An oddification of Khovanov's arc algebras

Abstract

In this master thesis we construct an oddification of the rings HnH^n from
arXiv:math/0103190 using the functor from arXiv:0710.4300 . This leads to a
collection of non-associative rings OHCnOH^n_C where C represent some choices
of signs. Extending the center up to anti-commutative elements, we get a ring
OZ(OHCn)OZ(OH^n_C) which is isomorphic to the oddification of the ring cohomology of
the (n,n)-Springer variety from arXiv:1203.0797 .

Full text

Construction impaire et étude de l’anneau des arcs
de Khovanov
Grégoire Naisse
Promoteur : Pedro Vaz
Université catholique de Louvain
Faculté des Sciences
École de Mathématique
2014–2015
arXiv:1510.06650v1 [math.QA] 22 Oct 2015

English summary
In this master thesis, we give an oddification of the Khovanov’s arc rings Hnfrom
[Kho02]. Our construction is based on the odd Khovanov homology from P. Ozsvath, J.
Rasmussen and Z. Szabo (see [ORS13]) and thus depends on some choices of signs. More
precisely we have to choose an order and an orientation for the saddle points. Set Cnbe
the set of all such choices.
Theorem 1. For each n∈Nwe have a family of rings {OHn
C}C∈Cn.
By explicit computations, we show that for all n≥2and all C, the ring OHn
Cis non-
associative. Of course, it is associative up to sign and by tensoring with Z/2Zwe get the
same ring as the mod 2reduction of Khovanov’s rings.
Example 1. As an example of non-associative elements in OH2
Cfor arbitrary C∈ C2
consider a, b ∈B2(see [Kho02] for a definition of Bn) such that
a=, b =.
If we take x=a1∧1∈a(OHn
C)a, y = 1 ∈a(OH n
C)band z= 1 ∈b(OHn
C)a, where a1is the
element in the exterior algebra generated by one of the circles from the diagram W(a)a
and Wis the involution which flips the diagram vertically, we get
(xy)z=−x(yz).
There is also an example of a choice C∈ C3with a, b, c, d ∈B3such that if we take
x= 1 ∈a(OH3
C)b,y= 1 ∈b(OH3
C)cand z= 1 ∈c(OH3
C)dwe get x(yz) = −(xy)z.
Like in the even case (see [Kho04]), there is a link between these rings and the cohomology
of the (n, n)Springer varieties. In the context of odd theory we consider an extended version
of the center which includes the anti-commutative elements and we call it the "odd center"
or "supercenter". We write it OZ(OHn
C). We show that there is a link with the oddification
of the cohomology of the (n, n)Springer variety constructed by A. Lauda and H. Russell
in [LR14], denoted OH(Bn,n)in our work.
Theorem 2. The odd center of OHn
Cis an associative ring and does not depends on the
choice of C∈ Cn. Furthermore, there is an isomorphism of graded rings
OZ(OHn
C)'OH(Bn,n).
The proof of this theorem is split in three main steps :
1. We construct a graded morphism s0from the ring of odd polynomials in 2nva-
riables (see OPol2nin [LR14]) to OZ(OHn
C)which is similar to the isomorphism
from [Kho04]. Then, by showing that the ideal used to define OH(Bn,n )is in the
kernel of s0, we get an induced graded morphism
s:OH(Bn,n)→OZ(OHn
C).
3

2. Using the equivalence modulo 2between the odd and the even case, the existence of
a basis for OH(Bn,n)and the isomorphism H(Bn,n )'Z(Hn), we prove that sis
injective.
3. Finally, we show that the rank of OH(Bn,n )is the same as that of OZ(OH n
C)and
consequently that sis bijective. To do so, we construct a variety e
T, in a way similar
to the e
Sfrom [Kho04] but using circles instead of spheres. By employing similar
arguments as Khovanov, we get an isomorphism of non-graded rings between the
cohomology H(e
T)and OZ(OHn
C)and we prove that the rank of H(e
T)is what we
are looking for.
Also, we get a non-graded isomorphism between H(e
T)and OH(Bn,n)and thus this proves
that the construction of A. Lauda and H. Russell gives a presentation for the cohomology
ring of e
Tif we replace the degrees of the generators by 1 instead of 2.
In the last section of the thesis, thanks to Krzysztof Putyra, we construct an associator
for OHn
Cwhich is based on the degrees and the diagrams of the elements. Then, we find
a sufficient condition for having isomorphic rings with two different choices of order and
orientations for the saddle points.
Theorem 3. Let Cand C0be in Cn. If the associator of OHn
Cand OHn
C0are the same,
then there is an isomorphism of graded rings
OHn
C'OHn
C0.
Acknowledgment None of this would have been possible without the help of my thesis
supervisor Pedro Vaz.
4

Table des matières
English summary 3
Remerciements 7
Introduction 9
1 Anneaux des arcs de Khovanov 13
1.1 Catégorie de Temperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Catégorie des cobordismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Le foncteur F................................... 18
1.4 Définition des anneaux des arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov 25
2.1 Cobordismes avec chronologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Lefoncteurimpair ................................ 28
2.3 Construction impaire des anneaux des arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Calcul diagrammatique dans OHn
C....................... 40
2.5 Propriétés générales de OHn
C.......................... 45
2.5.1 Non-associativité de OH n
C........................ 46
2.5.2 Comparaison de OHn
Cavec Hn..................... 49
3 Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer 51
3.1 Centre de Hnet variété de Springer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Centre et centre impair de OHn
C........................ 52
3.2.1 Centre de OHn
C.............................. 52
3.2.2 Centre impair de OHn
C.......................... 56
3.3 Construction impaire de la cohomologie de la variété de Springer . . . . . . 60
3.4 Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)................. 63
3.4.1 Définition de l’homomorphisme s.................... 63
3.4.2 Injectivité de l’homomorphisme s.................... 68
3.4.3 Égalité des rangs de OZ (OH n
C)et OH(Bn,n)............. 69
4 Pour aller plus loin 85
4.1 Rendre OHn
Cassociatif.............................. 85
4.2 Classes d’isomorphismes de OHn
C........................ 88
4.3 Modules sur OH n
C................................ 90
4.4 Généralisation de Hnet OHn
C.......................... 91
4.5 Action de H−1sur le centre impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Algèbres de Stroppel-Ehrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Annexes 93
A.1 Notations ..................................... 93
A.2 Nombres quantiques et groupe quantique Uq(sl2)............... 93
5

A.3 Groupes, anneaux et modules gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.3.1 Groupesgradués ............................. 95
A.3.2 Anneauxgradués............................. 95
A.3.3 Modulesgradués ............................. 95
A.4 Algèbres extérieures de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.5 Anneaudecohomologie ............................. 97
A.5.1 Homologie et cohomologie singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.5.2 Anneau de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.6 CW-complexe...................................100
A.6.1 Définition .................................100
A.6.2 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.7 Groupoïdes et cohomologie de catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6

Remerciements
Je remercie tout d’abord mon promoteur, Pedro Vaz, pour ses qualités de mentor, son
soutien durant l’écriture de ce mémoire et sa grande disponibilité ainsi que pour m’avoir
ouvert la voie à la théorie des nœuds et à toutes les mathématiques qu’elle implique.
Je remercie aussi Krzysztof Putyra pour ses explications et ses idées qui ont permis
d’enrichir fortement le Chapitre 4.
Je souhaite remercier tous mes professeurs de l’Université catholique de Louvain pour
avoir partagé avec moi leur savoir et leur amour des mathématiques.
Je remercie également mes parents Anne et Frédéric pour leur soutien et pour m’avoir
permis de faire ces études. De même je remercie mon frère Corentin pour avoir toujours
été un modèle exemplaire pour moi.
Enfin je voudrais remercier Isaure pour son affection et son soutien, ainsi que tous mes
amis pour être géniaux.
7

Introduction
La théorie des nœuds étudie principalement le plongement de cercles dans l’espace, qu’on
appelle des entrelacs. La grande question est de pouvoir déterminer si deux entrelacs sont
isotopes. Actuellement, on ne peut répondre que partiellement à cette question, et ce, en
utilisant des invariants, c’est-à-dire des objets algébriques associés à chaque entrelacs :
deux entrelacs ayant des invariants différents étant assurément non-isotopes.
Le monde de la théorie des nœuds fut révolutionné en 1985 par V. F. R. Jones [Jon85]
qui a construit un invariant polynomial très simple à calculer puisqu’il s’obtient à partir
de la relation d’écheveau locale :
(q1/2−q−1/2)V



=q−1V



−qV 



.
Cela fut révolutionnaire puisqu’avant cette date, les seuls invariants connus étaient soient
très peu puissants (comme par exemple le nombre d’entrelacements), soit difficilement
calculables (comme le groupe fondamental du complément d’un nœud). Par après, on a vu
apparaitre toute une série d’autres invariants du même type (par exemple le polynôme de
HOMFLY ou encore celui de Kauffman) jusqu’à une seconde révolution dans le milieu due
à M. Khovanov [Kho00] qu’il qualifia de "catégorification du polynôme de Jones".
La catégorification imaginée par M. Khovanov consiste en un invariant homologique,
c’est-à-dire qu’on calcule l’homologie d’un certain complexe de chaines associé à un dia-
gramme d’entrelacs et cette homologie permet de distinguer certains entrelacs non-isotopes.
Pour construire ce complexe, on transforme un diagramme d’entrelacs en une famille de
collections de cercles et ces collections sont reliées par des cobordismes. On définit alors
un foncteur qui envoie une collection de ncercles vers le produit tensoriel de ncopies d’un
certain groupe abélien gradué Aet un cobordisme entre deux telles collections vers un ho-
momorphismes de modules gradués sur Z. À un diagramme d’entrelacs L, on associe donc
des groupes de cohomologie doublement gradués, noté Hi,j(L),iétant l’indice du groupe
de cohomologie et jle degré induit par A. M. Khovanov a montré que ces groupes de coho-
mologie constituent des invariants d’entrelacs. De plus, l’homologie de Khovanov forme un
foncteur de la catégorie des entrelacs (avec les flèches données par des cobordismes plongés
dans R4) vers les groupes abéliens. On peut définir une caractéristique d’Euler graduée
pour ces groupes de cohomologie par :
X
i,j
(−1)iqjdimQ(Hi,j(L)⊗Q)∈Z[q, q−1]
et par la construction de l’homologie de Khovanov, cela livre le polynôme de Jones de L
(à renormalisation près). Cette situation est comparable au cas des CW-complexes, où la
caractéristique d’Euler n’est que l’ombre d’une structure beaucoup plus riche que sont les
groupes d’homologie cellulaire du complexe.
En plus de cette structure additionnelle, l’intérêt de l’invariant de M. Khovanov réside
dans le fait qu’il est strictement plus fort que celui de Jones [BN02], qu’il permet de détecter
le nœud trivial [KM11] (ce qui est une conjecture pour le polynôme de Jones) et qu’il ouvre
9

la porte à toute une série de nouveaux invariants homologiques (on cite par exemple la
généralisation de l’homologie de Khovanov pour des polynômes coloriés).
De façon générale, L. Crane et I. Frenkel définissent une catégorification comme "une
procédure informelle qui transforme les entiers en groupes abéliens, les espaces vectoriels
en catégories abéliennes ou triangulées et les opérateurs en foncteurs entre ces catégories",
dans [CF94]. On obtient alors une structure additionnelle donnée par les transformations
naturelles de foncteurs qu’on ne trouve pas avant la catégorification. L’objectif de cette
procédure était de transformer des invariants quantiques de variétés de dimension 3 en inva-
riants de variétés de dimension 4. L. Crane propose aussi dans son article [Cra95] d’utiliser
le concept de catégorification pour construire une théorie quantique de la gravitation de
dimension 3+1 à partir de théories qui fonctionnent pour la dimension 3. La construction
de M. Khovanov est donc bien une catégorification puisque les entiers du polynôme de
Jones sont transformés en groupes abéliens gradués (les groupes de cohomologie avec la
graduation de A), la somme directe de ces groupes formant donc une catégorie bigraduée
dont une des deux graduations correspond aux puissances de qdu polynôme de Jones.
Par ailleurs, on peut étendre le polynôme de Jones pour en faire un foncteur Jde la caté-
gorie des enchevêtrements (qui consistent en le plongement de cercles et d’intervalles dans
l’espace, reliant npoints fixés sur une droite à mpoints fixés sur une autre) vers la catégorie
des espaces vectoriels. Ce foncteur envoie les npoints vers V⊗n, où Vest la représentation
irréductible de dimension 2 du groupe quantique Uq(sl2), et les mpoints vers V⊗m. À un
enchevêtrement orienté Treliant npoints à mpoints, ce foncteur associe un opérateur
J(T) : V⊗n→V⊗mqui entrelace l’action de Uq(sl2)(voir sources [CFS95],[KR89]). Ce
foncteur est tel que si on prend n=m= 0, on obtient le polynôme de Jones. De plus, Jse
restreint à un foncteur J0sur les (m, n)−enchevêtrements, c’est-à-dire les enchevêtrements
reliant 2npoints à 2mpoints, envoyant les 2npoints sur l’espace Inv(n) := Inv(V⊗2n)
des applications multilinéaires sur V⊗2ninvariantes par rapport à l’action de Uq(sl2)et
envoyant un (m, n)−enchevêtrement Lsur un entrelacement J0(L) : Inv(n)→Inv(m)en
prenant la restriction de J(L)sur ces espaces (voir [CFS95],[Kup96]).
M. Khovanov a étendu son invariant aux enchevêtrements dans [Kho02] en catégorifiant
J0. Cette catégorification transforme Inv(n)en la catégorie triangulée Kndes complexes
de modules gradués (à homotopie de chaine près) sur un certain anneau Hnet J0(L)en le
foncteur Kn→ Kmdonné par la tensorisation par un certain complexe de bimodules sur
(Hm,Hn). On appelle ces anneaux Hnles anneaux des arcs de Khovanov. On associe donc
à un enchevêtrement un complexe de bimodules sur (Hm,Hn), dont la classe d’équivalence
à homotopie de chaines près donne un invariant d’enchevêtrements. Cette categorification
étend l’homologie de Khovanov puisque si on prend n=m= 0, le complexe obtenu est
celui utilisé pour calculer les groupes d’homologies Hi,j (L), où Lest un enchevêtrement
sans point d’extrémités, c’est-à-dire un entrelacs.
En 2013, P. Ozsvath, J. Rasmussen et Z. Szabo ont construit dans [ORS13] une "oddi-
fication" de l’homologie de Khovanov, le terme "odd", qu’on traduit par impair, signifiant
qu’on retrouve une certaine antisymétrie dans les objets. Cette construction impaire uti-
lise un foncteur projectif différent de l’homologie de Khovanov, le terme projectif signifiant
qu’il n’est bien défini qu’à signe près. Ce foncteur envoie les collections de cercles, non
pas sur des produits tensoriels, mais sur des produits extérieurs. On peut montrer qu’on
obtient alors un nouvel invariant d’entrelacs qui ne dépend pas des signes et qui forme une
autre catégorification du polynôme de Jones. Cette homologie impaire permet de distin-
guer des nœuds que la version paire ne distingue pas, comme l’a montré A. Shumakovitch
dans [Shu11]. J. Bloom a montré dans [Blo10] que l’homologie impaire est invariante sous
opération de mutation alors qu’il existe des exemples d’entrelacs mutants qui ont des homo-
10

logies paires différentes (voir [Weh03]). De plus, l’homologie de Khovanov est équivalente
à sa version impaire si on les considère toutes deux en modulo 2. Récemment, K. Putyra
a construit dans [Put14] un cadre qui permet de retrouver l’homologie de Khovanov et sa
version impaire, avec un paramètre permettant d’obtenir l’une ou l’autre.
On se demande alors ce que donnerait une construction similaire à celle des anneaux des
arcs de Khovanov, mais en utilisant le foncteur de P. Ozsvath, J. Rasmussen et Z. Szabo.
Cela livre une "oddification" des anneaux Hnet constitue le premier objectif de ce
travail. Puisqu’il y a un choix de signes à faire, on construit des familles d’anneaux OH n
C,
chacun étant caractérisé par des choix de signes notés C. De plus, pour que cela soit
bien défini et que le foncteur projectif de [ORS13] devienne un foncteur au sens usuel, on
a besoin d’une catégorie plus structurée que celle des cobordismes et on utilise donc la
catégorie des cobordismes avec chronologies, définie par K. Putyra dans [Put08] (il utilise
aussi cette catégorie pour construire son cadre dans [Put14]).
Par ailleurs, dans [Kho04], M. Khovanov a relié ses anneaux Hnà la cohomologie de la
variété de Springer pour une partition (n, n), montrant que le centre de l’anneau Hnest
isomorphe en tant qu’anneau gradué à l’anneau de cohomologie de cette variété. En 2014,
A. Lauda et H. Russell ont proposé de leur côté, dans [LR14], une construction impaire de
la cohomologie de la variété de Springer pour une partition quelconque, construction basée
sur les polynômes impairs et donnant par conséquent une antisymétrie aux éléments.
On s’interroge donc légitiment quant à l’existence d’un lien entre la construction impaire
de Hnintroduite dans ce travail et la construction de A. Lauda et H. Russell.
On répond par l’affirmative et, en étendant le centre de OHn
Caux éléments anticom-
mutatifs, ce qu’on appelle le centre impair, on obtient un anneau qui est isomorphe à la
construction impaire de la cohomologie de Springer pour une partition (n, n).
Plan général Ce travail est séparé en 4 chapitres et est muni d’un ensemble d’annexes.
Le premier chapitre vise à définir les anneaux des arcs de Khovanov Hn, en définissant
d’abord la catégorie de Temperley-Lieb et la catégorie des cobordismes de dimension 2 qui
sont des bases nécessaires à la construction de ces anneaux. On définit ensuite le foncteur
Fde la catégorie des cobordismes vers la catégorie des espaces vectoriels, utilisé par M.
Khovanov pour construire son homologie, et enfin on définit les anneaux Hn.
Une construction impaire des anneaux Hnétant l’objectif principal du Chapitre 2, on
définit d’abord le foncteur de P. Ozsvath, J. Rasmussen et Z. Szabo en utilisant le travail de
K. Putyra sur les cobordismes avec chronologies. On établit ensuite la construction impaire
des anneaux des arcs, notée OHn
C, avec des choix de signes C. On propose un système de
calculs basé sur des diagrammes coloriés afin de faciliter les calculs dans OHn
C. Finalement,
dans la dernière section du chapitre, on montre quelques résultats sur les anneaux OHn
C,
notamment qu’ils sont non-associatifs pour n≥2et qu’ils sont équivalents aux anneaux
Hnquand on les tensorise tous deux par Z/2Z.
Dans le Chapitre 3, on rappelle dans une première section quelques propriétés du centre
de Hnet des variétés de Springer pour une partition (n, n). On étudie ensuite dans la
deuxième section les propriétés du centre de OHn
Cet on introduit la notion de centre
impair. On définit dans la section suivante la construction impaire de la cohomologie de la
variété de Springer due à A. Lauda et H. Russell et, dans la section finale, on démontre le
résultat principal de ce travail qui consiste à construire un isomorphisme entre OZ (OH n
C)
et cette construction impaire pour une partition (n, n).
Dans le dernier chapitre, on propose une série de questions avec pistes de réflexions afin
de construire de nouveaux objets à partir des anneaux OH n
Cet d’approfondir la compré-
hension de ceux-ci, notamment en étudiant les classes d’isomorphismes de OHn
Cpour des
11

choix de signes Cdifférents ou encore en transformant OHn
Cen anneau associatif. Ensuite,
on propose une idée de construction imaginée par K. Putyra afin de définir une notion de
modules et bimodules qui aurait du sens sur OHn
Cet qui pourrait mener à une catégorifi-
cation impaire de J0et donc potentiellement à un nouvel invariant d’enchevêtrements.
Enfin, les annexes sont destinées à rappeler des définitions et des résultats qui facilitent
la compréhension de ce travail.
12

1 Anneaux des arcs de Khovanov
L’objectif de ce chapitre est de définir les anneaux des arcs de Khovanov Hn, comme
introduits par M. Khovanov dans [Kho02]. À cette fin, on rappelle d’abord les définitions
et quelques propriétés de la catégorie de Temperley-Lieb, notée T L, et de la catégorie Cob
des cobordismes de dimension 2. On décrit ensuite le foncteur F:Cob →Z−Mod utilisé
par M. Khovanov pour construire son homologie et finalement on construit les anneaux
Hngrâce à ce foncteur.
1.1 Catégorie de Temperley-Lieb
L’objectif de cette section est de définir la catégorie T L de Temperley-Lieb dont les
objets sont des collections de paires de points et les morphismes 2n→2msont des enche-
vêtrements plats à isotopie près.
Définition 1.1. Un (m, n)-enchevêtrement plat entre deux collections de 2net 2mpoints
consiste en le plongement dans le plan d’une collection de n+mintervalles qui ne se
croisent pas, pi: [0,1] →R×[0,1], appelés brins, et d’un nombre fini de composantes de
cercles libres. On demande en plus que les bords des brins soient envoyés sur tous les points
de {1,...,2n}×{0}et de {1,...,2m}×{1}, qu’on appelle points de base. On demande
aussi que les brins soient perpendiculaires autour de ces points.
On note b
Bm
ncomme étant l’ensemble des classes de (m, n)−enchevêtrements plats, à iso-
topie préservant les points de base près, et Bm
ncomme étant ceux ne possédant pas de
composante cercle. On note aussi Bm:= Bm
0et Bn:= B0
n.
Le terme plat vient du fait qu’on ne permet pas aux brins de se croiser contrairement à
l’appellation d’enchevêtrement au sens classique. Par ailleurs, il existe aussi une définition
pour un enchevêtrement plat avec des collections impaires de 2n+ 1 et 2m+ 1 points, mais
on n’en a pas besoin dans ce travail.
On dessine toujours un (m, n)−enchevêtrement comme allant de bas en haut, c’est-à-dire
qu’on place les 2mpoints en haut et les 2nen bas. On donne un exemple d’élément de b
B3
2,
donc de (3,2)-enchevêtrement plat, en Figure 1.1.
Figure 1.1: (3,2)-enchevêtrement plat, la flèche à gauche représente le sens dans lequel on
parcourt l’enchevêtrement et les chiffres représentent les abscisses des points.
13

1. Anneaux des arcs de Khovanov
Exemple 1.2. Etant donné qu’on utilise principalement Bndans ce travail, on observe
que B2est composé des deux classes d’enchevêtrements plats données par
, .
Exemple 1.3. De même B3est composé des cinq classes d’enchevêtrements plats suivant
, ,
, ,
.
Définition 1.4. On définit la composition d’un (m, n)et d’un (n, p)-enchevêtrements plats
en plaçant le premier au dessus du second et en faisant une homothétie divisant la hauteur
totale par deux, c’est-à-dire que pour a∈b
Bm
net b∈b
Bn
pon a
a◦b=a
b∈b
Bm
p.
Il est clair que cette composition donne un (m, p)-enchevêtrement plat puisque, par la
condition de perpendicularité, ils se recollent de façon lisse, comme illustré en Figure 1.2.
Il faut noter qu’en général, une composition d’un élément de Bm
navec un de Bn
pn’est pas
dans Bp
mmais dans b
Bp
mpuisqu’on peut faire apparaitre des composantes de cercles libres.
Figure 1.2: Composition de deux (2,2)−enchevêtrements plats.
On pose V ert2ncomme étant le (n, n)-enchevêtrement plat donné les 2nsegments de
droites {i} × [0,1] pour 1≤i≤2n. Par exemple on a
V ert6:= .
14

1.1. Catégorie de Temperley-Lieb
Il est facile de voir que pour x∈Bm
net y∈Bn
mon a xV ert2n=xet V ert2ny=y.
Définition 1.5. On définit la catégorie de Temperley-Lieb, notée T L, comme étant la
catégorie ayant pour objets les collections de 2npoints {1,...,2n}, pour tout n≥0, et
pour flèches 2n→2mles (m, n)-enchevêtrements plats, à isotopie préservant les points de
base près, et munis de la composition définie au dessus. L’identité 2n→2nest donnée par
V ert2n.
Par ailleurs, on remarque que Bnest caractérisé par la façon de relier 2npoints ensemble
par ndemi-cercles vers le bas qui ne peuvent pas se croiser, livrant la propriété suivante :
Proposition 1.6. La cardinalité de Bnest donnée par le n-ème nombre de Catalan Cn
|Bn|=Cn:= 1
n+ 1 2n
n.
Démonstration. Comme expliqué dans [Kos09, Chapitre 6], Cncalcule le nombre de chaines
de caractères de taille 2nqu’on peut engendrer avec les caractères 0(0et 0)0telles qu’aucun
segment initial ne contient plus de 0)0que de 0(0, c’est-à-dire les chaines bien parenthésées.
On peut voir un élément de Bncomme une telle chaine en notant un 0(0quand un arc part
d’un point et un 0)0quand il y arrive (dans l’exemple précédent, pour B2, on obtient “()()”
et “(())”) puisqu’on ne peut pas fermer plus d’arcs que ce qu’on en a ouvert. De même,
toute telle chaine de caractères peut être attribuée à un élément de Bnen parcourant cette
chaine et en reliant par un demi-cercle inférieur tout 0)0rencontré au précédent 0(0qui n’a
pas encore été relié à un 0)0.
Définition 1.7. On définit Wl’application d’involution sur un enchevêtrement plat qui
retourne l’enchevêtrement en envoyant (x, y)∈R×[0,1] 7→ (x, 1−y)∈R×[0,1]. On a
alors
W(b
Bm
n) = b
Bn
m,et W(Bm
n) = Bn
m.
On observe que W(Bn)Bn⊂c
B0
0et donne donc une collection de cercles. Tous ces cercles
intersectent l’axe (−,1/2), chacun en au moins deux points de {(1,1/2),...,(2n, 1/2)}, et
donc on peut induire un ordre total sur ces cercles en considérant les abscisses minimales
de ces points (un cercle est plus petit qu’un autre si son point d’intersection d’abscisse
minimale est plus petit que celui de l’autre), comme le montre par exemple la Figure 1.3.
Figure 1.3: Ordre des composantes de W(b)ainduit par l’ordre des points qui intersectent
l’axe (−,1/2).
15

1. Anneaux des arcs de Khovanov
1.2 Catégorie des cobordismes
Cette section vise à définir la catégorie des cobordismes de dimension 2. Toutes les
variétés considérées dans cette section sont lisses.
Définition 1.8. Un cobordisme Centre deux variétés V1et V2de même dimension est
une variété à bord notée C:V1→V2telle que son bord soit difféomorphe à l’union disjointe
de V1et V2
∂C 'V1tV2.
On peut définir une notion de composition pour ces cobordismes.
Définition 1.9. On définit le recollement de deux cobordismes C, C0ayant des bords V1, V2
et V0
1, V 0
2tels que V2'V0
1par le cobordisme obtenu en prenant
CtC0
V2∼V0
1
.
On a une notion d’équivalence de cobordismes donnée par des difféomorphismes qui
préservent les bords.
Définition 1.10. On dit que deux cobordismes C1et C2ayant comme bords les même
variétés V1et V2sont équivalents s’il existe un difféomorphisme φ:C1→C2tel que le
diagramme
C1
φ

V1
>>
V2
``
~~
C2
commute et où les morphismes de gauche et de droite sont les restrictions des difféomor-
phismes ∂C1'V1tV2et ∂C2'V1tV2.
On est maintenant en mesure de définir la catégorie des cobordismes.
Définition 1.11. On note C ob la catégorie monoïdale dont les objets sont des variétés de
dimension un, compactes et sans-bord (c’est-à-dire des unions de cercles disjointes et finies)
et les flèches sont des cobordismes orientables compacts entre ces variétés, à équivalence
près, munis de la composition donnée par recollement de cobordismes et de la multiplication
monoïdale donnée par l’union disjointe.
Par ailleurs, la catégorie Cob possède une structure algébrique intéressante puisque par
la théorie de Morse et le théorème de classification des surfaces on a le Théorème 1.12, dont
on peut trouver une preuve dans [Koc03, Section 1.3] par exemple. Ce théorème permet
de représenter les cobordismes sous forme de diagrammes qu’on lit de bas en haut, qu’on
compose en les plaçant les uns au-dessus des autres et qu’on multiplie en les juxtaposant.
Théorème 1.12. La catégorie des cobordismes Cob est générée par les multiplications et
compositions de l’identité, donnée par un cylindre, et des 5 cobordismes élémentaires : la
naissance de cercle, la fusion, la scission, la mort de cercle et la permutation
sous les relations suivantes :
16

1.2. Catégorie des cobordismes
1. Commutativité et co-commutativité
=,=
2. Associativité et coassociativité
=,=
3. Relations de Frobenius
= =
4. Unité et counité
=,=
5. Relations de permutations
=,=
6. Permutations de l’unité et de la counité
=,=
17

1. Anneaux des arcs de Khovanov
7. Permutations de la fusion et de la scission
=,=
1.3 Le foncteur F
M. Khovanov définit un foncteur F:Cob →Z−Mod dans [Kho02] (qui se trouve aussi
dans [Kho00] pour construire l’homologie de Khovanov) de la catégorie des cobordismes
vers la catégorie des modules gradués sur Z. Ce foncteur associe à une collection de n
cercles le module donné par le produit tensoriel sur Zde nfois un certain module Adéfini
comme suit :
A:= Z[t]
t2{−1}, F 
. . .
| {z }
n

:= A⊗n=A⊗Z· · · ⊗ZA
| {z }
n
,
où deg(t)=2et {−1}est le décalage du degré par −1comme expliqué dans les Annexes
à la Section A.3. Autrement dit, Aest le groupe abélien libre gradué engendré par 1et t
avec deg(1) = −1et deg(t)=1.
Par le Théorème 1.12, il suffit de définir ce foncteur sur chacun des cobordismes élémen-
taires pour qu’il soit défini sur tous. La permutation et l’identité sont bien évidemment
envoyés respectivement sur la permutation des Adans le produit tensoriel et sur l’identité.
À la naissance de cercle, on associe l’application unité
F

:= ı:Z→A: 1 7→ 1.
À la fusion on associe la multiplication dans Aen remplaçant le produit tensoriel par le
produit de polynômes
F







:= m:A⊗A→A:




1⊗17→ 1,
t⊗1,1⊗t7→ t,
t⊗t7→ t2= 0.
La scission est envoyée sur l’application de comultiplication
F







:= ∆ : A→A⊗A:(17→ 1⊗t+t⊗1,
t7→ t⊗t.
18

1.3. Le foncteur F
Et enfin à la mort de cercle on associe la trace
F

:= :A→Z:(17→ 0,
t7→ 1.
On note que Amuni de mcomme multiplication, comme forme de Frobenius et ∆
comme comultiplication forme une algèbre de Frobenius. On obtient donc une "two di-
mensional topological quantum field theory" (2D-TQFT) qui donne la fonctorialité de F.
On renvoie vers [Abr96] pour plus de détails mais, grossièrement, une 2D-TQFT est un
foncteur monoïdal de la catégorie des cobordismes Cob vers une catégorie algébrique. Il est
aussi possible de simplement montrer que Fest bien défini pour les relations du Théorème
1.12 si on ne veut pas parler de TQFT. De plus on obtient aisément le résultat suivant :
Proposition 1.13. Fassocie à un cobordisme Cun homomorphisme de degré égal à moins
la caractéristique d’Euler du cobordisme
deg F(C) = −χ(C).
Démonstration. On vérifie aisément avec les définitions de ı, m, ∆et que l’équation tient
puisque deg(ı) = deg() = −1et deg(m) = deg(∆) = 1.
Exemple 1.14. On calcule F(S2) : Z→Zavec
S2'
qui est donc une naissance suivie d’une mort. On obtient alors
F(S2) = ◦ı:Z→A→Z: 1 7→ 17→ 0
et donc F(S2) = 0.
Exemple 1.15. On calcule F(T2) : Z→Zavec
T2'
qui est donc une naissance suivie d’une scission, d’une fusion et enfin d’une mort. On
obtient alors
F(T2) = ◦m◦∆◦ı:Z→A→A⊗A→A→Z:
17→ 17→ 1⊗t+t⊗17→ 2t7→ 2
et donc F(T2)est donné par la multiplication par 2dans Z.
19

1. Anneaux des arcs de Khovanov
1.4 Définition des anneaux des arcs
Pour n≥0, on définit l’anneau des arcs de Khovanov d’indice nvu comme groupe
abélien gradué par la somme directe
Hn:= M
a,b∈Bn
b(Hn)a, où b(Hn)a:= F(W(b)a){n}.(1.1)
Comme remarqué dans la Section 1.1, W(b)a∈W(Bn)Bn⊂b
B0
0et W(b)aest donc une
union disjointe de cercles, d’où le fait qu’on puisse lui appliquer le foncteur F.
Remarque 1.16. On note que décaler le degré des éléments par npermet d’obtenir un
groupe positivement gradué. En effet, l’élément W(b)aqui contient le plus grand nombre
de composantes de cercles est donné par un élément de la forme W(a)aet contient donc n
composantes. Dès lors, le plus grand produit tensoriel contient néléments et l’élément de
degré minimal de F(W(a)a)est 1⊗ · · · ⊗ 1de degré −n.
Pour faire de Hnun anneau, il reste à définir une multiplication et une unité. On pose
xy = 0 pour x∈d(Hn)cet y∈b(Hn)asi c6=b. Il reste encore à définir la multiplication
mcba :c(Hn)b⊗b(Hn)a→c(Hn)a.
L’idée est de construire un cobordisme de W(c)bW (b)avers W(c)aafin d’obtenir une mul-
tiplication donnée par l’image de ce cobordisme par F. On observe que bW (b)donne tous
des demi cercles, chacun possédant sa symétrie horizontale en face, comme par exemple :
b=, bW (b) = .
On peut donc construire des ponts donnant des "cobordismes avec bords" possédant un
unique point de selle et qui envoient à chaque fois une paire de demi cercles vers deux
segments de droite, comme représenté en Figure 1.4.
Figure 1.4: Pont : cobordisme entre deux arcs miroirs et deux lignes possédant un unique
point de selle.
20

1.4. Définition des anneaux des arcs
En composant ces ponts, on obtient un cobordisme de bW (b)vers V ert2npossédant n
points de selle (un pour chaque pont), qu’on nomme C(b). On donne un exemple de film en
Figure 1.5 où chaque vignette représente la coupe horizontale du corbordisme en différentes
hauteurs.
Figure 1.5: Film du cobordisme C(b)entre bW (b)et V ert2n: chaque vignette représente
une hauteur différente en commençant par celle en haut à gauche de bW (b)
et en terminant en bas à droite par V ert2n(illustration venant de [Kho02]).
En prolongeant ce "cobordisme avec bord" C(b)avec l’identité sur aet sur W(c), on
obtient un cobordisme de Cob
IdW(c)C(b) Ida:W(c)bW (b)a→W(c)a
qui donne un homomorphisme de modules en lui appliquant F
FIdW(c)C(b) Ida:FW(c)bW (b)a→FW(c)a.(1.2)
Puisque W(c)bet W(b)asont tous deux des unions disjointes de cercles, on a un isomor-
phisme canonique
FW(c)b⊗FW(b)a'FW(c)bW (b)a.
On obtient en composant cet isomorphisme avec le morphisme (1.2) un homomorphisme
FW(c)b⊗FW(b)a→FW(c)a.
Puisque le cobordisme a npoints de selles, il a une caractéristique d’Euler valant −net par
la Proposition 1.13 le morphisme obtenu a un degré n. On obtient alors un homomorphisme
FW(c)b{n} ⊗ FW(b)a{n} → FW(c)a{n}(1.3)
qui préserve le degré. On définit la multiplication en utilisant le diagramme commutatif
suivant où les isomorphismes viennent de (1.1) :
c(Hn)b⊗b(Hn)amcba //
'

c(Hn)a
FW(c)b{n} ⊗ FW(b)a{n}(1.3) //FW(c)a{n}.
'
OO
21

1. Anneaux des arcs de Khovanov
On définit pour a∈Bn,
1a= 1⊗n{n} ∈ A⊗n{n} ' a(Hn)a
où 1⊗n{n}est un abus de notation pour dire qu’on prend l’unité dans A⊗ndont on a décalé
le degré par n. On vérifie que pour x∈b(Hn)aon a x.1a=xet 1a.x = 0 si a6=bet pour
y∈a(Hn)b, on a y.1a= 0 et 1a.y =y. On définit alors l’unité 1∈Hncomme la somme
1 = X
a∈Bn
1a.
On obtient l’associativité par fonctorialité de Fet associativité/co-associativité des cobor-
dismes. Finalement, la distributivité est claire par définition.
On termine le chapitre par quelques exemples de calculs dans Hnafin de familiariser le
lecteur avec ces anneaux.
Exemple 1.17. On peut montrer que H1'A{1}puisque B1ne contient qu’un seul
élément adonné par un demi-cercle qui relie les deux points. On a alors un isomorphisme
de groupes gradués H1'ab F(W(a)a){1}et, W(a)an’étant composé que d’un seul cercle,
on a F(W(a)a) = A. Par ailleurs, la multiplication
a(H1)a×a(H1)a→a(H1)a
est composée uniquement d’une fusion et est donc équivalente à la multiplication polyno-
miale, montrant le résultat voulu.
Exemple 1.18. On prend H2et on pose
a=, b =.
On observe
W(a)a=, W (a)b=, W (b)a=.
où on note a1et a2les cercles de W(a)aavec a1le cercle extérieur et a2le cercle intérieur.
De même on note b1le cercle de W(a)bet c1∈W(b)a. Pour éviter toute confusion, on
note txla variable tdu Aassocié par le foncteur Fà la composante de cercle d’étiquette
xet de même pour 1x. On considère la multiplication
a(H2)a×a(H2)b→b(H2)a
et on calcule
(ta1⊗1a2).1b1=tb1.
22

1.4. Définition des anneaux des arcs
En effet, on a
ta1⊗1a2⊗1b1
m
7−→ tx1⊗1a2
m
7−→ tb1,
(a1,b1)7→x1
−−−−−−−→ (a2,x1)7→b1
−−−−−−−→
puisqu’on a juste deux fusions.
Exemple 1.19. En prenant les même notations que l’exemple précédent, on calcule main-
tenant
1b1.tc1=ta1⊗ta2
dans
a(H2)b×b(H2)a→a(H2)a.
En effet, on a
1b1⊗tc1
m
7−→ tx1
∆
7−→ ta1⊗ta2,
(b1,c1)7→x1
−−−−−−−→ x17→(a1,a2)
−−−−−−−→
puisqu’on a une fusion suivie d’une scission.
23

2 Constructions impaires des anneaux des
arcs de Khovanov
Dans [ORS13], P. Ozsvath, J. Rasmussen et Z. Szabo construisent une version impaire de
l’homologie de Khovanov. Pour ce faire, ils définissent un foncteur projectif de la catégorie
des cobordismes vers la catégorie des modules sur Z. Ce foncteur est projectif dans le
sens où deux cobordismes équivalents peuvent livrer des morphismes de signes différents
et qu’il y a un choix d’orientations à faire pour les composantes de cercles des scissions. Ils
montrent ensuite que ces signes n’influencent pas l’homologie qu’on obtient. On propose
dans ce chapitre de construire des anneaux similaires à Hnen utilisant le foncteur de
[ORS13] à la place de celui de M. Khovanov. Le choix de signes devenant important et
pouvant potentiellement livrer des anneaux différents, on redéfinit ce foncteur sur une
catégorie un peu plus structurée que celle des cobordismes : la catégorie des cobordismes
avec chronologies, introduite par K. Putyra dans [Put08].
2.1 Cobordismes avec chronologies
Les cobordismes avec chronologies (ou cobordismes chronologiques) sont des cobordismes
où on donne un ordre sur les points critiques (donc un ordre sur une fonction de Morse
possédant un seul point critique par niveau), ce qu’on appelle une chronologie, et un choix
d’orientation pour ceux-ci (c’est-à-dire pour les fusions et les scissions, les naissances et
morts de cercles ayant des orientations constantes). Plus précisément, l’orientation des
points critiques d’indice 1 est donnée par le choix d’une base pour l’espace propre de la
sous-matrice définie négative de la matrice hessienne de la chronologie et ceux d’indice 2 ont
l’orientation induite par l’orientation du cobordisme. On donne un exemple de cobordisme
avec chronologie en Figure 2.1. Deux cobordismes chronologiques sont dits équivalents s’il
existe un difféomorphisme préservant les bords entre les deux et qui conserve l’ordre de la
chronologie ainsi que l’orientation des points critiques. Tout cela se définit de façon formelle
et on renvoie à [Put08] pour plus de détails.
Figure 2.1: Exemple de cobordisme avec chronologie, les flèches sur les scissions et fu-
sions représentent l’orientation des points critiques d’indice 1 (c’est-à-dire le
"sens" de la base choisie pour la sous-matrice hessienne) et la flèche de gauche
représente la chronologie, les gros points noir étant les points critiques.
25

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Il y a une autre différence par rapport aux cobordismes sans chronologie qui se situe dans
la multiplication monoïdale. En effet, on ne peut pas simplement prendre l’union disjointe
des deux cobordismes en les mettant "côte à côte" car on pourrait obtenir plusieurs points
critiques au même niveau de leurs chronologies. On définit alors la multiplication à gauche
de M1:S1→S0
1et M2:S2→S0
2comme M1union disjointe l’identité sur S2composé
avec l’identité sur S0
1union disjointe M2, c’est à dire qu’on décale M2pour avoir tous ses
points critiques après ceux de M1, comme représenté en Figure 2.2. De même on définit
une multiplication à droite où on décale M1cette fois.
Figure 2.2: Multiplication à gauche de deux cobordismes avec chronologies, les flèches
indique le "sens" de la chronologie.
On note alors ChCob la catégorie dont les objets sont des collections de cercles et les
flèches des classes d’équivalence de cobordismes avec chronologies. Il n’est pas nécessaire
pour la discussion d’entrer plus dans les détails de la construction des cobordismes avec
chronologies et donc on utilise seulement la présentation en générateurs et relations de ces
objets, calculée aussi par K. Putyra.
Remarque 2.1. La catégorie ChC ob n’est pas monoïdale puisqu’on a pas de multiplication
au sens usuel. Dans [Put08], K. Putyra propose une définition de catégorie chronologique-
ment monoïdale où la multiplication chronologique est un demi-foncteur et qui correspond
au comportement de ChCob pour la multiplication à gauche.
Théorème 2.2. (K. Putyra, [Put08, Théorème 4.1]) La catégorie ChCob des cobordismes
avec chronologies est engendrée par les compositions et multiplications à gauche et à droite
des huit générateurs suivants :
quotientés par les relations suivantes :
26

2.1. Cobordismes avec chronologies
1. Relations de permutations
=,=
2. Permutations de l’unité et de la counité
=,=
3. Permutations de la fusion et de la scission
=,=
4. Anti-commutativité et anti-co-commutativité
=,=
Les flèches sur les scissions et fusions représentent l’orientation des points critiques d’in-
dice 1 (c’est-à-dire le "sens" de la base choisie pour la sous-matrice hessienne), les points
d’indice 0 et 2 ayant une orientation induite par la surface.
Remarque 2.3. Par l’anti-commutativité et l’anti-co-commutativité, on peut retirer deux
générateurs puisque si on a une fusion avec une orientation on peut obtenir celle avec l’autre
et pareillement pour la scission.
27

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
2.2 Le foncteur impair
Le but de cette section est d’expliquer la construction du foncteur impair défini par P.
Ozsvath, J. Rasmussen et Z. Szabo dans [ORS13], mais dans le cadre des cobordismes
chronologiques. On souhaite donc définir un foncteur OF :ChCob →Z−M od allant de la
catégorie des cobordismes avec chronologies vers la catégorie des modules gradués sur Z.
Tout d’abord, à un objet Sde ChCob, c’est-à-dire une collection de cercles, on associe
V(S)le groupe abélien libre gradué généré par les composantes de Soù on attribue à
chaque générateur un degré 2. On définit ensuite l’image de Spar OF comme l’algèbre
extérieure de modules (voir la Section A.4 des Annexes)
OF (S) := V∗V(S){−|S|} (2.1)
où |S|est le nombre de composantes de cercles de S. Par le Théorème 2.2 et la Remarque
2.3, il suffit de définir le foncteur sur les cobordismes d’identité, de permutation, de nais-
sance et de mort de cercle, ainsi que de fusion et scission avec une orientation donnée.
Attention que la catégorie n’est pas monoïdale au sens stricte du terme et donc OF non
plus. Dès lors, on doit considérer ces cobordismes avec l’identité partout ailleurs sur les
autres composantes de cercles.
Bien évidemment l’identité est donnée par l’homomorphisme d’identité. Pour une per-
mutation qui permute les deux cercles aet b, on permute les deux éléments dans l’algèbre
extérieure,
OF 



:




x∧a∧y7→ x∧b∧y,
x∧b∧y7→ x∧a∧y,
x∧a∧b∧y7→ x∧b∧a∧y,
avec xet ydes produits extérieurs sans facteur ani b. On associe à la naissance de cercle
S→St {a}l’application d’inclusion d’algèbres extérieures
OF 

:V∗V(S)→V∗V(St {a}):17→ 1
induite par l’inclusion de groupes V(S)→V(S)⊕aZ=V(St {a}). La mort St {a} → S
d’un cercle aest donnée par la contraction avec le dual de a(voir Définition A.4.2)
OF 

:V∗V(St {a})→V∗V(S) : x7→ a∗(x).
Pour une fusion S1→S2qui joint les cercles a1Aa2∈S1, la flèche représentant l’orienta-
tion de la fusion, en un cercle b∈S2, il y a une identification naturelle
V(S2)'V(S1)
{a1−a2}
et on définit
OF 



:V∗V(S1)→V∗V(S2)
comme étant l’application induite par la projection
V∗V(S1)→V∗V(S1)
ha1−a2i.
28

2.2. Le foncteur impair
Remarque 2.4. On voit aisément que l’image de la fusion ne dépend pas de l’orientation
choisie, donnant
OF 



=OF 



.
De même, on peut observer que les fusions donnent les relations d’associativité et d’unité
du Théorème 1.12. À partir de maintenant, on ne note donc plus l’orientation des fusions
dans ce travail.
Finalement, on considère une scission S1→S2qui scinde un cercle a∈S1en deux
cercles a1et a2dans S2avec a1Aa2, la flèche indiquant l’orientation de la scission. On a
alors une identification naturelle
V(S1)'V(S2)
{a1−a2}
qui induit un isomorphisme
V∗V(S1)'V∗V(S2)
{a1−a2}'(a1−a2)∧V∗V(S2)
puisqu’on a l’égalité des équations suivantes :
(a1−a2)∧x∧a1∧y=−a1∧x∧a2∧y= (−1)|x|+1a1∧a2∧x∧y
(a1−a2)∧x∧a2∧y=a2∧x∧a1∧y= (−1)|x|a2∧a1∧x∧y.
On définit alors
OF 



:V∗V(S1)→V∗V(S2)
comme la composition
V∗V(S1)'
−→ V∗V(S2)
(a1−a2)'
−→ (a1−a2)∧V∗V(S2)⊂
−→ V∗V(S2).
On remarque donc que 1est envoyé sur (a1−a2).
Remarque 2.5. On note que c’est ici que le choix d’orientation a son importance puisque
l’isomorphisme V∗V(S1)'(a1−a2)∧V∗V(S2)
est de signe opposé à celui où on choisit a2Aa1qui donne
V∗V(S1)'(a2−a1)∧V∗V(S2).
Exemple 2.6. On donne d’abord deux exemples du foncteur appliqué sur des objets de
ChCob, c’est-à-dire sur deux collections de cercles :
OF  =V∗(aZ){−1}=h1, ai
avec deg(1) = 0 −1 = −1et deg(a)=2−1 = 1, ensuite
OF  =V∗(aZ+bZ){−2}=h1, a, b, a ∧bi
avec deg(1) = 0 −2 = −2,deg(a) = deg(b)=2−2=0et deg(a∧b)=4−2 = 2.
29

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Exemple 2.7. On pose S1=nb , c oet S2=na , b , c oainsi que le cobor-
disme M:S1→S2comme étant la naissance de aet on calcule :
OF (M)(c+ 3b∧c) = c+ 3b∧c.
Exemple 2.8. On pose S1=na , b , c oet S2=nb , c oainsi que le cobor-
disme M:S1→S2comme étant la mort de aet on calcule :
OF (M)(b∧c+b∧2a∧c) = −2(b∧c).
Exemple 2.9. On pose S1=na1, a2, c oet S2=nb , c oainsi que le cobor-
disme M:S1→S2comme étant la fusion de a1et a2en bet on calcule :
OF (M)(a1∧a2+a2∧c) = b∧b+b∧c=b∧c.
Exemple 2.10. On pose S1=na , c oet S2=na1, a2, c oainsi que le
cobordisme M:S1→S2comme étant la scission de aen a1Aa2et on calcule :
OF (M)(a∧c+c)=(a1−a2)∧(a1∧c+c) = a1∧c−a2∧a1∧c−a2∧c.
Puisque OF n’est pas bien définir sur Cob, il n’est pas une TQFT au sens strict du terme
et il nous faut vérifier qu’il est bien défini sur ChCob.
Proposition 2.11. OF est un foncteur de C hCob vers la catégorie des modules sur Z.
Démonstration. Il suffit de vérifier que les morphismes de modules qu’on a défini res-
pectent chacune des relations du Théorème 2.2 pour que le foncteur soit bien défini puis-
qu’il respecte déjà la composition par définition. On donne les détails de deux des relations,
toutes les autres étant des calculs similaires.
1. On considère la permutation de la counité
=
qui donne donc en termes de morphismes de modules
OF 



:




a7→ a∗(a)=1,
b7→ a∗(b)=0,
a∧b7→ a∗(a∧b) = b,
OF 



◦OF 



:




a7→ b7→ b∗(b)=1,
b7→ a7→ b∗(a)=0,
a∧b7→ (b∧a)7→ b∗(b∧a) = a,
et qui sont donc égaux car on identifie aet bcomme éléments de sortie.
30

2.2. Le foncteur impair
2. On considère l’anti-co-commutativité
=
qui donne les morphismes
OF 



:(17→ (b−a),
x7→ (b−a)∧a,
OF 



◦OF 



:(17→ (a−b)7→ (b−a),
x7→ (a−b)∧b7→ (b−a)∧a,
qui sont bien égaux. 
Tout comme pour le foncteur F, on retrouve la propriété suivante.
Proposition 2.12. Pour tout cobordisme chronologique C, on a
deg OF (C) = −χ(C).
Démonstration. La naissance de cercle envoie un produit extérieur vers le même, l’espace
d’arrivée ayant juste une composante en plus et donc un degré décalé par −1puisque dans
(2.1) on définit l’image avec un degré décalé par le nombre de composantes. La fusion ne
change pas la longueur du produit extérieur mais diminue le nombre de composantes de 1,
donc on obtient un décalage de 1. La scission augmente la longueur du produit extérieur
de 1, augmentant le degré de 2, et augmente le nombre de composantes de 1, donnant au
final un décalage du degré par 1. Enfin, la mort de cercle diminue la longueur du produit
extérieur de 2et le nombre de composantes de 1, donnant un décalage du degré par −1.
Par ailleurs, on calcule aisément que
χ

= 1, χ 



=−1,
χ

= 1, χ 



=−1,
puisqu’on a des surfaces avec 0trous et 1ou 3bord(s). Pour terminer, le résultat est clair
pour la permutation et l’identité. 
Par ailleurs, on vérifie bien que si on regarde OF sur les cobordismes sans chronologie,
il n’est bien défini qu’à signe près. De plus, soit les deux homomorphismes sont les mêmes,
soit ils sont de signes opposés, c’est-à-dire que le signe ne dépend pas des éléments sur
lesquels on applique les homomorphismes.
31

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Proposition 2.13. Pour toute paire de cobordismes (sans chronologie) C1, C2:S1→S2
équivalents on a
OF (C1) = ±OF (C2).
Démonstration. Il suffit d’observer le comportement du foncteur OF sous les relations du
Théorème 1.12 en ajoutant toutes les possibilités d’orientations. On donne comme exemple
le cas de la co-commutativité, les autres étant similaires. Si on oublie l’orientation et la
chronologie, par le Théorème 1.12, on a l’équivalence des cobordismes suivants :
∼
On suppose qu’à gauche on scinde a1∈S1en a2Ab2∈S2et que à droite on scinde a1∈S1
en a2Ab2∈S3puis qu’on les permute. On obtient alors respectivement pour le cobordisme
de gauche puis celui de droite
x→(a2−b2)∧¯x2,
x→(a2−b2)∧¯x2→(b2−a2)∧¯x2,
avec ¯x2qui est xoù on change tous les a1en a2et donc cela signifie que les morphismes
sont de signes opposés. 
Par contre, on remarque que seules les scissions et morts de cercles peuvent engendrer
un changement de signe.
Proposition 2.14. Pour toute paire de cobordismes chronologiques C1, C2:S1→S2
équivalents et se décomposant en seulement des fusions, permutations et identités on a
OF (C1) = OF (C2).
Démonstration. Il suffit de faire les observations de la Remarque 2.4 et de voir qu’aucune
des relations du Théorème 1.12 ne peut engendrer de scission sauf celle de la counité mais
qu’on peut oublier puisque ni C1ni C2ne possède de mort de cercle dans sa décomposition.

On termine cette section par des exemples de calculs du foncteur appliqué à des co-
bordismes semblables à ceux des Exemples 1.14 et 1.15 ainsi qu’un autre qui montre la
non-coassociativité venant d’un changement de chronologie, c’est-à-dire une équivalence de
cobordismes qui change l’ordre des points critiques.
Exemple 2.15. On calcule OF (S2) : Z→Zavec
S2'
qui est donc une naissance suivi d’une mort. On obtient alors
OF (S2) : Z→V∗Z{−1} → Z: 1 7→ 17→ 0
et donc OF (S2) = 0 = F(S2).
32

2.2. Le foncteur impair
Exemple 2.16. On calcule OF (T2) : Z→Zavec
T2'
qui est donc une naissance suivi d’une scission avec orientation arbitraire, d’une fusion et
enfin d’une mort. On obtient alors
OF (T2) :Z→V∗aZ{−1} → V∗a1Z⊕a2Z{−2} → V∗bZ{−1} → Z:
17→ 17→ (a1−a2)7→ b−b= 0 7→ 0
et donc OF (T2)=0, ce qui est différent du cas paire puisqu’on avait une multiplication
par 2. On obtient le même résultat si on choisit une autre orientation.
En utilisant la Proposition 2.13 et le théorème de classification des surfaces, on peut
même montrer que tout cobordisme sans bord est envoyé par le foncteur OF sur l’appli-
cation nulle.
L’exemple suivant montre la nécessité d’avoir une chronologie sur les points critiques
puisque deux cobordismes équivalent dans Cob peuvent donner deux morphismes différents
par OF .
Exemple 2.17. On considère 3 collections de cercles : {a1},{b1, b2}et {c1, c2, c3}et deux
compositions de scissions : M1qui scindent a1en b1Ab2puis b1en c1Ac2et M2qui scinde
a1en b1Ab2et b2en c2Ac3, comme illustré en Figure 2.3. Il est clair que ces compositions
sont équivalentes et on calcule leurs images par OF :
OF (M1) : a17→ (b1−b2)∧b1=b1∧b27→ (c1−c2)∧(c1∧c3) = c1∧c2∧c3,
OF (M2) : a17→ (b1−b2)∧b1=b1∧b27→ (c2−c3)∧(c1∧c2) = −c1∧c2∧c3.
Figure 2.3: Si on oublie la chronologie, ces deux cobordismes sont équivalents mais n’ont
pas la même image par OF .
33

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
2.3 Construction impaire des anneaux des arcs
L’objectif de cette section est de définir une famille d’anneaux unitaires par une construc-
tion similaire à celle de l’anneau Hnde Khovanov mais en utilisant le foncteur OF de la
section précédente. Cela donne alors une construction impaire, ou "oddification" en an-
glais, de Hn.
Pour n≥0, on définit le groupe impair des arcs de Khovanov d’indice ncomme le groupe
abélien gradué donné par la somme directe
OHn:= M
a,b∈Bn
b(OHn)a, où b(OHn)a:= OF W(b)a{n}.(2.2)
Remarque 2.18. Comme dans Hn, le fait de définir b(OHn)aavec un décalage du de-
gré par nrend OHnpositivement gradué. En effet, le degré minimal d’un élément de
OF (W(b)a)est obtenu en regardant 1dedans qui a un degré de au minimum −npuis-
qu’on a un maximum de ncomposantes.
Pour faire de OHnun anneau, il faut définir une multiplication dessus. On veut la définir
de façon similaire à celle de Hnmais en utilisant des cobordismes avec chronologies. Comme
pour Hn, on observe que bW (b)donne tous des demi cercles, chacun possédant sa symétrie
horizontale en face. On peut donc à nouveau construire des ponts qui s’emboitent, donnant
des cobordismes qui envoient à chaque fois une paire de demi cercle vers l’identité, mais
cette fois on doit se fixer un ordre dans lequel on construit ces ponts pour avoir une
chronologie et on doit orienter les scissions. Il n’y a a priori aucune raison de choisir un
ordre plutôt qu’un autre ou une orientation particulière et donc on propose de tous les
considérer.
Définition 2.19. On définit une règle de multiplication Cpour OHncomme les données
de, pour chaque triplet (c, b, a)∈(Bn)3:
– un ordre x1<· · · < x2nsur les points de base {1,...,2n}, donc sur les extrémités des
arcs de b, tel que si xiest relié à xjdans bet que xk∈]xi, xj[pour l’ordre usuel alors
xi< xkou xj< xkdans l’ordre de la règle,
– une orientation xiAxjou xjAxipour tout i, j ∈[1,2n]tels que xiest relié à xjpar
un arc de b.
Autrement dit, on donne un ordre (qui dépend de aet de c) sur les arcs de bainsi qu’une
orientation pour chacun de ceux-ci et on ne permet pas qu’un arc b1arrive avant un autre
b2dans l’ordre si b1est imbriqué dans b2, c’est-à-dire si les points d’extrémités de b1sont
entre les points d’extrémités de b2. Cette condition est imposée afin qu’on ne construise pas
un pont qui traverserait le restant de la surface si on la plongeait dans R3. On demande
cela puisque M. Khovanov construit ses cobordismes comme des surfaces plongées dans
l’espace pour définir Hn, même si cela n’a pas d’influence dans le cas pair.
On construit alors une famille de cobordismes chronologiques pour une règle de multi-
plication C
M(C) := {Ccba :W(c)bW (b)a→W(c)a|a, b, c ∈Bn}
par la procédure suivante, illustrée en Figure 2.4, appliquée pour tout a, b, c ∈Bn:
1. On pose i:= 1 et D0:= W(c)bW (b)a. Quitte à redimensionner, on peut supposer
que les points de base de W(c)bsont alignés sur (1,1),...,(2n, 1) et ceux de W(b)a
sur (1,0),...,(2n, 0). On considère x1<· · · < x2nl’ordre sur les points pour (c, b, a)
de la règle de multiplication C.
34

2.3. Construction impaire des anneaux des arcs
2. Si (xi,0) est relié par un segment de droite {xi} × [0,1] à(xi,1) dans Di−1, alors on
ne fait rien et on pose Di:= Di−1. Sinon on considère (xj,0) l’autre extrémité de
l’arc de bpassant par (xi,0). On construit Dicomme étant Di−1où on supprime l’arc
de bpassant par (xi,1) et l’arc de W(b)passant par (xi,0) et on relie (xi,0) à(xi,1)
et (xj,0) à(xj,1) par des segments de droites verticales {xi} × [0,1] et {xj} × [0,1].
On construit ensuite un cobordisme de Di−1àDicomme étant l’identité partout
sauf pour un pont envoyant les arcs opposés de W(b)et bpassant par le i-ème
point vers deux segments de droites verticales et l’identité partout ailleurs sur Di.
Si ce pont engendre une scission, en notant Xiet Xjles composantes de Dipassant
respectivement par (xi,0) et (xj,0), on l’oriente XiAXjsi xiAxjet XjAXisinon.
3. On pose i:= i+1. Si i > 2n, on passe à la prochaine étape, sinon on revient à l’étape
2.
4. On a pose Ccba := D0→D1→ · · · → D2ncomme étant la composition des cobor-
dismes Diet puisque D2n'W(c)acela construit un cobordisme avec chronologie
Ccba :W(c)bW (b)a→W(c)a.
Figure 2.4: Exemple d’étape de la procédure de construction de Ccba avec i= 4 et xiAxj.
On ne note que les xkpour k≤ià l’exception de xj.
En d’autres termes, on parcourt les arcs de bdans l’ordre donné par la règle de mul-
tiplication en construisant le pont associé et s’il sépare un cercle en deux on lui donne
l’orientation donnée par l’orientation de l’arc. De plus, on note que Ccba possède npoints
de selles et on a donc
χ(Ccba) = −n.
Remarque 2.20. Puisque la fusion ne dépend pas de l’orientation dans le cadre de OF ,
on ne s’occupe pas de l’orienter. Cependant, on pourrait le faire de sorte à être totalement
rigoureux en orientant la composante passant par (xi,0) vers celle passant par (xi,1) ou
alors tout simplement en prenant un choix arbitraire d’orientations pour les fusions.
A partir de cette collection de cobordismes M(C) = {Ccba :W(c)bW (b)a→W(c)a}
on définit une multiplication similaire à celle de Hnet on note OHn
Cl’anneau obtenu en
munissant OHnde cette multiplication. Si b6=c, on pose d(OHn
C)c×b(OHn
C)a= 0, sinon
on remarque que W(c)bet W(b)asont tous deux des unions disjointes de cercles et donc
on a un isomorphisme canonique
VW(c)bW (b)a'VW(c)b⊕VW(b)a
35

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
avec V(S)le groupe abélien libre engendré par les éléments de l’ensemble S. Cela induit
des inclusions
V∗VW(c)b⊂V∗VW(c)bW (b)a,V∗VW(b)a⊂V∗VW(c)bW (b)a,
et donc en prenant le produit extérieur on obtient un homomorphisme
OF W(c)b×OF W(b)a→O F W(c)b∧OF W(b)a⊂OF W(c)bW (b)a.(2.3)
On obtient alors en composant (2.3) avec l’image du cobordisme Ccba par OF un homo-
morphisme
OF W(c)b×OF W(b)a(2.3)
−−−→ OF W(c)bW (b)aOF Ccba 
−−−−−−→ OF W(c)a.
Puisque le cobordisme a une caractéristique d’Euler valant −n, le morphisme obtenu a un
degré net donc on obtient un homomorphisme
OF W(c)b{n} × OF W(b)a{n} → O F W(c)a{n}(2.4)
qui préserve le degré. On définit alors la multiplication en utilisant le diagramme commu-
tatif suivant, où les isomorphismes viennent de (2.2) :
c(OHn)b×b(OHn)a//
'

c(OHn)a
FW(c)b{n} × FW(b)a{n}(2.4) //FW(c)a{n}.
'
OO
On note pour a∈Bn,
1a= 1{n} ∈ V∗V(W(a)a){n}
et on vérifie par la proposition suivante que pour x∈b(OHn
C)aon a x.1a=xet 1a.x = 0
si a6=bet pour y∈a(OH n
C)bon a y.1a= 0 et 1a.y =y. On définit alors l’unité de OHn
C
comme la somme
1 = X
a∈Bn
1a.
Proposition 2.21. Les multiplications
a(OHn
C)a×a(OHn
C)b→a(OHn
C)b,
a(OHn
C)b×b(OHn
C)b→a(OHn
C)b,
sont calculées en utilisant uniquement des fusions de sorte que le produit est obtenu en
prenant juste le produit extérieur après avoir renommé les éléments suivant les composantes
de W(a)b. Autrement dit Caab et Cabb sont des cobordismes qui se décomposent en nfusions.
Démonstration. On sait que la multiplication
a(OHn
C)a×a(OHn
C)b→a(OHn
C)b
est obtenue en prenant un cobordisme de W(a)aW (a)bvers W(a)bcomposé de nponts,
donc nfusions ou scissions. Par ailleurs, W(a)aW (a)best constitué de n+|W(a)b|com-
posantes de cercle et W(a)ben est constitué de |W(a)b|, donc on doit fusionner au moins
ncomposantes. On en conclut qu’on a exactement nfusions. 
36

2.3. Construction impaire des anneaux des arcs
Figure 2.5: Exemple d’ordre de construction des ponts d’un corbordisme avec les flèches
représentant l’orientation d’éventuelles scissions.
On propose une règle de multiplication e
Cparmi d’autres pour définir une collection de
cobordismes qui nous sert à illustrer ce travail par des exemples. Pour tout a, b, c ∈Bn,
on ordonne {1,...,2n}selon l’ordre usuel des entiers naturels et on oriente iAjsi i < j
pour l’ordre usuel aussi. Un exemple de construction de cobordisme par cette règle de
multiplication est illustré en Figure 2.5. Afin d’alléger la notation, on note g
OHn:= OHn
e
C.
Exemple 2.22. On peut montrer que OH 1
C'V∗Zpuisque B1ne contient qu’un seul
élément adonné par un demi-cercle qui relie les deux points. On a alors un isomorphisme
de groupes gradués OH 1
C'ab OF (W(a)a){1}et, W(a)an’étant composé que d’un seul
cercle, on a OF (W(a)a) = V∗Z{−1}. Par ailleurs, la multiplication
a(OH1
C)a×a(OH1
C)a→a(OH1
C)a
est composée uniquement d’une fusion et est donc équivalente au produit extérieur, mon-
trant le résultat voulu.
Exemple 2.23. On considère g
OH2et on pose
a=, b =.
donnant donc
W(a)a=, W (a)b=, W (b)a=.
On note a1et a2les cercles de W(a)aavec a1le cercle extérieur et a2le cercle intérieur.
De même on note b1le cercle de W(b)aet c1∈W(a)b.
On considère la multiplication dans
ag
OH2b×bg
OH2a→ag
OH2a
et on calcule par exemple
a1b.c1=−a1∧a2
où a1b∈ag
OH2best l’unité pour le produit extérieur.
37

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
En effet, on a une fusion
(c1Ab1)7→x1
−−−−−−−−→ :
a1b∧c1=c17−→ x1,
suivie d’une scission
x17→(a2Aa1)
−−−−−−−−→ :
x17−→ (a2−a1)∧a1=−a1∧a2,
la flèche sur le diagramme représentant l’orientation de cette scission.
Exemple 2.24. On considère g
OH3et on pose
a=, b =, c =,
avec
W(c)b=, W (b)a=, W (c)a=.
On calcule par exemple
c2.b1a=−a1∧a2
dans
cg
OH3b×bg
OH3a→cg
OH3a.
38

2.3. Construction impaire des anneaux des arcs
En effet, on a une fusion
(b1Ac1)7→x1
−−−−−−−−→ :
c2∧a1b=c27−→ c2,
ensuite une scission
x17→(y2Ay1)
−−−−−−−−→ :
c27−→ (y2−y1)∧c2=y2∧c2−y1∧c2,
et enfin une dernière fusion
(y2Ac2)7→a2
−−−−−−−−→ :
y2∧c2−y1∧c27−→ −y1∧a2.
On obtient le résultat puisque y1correspond avec a1dans W(c)a.
39

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
2.4 Calcul diagrammatique dans OH n
C
Afin de faciliter le calcul de produits d’éléments dans OHn
C, on propose une technique
de calcul diagrammatique utilisant des couleurs.
Définition 2.25. On définit un n-diagramme colorié comme le plongement dans le plan
d’une union disjointe de cercles pouvant être coloriés ou non (avec une seule couleur dispo-
nible, on dessine en rouge gras les cercles coloriés et en noir pointillés les autres) tel qu’ils
recouvrent les points de base (1,0),...,(2n, 0) et qui se restreint à des segments de droite
verticales {i} × [−, ]autour de chacun de ceux-ci.
On munit les points de base d’un ordre induit par l’ordre sur les abscisses (de gauche à
droite). Cet ordre induit un ordre sur les composantes du diagramme passant par les points
de base en attribuant à chaque composante l’ordre de son point de base minimal. On étend
cet ordre à un ordre partiel en disant que toutes les autres composantes, qu’on appelle
libres, sont plus grandes, comme illustré en Figure 2.6. On dit que deux n-diagrammes
sont équivalents s’il existe une isotopie ambiante préservant les points (1,0),...,(2n, 0)
et qui transforme l’un en l’autre en conservant les couleurs. On note b
Dnl’ensemble des
n−diagrammes à équivalence près et Dnles classes d’équivalences sans composante libre.
Figure 2.6: Exemple de 6-diagramme colorié avec les points de base en gris, 1,2,3 et 4 les
cercles passant par les points de base, xet yles composantes libres et l’ordre
donné par 1<2<3<4< x, y.
De plus, on dit que deux points (i, 0),(j, 0) ∈ {(1,0),...,(2n, 0)}sont reliés par un demi-
cercle supérieur (resp. inférieur) d’un n-diagramme s’il existe une composante de cercle qui
passe par ces deux points telle qu’elle se restreint à un arc ne passant par aucun autre des
points de base {(1,0),...,(2n, 0)}et que pour un voisinage suffisamment proche de (i, 0)
et (j, 0) tous les points de cette restriction ont une ordonnée positive (resp. négative). On
dit alors qu’un n-diagramme D1est compatible au dessus d’un autre n-diagramme D2si
toute paire de points (i, 0),(j, 0) ∈ {(1,0),...,(2n, 0)}reliés par un demi-cercle supérieur
de D2est reliée par un demi-cercle inférieur de D1(et vice-versa) et on demande en plus
qu’il n’y ait pas de composante libre entourant des points de base ni dans D1ni dans D2.
Remarque 2.26. On remarque que, par l’hypothèse de verticalité du diagramme autour
des points de base, chacun de ceux-ci a un seul demi-cercle supérieur et un seul inférieur.
Proposition 2.27. Il y a une isomorphisme de groupes abéliens entre le groupe impair
OHnet les combinaisons linéaires sur Zde classes d’équivalences de n-diagrammes coloriés
ne possédant pas de composante libre
Z[Dn]'ab OHn.
40

2.4. Calcul diagrammatique dans OHn
C
Démonstration. Soient a, b ∈Bnavec W(b)aayant mcomposantes x1< x2· · · < xm,
l’ordre étant induit par les points de base. On construit une fonction
φ:b(OHn)a'V∗V(W(b)a)→Z[Dn].
Pour tout {i1< i2<· · · < ir} ⊂ {1,2, . . . , m},φassocie à xi1∧ · · · ∧ xir∈b(OHn)a
le n-diagramme W(b)a(il est évident par définition d’enchevêtrement que cela donne un
n-diagramme en translatant par (0,−1/2)) avec les composantes associées à xi1, . . . , xir
qui sont coloriées. On étend ensuite φpar linéarité pour en faire un morphisme injectif
de OHnvers Z[Dn]. Ce morphisme est bien défini car on demande que les composantes
du produit extérieur soient mis dans un certain ordre, fixant un signe. L’injectivité est
obtenue par le fait que les n-diagrammes sont pris à isotopie ambiante fixant les points de
base près. On obtient la surjectivité en observant que
rk 
M
a,b∈Bnb(OHn)a
=X
a,b∈Bn
2|W(b)a|= rkZ[Dn]
puisque par la remarque faite au dessus, chaque demi-cercle supérieur (resp. inférieur)
relie 2points et puisque les demi-cercles ne peuvent pas se croiser et donc les demi-cercles
supérieurs (resp. inférieurs) donnent une façon de relier 2npoints par ndemi-cercles vers
le haut (ou bas), c’est-à-dire un élément de Bn.
Exemple 2.28. On sait que B2est composé des éléments
a=, b =,
donnant les diagrammes
W(a)a=, W (a)b=,
W(b)a=, W (b)b=.
Dès lors, cela signifie que OH2est engendré par
OH2=h1a, a1, a2, a1∧a2,1b, b1, b2,a1b, c1,b1a, d1i
avec l’isomorphisme de la proposition donnant par exemple
φ(1a) = , φ(a2) = , φ(a2∧a1) = −,
φ(c1) = , φ(3b1a−2b1)=3 −2.
41

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Afin d’obtenir un anneau isomorphe à OHn
C, on définit la résolution de ponts pour
une règle de multiplication Cd’un n-diagramme Dtcompatible au dessus d’un autre n-
diagramme Dbcomme la procédure suivante :
1. On considère a, b, c ∈Bntels que W(c)b'Dtet W(b)a'Dbpar la Proposition 2.27
et on prend x1<· · · < x2nl’ordre des points donné par Cpour le triplet (c, b, a).
2. On place Dbau dessous de Dtà une certaine distance dde sorte que le résultat soit
une union disjointe de cercles dans le plan qu’on note D0et on pose i:= 1.
3. Si (xi,−d)appartient à la même composante de cercle que (xi,0) dans Di−1, alors
on ne fait rien. Sinon, on a un unique demi-cercle supérieur de Db, noté y, qui relie
(xi,−d)à un certain (xj,−d)et un unique demi-cercle inférieur de Dt, noté y, qui
relie (xi,0) à(xj,0). On définit Dicomme Di−1où on relie (xi,−d)à(xi,0) et
(xj,−d)à(xj,0) puis on supprime xet y. On obtient alors une union disjointe de
cercles avec une ou deux composante(s) partiellement colorée(s) passant par (xi,0)
et (xj,0) qu’on recolorie selon la règle suivante :
– Si xappartient à une composante différente de celle de ydans le diagramme Di−1:
→,→βx,
→0,→βy,
avec βx= (−1)m(resp. βy) pour mle nombre de composantes de cercles coloriées
de Di−1supérieures à celle contenant y(resp. x) et inférieures à celle contenant x
(resp. y).
– S’ils appartiennent à la même composante de cercle dans Di−1:
→α










βi−βj










,→β ,
avec α= +1 si xiAxjdans Cet −1sinon. On pose βi= (−1)mipour mile
nombre de composantes coloriées dans Districtement inférieures à celle passant
par (xi,0) et idem pour βjet (xj,0). On prend β:= α(−1)mpour mle nombre
de composante coloriées de Diinférieures ou égales à celle passant par (xj,0) ou
strictement inférieures à celle passant par (xi,0).
4. On pose i:= i+ 1, si i > 2non arrête, sinon on revient à l’étape 3 pour chacun des
éléments de la combinaison linéaire obtenue à l’étape 3.
42

2.4. Calcul diagrammatique dans OHn
C
On obtient au final une combinaison linéaire de n-diagrammes coloriés et on note Dt×CDb
la résolution de ponts pour Cde Dtau dessus de Db. On pose aussi que D1×CD2= 0 si
D1n’est pas compatible au dessus de D2. On remarque que, dans le cas de e
C, cela revient
à spécifier α= 1 et poser xi=iet on note Dt×Dbla résolution de ponts pour e
C.
Proposition 2.29. L’isomorphisme de groupes de la Proposition 2.27 respecte la structure
multiplicative de OHn
Cen prenant la résolution de ponts pour Cqu’on étend par linéarité
comme multiplication pour les n-diagrammes.
Démonstration. L’idée de la preuve est de mettre un ordre sur les composantes de Di
à chaque étape de la résolution et de montrer que les signes choisis correspondent aux
produits extérieurs de la multiplication dans OHn
Cen associant les composantes coloriées
aux produits extérieurs donné par l’ordre (comme dans la preuve de la Proposition 2.27).
On définit cet ordre en parcourant les points (1,0) à(2n, 0) puis (1,−d)à(2n, −d)de sorte
qu’au diagramme D0soit associé le produit extérieur de celui de φ−1(Dt)∧φ−1(Db). On
vérifie ensuite qu’à chaque étape de la résolution de ponts soit associé le produit extérieur
de la fusion/scission correspondante :
– Si les deux demi-cercles appartiennent à des composantes différentes, alors les résoudre
revient à fusionner ces composantes, expliquant la couleur des diagrammes. Pour le
signe βxou βy, il vient du fait qu’en fusionnant la composante coloriée avec l’autre,
l’ordre de cet élément dans le produit extérieur associé peut changer puisqu’il prend
potentiellement la place de la composante non-coloriée. βxet βycalculent ces déca-
lages.
– S’ils appartiennent à la même composante, alors la résolution revient à séparer cette
composante en deux et donc on a une scission, expliquant les couleurs. Le signe α
calcule l’orientation de la scission pour la règle de multiplications et les signes βiet βj
calculent le décalage des éléments aiet ajdu facteur (ai−aj)qu’on positionne à la
bonne place dans le produit extérieur selon l’ordre défini en début de preuve. Enfin,
pour βon a deux cas à regarder. Si xi< xj, alors on a
α(ai−aj)∧x1∧aj∧x2=ai∧x1∧aj∧x2
et donc β=α(−1)mpour mqui calcule le nombre de composantes inférieures ou
égales à aj, contenant alors aiet aj. Par ailleurs on doit décaler aipour le mettre à la
place de aj, donc un décalage de |x1|, et on doit décaler ajpour le mettre à la bonne
position dans x2(puisque ajest séparé de aiqui hérite du point de base minimal, on
doit calculer le nouveau point de base de aj). Au final, on a un décalage de autant
de composantes que celles strictement inférieures à ajmoins celle de ai, mais βest
calculé en prenant ajaussi ce qui annule la contribution de ai. Si par contre aj< ai
alors on a
α(ai−aj)∧x1∧ai∧x2=−aj∧x1∧ai∧x2
et le calcul du décalage se fait de la même façon en inversant les rôles de aiet aj
si ce n’est qu’on a pas le aipour annuler la contribution de aj, d’où le signe devant
l’expression.

Corollaire 2.30. Les combinaisons linéaires de n-diagrammes coloriés munies de la réso-
lution de ponts sur Ccomme multiplication forment un anneau gradué et cet anneau est
isomorphe à OHn
C.
De par ce corollaire, on confond dans la suite de ce travail les éléments de OH n
Cavec
des diagrammes colorés.
43

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Remarque 2.31. Le calcul diagrammatique peut être aisément adapté pour Hn, où on
associe simplement les composantes colorées et les produits tensoriel sans se soucier de
l’ordre ainsi qu’en oubliant les signes dans les résolutions de ponts et en prenant un plus
dans la scission.
Exemple 2.32. On refait l’Exemple 2.23 en calculs diagrammatiques :
φ(a1b.c1) = ×=−=φ(−a1∧a2)
puisqu’on a la résolution de ponts
→ → − .
Exemple 2.33. On refait l’Exemple 2.24 en calculs diagrammatiques :
φ(c2.b1a) = ×=−=φ(−a1∧a2)
puisqu’on a la résolution de ponts
→ →














−














→














0−














.
Exemple 2.34. On calcule dans g
OH3
φ(x3.y2) = 



×



=







=φ(y1∧y2),
φ(x2.y1) = 



×



=−







=φ(−y1∧y2).
44

2.5. Propriétés générales de OHn
C
2.5 Propriétés générales de OHn
C
Dans cette section, on étudie quelques propriétés de OHn
C. On observe notamment que
OHn
Cest non-associatif pour tout n≥2et on montre que OH n
Ccorrespond avec Hnquand
on les considère modulo 2.
Proposition 2.35. Pour tout m≤n,OH m
Cest un sous-anneau de OHn
C.
Démonstration. Tout élément xde Bmpeut être étendu à un élément ¯xde Bnen le décalant
vers la droite de n−met en ajoutant des paires (1,2n),(2,2n−1),...,(n−m, n +m+ 1),
comme illustré en Figure 2.7. Dès lors, pour a, b ∈Bm, on retrouve toutes les composantes
de W(b)adans W(¯
b)¯aet donc on obtient une inclusion canonique de groupes
V(W(b)a)⊂V(W(¯
b)¯a).
Cela induit une injection de groupes gradués OH m
C→OHn
Cpar
b(OHm
C)a=V∗V(W(b)a){m− |W(b)a|} →V∗V(W(¯
b)¯a){n− |W(¯
b)¯a|} =¯
b(OHn
C)¯a
puisque |W(¯
b)¯a|=|W(b)a|+n−m. De plus cette injection respecte la structure de
multiplication puisque le arcs qu’on ajoute pour former ¯xn’engendrent que des fusions de
composantes non coloriées (les signes des résolutions de ponts ne sont calculées qu’à partir
des composantes coloriées). 
Figure 2.7: Inclusion de Bmdans Bnen ajoutant n−marcs.
Remarque 2.36. On choisit cette injection de Bmdans Bncar elle vient de l’injection
canonique de l’algèbre de Temperley-Lieb T Lm(voir Définition 4.3) dans T Lnqui consiste
à ajouter des brins verticaux à droite. En effet on peut voir les éléments de e
Bncomme des
combinaisons de Uiqu’on courbe, déplaçant les npoint en bas pour les mettre à gauche.
Pour la preuve de la proposition, on aurait aussi bien pu compléter un élément en ajoutant
des paires de points (2m+ 1,2m+ 1),...,(2n−1,2n)mais cela donne une inclusion de
OHm
Cdans OHn
Cqui n’est pas usuelle.
Proposition 2.37. Soient Cet C0deux règles de multiplications ainsi que a, b, c ∈Bn,
alors Ccba et C0
cba sont équivalents vu en tant que cobordismes sans chronologie.
Démonstration. Si on oublie l’orientation et qu’on accepte l’associativité, la coassociati-
vité et les relations de Frobenius, les deux cobordismes deviennent équivalents puisqu’ils
contiennent tous deux le même nombre de scissions et fusions pour les même composantes.

Corollaire 2.38. Soient Cet C0deux règles de multiplication, alors les multiplications
c(OHn
C)b×b(OHn
C)a→c(OHn
C)a=±c(OHn
C0)b×b(OHn
C0)a→c(OHn
C0)a
sont identiques à signe près, signe dépendant uniquement de a, b et c.
45

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Démonstration. On sait que Ccba et C0
cba sont équivalents par la proposition précédente et
donc par la Proposition 2.13 on obtient la propriété voulue. 
2.5.1 Non-associativité de OH n
C
On voit facilement que OH1
Cest associatif par l’Exemple 2.22. Par contre pour n= 2
on perd l’associativité si on utilise la règle de multiplication e
Ccomme le montre l’exemple
suivant.
Exemple 2.39. On considère les calculs diagrammatiques suivant dans g
OH2:


×

×=×
=−
et en réarrangeant les parenthèses on obtient
×

×

=×

−


=.
Cet exemple mène à un autre exemple qui montre que le produit de trois éléments peut
parfois être nul et parfois non suivant l’ordre dans lequel on multiplie.
Exemple 2.40. On considère les multiplications suivantes dans g
OH2:
| {z }
x
×

+


|{z }
y
×

+


|{z }
z
.
On commence par rassembler les termes à gauche pour avoir (xy)puis on multiplie par le
terme de droite pour obtenir (xy)z
×

+

= + ,


+

×

+

=−+
= 0.
46

2.5. Propriétés générales de OHn
C
Ensuite on rassemble les termes de droite pour avoir (yz)puis on multiplie par l’élément
de gauche pour obtenir x(yz)


+

×

+

=−+,
= 2 −


2−

×=−2.
On a donc trouvé un exemple de x, y, z ∈g
OH2tel que (xy)z= 0 et x(yz)=2wpour un
certain w∈g
OH2non-nul.
Proposition 2.41. Pour n≥2et Cquelconque, la multiplication dans OHn
Cn’est pas
associative.
Démonstration. On généralise l’Exemple 2.39 sur tout Cen remarquant que si
×C=−
alors par le Corollaire 2.38 le signe de l’homomorphisme obtenu pour un Cest fixé et donc
×C=
et idem pour les signes opposés, en remarquant que les autres multiplications n’impliquent
que des fusions et ne sont donc pas influencées par le choix de C. On généralise ensuite
pour tout n≥2par la Proposition 2.35. 
Cela ne constitue qu’une des deux sources de non-associativité d’un produit de x,yet
zdans OHn
Cvenant de la permutation du facteur xavec les facteurs (a1−a2)qui appa-
raissent par les scissions de la multiplication yz, comme illustré en Figure 2.8. Un second
changement de signes peut être du au changement de chronologies dans le cobordisme
W(d)cW (c)bW (b)a→W(d)a. Pour x∈d(OHn
C)c,y∈c(OHn
C)bet z∈b(OHn
C)aon a
xy =S(d, c, b)∧xdb ∧ydb,
(xy)z=S(d, b, a)∧S(d, c, b)∧xda ∧yda ∧zda,
yz =S(c, b, a)∧yca ∧zca,
x(yz) = S(d, c, a)∧xda ∧S(c, b, a)∧yda ∧zda,
où S(d, c, b)est le produit de (a1−a2)ajouté par les scissions de l’image par OF du
cobordisme W(d)cW (c)b→W(d)bet xdb est l’image de xpar ce cobordisme et de même
pour les autres éléments. On a donc un premier changement de signes pour faire permuter
xda avec S(c, b, a)et un second donné par le changement de chronologies
S(d, b, a)∧S(d, c, b) = ±S(d, c, a)∧S(c, b, a).
Ce second phénomène est illustré dans le prochain exemple.
47

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
Figure 2.8: A gauche on a (xy)zet à droite x(yz):xpermute avec le cobordisme de la
multiplication yz et donc avec les éléments engendrés par ses scissions.
Exemple 2.42. On considère les multiplications dans g
OH3



×


×=×
=−
et en réarrangeant les parenthèses
×


×


=×
=−.
On a donc un autre exemple de non-associativité mais qui est du à l’ordre dans lequel
on fait les scissions et fusions cette fois. Il est intéressant de noter que, comme le montre
l’exemple suivant, en utilisant une autre règle de multiplication on peut ne pas retrouver
la non-associativité de ces éléments. En fait, on retrouve le signe du à la permutation du
facteur de gauche dans toutes les règles mais le signe du au changement de chronologie
dépend du choix d’orientation des cobordismes et de leurs chronologies.
Exemple 2.43. On définit la règle de multiplication Cord comme celle où on donne l’ordre
usuel de gauche à droite pour les points de base et on oriente les scissions xiAxjsi dans le
diagramme Dide la procédure de construction de M(Cord )la composante Xipassant par
xiest plus petite dans l’ordre induit par les points de base que la composante Xjpassant
par xjet inversement pour xjAxj. Autrement dit si Xipasse par un point de base plus
petit que tous les points de base de Xjalors on prend l’orientation xiAxj.
48

2.5. Propriétés générales de OHn
C
On considère les multiplications suivante dans OH 3
Cord :



×Cord 


×Cord =×Cord
=−
et en réarrangeant les parenthèses
×Cord 


×Cord 


=×Cord
=−.
2.5.2 Comparaison de OHn
Cavec Hn
Les Exemples 1.17 et 2.22 montrent que OH1
C'H1puisque V∗Z'A{1}. Par contre,
la non-associativité montre que pour n≥2,Hn6=OH n
Cétant donné que Hnest associatif.
Par ailleurs, il est intéressant de noter que Hnet OHn
Csont équivalents en modulo 2,
montrant que OHn
Cest associatif modulo 2.
Proposition 2.44. Pour tout n∈N, on a l’équivalence modulo 2entre Hnet OHn
C
Hn⊗ZZ/2Z'OHn
C⊗ZZ/2Z.
Démonstration. L’idée de la preuve est très simple : le produit extérieur modulo 2corres-
pond avec le produit tensoriels des Amodulo 2et le foncteur OF est équivalent à Fen
modulo 2, donnant directement l’isomorphisme. Plus formellement pour une collection de
cercles {a1, . . . , am}dans un certain W(a)bon considère l’application
a(OHn)b⊗ZZ/2Z→A⊗m⊗ZZ/2Z'a(Hn)b⊗ZZ/2Z:
ai⊗17→ ¯ai⊗1 := 1 ⊗ · · · ⊗ 1
|{z }
i−1
⊗tai⊗1⊗ · · · ⊗ 1
| {z }
m−i
⊗1
qu’on étend linéairement et en envoyant le produit extérieur vers le produit tensoriel. Cela
est bien défini puisque
x∧y⊗1 = y∧x⊗ −1 = y∧x⊗1.
C’est clairement bijectif (on a même un inverse explicite qui consiste à envoyer le produit
tensoriel vers le produit extérieur) et donc cela forme un isomorphisme de groupes gradués.
Il reste à montrer qu’on respecte la multiplication pour avoir un isomorphisme d’anneaux
gradués. Pour cela, il suffit de montrer que les fusions et scissions (orientées ou non) sont
équivalentes modulo 2puisque l’ordre dans le produit extérieur n’a plus d’importance.
49

2. Constructions impaires des anneaux des arcs de Khovanov
C’est clair pour les fusions et pour les scissions on observe d’abord que l’orientation n’a
plus d’importance en modulo 2 et ensuite que
(a1−a2)∧x⊗1 = a1∧x⊗1 + a2∧x⊗17→ ¯a1⊗¯x⊗1 + ¯a2⊗¯x⊗1
ce qui est équivalent à la scission dans Hn.
50

3 Centre impair de OHn
Cet cohomologie
de la variété de Springer
Dans [Kho04], M. Khovanov montre que le centre de l’anneau Hnest isomorphe à l’an-
neau de cohomologie de la variété de Springer pour une partition (n, n)(voir Annexes,
Section A.5 pour une définition générale d’anneau de cohomologie). Dans ce chapitre, on
montre que de façon équivalente le centre impair de OHn
C, qui est le centre généralisé pour
des éléments anticommutatifs, est isomorphe à la construction impaire, "odd" en anglais,
de la cohomologie de la variété de Springer (n, n)introduite par A. Lauda et H. Russell
dans [LR14]. Ce chapitre ayant pour objectif de montrer un résultat assez complexe, il est
plus technique que les précédents.
3.1 Centre de Hnet variété de Springer
Définition 3.1. Soit Vun espace vectoriel complexe de dimension finie. Un drapeau est
une suite strictement croissante de sous-espaces de V:
{0}=V0⊂V1⊂ · · · ⊂ Vk=V.
Un drapeau est dit complet si pour tout 0≤i≤kon a
dim(Vi) = i.
Définition 3.2. Soient Enun espace vectoriel complexe de dimension 2net zn:En→En
un endomorphisme linéaire nilpotent composé de deux bloques de Jordan nilpotents de taille
n. La variété de Springer (n, n)est l’ensemble
Bn,n := {drapeaux complets dans Enstabilisés par zn},
un drapeau V0⊂ · · · ⊂ V2nétant stabilisé si znVi⊂Vipour tout 0≤i≤2n.
De façon générale, on peut définir une variété de Springer pour toute partition λ1+· · ·+λk
de nen prenant des bloques de taille λi, mais dans ce travail on ne considère que le cas
d’une partition de 2nen n+nqui est le cas relié à Hn. Dans [Kho04], M. Khovanov
calcule une présentation de l’anneau de cohomologie de cette variété et montre ensuite
qu’il est isomorphe au centre de Hn. Il donne en plus une construction explicite pour cet
isomorphisme.
Théorème 3.3. (M. Khovanov [Kho04, Théorème 1.1 et 1.2]) Le centre de Hn,Z(Hn),
est isomorphe en tant qu’anneau gradué à l’anneau de cohomologie de la variété de Sprin-
ger H(Bn,n). De plus, ils sont tous deux isomorphes au quotient de l’anneau polynomial
Z[X1, . . . , X2n],deg(Xi) = 2, par l’idéal engendré par
X2
i, i ∈[1,2n];
X
|I|=k
XI, k ∈[1,2n];
où XI=Xi1. . . Xikpour I={i1, . . . , ik}et où la somme est prise sur tous les sous-
ensembles de cardinalité kde [1,2n].
51

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Explicitement, cet isomorphisme est donné par
Xi7→ X
a∈Bn
a(Xi)a
où a(Xi)a= (−1)i1⊗(n−1) ⊗t∈A(n−1) ⊗Aavec le Aséparé étant celui associé à la
composante de cercle dans W(a)aqui contient le i−ème point de base en partant de la
gauche. Il montre de plus la propriété suivante qui sera utile par la suite.
Proposition 3.4. (M. Khovanov [Kho04, preuve du Théorème 3]) Un élément z∈Hnest
dans le centre si et seulement si
z=X
a∈Bn
za
avec za∈a(Hn)aet pour tout a, b ∈Bn
za.a1b=a1b.zb.
Par ailleurs, on peut montrer que le rang de l’anneau de cohomologie de la variété de
Springer, vue comme un groupe abélien, est le même que la dimension de l’espace vectoriel
obtenu en prenant le produit tensoriel par Z/2Z, ce qui revient à regarder les polynômes
avec des coefficients modulo 2 dans la présentation.
Proposition 3.5. On a l’égalité
rk H(Bn,n) = dimZ/2ZH(Bn,n)⊗ZZ/2Z.
En particulier, une base modulo 2 de H(Bn,n)est une base de H(Bn,n)⊗ZZ/2Z.
Démonstration. H(Bn,n)est un groupe abélien libre (de Concini et Procesi en construisent
une base dans [dCP81]), donc on a une base et donc elle donne une base pour l’espace
tensorisé. En effet toute relation dans l’espace tensorisé devient une relation dans le groupe
quitte à multiplier par des coefficients ±1.
3.2 Centre et centre impair de OH n
C
On s’intéresse maintenant à étudier le centre de OH n
Cpour le comparer à celui de Hn.
On remarque que le centre n’a pas les propriétés voulues pour continuer l’analogie avec le
cas de Hnet on introduit une notion de centre impair qui correspond au centre étendu
aux éléments anticommutatifs.
3.2.1 Centre de OHn
C
Proposition 3.6. Pour tout z∈Z(OH n
C)on a
z=X
a∈Bn
za
avec za∈a(OHn
C)a, c’est-à-dire Z(OHn
C)⊂La∈Bna(OHn
C)a.
Démonstration. On considère z∈OHn
Cun élément central. On peut décomposer cet élé-
ment z=Pa,b∈Bnazbavec azb∈a(OHn
C)b. Mais alors on a azb= (1az)1b= (z1a)1b= 0 si
a6=b, ce qui signifie que z=Paazaet on note za=aza.
52

3.2. Centre et centre impair de OHn
C
Proposition 3.7. Un élément z=Paza∈La∈Bna(OH n
C)aest dans Z(OHn
C)si et
seulement si
zab := za.a1b=a1b.zb=: z0
ab
avec a1b= 1{n} ∈ V∗V(W(a)b)et pour tout a, b ∈Bnet y∈a(OHn
C)bon a
zab ∧y=y∧zab.
Démonstration. Soit x=Pa,b∈Bnaxb∈OHn
C, on a
zx =X
a,b
za.axb,et xz =X
a,b
axb.zb.
Puisque les morphismes de modules obtenus par OF pour ces deux multiplications sont
respectivement les mêmes que ceux pour zaa 1bet a1bzbet qu’ils ne sont composés que de
fusions par la Proposition 2.21, on obtient
za.axb=zab ∧axb∈a(OHn
C)b,
axb.zb=axb∧z0
ab ∈a(OHn
C)b
On en conclut que
za.axb=axb.zb
quand on a les hypothèses de la suffisance en prenant y=axb.
Si zcommute avec tout élément, en particulier on doit avoir
za.a1b=z1a.a1b=za1b=a1bz=a1b.zb.
Par ailleurs pour tout y∈a(OHn
C)b, on peut trouver des ya+yb∈a(OHn
C)a⊕b(OHn
C)b
tels que ya.a1b=y=a1b.ybet l’hypothèse zy =yz donne la condition voulue. 
Corollaire 3.8. Un élément z=Pazaest dans le centre de OHn
Csi et seulement si pour
tout a, b ∈Bn
za.a1b=a1b.zb
et pour tout a∈Bnet y∈a(OHn
C)a
za∧y=y∧za.
Démonstration. Puisque a(OHn
C)a×a(OHn
C)bn’est composé que de fusions par la Propo-
sition 2.21, un élément homogène est soit envoyé soit sur 0soit sur un élément homogène
de la même longueur vu en tant que produit extérieur, c’est-à-dire que s’il commute dans
a(OHn
C)aalors il commute dans a(OHn
C)b, ce qui permet de restreindre la seconde condi-
tion de la proposition précédente. 
Remarque 3.9. On peut décomposer za=Pizi
aen une somme d’éléments homogènes
de degré i. Si zi
a=x1∧ · · · ∧ xmavec m < |W(a)a|=nalors la seconde condition de la
proposition est équivalente à deg(zi
a) = deg(a1a) mod 4 puisque cela signifie que mest
pair. Dans le cas où m=|W(a)b|alors la condition est toujours trivialement obtenue. En
particulier on sait que deg(a1a)=0et donc un élément du centre est une combinaison
linéaire d’éléments de degrés égaux à 0 modulo 4 et de degrés 2n.
53

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Lemme 3.10. Pour tout xa, x0
a∈a(OHn
C)a,xb, x0
b∈b(OHn
C)bet y∈a(OHn
C)bon a
(xay)xb=xa(yxb),
(xax0
a)y=xa(x0
ay),
(yxb)x0
b=y(xbx0
b).
Démonstration. La preuve est directe une fois qu’on a remarqué que toutes les multipli-
cations n’utilisent que des fusions par la Proposition 2.21 et que le produit extérieur est
associatif. 
Proposition 3.11. La sous-anneau du centre de OHn
Cest associatif.
Démonstration. On applique le Lemme 3.10 et la Proposition 3.6. 
Quelle que soit la règle de multiplication qu’on choisit, le centre de OHn
Cest le même.
Proposition 3.12. Pour Cet C0des règles de multiplications quelconques, on a l’isomor-
phisme d’anneaux gradués
Z(OHn
C)'Z(OHn
C0).
Démonstration. Les cobordismes pour définir les multiplications de la Proposition 3.8 ne
sont composés que de fusions et donc, puisqu’ils sont équivalents, ils ont la même image par
OF par la Proposition 2.14. On peut alors prendre l’isomorphisme induit par l’identification
de OHn
Cet OHn
C0au groupe abélien OHn.
Exemple 3.13. On calcule ZOH2
C.B2est composé des éléments
a=, b =,
qui donnent les collections de cercles
W(a)a=, W (a)b=,
W(b)a=, W (b)b=,
et on note a1le cercle extérieur de W(a)aet a2l’intérieur. De même, on note b1le cercle
de gauche de W(b)bet b2le droit, ainsi que c1et d1les cercles de W(a)bet W(b)a.
On considère z∈ZOH2
Cun élément central qui se décompose en z=Pa∈Bnzaavec
za=x0.1a+x1.a1+x2.a2+x3.a1∧a2∈aOH2
Ca,
zb=y0.1b+y1.b1+y2.b2+y3.b1∧b2∈bOH2
Cb.
54

3.2. Centre et centre impair de OHn
C
Cela se réécrit en calcul diagrammatique comme
za=x0.+x1.+x2.+x3.∈a(OH2
C)a,
zb=y0.+y1.+y2.+y3.∈b(OH2
C)b.
On applique la Proposition 3.8 afin d’obtenir des conditions sur les xiet yi. Puisque
l’anneau est gradué, on peut regarder les conditions de la proposition degré par degré.
1. Pour deg(z)=0:za=x0.1aet zb=y0.1b, on a
za.a1b=x0.×C=x0. ,
a1b.zb=×Cy0.=y0. ,
et donc x0=y0.
2. Pour deg(z) = 2 :za=x1.a1+x2.a2et zb=y1.b1+y2.b2, on a
za.a2=



x1.+x2.



×C=−x1. ,
a2.za=×C



x1.+x2.



=x1. ,
et donc x1= 0. Par des calculs similaires, on obtient x2=y1=y2= 0.
3. Pour deg(z)=4:za=x3.a1∧a2et zb=y3.b1∧b2et la proposition ne livre aucune
contrainte puisque
za.a1b=x3.×C= 0
et de même pour les autres équations.
55

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Dès lors on obtient que
Z(OH2
C) = {k.(1a+ 1b) + x.a1∧a2+y.b1∧b2|k , x, y ∈Z}.
Le centre de OHn
Cne remplit pas les critères souhaités pour continuer la discussion en
analogie avec le cas de Hn. En effet, on remarque que sa dimension graduée est différente
de celle du centre de Hn(et de l’anneau de cohomologie de la variété de Springer) :
dimqZ(H2)= 1 + 3q+ 2q26= 1 + 2q2= dimqZOH2
C.
On introduit alors dans la prochaine section le centre impair qui possède des propriétés
plus intéressantes et comparables à celles du centre de Hn.
3.2.2 Centre impair de OHn
C
Dans le cadre des superalgèbres, c’est-à-dire des algèbres graduées sur Z/2Z(voir[Var04,
Chapitre 3] pour plus de détails) on peut définir la notion de supercentre en fonction du
supercommutateur
[x, y] = xy −(−1)deg(x) deg(y)yx
pour x, y dans une superalgèbre Adonnant donc le supercentre
SZ (A) = {z∈ A|[z, x] = 0,∀x∈ A}.
Cette définition est aussi parfois utilisée en topologie algébrique, notamment dans [Hat02,
Section 3.2], de sorte que l’anneau de cohomologie soit "supercommutatif", dans ce cas on
l’appelle parfois tout simplement "commutatif", "skew-commutative", "anticommutative"
ou encore "graded commutative".
On propose d’étendre cette définition à OH n
Cet de calculer son "supercentre", qu’on
appelle centre impair, cela dans le but d’obtenir les éléments qui commutent "à antisymé-
trie" près. Pour ce faire, on définit le degré extérieur d’un élément homogène zde a(OHn
C)b
comme étant
p(z) := deg(z)−deg(a1b)
2=deg(z)−n+|W(b)a|
2
et on remarque aisément que p(z)est le nombre de facteurs du produit extérieur qui
constitue z, c’est-à-dire que
p(a1∧ · · · ∧ am) = m.
Définition 3.14. On définit le centre impair de OH n
Ccomme
OZ(OHn
C) = {z∈OHn
C|zx = (−1)p(x)p(z)xz, ∀x∈OHn
C}.
Remarque 3.15. Il faut faire attention que OHn
Cn’est pas une superalgèbre pour le degré
extérieur. En effet, on peut avoir
p(z1z2)6=p(z1) + p(z2) mod 2.
Par exemple, on prend le produit suivant dans g
OH2avec à gauche des degrés extérieurs
valant 1et 0et valant 2à droite :
×=−
56

3.2. Centre et centre impair de OHn
C
On ne peut pas non plus prendre simplement le degré divisé par 2pour obtenir le "degré
impair" puisqu’on obtiendrait des degrés non-entiers pour des éléments dans W(b)possé-
dant un nombre de composantes de parité différente de n. Par contre, on peut montrer que
La∈Bna(OHn
C)a⊂OHn
Cest une superalgèbre pour le degré extérieur modulo 2 car alors
on a la relation p(x) = deg(x)/2.
Proposition 3.16. Pour tout z∈OZ (OH n
C)on a
z=X
a∈Bn
za
avec za∈a(OHn
C)ac’est-à-dire OZ(OHn
C)⊂La∈Bna(OHn
C)a.
Démonstration. La preuve est similaire à celle de la Proposition 3.6 pour le centre. 
Proposition 3.17. Le centre impair OZ(OHn
C)est un sous-anneau associatif.
Démonstration. L’associativité est directe par le Lemme 3.10 et la Proposition 3.16. Par
ailleurs, il est clair que le centre impair est stable pour l’addition et donc on ne considère
que la multiplication. Pour cela, on remarque d’abord que si x1, x2∈a(OHn
C)aalors
p(x1x2)≡p(x1) + p(x2) mod 2
puisque la multiplication est juste donnée par le produit extérieur. De là on généralise
facilement par la Proposition 3.16 que pour tout z1, z2∈OZ (OH n
C)on a de même
p(z1z2)≡p(z1) + p(z2) mod 2.
Soient z1, z2∈OZ(OHn
C), on obtient pour tout x∈OHn
C
(z1z2)x=z1(z2x)
= (−1)p(z2)p(x)z1(xz2)
= (−1)p(z2)p(x)(z1x)z2
= (−1)p(z1)p(x)(−1)p(z2)p(x)(xz1)z2
= (−1)(p(z1)+p(z2))p(x)x(z1z2)
et par ce qu’on a montré juste au dessus p(z1z2) = p(z1) + p(z2) mod 2, donc
(−1)p(z1z2)p(x)= (−1)(p(z1)+p(z2))p(x),
ce qui livre la supercommutativité de z1z2.
Proposition 3.18. Un élément z=Pazaest dans OZ (OH n
C)si et seulement si
zaa1b=a1bzb(3.1)
pour tout a, b ∈Bn.
Démonstration. La preuve est similaire à celle de la Proposition 3.7, si ce n’est qu’on
obtient l’anticommutativité par antisymétrie du produit extérieur. Il faut aussi remarquer
que
p(za.a1b) = p(za)
pour les mêmes raisons que dans la preuve de la Proposition 3.8, c’est-à-dire puisque toutes
les multiplications sont définies par des fusions qui ne changent pas la longueur d’un élément
du produit extérieur. 
57

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Remarque 3.19. En particulier, on a Z(OHn
C)⊂OZ(OHn
C)et, par la Remarque 3.9, les
éléments de degré extérieur pair ou maximal du centre impair constituent le centre.
Par analogie avec la Proposition 3.12, on obtient la proposition suivante :
Proposition 3.20. Soit Cet C0des règles de multiplication. Il y a un isomorphisme
d’anneaux gradués
OZ(OHn
C)'OZ(OHn
C0).
Démonstration. Les cobordismes pour définir les multiplications de la Proposition 3.18 ne
sont composés que de fusions et donc ont la même image par le foncteur OF .
Exemple 3.21. On calcule le centre impair de OH2
C. On rappelle que B2est donné par
a=, b =,
qui livrent les diagrammes
W(a)a=, W (a)b=,
W(b)a=, W (b)b=.
On prend un élément z=Pa∈Bnza∈OZ OH2
Cavec
za=x0.+x1.+x2.+x3.∈a(OH2
C)a,
zb=y0.+y1.+y2.+y3.∈b(OH2
C)b.
On applique la Proposition 3.18 pour trouver des contraintes sur les xiet yiet, puisque
l’anneau est gradué, on peut regarder la supercommutativité degré par degré.
1. Pour deg(z)=0:za=x0.1aet zb=y0.1b, on a
za.a1b=x0.×C=x0. ,
a1b.zb=×Cy0.=y0. ,
donc x0=y0.
58

3.2. Centre et centre impair de OHn
C
2. Pour deg(z)=2: on a




x1.+x2.



×C= (x1+x2). ,
×C



y1.+y2.



= (y1+y2). ,
et




y1.+y2.



×C= (y1+y2). ,
×C



x1.+x2.



= (x1+x2). ,
donc x1+x2=y1+y2qui se réécrit comme
y2=x1+x2−y1.
3. Pour deg(z) = 4 : la proposition ne livre aucune contrainte puisque
x3.×C=0= ×Cy3. ,
y3.×C=0= ×Cx3. .
Dès lors on obtient que
OZ(OH2
C) = {k.(1a+ 1b)
+x1(a1+b2) + x2(a2+b2) + y1(b1−b2)
+x3.a1∧a2+y3.b1∧b2|k, x1, x2, x3, y1, y3∈Z},
avec comme prévu Z(OH2
C)⊂OZ(OH2
C)ainsi que
rkqOZ OH 2
C= 1 + 3q+ 2q2= rkqZ(H2).
59

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
3.3 Construction impaire de la cohomologie de la variété de
Springer
Dans [LR14], A. Lauda et H. Russell proposent une construction impaire de l’anneau de
cohomologie de la variété de Springer Bn,n (et même pour toute partition) basée sur les
polynômes impairs
OP ol2n:= Zhx1, . . . , x2ni
hxixj+xjxi= 0 pour tout i6=ji,
où Zhx1, . . . , xnisont les polynômes ordonnés avec degré deg(xi) = 2, formant donc un
module gradué sur Z. L’objectif de cette section est de définir et étudier quelques proprié-
tés de cette construction qu’on note simplement "cohomologie impaire de Bn,n" pour être
concis.
Définition 3.22. On définit la cohomologie impaire de la variété de Springer (n, n)comme
étant le module gradué sur O P ol2n
OH(Bn,n) := O P ol2n/OIn
où OInest l’idéal à gauche engendré par l’ensemble OCn
OCn:= 

I
r:= X
1≤i1<···<ir≤2n
xI
i1. . . xI
irk∈[1, n],|I|=n+k, r ∈[n−k+ 1, n +k]


(3.2)
pour tout Isous-ensemble ordonné de {1,...,2n}de cardinalité n+ket
xI
ij:= (0si ij/∈I,
(−1)I(ij)−1xijsinon,
avec I(ij)la position de ijdans I.
Exemple 3.23. OH(B1,1)est donné par les polynômes impairs à deux variables x1et x2
quotientés par les relations
x1−x2= 0,
x1x2= 0,
c’est-à-dire les polynômes avec une seule variable tet t2= 0 donnant donc
OH(B1,1)'Z[t]
t2'OH1
C=OZ OH 1
C.
Exemple 3.24. OH(B2,2)est donné par les polynômes impairs à quatre variables x1, x2, x3
et x4quotientés par les relations
x1−x2+x3−x4= 0,
−xixj+xixk−xjxk= 0 ∀i < j < k ∈[1,4],
−x1x2+x1x3−x1x4−x2x3+x2x4−x3x4= 0,
xixjxk= 0 ∀i < j < k ∈[1,4],
−x1x2x3+x1x2x4−x1x3x4+x2x3x4= 0,
x1x2x3x4= 0,
60

3.3. Construction impaire de la cohomologie de la variété de Springer
qui peuvent se simplifier un peu en
x1−x2+x3−x4= 0,
−xixj+xixk−xjxk= 0 ∀i < j < k ∈[1,4],
−x1x2−x3x4= 0,
xixjxk= 0 ∀i < j < k ∈[1,4],
x1x2x3x4= 0.
On peut donc engendrer OH (B2,2)avec 1, x1, x2, x3, x1x2et x1x3car
x4=x1−x2+x3,
x1x4=x1(x1−x2+x3) = −x1x2+x1x3, x2x3=−x1x2+x1x3,
x2x4=−x1x2+x1x4, x3x4=−x1x2,
et tous les polynômes de degrés supérieurs sont nuls. De plus ces éléments sont linéairement
indépendants, ce qui est clair pour 1, x1, x2, x3mais peut-être moins pour x1x2et x1x3.
Néanmoins, la Proposition 3.28 permet de le justifier. On observe alors qu’en envoyant
17→ +, x17→ +,
x27→ +, x37→ +,
x1x27→ , x1x37→ ,
on obtient un isomorphisme de groupes OH(B2,2)'ab OZ(g
OH2)car en utilisant les
notations de l’Exemple 3.21 on a
a1+b2= (a1+b1)−(a2+b1)+(a2+b2), b1−b2= (a2+b1)−(a2+b2),
a1+b1= (a1+b2)−(b1−b2), a2+b1= (a2+b2)+(b1−b2).
On montre ensuite par de simples calculs dans g
OH2que les relations de OH(B2,2)sont
dans le noyau de l’application, de sorte que l’isomorphisme de groupe soit un isomor-
phisme d’anneaux gradués bien défini par l’anticommutativité du produit extérieur et des
polynômes impairs.
Remarque 3.25. On note que tout polynôme de degré strictement plus grand que ndans
OH(Bn,n)est nul puisqu’en prenant Iqui contient exactement les variables du polynôme
et r=|I|on obtient n’importe quel polynôme de tel degré.
En général, la cohomologie impaire de la variété de Springer pour une partition quel-
conque n’est pas un anneau et est donc juste un module sur OP ol2n. Mais puisque la
hauteur de la partition (n, n)est de deux, on a le lemme suivant qui permet de montrer
que pour cette partition particulière la cohomologie impaire donne un anneau.
61

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Lemme 3.26. ([LR14, Lemme 3.6]) Pour tout i∈[1,2n], on a
x2
i∈OIn.
Proposition 3.27. OH (Bn,n )possède une structure d’anneau induite par la structure
d’anneau des polynômes impairs.
Démonstration. Il suffit de calculer que l’idéal à droite engendré par OCnest égal à l’idéal
à gauche OIn, c’est-à-dire que
OCn.OP ol2n=O P ol2n.OCn=OIn.
Soient i∈[1,2n], k ∈[1, n]et r∈[n−k+ 1, n +k]. On considère
I
r.xi∈OCn.OP ol2n.
Si r= 0 mod 2, alors xicommute avec tous les éléments de I
rqui ne contiennent pas de
xi, mais on peut obtenir un signe pour les autres. On élimine ces termes par le Lemme
3.26. Dans le cas impair, on a envie de prendre −xi.I
r∈OP ol2n.OCn, mais cela ne marche
pas en général puisque, à nouveau, les termes de I
rcontenant un xiposent problème car
commutent sans changer de signe. Par le même raisonnement, on corrige cela en utilisant
le lemme. 
L’anneau de cohomologie et la cohomologie impaire de la variété de Springer sont sem-
blables en tant que groupes, comme le montre la proposition suivante :
Proposition 3.28. ([LR14, Théorème 3.8 et Corollaire 3.9]) H(Bn,n )et OH(Bn,n)sont
des groupes abéliens libres gradués de même rang et ce rang est donné par le coefficient
binomial quantique (voir Section A.2 des Annexes)
rkq(H(Bn,n)) = rkq(OH(Bn,n )) = 2n
nq
.
En particulier on a donc
rk(H(Bn,n)) = rk(OH(Bn,n )) = 2n
n.
On note OB une certaine base monomiale de OH (Bn,n)et Bla base correspondante de
H(Bn,n), la construction de ces bases étant expliquée dans [LR14] et [dCP81]. Elles se
correspondent dans le sens où les monômes qui constituent OB sont les même que ceux de
B. De plus, on a un isomorphisme d’espaces vectoriels gradués
OH(Bn,n)⊗ZZ/2Z'H(Bn,n )⊗ZZ/2Z
qui fait se correspondre les projections de Bet de OB dans le produit tensoriel, notés BZ2
et OBZ2.
Proposition 3.29. On a l’égalité
rk OH(Bn,n) = dimZ/2ZOH(Bn,n)⊗ZZ/2Z.
En particulier, une base modulo 2 de OH(Bn,n)est une base de OH(Bn,n)⊗ZZ/2Z.
Démonstration. On utilise les mêmes arguments que pour la Proposition 3.5. 
62

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
3.4 Isomorphisme entre OZ (OH n
C)et OH (Bn,n)
Cette section est dédiée à la preuve du résultat principal du chapitre qui consiste à
construire un isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n).
Théorème 3.30. Le centre impair de OHn
Cest isomorphe en tant qu’anneau gradué à
la construction impaire de l’anneau de cohomologie de la variété de Springer pour une
partition (n, n)
OZ(OHn
C)'OH(Bn,n).
Par analogie à la construction explicite de l’isomorphisme du Théorème 3.3, on propose
de définir un homomorphisme
s:OH(Bn,n)→OZ(OHn
C)
similaire et adapté pour nos besoins qui induit le même homomorphisme en modulo 2. On
construit dans un premier temps cet homomorphisme en le définissant sur les polynômes
impairs et puis en montrant que les éléments de l’idéal par lequel on quotiente pour définir
OH(Bn,n)sont dans le noyau, de sorte à obtenir le morphisme induit s. On montre dans
un second temps que cet homomorphisme est injectif en montrant que si on a une relation
dans l’image de la base de OH(Bn,n)elle remonte à une relation dans la base. Enfin on
montre qu’on a l’égalité des rangs de OZ(OHn
C)et de OH(Bn,n)en regardant ces anneaux
comme des groupes abéliens libres, donnant la surjectivité et concluant la preuve.
3.4.1 Définition de l’homomorphisme s
On définit d’abord le morphisme d’anneaux gradués suivant :
s0:OP ol2n→OH n
C:xi7→ X
a∈Bn
ai
avec ai∈a(OHn
C)ala composante de cercle de W(a)aqui touche le i-ème point de base à
partir de la gauche. On remarque que, par définition du produit dans OHn
C, on a
s0(xixj) = X
a∈Bn
ai!. X
a∈Bn
aj!=X
a∈Bn
ai∧aj
et donc en général
s0(xi1. . . xir) = X
a∈Bn
ai1∧ · · · ∧ air.(3.3)
Ceci montre que s0est un morphisme d’anneau et qu’il est bien défini puisqu’on retrouve
l’antisymétrie des polynômes impairs dans le produit extérieur.
Lemme 3.31. L’image de s0est dans le centre impair de OHn
C
s0(OP ol2n)⊂OZ (OH n
C).
Démonstration. On utilise la Proposition 3.18. Pour tout a, b ∈Bnon a l’égalité
(s0(xi)) a1b=a1b(s0(xi))
car pour effectuer les produits on fusionne ensemble les composantes de W(a)aet W(b)bqui
passent par le i-ème point de base. L’image de xipar s0étant la somme de ces composantes,
on obtient l’égalité voulue. On étend ensuite à tout le domaine puisque le centre impair
est un sous-anneau de OHn
Cet que s0est un homomorphisme d’anneaux. 
63

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
On a donc un homomorphisme
s0:OP ol2n→OZ (OH n
C)
et il nous reste à montrer que I
rest dans son noyau pour tout Iet pour tout rde sorte
à induire un morphisme s:OH(Bn,n)→OZ(OHn
C). On remarque que l’image de I
rest
nulle dans OZ(OHn
C)si et seulement si elle est nulle dans chacun des a(OHn
C)apuisque
son image est dans la somme directe de ceux-ci. Pour a∈Bn, on note sa:xi7→ ai
la projection de ssur a(OHn
C)ade sorte que s=Pasaet on remarque aisément que
cela forme un morphisme d’anneaux gradués pour les même raisons que pour s0. Afin de
montrer le résultat voulu, on introduit les notations et lemmes suivants.
Lemme 3.32. Pour tout a∈Bn,Isous-ensemble ordonné de {1,...,2n}de cardinalité
n+ket r > n, on a
sa(I
r)=0.
Démonstration. Puisqu’il y a ncomposantes dans W(a)a, le produit extérieur est engendré
par néléments et donc tout produit de plus de néléments est nul. Or I
rétant une somme
de polynômes à plus de ntermes, ils sont envoyés par sasur des produits extérieurs de
plus de néléments par (3.3). 
Pour la suite du raisonnement, on se fixe un a∈Bnarbitraire afin de ne pas devoir le
mettre comme hypothèse dans chacun des lemmes. Dans le but d’alléger l’écriture, on note
aussi E2n:= {1,...,2n}vu comme ensemble ordonné. On peut alors voir un sous-ensemble
(ordonné) de E2ncomme un sous-ensemble des points d’extrémités des arcs de a.
Définition 3.33. Pour I⊂E2n, on appelle arcs de Iles paires de points de Iqui sont
identifiées aux extrémités d’un même arc de aet on appelle ces points les points non-libres
(de I). On appelle tous les autres points des points libres (donc les points de Idont l’autre
extrémité de l’arc de an’est pas dans I), comme illustré en Figure 3.1.
Figure 3.1: On prend n= 6, k = 3 et I={1,2,3,5,7,8,9,11,12}(représentés par les
cercles rouge) avec {5,7,11}les points libres de Iet {1,2,3,8,9,12}les points
non-libres, les arcs de Iétant en rouge.
Lemme 3.34. Soient I⊂E2n. Si |I|=n+k, alors Ipossède au moins karcs et 2kpoints
non-libres ainsi qu’au plus n−kpoints libres.
Démonstration. On doit choisir n+kpoints parmi 2nrépartis en npaires pour les narcs,
donc on a au moins kcollisions (c’est-à-dire paires de points appartenant à un même arc).
Chaque arc ayant deux extrémités et puisqu’on a au minimum karcs, on a au moins 2k
points non-libres. Le nombre de points libres est obtenu en prenant la différence du nombre
total de points de Iet du nombre de points non-libres, donc on obtient bien un maximum
de n+k−2k=n−kpoints libres. 
64

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Pour I⊂E2net R={i1, . . . , ir} ⊂ Iun sous-ensemble ordonné on pose
I
R:= xI
i1. . . xI
ir.
Cette notation donne, en prenant la somme sur tous les sous-ensemble ordonnés de I,
I
r=X
R⊂I
I
R.(3.4)
Lemme 3.35. Soient R⊂I⊂E2n. Si Rcontient un arc de I, alors
sa(I
R)=0.
Démonstration. On observe que si i, i0∈E2nsont reliés par un arc dans a, alors
sa(xixi0) = ai∧ai0= 0
puisque ai=ai0. On généralise ensuite et on obtient le résultat par anticommutativité. 
Lemme 3.36. Pour tout R⊂I⊂E2n, avec |I|=n+ket |R| ≥ n−k+ 1, il existe un
point non-libre de Icontenu dans R.
Démonstration. C’est un simple argument de comptage : par le Lemme 3.34 il y au maxi-
mum n−kpoints libres dans Iet par hypothèse Rcontient au minimum n−k+ 1 points. 
Définition 3.37. On suppose R⊂I⊂E2nfixé. Pour un arc (j, j 0)de Iayant une
extrémité jou j0dans R, on considère la somme des nombres de
– points libres de Isitués entre jet j0non-contenus dans R,
– points non-libres de Isitués entre jet j0et contenus dans R.
On appelle parité de l’arc (j, j 0)la parité de cette somme.
On peut calculer la parité d’un arc de Ipour Ren fonction de ses sous-arcs maximaux
ayant une extrémité dans R, c’est-à-dire les sous-arcs contenus dans aucun autre sous-arc
ayant une extrémité dans R.
Lemme 3.38. Soient R⊂I⊂E2n. Si Rne contient aucun arc de I, alors la parité d’un
arc de Iayant une extrémité dans Rest donnée par la somme des parités inverses des
sous-arcs maximaux ayant une extrémité dans Ret de la parité du nombre de points libres
de Inon-contenus dans Rqui ne sont pas dans ces sous-arcs.
Démonstration. Tous les points contenus dans les sous-arcs sont dans l’arc et, Rne pouvant
contenir deux extrémités d’un même arc, chaque sous-arc considéré ajoute un point non-
libre contenu dans R, inversant la parité. 
Lemme 3.39. Soient R⊂I⊂E2n. Soient aussi (j, j0)un arc de Iavec j(resp. j0) dans
Ret R0obtenu en retirant j(resp. j0) de Ret ajoutant j0(resp. j). Si (j, j0)est pair alors
on obtient
saI
R=−saI
R0.
Avant de montrer ce résultat un peu technique, on propose un exemple afin de clarifier
le raisonnement.
65

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Figure 3.2: On prend Ireprésenté par les cercles rouge. On prend en plus R⊂Ire-
présenté par les croix rouge. Par ailleurs on note Ail’arc qui appartient à la
i-ème composante de W(a)apour l’ordre induit par les points de bases.
Exemple 3.40. On prend a∈B6comme dans la Figure 3.2 ainsi que n= 6, k = 3, r = 4,
I={1,2,3,5,7,8,9,11,12}et R={5,8,9,11} ⊂ I. On a donc {5,7,11}les points libres
de Iet {1,2,3,8,9,12}les points non-libres donnant les arcs de I: (1,8),(2,3) et (9,12).
On obtient le terme I
R= (−x5)(−x8)x9(−x11)de I
r, les signes étant dus à la position
des points dans I, qui a comme image dans a(OHn
C)a
sa(I
R) = sa(−x5)(−x8)x9(−x11)= (−A4)∧(−A1)∧A5∧(−A6)
où Aiest la i-ème composante de cercle de W(a)apour l’ordre induit par les points de
base, comme illustré en Figure 3.2 (on prend des majuscules dans cet exemple pour ne
pas confondre avec les aiqui définissent s0, dans le cas de la figure on a par exemple
a4=a7=A3). Puisque Rcontient 8et 9comme points non-libres, on regarde la parité
des arcs :
–(1,8) : impair car il contient juste 7 comme point libre de Inon-contenu dans Ret
aucun non-libre contenu dans R,
–(9,12) : pair car il ne contient aucun des points recherchés.
On vérifie qu’en effet l’élément I
R0avec R0qui est donné par Roù on échange 9avec 12,
c’est-à-dire l’élément (−x5)(−x8)(−x11)x12, donne l’image
sa(I
R0)=(−A4)∧(−A1)∧(−A6)∧A5=−(−A4)∧(−A1)∧A5∧(−A6)=−sa(I
R).
Par contre si on échange 8avec 1on obtient comme image A1∧(−A4)∧A5∧(−A6)qui
est la même que celle de I
Rmais qui s’annule avec l’élément où on échange 8avec 1et 9
avec 12. Au final, la somme de toutes les possibilités d’échanges des points non-libres de
Rest donc nulle.
Démonstration. (du Lemme 3.39) On montre le résultat par récurrence sur la taille de Iet
de R. En effet, on suppose que Icontient un arc (i, i0)avec aucun autre point de Icompris
entre ses extrémités et qui possède donc trivialement un nombre pair de points recherchés.
On a alors un changement de signes induit par la position dans I(iet i0sont côte à côte
dans I, donc xI
iest de signe opposé à xI
i0), tandis que aiet ai0sont à la même position dans
l’expression de l’image, ne changeant pas de signe. Au total, on a donc un changement de
signe comme voulu. On a maintenant cinq cas à considérer :
1. On ajoute un point libre compris entre iet i0àIet R.
2. On ajoute un point libre compris entre iet i0seulement à I.
3. On ajoute un arc compris entre iet i0dans Iet une de ses deux extrémités dans R.
4. On ajoute un arc compris entre iet i0dans Iavec aucune de ses extrémités dans R.
5. On ajoute un arc compris entre iet i0dans Iet dans R.
66

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Le premier cas n’induit pas de changement de signe puisque i0est décalé d’une position
vers la droite par rapport à i, impliquant un premier changement de signe, et que l’élément
ajouté étant dans Ril apparait aussi dans le produit. Commuter avec cet élément implique
donc un second changement de signe donnant une égalité au final. Par contre, le deuxième
cas induit un changement de signe puisqu’on conserve le changement par la position dans
Imais qu’on ne retrouve plus l’élément avec lequel on doit commuter dans Ret donc dans
le produit. Le troisième cas induit aussi un changement puisqu’on ajoute 2éléments dans
I, ne modifiant donc pas le signe, mais qu’on ajoute un seul élément dans Rimpliquant
une commutation dans le produit. Le quatrième cas ne change pas non plus le signe par
des arguments semblables. Enfin, pour le cinquième cas, alors Rcontient un arc de Iet
la solution devient triviale par le Lemme 3.35. Au final, le signe n’est donc influencé que
par les deuxième et troisième cas qui sont les points considérés pour définir la parité d’un
arc. 
Lemme 3.41. Soient R⊂I⊂E2navec |I|=n+ket n−k+ 1 ≤ |R| ≤ n. Si Rne
contient aucun arc de I, alors il existe un arc de Iayant une extrémité dans Ret de parité
paire.
Démonstration. Tout d’abord, par le Lemme 3.36 il existe un arc de Iayant une extrémité
dans R. On suppose par l’absurde qu’il n’existe pas d’arc rencontrant Ret ayant une parité
pair et donc que tout arc de Iayant une extrémité dans Rest impair. Si on pose l≥1le
nombre de points non-libres de Icontenus dans R, on observe qu’il y a au moins n−k−l+1
points libres dans R. Par le Lemme 3.38, la parité d’un arc ne dépend pas de ses sous-arcs
(ils sont tous impairs induisant une parité paire) et il faut donc pour chaque arc au moins
un point libre non-contenu qui ne se trouve dans aucun des sous-arcs pour obtenir une
parité impaire. De là on déduit qu’il y a au moins autant de points libres non-contenus
dans Rque d’arcs de Iayant une extrémité dans R. On a donc lpoints libres de Iqui ne
sont pas contenus dans R, laissant un maximum de n−k−lpoints libres restants par le
Lemme 3.34. Or Rdoit en contenir au moins n−k−l+ 1, ce qui est absurde. 
Maintenant qu’on a tous les outils nécessaires, on peut démontrer le résultat voulu donné
par la proposition suivante :
Proposition 3.42. Pour tout a∈Bn,k∈[1, n]et r≥n−k+ 1 ainsi que pour tout
I⊂E2nde cardinalité n+k, on a
sa(I
r)=0.
Démonstration. Tout d’abord, par le Lemme 3.32, on peut supposer que r≤n. L’idée de
la preuve est de montrer que tous les termes s0(I
R)qui composent l’image s0(I
r)par (3.4)
et qui ne sont pas annulés par le Lemme 3.35 s’annulent deux à deux en utilisant le Lemme
3.39. On peut donc supposer que Rne contient pas d’arc de I. Par le Lemme 3.41, il existe
un arc de Ipair pour Ret donc on peut appliquer le Lemme 3.39 pour l’annuler avec R0.
Cela permet d’annuler tous les autre termes puisque, étant donné un Ravec un arc pair
(j, j0), pour tout autre R2obtenu à partir de Ren échangeant un point non-libre (différent
de jet j0) avec l’autre extrémité de l’arc, on peut appliquer le Lemme 3.39 dessus aussi
pour l’annuler avec R0
2obtenu en échangeant jet j0et que tout ces ensembles donnent des
I
Rdifférents. 
Corollaire 3.43. Il existe un morphisme d’anneaux gradués induit par s0
s:OH(Bn,n)→OZ(OHn
C) : xi7→ X
a∈Bn
ai.
67

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
3.4.2 Injectivité de l’homomorphisme s
Lemme 3.44. Le morphisme d’anneaux
¯s:OH(Bn,n)⊗ZZ/2Z→OZ(OH n
C)⊗ZZ/2Z
induit par ssur le produit tensoriel avec Z/2Zest un isomorphisme.
Démonstration. On a un isomorphisme d’anneaux
Hn⊗ZZ/2Z'OHn
C⊗ZZ/2Z
en envoyant le produit tensoriel d’éléments de Avers le produit extérieur, comme dans la
preuve de la Proposition 2.44. Le centre de Hnet le centre impair de OHn
Cétant caracté-
risés par la même relation (3.1) une fois prise en modulo 2, on obtient un isomorphismes
d’anneaux gradués
t:Z(Hn)⊗ZZ/2Z→OZ(OHn
C)⊗ZZ/2Z.
On considère ensuite le diagramme commutatif de morphismes d’anneaux suivant
OH(Bn,n)⊗ZZ/2Z'//
¯s

H(Bn,n)⊗ZZ/2Z
h

OZ(OHn
C)⊗ZZ/2ZZ(Hn)⊗ZZ/2Z
t
oo
avec l’isomorphisme de droite venant du Théorème 3.3 et celui du haut de la Proposition
3.28. Le diagramme commute car sest équivalent modulo 2 à l’isomorphisme de droite.
On en conclut que ¯sest un isomorphisme. 
Proposition 3.45. Le morphisme sdu Corollaire 3.43 est injectif.
Démonstration. On note OB la base de OH(Bn,n)de la Proposition 3.28. On suppose
par l’absurde que sne soit pas injectif, c’est-à-dire qu’il existe une combinaison linéaire
non-nulle d’éléments de OB,Px∈OB x, envoyée sur 0par s
X
x∈OB
s(x)=0∈OZ(OHn
C).
L’idée de la preuve est d’utiliser l’isomorphisme du lemme précédent et la conservation de
la base OB sous le produit produit tensoriel avec Z/2Zpour obtenir une relation dans les
éléments d’une base de OH(Bn,n)⊗Z/2Z, c’est-à-dire une combinaisons linéaire non-nulle
d’éléments de cette base donnant 0, ce qui est absurde par définition. On obtient cela en
passant par le produit tensoriel avec Z/2Z, comme illustré par les diagrammes suivants
OH(Bn,n)
s

p⊗Z/2Z//OH(Bn,n)⊗Z/2Z
¯s

Px∈OB x

Px∈OB x⊗1=0
OZ(OHn
C)p⊗Z/2Z
//OZ(OHn
C)⊗Z/2ZPx∈OB s(x)=0 //Px∈OB ¯s(x⊗1) = 0
OO
où le diagramme de gauche commute et le diagramme de droite représente le chemin de
raisonnement parcouru.
68

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
On considère l’image de la combinaison linéaire en modulo 2, c’est-à-dire sa projection
dans le produit tensoriel avec Z/2Z, donnant
X
x∈OB
¯s(x⊗1) = 0 ∈OZ(OHn
C)⊗Z/2Z
puisque 0est projeté sur 0et que le diagramme de gauche commute. Par le lemme précédent
¯sest un isomorphisme, impliquant que
X
x∈OB
x⊗1=0∈OH(Bn,n)⊗ZZ/2Z.
On obtient donc une relation dans OBZ2qui est une base par la Proposition 3.29. 
3.4.3 Égalité des rangs de OZ (OH n
C)et OH (Bn,n)
Dans la preuve du Théorème 3.3, M. Khovanov construit une variété e
Sà partir de
sphères. Il montre que son anneau de cohomologie est isomorphe au centre de Hnet
qu’il possède une présentation équivalente à celle de l’anneau de cohomologie de la variété
de Springer. On propose de construire une variété similaire, notée e
T, à partir de cercles
(donnant donc des algèbres extérieures comme anneau de cohomologie) et de montrer qu’il
existe un épimorphisme d’anneaux non-gradués de l’anneau de cohomologie de cette variété
vers le centre impair de OHn
C. Ensuite on calcule le rang de cet anneau de cohomologie et
on remarque qu’il est égal au rang de l’anneau de cohomologie impaire de Bn,n, donnant
l’égalité avec le rang du centre impaire et concluant la preuve.
Définition 3.46. Pour tout a∈Bn, on définit Ta⊂T2n:= S1× · · · × S1
| {z }
2n
tel que
(x1, . . . , x2n)∈Tasi et seulement si tout (i, j)reliés par un arc dans aimplique xi=xj.
On définit alors
e
T:= [
a∈Bn
Ta.
On remarque que Ta'Tnpuisque apossède narcs et donc on égalise npaires de xi
disjointes sur 2ndisponibles. De même, Ta∩Tbest l’ensemble des (x1, . . . , x2n)tels que si
(i, j)est relié dans aou dans balors xi=xjde sorte que si deux points k, l appartiennent
à la même composante de W(a)bon a xk=xl. Géométriquement, Ta∩Tbest donc un
hypertore T|W(a)b|, avec |W(a)b|le nombre de composantes de cercles, de sorte que e
Test
une collection d’hypertores Tnidentifié ensemble deux par deux sur des sous-hypertores
de dimensions inférieures donnés par les diagonales.
Exemple 3.47. Dans B2on considère
a=, b =, W (a)b=.
On obtient Ta={(x, x, y, y)|x, y ∈S1} ' T2, noté par abus de notation Ta= (x, x, y, y).
On obtient aussi Tb= (x, y, y, x)'T2et par conséquent Ta∩Tb= (x, x, x, x)'T1.
Visuellement, si on représente Taet Tbcomme des tores sous forme de rectangles où on
identifie les côtés opposés, on obtient la surface représentée sur la Figure 3.3, c’est-à-dire
que Ta∪Tbest l’union de deux tores dont on identifie ensemble les diagonales.
69

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Figure 3.3: Taet Tbsont donnés par des tores de dimension 2et Ta∩Tbest un sous-
hypertore (en rouge) de dimension 1, donc un cercle, défini en prenant la
diagonale le long des composantes (les flèches) de Ta(et Tb) qu’on égalise.
Exemple 3.48. Dans B3on considère les éléments
a=, b =, c =.
On obtient alors par exemple les diagrammes
W(b)a=, W (c)a=.
On calcule que Ta= (x, y, z, z, y, x)'T3et Tb= (x, x, y , z, z, y)'T3impliquant que
Ta∩Tb= (x, x, x, x, x, x)'S1. Visuellement, on a pour Tareprésenté par la boite où on
identifie deux à deux les cotés opposés la Figure 3.4 avec l’intersection Ta∩Tben rouge.
Figure 3.4: Taest donné par un hypertore (en noir) de dimension n= 3 et Ta∩Tbest
un sous-hypertore (en rouge) de dimension |W(a)b|= 1 défini en prenant les
diagonales le long des composantes (les flèches) de Taqu’on égalise.
De même, on calcule Tc= (x, y, y, z, z, x)et donc Ta∩Tc= (x, y, y, y, y, x). On obtient
alors l’hypertore représenté en Figure 3.5 avec l’intersection Ta∩Tcen rouge.
70

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Figure 3.5: Taest donné par un hypertore (en noir) de dimension n= 3 et Ta∩Tcest
un sous-hypertore (en rouge) de dimension |W(a)c|= 2 défini en prenant les
diagonales le long des composantes (la flèche en pointillée et la flèche verticale)
de Taqu’on égalise.
En faisant pareil pour Tb∩Tc= (x, x, x, y, y, x), on calcule finalement que Ta∪Tb∪Tc
est donné par la Figure 3.6 où les éléments colorés sont identifiés ensemble deux à deux.
Figure 3.6: À gauche Ta, au milieu Tbet à droite Tcavec les éléments en couleurs identifiés
deux à deux afin d’obtenir Ta∪Tb∪Tc.
Lemme 3.49. On a un isomorphisme d’anneaux (non-gradués)
a(OHn
C)a'H(Ta)
et un isomorphisme de groupes (non-gradués)
a(OHn
C)b'ab H(Ta∩Tb).
De plus, en munissant a(OHn
C)bd’une structure d’anneau induite par l’isomorphisme de
groupe et en définissant
ψa;a,b :H(Ta)→H(Ta∩Tb),
ψb;a,b :H(Tb)→H(Ta∩Tb),
γa;a,b :a(OHn
C)a→a(OHn
C)b:x7→ xa1b,
γb;a,b :b(OHn
C)b→a(OHn
C)b:x7→ a1bx,
71

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
où les ψsont induit par inclusion de Ta∩Tbdans Taet Tb, on obtient le diagramme
commutatif de morphismes d’anneaux suivant :
H(Ta)ψa;a,b //
'

H(Ta∩Tb)
'

H(Tb)
ψb;a,b
oo
'

a(OHn
C)aγa;a,b //a(OHn
C)b b(OHn
C)b.
γb;a,b
oo
Démonstration. On sait par l’Exemple A.5.10 des Annexes que
H(Tk)'V∗Zk
avec chaque composante S1de Tk=S1× · · · × S1générant un élément de base du produit
extérieur par la formule de Kunneth (voir [Hat02, Théorème 3.15]) et donc on a
H(Ta)'H(Tn)'V∗Zn'a(OHn
C)a.
De même on a des isomorphismes de groupes
H(Ta∩Tb)'V∗Z|W(b)a|'ab a(OHn
C)b.
On calcule que ψa;a,b envoie un produit extérieur vers un autre en renommant les éléments
suivant les composantes de Taégalisées dans Ta∩Tbpuisque c’est le morphisme induit par
l’inclusion
T|W(b)a|→Tn
où on envoie chaque coordonnée de Ta∩Tbvers les coordonnées de Taégalisées pour former
Ta∩Tb. En effet, chaque composante S1de Tnengendrant un élément de base de H(Ta),
deux éléments de base sont égalisés si les composantes associées sont égalisées. Par ailleurs,
on sait que γa;a,b agit exactement de la même façon puisqu’on égalise les composantes de
cercles fusionnées. 
Définition 3.50. Soient des ensembles finis Iet Jainsi que des anneaux Aipour tout
i∈Iet Bjpour tout j∈Jet des morphismes βi,j :Ai→Bjpour certaines paires (i, j).
On note
β:= Xβi,j, β :Y
i∈I
Ai→Y
j∈J
Bj.
On définit l’égalisateur Eq(β)de βcomme le sous-anneau de Qi∈IAiqui consiste en les
(ai)i∈Itels que
βi,j(ai) = βk,j (ak)
dès que βi,j et βk,j sont définis.
Par la Proposition 3.16, on remarque que, si on pose γ:= Pa6=b∈Bnγa;a,b +γb;a,b, avec
Idonné par l’ensemble des a∈Bnet Jpar l’ensemble des paires (a, b), a 6=b∈Bn
tels que γc,(a,b)est défini si c=aou c=b, on obtient l’égalité OZ(OHn
C) = Eq(γ). Dès
lors, en posant de la même manière ψ:= Pa6=b∈Bnψa;a,b +ψb;a,b, on obtient le diagramme
commutatif de morphismes d’anneaux suivant :
Eq(ψ)//
'

L
a∈Bn
H(Ta)ψ//
'

L
a6=b∈Bn
H(Ta∩Tb)
'

Eq(γ)//L
a∈Bn
a(OHn
C)aγ//L
a6=b∈Bn
a(OHn
C)b
72

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
De plus, on a un morphisme H(e
T)→La∈BnH(Ta)induit par l’inclusion Ta→e
T
pour tout a. On considère alors τla composition de ce morphisme avec la projection de
La∈BnH(Ta)sur le sous-anneau Eq(γ)et on obtient le diagramme commutatif suivant :
H(e
T)τ//Eq(ψ)//
'

L
a∈Bn
H(Ta)ψ//
'

L
a6=b∈Bn
H(Ta∩Tb)
'

OZ(OHn
C)'//Eq(γ)//L
a∈Bn
a(OHn
C)aγ//L
a6=b∈Bn
a(OHn
C)b.
(3.5)
Jusque là, la preuve est équivalente à celle de M. Khovanov en remplaçant les sphères
par des cercles, sauf que maintenant on veut montrer que τest, non pas un isomorphisme,
mais un épimorphisme.
Définition 3.51. On dit qu’il y a une flèche a→bpour a, b ∈Bns’il existe un quadruplet
1≤i < j < k < l ≤2ntels que iest relié à jet kàldans aet iest relié à let jàkdans
b, ainsi que si tous les autres arcs sont les mêmes dans aet b. Visuellement, on a
−→ .
Exemple 3.52. Pour n= 3, on obtient toutes les flèches suivantes :
''
77
''>>
//
77
Définition 3.53. On définit un ordre partiel sur Bnen disant que a≺bs’il existe une
suite a=a0→a1→ · · · → am=b. On se fixe un ordre total arbitraire <à partir de cet
ordre partiel.
On définit aussi une notion de distance donnée par la distance sur le graphe non orienté
induit par les flèches, c’est-à-dire que d(a, b) = mpour mminimal tel qu’on a une suite
a=a0, a1, . . . , am=bavec soit ai→ai+1 soit ai+1 →aipour tout 0≤i<m.
Proposition 3.54. Le diagramme W(b)acontient exactement n−d(a, b)composantes de
cercles
|W(b)a|=n−d(a, b).
73

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Démonstration. Tout d’abord on note que si a→bou b→aalors il est clair que W(b)a
contient n−1composantes puisque les 4 arcs de la définition de flèche entre aet bappar-
tiennent à la même composante de W(b)a.
On doit avoir
|W(b)a| ≥ n−d(a, b)
car pour toute suite a=a0, . . . , am0=bavec ai→ai+1 ou ai+1 →aion a le cobordisme
W(a0)a1W(a1)a2. . . W (am0−1)am0→W(a0)am0
et à chaque étape
W(a0)aiW(ai)ai+1 →W(a0)ai+1
on change le nombre de composantes de ±1donc dans le pire des cas on fusionne m0
composantes.
On considère les karcs de aqui appartiennent à une même composante de W(b)aet on
construit une suite de avers a0avec tous ces arcs fusionnés, ce qui prend k−1étapes. On
peut faire ainsi pour chaque composante et on obtient alors une suite de aàbconstitué
de n− |W(b)a|étapes et donc d(a, b)≤n− |W(b)a|.
On pose T<a := Sb<a Tbet T≤a:= Sb≤aTb. On remarque que si cest le prochain élément
après adans l’ordre total sur Bnalors T<c =T≤a. Cela est utile par la suite pour faire des
preuves par induction.
M. Khovanov utilise les trois lemmes suivants ([Kho04, Lemmes 3.2-3.4]) pour sa preuve
mais qu’il laisse non démontrés. La preuve du premier étant fort technique et trouvable dans
les annexes de [Rus11, preuve de la Proposition 3.15], on n’en donne que l’idée principale
tandis qu’on démontre les deux autres pour le cas utilisant des tores.
Lemme 3.55. Pour tout a, b ∈Bnil existe c∈Bntel que d(a, b) = d(a, c) + d(c, b)et
ac≺b.
Démonstration. (idée) Tout d’abord, il faut observer que si on n’a pas de séquence minimale
a=a0, a1, . . . , am=bavec a1→a, alors on a une séquence a=a0→a1→ ·· · → am=b.
Toute la technicité de la preuve est contenue dans ce résultat qu’on accepte.
La preuve se fait par récurrence sur d(a, b). Si d(a, b)=1, alors soit a→b, soit b→aet
on prend c=aou c=b. On suppose maintenant que le lemme est vrai pour des distances
inférieures. Si on un chemin minimal a=a0, a1, . . . , am=btel que a1→aalors on prend le
cdonné par le lemme appliqué à a1et bet on remarque qu’il est correspond au crecherché
pour aet b. Sinon, par le résultat technique au dessus, on peut prendre c=a0.
Lemme 3.56. Pour tout a, b, c ∈Bntels que d(a, c) = d(a, b) + d(b, c)on a
Ta∩Tc=Ta∩Tb∩Tc.
Démonstration. On remarque que le corbordisme
W(a)bW (b)c→W(a)c
envoie n−d(a, b)+n−d(b, c)composantes de cercle vers n−d(a, c)composantes. Or, puisque
d(a, b) + d(b, c) = d(a, c), on doit éliminer et donc fusionner au moins ncomposantes.
Puisqu’on a nponts, on a exactement nfusions et donc deux points reliés par un arc de b
sont dans la même composante de W(a)cce qui est équivalent à l’assertion du lemme. 
74

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Lemme 3.57. Pour tout a∈Bn, on a
T<a ∩Ta=[
b→a
(Tb∩Ta).
Démonstration. Tout d’abord on observe que si c≺aalors il existe b→atel que c≺bet
par le Lemme 3.56 on obtient
Ta∩Tc=Ta∩Tb∩Tc⊂Ta∩Tb.
Ensuite, on prend c<aet par le Lemme 3.55 il existe dtel que d≺aet d≺cainsi que
d(a, c) = d(a, d) + d(d, c). Par le Lemme 3.56 on obtient
Ta∩Tc=Ta∩Td∩Tc⊂Ta∩Td⊂Ta∩Tb
pour un certain b→a.
Le lemme suivant est adapté de [Kho04, Lemme 3.5] avec comme différence que la décom-
position utilise des cellules de toutes dimensions au lieu de cellules de dimensions paires.
On renvoie à la Section A.6 des Annexes pour une définition d’une décomposition cellulaire.
Lemme 3.58. Il existe une décomposition cellulaire de Taqui se restreint en une décom-
position cellulaire de T<a ∩Ta.
Démonstration. On note Il’ensemble des arcs de ade sorte qu’on ait un homéomorphisme
Ta'T|I|. On définit Γle graphe non-orienté obtenu en prenant comme sommets l’ensemble
Iet en posant que deux arcs yet zsont reliés s’il existe b→atel que best obtenu à partir
de aen effaçant yet zet en reconnectant les 4 points extrémités de ces arcs d’une façon
différente. Une façon similaire de voir que deux arcs sont reliés est si l’un est contenu dans
l’autre et qu’il n’y a pas d’arc intermédiaire. Γest alors une union disjointe d’arbres. Un
exemple de graphe Γpour un élément de B6est donné en Figure 3.7.
Figure 3.7: Un élément de B6et son graphe Γ.
On pose El’ensemble des arêtes de Γ. Dans chaque arbre de Γ, on choisit un sommet
qu’on marque et on note Ml’ensemble des sommets marqués (qui contient donc autant
d’éléments que d’arbres dans Γ). On remarque alors que |E|+|M|=npuisqu’on a autant
d’arêtes que le nombre d’arcs moins le nombre d’arbres (chaque arbre contenant autant
d’arêtes que d’arcs moins un). On se fixe un point p∈S1et pour tout J⊂(EtM)on
pose c(J)le sous-ensemble de T|I|constitué des points (xi)i∈Itels que
xi=xjsi (i, j)∈J,
xi6=xjsi (i, j)/∈J,
xi=psi i∈M∩J,
xi6=psi i∈M, i /∈J,
75

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
avec (i, j)qui est donc l’arête qui relie l’arc ià l’arc j. Il est évident qu’on a T|I|=tJc(J),
l’union étant disjointe puisqu’on a des égalités ou inégalités suivant si l’élément est présent
ou non dans J. De là on a Ta' tJc(J)où l’homéomorphisme est donné par : la composante
d’arc marqué est envoyé sur la composante de cet arc et on parcourt le graphe en partant
de ces points marqué, envoyant les composantes de chaque arête vers la composante de
l’arc extrémité auquel on a pas encore attribué de composante, de sorte que si (i, j)∈J
alors les composantes engendrées par les extrémités de l’arc sont égalisées dans l’image de
c(J). De plus c(J)est homéomorphe à Rn−|J|puisque chaque élément dans Jdiminue le
nombre de degrés de libertés par un, un élément de Eégalisant deux composantes et un
élément de Mfixant une composante sur p.
Cela donne donc une décomposition cellulaire de Tadont les cellules sont des hypertores
de dimension n− |J|et le bord de c(J)est donné par FJ0)Jc(J0). Cette décomposition se
restreint à une décomposition cellulaire de T<a ∩Ta. En effet, on observe que pour b→a,
on a
Tb∩Ta=G
J0⊃{(y,z)}
c(J0)
avec J0qui contient au moins l’arête (y, z)donnée par le changement d’arcs de bvers a.
On a cela car Ta∩Tbégalise les composantes de Tadonnées par les arcs yet zet est donc
donné par un sous-hypertore de codimension 1dans Tapris sur la diagonale qui égalise les
deux même composantes. Or toute cellule c(J0)pour J0contenant (y, z)a ses composantes
xyet xzégalisées. 
Exemple 3.59. On considère la décomposition de Tbpour
a=, b =,
en notant b1le grand arc de bet b2l’autre. On obtient alors un graphe Γavec b1et b2
comme sommets reliés ensemble puisque a→b. On choisit b1comme sommet marqué et
donc on a EtM={(b1, b2), b1}, on obtient alors le tore représentés en Figure 3.8 où
la flèche horizontale est la composante associée à b1et la verticale à (b1, b2)de sorte que
l’homéomorphisme tJc(J)'Tbenvoie la composante associée à b1vers celle associée à
b1dans Tbet celle de (b1, b2)vers celle de b2dans Tb. On obtient alors une décomposition
comme dans la Figure 3.8 où le point bleu est donné par c({(b1, b2), b1}) = {(p, p)}, le
cercle vert troué d’un point par c({b1})=(p, −)\ {(p, p)}, le cercle rouge troué d’un point
par c({(b1, b2)})=(x, x)\ {(p, p)}et enfin le tore auquel on retire deux cercles donné par
c(∅). On remarque de plus qu’on a Ta∩Tb= (x, x, x, x)et donc Ta∩Tbest donné dans
tJc(J)par la diagonale qui est donc bien un sous-complexe.
Figure 3.8: On décompose Tb'T2en cellules : un point central en bleu (p, p), un
segment de droite (p, −)\ {(p, p)}, un segment de droite (x, x)\ {(p, p)}et le
restant de la surface.
76

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Par contre, Tase décompose comme représenté en Figure 3.9 et on remarque que Ta∩Tb
n’est pas un sous-complexe puisque c’est aussi la diagonale.
Figure 3.9: On décompose Ta'T2en cellules : un point central en bleu (p, p), un
segment de droite (p, −)\ {(p, p)}, un segment de droite (−, p)\ {(p, p)}et le
restant de la surface.
La première différence avec le travail de M. Khovanov est que dans sa décomposition
cellulaire, puisqu’il utilise des sphères à la place de cercles, il obtient des cellules de dimen-
sions paires. Dès lors, il obtient trivialement que l’anneau de cohomologie de S≤a∩Saest
composé d’éléments de degrés pairs uniquement qui lui permettent de montrer facilement
que le morphisme induit par l’inclusion S<a ∩Sa→Saest surjectif (les opérateurs de
bords étant trivialement nuls) et par la suite que τest injectif. On montre maintenant le
lemme suivant adapté de [Kho04, Lemme 3.6].
Lemme 3.60. Le morphisme
H(T<a ∩Ta)→M
b<a
H(Tb∩Ta)
induit par l’inclusion (Tb∩Ta)⊂(T<a ∩Ta)est injectif.
Démonstration. Il suffit de vérifier que
H(T<a ∩Ta)→M
b→a
H(Tb∩Ta)
est injectif puisque c’est une composition par une projection. Par la preuve du Lemme
3.58, on sait que la décomposition cellulaire de T<a ∩Tbse restreint à une décomposition
cellulaire de Tb∩Tapour tout b→a. Mais par le Lemme 3.57 on a T<a ∩Ta=Sb→a(Tb∩Ta)
et donc c’est injectif.
En effet, en général pour des CW-complexes Y⊂X, on a que l’application induite par
l’injection est la projection
Hn(X) = ker dn
im dn+1
→Hn(Y) = ker d0
n
im d0
n+1
'ker dn
im dn+1 ,(Xn\Yn)
avec Xn\Ynqui sont les cellules de Xnnon-présentes dans Yn. Mais donc ici, si l’appli-
cation n’était pas injective, ça signifierait qu’on pourrait trouver au moins une cellule de
T<a ∩Taprésente dans aucun des Tb∩Tace qui est absurde. 
On remarque que T≤a=T<a ∪Taet donc, par la proposition suivante, on a une suite de
77

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
Mayer-Vietoris :
. . . //Hm−1(Ta∩T<a)
δ
rr
Hm(Ta∪T<a)//Hm(Ta)⊕Hm(T<a)//Hm(Ta∩T<a)
δ
rr
Hm+1(Ta∪T<a)//. . .
(3.6)
En effet, par la Proposition A.5.7 des Annexes, les groupes de cohomologie d’un espace et
d’une déformation rétracte de celui-ci sont isomorphes et donc la suite de Mayer-Vietoris
pour les voisinages de la proposition suivante donne la suite voulue.
Proposition 3.61. Pour tout a∈Bnil existe un voisinage ouvert T
ade Tadans T≤atel
que Taest une déformation rétracte de ce voisinage, on l’appelle alors voisinage rétracte
de Ta. De même on a des voisinages rétractes T
<a et T
<a,a pour respectivement T<a et
T<a ∩Tatels que
T
a∩T
<a =T
a,<a.
Démonstration. Pour tout b∈Bn, on sait que Ta∪Tbest l’union de deux hypertores de
dimension nidentifiés sur un sous-hypertore donné par un hyperplan diagonal de dimension
|W(a)b|. On construit alors T
a,b comme un épaississement ouvert de cet hyperplan de
largeur 2dans Taet Tb, comme illustré en Figure 3.10, donnant
T
a,b 'T|W(a)b|×]−, [(n−|W(a)b|)tT|W(a)b|×]−, [(n−|W(a)b|)
T|W(a)b|.
Il est clair que cela donne un ouvert dans Ta∪Tbet que Ta∩Tbest une déformation rétracte
de T
a,b en envoyant les ]−, [sur {0}. On construit alors
T
<a,a := [
b<a
T
a,b
qui est un ouvert de T<a ∪Taet un voisinage rétracte de T<a ∩Tapour la même raison.
On définit
T
a:= Ta∪T
<a,a, T 
<a := T<a ∪T
<a,a,
et on observe que ce sont des voisinages rétractes de Taet T<a ayant la propriété voulue
par définition. 
Figure 3.10: TatTbidentifiés ensemble sur la diagonale Ta∩Tben rouge et T
a,b, l’inter-
section épaissie, en brun.
M. Khovanov obtient par surjectivité de H(Sa)→H(S<a ∩Sa)une version un peu plus
forte de la proposition suivante dans [Kho04, Proposition 3.8] où il a en plus un "0→" à
gauche de la suite exacte.
78

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Proposition 3.62. La suite suivante est exacte
H(T≤a)φ//Lb≤aH(Tb)ψ−
//Lb<c≤aH(Tb∩Tc)
où φest le morphisme induit par les inclusions Tb→T≤aet on définit
ψ−=X
b<c≤a
(ψb,c −ψc,b)
avec
ψb,c =ψb;b,c :H(Tb)→H(Tb∩Tc)
induit par l’inclusion (Tb∩Tc)→Tb.
Démonstration. La preuve se fait par induction sur apar rapport à l’ordre total sur Bn.
Pour a0∈Bnminimal, on obtient la suite
H(Ta0)'//H(Ta0)ψ−
//0
qui est bien évidemment exacte. On suppose maintenant que aest le prochain élément
après epour l’ordre total et que la proposition soit vrai pour e. Par le Lemme 3.60,
puisque le morphisme est injectif et donc que la composition préserve le noyau, on peut
remplacer Hm(T<a ∩Ta)par La<b Hm(Tb∩Ta)dans la suite exacte de Mayer-Vietoris
(3.6) en conservant l’exactitude partout sauf pour les flèches Hm(T<a ∩Ta)→Hm+1(T≤a),
donnant une suite exacte
H(T≤a)→H(T<a)⊕H(Ta)→M
b<a
H(Tb∩Ta).(3.7)
De plus, par hypothèse d’induction, la suite
H(T≤e)→M
f≤e
H(Tf)→M
f<g≤e
H(Tf∩Te)(3.8)
est exacte. Puisque T<a =T≤e, on obtient par (3.8) et (3.7) le diagramme
H(T≤a)//H(T≤e)⊕H(Ta)//

Lb<a H(Tb∩Ta)
Lf≤eH(Tf)⊕H(Ta)//Lf<g≤eH(Tf∩Te)⊕Lb<a H(Tb∩Ta)
qui donne donc la suite exacte voulue
H(T≤a)φ//Lb≤aH(Tb)//Lb<c≤aH(Tb∩Tc).
Plus précisément, on suppose que x=Pb≤axb=Pf≤exf+xasoit dans l’image de φ
et on a
ψ−(x) = X
f<g≤e
(ψf,g (x)−ψg,f (x)) + X
b<a
(ψb,a(x)−ψa,b(x))
mais ψf,g (xa) = ψg,f (xa)=0et donc par exactitude de (3.8)
X
f<g≤e
(ψf,g (x)−ψg,f (x)) = 0.
79

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
De plus ψb,a(xc)=0si c6=bet ψa,b(xc)=0si c6=a, donc on a
X
b<a
(ψb,a(x)−ψa,b(x)) = X
b<a
(ψb,a(xb)−ψa,b(xa)) = 0
par le fait que la suite de Mayer-Vietoris fait apparaitre un signe similaire à ψ−et par
l’exactitude de (3.7). 
Proposition 3.63. Il existe un épimorphisme d’anneaux (non-gradués)
k:H(e
T)→OZ(OHn
C).
Démonstration. On prend amaximal dans la Proposition 3.62 donnant la suite exacte
H(e
T)φ//LbH(Tb)ψ−
//Lb<c H(Tb∩Tc)
et on observe que
Eq(ψ) = ker(ψ−) = im(φ)
montrant que le morphisme d’anneaux (non-gradué) τ:e
T→Eq(ψ)défini dans le Dia-
gramme (3.5) est surjectif puisqu’il correspond avec φet donc en composant avec les
isomorphismes du même diagramme on obtient l’épimorphisme voulu. 
Dans le but de calculer le rang de H(e
T)on montre le lemme suivant, cité par M. Kho-
vanov dans sa preuve de [Kho04, Lemme 4.1] mais laissé non-démontré.
Lemme 3.64. Pour tout a∈Bn, on note t(a)le nombre d’arcs inférieurs de a, c’est-à-dire
le nombre d’arcs qui ne sont pas contenus dans un autre arc. On obtient alors
X
a∈Bn
2t(a)=2n
n.
Démonstration. On montre l’identité équivalente
Kn:= 1
n+ 1 X
a∈Bn
2t(a)=1
n+ 1 2n
n=Cn
avec Cnle n−ème nombre de Catalan. On a à gauche pour n= 1
K1=1
221=1=C1.
On affirme que l’élément de gauche respecte la relation de récurrence de Segner
Kn+1 =
n
X
i=0
KiKn−i=
n+1
X
i=1
Ki−1Kn+1−i
qui est une des façon de définir les nombres de Catalan, voir [Kos09, Chapitre 5]. Pour
prouver cela, on suppose par induction qu’elle la respecte pour tout k≤net donc que
Kk=Cket Pa∈Bk2t(a)=2k
k.
Tout d’abord on observe qu’on peut construire Bn+1 à partir des Bipour i≤npar une
construction comme en Figure 3.11 : on peut écrire Bn+1 comme l’union S1≤k≤n+1(Bn+1)k
80

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
Figure 3.11: Construction par récurrence de Bn+1 =S1≤k≤n+1 (Bn+1)kà partir de Bi
pour tout i≤n.
où les éléments de (Bn+1)ksont donnés par un arc (1,2k)avec dans cet arc un élément de
Bk−1et à droite un élément de Bn+1−k.
On obtient alors qu’un élément de (Bn+1)kpossède autant d’arcs inférieurs que l’élément
de droite de Bn+1−kplus un. Dès lors, si on somme sur toutes les possibilités d’éléments à
droite, on obtient par hypothèse d’induction 22(n+ 1 −k)
n+ 1 −ket on multiplie par Bk−1=
Ck−1pour le nombre de possibilités d’éléments de Bk−1dans l’arc (1,2k), livrant l’équation
X
a∈Bn+1
2t(a)=
n+1
X
k=1 
Bk−12X
b∈Bn+1−k
2t(b)
=
n+1
X
k=1
Ck−122(n+ 1 −k)
n+ 1 −k.
Cela se traduit en termes de Kn, en utilisant l’hypothèse d’induction que Kk−1=Ck−1,
par
Kn+1 =1
n+ 2
n+1
X
k=1
Kk−1.2(n−k+ 2).Kn−k+1.
On a donc
Kn+1 = 2
n+1
X
k=1
Kk−1.Kn−k+1 −
n+1
X
k=1
2k
n+ 2Kk−1Kn−k+1.
On montre que pour tout k≤ b(n+ 1)/2con a en sommant le k-ème terme de la somme
et le (n+ 2 −k)-ème
2k
n+ 2Kk−1.Kn−k+1 +2(n+ 2 −k)
n+ 2 Kn+1−k.Kk−1=Kk−1.Kn−k+1 +Kn+1−k.Kk−1
81

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
et si n+ 1 est impair alors pour k=d(n+ 1)/2e, on a 2k=n+ 2 et donc
2k
n+ 2Kk−1.Kn−k+1 =Kk−1.Kn−k+1
ce qui nous donne
n+1
X
k=1
2k
n+ 2Kk−1.Kn−k+1 =
n+1
X
k=1
Kk−1.Kn−k+1
et cela conclut la preuve. 
Proposition 3.65. Vu en tant que groupe abélien, on a
rkH(e
T)=2n
n.
De plus, H(e
T)est un groupe abélien libre.
Démonstration. Par le Lemme 3.58, on a une décomposition cellulaire de Saqui se restreint
à une décomposition de Ta∩T<a. Dès lors, on peut obtenir une partition cellulaire de e
Tà
partir de cette décomposition, en commençant par prendre la décomposition de Ta0pour a0
l’élément minimal de Bnpuis en ajoutant les cellules de Tam\T<ampour tout amen suivant
l’ordre total défini sur Bn. Il est important de noter que cela forme une partition cellulaire
et non pas une décomposition puisque la fermeture d’une cellule n’est pas en général une
union de cellules, comme le montre l’Exemple 3.59. Mais cela suffit pour la preuve car on
affirme que le rang de H(e
T)est donné par le nombre de cellules de la partition. Puisque le
rang des groupes d’homologie et de cohomologie sont égaux, on montre que la somme des
rangs des groupes d’homologie est donnée par le nombre de cellules. En effet, on a la suite
de Mayer-Vietoris, donnée par la Proposition 3.61,
. . . Hk−1(Tam∩T<am)
oo
Hk(Tam∪T<am)
∂22
Hk(Tam)⊕Hk(T<am)
ooHk(Tam∩T<am)
oo
Hk+1(Tam∪T<am)
∂22
. . .
oo
et les ∂sont nuls car l’application Hk(Tam∩T<am)→Hk(Tam)est injective. Intuitivement,
cela vient du fait que l’intersection est une union d’hypertores de codimension un donné par
des diagonales dont les intersections sont des hypertores de dimension inférieure et donc
un cycle non nul dans un de ces hypertores reste non nul dans l’hypertore de dimension
n. Plus formellement, on sait par l’Exemple A.6.4 des Annexes que Hk(Tam)est donné
par le groupe abélien libre à n
kéléments et on a une décomposition cellulaire de Tam
en le même nombre de cellules de dimension k(les cellules de dimension kétant celles
avec |J|=n−ket donc on doit piocher n−kéléments dans ndisponibles, ce qui égal à
en piocher kdans n). Cela signifie que chacune des cellules de la décomposition engendre
un unique générateur du groupe d’homologie de Tam. Puisque Tam∩T<amest un sous-
complexe, son homologie est engendrée par ses cellules. Dès lors, on ne peut pas engendrer
de nouvelle relation par l’inclusion puisqu’on sait qu’elles sont linéairement indépendantes
82

3.4. Isomorphisme entre OZ (OHn
C)et OH(Bn,n)
dans Tam. Ceci donne l’information supplémentaire que Hk(Tam∩T<am)est un groupe
abélien libre de rang égal au nombre de cellules du sous-complexe. De là on obtient
Hk(Tam∪T<am)'Hk(Tam)⊕Hk(T<am)
Hk(Tam∩T<am).
qui se traduit en termes de rang par
rk(Hk(Tam∪T<am) = rk(Hk(Tam)) + rk(Hk(T<am)) −rk(Hk(Tam∩T<am))
et donc on obtient par récurrence que le rang de Hk(e
T)est égal au nombre de cellules de
dimension kpuisque rk(Hk(Tam)) −rk(Hk(Tam∩T<am)) est le nombre de cellules qu’on
ajoute.
Pour a∈Bn, on pose t(a)le nombre d’arcs inférieurs de a, c’est-à-dire le nombre d’arcs
qui ne sont pas contenu dans un autre arc. On remarque que t(a)est aussi le nombre
de composantes connexes du graphe Γde la preuve du Lemme 3.58. En effet, chaque
composante possède au moins un arc inférieur sinon le graphe serait infini et on ne peut
pas avoir plusieurs arcs inférieurs dans une même composante par le fait que deux arcs
sont reliés si l’un contient l’autre sans arc intermédiaire. La décomposition de Ta\T<a
possède 2t(a)cellules puisque les cellules qu’il reste à attacher sont celles qui ne possèdent
aucune des arêtes données par les flèches b→a, donc il ne reste que les cellules définies
par les Jne possédant que des arcs marqués, donc une par composante connexe du graphe.
Dès lors, on a 2t(a)possibilités suivant si on prend où non l’arc marqué dans J. De là on
obtient que la partition cellulaire de e
Tpossède Pa2t(a)cellules puisque l’élément minimal
est composé de narcs inférieurs et que la décomposition de Ta0possède 2ncellules. Par le
Lemme 3.64 cette somme est égale à 2n
n.
Démonstration. du Théorème 3.30. Par la Proposition 3.45 on obtient que
rk(OZ(OHn
C)) ≥rk(OH(Bn,n)).
Par les Propositions 3.63, 3.65 et 3.28 on obtient que
rk(OZ(OHn
C)) ≤rk(H(e
S)) = 2n
n= rk(OH(Bn,n))
et donc on a
rk(OZ(OHn
C)) = rk(OH(Bn,n))
qui permet de conclure que le monomorphisme jde la Proposition 3.45 est un isomor-
phisme. 
Remarque 3.66. On peut remarquer qu’on a en plus montré que le rang de OZ(OHn
C)
est le même que H(e
T)et donc τest en fait un isomorphisme (non-gradué). En composant
avec l’isomorphisme vers la présentation de la cohomologie impaire de Bn,n, on obtient
une présentation de H(e
T)en changeant le degré des générateurs x1, . . . , x2ndes polynôme
impairs en 1. On pouvait aussi l’observer directement en voyant que les opérateurs de bord
de la suite de Mayer-Vietoris (3.6) sont nuls, ajoutant un 0→à gauche dans la suite exacte
de la Proposition 3.62 et donnant l’injectivité de τ. Sans doute est-il possible de montrer di-
rectement que H(e
T)admet une présentation semblable à l’anneau de cohomologie impaire
de Bn,n en adaptant la preuve de la Proposition 3.42 et/ou en utilisant un raisonnement
83

3. Centre impair de OHn
Cet cohomologie de la variété de Springer
similaire à M. Khovanov dans la preuve de [Kho04, Théorème 1.4], donnant un isomor-
phisme non-gradué entre les deux, et il suffirait alors de montrer que la composition de τ
avec cet isomorphisme donne un morphisme gradué, livrant une preuve alternative.
Par ailleurs, une preuve similaire serait certainement possible en construisant e
Tà partir
d’hypersphère S3(ou toute autre dimension impaire mplus grande que 1), permettant
d’utiliser des arguments similaires à ceux de M. Khovanov pour montrer que les opérateurs
de bords sont nuls (puisqu’on a des groupe de cohomologie triviaux pour les entiers qui ne
sont pas multiple de cette dimension). De plus, cela donne une présentation de ces anneaux
de cohomologie toujours en modifiant le degré des générateurs x1, . . . , x2ndes polynôme
impairs en fonction de la dimension choisie pour Sm.
84

4 Pour aller plus loin
Ce chapitre propose une série d’idées pour aller plus loin dans l’étude et la compréhension
de l’anneau impair des arcs des Khovanov, notamment en proposant un substitut de module
qui pourrait permettre d’imiter une bonne partie des résultats connus sur Hnet pourrait
mener à un nouvel invariant d’enchevêtrements. On montre aussi qu’il existe une façon de
tourner OHn
Cen un anneau associatif et on étudie les règles de multiplications qui donnent
des anneaux isomorphes.
4.1 Rendre OH n
Cassociatif
On peut se demander s’il existe des coefficients λ(x, y)∈ {−1,1}tels que la multiplica-
tion
(x, y)→λ(x, y)xy
soit associative pour tout x, y ∈OHn
C. La réponse est affirmative mais demande des résul-
tats qui dépassent le cadre de ce travail. On en propose quand-même l’idée en renvoyant
le lecteur vers des références pour les démonstrations et détails des résultats utilisés.
Figure 4.1: À gauche on a (xy)zet à droite x(yz):xcommute avec les scissions du
cobordisme de la multiplication yz.
Tout d’abord il faut observer plus attentivement d’où vient la non-associativité. En effet,
elle est due à deux phénomènes différents : d’une part les changements de chronologie dans
les cobordismes, dépendant juste des diagrammes, comme dans l’Exemple 2.42, et d’autre
part l’anticommutativité avec l’élément de gauche du double produit et des scissions de la
multiplication de droite, dépendant du degré et des diagrammes, représenté en Figure 4.1 et
illustré dans l’Exemple 2.39. Étant donné la nature du second, on observe le résultat suivant
qui permet de calculer le nombre de scissions d’un cobordisme W(c)bW (b)a→W(c)bet
donc le nombre de scissions avec lesquelles l’élément de gauche doit permuter.
Proposition 4.1. La multiplication
c(OHn
C)b×b(OHn
C)a→c(OHn
C)a
est composée de S(c, b, a) := d(c,b)+d(b,a)−d(c,a)
2scissions.
85

4. Pour aller plus loin
Démonstration. Il suffit d’observer qu’on a autant de scissions que nmoins le nombre de
fusions. Le cobordisme
W(c)bW (b)a→W(c)a
doit envoyer |W(c)b|+|W(b)a|composantes sur |W(c)a|c’est-à-dire qu’il faut en fusionner
au moins |W(c)b|+|W(b)a|− |W(c)a|. Pour toute fusion supplémentaire, on doit avoir une
scission correspondante afin d’équilibrer le nombre de composantes, ce qui donne
|W(c)b|+|W(b)a|−|W(c)a|+Fsupp +Ssupp =n
avec Fsupp =Ssupp, pour Fsupp et Ssupp le nombre de fusions et scissions supplémentaires,
la somme devant faire ncar on a nponts. Ceci donne
2Ssupp =n− |W(c)b|−|W(b)a|+|W(c)a|
=n− |W(c)b|+n− |W(b)a| − n+|W(c)a|
=d(c, b) + d(b, a)−d(c, a),
d’où on obtient la formule de la proposition. 
Cela montre bien que peut importe le choix de C, on a toujours autant de scissions
dans le produit. On considère maintenant le groupoïde ¨
Bn(voir Section A.7 des Annexes
pour une définition de groupoïde) dont les objets sont les éléments de Bnet les flèches
les diagrammes W(b)a:a→bqu’on peut composer W(c)b◦W(b)a:= W(c)a:a→c.
Chaque flèche possède un inverse puisque W(a)b◦W(b)a=W(a)a= Ida. Par ailleurs,
on peut définir une graduation sur les éléments de OHn(vu en tant que groupe abélien
gradué) donnée par les flèches de ¨
Bnet la décomposition en somme directe
OHn:= M
a,b∈Bn
b(OHn)a=M
W(b)a∈Hom(¨
Bn)
b(OHn)a.
Cela forme une graduation pour OH n
Ccar la multiplication de deux éléments de OHn
Ca
comme degré la composition des degrés. On note le degré pour cette graduation | − |2et
on l’appelle degré diagrammatique. On note celui de la graduation usuelle par | − |1et le
double degré dans le groupoïde Zר
Bnest noté | − |. Pour |x|2=W(c)bet |y|2=W(b)a,
on note S(|x|2,|y|2) = S(c, b, a)le nombre de scissions donné par la Proposition 4.1 et on
note d(|x|2) = d(c, b). On considère l’associateur
α: (OHn
C⊗OHn
C)⊗OHn
C→OHn
C⊗(OHn
C⊗OHn
C),
(x⊗y)⊗z7→ φ(|x|,|y|,|z|)(x⊗(y⊗z))
avec φ(|x|,|y|,|z|)∈ {−1,1}tel que
(xy)z=φ(|x|,|y|,|z|)x(yz).
Puisque la non-associativité est due à deux phénomènes on peut séparer cet associateur en
deux éléments
φ(|x|,|y|,|z|) = (−1)p(x).S(|y|2,|z|2).(−1)φ0(|x|2,|y|2,|z|2)
= (−1)(|x|1−d(|x|2))
2.S(|y|2,|z|2).(−1)φ0(|x|2,|y|2,|z|2)
= (−1)φ1(|x|,|y|,|z|).(−1)φ0(|x|2,|y|2,|z|2)
86

4.1. Rendre OHn
Cassociatif
où φ0: Hom( ¨
Bn)3→Z/2Zcalcule le signe du au changement de chronologie en fonction
des diagrammes et φ1: Hom(Zר
Bn)3→Z/2Zcalcule le signe de la permutation de x
avec la multiplication yz en fonction des diagrammes et du degré de x.
L’idée de la preuve est d’observer que le groupoïde ¨
Bna une forme de m-simplexe
puisque pour toute paire d’objets on a une unique flèche de l’un vers l’autre et une unique
flèche dans l’autre sens, avec m= 1,4ou plus (puisque |B2|= 2 et |B3|= 5). Dès lors, par
l’Exemple A.7.6 des Annexe, sa cohomologie de degré 3dans Z/2Zest triviale (on renvoie
vers la Section A.7 pour une définition de cohomologie de groupoïdes). Par ailleurs, puisque
φest un associateur, le diagramme suivant, où O:= OHn
C, commute :
((O⊗O)⊗O)⊗Oα⊗Id //
α

(O⊗(O⊗O)) ⊗O
α

(O⊗O)⊗(O⊗O)
α**
O⊗((O⊗O)⊗O)
Id ⊗α
tt
O⊗(O⊗(O⊗O))
(4.1)
Cela se traduit en termes de φ0et en prenant les éléments e1d,d1c,c1bet b1apar
φ0(h, k, l) + φ0(g, hk, l) + φ0(g, h, k)−φ0(gh, k, l)−φ0(g, h, kl) = 0 = d3φ0(g, h, k, l)
pour toute suite
e d
g
ooc
h
oob
k
ooa
l
oo
dans ¨
Bn, ce qui signifie que φ0est un cocycle. Puisque la cohomologie de degré 3de ¨
B
est triviale, φ0est un cobord et donc il existe λ0: Hom( ¨
Bn)2→Z/2Ztel que d2λ0=φ0,
c’est-à-dire
(d2λ0)(|x|2,|y|2,|z|2) = λ0(y, z)−λ0(xy, z) + λ0(x, y z)−λ0(x, y) = φ0(|x|2,|y|2,|z|2).
De même, on obtient que φ1est un cocycle dans le groupoïde Zר
Bn. On calcule que la
réalisation géométrique de Zר
Bnest
|Zר
Bn| ' S1×∆m
et donc on peut les décomposer en cellules. Par la formule de Künneth ([Hat02, Théorème
3.15]) on obtient alors
H3(Zר
Bn,Z/2Z)'H3(S1×∆m,Z/2Z)'H3(S1,Z/2Z)⊗Z/2ZH3(∆m,Z/2Z)' {0}.
Dès lors φ1est un cobord et on a un λ1: Hom(Zר
Bn)2→Z/2Ztel que d2λ1=φ1. On
pose
λ(|x|,|y|) = (−1)λ1(|x|,|y|).(−1)λ0(|x|2,|y|2)
et on obtient
(x, λ(|y|,|z|)yz)7→ λ(|x|,|yz|).λ(|y|,|z|).x(yz),
(λ(|x|,|y|)xy, z)7→ λ(|x|,|y|).λ(|xy|,|z|).(xy)z,
avec
λ(|x|,|yz|).λ(|y|,|z|) = (−1)λ1(|x|,|yz|)+λ1(|y|,|z|).(−1)λ0(|x|2,|yz |2)+λ0(|y|2,|z|2),
λ(|x|,|y|).λ(|xy|,|z|) = (−1)λ1(|x|,|y|)+λ1(|xy|,|z|).(−1)λ0(|x|2,|y|2)+λ0(|xy|2,|z|2).
87

4. Pour aller plus loin
On en conclut que
λ(|x|,|yz|).λ(|y|,|z|)
λ(|x|,|y|).λ(|xy|,|z|)= (−1)φ1(|x|,|y|,|z|).(−1)φ0(|x|2,|y|2,|z|2)
=φ(|x|,|y|,|z|).
et cela donne l’associativité pour cette nouvelle multiplication. Hélas λ(|x|,|y|)est très
difficilement calculable et donc la version associative de OHn
Cn’est pas intéressante pour
ce qu’on en fait. De plus, il faudrait encore prouver que l’anneau qu’on obtient n’est pas
isomorphe à Hn.
4.2 Classes d’isomorphismes de OHn
C
On peut étudier les collections de règles de multiplications qui donnent des OHn
Ciso-
morphes. En fait, on peut montrer que tous les OHn
Cqui ont des règles de multiplications
avec les même associateurs sont isomorphes. Cela se montre par des arguments similaires
à ce qu’on a fait pour trouver une multiplication associative.
On se fixe Cet C0deux règles de multiplications et afin d’éviter toute confusion on note
∗Cla multiplication dans OHn
Cet ∗C0dans OHn
C0. Puisque les cobordismes sont équivalents
si on les regarde sans chronologie ni orientation, on sait qu’on a
OF (Ccba) = γ(c, b, a)OF (C0
cba)
avec γ(c, b, a)∈ {−1,1}pour tout c, b, a ∈Bn. On peut alors définir l’application
η: Hom ¨
Bn2→Z/2Z
définie par (−1)η(|x|2,|y|2):= γ(c, b, a)si |x|2=W(c)bet |y|2=W(b)aet 0sinon. Cela
signifie que si x∗Cy=w∈OHn
Calors x∗C0y= (−1)η(|x|2,|y|2)w∈OHn
C0. On souhaite
avoir
η(|x|2,|y|2) = (|x|2) + (|y|2)−(|xy|2)
pour un certain (|x|2) : Hom ¨
Bn→Z/2Zde sorte que
θ:OHn
C→OHn
C0:x7→ (−1)(|x|2)x
soit un isomorphisme d’anneaux gradués. Puisque ¨
Ba une cohomologie de degré 2triviale,
tout cocycle est un cobord et donc on voudrait avoir que ηsoit un cocycle. On observe
alors que
(δη)(|x|2,|y|2,|z|2) = η(|y|2,|z|2)−η(|xy|2,|z|2) + η(|x|2,|yz|2)−η(|x|2,|y|2)
et on peut prendre x=d1c, y =c1bet z=b1apour avoir
(x∗Cy)∗Cz= (−1)η(|x|2,|y|2)+η(|xy|2,|z|2)(x∗C0y)∗C0z,
x∗C(y∗Cz) = (−1)η(|x|2,|yz|2)+η(|y|2,|z|2)x∗C0(y∗C0z),
avec le produit, s’il n’est pas spécifié, dans OHn
C. Cela signifie que si
x∗C(y∗Cz)
(x∗Cy)∗Cz=x∗C0(y∗C0z)
(x∗C0y)∗C0z
88

4.2. Classes d’isomorphismes de OHn
C
la fraction étant un abus de notation pour le signe induit par la non-associativité, donc si
OHn
Cet OHn
C0ont le même associateur, alors ηest un cocycle. On note donc
φC
0: Hom ¨
Bn3→Z/2Z
l’associateur tel que pour x=d1c, y =c1b, z =b1aon a
(x∗Cy)∗Cz= (−1)φC
0(|x2,|y|2,|z|2)(x∗C(y∗Cz)),
c’est-à-dire que c’est la fonction qui calcule le signe du au changement de chronologies,
comme dans la section précédente. On ajoute l’hypothèse que φC
0=φC0
0et on en conclut
que ηest un cobord. Cela signifie qu’il existe : Hom ¨
Bn→Z/2Ztel que δ =η. On a
(δ)(|x|2,|y|2) = (|x|2)−(|xy|2) + (|y|2) = η(|x|2,|y|2)
et donc
θ(x)∗C0θ(y)=(−1)(|x|2)+(|y|2)(x∗C0y),
θ(x∗Cy)=(−1)(|xy|2)(x∗Cy)
avec comme prévu
(−1)(|x|2)+(|y|2)
(−1)(|xy|2)= (−1)η(|x|2,|y|2).
donnant l’égalité θ(x)∗C0θ(y) = θ(x∗Cy). On en conclut le théorème suivant :
Théorème 4.2. Pour toutes règles de multiplication Cet C0telles que OHn
Cet OHn
C0ont
le même associateur, donc si φC=φC0, on a un isomorphisme d’anneaux gradués
OHn
C'OHn
C0.
Démonstration. On utilise le fait que l’associateur φCest décomposé en deux éléments :
un dépendant du degré du facteur de gauche et du nombre de scissions de la multiplication
de droite, donc indépendant de C, et l’autre dépendant du changement de chronologie et
noté φ0. Cela signifie que φC=φC0si et seulement si φC
0=φC0
0. Il suffit ensuite d’appliquer
le raisonnement fait au-dessus pour conclure. 
On peut alors noter OH n
φla classe d’équivalence de ces anneaux, avec φl’associateur.
Comme le montrent les Exemples 2.42 et 2.43 on n’a pas toujours l’hypothèse d’égalité
des associateurs. La question qu’on se pose maintenant est de savoir si cette condition
est suffisante ou s’il existe d’autres isomorphismes pour entre ces anneaux ? En tout cas,
cela donne une borne supérieure sur le nombre d’anneaux OH n
φpour chaque npuisque
l’associateur est définir par un choix d’autant de 1ou −1que de triplets de diagrammes
W(d)c,W(c)bet W(b)a, c’est-à-dire quadruplets d’éléments de Bn. On a donc au maximum
2|Bn|4= 2C4
n
différents OHn
φ, où Cnest le n-ème nombre de Catalan.
89

4. Pour aller plus loin
4.3 Modules sur OHn
C
Puisque OHn
Cn’est pas associatif, il ne peut pas former un module sur lui-même et
donc il n’y a pas vraiment d’intérêt de parler de modules sur OHn
Cau sens usuel du
terme. On se demande alors s’il existe un moyen de définir un substitut de module. Une
réponse possible est de voir OH n
Ccomme un quasi-anneau et d’étudier ses quasi-modules
et quasi-bimodules, un quasi-anneau étant un anneau gradué non-associatif mais avec un
associateur (devant donc faire commuter le diagramme (4.1)) prenant comme arguments
les degrés des éléments. Dès lors, un quasi-module Mest un groupe abélien gradué sur le
même ensemble que le quasi-anneau et avec une action devant respecter l’associateur aussi,
c’est-à-dire que pour tout m∈Met x, y ∈OHn
Con a
x•(y•m)) = φ(|x|,|y|,|m|)(xy)•m.
On peut alors définir le produit tensoriel de deux bimodules Met Ncomme
M⊗OHn
CN:= M⊗ZN
hmh ⊗n−φ(|m|,|h|,|n|)m⊗hni.
Comme expliqué dans [Kho02], les bimodules sur Hnforment une catégorification de l’al-
gèbre de Templerley-Lieb qui est définie comme suit :
Définition 4.3. L’algèbre de Temperley-Lieb, notée T Ln, est l’algèbre sur Z[q, q−1]avec
générateurs U1, . . . , Un−1et les relations
U2
i= (q+q−1)Ui,
UiUi±1Ui=Ui,
UiUj=UjUi,|i−j|>1.
On peut montrer que cette algèbre est isomorphe à l’algèbre diagrammatique sur Z[q, q−1]
engendrée par
où on regarde donc les éléments à isotopie près et un cercle disjoint revient à multiplier
par (q+q−1). Plus précisément, cette catégorification consiste à associer à un diagramme
U∈T Lnle bimodule sur Hndonné par
C(T) := M
a,b∈Bn
b(U)a, où b(U)a:= F(W(b)Ua){n}
avec l’action à gauche
c(Hn)b×b(U)a→c(U)a
donnée par le cobordisme W(c)bW (b)U a →W(c)U a où on construit les même ponts que
pour la multiplication dans Hnet idem pour l’action à droite. De plus, la catégorification
du coefficient q+q−1est donnée par le groupe abélien A(le rang gradué de Aest q+q−1).
On veut alors définir de la même façon des quasi-bimodules sur OHn
C, en utilisant la règle
de multiplication Cpour choisir l’ordre de construction des ponts et leurs orientations
90

4.4. Généralisation de Hnet OHn
C
donnés par (c, b, a)(on pourrait aussi étendre la règle à un choix dépendant de l’élément
U). Pour que ceci forme une catégorification, il faut que la composition de deux bimodules
donne le bimodule donné par la concaténation des diagrammes associés, c’est-à-dire que
pour tout T , T 0∈T Lnon ait
C(T T 0) = C(T)⊗OHn
CC(T0).
Si on montre cela, on peut alors définir des complexes de quasi-bimodules et espérer obtenir
un invariant d’enchevêtrement, comme M. Khovanov le fait avec les bimodules sur Hn(voir
[Kho02] pour plus de détails). La question suivante serait alors de savoir si Hnet OH n
C
livrent des invariants différents (ce qui est fort probablement le cas puisque l’homologie de
Khovanov et sa version impaire sont différents) et même de savoir si pour des règles de
multiplications différentes on peut obtenir des invariants différents.
4.4 Généralisation de Hnet OH n
C
K. Putyra a défini dans [Put14] une famille de foncteurs avec des paramètres tels que,
une fois spécialisés, on obtient Fde Hnou OF de OH n. Pour cela on pose
R:= Z[X, Y, Z±1]
X2=Y2= 1,et A0:= Rhv+, v−i,
avec deg(v+) = (1,0) et deg(v−) = (0,−1) et les applications qui servent de permutation,
fusion, scission, naissance de cercle et mort de cercle :
τ:A0⊗A0→A0⊗A0:










(v+, v+)7→ X(v+, v+),
(v+, v−)7→ Z−1(v−, v+),
(v−, v+)7→ Z(v+, v−),
(v−, v−)7→ Y(v−, v−),
µ:A0⊗A0→A0:










(v+, v+)7→ v+,
(v+, v−)7→ v−,
(v−, v+)7→ XZv−,
(v−, v−)7→ 0,
∆ : A0→A0⊗A0:(v+7→ (v−, v+) + Y Z(v+, v−),
v−7→ (v−, v−),
η:R→A0:1 7→ v+,
:A0→R:(v+7→ 0,
v−7→ 1.
On note RHn
Cl’anneau obtenu par une construction similaire à OHn
Coù on remplace
les produit extérieurs par des produits tensoriels de A0et on associe aux cobordismes
élémentaires les applications associées. On remarque qu’en spécialisant les paramètres
(X, Y, Z) = (1,1,1) on obtient Hnet en les spécialisant à (1,−1,1) on obtient OHn
C.
On pourrait alors définir un centre pour RHn
Cdonné par
Z(RHn
C) := {z∈RHn
C|zx =X|z|1|x|1Y|z|2|x|2Z|z|1|x|2−|z|2|x|1xz, ∀x∈RHn
C}
où |v+|1= 1,|v+|2= 0 et |v−|1= 0,|v−|2=−1. Il serait intéressant de vérifier si, en
spécialisant les paramètres, on obtient que ce centre donne OZ(OHn
C)et Z(Hn). Par
91

4. Pour aller plus loin
ailleurs, cela mène à la question de savoir s’il existe une généralisation de l’anneau de
cohomologie de la variété de Springer et qui serait isomorphe au centre de RHn
Cpour une
partition (n, n).
4.5 Action de H−1sur le centre impair
On dit qu’un groupe Gagit faiblement sur une catégorie Cs’il existe des foncteurs Fg
pour tout g∈Gtels que F1'Id et FgFh'Fgh . Comme expliqué dans [Kho02, Section 6.5]
et dans [Kho04, Section 5], le groupe des tresses à 2nbrins agit faiblement sur la catégorie
triangulée Kdes complexes bornés de bimodules sur Hnen tensorisant par le complexe
de bimodule obtenu par résolutions de la tresse vue comme enchevêtrement. Cette action
faible descend à une action du groupe symétrique sur le centre de Hnpar permutation des
Xidans la présentation du Théorème 3.3.
Par ailleurs, dans [LR14, Corollaire 3.4], A. Lauda et H. Russell montrent que l’algèbre
de Hecke H−1agit à gauche sur la construction impaire de la cohomologie de la variété de
Springer et donc sur le centre impair de OHn
C. On se demande alors si l’action du groupe
des tresses sur la catégorie des quasi-bimodules sur OH n
Cdescend à l’action de H−1sur le
centre impair.
4.6 Algèbres de Stroppel-Ehrig
C. Stroppel et M. Ehrig ont développé une famille d’algèbres diagrammatiques de type
D dans [ES] qui généralisent les anneaux des arcs de Khovanov Hnqui sont de type A
(puisque reliés à sl(2)). On peut alors se demander quels liens pourraient exister entre la
version impaire des anneaux des arcs et les algèbres de Stroppel-Ehrig ?
92

Annexes
A.1 Notations
Afin d’éviter toute confusion possible, on donne une liste des notations utilisées dans ce
travail, sauf celles qui sont explicitement définies dedans.
Ensembles On note les ensembles des naturels N, des entiers Z, des réels Ret des com-
plexes C. Par ailleurs, pour Sun ensemble, on note Z[S]le groupe abélien libre engendré
par les éléments de S.
Rangs de groupes Pour un groupe Gon note son rang rk(G)(c’est-à-dire le nombre
minimal d’éléments nécessaires pour générer le groupe) et pour un groupe abélien G0on
note son rang rk(G0)(c’est-à-dire la taille du plus grand sous-groupe abélien libre).
Coefficients binomiaux On note pour deux naturels net kle coefficient binomial
n
k:= n!
k!(n−k)!.
Caractéristique d’Euler On note χ(X)pour un espace topologique Xsa caractéristique
d’Euler-Poincaré.
Espaces vectoriels Soit Eun espace vectoriel sur un corps k. On note dim(E)ou dimk(E)
sa dimension.
Fonctions On note A →Bl’application induite par l’inclusion de l’ensemble Adans
l’ensemble B. On note A'Bs’il existe un isomorphisme respectant la structure algébrique
de Aet de Bentre les deux. On note A'ab Bsi Aet Bpossèdent une structure de groupe
abélien et qu’ils sont isomorphes en tant que groupes abéliens.
Produit tensoriel On note M⊗ANle produit tensoriel sur Ade deux modules Net M
sur un anneau A. On note M⊗N:= M⊗ANsi le choix de Aest clair du contexte. On
note aussi M⊗n:= M⊗ · · · ⊗ M
| {z }
n
.
A.2 Nombres quantiques et groupe quantique Uq(sl2)
Tout ce qui est présenté dans cette section se trouve en détails dans [CFS95] à quelques
changements de notation près (on prend par exemple un qtel qu’il soit la racine de qutilisé
dans la référence).
L’algèbre de Lie sl2admet une enveloppe U(sl2)avec générateurs E , F, H tels que EF −
F E =H,H E −EH = 2Eet HF −F H =−2F(le Hici est 2Hdans la référence).
93

Annexes
L’enveloppe U(sl2)admet une unique représentation irréductible de dimension 2n, à
isomorphisme près, qu’on note Vn. Pour la dimension 2, on note simplement V:= V1.
Cette représentation est donnée par l’espace vectoriel des polynômes homogènes de degré
2n−1en les variables x, y avec U(sl2)agissant sur le vecteur en,m := x2n−1−mymde poids
2n−1−2m, par
Een,m = (m+ 1)en,m+1 ,
F en,m = (2n−m)en,m−1,
Hen,m = (2n−1−2m)en,m,
avec la convention en,−1=en,2n= 0.
Par ailleurs, on peut définir une version quantique des entiers, c’est-à-dire qu’on déforme
un nombre par un paramètre complexe q. Plus formellement, on a la définition suivante :
Définition A.2.1. Pour n≥1, on définit le n-ème nombre quantique (pour q∈C) comme
[n]q:= qn−q−n
q−q−1∈Z[q, q−1]
et on pose [0]q= 0 ainsi que [−n]q=−[n]q.
De là on peut définir la factorielle quantique et par extension le coefficient binomial
quantique
[n]q! =
n
Y
i=1
[i]q,n
kq
=[n]q!
[a]q![n−a]q!.
On observe que
[n]q=qn−1+qn−3+· · · +q−n+3 +q−n+1
et donc la somme des coefficients de [n]qest n. De là on obtient que la somme des coefficients
de [n]q.[m]qest nm et on peut montrer que la somme des coefficients du coefficient binomial
quantique donne le coefficient binomial usuel.
Tout comme on a une version quantique des entiers, on peut définir une version quantique
de U(sl2)comme une déformation de cette algèbre par un paramètre complexe q∈C.
Intuitivement, cela signifie qu’au lieu de prendre H, on prend la déformation quantique de
Hpar un paramètre q, c’est-à-dire qH−q−H
q−q−1, et on pose K“=”qH(cela peut se formaliser en
termes de séries de puissances en prenant q=eh). On obtient alors la définition suivante :
Définition A.2.2. Le groupe quantique Uq(sl2)est l’algèbre sur C[q]engendrée par les
éléments E, F, K et K−1tels que
EF −F E =K−K−1
q−q−1,
KE =q2EK,
KF =q−2F K,
KK−1=1=K−1K.
On peut alors définir une version quantique de Vn, qu’on note aussi Vn, qui est donnée
par l’espace vectoriel de dimension 2nayant comme base
{en,m|m∈ {0,1,...,2n−1},
94

A.3. Groupes, anneaux et modules gradués
et avec l’action définie par les mêmes relations que celles de U(sl2)en remplaçant les
coefficients entiers par leurs analogues quantiques. On obtient donc
Een,m = [m+ 1]q.en,m+1 ,
F en,m = [2n−m]q.en,m−1,
Ken,m =q2n−2m−1.en,m.
A.3 Groupes, anneaux et modules gradués
A.3.1 Groupes gradués
Un groupe abélien Ggradué (sur Z) est un groupe abélien avec neutre 0qui se décompose
en somme directe
G=M
i∈Z
Gi.
On définit alors l’application degré pour tout x∈Gi\ {0}comme
deg(x) = i
et on appelle de tels xles éléments homogènes de G. On définit le rang gradué rkq(G)
comme le polynôme de Laurent obtenu en prenant
rkq(G) := X
i∈Z
qirk(Gi).
A.3.2 Anneaux gradués
Un anneau gradué Aest un anneau qui, vu comme groupe abélien, est gradué
A=M
i∈Z
Ai
et tel que pour tout iet jdans Zon a
Ai.Aj⊂Ai+j.
Autrement dit pour des éléments homogènes x, y ∈A, on a deg(xy) = deg(x) + deg(y).
Exemple A.3.1. L’anneau des polynômes en une variable Xest gradué par
deg(k0+k1X+· · · +knXn) = n.
A.3.3 Modules gradués
Un module gradué Mest un module sur un anneau gradué Aqui, vu comme groupe
abélien, est gradué
M=M
i∈Z
Mi
et tel que pour tout iet jdans Zon a
Ai.Mj⊂Mi+j.
On dit qu’un homomorphisme f:M1→M2entre deux modules gradués est de degré nsi
pour tout x∈M1homogène on a f(x)∈M2homogène et
deg(f(x)) = deg(x) + n.
On note alors deg fle degré du morphisme.
95

Annexes
Définition A.3.2. On définit la notion de décalage par n∈Zd’un module gradué M,
noté M{n}, comme
M{n}=M
k∈Z
M{n}k,où M{n}k=Mk−n.
Autrement dit, on a M{n} ' Mvu en tant que modules non-gradués et pour tout
x∈Mhomogène on obtient
degM{n}(x) = degM(x) + n,
c’est-à-dire qu’on décale les degrés des éléments de Mpar n.
Par ailleurs, on peut définir une graduation sur le produit tensoriel de deux modules
gradués M1et M2sur un anneau A, ce qui forme un module M1⊗AM2en posant pour
x1∈M1et x2∈M2
degM1⊗AM2(x1⊗x2) = degM1(x1) + degM2(x2).
Remarque A.3.3. Ici on ne considère que des graduations sur Zmais on peut définir une
graduations sur n’importe quel groupe en demandant que le degré du produit soit donné
par la composition des degrés. On peut même étendre cette définition sur des groupoïdes
(voir Section A.7) en imposant que la multiplication soit non-nulle si et seulement si les
degrés sont composables dans le groupoïde.
A.4 Algèbres extérieures de modules
En général, la notion d’algèbre extérieure est définie sur un espace vectoriel. On définit
ici une généralisation de cette notion pour un module.
Définition A.4.1. Soit Mun module sur un anneau commutatif unitaire A. On définit
l’algèbre extérieure sur le module Mcomme
V∗M=A⊕L∞
k=1 M⊗k
I
avec le produit tensoriel pris sur Aet
I=h{x⊗x|x∈M}i
qui est l’idéal bilatère engendré par les éléments de l’ensemble.
On définit la multiplication sur l’algèbre extérieure
∧:V∗M×V∗M→V∗M
par
(x+I)∧(y+I)=(x⊗y) + I .
On remarque que cette définition de multiplication donne alors pour x∈V∗Met k∈A
x∧k=k∧x=kx.
On remarque aussi que pour x, y ∈Mon a
x∧y=−y∧x
puisque
0 = (x+y)∧(x+y) = x∧x+x∧y+y∧x+y∧y=x∧y+y∧x.
96

A.5. Anneau de cohomologie
Définition A.4.2. Pour un élément a∈Mon définit l’application de contraction par le
dual de acomme
a∗:V∗M→V∗M
et qui vaut pour tout x1, . . . , xn, y1, . . . , ym∈M,k∈A, avec xi6=aet yj6=a,
a∗(x1∧ · · · ∧ xn∧ka ∧y1∧ · · · ∧ ym) = k(−1)n(x1∧ · · · ∧ xn∧y1∧ · · · ∧ ym)
et
a∗(x1∧ · · · ∧ xn)=0.
Si le module est gradué, on a une graduation induite sur cette algèbre en donnant à un
produit extérieur la somme des degrés
deg(a1∧ · · · ∧ an) = deg(a1) + · · · + deg(an).
Sinon, on a une graduation naturelle sur cette algèbre en donnant un degré 0aux éléments
de Aet un degré kpour les éléments de M⊗k+I, c’est-à-dire la graduation induite en
donnant à tout élément de Mun degré 1.
Exemple A.4.3. On considère Gle groupe abélien libre engendré par l’ensemble {a, b}
vu comme module sur Z. On a alors
V∗G=h1, a, b, a ∧bi
avec deg(1) = 0,deg(a) = deg(b)=1et deg(a∧b)=2.
A.5 Anneau de cohomologie
En premier lieu, on fait quelques rappels sur les théories d’homologie et de cohomologie
singulières d’un espace topologique, tous les détails se trouvant dans [Hat02] et ensuite on
définit l’anneau de cohomologie à proprement parlé.
A.5.1 Homologie et cohomologie singulières
Définition A.5.1. Un n-simplexe singulier σdans un espace topologique Xest une ap-
plication continue
σ: ∆n→X
avec ∆nle n-ème simplexe topologique
∆n:= ((t0, . . . , tn)∈Rn+1X
i
ti= 1, ti≥0)
où on ordonne vi→vjsi i<j pour [v0, . . . , vn]les sommets du simplexe.
On pose Cn(X)le groupe abélien libre engendré par les n-simplexes singuliers et on appelle
ses éléments des n-chaines.
On définit l’opérateur de bord ∂n:Cn(X)→Cn−1(X)
∂n(σ) := X
i
(−1)iσ|[v0,...,bvi, . . . , vn]
où [v0,...,bvi, . . . , vn]signifie qu’on prend le n-simplexe engendré par tous les vjsauf vi.
97

Annexes
On peut montrer que ∂n◦∂n+1 = 0 pour tout nde sorte que im ∂n+1 ⊂ker ∂net on
définit les groupes d’homologie singulière de Xcomme
Hn(X) := ker ∂n
im ∂n+1
.
On peut montrer que ces groupes sont isomorphes pour deux espaces topologiques homo-
topes.
Proposition A.5.2. Soit f:X→Yune fonction continue entre des espaces topologiques
Xet Y, alors il y a un morphisme de groupes induit
f∗:Hn(X)→Hn(Y)
qui est l’application induite par le composition d’un n-simplexe singulier et f
f∗(∆n→X)=∆n→Xf
→Y.
Définition A.5.3. Pour un espace topologique X, on définit le groupe des n-cochaines
comme le dual du groupe des n-chaines
Cn(X) := Hom(Cn(X),Z)
c’est-à-dire qu’une n-cochaine associe à chaque n-simplexe singulier un entier.
On définit l’opérateur de cobord δn:Cn−1(X)→Cn(X)comme étant le dual de ∂n, donc
δnφ(σ) = X
i
(−1)iφ(σ|[v0,...,bvi, . . . , vn])
pour toute (n−1)-cochaine φet tout n-simplexe singulier σ.
La définition se généralise en prenant le dual sur un groupe abélien quelconque au lieu
de Z, mais on n’en a pas besoin dans ce travail. Comme ∂n◦∂n+1 = 0, on obtient que
δn+1 ◦δn= 0 et on définit les groupes de cohomologie singulière de Xcomme
Hn(X) := ker δn+1
im δn
.
On appelle les éléments de ker δn+1 des cocycles et les éléments de im δndes cobords.
Proposition A.5.4. Soit f:X→Yune fonction continue entre des espaces topologiques
Xet Y, alors il y a un morphisme de groupes induit
f∗:Hn(Y)→Hn(X)
qui est l’application induite par le composition de fet d’une n-cochaine
f∗(φ) : (∆n→X)7→ φ(∆n→Xf
→Y).
Proposition A.5.5. Pour tout non a
rk(Hn(X)) = rk(Hn(X)).
98

A.5. Anneau de cohomologie
Démonstration. Cela se prouve en utilisant le théorème des coefficients universels et on
renvoie vers [Hat02, Section 3.1] pour plus de détails sur celui-ci, notamment pour la
construction de Ext(−,Z). Ce théorème donne une suite exacte scindée
0→Ext(Hn−1(X),Z)→Hn(X)→Hom(Hn(X),Z)→0
et donc
rk(Hn(X)) = rk(Hom(Hn(X),Z)) + rk(Ext(Hn−1(X),Z)).
Puisque Hn(X)est un groupe abélien de type fini on a
rk(Hom(Hn(X),Z)) = rk(Hn(X)).
Par ailleurs
Ext(Hn−1(X),Z) = 0
puisque si on décompose Hn−1(X) = Fn−1+Tn−1avec Fn−1sa partie sans torsion et Tn−1
sa partie avec torsion on obtient
Ext(Hn−1(X),Z) = Ext(Fn−1,Z)⊕Ext(Tn−1(X),Z) = Ext(Tn−1(X),Z)'Tn−1
et, Tn−1ne contenant pas de sous-groupe libre non-trivial, son rang est nul. On en conclut
le résultat voulu. 
Définition A.5.6. Un sous-espace Ad’un espace topologique Xest une déformation ré-
tracte de celui-ci s’il existe une application continue
r:X→I
telle que r◦i=I dApour i:A →Xl’inclusion.
Proposition A.5.7. Si Aest une déformation rétracte de Xalors
Hk(X)'Hk(A),et Hk(X)'Hk(A).
A.5.2 Anneau de cohomologie
Tout comme pour la sous-section précédente, tous les détails et toutes les preuves des
propositions se trouvent dans [Hat02]. Tout d’abord, il faut introduire un produit sur les
groupes de cohomologie d’un espace topologique X
Hi(X)×Hj(X)→Hi+j(X).
Ce produit est induit par un produit de cochaines donné par, pour φet ψde dimensions
respectives iet j, la cochaine φψde dimension i+jtelle que
(φψ)(σ) : φ(σ|[v0,...,vi])ψ(σ|[vi+1,...,vi+k])
pour tout simplexe singulier σ: ∆i+j→X.
Lemme A.5.8. Pour toutes cochaines φet ψde dimensions respectives iet jon a
δi+j+1(φψ) = δi+1 (φ) ψ + (−1)iφδj+1(ψ).
99

Annexes
Le produit de deux cocycles est alors un cocycle (les deux cobords étant nuls et le
produit par une cochaine nulle donnant une cochaine nulle) et le produit d’un cocycle et
d’un cobord est un cobord puisque pour δ(ψ)=0on a
δ(φ) ψ =±δ(φψ)
et de même pour δ(φ) = 0 on a
φδ(ψ) = δ(φψ).
Cela montre que le produit sur les cochaines induit un produit sur les groupes de cohomo-
logie. Ce produit est la base pour définir l’anneau de cohomologie de X.
Définition A.5.9. Pour un espace topologique Xon définit l’anneau de cohomologie H(X)
comme le groupe abélien gradué
H(X) := M
k
Hk(X)
muni de la multiplication
X
i
αi!
X
j
βj
=X
i,j
αi βi.
On montre aisément que cela forme bien un anneau associatif unitaire.
Exemple A.5.10. On peut montrer ([Hat02, Exemple 3.16]) que l’anneau de cohomologie
du tore de dimension nest donné par le produit extérieur sur néléments
H(Tn)'V∗Zn
avec les éléments générateurs du groupe libre ayant un degré 1.
Exemple A.5.11. L’anneau de cohomologie de l’espace projectif complexe de dimension
nest donné par les polynômes
H(CPn)'Z[x]
xn+1
avec deg(x) = 2.
A.6 CW-complexe
On fait quelques rappels sur les C W -complexes, en commençant par leur définition et
en expliquant l’homologie cellulaire ensuite. Toute comme pour la section précédente, tous
les détails se trouvent dans [Hat02].
A.6.1 Définition
Un C W -complexe est une construction inductive définie comme suit :
1. On commence par un ensemble discret de points X0qu’on appelle des cellules de
dimension 0et notées e0
αpour α∈X0.
100

A.6. CW-complexe
2. On construit Xnà partir de Xn−1en attachant des cellules en
αde dimension npar
des applications continues
φα:Sn−1→Xn−1
c’est-à-dire que Xnest l’espace quotient de l’union disjointe de Xn−1et d’une col-
lection de disques de dimension n,tαDn
α, sous l’identification x∼φa(x)pour tout
x∈∂Dn
α.
3. On peut soit arrêter ce processus pour un nfini, donnant Xnpour un certain n,
soit prendre l’union de tous les Xnmunie de la topologie faible, c’est-à-dire qu’un
ensemble est ouvert si son intersection avec tout Xnest ouverte dans Xn.
On appelle décomposition cellulaire d’un espace Xun C W -complexe Xntel que Xn'X.
Exemple A.6.1. On construit une décomposition cellulaire du tore T2.
1. On commence par fixer un point pdonnant X0.
2. On attache deux cellules e1
1, e1
2'[0,1] de dimension 1 dont les bords sont attachés à
p, donnant X1(qui est donc un bouquet de deux cercles).
3. On attache une cellule e2
1'[0,1] ×[0,1] de dimension 2 dont le bord est attaché par
{0} × [0,1] →e1
1: (0, y)7→ y,
{1} × [0,1] →e1
1: (1, y)7→ y,
[0,1] × {0} → e1
2: (x, 0) 7→ x,
[0,1] × {1} → e1
2: (x, 1) 7→ x.
Si on considère T2comme un pavé [0,1] ×[0,1] où on identifie les côtés opposés deux à
deux, en envoyant pvers le point bleu, e1
1vers le segment vert et e1
2vers le segment rouge
et e2
1vers le pavé entier, on a visuellement que la décomposition cellulaire donne la Figure
A.6.1.
Figure A.6.1: On décompose T2en cellules : un point central en bleu (p, p), un segment
de droite (p, −)\{(p, p)}, un segment de droite (−, p)\{(p, p)}et le restant
de la surface.
A.6.2 Homologie cellulaire
Tout comme on définit l’homologie singulière à partir des simplexes singuliers, il est
possible de définir une homologie cellulaire à partir des cellules d’un C W -complexe. For-
mellement, on la définit à partir des groupes d’homologie singulière relatifs Hn(Xn, Xn−1),
mais ici on la définit directement à partir de chaines de cellules et d’un opérateur de bord
défini sur celles-ci.
101

Annexes
Définition A.6.2. On définit pour un C W −complexe Xle groupe des chaines cellulaires
de dimension n,CCW
n(X), comme le groupe abélien libre engendré par les cellules de di-
mension nde X.
On définit l’opérateur de bord dn:CCW
n(X)→CCW
n−1(X)comme
dn(en
α) = X
β
dαβen−1
β
où dαβ est le degré de l’application
Sn−1
α
φa
→Xn−1→Sn−1
β
où la seconde application est celle qui identifie Xn−1\ {en−1
β}en un point.
On peut montrer que dn◦dn+1 = 0 et donc on peut définir des groupes d’homologie
cellulaire
HCW
n=ker dn
im dn+1
.
On peut montrer que ces groupes sont isomorphes à ceux de l’homologie singulière :
Théorème A.6.3. ([Hat02, Théorème 2.35, p. 139]) Soit Xun C W -complexe. Alors pour
tout non a
HCW
n(X)'Hn(X).
Cela donne des informations intéressantes sur l’homologie singulière d’un espace topo-
logique X, notamment le fait que le rang du n-ème groupe d’homologie est borné par le
nombre de cellules de dimension nde toute décomposition cellulaire de X.
Exemple A.6.4. Il est connu que le tore Tnpeut être vu comme une hyperboite de
dimension noù on identifie deux à deux les faces opposées. On considère une décomposition
cellulaire donnée par un point de base qui est un sommet de l’hyperboite pour X0. Ensuite
on attache ncellules de dimension 1, une pour chaque arête de l’hyperboite (à cause des
identifications des faces, il y a des arêtes identifiées ensemble et donc on a ndifférentes).
Ensuite, chaque cellule de dimension kest donnée par un choix de karêtes parmi les n
(par exemple 2arêtes donnent une face de dimension 2avec comme bord la première arête
suivi de la seconde, moins la première et moins la seconde). On a donc une décomposition
en n
kcellules de dimension k. On remarque que l’opérateur de bord est nul (le bord
est donné par des paires d’hyperfaces qui s’annulent deux à deux) et donc on obtient
que le groupe d’homologie Hk(Tn)est le groupe abélien libre engendré par les cellules de
dimension k, donc de rang n
k.
A.7 Groupoïdes et cohomologie de catégories
Le but de cette section est de donner les idées derrière la notion de groupoïde et cohomo-
logie de catégories. On renvoie vers [GJ09], [Wei94] et [May67] pour plus de détails, on se
limite ici à une approche un peu simple qui donne les définitions et propriétés nécessaires
pour ce qu’on en fait dans ce travail. Un groupoïde est une sorte de groupe où l’opéra-
tion de composition n’est définie que partiellement, c’est-à-dire qu’on ne peut composer
que certains éléments du groupoïde. Tout comme un groupe peut s’exprimer comme une
catégorie avec un seul élément (les flèches étant les éléments du groupe qu’on compose sur
un unique objet abstrait), on a la définition suivante pour un groupoïde :
102

A.7. Groupoïdes et cohomologie de catégories
Définition A.7.1. Un groupoïde Gest une petite catégorie dans laquelle chaque flèche
est un isomorphisme (donc possède un inverse).
Il existe aussi une définition algébrique où on définit le groupoïde comme un ensemble
munit d’une opération d’inverse et d’une composition partielle mais on n’en a pas besoin.
Afin de définir une notion de cohomologie sur les groupoïdes, il nous faut définir une
notion de simplexe, ce qu’on appelle le nerf d’une catégorie. L’idée est simple : si on a
deux morphismes composable A0
f
−→ A1et A1
g
−→ A2alors on a un morphisme A0
gf
−→ A2,
formant donc un triangle
A1
g
A0
f
OO
gf //A2
ce qui est semblable à un 2−simplexe.
Définition A.7.2. Le nerf N(D)d’une petite catégorie Dest donné par l’ensemble des
Nn(D)où on définit N0(D)comme l’ensemble des objets de Det Nn(D)comme l’ensemble
des compositions de nmorphismes
A0→A1→ · · · → An
munis des opérateurs de faces (donc qui prennent chacune une face du simplexe)
δn
i:Nn(D)→Nn−1(D)
envoyant pour 1≤i≤n−1
A0→ · · · → Ai−1→Ai→Ai+1 → · ·· → An
sur
A0→ · · · → Ai−1→Ai+1 → · ·· → An
en composant les morphismes Ai−1→Aiet Ai→Ai+1 et on définit δn
ipour i∈ {0, n}
comme la composition où on retire l’élément Ai. On définit aussi les opérateurs de dégéné-
rescence sn
i:Nn(D)→Nn+1(D)où on ajoute l’identité sur Ai.
On peut alors maintenant définir une théorie de cohomologie simpliciale pour une ca-
tégorie D(et donc pour un groupoïde) sur un groupe abélien A. On définit d’abord les
complexes de cochaines comme
Cn:= Hom(Z[Nn(D)], A)
avec l’opérateur de cobord dn:Cn−1→Cndonné pour un certain φ∈Cn−1par
dnφ:=
n
X
i=0
(−1)i(φ◦δn
i).
On peut alors facilement calculer que dn+1 ◦dn= 0 et on définit le n-ème groupe de
cohomologie simpliciale par
Hn(D, A) := ker dn+1
im dn
.
Afin de calculer les groupes de cohomologie d’une catégorie, il existe un outil utile donné
par la réalisation géométrique et le théorème qui suit. Tout cela existe de façon générale
pour des ensembles simpliciaux, mais on en a pas besoin pour cette discussion et on renvoie
vers [May67, Chapitre 3] pour de plus amples détails.
103

Annexes
Définition A.7.3. La réalisation géométrique |N(D)|du nerf N(D)d’une catégorie D
est défini par
|N(D)|:= `n∈NNn(D)×∆n
∼
où ∆nest donné par l’union disjointe d’autant de n−simplexes que d’éléments dans Nn(D)
et ∼est défini par
(δn
i(s), x)∼(s, δn
i(x)),(sn
i(s), x)∼(s, sn
i(x)),
avec δn
i(x)la i-ème face du n-simplexe et sn
i(x)le (n+ 1)-simplexe écrasé sur sa i-ème
face.
Autrement dit, on identifie chaque simplexe du nerf à un simplexe topologique avec les
faces attachées comme il faut.
Théorème A.7.4. ([May67, Proposition 16.2, p. 63]) Pour une catégorie petite Det un
groupe abélien Ail y a un isomorphisme
Hn|N(D)|, A'HnD, A.
Cela signifie donc que pour calculer la cohomologie simpliciale d’une catégorie, il suffit
de connaitre la cohomologie simpliciale (ou singulière) de la réalisation géométrique de son
nerf.
Exemple A.7.5. On considère la catégorie Zpossédant un seul objet ∗et dont les flèches
sont indexées par les entiers avec la composition donnée par la somme
∗a
−→ ∗ b
−→ ∗ =∗a+b
−−→ ∗
pour tout a, b ∈Z. Puisque Zest un groupe, on appelle sa réalisation géométrique son
espace de classification, noté BZ. On peut montrer que BZ'S1puisque
∗n
−→ ∗ =∗1
−→ ∗ 1
−→ . . . 1
−→ ∗
signifiant qu’on a un 1-cycle qui génère tous les n-cycles. On obtient alors que pour tout
groupe abélien A
Hn(Z, A)'Hn(BZ, A)'Hn(S1, A).
Exemple A.7.6. On considère un groupoïde Gpossédant m+ 1 objets et tel que pour
toute paire d’objets A, B ∈Gil existe une unique flèche A→B(qui est donc l’inverse
de l’unique flèche B→A). Autrement dit, Ga une forme de m-simplexe, ce qui donne la
réalisation géométrique
|N(G)| ' ∆m
et pour tout groupe abélien Aon obtient
H0(G, A)'H0(∆m, A)'Z,
Hk(G, A)'Hk(∆m, A)' {0},1≤k≤m−1,
Hm(G, A)'Hm(∆m, A)'Z,
Hk(G, A)'Hk(∆m, A)' {0}, k ≥m+ 1.
104

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