de esta presentación, nos alegra y gratifica
enormemente haber servido a este grupo de estudiantes liceístas, quienes hoy tienen la
oportunidad de ver en estas memorias el reflejo de ese coraje de juventud que les ha llevado
a experimentar, comprender y compartir lo que comprenden. A estos jóvenes, nuestra
gratitud infinita.
Los compiladores
PREFACE
“One of the most beautiful and gratifying tasks
that we have as teachers is to help students
constitute the intelligibility of things, help them
learn to comprehend and communicate that
comprehension to others”.
Paulo Freire, in El Grito Manso (1996)
This Proceedings compiles the papers that have been presented on the First Meeting of
GeoGebra Clubs of Zulia State, an event promoted by Grupo TEM: Tecnologías en la
Educación Matemática (TEM Group: Technologies in Mathematics Education), which took place
on April 16th, 2015 in the Graduate School of the Faculty of Humanities and Education (FHE) of
the University of Zulia (LUZ), in Maracaibo city, Venezuela. The meeting was conceived as a
space of socialization and integration of knowledge regarding the creation of simulations with
GeoGebra, which has taken shape in seventeen speeches that show the high school students
experiences during this activity.
In their papers, the young authors explain with detail the way to solve simulation tasks of some
real phenomenon of their interest, supporting their reflections in the use of GeoGebra and in
certain mathematical theory that has emerged on the discussions with the promoters and which
has been useful to explain and justify their decisions and actions during the process. These
papers have been written by twenty five high school students and seven prospective
Mathematics and Physics teachers from LUZ (promoters of the GeoGebra Club) who, freely and
voluntarily, have participated in both the development of the simulation activities and in their
systematization. These activities are framed in the “GeoGebra Club for Diversity” project, which
was initiated by the Grupo TEM in October of 2013 and which, for the scholar year 2014-2015,
had been consolidated through seven GeoGebra Clubs, brought into operation in equal
x
number of institutions of the cities of Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara and La Cañada
de Urdaneta.
Reflections about the work in the clubs make us believe that the simulation activity with
GeoGebra is an opportunity to live Mathematics from the point of view of its practical use for
modeling real phenomenon. Furthermore, we value the systematization practice of simulation
experiences as an important mean to establish connections with the concepts and mathematical
relationships. In addition, we highlight the possibility that the clubs promoters have, as
prospective Mathematics and Physics teachers, to learn Mathematics with high school students
and develop their abilities to identify favorable learning moments, interpret the mathematical
thinking of students and intervene so they can acquire the institutionalized knowledge.
Besides these papers, there is a conference, two conservatories, an acknowledgment to the
investigative performance and a review. The first was in charge of Ángel Olivero and Wilmer
Campos, two students pioneers in the simulation with GeoGebra who, from their experience,
reflect about the possibilities of learning Mathematics and related sciences through the
participation in a GeoGebra Club. The conservatories were in charge of the student Leonela
Rubio and the MSc. Milena Véliz, who treat the subjects about the systematization of simulation
experiences with GeoGebra and the importance of valuing the student work, respectively.
Subsequently, the Dr. Fidel Gerdéz, in representation of the Mathematics and Physics
Department of the FHE-LUZ, makes a special acknowledgment to the student Leonela Rubio,
for being the first student of this department to be accredited as PEII researcher by the State.
The organization of the First Meeting of GeoGebra Clubs had the support of the Center of
Mathematical and Physical Studies (CEMAFI) and the Master in Mathematics mention Education
from FHE-LUZ. We are very grateful for this help because it was determinant for running the
event. We also thank the support and the recognition from the Vice Rectorate for Academic
Affairs (VAC) of LUZ, the Research Division of the FHE and the Academic Coordination of the
Educational Zone of Zulia (ZEZ) and ABECyT Zulia; as well as the efforts made by our allied
teachers Hender Vera, Angélica Fuenmayor, Yender Araujo, Yvonne Rodríguez, Irene Sánchez,
Franklin Villalobos and Zulay Estrada. In a special way we thank to the parents of the
participants from each GeoGebra Club, who presented on the meeting to back up the project.
The cohesion level shown by the team is an evidence of how important is to narrow and keep
the relationships between high schools, the university and the community in general, when it is
aimed to contribute to the development of the creative potential of our young students and
prospective teachers.
We highlight the presence of Antonio Castejón in the meeting (the Director of ZEZ), Xiomara
Arrieta (in representation of VAC-LUZ), Dalia Plata (in representation of the Net of Student
Research of LUZ), Maria Escalona (Coordinator of the Master in Mathematics mention
Education), Dilida Luengo (Coordinator of Education in UBV Zulia), Heriberto Briceño (member
of ABECyT Zulia), Fidel Gerdez (Chair of the Department of Mathematics and Physics), Ángel
Vílchez, Mercedes Delgado and Yaneth Ríos (teachers of the Department of Mathematics and
Physics), Milena Veliz (teacher of “Fe y Alegría” Ana Soto, in Barquisimeto, province of Lara),
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Mathematics teachers of others institutions, preservice Mathematics and Physics teachers of LUZ
and the other institutions.
To finish, we thank the collaboration of the teachers Ana Duarte Castillo, Angélica Martínez,
Delisa Bencomo, José Ortiz Buitrago, Juan Carlos Sotillo, Leonard nchez, Sandra Quero,
Yaneth Ríos, Yolanda Serres and Yofran Rodríguez, who have dedicated to value, with human
and professional sense and judgment, the seventeen papers presented in this proceedings.
We also extend our gratitude to the student Verónica Navarro, volunteer of Grupo TEM, for
making the translation to English to each one of the abstracts and this preface.
As Paulo Freire claims at the beginning of this preface, having served this group of high
school student make us happy and gratifies us enormously, because today they have the
opportunity to watch in this proceedings the reflex of that courage of youth that have led
them to experiment, comprehend and share what they comprehend. To these young
students, our infinite gratitude.
The compilers
xii
TABLA DE CONTENIDOS
PALABRAS DE APERTURA
Irene Sánchez ………………………………………………………………………………………………………………………
2
CONFERENCIA
EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Wilmer Campos y Ángel Olivero ………………………………………………………………………………………..
4
PONENCIAS
MÁQUINA DE VAPOR
Gaby Vargas y Stephanie Díaz
……………………………………………………………………………………………
7
TROMPETA TIPO “SI BEMOL”
Eilynn Figueroa, Daniela Reyes y Rafael Gutiérrez
………..…………………………………………………..
15
LA GRÚA TORRE Y EL SECRETO DE SU ANDAMIAJE
Federlyth Reyes, Graciela Sierra y Jhorfy Reyes
…………………………………………………………………
23
PUNTADA DOBLE, DE PESPUNTE
Yenire Rodríguez y Angela Cervantes
………………………………………………………………..………………
34
EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA RENOVABLE
Leonel Barboza, Maryeimi Báez y Leonela Rubio
……………………………………………………………..
41
EL BALANCÍN DE POZO PETROLERO
Joseph Allen e Ivonne Sánchez
…………………………………………………………………………………………..
48
EL MOTOR DE CUATRO TIEMPOS
Yoelby Montiel y Luis Andrés Castillo
……………………………………………..………………………………….
56
¿CÓMO FUNCIONA UN RELOJ DE PÉNDULO?
Cesar García y Stephanie Díaz
………………………………………………..…………………………………………..
63
MARCADORA DE PAINTBALL
Christianh Griman, Daneimy Medina y Rafael Gutiérrez
…………………………………………….……..
70
LA MÁQUINA DE VAPOR MODELO WATT
Luis Daniel Montilla y Jhorfy Reyes
……………………………………………………………………………………..
75
LA RUEDA DE GINEBRA
Leirimar Torres, Annerys García y Stephanie Díaz
…………………………………………………………….
85
MÁQUINA DE VAPOR
Jeisson Hernández e Ivonne Sánchez
............................................................................................
91
BOMBA RECIPROCANTE
Gianfranco Fonseca, José Manuel Hurtado y Rafael Gutiérrez
…………………………………………
100
xiii
BALANCÍN PETROLERO
Lismar Vargas, Kailin Bohórquez y Stephanie Díaz
……………………………………………………………
106
MÁQUINA DE NEWCOMEN
Adriana Reinoso, María Jiménez y Rafael Gutiérrez
………………………………………………..………..
114
LA LOCOMOTORA A VAPOR
María Benítez e Irene Sánchez
……………………………………………………………………………………………
121
ELEMENTOS DE LA M16 Y LA MATEMÁTICA
Francisco Contreras y Stephanie Díaz
…………………………….………………………………………………….
127
CONVERSATORIOS
LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA HERRAMIENTA PARA
SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR SIMULADORES CON GEOGEBRA
Leonela M. Rubio U.
…………………………………………………………………………………………………………….
135
LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES
Milena Véliz
………………………………………………………………………………………………………………………….
137
RECONOCIMIENTO
PALABRAS DE RECONOCIMIENTO A LEONELA RUBIO POR SU ACREDITACIÓN EN EL
PROGRAMA DE ESTÍMULO A LA INNOVACIÓN E INVESTIGACIÓN (PEII) 2014
Fidel Gerdez
……………………………….………............................................................................................
140
SEMBLANZA
INSTITUTO GEOGEBRA DE MARACAIBO
Juan Luis Prieto González
……………………………………………………………………………………………………
144
ANEXOS
PROGRAMA DEL ENCUENTRO …………………………………………………………………………………………..
AFICHE ….………………………………………………………………………………………………………………………………
147
148
1
2
PALABRAS DE APERTURA
Irene Sánchez
Es un honor para mí, como profesora voluntaria del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación
Matemática y Coordinadora General de este encuentro, dirigir estas palabras de apertura a
ustedes. Primero quiero darle las gracias a todas y todos por su asistencia. Para nosotros es un
verdadero privilegio contar con la presencia de ustedes aquí y especialmente con algunas
autoridades de nuestra Universidad del Zulia (LUZ), tales como la Dra. Xiomara Arrieta, en
representación del Vicerrectorado Académico de LUZ, la Dra. María Escalona, Coordinadora de
la Maestría en Matemática mención Docencia, el Dr. Fidel Gerdez, Jefe del Departamento de
Matemáticas y Física y el Dr. Rafael Luque, Director del Centro de Estudios Matemáticos y
Físicos (CEMAFI). También nos complace la presencia del Dr. Antonio Castejón, Autoridad Única
de Educación del Zulia, la Dra. Flor Cristalino, Secretaria de Educación del Estado Zulia, y de los
miembros de las siete instituciones de Educación Media que participan en este proyecto; me
refiero a nuestros profesores aliados y estudiantes liceístas. Jóvenes, gracias a ustedes hemos
hecho posible este I Encuentro de Clubes GeoGebra, pido un fuerte aplauso para ustedes.
También quiero saludar a los padres y representantes de estos jóvenes que nos acompañan
este día, a los profesores del Departamento de Matemáticas y Física y de la Maestría en
Matemática mención Docencia de LUZ, estudiantes de la Licenciatura en Educación mención
Matemáticas y Física de LUZ, profesores de otras instituciones del Zulia y del interior del país,
especialmente a los participantes del Programa Nacional de Formación de Profesores de
Educación Media, Micromisión Simón Rodríguez, distinguidos presentes.
Este encuentro se realiza en el marco del desarrollo del proyecto socio-comunitario “Club
GeoGebra para la Diversidad” que el Grupo TEM ofrece a la comunidad de estudiantes de la
Facultad de Humanidades y Educación de LUZ. Con mucho esfuerzo hemos logrado que el
proyecto funcione en los municipios Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara y La Cañada de
Urdaneta para este año escolar 2014-2015. Las ponencias que nuestros jóvenes liceístas
compartirán en este encuentro se corresponden a la última fase del proyecto, en la cual los
deben difundir sus experiencias de simulación con GeoGebra. Además de estas ponencias, la
jornada cuenta con una conferencia, dos conversatorios y un reconocimiento muy especial a
Leonela Rubio por ser la primera estudiante de la Licenciatura en Educación mención
Matemáticas y Física en ser acreditada como investigadora PEII por el Estado.
En nombre del Comité Organizador del encuentro les invito a disfrutar de esta velada en la cual
los jóvenes liceístas son los protagonistas. Buenos días.
Datos de la autora
Irene Sánchez
Coordinadora General
I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia
irene.sanchez@aprenderenred.com.ve
3
4
EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD
DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO
Wilmer Campos y Ángel Olivero
Para nosotros es un honor que nos hayan pedido aperturar este encuentro, el primero en su
tipo, con una “conferencia” que jamás hubiéramos pensado llevar en este momento de
nuestras vidas. La conferencia trata sobre nuestra experiencia en la elaboración de un
simulador con GeoGebra, tratando de dar respuesta a la pregunta: ¿es posible aprender
matemática al elaborar un simulador con GeoGebra? A continuación trataremos de dar
respuesta a esta interrogante.
La experiencia de elaborar un simulador con el software GeoGebra nos da argumento para
constatar que es posible aprender Matemática en este tipo de actividades. Los conceptos
matemáticos que emergen de la simulación con GeoGebra dependen, entre otras cosas, del
fenómeno que se pretenda simular. Por tal motivo, en esta conferencia compartimos nuestra
experiencia de aprendizaje de la Matemática que hemos utilizado para simular una máquina
de vapor modelo Watt usando este software, con el propósito de animar a otros compañeros
liceístas a vivir la experiencia de aprender Matemática de una manera distinta y atractiva en
un Club GeoGebra.
Una vez iniciado el proceso de simulación, los conceptos matemáticos salían a la luz en el
momento que identificábamos aquel objeto geométrico que mejor representaba a la pieza de
la máquina de vapor que se pretendía simular. Posteriormente, se generaba una discusión entre
todos los participantes sobre la definición, propiedades y características del objeto geométrico
identificado previamente, a fin de poder construirlo en la interfaz del GeoGebra
satisfactoriamente. Por ejemplo, si en un determinado momento el objeto geométrico que
representaba la pieza a simular se correspondía con una circunferencia, se planteaban preguntas
como ¿qué es una circunferencia?, ¿cuáles son sus elementos característicos?, ¿qué herramientas
ofrece el GeoGebra para construirla?, entre otras.
Sin duda alguna, este momento de la simulación era fundamental para aprender la Matemática
que emergía en ese instante. Más aún, el aprendizaje de esta Matemática se robustecía puesto
que los objetos geométricos que debíamos construir en el software eran dinámicos, esto es,
poseían algún tipo de movimiento. Este hecho nos dio pie a trabajar con el concepto de lugar
geométrico en varias oportunidades, entre ellas al representar el “crank” de la máquina.
Notamos que esta pieza se podía representar a través de un segmento, de manera que
debíamos localizar sus extremos para luego dibujarlo. Uno de estos puntos permanecía fijo,
mientras que el otro se movía de manera circular, esto es, el lugar geométrico que describía
este extremo era una circunferencia. De esta forma, sabíamos que al trazar esta circunferencia y
ubicar un punto sobre ella, el extremo en cuestión quedaría perfectamente localizado.
Luego de este análisis pasábamos a construir el segmento con las herramientas del software
asociadas a puntos y circunferencias. Una vez localizados ambos extremos dibujamos el
segmento que los une, finalizando con la representación del crank para pasar a construir otra
5
pieza del mecanismo. Para cada pieza distinta tratábamos de llevar a cabo el mismo
procedimiento, topándonos con otros conceptos matemáticos que requerían de nuestra parte
reflexionar sobre sus propiedades y características en todo momento. Por todo lo comentado,
la experiencia de simular la máquina de vapor con GeoGebra ha sido significativa, y nos ha
dejado una serie de conocimientos que hemos aprendido de forma distinta, agradable y de
manera colaborativa.
Datos de los autores
Wilmer Campos
Estudiante de 6to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Ángel Olivero
Estudiante de 6to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
6
7
MÁQUINA DE VAPOR
Gaby Vargas y Stephanie Díaz
Resumen
A través del software GeoGebra y con base en los conceptos de circunferencia, ángulo central,
paralelismo, perpendicularidad y polígonos, este trabajo describe una experiencia de simulación
del movimiento y aspecto de la manivela y el volante de una máquina de vapor. Al respecto, en
la descripción se trata de establecer conexiones entre los procesos de construcción con el
software y estos contenidos matemáticos escolares.
Abstract
Through the software GeoGebra and based on the concepts of circumference, central angle,
parallelism, perpendicularity and polygons, this paper describes a simulation experience about
the movement and the aspect of the crank and the flywheel of a steam machine. Regarding this
matter, in the description it is tried to establish connections between the construction processes
with the software and these mathematical scholar content.
Introducción
En la primera semana del mes de diciembre del 2014 se inició el proyecto de diseño titulado
“Máquina de Vapor”. Éste se desarrolla en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl
Osorio” que funciona en la U. E. N. Bol. Raúl Osorio del municipio San Francisco, estado Zulia.
Dicho proyecto tiene por objetivo simular el mecanismo de una máquina de vapor con el
GeoGebra. Al respecto, en este trabajo se describe el proceso llevado a cabo en la resolución
de la tarea de construcción de la manivela y el volante de la máquina de vapor con la ayuda del
software, enfocando la atención en los conceptos matemáticos presentes en la realización de
dicha tarea, a saber, circunferencia, relación entre rectas (paralelismo y perpendicularidad),
entre otros. Además se realiza una breve reseña sobre la máquina de vapor y se concluye con
unas reflexiones finales.
Sobre el fenómeno del Proyecto de Diseño
Las máquinas de vapor estuvieron en auge durante la primera Revolución Industrial, desde
finales del siglo XVIII hasta mediados del siglo XIX, acelerando asombrosamente la evolución
económica de muchos países. En general, la máquina de vapor es un motor que genera vapor
de agua por el calentamiento en una caldera cerrada herméticamente, el que a su vez produce
la expansión del volumen de un cilindro que empuja un pistón. Mediante el mecanismo de
biela-manivela, el movimiento lineal alternativo del pistón del cilindro se transforma en un
movimiento de rotación que es capaz de accionar, por ejemplo, las ruedas de una locomotora
o el rotor de un generador eléctrico. En la actualidad, el uso de las máquinas de vapor es
bastante limitado debido a que éstas no cuentan con la potencia y la velocidad necesarias para
cubrir las expectativas industriales de esta época. Además, estas máquinas requieren de mucho
espacio para ser instaladas y no es posible usar de forma conveniente el vapor a temperaturas
8
muy elevadas, haciendo que su potencia sea relativamente baja. Es por estas razones que han
sido sustituidas por turbinas de vapor de alta eficiencia.
Las partes principales de toda máquina de vapor son: la lumbrera de entrada, la válvula de
entrada, la válvula corredera, la lumbrera de escape, el pistón, el contenedor, la lumbrera
izquierda, la lumbrera derecha, el cilindro, la lumbrera de salida, el resorte, la manivela de
cambio izquierda, la manivela de cambio derecha, la barra de la válvula corredera, la biela, la
manivela y el volante. Éstas se muestran en la figura 1
1
.
Figura 1
Consideraciones para la representación de la máquina de vapor
Para simular la máquina de vapor se consideraron tres aspectos importantes para su
construcción: (i) insertar la imagen que serviría de referencia en la
Vista Gráfica
del GeoGebra,
(ii) definir la medida patrón y (iii) decidir la primera tarea de construcción. Estas consideraciones
se explican en las siguientes líneas:
Para la simulación de la máquina de vapor era necesario contar con un referente de ésta y
para ello se ha seleccionado una imagen que se insertaría en la  del GeoGebra.
Tal imagen se corresponde con una versión de la figura 1 sin el nombre de las piezas. Cuando
se inserta una imagen en el software, éste le asigna automáticamente dos puntos en las
esquinas inferiores, los cuales permiten modificar la ubicación y tamaño de la imagen. Dichos
puntos fueron ubicados a conveniencia, a saber, el punto de la esquina inferior izquierda,
llamado , con coordenadas  y el de la esquina inferior derecha como el punto  
. Este último punto tiene esta posición porque se consideró que era un tamaño
prudente para la imagen. Ahora bien, la opacidad de dicha imagen fue asociada a un
1
Fuente: http://www.jaimevera.tecnoies.com/mecanismos/biela.html. La imagen originalmente está en formato GIF
pero, para efectos de este trabajo, fue modificada para anexarle los nombres de las partes de la máquina.
9
deslizador de tipo número llamado . Con éste se variaba ese atributo de la imagen
para ir verificando el status de las construcciones que se fueran realizando (ver Figura 2).
Figura 2
Seguidamente se definió una medida patrón con la intención de hacer depender de ésta
todas las construcciones que requirieran de distancia o longitud. La seleccionada para esta
simulación fue la unidad de medida predeterminada por el GeoGebra, que representa la
longitud del lado de la cuadrícula del software en su
Vista Gráfica
estándar (ver Figura 2). A
fin de variar esta medida, se ha creado un deslizador de tipo número, llamado , cuyo
intervalo mínimo fue  y máximo. Para cada valor que tomara este deslizador, la
construcción a obtener tendría unas dimensiones específicas, por ejemplo, cuando   ,
los elementos creados tendrían las mismas dimensiones que las de la imagen de referencia.
En este sentido, se decidió que el máximo del deslizador fuera tres para que el mayor
tamaño que tomaran los elementos construidos fuese el triple de sus dimensiones iniciales.
Finalmente, se decidió iniciar la simulación de la máquina de vapor partiendo de la
representación de la manivela y el volante. Esta decisión se tomó en base a la observación
del movimiento de estas piezas en una imagen animada de referencia con que se contaba
(imagen GIF). Esta observación se consideró un elemento importante para iniciar la
resolución de las tareas de simulación, especialmente al representar el movimiento de
alguna pieza.
Descripción de la representación de la manivela y el volante
Luego de atender las consideraciones anteriores, se inició con la representación de la manivela
y el volante. Para ello, se observó el comportamiento de estas piezas y las formas geométricas
inmersas en ellas, según la imagen de referencia en formato GIF. Posteriormente, se discutió
sobre el cómo se realizaría la tarea seleccionada, decidiéndose que se haría en dos partes: (i)
simular el movimiento producido por la manivela y, a partir de esto, (ii) construir la manivela y el
volante.
10
I Parte. Simulación del movimiento:
Para la simulación del movimiento de la manivela se centró la atención en los tornillos que
posee esta pieza, los cuales pueden ser representados por puntos, digamos y . Se observó
que se movía describiendo una circunferencia cuyo centro coincidía con , el cual
permanecía fijo. Por lo anterior, se decidió representar el movimiento de la manivela a partir de
la construcción de un ángulo central en dicha circunferencia, de manera que su centro
coincidiera, a su vez, con el vértice de este ángulo; sólo quedaba definir la posición de sus lados
para poder representarlo. Al respecto, se observó que la manivela realizaba un giro completo
en torno al tornillo fijo, lo que nos llevó a concluir que uno de los lados del ángulo central no
tenía una posición fija en el plano sino que debía rotar en torno a su vértice de  a 
continuamente. Lo anterior suponía fijar el otro lado del ángulo para obtener la simulación del
movimiento de la manivela.
De acuerdo con este análisis, se decidió iniciar la construcción ubicando un punto, llamado ,
en la zona de la imagen donde se localiza el tornillo fijo de la manivela y se centró una
circunferencia en este punto con un radio estimado de
 , según la imagen de referencia.
Esto mismo se hará con cada una de las construcciones que requieran de distancia o longitud
para hacerlas depender de . Posteriormente, se trazó una recta paralela al , llamada ,
que pasara por el punto para representar la posición del lado fijo del ángulo central a
construir. Luego, se determinó uno de los puntos de intersección entre esta recta y la
circunferencia , aquel ubicado a la derecha de , y que llamamos , uno de los puntos
laterales del ángulo central (ver Figura 3).
Figura 3
Como la medida del ángulo debía variar en el intervalo , se creó un deslizador de
tipo ángulo, llamado , con un intervalo mínimo de  y máximo , de manera que éste
permitiera controlar el movimiento de la manivela. Seguidamente, con la herramienta
Ángulo
dada su amplitud
, se seleccionó el punto (lateral), luego el punto (vértice del ángulo) y
11
por último se indicó la amplitud , obteniéndose automáticamente el punto  que representa
el otro lateral del ángulo (ver Figura 4). El lado móvil se creó trazando la semirrecta que parte
de y pasa por . Finalmente, para validar lo realizado, se activó la opción
Animación
del
deslizador y se observó que el movimiento que se generaba correspondía al realizado por la
manivela.
Figura 4
II Parte. Construcción de la manivela y el volante:
Para este segunda parte se decidió iniciar con la construcción de la manivela y luego con la del
volante. Para representar la manivela fue necesario identificar el objeto geométrico que mejor la
representaba, observándose que su forma venía dada por un dibujo mixto que contaba con
tres figuras planas, dos círculos y un trapecio. De esta forma, la manivela quedaría representada
al definir el centro y radio de ambos círculos y los vértices del cuadrilátero en cuestión. Con
respecto a los centros, estos debían estar ubicados en el lado móvil del ángulo para garantizar
el movimiento de la pieza. Para el caso de los vértices del trapecio, cada dos de estos puntos
iban a estar ubicados en los dos círculos de manera que permita terminar de darle la forma de
la pieza.
Según la imagen de referencia, el punto representaba el centro de uno de los círculos, de
modo que se procedió a construirlo mediante una circunferencia con este centro y un radio
estimado de
 , al cual posteriormente se modificó su opacidad. Para construir el otro círculo
trazamos otra circunferencia auxiliar, llamada , concéntrica a la anterior con un radio estimado
de
  que corta a la semirrecta , hallándose el punto de intersección entre ellas. Ese punto,
que llamamos , es el centro del otro círculo que se construyó con un radio estimado de
 ,
mediante la modificación de la opacidad de la circunferencia correspondiente (ver Figura 5).
12
Figura 5
Ya para finalizar la construcción de la manivela, se procedió a determinar los vértices del
trapecio. Esto se hizo mediante el trazado de dos rectas perpendiculares a la semirrecta ,
llamadas y , que pasaran por y , respectivamente. Posteriormente, se determinaron los
cortes de las rectas con las circunferencias y se obtuvieron los puntos ,, e con los cuales
se construyó el trapecio, utilizando la herramienta
Polígono
y de esta manera se finalizó con la
representación de la manivela (ver Figura 6).
Figura 6
Habiendo finalizado la construcción de la manivela, se procedió a construir el volante. Para esto
se observó que el volante se podía representar a través de tres circunferencias, de las cuales dos
estarían contenidas dentro de la región limitada por la otra de mayor radio. Con respecto a la
última circunferencia, ya se contaba con la cónica que perfectamente la representaba, hecho
que redujo la cantidad de pasos de construcción, de manera que sólo restaba determinar la
ubicación de los centros de las circunferencias de menor radio. Observando la imagen de
referencia, se conjeturó que los centros estaban ubicados en una recta con cierto grado de
13
inclinación con respecto a la semirrecta . Se estimó que dicha inclinación era de
aproximadamente unos  en sentido horario. Por tanto, se rotó el punto con respecto a
según el ángulo estimado y, automáticamente, se generó el punto . Luego se trazó la recta
que pasa por los puntos  y el punto donde se encuentran ubicados los centros de las
circunferencias que se desean localizar (ver Figura 7).
Figura 7
Posteriormente, con la intención de determinar los centros de estas curvas, se construyó una
circunferencia auxiliar, llamada , con centro en y de radio estimado de
 . Esta
circunferencia interseca a la recta , por lo cual se determinaron los puntos de corte, llamados
y . Estos puntos representan los centros de las circunferencias a construir. Ya para finalizar,
se trazó la circunferencia con centro en y radio estimado de
  y otra circunferencia con
el mismo radio pero ahora con centro en (ver Figura 8a). Finalmente, se modificaron los
colores de los objetos construidos para representar definitivamente la manivela y el volante de
la máquina de vapor (ver Figura 8b).
Figura 8
14
Reflexiones finales
A partir de lo descrito en este trabajo, las autoras destacan lo importante y significativo que ha
sido la utilización e identificación de ciertos objetos geométricos en la resolución de una tarea
de simulación con el software GeoGebra. Primeramente, representar el movimiento a partir de
un ángulo que se moviera constantemente resultó oportuno para utilizar el lado móvil y, de
esta forma, construir la manivela. En segundo lugar, la representación de esta pieza a partir de
tres objetos geométricos, a saber, dos circunferencias y un trapecio, resultó una decisión
fundamental para que ésta quedara correctamente representada y, a su vez, la posibilidad de
garantizar la ubicación y la relación entre dichos objetos para mantener la forma deseada,
representó un desafío para las autoras. Finalmente, el uso del GeoGebra para construir el
volante y detectar la posición de los centros de las circunferencias que allí observaban, resultó
de mucha utilidad. En estos momentos, el finalizar la construcción de las piezas móviles de este
mecanismo es el siguiente reto de quienes llevan a cabo este proyecto de diseño.
Datos de los autores
Gaby Vargas
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Bol. Raúl Osorio
San Francisco, Venezuela
Stephanie Díaz
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio”
stephanie.diaz@aprenderenred.com.ve
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/Y3KU3ypuBRE?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs
15
TROMPETA TIPO “SI BEMOL”
Eilynn Figueroa, Daniela Reyes y Rafael Gutiérrez
Resumen
En este documento se describe el procedimiento seguido para resolver una de las tareas
propias de la elaboración del simulador de una trompeta tipo “Si bemol” con el software
GeoGebra. Esta tarea consiste en construir uno de los pistones de la trompeta, resaltando las
ideas matemáticas que guiaron el proceso de construcción: traslación de figuras planas y
polígonos.
Abstract
In this document we describe the process for solving an inherent task for the construction of
a B trumpet simulator with the software GeoGebra. This task consists in building one of
trumpet’s piston valve, making emphasis on the mathematical ideas that guided the
construction process: translation of plane shapes and polygons.
Introducción
El proyecto de diseño intitulado: Trompeta tipo Si Bemol”, se inició en el mes de febrero del
año 2015 en el marco de las actividades del Club GeoGebra que funciona en las instalaciones
de la E.T.C.R. “Hermágoras Chávez” ubicada en Cabimas, Estado Zulia. El objetivo de este
proyecto es simular con GeoGebra el funcionamiento interno de una trompeta musical tipo Si
Bemol, considerando las tres pisadas del instrumento y las notas musicales asociadas. A
continuación se describe el procedimiento seguido para resolver la tarea de construcción de
uno de los tres pistones de la trompeta, haciendo énfasis en las ideas matemáticas que guiaron
el proceso de construcción, éstas son: traslación de figuras planas y polígonos. Se incluye
además una breve reseña del fenómeno a simular.
El fenómeno
El fenómeno a simular corresponde al funcionamiento de una trompeta, esto es, un
instrumento musical de viento perteneciente a la familia de los “viento-metal” o metales,
fabricados en aleación de metal. El sonido de la trompeta se produce a partir de la columna del
aire (flujo del aire) que introduce el intérprete tras hacer vibrar sus labios en la boquilla. Las
trompetas comúnmente están afinadas en tono Si (bemol), es decir, por debajo de la afinación
real. Además, éstas constan de tres pistones que, por separado, aumentan la longitud del tubo
en una determinada cantidad, lo cual conlleva a que la nota que se esté tocando sea más
grave. El pistón central reduce la nota en un semitono, el de la derecha en dos semitonos y el
de la izquierda en tres semitonos, pero si se pulsan dos o tres pistones simultáneamente se
suman sus efectos de reducción, produciéndose así hasta ocho combinaciones distintas (ver
Figura 1)
2
.
2
Fuente: http://statics.vayagif.com/gifs/2013/02/GIF_154006_asi_funciona_una_trompeta.gif.
16
Figura 1
La inclusión de los pistones en la trompeta se hizo de forma paulatina a lo largo de la historia,
siendo el inventor irlandés Charles Clagget quien construye en 1790 una trompeta doble
afinada en tonos Re y Mi, con una única embocadura y un pistón como aspecto innovador. En
Francia, Dauverne construyó la primera trompeta de dos pistones y Müller de Maguncia y Satter
de Leipzig incluyeron el tercer pistón en 1830. En la actualidad, este instrumento musical se
utiliza en muchos lugares del mundo por parte de diversas agrupaciones y orquestas que la
requieren.
Descripción de la tarea
La tarea a resolver consistió en construir uno de los pistones de una trompeta tipo “Si Bemol”
usando el GeoGebra. Cabe destacar que esta tarea forma parte de un conjunto de tareas más
amplio que cubre toda la elaboración del simulador. Por tratarse de la primera de estas tareas,
fue necesario tomar ciertas decisiones de partida para ser más eficientes en el proceso de
construcción. Estas decisiones fueron las siguientes:
Insertar en la vista gráfica del GeoGebra
la imagen de la trompeta seleccionada en la fase 1
del proyecto, con el fin de guiarse al momento de realizar las construcciones necesarias de
las partes de la trompeta “sobre la imagen”. La opacidad de esta imagen es controlada por
un deslizador llamado “Opacidad” con el cual se puede ir revisando el estatus de la
construcción cuando se desee (ver Figura 2).
Figura 2
17
Definir un segmento cuya longitud actuara de “patrón” con el cual se pudiera controlar el
tamaño del dibujo, de manera que al aumentar o disminuir su medida, el tamaño del pistón
en la figura aumentara o disminuyera en la misma proporción. En nuestro caso, decidimos
construir este segmento a partir del lado más largo del pistón sobre la imagen de fondo,
señalado en color rojo en la figura. La longitud del mismo es una medida con rótulo que
es controlada por un deslizador que la aumenta o disminuye (ver Figura 3).
Figura 3
Una vez tomado en cuenta lo anterior, se dio inicio a la construcción del pistón que se muestra
a la izquierda en la imagen de fondo. Se toma la decisión de construir un solo pistón ya que los
tres se mueven de forma independiente y la construcción de los otros dos se llevaría a cabo
con el mismo procedimiento.
Para ello, lo primero fue identificar en el dibujo dos elementos:
a) La figura del pistón en la trompeta se asemeja a la de un polígono irregular de 12 lados
(un dodecágono), cuya relación entre los lados venía dada por la perpendicularidad
presente en cualquier pareja de lados contiguos. En conclusión, para representar al
pistón con el GeoGebra era conveniente construir dicho dodecágono. Esta construcción
consistía en determinar la localización de los vértices del dodecágono y dibujarlo
posteriormente.
b) Cada pistón se mueve “linealmente” dentro de la camisa
3
que le corresponde, esto es, la
pisada del pistón lo desplaza en una sola dirección. Desde un punto de vista
matemático; este desplazamiento queda determinado por una traslación. Ahora bien,
trasladar al pistón según un vector fijo suponía tomar una decisión sobre dos formas de
proceder: (i) construir el dodecágono y trasladarlo, o (ii) trasladar un vértice del polígono
y a partir de éste realizar la construcción. La segunda opción fue la decisión que se tomó
para dar respuesta a la tarea.
3
La camisa es una pieza hueca, de forma cilíndrica, en donde va encajado el pistón para ser pulsado.
18
La traslación aplicada a un vértice
Aplicar una traslación a una figura plana supone determinar el vector de traslación que define el
movimiento. Para determinar este vector era necesario establecer su dirección, módulo y
sentido. La dirección del vector fue establecida a partir de una recta que coincidiera con uno de
los dos lados más largos del pistón. Para construir esta recta, se necesitaban dos puntos. Uno
de estos fue un punto colocado convenientemente sobre uno de los extremos del lado en
cuestión según la imagen de fondo, el cual a su vez sería el vértice del dodecágono a trasladar.
El otro punto se obtuvo al rotar la proyección del punto en el  a un ángulo determinado.
La proyección se obtuvo al interceptar el  con una recta perpendicular a este eje que
pasara por . Luego de varias estimaciones, se obtuvo un ángulo de rotación de  en sentido
contra horario y con ello el punto , homólogo de . Finalmente, se trazó la recta 
que
define la dirección del vector de traslación (ver Figura 4).
Figura 4
El módulo del vector representa cuánto se desplaza el pistón desde el momento en que se pisa
la cabecilla. Esta cantidad de desplazamiento no es única, pues varía de acuerdo a la posición
del pistón en cada instante de tiempo, por lo cual fue necesario establecer un par de valores
mínimo y máximo de desplazamiento del pistón. En la imagen de fondo se observa que este
desplazamiento alcanza un valor máximo, el cual viene dado por la diferencia entre las
posiciones final e inicial del pistón, cuya magnitud estimada fue de
 . Para el caso en que el
pistón se encuentra en su posición inicial se consideró un valor mínimo de , evitando con
ello que se anule la construcción del pistón. Con estos valores se construyó un deslizador
llamado “Primer pistón”, el cual representa el módulo del vector y lo controla.
Para determinar el sentido del vector de traslación fue necesario establecer su origen en algún
lugar del plano. De manera conveniente se fijó el origen en el punto  y se trazó una
circunferencia centrada en este punto cuyo radio estaba dado por el deslizador “Primer
19
pistón”. Luego de ello se trazó una recta paralela a 
que pasara por y se interceptó con .
De los dos puntos obtenidos por la intercepción, se tomó a como el extremo del vector de
traslación, ya que el pistón se desplaza en ese sentido estando en su posición inicial. Con esto
se trazó el vector 
(ver Figura 5).
Figura 5
Conocido el vector, aplicamos la traslación al punto con la herramienta
Traslación
,
obteniendo el punto que sería el primer vértice del dodecágono y sobre el cual se realizaría
el resto de la construcción.
Construcción del dodecágono
El siguiente vértice, contiguo a , se localiza en la recta 
. Para determinar este vértice se
trazó una circunferencia de centro en y radio , que luego se intersectó con la recta 
. De
los dos puntos obtenidos, se seleccionó a como el siguiente vértice del polígono según lo
refiere la imagen de fondo. El tercer vértice, contiguo a , se localiza en la recta perpendicular a

por este punto. Luego de construida esta recta se trazó una circunferencia , centrada en
y de radio estimado
4
de 
  . De los dos puntos obtenidos, se seleccionó a como el vértice
en cuestión, según sugiere la imagen. El cuarto vértice se localiza en la recta paralela a 
que
pasa por a una distancia de este punto igual a la que separa a los vértices y . Por esta
razón, se trazó esta recta, llamada , utilizando la herramienta “Paralela” y, posteriormente, se
usó la opción
Compás
para trasladar la medida de 
a , obteniéndose así una circunferencia
llamada . Luego de este procedimiento el cuarto vértice, llamado , fue definido por una de las
dos intersecciones entre la circunferencia y la recta (ver Figura 6).
4
Todas las estimaciones de radios que se mencionan en este documento se realizaron utilizando la opción
Circunferencia (centro, radio)
. Esta herramienta permite construir circunferencias con un radio determinado, cuyo
valor numérico es insertado en una ventana emergente que se muestra al hacer clic sobre el centro de la
circunferencia.
20
Figura 6
Los siguientes dos vértices se encuentran en la recta perpendicular a que pasa por , la cual a
su vez contiene a . Además, estos se localizan entre e a distancias diferentes de ambos
puntos. A partir de lo anterior, se trazó la recta 
y dos circunferencias, una centrada en y de
radio estimado de
   (circunferencia ) y otra centrada en y de radio estimado de
  
(circunferencia ). De las intersecciones posibles entre estos objetos, se eligieron como vértices
del dodecágono a aquellos que se encuentran entre e , llamados y (ver Figura 7).
Figura 7
Toca en esta parte describir la construcción de la cabecilla del pistón. En primer lugar se
observó que los siguientes dos vértices del polígono, contiguos a y , se localizan en rectas
21
perpendiculares a 
que pasan por y , respectivamente. Más aún, cada vértice se encuentra
a la misma distancia de la recta 
. Partiendo de lo anterior, se trazaron las rectas y
perpendiculares a 
que pasaran por los puntos y , respectivamente, así como también un
par de circunferencias de radio
 , una centrada en (circunferencia ) y otra centrada en
(circunferencia ). De las intersecciones posibles entre estos objetos, se seleccionaron a y
como vértices del dodecágono, según lo sugiere la imagen de fondo (ver Figura 8).
Figura 8
Para determinar los cuatro últimos vértices del dodecágono se siguió el mismo método antes
expuesto. Una vez determinados los vértices restantes (, , y ), la tarea finalizó al dibujar el
dodecágono con la herramienta
Polígono
, seleccionando todos sus vértices según la secuencia
F-G-H-I-J-M-N-P-Q-O-L-K-F (ver Figura 9).
Figura 9
22
Reflexiones finales
En base a lo descrito, los autores de este trabajo confirman la importancia de trabajar con los
conceptos matemáticos al momento de atender a una tarea de simulación con GeoGebra. Por
un lado, la traslación aplicada a uno de los vértices del polígono construido resultó fundamental
ya que con ello se podía garantizar el movimiento lineal que realiza el pistón; por otro lado, se
resalta el uso de las relaciones de posición entre rectas en un plano para procurar que todos los
ángulos formados por cada par de lados consecutivos del polígono fueran de noventa grados.
Agregar los sonidos musicales al funcionamiento interno de esta trompeta es el próximo reto
que se tiene por delante en la elaboración de este simulador.
Datos de los autores
Eilynn Figueroa
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Daniela Reyes
Estudiante de 5to Año mención Informática
E.T.C.R. Hermágoras Chávez
Cabimas, Venezuela
Rafael Gutiérrez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez”
rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/-A_IUYHc0dI?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
23
LA GRÚA TORRE Y EL SECRETO DE SU ANDAMIAJE
Federlyth Reyes, Graciela Sierra y Jhorfy Reyes
Resumen
Este trabajo muestra una secuencia de pasos para atender a una de las tareas realizadas para la
construcción del simulador de una “Grúa Torre” con el software GeoGebra. La misma consiste
en la elaboración del corredor vial por el cual la grúa realiza sus procesos de carga y descarga,
destacando la matemática implícita en el proceso de construcción, como son los conceptos de:
circunferencia, fracciones, equivalencia de fracciones, adición y multiplicación de fracciones,
relaciones de posición entre rectas y polígonos.
Abstract
This paper shows a step sequence to construct a part of a tower crane simulator with
GeoGebra. The sequence consists in building up the road corridor through which the crane
makes its loading and unloading processes, highlighting the implicit mathematical content in the
construction process such as: circumference, fractions, equivalence of fractions, addition and
multiplication of fractions, relationships between lines and polygons.
Introducción
En el mes de Junio del año 2014 se dio inicio formalmente al proyecto de diseño que lleva por
nombre “La Grúa Torre y el secreto de su andamiaje”. Dicho proyecto se ha desarrollado sobre
la marcha de las actividades del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayor”, que funciona en la
U.E.N. Alejandro Fuenmayor de Maracaibo. El objetivo de este proyecto es simular con el
GeoGebra el comportamiento de la grúa torre. Sin embargo, esta labor amerita la atención de
un cúmulo de tareas de diseño que no es posible comentar en este trabajo. Es por ello que a
continuación se describe el proceso realizado para resolver solo la tarea de construcción del
corredor vial asociado a la grúa torre con el GeoGebra, centrando la atención en las ideas
matemáticas implícitas durante su elaboración. La descripción de este procedimiento se
fundamenta en un breve relato de la grúa torre con el propósito de brindar una mejor
perspectiva sobre la construcción del corredor vial.
Sobre el fenómeno a simular
En lo que respecta al fenómeno, se decidió considerar al funcionamiento de una grúa mecánica
de tipo torre, esto es, una estructura metálica desmontable que es usada para el trasporte de
carga pesada en los puertos marítimos o en la construcción de edificios. La grúa en cuestión es
la modelo K-10000, de origen danés y patrocinada por la empresa Kroll. Está compuesta por la
torre principal, el brazo mecánico con tres grupos de contrapeso de 223 toneladas (), la
pluma en la que se encuentra el carril donde se desplaza o traslada el gancho de aprehensión y
la grúa de servicio que se utiliza para el montaje de la grúa principal y como apoyo para el
levantamiento de carga especial. Entre sus características principales resaltan sus 120 metros de
altura, lo que hace a esta estructura la más alta del mundo en su tipo. Además, esta grúa torre
24
soporta vientos de hasta  y levanta 132  como máximo, y más aún, a 100 metros
de la torre, la grúa puede soportar unas 92  (ver Figura 1
5
).
Figura 1
Básicamente, la grúa torre es capaz de mover al gancho de aprehensión sobre el carril y
alrededor de la torre mediante el giro del brazo mecánico hasta en 360°, dentro de una región
de carga circular localizada en el piso de la torre y con un radio máximo de 100 metros.
Cuando la grúa es usada en puertos y aeropuertos, a esta región se le conoce como “corredor
vial” por ser la zona de carga y descarga de contenedores por la que se mueven diferentes
vehículos que los trasladan. Para la construcción del corredor vial con el GeoGebra se asume
una perspectiva lineal, paralela o frontal de la grúa torre donde el dibujo representado intenta
mostrar cierta profundidad, dotándolo de una naturaleza tridimensional ficticia
Consideraciones de la construcción
Para responder a la tarea fue necesario considerar los siguientes aspectos antes de iniciar la
construcción:
Para guiar la construcción de las partes de la grúa, la imagen de la figura 1, seleccionada en
la fase 1, se insertó en la
Vista Gráfica
del GeoGebra.
A conveniencia se construyeron los puntos y para anclar la imagen a la
Vista Gráfica
del
software, de tal manera que el primero se localizara en el origen del sistema de coordenadas
y el segundo se posó sobre la rama positiva de . Luego se hizo corresponder el punto
con el vértice inferior izquierdo de la imagen y el punto con el vértice superior izquierdo.
Finalmente la opacidad de la imagen fue controlada por un deslizador llamado
claridad
”,
creado para revisar el estatus de la construcción (ver Figura 2).
5
Fuente: http://ingenieriaycomputacion.blogspot.com/2013/02/kroll-k-10000-la-grua-torre-mas-grande.html.
25
Figura 2
Se construyó el segmento 
cuya función, en la simulación, es la de servir de patrón, esto
es, que las construcciones asociadas a longitudes o distancias dependan de la longitud de
este segmento. El GeoGebra le asignó un valor determinado a la longitud del segmento
patrón (ver Figura 3).
Figura 3
Descripción de la tarea
Para construir el corredor vial en donde la grúa realiza sus actividades de carga y descarga fue
necesario asociar su forma con alguna figura geométrica conocida. Tras observar la imagen de
fondo, se tomó la decisión de considerar al rectángulo como el objeto geométrico que mejor
representa a esta parte del fenómeno. Dado que el rectángulo es un polígono, construirlo en el
GeoGebra supuso determinar la posición de sus vértices. Respecto a esto, se notó que al
momento de la discusión ya se contaba con el punto como uno de los vértices del
rectángulo, razón por lo cual la tarea se reducía a determinar la posición de los tres vértices
restantes.
26
Localización del vértice superior izquierdo
El vértice superior izquierdo estaba contenido en el segmento patrón, a cierta distancia del
vértice . Conocer esta distancia ayudaría a construir una circunferencia centrada en con un
radio igual a este valor, de manera que la intersección entre esta curva y el patrón de medida
definiría la localización del vértice. Para estimar este valor del radio, el análisis se apoyó en el
uso de la opción cuadrícula de la
Vista Grafica
del GeoGebra, tomando en cuenta que el patrón
de medida abarcaba 9 unidades (ver Figura 4). El uso de la cuadrícula representó una forma
práctica de estimar rápidamente las demás distancias de la construcción, en función del patrón
de medida.
Figura 4
Al centrar la atención en la zona donde estaría ubicado el vértice a determinar según la imagen,
se notó que éste se encontraba “más o menos” en la mitad de una de las unidades de la
cuadrícula sobre el patrón de medida, específicamente en aquella más próxima al vértice. Esta
relación se expresó así
   
  , donde representa la longitud del segmento patrón y
el resultado de esta expresión define el valor del radio. Sin embargo al construir la
circunferencia centrada en y con radio igual a
  , notamos que ésta no era la deseada ya
que el punto de corte entre el segmento patrón y la circunferencia se ubicaba por encima del
vértice estimado por la imagen de fondo (ver Figura 5).
Figura 5
27
Esto nos llevó a construir una nueva circunferencia con un radio menor a la dieciochoava parte
de la medida patrón. Para ello, el problema radicaba en estimar la medida del radio o al menos
una que se aproximara lo más posible al vértice. A partir de esta experiencia, determinar la
posición de los vértices del rectángulo se transformaba en un verdadero problema matemático
para el equipo de trabajo. Fue así que nos percatamos de la existencia de un concepto
matemático que, en este contexto, podía ser de gran ayuda; nos referimos a la fracción desde
diferentes concepciones. A continuación se explica cómo fue usado este concepto para
determinar la posición del vértice superior izquierdo.
En primer lugar, se realizaron varios acercamientos a la zona de la figura 5, hasta que cada
unidad de la cuadrícula se dividiera en dos partes iguales, justo en el punto de corte de la
circunferencia y el segmento patrón. Al insistir con el acercamiento se logró que cada unidad
de la cuadrícula quedara dividida en 10 partes iguales, ocupando el lado del rectángulo 9 de
estas décimas partes de una unidad de la cuadrícula (ver Figura 6).
Figura 6
A sabiendas que cada mitad de unidad de la cuadrícula es una dieciochoava parte de la medida
patrón, esto es
  , entonces el radio que debíamos utilizar podía expresarse como
 de

. Pero, ¿qué clase de fracción es esta? .Luego de varias discusiones se logró comprender que
estábamos frente a un problema de multiplicación de fracciones, ya que la expresión
 de
  
podía escribirse matemáticamente como

   y resolverse de esta manera:

     
    
         
      
    
  
Usando esta medida como valor del radio, construimos la circunferencia, llamada , que se
muestra en la figura 7. Finalmente, el segundo vértice, al que llamamos , se obtuvo al
intersecar el segmento patrón con esta circunferencia.
28
Figura 7
Localización del vértice inferior derecho
En cuanto a los otros dos vértices, se observó que éstos se encontraban en rectas
perpendiculares al segmento patrón por los vértices hallados, lo que se justifica ya que los
ángulos internos del rectángulo son rectos. En este momento surge otra nueva noción
matemática, nos referimos a las relaciones de posición ente rectas. Entre esta clase de
relaciones en el plano, el paralelismo y la perpendicularidad se consideran las más comunes. En
nuestro caso, nos fijamos que se debían construir dos rectas perpendiculares al segmento
patrón, una que pasara por el vértice y la otra por . Sobre cada una de estas rectas estaban
contenidos los vértices faltantes del rectángulo.
Luego de esta reflexión, se tomó la decisión de determinar la posición del vértice inferior
derecho. Para ello, se construuna recta con la herramienta
Perpendicular
del GeoGebra,
haciendo Clic sobre el patrón de medida y el vértice ; en esta recta se localizaría el vértice
deseado. Observando la imagen y tomando en cuenta las unidades de cuadrícula abarcadas
por la medida patrón, se requería determinar la fracción que representaría el radio de la
circunferencia a construir, por lo cual decidimos reducir la longitud de la medida patrón hasta
que ésta abarcara sólo 6 unidades de cuadrícula con el propósito de ver la cantidad de
unidades de cuadrículas que distaban entre el vértice y el deseado, facilitando así la
estimación del radio (ver Figura 8).
Figura 8
29
Como la medida patrón abarcaba 6 unidades de la cuadrícula, cada una de estas unidades
estaba representada por la fracción
. Al observar la figura 9 nos percatamos que la cantidad de
cuadrículas abarcada por la distancia entre los vértices y el inferior derecho era de 11
unidades completas y una porción de otra unidad, la cual se estimó en
. Esta relación queda
expresada de la siguiente manera: 
. Luego, aplicando fracciones equivalentes
obtenemos la relación  
 
 
 


  , entre la longitud de la base
del rectángulo y su altura .
Al construir la circunferencia centrada en y un radio estimado de 
   nos percatamos que la
misma no era la deseada, ya que el corte de ella con la recta no coincidía con el vértice
sugerido por la imagen de fondo (ver Figura 9).
Figura 9
Luego de varios intentos, se consideró una fracción más aproximada para efectos de la
construcción de la circunferencia. En esta ocasión, modificamos la longitud de la medida patrón
hasta que abarcase 7 unidades de la cuadrícula, es decir, ahora el lado de cada cuadrado mide
de y nos percatamos que el lado inferior del rectángulo, el cual tenía como extremo el
vértice deseado, abarcaba exactamente 13 unidades completas de la cuadricula (ver Figura
10a), por lo cual decidimos construir la circunferencia centrada en con radio de 
 , sin
obtener el éxito esperado (ver Figura 10b).
Figura 10
30
Finalmente, regresamos al patrón de medida con 6 unidades y decidimos trabajar con las 11
unidades de cuadrícula abarcadas por la distancia entre los vértices y el deseado al que
terminamos llamando más adelante. Al convertir las 11 unidades en una fracción con
denominador 8, es decir 

, logramos cubrir casi toda la zona del corredor. Sin
embargo, había que adicionar el pequeño trozo de la unidad siguiente. Tras realizar varios
acercamientos sobre la zona donde se localizaba el vértice , la unidad de cuadrícula se dividió
en  pequeñas partes iguales, de las cuales 5 representaban la posición del vértice, esto es, la
fracción

(ver Figura 11).
Figura 11
Ahora bien, como la fráccion anterior a esta última era de 
al sumarle la fráccion
amplificada
por 2, resultó lo siguiente: 
 
  

. Luego, al relacionar este valor con el
representado por la medida patrón se obtuvo:


 
Conocido este valor se procedió a construir una nueva circunferencia centrada en con un
radio estimado de 
  , pero la curva representada tampoco era la deseada (Ver Figura 12).
Figura 12
31
Entonces se decidió restarle
a la fracción 
para acercarnos al radio deseado, resultando en
lo siguiente: 

Al multiplicar esta fracción por aquella que representa el patrón de
medida nos quedó la expresión 

  .
Seguidamente se construyó una nueva circunferencia, llamada , con centro en y un radio
estimado de 
  , obteniendo la curva deseada que al intersectarse con la recta daba como
resultado el vértice inferior derecho, al que llamamos (ver Figura 13).
Figura 13
Localización del vértice superior derecho
El vértice superior derecho estaba contenido en una recta perpendicular al patrón de medida
por el vértice , la cual se construyó usando la herramienta
Perpendicular
, haciendo Clic sobre
el patrón de medida y el punto en cuestión, y obteniéndose la recta . Seguidamente nos dimos
cuenta que la intersección entre esta recta y una recta paralela al patrón de medida por el
vértice nos determinaría la posición del último vértice. Luego de este corto análisis,
construimos la recta con la herramienta
Paralela
del GeoGebra, señalando al segmento
patrón y posándola sobre el vértice . Al intersecar las rectas y se obtuvo el vértice superior
izquierdo, llamado . En la figura 14 se muestra el vértice hallado tras ocultar las circunferencias
innecesarias.
Figura 14
32
Conocidos los cuatro vértices, usamos la herramienta
Polígono
para dibujar el rectángulo
haciendo clic en estos puntos según la secuencia ---. Para finalizar la primera tarea, la
zona del rayado del corredor vial se construyó utilizando un segmento con extremos en los
puntos medios de los lados 
y 
, al cual luego se le cambió su apariencia. Es así como se
determinaron dichos puntos medios, llamados y , y se trazó el segmento 
, mostrándose
en la figura 15 un aspecto de línea a trozos.
Figura 15
Reflexiones finales
La experiencia vivida a través de este proyecto nos ha permitido ser conscientes del valor que
algunas herramientas del GeoGebra y la teoría geométrica tienen para la realización de nuestro
trabajo. Por un lado, al relacionar partes de la imagen con objetos geométricos como
rectángulos, triángulos, rectas, segmentos, entre otros, entendimos que había que construirlos,
aunque no siempre las construcciones eran consistentes con las propiedades del fenómeno. En
este caso, la prueba del arrastre o un simple acercamiento de la vista gráfica nos permitieron
apreciar inconsistencias en las construcciones que nos llevaron a valorar mucho más la
correspondencia que debía existir entre las dimensiones de la imagen y de las construcciones
que realizamos. Es así como la medida patrón llegó a tener sentido para nosotros en el
proyecto.
Por otro lado, un análisis del tipo de correspondencia entre estas medidas nos hizo entender
que el Teorema de Thales estaba presente en la situación y con ello el concepto de
proporcionalidad de segmentos. Sabíamos que la proporcionalidad tenía que ver con igualdad
entre razones, por lo cual decidimos considerar y utilizar la equivalencia de fracciones, el
concepto de fracciones y algunas de sus representaciones, para estimar la medida del radio de
algunas circunferencias. De las fracciones, en un principio pensamos que la concepción parte-
todo era la que predominaba ya que esta noción de fracciones se aplicaba al momento de usar
la cuadrícula del GeoGebra para estimar distancias. Sin embargo, al investigar seriamente sobre
33
la polisemia de la expresión  , creímos conveniente utilizar la noción de fracción como
operador entre magnitudes homogéneas, ya que a lo largo del trabajo se usó la razón como un
factor amplificador o reductor aplicado a cantidades asociadas a longitudes de segmentos y
radios de circunferencias.
Algunas cuestiones pendientes
Hasta el momento hemos explicado la construcción del corredor vial con GeoGebra, apoyando
nuestras acciones en un análisis de los objetos matemáticos presentes. Sin embargo, aún queda
mucho por hacer para construir otras partes de la grúa, tales como la torre, el brazo mecánico,
la grúa de servicio y la pluma. El análisis de la composición de la torre, por ejemplo, permite ver
que ella está compuesta por 36 ½ rectángulos, todos ellos paralelos y congruentes. También el
brazo mecánico y la pluma están compuestos por 24 y 39 rectángulos respectivamente,
colocados en serie, siendo paralelos y congruentes. Por este motivo sabemos que el concepto
de fracción como operador sigue vivo y presente en el proyecto de diseño que hemos
seleccionado. Solo queda vivir la experiencia y profundizar en su comprensión.
Datos de los autores
Federlyth Reyes
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Alejandro Fuenmayor
Maracaibo, Venezuela
Graciela Sierra
Estudiante de 5to Año
U.E.N. Alejandro Fuenmayor
Maracaibo, Venezuela
Jhorfy Reyes
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotor del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayor”
jhorfy.reyes@aprenderenred.com.ve
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/9doWSiRQFmY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
34
PUNTADA DOBLE, DE PESPUNTE
Yenire Rodríguez y Angela Cervantes
Resumen
El presente trabajo describe dos de las tareas realizadas con GeoGebra durante el proceso de
simulación de la puntada doble, de pespunte, un tipo de puntada realizada por una máquina
de coser. Las tareas de construcción están centradas en representar con GeoGebra dos de las
piezas del mecanismo: lanzadera y bobina. Mediante este escrito compartimos el proceso de
elaboración de estas piezas, develando la Matemática implícita en la construcción.
Abstract
The present paper describes two of the tasks made with GeoGebra during the process of
simulation of the lockstitch, a kind of stitch made by a sewing machine. The constructions tasks
are centered on representing with GeoGebra two of the mechanism pieces: the shuttle and the
bobbin. Through this writing we share the elaboration process of these pieces, unveiling the
implicit Mathematic behind the construction.
Introducción
El proyecto de diseño a nuestro cargo lo hemos denominado “Puntada doble, de pespunte”.
Éste se inició en el mes de Febrero de 2014, en el marco de las actividades del Club GeoGebra
“Almirante Padilla”, el cual funciona en la U.E.N Almirante Padilla de la ciudad de Maracaibo. El
objetivo del proyecto es simular con el GeoGebra este tipo de puntada hecho por una máquina
de coser. Aunque la simulación de esta puntada lleva a atender varias tareas de simulación, en
este trabajo se describe solo el proceso seguido para representar la lanzadera y la bobina, dos
de las piezas que conforman el mecanismo de la máquina de coser. En la descripción
centramos la atención en la Matemática que hay detrás de la representación con GeoGebra de
estas piezas del mecanismo. Además, se presenta una breve descripción del tipo de puntada a
simular y se culmina con unas reflexiones sobre todo el proceso vivido.
El fenómeno
En el mundo de la confección, una puntada es la unidad de entrelazado de uno o varios hilos
entre sí, a través o dentro de un material y a intervalos más o menos uniformes. Este proyecto
de diseño busca simular el mecanismo de la puntada doble, de pespunte, un tipo de puntada
cuya función es simplemente servir como adorno, realce o dar terminación al bordado. Ésta se
forma por una o varias agujas y dos series de hilos que se entrelazan mutuamente para
asegurar la unión del material, aumentando así la resistencia de la costura y cerrando la
puntada (generalmente son aguja y bobina). Por lo general, esta puntada es utilizada para la
unión de piezas, presillado, bolsillos y dobladillos. El trabajo dinámico que hacen en conjunto la
lanzadera y bobina (piezas a simular) es propio de toda máquina de coser. El tipo de tejido que
resulta de esta relación es la representación de la puntada doble, de pespunte (ver Figura 1)
6
.
6
Fuente: La imagen fue tomada de: http://www.taringa.net/Kachy_33/mi/bacBZ.
35
Figura 1
Las piezas que se han representado, la lanzadera y bobina, son de naturaleza móvil, es decir,
ellas son sujetas de un movimiento coordinado mientras la máquina hace el pespunte. En otras
palabras, estas dos piezas trabajan conjuntamente para lograr el objetivo del mecanismo: la
puntada doble. Sin embargo, en este momento el dinamismo trabajado en el simulador ha sido
solo el que corresponde a la bobina, específicamente el del perno. Junto a la bobina, también
se mostrará cómo fue representada la pieza de lanzadera (sin movimiento) en la interfaz gráfica
del GeoGebra.
La lanzadera y la bobina cumplen su función muy particular. Por un lado, la lanzadera tiene la
función de tensar el hilo de la aguja, esto es, tirar del lazo para quitarlo del enganche y
completar la puntada. Por otro lado, la bobina se encarga de enganchar el hilo de la aguja
mediante un giro de 360 grados, en sentido contra horario. Al término de cada giro se forma el
nudo con el hilo de la aguja (ver Figura 2).
Figura 2
Descripción de la tarea
Para comenzar con la tarea de elaborar la lanzadera y bobina del mecanismo, se optó por una
imagen animada que sirviera de referencia, pero sobre todo que ayudara a comprender cómo
36
se mueven estas piezas entre sí y qué tipo de figuras podían asociarse con su forma. A
continuación se describe lo realizado para construir ambas piezas con el GeoGebra.
Construcción de la lanzadera
Para la construcción de la lanzadera, tras observar la imagen de referencia se pudo identificar
dos cuestiones: (i) que el movimiento que realiza esta pieza describe una circunferencia y (ii) su
forma (de la lanzadera) podía ser representada por un objeto geométrico conocido como arco
de circunferencia. A partir de estas dos cuestiones, se comenzó a simular la pieza.
Lo primero que se hizo fue trazar la circunferencia que describe el movimiento de la lanzadera,
la cual luego serviría de guía para el trazado del arco de circunferencia a partir de la ubicación
de tres puntos en ella. Previo a la construcción de la circunferencia fue necesario determinar un
punto sobre la vista gráfica, que luego se considera como el centro de la curva. Este punto se
ubicó en la parte central de la bobina, según lo sugería la imagen de fondo (ver Figura 3). Para
determinar el radio de la circunferencia fue necesario establecer una relación entre la medida
de un patrón de unidad o referente, definido previamente a partir de un deslizador llamado
Patrón y la medida del radio de la bobina en la imagen de referencia, obteniendo como
resultado de la estimación un radio con una medida de 
 . Esta relación garantiza que, al
modificar el valor del deslizador, la construcción aumenta o disminuye sin perder su forma. Una
vez determinado estos elementos, la circunferencia fue trazada usando la herramienta
Circunferencia (centro, radio)
.
Figura 3
Luego de obtener la circunferencia se ubicaron tres puntos en ella de tal manera que dos de
estos coincidieran con los extremos del arco según la imagen de fondo y el tercer punto se
ubicara entre los otros dos (ver Figura 4a). Esto último se hizo utilizando la herramienta
Arco
tres puntos
del GeoGebra, obteniéndose así una apariencia de la lanzadera como la mostrada
en la figura 4b.
37
Figura 4
Luego, se ocultó la circunferencia para tener una mejor visión de la lanzadera y trabajar con las
propiedades del dibujo del arco (grosor y color), obteniendo así una mejor representación de la
pieza (ver Figura 5). Como se ha mencionado anteriormente, el movimiento de rotación que
realiza la lanzadera no es atendido en este trabajo; sólo se ha representado la forma de la
pieza, tarea que precede a la representación de tal movimiento.
Figura 5
Construcción de la bobina
La construcción de la bobina comenzó a realizarse tras terminar la representación de la
lanzadera. La simulación de la bobina se inicia por la caja de la bobina, observando que ella
también podía ser representada a través de circunferencias. Para ello, se usó una circunferencia
con centro en y un radio estimado según la imagen de fondo. Sin embargo, al modificar el
grosor de trazo de la línea a su máximo alcance, éste no cubría la caja de la bobina por
completo, razón por lo cual fue necesario trabajar con dos circunferencias concéntricas. De esta
manera se trazaron las circunferencias y , con el mismo centro y con radios de 
 y

 , respectivamente (ver figura 6). Las circunferencias fueron trazadas con la herramienta del
GeoGebra
Circunferencia (centro, radio)
.
38
Figura 6
Una vez terminada de representar la caja de la bobina, se debía comenzar a trabajar en el
carrete de hilo que lleva en su interior, cuya forma en la imagen de referencia podía ser
representada como una corona circular de color verde, colocada dentro de la bobina. Como en
el caso de la bobina, aquí se dibujó, con la herramienta
Circunferencia (centro, radio)
, otra
circunferencia con centro en y de radio 
 , a la cual se le modificaron sus propiedades
para darle la mayor opacidad posible y obtener así la apariencia deseada (ver figura 7).
Figura 7
Ahora, la tarea seguía para representar el interior de la bobina, esto es, ese círculo blanco que
se observa en la imagen de referencia. Para ello se traotra circunferencia centrada en y
con un radio estimado de 
 , una medida menor que los radios de todas las circunferencias
anteriores, con un valor justamente la mitad del radio de la circunferencia que representa el
carrete de hilo verde. Luego de crear esta circunferencia, se trabajó sobre las propiedades de
ésta dándole mayor opacidad, cambiando su color y obteniendo con esto el círculo inferior
blanco (ver Figura 8). En este punto, es importante señalar que la corona circular que se quería
representar desde el inicio estaría determinada por la porción de círculo de color verde que se
muestra en la figura 8.
39
Figura 8
En este momento la atención estaría puesta en el dinamismo de la bobina inferior, la cual se
pudo observar que además de contar con ese círculo blanco, también debía representarse el
perno que sujeta el carrete de hilo. Este complemento de la pieza (el perno) tiene forma de
segmento con uno de sus extremos en y que además se mueve según va rotando con
respecto a este punto. A partir de estas consideraciones se decidió trazar una circunferencia
centrada en
C
y de radio 
 y un segmento cuyos extremos son los puntos y , siendo
un punto libre sobre la circunferencia trazada (ver Figura 9). Finalmente, esta circunferencia
se ocultó y luego se trabajaron las propiedades del segmento
(color y estilo) y punto
(velocidad y repetición) hasta lograr la apariencia y movimiento deseado.
Figura 9
Reflexiones finales
La experiencia de simular con GeoGebra es algo nuevo para las autoras, tanto que hasta la
selección del mecanismo llevó su tiempo. No es común sentarse a ver el movimiento que
puede describir una de las puntadas que hace una máquina de coser. Sin embargo, cuando
comienza el proceso, la combinación de un cúmulo de saberes entre la Matemática y la
Tecnología, comienzan a hacer de las suyas.
40
El hecho de ir develando la Matemática presente en un mecanismo tan común como la
puntada de una máquina de coser, resulta asombroso y enriquecedor. Asociar la forma de cada
una de las piezas del mecanismo con un objeto matemático resultó un reto y, al respecto,
identificarlas y luego hacernos de sus propiedades para lograr finalmente la representación de
las piezas fue lo esencial durante este proceso de simulación.
Como se mencionó en un inicio, las tareas que aquí describimos son sólo dos de todas las
necesarias para lograr simular la puntada doble, de pespunte. Sin embargo, la oportunidad de
compartir mediante este escrito el proceso de realizarlas representa una forma de mostrar que
es posible el estudio de las ciencias, en este caso de la Matemática de una manera distinta y
cautivadora para los estudiantes de la Educación Media. La tarea sigue, nos faltan movimientos
por identificar y piezas que representar, que nos permitan finalmente lograr el simulador.
Datos de las autoras
Yenire Rodríguez
Estudiante de 4to Año
U.E.N. Almirante Padilla
Maracaibo, Venezuela
Angela Cervantes
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Almirante Padilla”
angela.cervantes@aprenderenred.com.ve
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/pjAB3EbbmLY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
41
EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA RENOVABLE
Leonel Barboza, Maryeimi Báez y Leonela Rubio
Resumen
En el presente trabajo se describe la secuencia de pasos seguida para elaborar los primeros
elementos de un simulador que pretende ilustrar la transformación de la luz solar en energía
eléctrica, realizado con GeoGebra. Específicamente se expondrá el procedimiento utilizado en la
construcción del cielo, la tierra y una casa, elementos que forman parte del fondo que
ambientará al simulador. En el discurso se destacarán ciertos conceptos matemáticos que han
servido de base para la construcción, como el de semiplano, inecuación, circunferencia,
rectángulo, entre otros.
Abstract
This paper describes the step sequence followed to elaborate the first elements of a simulator
that pretends to illustrate the transformation of the Sun light into electric energy, created with
GeoGebra. Specifically, it will be exposed the process used in the construction of the sky, the
land and a house, elements that constitute the background of the simulator. In the discourse will
be highlighted some mathematical concepts that lay the foundations for the construction, such
as half-plane, inequation, circumference, rectangle, and others.
Introducción
El proyecto de diseño titulado “El sol como fuente de energía renovable” se inició en el mes de
enero de 2015, como parte de las actividades desarrolladas desde el Club GeoGebra adscrito al
Liceo Nacional “Caracciolo Parra León” del municipio La Cañada de Urdaneta, estado Zulia. En
este proyecto se pretende simular con el GeoGebra la transformación de la luz solar en energía
eléctrica en un contexto cotidiano de La Cañada. Esta acción engloba en sí misma un conjunto
de tareas de diseño que, por razones de espacio, no podrán ser tratadas en este documento. Es
por ello que en este trabajo se describirá sólo el procedimiento seguido para construir el cielo,
la tierra y una de las casas que forman parte del paisaje de fondo del simulador, centrando la
atención en los conceptos matemáticos subyacentes en cada paso. A continuación se dará una
breve explicación del fenómeno a simular, seguida de la descripción mencionada. Para finalizar,
se exponen algunas reflexiones que hacemos a partir de la experiencia con la simulación.
Sobre el fenómeno a simular
La transformación de la luz solar en energía eléctrica está basada en el efecto fotovoltaico. Esta
transformación se produce por medio de células solares y se podría afirmar que es una de las
energías renovables con más proyección de futuro por su sencillez técnica. Las células solares
están elaboradas a base de silicio puro, son dispositivos sólidos excitables al recibir luz solar y
con capacidad para generar pequeñas cantidades de electricidad. Éstas se montan sobre
paneles solares para conseguir un voltaje adecuado a las aplicaciones eléctricas; los paneles se
orientan hacia el sur para un mayor aprovechamiento de la energía solar que, una vez captada,
42
se transforma en energía eléctrica en forma de corriente continua, con conexión a un sistema
de almacenamiento o baterías. Actualmente existen dos formas de utilización de la energía
fotovoltaica, pero nosotros hemos considerado la de autoconsumo, es decir, la instalación de
un elemento no conectado a la red pública que abastece a una vivienda aislada (ver Figura 1
7
).
Figura 1
Nuestro simulador mostrará dos casas con paneles solares en sus techos, los cuales captarán la
luz emitida por el sol desde el amanecer hasta el ocaso. Una vez que el sol se oculte la energía
almacenada hará encender las lámparas exteriores de las casas. A diferencia de otros trabajos
presentados en este evento, nuestro simulador parte de una idea (una imagen mental) de la
escena que se busca recrear con el simulador, en vez de basarse en una fotografía de
referencia. Esta idea fue concebida a partir de un consenso entre los integrantes del equipo.
Descripción de la tarea
En esta sección se describe la realización de una tarea de nuestro simulador, la cual consiste en
construir una parte del paisaje de fondo, esto es, el cielo, la tierra y una de las casas. Para ello,
hemos dividido el proceso en las siguientes fases: (i) construir el cielo y la tierra, (ii) crear el
garaje de la casa, (iii) construir la pared delantera de la casa. Cabe destacar que estas
construcciones forman parte de los elementos fijos del simulador y, en su conjunto, representan
la primera tarea de diseño.
Construcción del cielo y la tierra
Antes de iniciar, es necesario acotar que tomamos la decisión de considerar al  como una
representación de la línea del horizonte, la cual serviría de referencia durante la construcción.
Por lo tanto, fue necesario mostrar los ejes cartesianos en la vista gráfica del software.
Para construir el cielo y la tierra es necesario trazar semiplanos en el plano cartesiano, y para lo
cual hemos empleado inecuaciones, ya que sus representaciones gráficas son porciones del
plano que perfectamente pueden hacer alusión a lo que todo observador ve cuando se ubica
frente a un paisaje que muestra al cielo y la tierra. Específicamente hemos introducido la
inecuación   en la barra de entrada del GeoGebra para obtener así un semiplano ubicado
7
Fuente: http://www.autoconsumosi.com/page/4/.
43
por encima del , el cual representa al cielo en este caso. De manera análoga,
representamos la tierra con la inecuación  , que nos permite crear otro semiplano por
debajo del . Ambos objetos se matizan de color celeste y verde respectivamente, para
darles una apariencia similar a la que tendrían en la realidad. Esto último se ha hecho mediante
un cambio en las
Propiedades
de los objetos representados en el software (ver Figura 2).
Figura 2
Creación del garaje
Para la construcción del garaje y la fachada de la casa hemos decidido trasladar las medidas
que estos espacios tendrían en la realidad a la interfaz del software, es decir, si una casa tiene
normalmente metros de ancho, en el simulador tendrá unidades de ancho. Las dimensiones
de una casa fueron establecidas por consenso, a partir de la propia experiencia.
La construcción del garaje se inició fijando su posición con un punto , de ubicación cualquiera
en el . Esta sección de la casa tendría unidades de ancho por de alto, por lo cual un
cuadrado podría representarle perfectamente. Para construir esta figura se creó una
circunferencia centrada en y de radio . De la intersección de esta circunferencia con el 
tomamos el punto , localizado a la derecha de , con el cual se delimita el piso del garaje,
uno de los lados del cuadrado (ver Figura 3).
Figura 3
44
Debido a que todos los lados del garaje tienen la misma medida ( unidades en el simulador) y
que los ángulos formados entre estos son todos rectos, es posible construir el cuadrado que
representa al garaje a través de la herramienta
Polígono Regular
. Activamos esta opción y
seleccionamos los puntos y , para luego modificar las
Propiedades
de la figura haciéndole
corresponder una tonalidad crema en su interior (ver Figura 4).
Figura 4
Construcción de la pared delantera de la casa
La pared delantera de la casa mediría metros de ancho por metros de alto en la realidad.
Por lo tanto, en el software estas medidas serían de y unidades, respectivamente. A
semejanza del garaje, los ángulos formados en los bordes de la pared también son rectos, por
lo tanto es posible representar la fachada de la casa a través de un rectángulo. Para construirlo
creamos una circunferencia centrada en y de radio unidades. De la intersección de ésta con
el  seleccionamos el punto , ubicado a la derecha de . De esta manera, los puntos y
delimitan el piso de la casa y nos permiten asegurarnos que la misma esté adosada al garaje
(ver Figura 5).
Figura 5
45
Seguidamente se crea otra circunferencia con centro en y radio , para fijar la altura de la
pared (ver Figura 6).
Figura 6
Se sabe que y son vértices del rectángulo que intentamos construir, por tanto para
determinar este polígono es necesario conocer la ubicación de los dos vértices restantes. Uno
de ellos está en la circunferencia centrada en y a la vez en una recta perpendicular al 
que pasa por el punto anterior. En consecuencia, si se construye esta recta, la intersección de la
misma con la circunferencia mencionada proporciona un punto que es el tercer vértice del
rectángulo. Esta recta se crea seleccionando la herramienta
Perpendicular
y haciendo clic en el
punto (por donde pasa la perpendicular) y el  (referente de la relación). De esta manera,
con ayuda de la herramienta
Intersección
, seleccionamos el punto que se ubica por arriba de
, el cual es el tercer vértice del rectángulo (ver Figura 7).
Figura 7
46
El último vértice se localiza en una recta perpendicular a 
que pasa por , así como también
en otra perpendicular al  que pasa por . Para construir estas rectas se utiliza la
herramienta
Perpendicular
, seleccionando el punto por donde pasan y la recta que es referente
de la relación. Si el cuarto vértice se encuentra en ambas rectas, entonces éste es la intersección
de las líneas, llamado . Finalmente, con la herramienta
Polígono
se dibuja el polígono  y
se hace un cambio de sus propiedades para matizarlo en color mostaza (ver Figura 8).
Figura 7
Reflexiones finales
Tras haber realizado la tarea de construcción del garaje y la pared contigua podemos afirmar
que, para lograr construcciones consistentes utilizando el GeoGebra, ha sido imprescindible la
utilización de algunos conceptos matemáticos. Para un estudiante liceísta, enfrentarse a tareas
de este tipo es una experiencia de reflexión, aprendizaje y experimentación. Por un lado,
implementar la prueba de arrastre como medio de validación de nuestras construcciones nos
ayudó a descubrir características y propiedades de las figuras elaboradas que eran
subestimadas, relegadas e incluso desconocidas por nosotros, lo cual contribuyó a ampliar
nuestra compresión sobre los objetos matemáticos presentes en la construcción.
Por otro lado, utilizar la relación perpendicularidad entre rectas y las circunferencias como
medio para fijar medidas nos permitió obtener una pared acorde con su contraparte en la
realidad, aun cuando se manipulen las dimensiones del simulador.
Finalmente, consideramos que el uso de semiplanos para simbolizar el cielo y la tierra resulta en
una representación que permanecerá fiel a la realidad sin importar cuánto se utilice el zoom de
alejamiento del GeoGebra. Los retos venideros en la construcción de este simulador serán la
culminación del fondo y la construcción del sol.
47
Datos de los autores
Leonel Barboza
Estudiante de 4to Año
L. N. Caracciolo Parra León
La Cañada de Urdaneta, Venezuela
Maryeimi Báez
Estudiante de 4to Año
L. N. Caracciolo Parra León
La Cañada de Urdaneta, Venezuela
Leonela Rubio
Estudiante de la Licenciatura en Educación mención Matemática y Física
Universidad de Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León”
leonela.rubio@aprenderenred.com.ve
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/Y_Q1f-MfKm8?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
48
EL BALANCÍN DE POZO PETROLERO
Joseph Allen e Ivonne Sánchez
Resumen
El presente trabajo describe el procedimiento con el cual se abordó una de las tareas del
simulador llamado “El balancín de pozo petrolero” con el GeoGebra. Esta tarea consistió en
construir la manivela, destacando la matemática que emergió en la representación de la pieza,
entre la que se encuentra la rotación, arcos de circunferencia y polígono.
Abstract
This paper describes the process used to approach one of the tasks of the simulator called “The
oil well rocker” with GeoGebra. This task consisted in constructing the crank highlighting the
mathematics that emerged in the piece representation, wherein it is found the rotation, arcs and
polygon.
Introducción
El proyecto de diseño llamado “Balancín de pozo petrolero” se inició en el mes de enero de
2015 como parte de las sesiones de trabajo del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”,
ubicado en la ciudad de Maracaibo, Estado Zulia. Con el proyecto se busca simular con
GeoGebra el funcionamiento básico del balancín de pozo petrolero, lo que ha supuesto tomar
decisiones para dar respuesta a una serie de tareas de construcción con el software.
En este trabajo se describe el procedimiento seguido para resolver solo una de las tareas de la
construcción referida a la representación de la manivela del motor, haciendo énfasis en la
matemática que ha guiado el proceso de construcción de la pieza. Al inicio del trabajo se
describe una breve reseña del balancín de pozo petrolero con el fin de dar a conocer algunas
referencias al fenómeno que se simula. Al final se encuentran unas reflexiones finales sobre el
papel que tuvo el GeoGebra en el proceso de simulación, la matemática que emergió y el
aprendizaje que se obtuvo al atender la simulación.
Sobre el fenómeno
El balancín de pozo petrolero es una máquina integrada que utiliza el bombeo mecánico para
la extracción del petróleo. Su objetivo es convertir el movimiento angular del eje de un motor a
uno ascendente y descendente, con la finalidad de accionar la sarta de cabillas y la bomba de
subsuelo; a este movimiento se le conoce como
recorrido
. El balancín es soportado cerca del
centro de gravedad por una estructura llamada
poste maestro
y el combustible con el cual
opera es el gas, el cual lo obtienen del mismo campo en el que es instalado.
Para 1814, en la ciudad de Mene Grande, estado Zulia, se comenzó a utilizar el balancín
cuando se perforó el primer pozo, llamado Zumaque 1. La perforación de este pozo marcó el
inicio de la comercialización del petróleo en Venezuela. Las Cuencas Petrolíferas más
importantes se encuentran en: Maracaibo, Falcón, en el Golfo, Apure, Oriente y Cariaco; siendo
estos los principales lugares donde se encuentra petróleo en el país.
49
El balancín seleccionado para este proyecto es el de una “unidad convencional”. Éste es el más
antiguo y usado por la industria petrolera en la región debido a su bajo costo y su amplia
adaptación a las condiciones de los pozos. A través de los años se han creado otros balancines
como el de la unidad Mark II, la balanceadora de aire, los hidráulicos, rotativos, entre otros (ver
Figura 1
8
).
Figura 1
Las partes del modelo de unidad convencional se pueden diferenciar por el equipo de la
superficie y el equipo del subsuelo. Las piezas que conforman al equipo de la superficie son: la
manivela, el contrapeso, el motor, cabeza de caballo, freno, cojinete de muñequilla, entre otros
(ver Figura 2
9
).
Figura 2
8
Fuente: http://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/400-kg-counterweight-center-mass-g-
mounted-pitman-crank-ab-oil-pumping-unit-figure-1-motor-q5421620
9
Fuente: Adaptación de la imagen original en la Figura 1, con la inserción del nombre de las piezas.
50
Descripción de la tarea
Simular el balancín de pozo petrolero supone realizar una serie de tareas donde se representen
las piezas de la máquina. En este sentido la primera tarea a describir consistió en construir la
manivela del balancín usando el software GeoGebra. Por ser la primera tarea que se llevó a
cabo fue conveniente tomar en cuenta algunas cuestiones de partida con la intención de
facilitar el proceso de construcción. Estas cuestiones son las siguientes:
Se insertó en la interfaz gráfica del GeoGebra la figura 1, de manera que las construcciones
realizadas se apoyaran en la imagen. Posterior a esto, se construyó un deslizador de número
llamado “Opacidad”, donde el mínimo valor que toma es y el máximo para manipular
este atributo de la imagen. Lo anterior se hizo con el fin de revisar periódicamente el estatus
de las construcciones.
Se definió un patrón de medida con el propósito de que todas las construcciones creadas a
partir de longitudes y distancias dependan de este patrón. Lo anterior garantiza que al variar
la medida patrón se obtengan objetos que mantienen una relación de proporcionalidad con
aquellos que se han construidos inicialmente. En este caso, se tomó como medida patrón un
segmento, el cual se muestra en color azul en la figura.
La figura 3 muestra el aspecto de la interfaz luego de procurarse estas consideraciones.
Figura 3
Luego de esto, se dio inicio a la construcción de la manivela del balancín identificando en el
dibujo lo siguiente:
a) El movimiento de la manivela se caracteriza por ser un giro o rotación continua de la pieza
con respecto a un punto fijo localizado en uno de sus extremos. Para simular el movimiento
se decidió rotar un segmento con respecto a uno de sus extremos.
b) El contorno de la manivela posee una forma irregular, esto es, la figura que la representa
está compuesta por líneas rectas (segmentos) y curvas (arcos de circunferencia). La
construcción de esta figura se hace sobre el segmento anterior para garantizar que toda
pieza se mueva según la rotación determinada anteriormente.
51
El movimiento de la manivela
La rotación es una transformación en el plano aplicada a una figura (objeto de la rotación), un
centro y ángulo de rotación. Para lograr una representación gráfica de este movimiento, se
ubicó un punto sobre el freno en la imagen que sirviera de centro de rotación. Luego se
trazó un segmento de longitud fija, en donde uno de sus extremos es y su longitud fue
definida por el deslizador patrón: Este segmento, llamado , sería el objeto a rotar.
Seguidamente se definió el ángulo de rotación por medio de un deslizador de ángulo llamado
con un valor mínimo de  (manivela en posición inicial
10
) y un máximo de  (manivela
luego de haber dado un giro completo). Finalmente, utilizando la herramienta
Rotación
aplicamos esta transformación al segmento  con centro en y ángulo , obteniendo un
segmento homólogo al original llamado  (ver Figura 4).
Figura 4
El contorno de la manivela
Para dibujar el contorno de la manivela se realizó una representación de su contrapeso. Se
observó en la imagen que la parte externa de esta pieza se podía representar por medio de un
arco de circunferencia, construido con el GeoGebra a partir de la herramienta
Arco Tres Puntos
.
Como su nombre lo indica, esta herramienta requiere la localización de tres puntos en la figura,
de los cuales dos son sus extremos. En este caso se observó que el tercer punto del arco se
correspondía con  por ser este el punto de intersección entre el arco a construir y el
segmento que representa la manivela.
Para determinar los extremos del arco fue necesario dibujar la circunferencia que lo contiene, lo
que suponía localizar su centro ya que el radio quedaba definido por la distancia entre este
punto y . En un principio se supuso que este centro era , pero al dibujar la circunferencia se
tuvo que ésta no representaba tan bien al contorno deseado. La pregunta que surgió en ese
momento fue: si el centro se posa sobre la recta 
, ¿estará localizado entre y  o no?
10
La manivela está en posición inicial cuando el segmento que lo representa coincide con 
52
Con el fin de dar una respuesta a esta interrogante nos apoyamos en el dinamismo del
GeoGebra. En este sentido, se construyó la recta 
y una circunferencia cuyo centro es un
punto libre sobre la recta, al que se llamó , y su radio es 
, de tal manera que al mover
sobre la recta, el radio de la circunferencia y su curvatura cambiaban (ver Figura 5). Al mover el
punto a la izquierda de , la circunferencia obtenida era más grande que el contrapeso, por
lo tanto, era evidente que el centro buscado se localizaba entre los puntos y . Para saber su
ubicación precisa fuimos variando la posición de entre y , observando la circunferencia
obtenida y comparándola con el contrapeso. A través de esta exploración fue posible reconocer
que el centro buscado era el punto medio de 
, al que se llamó y que fue determinado
con la herramienta
Medio o Centro
.
Figura 5
Conocido el punto , se procedió a dibujar la circunferencia que coincide con uno de los
bordes del contrapeso usando la herramienta
Circunferencia (centro, punto)
. Lo que seguía era
determinar los extremos del arco sobre la circunferencia y para ello se observó en la imagen de
referencia que estos estaban contenidos en la Mediatriz del segmento . Por lo tanto se trazó
esta mediatriz tal que al intersecarse con la circunferencia permitiría obtener los puntos y
que son los extremos del arco. Al aplicar la opción
Arco Tres Puntos
a los puntos , y  se
logró construir el arco deseado (ver figura 6a).
Figura 6
53
Para dibujar el otro arco de circunferencia, aplicamos una simetría axial al arco creado
previamente, usando como eje de simetría a la mediatriz del segmento  y como
herramienta la opción
Simetría Axial
. Para evitar que se notara la separación entre los arcos, se
construyó el segmento 
(ver Figura 6b).
Luego de todo lo anterior, se procedió a construir la manivela usando para ello un rectángulo
que pudiera representar parte de la pieza y una semicircunferencia que representará su lado
curvo. La construcción del rectángulo se hizo a partir de la determinación de sus vértices. En un
principio dibujamos la circunferencia de radio  ( es el punto de intersección de la mediatriz
de 
con la recta 
) y la centramos en pero, al compararla con la imagen de referencia,
ésta era muy grande para contener a dos de los vértices. La curva debía ser de menor tamaño,
lo que nos condujo a dibujar la circunferencia de radio  (es punto medio entre y )
centrada en , de manera que al intersecarla con la mediatriz se obtuvieran los puntos y ,
coincidentes con dos de los vértices del rectángulo (ver Figura 7).
Figura 7
Para determinar los otros vértices del rectángulo dibujamos tres rectas. Dos de estas rectas
serían paralelas a 
, una que pasara por y la otra por . La otra recta sería paralela a la
mediatriz de  y pasara por .
La decisión de trazar paralelas se basó en el hecho de que los
lados opuestos de un rectángulo son paralelos e iguales. La manera cómo fueron trazadas estas
rectas con el GeoGebra responde al
axioma de Euclides que dice: “
Por un punto exterior a una
recta se puede trazar una y solo una recta paralela a ella
”. Es así como debíamos hacer clic en
el punto por donde pasa la recta paralela y luego en el referente (recta o segmento) de la
relación.
En la intersección de estas rectas estaban contenidos los vértices faltantes y . Finalmente
con los vértices , , y y usando la herramienta
Polígono
se constru el rectángulo
deseado (ver Figura 8).
54
Figura 8
Para construir la semicircunferencia observamos en la imagen que ésta debía depender del lado

del rectángulo creado anteriormente. Más aún, este lado es el diámetro que puede definir a
la semicircunferencia, por lo tanto, los puntos y son los extremos de esta figura.
Finalmente, ésta fue creada con la herramienta
Semicircunferencia
. Modificamos la opacidad de
los arcos de circunferencia, del segmento, el rectángulo y la semicircunferencia, todos con el
mismo color y parecido al que se muestra en la figura 1. Para efectos de presentación de la
manivela, ocultamos todo lo realizado anteriormente, a excepción de los arcos de
circunferencia, rectángulo, semicircunferencia, segmento, y el punto (ver Figura 9).
Figura 9
55
Reflexiones finales
Al culminar el proceso de simulación de la manivela del balancín de pozo petrolero, pudimos
concluir que es un proceso muy enriquecedor por tres motivos principales. El primero tiene que
ver con toda la matemática que se puede aprender durante la simulación de esta pieza,
mediante la reflexión sobre las características esenciales de los objetos matemáticos
involucrados en la representación de la manivela. El segundo tiene que ver con el fenómeno en
cuestión, ya que su selección ha supuesto más que eso. Los estudiantes deben indagar sobre su
origen, sus piezas, su funcionamiento, entre otras cuestiones. Lo anterior supone adquirir un
conocimiento extra matemático que es importante para el proceso de simulación. En el caso de
esta experiencia, la selección del fenómeno se vio influenciado por el interés en realizar estudios
universitarios en el campo de la Ingeniería Petrolera. El tercero tiene que ver con el papel del
GeoGebra en todo el proceso de simular la manivela. Sin duda alguna este software es un gran
aliado para que los participantes pongan de manifiesto su conocimiento matemático y
reflexionen sobre los objetos geométricos que están representados, permitiéndoles manipular y
validar las construcciones en tiempo real. Espacios como el Club GeoGebra son una
oportunidad más para que los estudiantes y sus promotores aprendan y pongan en práctica la
matemática usando tecnologías digitales.
Datos de los autores
Joseph Allen
Estudiante de 5to Año
E.B.N. León de Febres Cordero
Maracaibo, Venezuela
Ivonne Sánchez
Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física
Universidad del Zulia, Venezuela
Promotora del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”
ivonne.sanchez@aprenderenred.com.ve
El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección:
https://youtu.be/7eXWCmWv34Q?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.
56
EL MOTOR DE CUATRO TIEMPOS
Yoelby Montiel y Luis Andrés Castillo
Resumen
En este trabajo se describe el tratamiento con el cual se abordó una de las tareas propias de la
elaboración del simulador de un motor de cuatro tiempos con el GeoGebra. Esta tarea consistió
en construir la biela del motor, destacando los conceptos matemáticos que emergen en la
elaboración de la pieza, tales como, la rotación, circunferencias, segmentos y relaciones de
posición entre rectas, contenidos estos que están contemplados en los programas oficiales de la
Educación Media General.
Abstract
In this paper, we describe the treatment used to approach one of the essential tasks in the
construction of a four-stroke engine simulator with GeoGebra. This task consisted in building the
engine rod, focusing on the mathematical concepts that emerge in piece’s construction, such as
rotation, circumference, segments and relationships between lines, contents that are included in
the official curriculum of secondary school.
Introducción
El Club GeoGebra “Hugo Montiel Moreno” es un espacio educativo no convencional que
funciona en el Liceo Bolivariano Hugo Montiel Moreno, ubicado en la parroquia San Rafael de
El Moján, Municipio Mara del estado Zulia. Desde este espacio se lleva a cabo el Proyecto de
Diseño que se titula “Motor de cuatro tiempos”, iniciado en el mes de febrero del año 2015. El
objetivo de este proyecto es simular con GeoGebra el funcionamiento interno de un motor de
cuatro tiempos, considerando los tiempos de admisión, compresión, combustión y escape, los
cuales son generados por el movimiento de uno o varios pistones. En los siguientes párrafos se
describe el procedimiento a seguir para resolver la tarea de construcción de la Biela, haciendo
énfasis en las ideas matemáticas que guiaron este proceso, entre las cuales se tiene la rotación,
circunferencias, segmentos y relaciones de posición entre rectas. Además se anexa una breve
reseña del fenómeno a simular.
El fenómeno
Un motor de cuatro tiempos es un tipo de motor de combustión interna, también llamado
motor a explosión o a pistón, que obtiene energía mecánica directamente de la energía
química de un combustible que arde dentro de la cámara de combustión. Su nombre se debe a
que dicha combustión se produce dentro de la propia máquina, a diferencia de, por ejemplo, la
máquina de vapor. Este mecanismo se compone de una cámara de combustión cilíndrica, dos
conductos (de admisión y de escape) dispuestos en una de las bases que se cierran y abren
convenientemente por medio de válvulas en una secuencia, un electrodo (bujía) que permite
hacer saltar una chispa en el momento adecuado para iniciar la explosión de los gases
acumulados en su interior y una biela que es un elemento mecánico que es sometido a
57
esfuerzos de tracción o compresión. Esta última pieza transmite el movimiento articulado a
otras partes de la máquina (ver Figura 1
11
).
Figura 1
Actualmente las bielas son un elemento básico en los motores de combustión interna. Ésta se
diseña con una forma específica para conectarse con el pistón y el cigüeñal. Su sección
transversal o perfil puede variar según la forma que posea, en este caso el motor considerado
para la simulación tiene una biela con un perfil I. El material del que se fabrica las bielas es de
una aleación de acero, titanio o aluminio.
Consideraciones sobre la tarea
La tarea consistió en construir la biela de un motor de cuatro tiempos ilustrado en la figura 1.
Antes de iniciar esta construcción fue necesario realizar las siguientes acciones:
Definir un patrón de medida
En el caso de este simulador, la medida patrón se asocia a la longitud de la base del “cártel del
cigüeñal” (ver Figura 1). Para manipular la plantilla haciendo variar la longitud de esta base se
construyó un deslizador de tipo número, llamado , con valor mínimo igual a cero (0) y
un máximo de diez (10) unidades. En este momento se decidió ubicar este
deslizador
y todos
los posteriores en la
Vista Grafica
2 del GeoGebra, con el fin de evitar la superposición de los
deslizadores con algún elemento de la construcción (ver Figura 2). Esta decisión no impide
vincular los deslizadores con los objetos a construir en la primera Vista Gráfica.
11
La imagen usada como modelo en la simulación es una adaptación de una imagen original que fue extraída de:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/13966/Motor%20de%20explosion%20de%204%20ti
empos.swf?sequence=2
58
Figura 2
Insertar la plantilla
Para insertar la plantilla en la Vista Gráfica fue conveniente localizar dos puntos de una forma
especial, esto es, que estuvieran contenidos en una recta horizontal y a una distancia entre
definida por el deslizador . Estos puntos tienen la función de ser los vértices inferiores
de la plantilla y a su vez las esquinas de la base del cártel del cigüeñal. Para dibujar estos
puntos se comenzó construyendo un punto que se mueve libremente por la Vista Gráfica.
Luego, se trazó una recta paralela al  por y seguidamente una circunferencia centrada
en este punto y de radio igual a . Al intersectar la recta y la circunferencia se obtuvieron
dos puntos de los cuales se decidió trabajar con . Finalmente la plantilla fue insertada con la
herramienta
Imagen
, asociando sus esquinas 1 y 2 con los puntos y , respectivamente (ver
Figura 3).
Figura 3
59
Vale destacar que, por un lado, la opacidad de la plantilla es controlada por un deslizador de
tipo número llamado , con un valor mínimo de cero (0) y un máximo de uno (1). Por
otro lado, la plantilla muestra el momento en que las dos sujeciones y el cigüeñal están
alineados, como se muestra en la figura 3. Esto se hizo con la finalidad de facilitar la
construcción.
Construcción de la Biela
Tras observar la plantilla fue posible reconocer que la biela podía ser representada a través de
un segmento cuyos extremos se posan sobre la sujeción a la biela