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Zusammenfassung Die heutige Wissenschaft basiert auf logischem Dualismus; Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Es gibt also zwei Klassen von Aussagen: das Wahre, und das Falsche. In der Fuzzy-Logik [1] gibt es nicht zwei Wahrheitswerte, sondern unendlich viele: das ganze Spektrum im Intervall zwischen 1 (ganz wahr) und 0 (kein Wahrheitsanteil). Somit können zwei gegensätzliche Aussagen beide zu gewissen Graden wahr sein. Die kognitive Psychologie [8] zeigt, dass unser Gehirn Grenzen konstruiert, wo keine sind. Die Fuzzy-Logik unifiziert Gegensätze mit Graduation, löst scharfe Grenzen auf und spricht für ein inklusives, holistisches Weltbild. Die Unifikation von Gegensätzen und die Auflösung von mentalen Grenzen, das ist es, was die Anhänger begeistert und die Gegner in Rage bringt. Die Fuzzy-Logik polarisiert, weil sie scheinbar der klassischen Aussagelogik und damit der Mathematik und Wissenschaft den Teppich unter den Füßen wegzieht. Allerdings ist zu bedenken, dass die Fuzzy-Logik auf Fuzzy-Sets [17] basiert, welche wiederum mit den Werkzeugen der klassischen Mengen und Funktionen konstruiert sind. Die Fuzzy-Logik stützt sich auf die klassische binäre Logik. Zudem schrieb Zadeh [19]: ,,Fuzzy Logic is not Fuzzy“ – Fuzzy-Logik ist nicht unscharf. Es handelt sich vielmehr um eine präzise Logik zum Umgang mit Unschärfe.
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Fuzzylogik:
Eine Revolution des Geistes.
Ein Versuch über möglichen Ursachen der Kontroverse um die Zadehsche Logik
von Dr. Michael A. Kaufmann
Die heutige Wissenschaft basiert auf logischem Dualismus; Aussagen sind entweder wahr oder falsch.
Es gibt also zwei Klassen von Aussagen: das Wahre, und das Falsche. In der Fuzzy Logik (Bellman &
Zadeh 1977) gibt es nicht zwei Wahrheitswerte, sondern unendlich viele: das ganze Spektrum im
Intervall zwischen 1 (ganz wahr) und 0 (kein Wahrheitsanteil). Somit können zwei gegensätzliche
Aussagen beide zu gewissen Graden wahr sein. Die kognitive Psychologie (Kanizsa 1976) zeigt, dass
unser Gehirn Grenzen konstruiert, wo keine sind. Die Fuzzy Logik unifiziert Gegensätze mit
Graduation, löst scharfe Grenzen auf und spricht für ein inklusives, holistisches Weltbild. Die
Unifikation von Gegensätzen und die Auflösung von mentalen Grenzen, das ist es, was die Anhänger
begeistert und die Gegner in Rage bringt. Die Fuzzy Logik polarisiert, weil sie scheinbar der
klassischen Aussagelogik und damit der Mathematik und Wissenschaft den Teppich unter den Füssen
wegzieht. Allerdings ist zu bedenken, dass die Fuzzy Logik auf Fuzzy-Sets (Zadeh 1965) basiert, welche
wiederum mit den Werkzeugen der klassischen Mengen und Funktionen konstruiert sind. Die Fuzzy
Logik stützt sich auf die klassische binäre Logik. Zudem schrieb Zadeh (2008): „Fuzzy Logic is not
Fuzzy“ Fuzzy Logik ist nicht unscharf. Es handelt sich vielmehr um eine sehr präzise Logik zum
Umgang mit Unschärfe.
Inhalt
Inhalt............................................................................................................................................ 1
Einführung.................................................................................................................................... 2
Logik, was heisst das?.................................................................................................................... 2
Booles mathematische Analyse der Logik ....................................................................................... 4
Unschärfe ..................................................................................................................................... 5
Unscharfe Mengen ........................................................................................................................ 6
Unscharfe Propositionen ............................................................................................................... 8
Die Zadehsche Logik als Generalisierung......................................................................................... 9
Die Kontroverse um die Fuzzylogik ................................................................................................10
Die Fuzzy Logik als Antezedens der Postmoderne...........................................................................11
Konklusion ...................................................................................................................................12
Referenzen ..................................................................................................................................12
Einführung
Kaum ein anderer Ansatz der Logik hat eine grössere Kontroverse ausgelöst als die
Fuzzylogik. Sie polarisiert. Es scheiden sich die Geister: Einerseits begeistert die Fuzzy Logik ihre
Anhänger und verzeichnet grosse Erfolge, v.a. im Bereich der kybernetischen Steuerung und der
intelligenten Systemen; andererseits bringt sie ihre Gegner auf die Palme und erntet heftige Kritik,
überflüssig oder sogar gefährlich zu sein. Genauer betrachtet, handelt es sich bei der Fuzzy Logik um
eine simple Generalisierung der Booleschen Logik, wobei Wahrheitswerte neu im ganzen Spektrum
zwischen 0 und 1 möglich sind. Das ist eigentlich eine ganz ordentliche Verallgemeinerung einer
logischen Theorie. Tatsächlich ist es erstaunlich, dass die Fuzzy Logik eine solche Kontroverse
auslösen konnte, obwohl es sich nurum ein mathematisches Modell handelt.
In diesem Versuch erörtere ich die Frage, woran es liegen könnte, dass die Fuzzy Logik seit
fünfzig Jahren so kontrovers aufgenommen worden ist. Zu diesem Zweck arbeite ich zuerst die
Grundlagen der Fuzzy Logik auf. Ich stelle die klassische Aussagenlogik im Sinne von John Stuart Mill
dar, und fasse Booles mathematische Analyse der Logik zusammen. Anschliessend widme ich mich
dem Begriff de r Unschärfe (Fuzziness) und dem Lösungsvorschlag von Zadeh, dem mathematischen
Werkzeug der unscharfen Mengen. Anschliessend erkläre ich die Fuzzy Logik anhand von unscharfen
Propositionen, und auch als Generalisierung der Booleschen Wahrheitsfunktion. Aufbauend auf
diesen Grundlagen, stelle ich die Kontroverse um die Fuzzy Logik dar, und erörtere ihre möglichen
Gründe.
Logik, was heisst das?
John Stuart Mill ( 1843) hat den Begriff der Logik definiert als “the science of reasoning, as
well as an art, founded on that science”, also die Wissenschaft des Schlussfolgerns, sowie die Kunst,
wel che auf die ser Wissenschaft basiert. Nach Mill ist das zentrale Element der Logik die Aussage oder
die Proposition. Die zentrale Rolle der Proposition in der Logik zeigt die Wichtigkeit der Sprache in
der Philosophie. Eine Aussage ist eine sprachliche Information mit Bedeutung. Aussagen werden
hinsichtlich ihres Wahrheitsgehaltes evaluiert; so wird ihnen ei n Wahrheitswert zugewiesen. Das Ziel
der Erkenntnis ist die Generierung von wahren Aussagen.
Das Diskursuniversum der Logik ist jedoch die Klasse aller glichen Aussagen
(Propositionen), . Logiker gehen davon aus, dass es verschiedene Wahrheitswerte gibt.
Klassischerweise gibt es deren zwei (wahr und falsch). Mehrwertige Logik wird aber heute
beispielsweise breitflächig im Datenbankbereich eingesetzt. In der Datenbanktheorie kommt ein
dritter Wahrheitswert (NULL bzw. unbekannt) hinzu, welcher sich auf Wahrheitstabellen und
Operatoren abbilden lässt. Im Allgemeinen gibt es eine Menge von möglichen Wahrheitswerten,
die de n Aussagen als Valuation zugewiesen werden können. Einer Proposition hat also einen
Wahrheitswert (). Die entsprechende Abbildung : von Aussagen zu
Wahrheitswerten heisst Wahrheitsfunktion.
In der klassischen Logik  gibt es genau zwei Wahrheitswerte: wahr oder falsch. Somit
enthält die Menge der möglichen Wahrheitswerte der klassischen Logik := {wahr, falsch} zwei
Elemente, welch e di e Kl ass e der vorstellbaren Aussagen in genau zwei Unterklassen partitionieren:
das Wahre, { | ()=wahr} und das Falsche, { | ()=falsch}.
In einer formalen Logik können Operatoren auf Aussagen angewendet werden. Ein unärer
Operator : bildet eine einzelne Aussage auf eine durch den Operator transformierte
Aussage ab. Ein bi närer Operator : × weist e iner Kombination von zwe i Propositionen
eine kombinierte Aussage zu. Ein -ärer Operator : ×× kombiniert
Propositionen zu einer neuen Aussage. Mit zwei Wahrheitswerten gibt es vier mögliche unäre
Operatoren und sechzehn mögliche bire Operatoren. Bedeutungsvoll sind vor allem folgenden
Operationen:
die Negation bedeutet die Verneinung des ursprünglichen Wahrheitswerts;
die Konjunktion ist immer dann und nur dann wahr, wenn beide Argumente wahr sind;
die Disjunktion ist immer dann und nur dann falsch, wenn beide Argumente falsch sind;
die Implikation eine r Konsequenz q durch ein Antezedens p i st wahr, wenn q immer dann wahr
ist, wenn p wahr ist;
und die Äquivalenz von zwei Aussagen p und q ist wahr, wenn p q impliziert und gleichzeitig
auch q p impliziert.
Die klassische Logik kann in Form eines propositionalen Kalküls formalisiert werden. Die
Syntax enthält Variablen, Terme, Operatoren, Formeln und eine Wahrheitsfunktion. Jede Proposition
wird als Variable dargestellt, z. B. ; jede Aussage ist ein Term; jede Kombination von Termen mit
binären Operatoren ist eine Formel; Terme und Formeln sind wiederum Propositionen. Die
Operatoren des propositionalen Kalküls werden durch folgende Symbole dargestellt:
Negation: ¬ (Formel 1)
Konjunktion: (Formel 2)
Disjunktion: (Formel 3)
Implikation: (Formel 4
Äquivalenz: (Formel 5)
Ausgehend von dieser Syntax, kann die Semantik des propositionalen Kalküls anhand der
Wahrheitsfunktion  durch die Formeln 1 bis 5 formalisiert werden.
(
¬
)= wenn(()=wahr)falsch
sonst
wahr. Formel 1
()= wenn (()=()=wahr)wahr
sonst
fal sch. Formel 2
()=
¬
(
¬
¬
)
Formel 3
()=(
¬
)
Formel 4
()=()
Formel 5
Booles mathematische Analyse der Logik
George Boole (Boole, 1847) hatte die geniale Erkenntnis, dass sich die Logik algebraisch
berechnen lässt, wenn die Zahlen 0 und 1 als Wahrheitswerte verwendet werden. Booles
Schlussfolgerung war, dass die Logik ni cht der Metaphysik, sondern der Mathemat ik ange hört1. Diese
fundamentale Erkenntnis ermöglichte die spätere Automation der Logik mit Maschinen und in
ele ktronischen Schaltkreisen. Booles mathematische Analyse der Logik beschäftigt sich mit Klassen,
also mit generellen2 und beginnt mit folgenden Prinzipien:
Das Symbol 1, die Einheit, repräsentiert das Universum3.
Die Konjunktion von zwei Klassen und symbolisiert Boole als Multiplikation ihrer
Extension, dargestellt in Kleinbuchstaben: .
Die Negation einer Klasse ist die Subtraktion ihrer Extension vom gesamten Universum:
1.
Zudem drückt Boole die Implikation folgendermassen aus: =, was äquivalent ist mit
(1)= 0 (vgl. Formel 4).
Davon ausgehend lassen sich also die Symbole 1 (Universum) und 0 (Leere) sowohl als
Wahrheitswerte al s auch al s Zahle n int erpret ieren. Deshalb lässt sich mit die sen algebraisch rechnen.
Somit wird aus dem propositionalen Kalkül eine Boolesche Algebra, was den konzeptuell en Wechsel
von der Metaphysik zur Mathematik unterstreicht.
Wird diese Boolesche Logik () formalisiert, bildet die Boolesche Wahrheitsfunktion
:  von propositionalen Variablen auf die Menge  ={0,1} der Booleschen
Wahrheitswerte ab, also auf die Menge, welche die Zahlen 1 und 0 enthält. Die Boolesche
Wahrheitsfunktion definiert die Semantik der Booleschen Algebra. Diese Semantik kann nun
algebraisch berechnet werden, mit Multiplikation als Konjunktion und Subtraktion von 1 als
Negation:
(¬ p)= 1 (p)
Formel 6
(pq)=(p)(q)
Formel 7
Weitere Ope ratoren w ie Disjunktion, Implikation und Äquivalenz können mit den klassi schen
logischen Äquivalenzumformungen hergeleitet werden (Formeln 3 -5).
1 “I a m th en com pelled to assert, tha t according to th is view o f the na ture of Ph ilosophy, Logic for ms no part of i t. On the
prin ciple of a true classification, we ought no lo nger to associate Logic and Meta physics , bu t Logi c and Ma the matics. ”
(Bo ol e, 1847, p. 13)
2Tha t which ren ders Logic possible, is the existence in our
minds of general notions, our a bility to conceive o f a class, and to designate its individual members b y a co mmon name.
3 „Le t u s e mpl oy the symbol 1, or u ni ty, t o re prese nt the U ni vers e, a nd le t us u nders tand i t as compr ehendi ng eve ry
concei vable class of objects w hether actually exis ting or not.“ ( Boole, 1847, p . 15)
Unschärfe
Die konzeptionelle Unschärfe (engl. Fuzziness) entsteht durch eine Vagheit von
Konzeptgrenzen (Boundaries) (V arzi , 2013) . Diese Vagheit kann de revon der Sache gegeben sein,
oder de dicto von der Sprache also linguistisch, entstehen. Varzi nennt die Grenzen des Mount
Everest als Beispiel für eine unscharfe Grenze de re, und „glatzköpfigals ein Beispiel für eine
unscharfe Grenze de dicto. Im Gegensatz zur Ambiguität (Mehrdeutigkeit) haben vage Begriffe
(Sorense n, 2013) eine ei ndeutige Bedeutung, w elche aber nicht klar abgrenzbar ist. Als Be ispiel nennt
Sorensen den Begrif f gross, w elcher mehrdeutig ist: Ein grosser Fuchs ist viel kleiner als ein kleiner
Elefant. Der Be griff „grosse r Fuchs“ ist allerdings vage, da nicht klar ist, ab welcher Grösse denn nun
dieses Konzept für ein spezifisches Exemplar greift. Das ist ein linguistisches Konzept, welches de
dicto unscharfe Grenzen aufweist.
Unser Gehirn konstruiert Grenzen. Diese hervorragende analytische Fähigkeit, konzeptionelle
Grenzen zu ziehen, ist ein wesentlicher evolutionärer Vorteil des Menschen. Alle rdings entsprechen
mentale Konstrukte nicht immer der Realität. Dies führen uns optische Täuschungen eindrücklich
und erfahrbar im eigentlichen Wortsinne „vor Augen“. Kaniza’s subjektive Dreiecke (Abbildung 1)
demonstrieren, dass unser Gehirn manchmal Grenzen konstruiert, wo keine sind (Kanizsa, 1976).
Abbildung 1: Kani zsa (1976), "TWO SUBJECTIVE TRIANGLES", Copyri ght 1976 by Scienti fic American
Ein bekanntes Symbol für die Dualität ist das Yin Yang (Abbildung 2), welches eine
dualistische Weltsicht darstellt, die Phänomene in zwei gegensätzliche Pole unterteilt, wie hell und
dunkel oder Tag und N acht. Dieses Symbol z ieht eine se hr scharfe Grenze zwischen den Gegensätzen,
also zwischen de m schwarzen und dem weis se n Anteil. Es suggeriert eine dualistische Metaphysik, i n
der die Existenz in zwei ontologisch verschiedene Qualitäten aufgeteilt ist, und steht für ein
entsprechendes fragmentierendes Schwarz-Weiss-Denken.
Wenn wir aber den Lichtverlauf im Laufe von vierundzwanzig Stunden objektiv beobachten,
stellen wir fest, dass die Grenze zwischen Tag und Nacht graduell verläuft, und es auch unscharfe
Übergänge wie Dämmerung und Morgengrauen gibt. Dasselbe gilt für viele andere Gegensätze auch,
und zwar immer dort, wo es Abstufungen, also eine Graduation, zwischen Polen gibt. Diese
Beobachtung kann zu eine m Konzept einer monistischen Graduation the oretisiert we rden: Das ganze
Spektrum zwischen zwei gegensätzlichen Polen kann als Kontinuum eines übergeordneten Ganzen
(als Beispiel: Vierundzwanzig Stunden eines Tages) angesehen werden, zwischen denen es
Abstufungen gibt, deren Grade der Zugehörigkeit variieren können. Das wird in Abbildung 2 durch
das Symbol in Graustufen dargestellt.
Abbildung 2: Illustration der klassischen Vorstellung von Dualität versus monistischer Graduation
(Kaufmann, 2014), Copyright 2014 by Springer
Mehrwertige Logiken wurden unter anderem dazu entwickelt, um dieses Problem der
Vagheit, Unschärfe und Graduation in der Logik zu lösen (Sorensen, 2013). Ein möglicher Ansatz für
eine mehrwertige Logik ist die Fuzzy Logik (Bellman & Zadeh, 1977), welche auf der Theorie von
unscharfen Mengen (fuzzy sets) (Za deh, 1965) und der unscharfen Propositionen (fuzzy Propositions)
(Zadeh, 1975) basiert.
Unscharfe Mengen
In der klassischen Mengenlehre ist ein Individuum in einem Universum entweder
vollständig in einer Menge enthalten, oder gar nicht. Die entsprechende so genannte
charakteristische Funktion :{0,1} für eine Menge bildet von Individuen auf
Wahrheitswerte ab, und ist immer dann wahr, wenn ein Individuum Element von ist.
Um das Problem der Graduation zu formalisieren, hat Zadeh (1965) das Konzept einer
unscharfen Menge mathematisch definiert. So wird es möglich, Kollektionen von Individuen zu
spezifizieren, zu denen diese eventuell auch nur zu einem gewissen Grad zugehörig sind. Die
charakteristische Funktion von unscharfen Mengen ist eine Generalisierung der klassischen
charakteristischen Funktion durch ei ne Erwei te rung der Bil dmenge auf das ganze Intervall zwischen 0
und 1. Für eine unscharfe (fuzzy) Menge bildet die Zugehörigkeitsfunktion :[0,1] von
Individuen auf Zugehörigkeitswerte ab, wobei nun auch Abstufungen zwischen den Polen 0 und 1
zulässig sind.
Wie in der klassischen Mengenlehre können Mengenoperatoren auf unscharfen Mengen
defi niert werden, um unscharfe Komplementmengen, Vereinigungsmengen und Schnittmengen zu
bilde n. Diese Operatoren w erd en vo n Zad eh (196) über die Zugehörigkeitsfunktion definiert und von
den arithmetischen Operationen Subtraktion von 1, Minimum und Maximum, hergeleitet (Formel n 8
bi s 10).

()1()
Formel 8
()max(),()
Formel 9
()min(),()
Formel 10
Mit der Fuzzy Logik können Graduationsprobleme formalisiert und aufgelöst werden. Ein
bekanntes Beispiel ist das Sorites-Paradox (Hyde, 2014). Ab wann spricht man von einem Haufen
Körnern? Ein einziges Weizenkorn ist kein Haufen. Zwei Körner ebenfalls nicht. Wenn nun die Zahl
von Körnern schrittweise erhöht wird, ist irgendwann ein Haufen Körner vorhanden. Aber wo ist
diese Grenze, ab der man von einem Haufen spricht? In diesem Zusammenhang ergibt es keinen
Sinn, von de r Wahrscheinl ichkeit eines Haufen K örners zu sprechen, da das Problem ke ine Zufälligkeit
aufweist. Ein Haufen Körner ist ein vages, unscharfes Konzept. Die Idee der Graduation und das
Konzept der unscharfen Menge können dieses Paradox auflösen.
Die Theorie der unscharfen Mengen ist ein Werkzeug, um vage, unscharfe Konzepte
mathematisch präzis zu def inieren, indem mit graduel len Abstufungen eine Zugehörigkeitsfunktion
zum Konzept definiert wird. Mi t de r Zugehörigkeitsfunktion :[0,1] zu einer unscharfen
Menge kann das Konzept des Kornhaufens präzisiert werden. Nehmen wir an, dass 1000 Körner
sicher ein Haufen sind: (1000)= 1. Nehmen wir weiter an, dass ein einzelnes Korn sicher kein
Haufen darstellt: (1) = 0. Als Abstufung können wir nun die Zugehörigkeit zum Konzept
beispielsweise logarithmisch graduieren. Somit ergibt sich für einen Haufen Körner die
Zugehörigkeitsfunktion in Formel 11. Der entsprechende Graph ist in Abbildung 3 dargestellt.
H
()we nn 1 0
wenn
1000 1
sonst 0.1448 ln()
Formel 11
Abbildung 3: Auflösung des Sorites Paradox mit einer unscharfen Menge
Unscharfe Propositionen
Basierend auf den Konzept der unscharfen Mengen können unscharfe Propositionen
hergeleitet werden (Zadeh, 1975). Eine unscharfe Proposition hat die Form  . Hierbei ist ein
Element eines Diskursuniversums, und ist ein linguistischer Term (z.B. ein Haufen Körner). Für
den linguistischen Term kann eine unscharfe Menge  definiert werden, welche eine
Zugehörigkeitsfunktion aufweist. Mit diesem Konstrukt definiert nun Zadeh einen graduellen
Wahrheitswert (  ) der unscharfen Proposition, wobei dieser Wahrheitswert gerade dem
Grad von Zugehörigkeit von in entspricht (Formel 12).
(  )=()
Formel 12
Als Beispiel nehmen wir das oben erwähnte Sorites Paradox und die dementsprechende
unscharfe A ussage : „ ist e ine Anzahl von Körne rn, di e einen Haufen bildet“. Diese Aussage bildet
eine propositionale Funktion mit dem Parameter . In diesem Fall kann die unscharfe Menge und
ihre Zugehörigkeitsfunktion :[0,1] verwendet werden, um ei nen unscharfen Wahrheitswert
der Proposition als Funktion von herzuleiten (Formel 13).
()=()
Formel 13
Unscharfe Propositionen können analog zum propositionalen Kalkül mit den Operatoren
Negation (¬), Konjunktion () und Disjunktion (), kombiniert werden. Die Semantik dieses „Kalküls
der unscharfen Restriktionen“ (Zadeh, 1975) wird nun über das Komplement, die Intersektion und
die Vereinigung der zugrundeliegenden unscharfen Mengen definiert. Dies wird in den Formeln 14
bis 16 dargestellt, wobei die Semantik für eine linguistische Variable mit dem Wertebereich einer
entsprechend konstruierten unscharfen Menge  definiert wird.

¬
(  )=
()
Formel 14
(   )=()
Formel 15
(   )=()
Formel 16
Die Zadehsche Logik als Generalisierung
Unscharfe Propositionen im oben definierten Sinn sind beschränkt auf Aussagen über
unscharfe Mengen. Im Al lgemeinen kann eine propositionale Logik mit Wahrheitswerten im Intervall
zwischen 0 und 1 als eine Generalisierung der Booleschen Logik  angesehen werden, für welche
diese ein Spezialfall darstellt. Eine solche Zadehsche Logik  kann als Erweiterung von Booles
mathematischer Analyse der Logik zusätzlich auch Graduationen abbilden. In diesem Sinn ist  eine
einf ache Verallgemeinerung von , bei der Wahrheitswert von Propositionen nicht nur als Zahlen,
sondern als Fliesskommazahlen dargestellt wird. Dies entspricht der Definition der Fuzzy Logik im
engeren Sinne in der Stanford Encyclopedia of Philosophy nach Hajek ( 2010), definiert als
symbolische Logik mit einer vergleichenden Auffassung von Wahrheit, welche vollständig im Si nn der
klassischen Logik entwickelt wird4.
In diesem Sinn si nd Aussagen von der Form  in  ein Spezialfall. Alle Propositionen
können im Prinzip einen unscharfen Wahrheitswert haben. Die Semantik von  ergibt sich somit
über die Wahrheitsfunktion :, we lche von der Klasse der möglichen Propositionen in
die Menge der Zadehschen Wahreitswerte [0,1] abbildet. In diesem Fall entspricht ein
unscharfer Zugehörigkeitsgrad dem unscharfen Wahrheitswert der Aussage, dass ein Element zu
einer Menge gert (Formel 17)
()=()
Formel 17
Die Zadehsche Wahrheitsfunktion  definiert die Semantik von . Gleich wie in der
Booleschen Algebra können die Operatoren mathematisch über die Subtraktion von 1 als Negation
und mittels Multiplikation als Konjunktion hergeleitet werden (Formel 18 bis 19).
(¬ )= 1 ()
Formel 18
4 „ Fuzzy lo gic i n the narrow sense is symbolic logic with a comparative notion of truth developed fully i n the spirit of
cla ssical logic (syntax, semantics, axiomatization, truth-preserving deduction, completeness, etc.; both propositional and
pred icate logic). It is a branch of many-valued l ogic ba sed on the paradig m of i nference under va gueness.(H ajek, 2010)
()=()()
Formel 19
So gesehen, ist jede Aussage, welche keinen exakten Wahrheitswert von 1 oder 0 hat,
unscharf. Zudem kann jede Funktion mit dem Wertebereich [0,1] als mögliche Wahrheitsfunktion
einer unscharfen propositionalen Funktion angesehen werden. Als Beispiel kann die so genannte
Likelihood bzw. empirisch gemessene bedingte relative Häufigkeit (|) als Wahrheitsfunktion für
die (unscharfe) Aussage unter der Bedingung, dass , ist aufgrund der Datenlage wahrscheinlich,
als Funktion von , angesehen werden.
Die Kontroverse um die Fuzzylogik
Die Fuzzy Logik wurde in den fünfzig Jahren seit Erscheinen des einflussreichen Artikels
„Fuzzy Sets“ von der Academia kontrovers aufgenommen. Einerseits feierte sie grosse Erfolge in
verschiedenen Bereichen, i nsbesondere in dem Fe ld der Signal- und Steuerungstechnik, andererseits
wurde sie, vor allem in ihrem Anspruch auf mathematische Grundlagen, heftig kritisiert.
Zadeh selbst stellt sich der Frage, ob es eine Fuzzy Logik überhaupt braucht (Zadeh, 2008) . In
diesem Paper nennt er viele Kritiken und Angriffe auf seine Theorie. Beispielsweise zitiert Zadeh
Prof esso r Will iam Kahan, der über die Fuzzy-Theorie sagte, dass sie falsch, schädlich und überflüssig
sei5. Weiter z itiert Zad eh Sus an Haack, welche zum Schluss kommt, dass kein Hauptargument für die
Fuzzy Logik spreche, und wir sie daher nicht bräuchten6.
Der Erfolg der Fuzzy Logik wird von Charles Elkan (1994) „paradox“ genannt, weil die
Grundlagen der Theorie so stark angegriffen werden, und die Theorie gleichzeitig so erfolgreiche
Anwendungen hervorbringt. Elkan nennt die Fuzzy Logik „inadäquat“ für das Schlussfolgern über
Unsicherheiten (S. 702). Er begründet dies mit dem so genannten Wassermelonen-Paradox: wenn
zwei Variablen nicht unabhängig sind, wie zum Beispiel („Wassermelone“) und („rotes
Fruchtfleisch“), dann macht die Konjunktion von Fuzzy Propositionen, z.B. , aus Elkans Sicht
keinen Sinn. Wenn ()= 0.8 und ()= 0.5, wäre ()= 0.4. Die Unsicherheit
bezügli ch der Frage, ob ein Obje kt eine Wassermelone ist, sol lte als Konjunktion mit der Information,
dass das Obje kt zu fünfzi g Prozent rotes Fruchtfleisch hat, nicht sinken, da alle Wassermelonen diese
Eigenschaft haben. Hier stellt sich jedoch die Frage, ob der Begriff der Unsicherheit (Uncertainty),
den Elkan konstruiert, mit dem Begriff der Graduation (Graduation), den Zadeh verwendet,
kompatibel ist.
Wie wohl keine andere mathematische Theorie wurde die Fuzzy Logik kritisiert, obwohl es
sich eigentlich um eine einfache Generalisierung von bestehenden Theorien und ein Werkzeug zum
Lösen von Graduationsproble me n handelt. Zwei mögliche Ursachen für diese K ontroverse si nd 1.) die
philosophischen Implikationen: die Fuzzy Logik stellt scheinbar bestehende Paradigmen wie die
Fundamente der Mathematik (Mengen) und der Logik (Wahrheit) infrage; und 2.) die politischen
Implikationen: ge sell schaf tliche Mach tve rhältn isse stützen sich auf scharfe Abgrenzungen und binäre
Kategorien, welche durch die Idee der monistischen Graduation an und für sich auf ei ner Metaebene
strategisch bombardiert werden.
5 “’Fu zz y the o ry i s wron g, wro ng, a nd p ernicio us.’ says William Kahan, a pro fessor of co mputer s ciences and mathematics at
Cal whose Evans Hall office is a few doors from Zadeh’s. ‘I ca nnot th ink of a ny problem that could not be solved better by
ord i nary l ogic. ’” (Zad eh, 2008)
6 “Si nce nei ther of th e main a rgume nts that are offere d in its favo r is a ccept able, I co nclude th at w e do not n eed fu zz y
logic.” (Haack, 1996)
Die Fuzzy Logik als Antezedens der Postmoderne
Bart Kosko schreibt, dass das unscharfe Denken (fuzzy thinking) eine holistische, inklusive,
multivalente Weltsicht darstellt: “Everything is a matter of degreesAlles ist eine Frage von
Abstufungen (S. 1). Kosko setzt diese inklusive, graduelle Art zu denken, das „Fuzzy-Prinzip“, als
fernöstlich geprägtes Weltbild epistemisch in Kontrast zur klassischen, westlichen, auf Aristoteles
zurückgehenden, fragmentierten, exklusiven und bivalenten Weltanschauung (S. 24). Auch Capra
(2010) schreibt, dass im antike n Griechenland die Weichen für die heute v orherrschende dualistische
Weltanschauung gestellt wurden, und stellt sich zudem auf den Standpunkt, dass das fernöstliche,
holistische Weltbild auch ontologisch eher mit den neueren Erkenntnissen der Teilchenphysik
vereinbar ist.
Ein möglicher Grund für die Kontroverse ist somi t, dass die Fuzzy Logik das westli che Denken
grundsätzli ch infrage stellt. Wissenschaft ist, was Wissenschaftler tun: das kollektive Verhalten der
wissenschaftlichen Gemeinschaft bzw. der Denkweisen und theoretischen Fundamente kann als
Paradigma angesehen werden, w elch es au ch ändern kann (K uhn , 1962) . Die dualistische Logik ist ein
fundamentales, vorherrschendes Paradigma. Bei der Fuzzy Logik handelt es sich allerdings um ein
Potenzial eines Paradigmenwechsel, der eben an der Wurzel des westlichen Denkens ansetzt. Eine
einschliessende, graduelle Abstufung der Wahrheit, und des Wahren an sich, ist eine ganz andere Art
zu Denken. Die Heftigkeit der Kritik an der Fuzzy Logik, in ihrem Anspruch auf ein fundamental
anderes Wahrheitsprinzip, widerspielgelt das.
Die analy sie rende, fragme ntierte Art des westlichen Denkens bezieht sich nach Capra dabei
nicht nur auf die Logik des absolut Wahren gegenüber des Falschen, oder auf den Körper-Geist-
Dualismus, sondern insbesondere auch auf die Fragmentierung der Gesellschaft in eine Hierarchie
verschiedener Nationen, Religionen und Schichten. Ei ne zw eite Erklä rung für die Kontroverse um di e
Fuzzy Logik ist somit ihr politisches Potenzial, wenn die philosophischen Implikationen der
Graduation zu Ende gedacht werden. Die Fuzzy Logik, in Ihrer politischen Konsequenz, ist
anarchistisch. Die Aufweichung von scharfen epi stemischen Grenzen bedeutet gesellschaftlich eine
Dekonstruktion politischer Kategorien und dadurch eine Destabilisierung von Machtverhältnissen.
Das zentrale Thema des Poststrukturalismus ist nach Andrew M. Koch (Koch, 1993) die Kritik
der Macht an sich, auf der Grundlage eines epistemologischem Relativismus. Gedanken und
Konzepte an sich werden zu den Fesse ln, die uns zu versklaven suchen 7. Der Poststrukturalismus ist
eine Revolution des Geistes gegen die Tyrannei der Struktur. Koch beschreibt die Dekonstruktion
als Werkzeug für die Infragestellung von Kategorien. Der Post-Strukturalismus steht gegen jede
totalisierende Konzeption des Seins. Sein befreiendes Potential entfaltet er dadurch, dass er jedes
Konzept dekonstruiert, welches Unterdrückung als rational erscheinen lässt.8
Die Fuzzy Logik kann als Werkzeug für die Dekonstruktion von politischen Kategorie n mittel s
monistischer Graduation angewendet werden. Aber die gesellschaftliche Implikation der Fuzzy Logik
greift viel tiefer. Wird das Fuzzy-Prinzip im Sinne von Kosko, “Everything is a matter of degrees”, als
epistemisches P aradi gma vers tanden, oder gar al s ontologische Beschaffenheit der Realität im Sinne
von C apra, werden scharfe Kategorien zur Fiktion, und das Projekt des Poststrukturalismus und die
Dekonstruktion ausgrenzender pol it ischer K ateg orie n wird zur logischen, notwendigen Konsequenz.
Die Fuzzyl ogik, in ihrer Essenz, bewirkt eine Dek onstruktion des Konzepts klar abgrenzbarer Konzepte,
auf einer Ebene zweiter Ordnung.
7 “tho ughts a nd con ceptions, thems elves, become the ch ains that seek to enslave us“ (Ko ch, 1993)
8 "Post-Structuralism stands against any totalizing conception of being. Its liberating pote ntial deri ves from the
deconstruction of any concept that makes oppression seem rational" (Koch , 1993)
Konklusion
Lot fi Zad eh (2008) sch rei bt , “Fuzzy logic is not fuzzy” die unscharfe Logik ist nicht unscharf.
Dieses schei nbare Paradox sagt aus, d ass die Fuzzy Logik ein präzises mathematisches Werkzeug ist.
Zudem weist Zadeh auf den wichtigsten Beitrag der Fuzzy Logik hin, dass sie nämlich präzisieren
kann, was unpräzise ist: Tatsächlich ist einer der hauptsächlichen Beiträge der Fuzzy Logik ein
Beitrag der weitläufig verkannt wird das hohe Vermögen für Präzisierung9.
Die Fuzzy Logik wird kritis iert, dass sie bestehende Fundamente de s Gei stes w ie Mengen und
Wahrhei tswerte nicht einfach über den Haufen we rfen darf. Dabei wird oft vergessen, dass die Fuzzy
Logik per Definition selbst auf klassischen Mengen und Wahrheitsbegriffen aufbaut, um ihre
Fundamente, die unscharfen Mengen und die unscharfen Aussagen, zu konstruieren. Das Intervall
zwischen 0 und 1 ist eine klassische Menge, und die Zuweisung eines Zugehörigkeitswerts ist eine
Aussage mit klassischem Wahrheitsbegriff.
Die Kontroverse um die philosophischen und politischen Konse quenzen de s „fuzzy thinking
verschleiern einen wesentlichen Punkt: nüchtern betrachtet, ist die Fuzzy Logik ein Werkzeug,
welches i n verschiedenen Gebieten, vor allem im Bereich der kybernetischen Steuerung, seinen Wert
und seinen Beitrag bewiesen hat.
Unser Gehirn versucht, aus unsicheren Informationen Sinn zu machen, analysiert
Wahrnehmungen, zieht Grenzen und ordnet so Erfahrung in Kategorien ein, welche si ch ni cht immer
scharf abgrenzen lassen. Manchmal geht unser Gehirn zu weit, und konstruiert sogar Grenzen, wo
keine sind. Viele Konzepte sind graduell und können nach Grad geordnet werden. In diesem Fall
lohnt es sich, anstelle von „ob“ und „entweder - oder“, mehr über „sowohl - als auch“ und „zu
welchem Grad?“ nachzudenken.
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Review und Point-to-Point Responses
Revie ws zu der Manuskripteinreichung
Fuzzylogik: Eine Revolution des Geistes
für das Inf ormatik-Spektrum-Son derh eft “50 Jah re Fuz zy S et s” ( Nov em be r 2015)
Review 1
Dieser Text i st ein guter Beitrag für das geplante Sonderheft, allerdings scheinen mir der Titel und
Abstract etwas sehr journalisti sch geraten zu sei n.
Der Abst ract wurde etwas überarbe itet.
Der Tex t des Artike ls selbst gibt dann aber eine gute Darstellung der Problematik wider.
Ich pe rsönlich würde auf di e Bemerkungen hinsichtlich „Yin und Yang“ bzw. hinsi chtlich „Buddha“
verzichten, di e j a auf Kosko zurückgeführt werden, der nicht zuletzt deswegen auch in der Fuzzy
Communi ty umstritten ist.
Die Refe renzen zu Yin Yang und Buddha wurden aus dem Tex t entfernt
Auch die Beme rkungen zu Capra finde ich ehe r unnötig. Den ganzen Abschnitt „Paradigmenwechsel“
würde ich daher zu strei chen vorschlagen zumindest sollte er umformuliert werden und mit Zitaten
von Capra und Kosko bel egt werden. So, wi e es sich in der aktuell en Form liest, bl eiben es i m Raum
stehende Behauptungen des Autors.
Der Abschnitt wurde ge strichen; Teile davon wurden in den nächsten Abschnitt inte griert
Der Paradigma-Begriff von Kuhn i st komplizierter, als er hie r dargestellt wird. Kuhn nannte nicht
einf ach, „was Wisse nschaftler tun“ ein Paradigma!
Dies wurde umformuliert, um es als di e Sichtweise des Autors in di esem Versuch zu
positionieren.
Es kam auch ni cht „immer wiede r zu Paradigmenwechseln“. Wenn schon, dann hätte hier Kuhns
Paradebeispiel von der Ablösung des ptolemäischen durch das kopernikanische Wel tbild seinen Platz
gehabt.
Dieser Satz wurde gestrichen
Ein neues Paradigma entsteht allerdings nach Kuhn gerade nicht dadurch, dass man e s herbeiredet,
wie es Capra tat (und bisher dennoch nicht geschehen ist!) Ein Paradigmenwechsel nach Kuhn
bedeute t, dass ei n Paradigma das frühere ablöst und das frühere ist dann nicht mehr da. Es gibt aber
nach wie vor die „non-fuzzy“ Logik.
Es wurde kl argestellt, dass die kl assische Logik nach wie vor das vorherrschende P aradigma
ist.
Herakl its F ragment „pan tha rei“ al s „holi stische Weltsicht“ hochzustilisieren ist fahrlässig und der
Übergang zu P armenides i st völlig unverständlich. Die wenigen Fragmente der Vorsokratiker, die
überlie fert sind, in e inen Zusammenhang mit Kuhns Paradigmenwechsel zu setzen, e ntbehrt jeglicher
Grundlage.
Dieser Inhalt wurde e benfalls entfernt
Die Atome von De mokri t habe n nichts mit dene n der modernen Atomphysik gemein und die „Frage“,
(ob) Lichtquanten gleichzeitig Welle und Teil chen seien, ist ei nfach falsch gestellt und suggeriert eine
Verei nfachung dessen, worum die Interpretationen der Quantenmechanik ringen.
Auch diese spe kulativen Inhalte wurden entfernt
Schließl ich wäre „Fuzzylogik“ in „Fuzzy Logik“ überall zu ändern, da wir die sen Begriff im Sonderheft
einhe itlich haben sollten.
Dies wurde e ntsprechend angepasst
Ein ige K orrektu rvorschläge:
Die folgenden Korrekturvorschläge wurden übernommen
S. 2, Einf ührung, Zeil e 1: „Kontroverse ausgelöst als“ anstatt „Kontroverse als“.
S. 2, Einf ührung, Zeil e 8: „Kontroverse auslösen konnte“ anstatt „Kontroverse auslösen kann“. S. 3,
„Umkehrung“ des ursprünglichen Wahrheitswertes?
S. 3, Zeile 17: „jede“ anstatt „Jede“ (2x)
S. 3, Ze ile 25:kann die Se mantik“ anstatt „kann Semantik“
S. 3, Formel 3: Hochindex: „KL“ anstatt „BL“
S. 4: „disruptive Erkenntnis“ ?
S. 4: Im zweiten A ufzählungspunkt ist von „Klassen“ die Rede. Die kommen vorher nicht vor. Bitte
einf ühren! Ausserdem muss auch der Begriff „Extension“ erklärt werden!
S. 5: Das Apostroph im Genetiv von Namen gi bt es i m Deutschen nicht! (hier „Kaniza’s“. Es muss
heisse n „Kanizas“).
S. 6, Ze ile 8 von unte n: Anstel le des Satzes „Für eine unscharfe (fuzzy) Menge ...“ vie lleicht besser:
„Für ei ne unscharfe (f uzzy) Menge ... von Individuen auf Zugehörigkeitswerte ab, wobei nun auch
Abstufungen zwischen den Polen 0 und 1 zul ässig sind.
S. 6, Ze ile 6 von unte n: „Gleich“ streichen. Beginnen mit „Wie in de r ...“.
S. 6, Ze ile 5 von unte n: „um unscharfe Kompl ementmengen“ anstatt „um Komplementmengen“
S. 6, Ze ile 4 von unte n: „Diese Ope ratoren werden von Zadeh (1965)über ...“ anstatt „Diese
Operatoren werden über ...“
S. 7, Ze ile 4 von unte n: „Zugehörigkeit zum Konzept beispielsweise logarithmisch“ anstatt
„Zugehörigkeit zum Konzept logarithmisch“.
S. 8, Ze ile 12 von unten: „P‘ mit Strich drüber“ muss erklärt werden (1- ?). Alle rdings ste ht auf de r
folgenden Seite dann „¬P‘ “. Außerdem muss vorausgesetzt werden, dass es P‘ und Q‘ gi bt.
S. 8, Ze ile 6 von unte n: „Boolesche“ anstatt „Boole’sche“ , Zeile 5 von unten: „Zadehsche“ anstatt
„Zadeh’sche“ (Bei „Zadeh“ fehlt zudem ein „h“.).
S. 9, Ze ile 6 und Ze ile 10 von oben : „Zadehsche“ anstatt „Zadeh’sche“ (Bei „Zadeh“ fehlt zudem ein
„h“.).
S. 9, Ze ile 11 von unten : Mit p ist hier eine Wahrscheinlichkeit gemeint. Erklären! S. 9, Zei le 9 von
unten : „seminal“ gibt e s nicht!
S. 9, Akademie?
Review 2
Der Auto r präsent iert i n diesem Artikel die Begleiterscheinungen in de r Wissenschaftsgemeinschaft,
wel che durch die Fuzzy Logik ausgelöst wurden. Ein sehr interessanter Artikel, welcher durch
Adressie rung der fol genden Punkte ve rfeinert werden kann:
- Die Übergänge könnten vereinheitlicht werden; z.B. durch graduelle Transformation.
Die fol genden Korrekturvorschläge wurden übernommen
- Der Autor soll te sich sprachlich auf die deutsche Formulierung einlassen; z.B. durch Verwe ndung
des Doppel-S).
Die Regel ungen bezüglich Doppel-S sind dem Autor aufgrund Schweizerischer Schulbildung
unbekannt; es ble ibt zu hof fen, dass der Springer Verlag ein Korrektorat mit entsprechendem
Know-How durchführen kann.
- Beim ersten Durchlesen wünscht man sich bei der Elkan-Ko ntroverse me hr Inf ormation. Was sagt
eige ntlich Zadeh dazu? Evtl. auch einf ach einen V erweis auf Konklusion setzen?
Dies wäre inte ressant, konnte aber aus Zei tgründen nicht umgesetzt werden; dies könnte
alle nfalls noch nachgeliefert werden.
Review 3
Ausgezei chneter Artikel, unbedingt bringen! So stel le ich mir Manuskripte f ür das Informatik-
Spe ktrum v or.
"Entschwei zerischen" (gemäss, anschliessend,...).
Siehe Kommentar oben.
Die Paradigmendarstellung von(Aristoteles versus Buddha, westliches versus südostasiatisches
Denken, Parmenides versus
Heraklit...) war für mich neu. Ich fand das hochinteressant und sogar für den "normalen"
Informatiker nachvollziehbar [der Schreibfehler "Parmeindes" muss an mindestens drei Stellen
korri gie rt werde n].
Allerdings musste das aufgrund des kritischen Reviews von Reviewer 1 entfernt werden; die
Referenz bl eibt bestehen.
Inhaltsverzeichnis und „doppelter Abstract“ müssen überarbeitet werden. I ch frage mich außerdem,
ob der Untertitel "eine Revolution des Geistes" nicht ein we nig zu großmäuli g geraten ist.
Das wie derum war nicht ganz klar, wie es umzuse tzen i st.
Review 4
Das Manuskript "Fuzzylogi k: Eine Revolution des Geistes" von M.A. Kaufmann ist grundsätzlich für
typische Leser des Inf ormatik-Spektrums versndlich und dürfte auch in inhaltlicher Hinsicht auf
Interesse stoßen.
Da ich auch i m weiteren Si nne nichts mit Logik etc. zu tun habe, kann ich alle rdings weder die
Stringenz der Argumente noch die Adäquatheit der Aussagen relativ zum Mei nungsbild der
"community" beurteilen - dies müsste durch Andere geschehen.
(Mich sel bst hat die poststrukturalistische Erklärungshypothese allerdings nicht recht überzeugt.)
Störend und etwas irritierend ist ei ne Reihe von Schreibfehlern, teilweise systematischer Art. Der
Autor sollte auf Nachfolge ndes in j edem Fall hi ngewiesen werden. (Noch weitere ähnli che Fehler
dürften sich sich sonstwo im Manuskript "verstecken"):
> Die Schreibfehler wurden anhand der Vorschläge korrigiert
1) Substantivi sche Begriffe mi t Bindestrich (oder ggf. als ei n einziges Wort): Yin Yang Symbols --> Yi n-
Yang-Symbols
Sori tes P aradox --> S ori tes -Paradox
Fuzzy Theorie --> Fuzzy-Theorie
Fuzzy Prinzi p --> Fuzzy-Prinzip
Körper-Geist Dualismus --> K örp er-Geist-Dual is mus
2) Groß- / Kleinschreibung:
Graduation zu Formalisieren --> Graduation zu formalisieren
ist ei n Term; Je de Kombination --> ist ei n Term; jede Kombination
in Ihrer politischen Konsequenz --> in i hrer poli tischen Konsequenz
3) Inkonsi stente Schreibweisen:
Poststrukturalismus vs. Post-Struk turalismus
Zadeh’sche Logik vs. Zade’sche Logik
von Booles mathematischer Analyse vs. fasse Boole’s mathemati sche Analyse
oder
Boole’s Schlussfolgerung
4) Falsche Übertragung aus de m Englischen:
Das Wort "semi nal" gibt es ( im Deutschen) nicht.
"von der Akademie kontrovers aufgenommen":
Ich glaube nicht, dass da Wort "Akademi e" hier richtig gebraucht ist
(als zu wörtliche Übersetzung aus dem Engli schen?)
macht keinen Si nn --> ergibt keinen Sinn
Sinn zu machen": Kann man (i m Deutschen) wi rklich Sinn "machen"?
Meinem Eindruck nach ist das eine falsche ( zu wörtliche) Übersetzung aus dem Englischen, di e seit
Mit te de r 1970e r-Jahre ge legentlich ins Deutsche "herüberschwappt".
5) Se tzung des Kommas prüfen, z.B.: Fuzzylogik dar, und erörtere
des Schlussfol gerns, sow ie die Kunst als Funktion von y, angese hen
6) Litera turrefe renzen: Mil l, J . S. ( 1843): Parke r --> Parker
Ich fi nde es etwas sonderbar, jedenfalls unüblich, wenn be i Büchern eine "Retrieved from..."- A ngabe
erfolgt.
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Book
To enhance marketing analytics, approximate and inductive reasoning can be applied to handle uncertainty in individual marketing models. This book demonstrates the use of fuzzy logic for classification and segmentation in marketing campaigns. Based on practical experience as a data analyst and on theoretical studies as a researcher, the author explains fuzzy classification, inductive logic and the concept of likelihood and introduces a blend of Bayesian and Fuzzy Set approaches, allowing reasonings on fuzzy sets that are derived by inductive logic. By application of this theory, the book guides the reader towards a gradual segmentation of customers which can enhance return on targeted marketing campaigns. The algorithms presented can be used for visualization, selection and prediction. The book shows how fuzzy logic can complement customer analytics by introducing fuzzy target groups. This book is for researchers, analytics professionals, data miners and students interested in fuzzy classification for marketing analytics.
Scitation is the online home of leading journals and conference proceedings from AIP Publishing and AIP Member Societies
Article
In this paper, I review recent applications of fuzzy logic in industrial automation. I start by showing how fuzzy logic and conventional control techniques can be combined in principle to deliver the `best of both worlds.' To exemplify this, I then discuss a number of case studies of real world applications, and demonstrate on how fuzzy logic enabled a superior solution compared to conventional techniques. Whenever possible, I quantify the benefit in cost saving or quality improvement. For detailed information on the reviewed applications, I reference the respective papers. For an introduction to fuzzy logic in general, refer to [3].
Conference Paper
Formal logical calculi underlying fuzzy logic are investigated, main attention being paid to Łukasiewicz’s logic and (a variant of) its generalization by Pavelka. The paper has an introductory and survey character.