Shareholders decision-power in joint-stock company

Abstract

The idea of the Shapley's value was to determine fair distribution of any profit on team common action to the overall profit for separate action. In this way we determine the solution of cooperative games. Making decisions in joint-stock company on stockholders meeting is also an example of cooperative game. Using Shapley's value we can measure the ability of shareholders to create victorious coalitions.

Full text

EKONOMETRIA DLA PRAKTYKI
Księga jubileuszowa z okazji 40-lecia pracy naukowo-dydaktycznej
Profesora Jerzego Witolda Wiśniewskiego
----------------------- Toruń 2012 -----------------
Dariusz Karaś
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Siła decyzyjna akcjonariuszy w spółce akcyjnej
ojęcie gry kooperacyjnej wprowadzili John von Neumann i Oscar Morgen-
stern, którzy zaproponowali opisywanie gry kooperacyjnej w postaci funk-
cji charakterystycznej zakładającej możliwość zawierania koalicji. Definiując
formalnie, mówimy, że dla zbioru wszystkich graczy N = {1,2,...,n} przypo-
rządkowujemy każdej koalicji
NK 
pewną wartość v(K), która wyraża wypła-
tę, jaką mogą uzyskać członkowie koalicji działając wspólnie (Drabik, 2005, s.
79). Gra taka ma pewną własność, którą nazywamy superaddytywnością, tzn.
każdy z dwóch graczy uzyska więcej działając razem, niż uzyskaliby łącznie,
ale działając osobno. Załóżmy, że K i L są rozłącznymi koalicjami zbioru N.
Funkcja charakterystyczna v będzie miała własność superaddytywności, jeśli
spełniony będzie warunek:
),()()( LvKvLK 
jeśli
.

 LK
(1)
Jeżeli dla dwóch rozłącznych koalicji K i L,

 LK
mamy:
),()()( LvKvLKv 
(2)
wówczas nie opłaca się zawierać koalicji, zaś gry takie nazywamy grami niei-
stotnymi (Drabik, 2005, s. 80). Jeżeli warunek (2) nie jest spełniony, wówczas
mamy do czynienia z grą istotną.
W n-osobowej grze kooperacyjnej, gracze mają do podziału całkowitą uży-
teczność v(N). Ta wartość może być podzielona w dowolny sposób, jednak
oczywiste jest, iż żaden racjonalny gracz nie zgodzi się na podział, w którym
uzyska mniej niż uzyskałby działając samodzielnie.
Podziałem zwanym również imputacją w n-osobowej grze kooperacyjnej
jest wektor x = (x1,...,xn) spełniający warunki:
P

178
),(Nvx
Ni
i


(3)
})({ivxi
dla każdego
.Ni
(4)
Warunek (4) oznacza optymalność w sensie Pareto (Drabik, 2005, s. 81).
Istotą rozwiązania danej n-osobowej gry jest wskazanie takiego podziału
lub określenie zbioru podziałów, który będzie zadowalał wszystkich graczy.
Rozważając koncepcje rozwiązań n-osobowych gier, Lloyd Shapley w la-
tach 50. poprzedniego wieku sformułował trzy aksjomaty, które oddają ideę
sprawiedliwego podziału oraz udowodnił, że w każdej n-osobowej grze z wła-
snością superaddytywnej funkcji charakterystycznej można wskazać dokładnie
jeden układ wypłat. Zgodnie z twierdzeniem Shapley'a istnieje dokładnie jedna
imputacja

określona dla wszystkich gier spełniających aksjomaty (Kałuski,
2002, s. 153):
1. Jeżeli S jest dowolnym nośnikiem
1
v, to:
.)(][

S
iSvv

(5)
2. Dla dowolnej permutacji

oraz dowolnego
Ni 
słuszne jest:
].[][ vv ii


(6)
3. Dla dowolnych gier o funkcjach charakterystycznych u i v zachodzi:
].[][][ vuvu iii


(7)
Wartość Shapley'a wyrażona jest za pomocą wzoru:
})]{()([
!
)!()!1(
][ iSvSv
n
tnt
vi Ti NT 




. (8)
Sumowanie przebiega po wszystkich koalicjach, do których należy S. Takich
koalicji jest 2n-1.
Gdy mamy do czynienia z prostą grą, wartość Shapley'a upraszcza się, gdyż
wyrażenie
}){()( iSvSv 
ma zawsze wartość 0 lub 1
2
. Wówczas mamy:
1
Nośnikiem gry kooperacyjnej opisanej w postaci funkcji charakterystycznej v jest taka
koalicja N, że dla dowolnej koalicji S zachodzi:
.)()( NSvSv 
2
Wartość 1 przyjmuje dla koalicji wygrywającej, zaś wartość 0 dla koalicji przegrywającej.

179


Ti NT
in
tnt
v!
)!()!1(
][

. (9)
1. Tworzenie koalicji wygrywających
Gracze mogą się przyłączać do danej koalicji na n! sposobów, dlatego też
wraz ze wzrostem liczby graczy, komplikuje się wypisanie wszystkich możli-
wych wariantów kolejności przyłączania się do koalicji, a tym samym oblicze-
nie wartości

. Jednak metodę obliczania można również opisać intuicyjnie,
jak to zrobił Shapley (Shapley, 1953):
Gracze formułują wielką koalicję krok po kroku, zaczynając od jednego
gracza, po czym kolejno przyłączają się następni, aż do sformułowania koalicji
w ilości N. Za każdym razem, gdy nowy gracz się przyłącza, wynagradzamy
koalicję wypłatą o wartości, jaką dany gracz wniósł w powiększoną koalicję.
Wypłaty poszczególnych graczy tworzą imputację. Gracze mogą się przyłączać
do koalicji w jednej z n! kolejności. Obliczając średnią z imputacji uzyskiwa-
nych dla każdej możliwych kolejności, otrzymamy

.
Przeanalizujmy następującą prostą grę "promocja świąteczna"
3
:
W czasie Świąt Bożego Narodzenia galerie handlowe, aby zachęcić klien-
tów do zakupów, głównie rodziców z dziećmi, prowadzą kampanię promocyjną
wykorzystując postaci mikołaja, reniferów i elfów. Występ tych postaci ma
wprowadzać atmosferę świąteczną, jednocześnie zachęcając do ponownego
odwiedzenia sklepu.
Załóżmy, że sklep chce zatrudnić trzy postacie: Mikołaja, Renifera i Elfa,
które występując razem w sklepie za jeden dzień pracy otrzymują 1000 zł. Wia-
domo ponadto, że gdyby występowali tylko Mikołaj z Reniferem, to razem
zarobiliby 800 zł, zaś Mikołaj z Elfem 650 zł, a Elf z Reniferem tylko 500 zł.
Sam Mikołaj zarobiłby 300 zł, Renifer 200 zł, zaś Elf występujący sam nie jest
atrakcją, dlatego nie zostałby zatrudniony. Tabela 1 przedstawia wypłaty po-
szczególnych postaci działających osobno i razem.
3
Jest do autorski pomysł gry oparty na grze "orkiestra jazzowa" Younga (Young, 2003).

180
Tabela 1. Wypłaty poszczególnych koalicji w grze "promocja świąteczna".
Koalicja
Wypłata
{Mikołaj, Elf, Renifer}
1000
{Mikołaj, Elf}
650
{Mikołaj, Renifer}
800
{Elf, Renifer}
500
{Mikołaj}
300
{Elf}
0
{Renifer}
200
Źródło: Opracowanie własne.
W grze tej spełniona jest własność superaddytywności, tzn. każde dwie po-
staci zarobią więcej razem niż zarobiłyby łącznie, jednak występując osobno.
Załóżmy teraz, że te 3 osoby, nie pojawią się w sklepie w jednym czasie. W
związku z tym mamy sześć możliwych kolejności:
1) Mikołaj, Elf, Renifer
2) Mikołaj, Renifer, Elf
3) Elf, Mikołaj, Renifer
4) Elf, Renifer, Mikołaj
5) Renifer, Mikołaj, Elf
6) Renifer, Elf, Mikołaj
Przyjmuje się, iż wyniki ustawienia są równie prawdopodobne (Drabik,
2005, s. 89). Ponadto załóżmy, że każdą kolejność przyjścia każdej z postaci
interpretujemy jako proces tworzenia się zespołu. Interesuje nas wielkość wy-
płaty, jaką dany gracz - świąteczna postać wnosi do zastanego już zespołu -
istniejącej koalicji.
W przypadku kolejności numer 1, Renifer zastaje koalicję {Mikołaj, Elf},
"wartą", zgodnie z tabelą 1, 650 zł. Po jego przyjściu wartość koalicji wzrasta
do 1000 zł. Oznacza to wzrost o 350 zł. W przypadku tej samej kolejności Elf
zastaje koalicję {Mikołaj}, wartą 300 zł. Jego przyjście powoduje wzrost warto-
ści o 350 zł, do 650 zł. Taką sama analizę przeprowadzamy dla pozostałych
kolejności, otrzymując wyniki z tabeli 2, w której wypisano wszystkie możliwe

181
kolejności tworzenia się zespołu oraz kwoty, jakie poszczególne postacie wno-
szą po swoim dotarciu na miejsce występu.

182
Tabela 2. Wkłady poszczególnych postaci w trakcie tworzenia zespołu.
Kolejność
Wkład Mikołaja
Wkład Elfa
Wkład Renifera
1) Mikołaj, Elf, Renifer
300
350
350
2) Mikołaj, Renifer, Elf
300
200
500
3) Elf, Mikołaj, Renifer
650
0
350
4) Elf, Renifer, Mikołaj
500
0
500
5) Renifer, Mikołaj, Elf
600
200
200
6) Renifer, Elf, Mikołaj
500
300
200
Średnia wartość
475
175
350
Źródło: Opracowanie własne.
Ostatni wiersz tabeli 2 zawiera średni wkład każdej postaci ze względu na
wszystkie możliwe kolejności tworzenia się zespołu. W ten sposób otrzymuje-
my podział zarobku na trzy osoby: xM = 475 zł, xE = 175zł, xR = 350zł. Podział
ten nazywa się wartością Shapley'a
4
.
Wartość Shapley'a jest jednym ze sposobów rozwiązywania gry koopera-
cyjnej
5
. Jej zaletą jest matematyczna prostota. Jest jeszcze jedna bardzo istotna
kwestia: wartość Shapley'a zawsze istnieje i zawsze jest tylko jedna (Malawski,
Wieczorek, Sosnowska, 1997, s. 135).
2. Wartość Shapley'a jako miernik siły decyzyjnej
akcjonariuszy spółki
Głosowanie na walnym zgromadzeniu akcjonariuszy spółki to szczególny
rodzaj gry kooperacyjnej. Każdy uczestnik dysponuje pewną ilością głosów
zależną od jego udziałów w spółce. Mamy n graczy - akcjonariuszy spółki.
Udział i-tego gracza w spółce wyrażony jest jako wi, zaś suma wszystkich
udziałów wynosi W = w1+w2+...+wn. Upraszczając sytuację do udziałów procen-
towych, wi będzie wyrażało procent akcji (bądź głosów na walnym zgromadze-
niu), zaś W wyniesie 1.
4
Wartość Shapley'a można zinterpretować jako średni oczekiwany podział w danej grze przy
rozegraniu dużej ilości partii (Malawski, Wieczorek, Sosnowska, 1997, s. 127-136).
5
Inne sposoby to: rdzeń gry oraz zbiór stabilny.

183
Przeanalizujmy najprostszy przykład, gdzie mamy czterech akcjonariuszy,
których udziały wynoszą odpowiednio: 35, 25, 20, 20
6
. Załóżmy, że do przyję-
cia uchwały potrzebna jest większość głosów spośród akcjonariuszy, tj. co naj-
mniej 51 głosów. Tym samym koalicja, która dobierze więcej niż połowę gło-
sów, decyduje o każdej uchwale. Takiej koalicji, którą nazwiemy wygrywającą,
przypisujemy wypłatę "1". Koalicję, która nie ma większości, nazwiemy prze-
grywającą i przypisujemy jej wypłatę równą "0".
W pierwszym kroku ustalamy, jak ustawienia poszczególnych graczy
wpływają na rezultat głosowania. Tabela 3 zawiera koalicje akcjonariuszy
(przykładowo koalicja {1,4} składa się akcjonariusza nr 1 i akcjonariusza nr 4)
oraz przypisaną wypłatę zgodnie z podziałem wygrywająca/przegrywająca.
Tabela 3. Wypłaty koalicji akcjonariuszy.
Koalicja
1
2
3
4
12
13
14
23
24
34
123
124
134
234
1234
Wypłata
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Źródło: Opracowanie własne.
W drugim kroku, sprawdzamy ustawienia graczy, przy których gracz i-ty
ma głos decydujący. Obliczając wartość Shapley'a bierzemy pod uwagę
wszystkie możliwe ustawienia graczy, w tym przypadku będzie ich 24. Są one
następujące: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341,
2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231,
4312, 4321. Podobnie jak poprzednio, każde takie ustawienie interpretujemy
jako proces tworzenia się koalicji i przyjmujemy, że wszystkie ustawienia są
równie prawdopodobne.
Następnie sprawdzamy jak zmieniła się wartość koalicji, którą dany gracz
zastał, po jego dołączeniu do niej. Kiedy gracz zastał koalicję przegrywającą,
która po dołączeniu do niej nadal jest przegrywająca, lub kiedy gracz zastał już
koalicję wygrywającą, zmiana będzie wynosiła zero. W przypadku, gdy gracz
zastał koalicję przegrywającą, która po jego dołączeniu stała się koalicja wy-
6
Dla uproszczenia obliczeń przyjmujemy, iż łącznie jest 100 udziałów w spółce.

184
grywającą, zmiana wyniesie jeden, zaś gracza dołączającego określimy jako
decydującego w danym ustawieniu.
Tabela 4. Ustawienia, przy których i-ty gracz jest decydujący.
Numer gracza
Ustawienia graczy, przy których dany gracz jest decydujący
1
2134,2143,2314,2413,3124,3142,3214,3412,4123,4132,4213,4312
2
1234,1243,3421,4321
3
1324,1342,2431,4231
4
1423,1432,2341,3241
Źródło: Opracowanie własne.
Z tabeli 4 wynika, iż gracz 1 jest decydujący przy 12 ustawieniach, gracz 2
jest decydujący przy 4 ustawieniach, tak samo gracz 3 i 4. Oznacza to, że "śred-
ni" wkład każdego gracza, równy ilości ustawień, przy których ten gracz jest
decydujący, podzielonej przez liczbę wszystkich ustawień (czyli 24), wynosi:
.
6
1
,
2
14321  xxxx
W ten sposób otrzymujemy wartość Shapley'a gry
7
, która w pewnym sensie
wyraża możliwości poszczególnych graczy do tworzenia koalicji zdolnych
przegłosować daną uchwałę. Chociaż gracz nr 2 ma większe udziały w spółce
niż gracze 3 i 4, to jego możliwości zarządzania przedsiębiorstwem rozumiane
jako zdolność do wpływania na przyjmowanie uchwał, jest taka sama. Można
powiedzieć, że nadwyżka udziałów akcjonariusza nr 2 zostaje w pewnym sensie
"zmarnowana" i nie znajduje właściwego przełożenia na jego siłę decyzyjną
podczas walnych zgromadzeń akcjonariuszy. W rozważanym przypadku nie
mamy żadnego akcjonariusza, który jest tzw. pionkiem, tzn. w żadnym ustawie-
niu nie jest decydujący
8
.
7
Wartością Shapley'a dla gry będzie wektor
).
6
1
,
6
1
,
6
1
,
2
1
(
8
Taki przypadek można zobaczyć u: Malawski, Wieczorek, Sosnowska (1997).

185
3. Siła decyzyjna akcjonariuszy w wybranych przykładach
polskich spółek
W tej części artykułu przeprowadzona została analiza wybranych spółek
pod względem siły decyzyjnej poszczególnych akcjonariuszy. Taka analiza ma
sens tylko dla spółek, w których żaden akcjonariusz nie ma powyżej 50% udzia-
łów. Warto zwrócić uwagę, iż udziałowcy będący osobami indywidualnymi,
szczególnie w przypadku spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościo-
wych, mogą posiadać niewielką ilość akcji, jednak łącznie wartość tych akcji
może stanowić blisko 50% udziałów, lub ponad połowę udziałów. Ponadto tzw.
drobni udziałowcy, którzy akcji używają głównie do gry na giełdzie, rzadko
pojawiają się na walnym zgromadzeniu akcjonariuszy. Z tego też względu, w
niektórych przypadkach ciekawsza analiza dotyczy sytuacji siły decyzyjnej
wobec ogólnej liczby głosów na walnym zgromadzeniu spółki. Zdarza się dość
często, iż w walnym zgromadzeniu biorą udział tylko akcjonariusze posiadający
większą ilość akcji.
W dalszej części przeprowadzona została analiza siły decyzyjnej poszcze-
gólnych akcjonariuszy czterech spółek, w następujących sytuacjach:
1) gdy jeden z akcjonariuszy ma znaczną przewagę udziałów,
2) pod względem udziałów w łącznej liczbie akcji,
3) pod względem udziałów w łącznej liczbie głosów na walnym zgromadzeniu,
4) pod względem zmiany siły decyzyjnej akcjonariuszy pomiędzy udziałem w
łącznej liczbie akcji a udziałem w liczbie głosów na walnym zgromadzeniu.
Tzw. drobnych akcjonariuszy posiadających niewielką liczbę akcji, traktu-
jemy łącznie oznaczając ich jako "pozostali".
3.1. TP S.A.
Spółka posiada jednego głównego udziałowca posiadającego prawie 50%
udziałów, jednego udziałowca posiadającego niewiele ponad 5% udziałów oraz
znaczną ilość drobnych udziałowców, którzy łącznie posiadają ponad 40%
udziałów. Ponadto spółka (pracownicy firmy) poprzez skup akcji własnych

186
posiada blisko 2% udziałów. Wyznaczając koalicje wygrywające oraz korzysta-
jąc ze wzoru (9) wyznaczymy wartości Shapley'a dla poszczególnych akcjona-
riuszy (tabela 5).
Tabela 5. Udziały i wartość Shapley'a w TP S.A.
Lp.
Akcjonariusz
Udział w ogólnej liczbie
głosów (%)9
Wartość Shapley'a
1
France Telecom S.A.
49,780
0,500
2
Capital Group International
5,050
0,167
3
Telekomunikacja Polska S.A.
1,770
0,167
4
Pozostali
43,400
0,167
Źródło: Opracowanie własne.
Analiza siły decyzyjnej pokazuje, iż drobni udziałowcy nawet tworzący
jeden zespół nie mają takiej siły jak akcjonariusz France Telekom S.A., choć
biorąc pod uwagę liczbę posiadanych akcji różnica jest niewielka. Dodatkowo
można zauważyć, iż do podejmowania wszelkich uchwał głównemu udziałow-
cowi wystarczy wsparcie tylko jednego z pozostałych graczy. Biorąc pod uwagę
fakt, iż pracownicy TP S.A. posiadają akcje spółki, France Telekom S.A. jako
główny udziałowiec, wraz z akcjami pracowników TP S.A. w całości kontroluje
spółkę. Można przypuszczać, iż podczas głosowań na walnym zgromadzeniu
pracownicy spółki będą zachowywać się zgodnie z intencją głównego udzia-
łowca. Biorąc pod uwagę udziały tych dwóch graczy, wartość Shapley'a wynosi
1, co oznacza, iż pozostali gracze są nieistotni w procesie podejmowania decy-
zji dotyczących spółki. Pokazuje to również, iż drobni udziałowcy mogą jedynie
liczyć na uzyskiwanie zysków z tytułu posiadanych akcji spółki, jednak nie
powinni przypuszczać, iż mogą mieć jakiś wpływ na podejmowanie decyzji w
spółce. Nawet gdyby wszyscy łącznie stworzyli jednomyślny zespół, potrzebo-
wali by jeszcze wsparcia pozostałych dwóch mniejszych akcjonariuszy.
3.2. CP Energia S.A.
9
Stan na 15.06.2012.

187
Spółka jest jednym z wiodących w Polsce niezależnych dostawców gazu
ziemnego. Odbiorcami są klienci komunalni, indywidualni oraz przemysłowi.
Firma realizuje również dostawy gazu z Rosji
10
.
Spółka posiada sześciu głównych akcjonariuszy, w tym pięciu posiadają-
cych więcej niż 5% łącznych udziałów. Traktując drobnych akcjonariuszy jako
"pozostali", łącznie możliwych ustawień koalicji mamy 7! czyli 5040. Wyzna-
czając koalicje wygrywające oraz korzystając ze wzoru (9) wyznaczymy warto-
ści Shapley'a dla poszczególnych akcjonariuszy (tabela 6).
Tabela 6. Udziały i wartość Shapley'a akcjonariuszy w spółce CP Energia S.A.
Lp.
Akcjonariusz
Udział w ogólnej liczbie
głosów (%)11
Wartość Shapley'a
1
Galiver Ltd.
29,840
0,450
2
RIT Capital Partners
17,930
0,250
3
PBG S.A.
15,340
0,250
4
Intervisual Investments Ltd.
9,840
0,150
5
Capital Partners S.A.
7,560
0,150
6
Robińska Katarzyna
0,060
0,000
7
Pozostali
19,430
0,250
Źródło: Opracowanie własne.
Analiza wartości Shapley'a poszczególnych akcjonariuszy spółki CP Ener-
gia S.A. pokazuje, iż rożna liczba akcji, a tym samym głosów podczas podej-
mowania uchwał, nie oznacza różnej siły decyzyjnej. Można posiadać mniejszą
liczbę akcji, a mieć jednakowy wpływ na podejmowanie decyzji, co akcjonariu-
sze z większymi udziałami. Patrząc z drugiej strony, można mieć większy
udział w spółce, a taki sam wpływ na podejmowanie decyzji, jak udziałowcy z
mniejszą ilością akcji. Wynika to z tego, iż w przypadku podejmowania decyzji
istotne znaczenie ma uzyskanie większości, nie zaś to, jaka będzie wartość tej
większości. Tak więc wartość Shapley'a pokazuje nam zdolność akcjonariuszy
do tworzenia koalicji zwycięskich, tj. takich, które są w stanie podejmować
uchwały bez względu na opinię pozostałych udziałowców.
10
Informacje o spółce zostały zaczerpnięte ze strony internetowej www.cpenergia.pl.
11
Stan na 15.06.2012.

188
Warto również zwrócić uwagę, iż drobni udziałowcy jako jeden zespół nie
posiadają takiej siły decyzyjnej jak akcjonariusze RIT Capital Partners i PBG
S.A., chociaż łącznie posiadają więcej głosów. Tym samym wartość Shapley'a
pokazuje, iż korzystniej jest tworzyć koalicję zdolną do podjęcia uchwały z
którymś z akcjonariuszy instytucjonalnych niż dążąc do przekonania drobnych
akcjonariuszy do swoich racji.
Z kolei dla akcjonariuszy instytucjonalnych posiadających więcej niż 5%
udziałów, analiza ich siły decyzyjnej pokazuje, iż mają oni wpływ na podejmo-
wanie uchwał i są istotnymi graczami dla większych udziałowców. Są tzw.
"języczkiem u wagi" w czasie walnych zgromadzeń, zaś ich udział w zebra-
niach ma istotne znaczenie, nie tylko pod względem tworzenia koalicji, lecz
również mając na uwadze fakt, iż nieobecność spowoduje wzrost siły decyzyj-
nej udziałowców obecnych na zgromadzeniu.
3.3. Lubelski Węgiel Bogdanka S.A.
Spółka jest jednym z liderów rynku producentów węgla kamiennego w Pol-
sce. Sprzedawany węgiel kamienny energetyczny stosowany jest przede
wszystkim do produkcji energii elektrycznej, cieplnej i produkcji cementu. Od-
biorcami są w głównej mierze firmy przemysłowe, przede wszystkim podmioty
prowadzące działalność w branży elektroenergetycznej zlokalizowane we
wschodniej i północno-wschodniej Polsce
12
.
Spółka posiada siedmiu głównych akcjonariuszy posiadających więcej niż
5% łącznych udziałów. Traktując drobnych akcjonariuszy jako "pozostali",
łącznie możliwych ustawień koalicji mamy 8! czyli 40320. Wyznaczając koali-
cje wygrywające oraz korzystając ze wzoru (9) wyznaczymy wartości Shapley'a
dla poszczególnych akcjonariuszy (tabela 7).
12
Informacje o spółce zostały zaczerpnięte ze strony internetowej www.lw.com.pl.

189
Tabela 7. Udziały akcjonariuszy oraz wartość Shapley'a w spółce Lubelski Węgiel
Bogdanka.
Lp.
Akcjonariusz
Udział w ogólnej liczbie
głosów (%) na ZWZ13
Wartość Shapley'a na ZWZ
1
ING OFE
24,160
0,650
2
OFE PZU Złota Jesień
16,110
0,383
3
Nordea OFE
13,600
0,283
4
Amplico OFE
12,080
0,283
5
AXA OFE
10,030
0,250
6
Government of Norway
8,370
0,200
7
Allianz OFE
7,990
0,167
8
Pozostali
7,670
0,167
Źródło: Opracowanie własne.
Analiza wartości Shapley'a dla spółki Lubelski Węgiel Bogdanka pokazuje,
iż największy udziałowiec, choć ma niezbyt dużą przewagę w ilości głosów, to
jego siła decyzyjna jest prawie dwukrotnie większa niż siła decyzyjna kolejnego
akcjonariusza pod względem liczby głosów. Tym samym udziałowiec ING
Otwarty Fundusz Emerytalny ma największą zdolność tworzenia koalicji zwy-
cięskich zdolnych podejmować uchwały, jednocześnie jest najbardziej pożąda-
nym członkiem zespołu przez pozostałych akcjonariuszy. Jego przyłączenie się
do koalicji znacznie zwiększa możliwość uzyskania większości zdolnej decy-
dować o uchwałach w spółce.
Ponadto potwierdza się w tym przypadku wcześniejszy wniosek, iż można
posiadać mniejszą liczbę głosów, a mieć jednakowy wpływ na podejmowanie
decyzji, co akcjonariusze z większymi udziałami.
3.4. Erbud S.A.
Jest to jedna z najdynamiczniej rozwijających się polskich grup budowla-
nych, świadcząca usługi w segmencie komercyjnym, użyteczności publicznej,
energetycznym, mieszkaniowym oraz inżynieryjno-drogowym, na terenie Pol-
ski oraz innych krajów europejskich (w Niemczech, Belgii, Luksemburgu i
13
Zgodnie z protokołem spółki ze Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia w dniu 27 kwietnia
2012 roku.

190
Holandii). W maju 2007 roku spółka zadebiutowała na Giełdzie Papierów War-
tościowych w Warszawie
14
.
Spółka posiada pięciu akcjonariuszy posiadających każdy powyżej 5%
łącznych udziałów oraz wielu tzw. drobnych akcjonariuszy. Tabela 8 przedsta-
wia zestawienie akcjonariuszy pod względem łącznych udziałów oraz głosów
na Zwyczajnym Walnym Zgromadzeniu, które odbyło się w dniu 31 maja 2012
roku.
Tabela 8. Akcjonariat spółki Erbud.
Lp.
Akcjonariusz
Udział w ogólnej liczbie
głosów (%)
Udział w ogólnej liczbie
głosów na ZWZ (%)15
1
Wolff&Muller Baubeteiligungen
GmbH&Co.
32,840
40,490
2
Juladal Investment Limited
22,290
27,480
3
Aviva OFE
9,360
11,540
4
ING OFE
8,700
10,730
5
Dariusz Grzeszczak
5,930
7,310
6
Pozostali
20,880
2,450
Źródło: Opracowanie własne.
Traktując drobnych akcjonariuszy jako "pozostali", łącznie możliwych
ustawień koalicji mamy 6! czyli 720. Wyznaczając koalicje wygrywające oraz
korzystając ze wzoru (9) wyznaczymy wartości Shapley'a dla poszczególnych
akcjonariuszy (tabela 9).
Tabela 9. Wartości Shapley'a akcjonariuszy spółki Erbud.
Lp.
Akcjonariusz
Wartość Shapley'a
Wartość Shapley'a na
ZWZ
1
Wolff&Muller Baubeteiligungen
GmbH&Co.
0,567
0,783
2
Juladal Investment Limited
0,317
0,217
3
Aviva OFE
0,067
0,217
4
ING OFE
0,067
0,217
14
Informacje o spółce zaczerpnięte ze strony internetowej www.erbud.pl.
15
Zgodnie z protokołem spółki ze Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia w dniu 31 maja
2012 roku.

191
5
Dariusz Grzeszczak
0
0,033
6
Pozostali
0,317
0,033
Źródło: Opracowanie własne.
Uwagę zwraca fakt, iż akcjonariusz Wolff&Muller Baubeteiligungen uzy-
skuje znaczną przewagę w sile decyzyjnej na walnym zgromadzeniu, głównie z
tego względu, iż udziału w zebraniu nie biorą drobni akcjonariusze, którzy
łącznie mają siłę decyzyjną równą akcjonariuszowi Juladal Investment Limited,
drugiemu pod względem ilości udziałów. Brak udziału w walnym zgromadze-
niu drobnych akcjonariuszy (którzy zapewne wykorzystują akcje spółki jedynie
do gry na giełdzie i uzyskiwania potencjalnego zysku powoduje, iż wzrasta
znacznie siła decyzyjna głównego akcjonariusza a jednocześnie siłą decyzyjna
drugiego akcjonariusza spada do poziomu siły kolejnych akcjonariuszy. Tym
samym staje się on graczem równym pozostałym akcjonariuszom. W ten sposób
główny akcjonariusz chcąc stworzyć koalicję zwycięską zdolną podejmować
uchwały bez względu na opinię pozostałych akcjonariuszy, może dobrać sobie
do zespołu dowolnego z pozostałych udziałowców. Można wysnuć wniosek, iż
w jego interesie będzie "niezbyt dokładne" informowanie drobnych akcjonariu-
szy o terminie i miejscu walnego zgromadzenia spółki.
Podsumowanie
Ideą powstania wartości Shapley'a było ustalenie sprawiedliwego podziału
uzyskanego zysku zespołu wobec wspólnego działania w stosunku do łącznego
zysku przy osobnym działaniu. Jak to pokazuje gra "orkiestra jazzowa" Peytona
Younga czy gra "promocja świąteczna" autora tego artykułu, każdych dwóch
graczy zarobi więcej działając razem niż zarobiliby łącznie, jednak występując
osobno. Tak samo zespół trzech graczy zarobi więcej występując razem niż
łącznie zespół dwuosobowy i trzeci gracz działający osobno. Jest to rozwiązanie
gry kooperacyjne, której przykładem jest również głosowanie na walnym zgro-
madzeniu akcjonariuszy spółki akcyjnej. Wykorzystując wartość Shapley'a mo-
żemy zmierzyć możliwość każdego akcjonariusza do tworzenia zespołów zdol-

192
nych podejmować uchwały większością głosów. Zdolność do tworzenia takich
zwycięskich koalicji określana jest jako siła decyzyjna danego akcjonariusza.
Wartość Shapley'a pokazuje nam zdolność akcjonariuszy do tworzenia koa-
licji zwycięskich, tj. takich, które są w stanie podejmować uchwały bez względu
na opinię pozostałych udziałowców.
Z analizy wartości Shapley'a wynika, iż siła decyzyjna nie odzwierciedla
ilości posiadanych udziałów czy ilości głosów z tytułu posiadanych akcji. Moż-
na mieć niewielką liczbę akcji, a siłę decyzyjną równą akcjonariuszom z więk-
szą ilością akcji (jednak nie przekraczającą 50%). Ciekawą analizą jest znale-
zienie takiego poziomu udziału w spółce, przy którym zyskuje się większą siłę
decyzyjną.
Ponadto analiza siły decyzyjnej pokazuje, jakie znaczenie mają w trakcie
głosowań nad uchwałami mniejsi akcjonariusze. Są tzw. "języczkiem u wagi" w
czasie walnych zgromadzeń, zaś ich udział w zebraniach ma istotne znaczenie,
nie tylko pod względem tworzenia koalicji, lecz również mając na uwadze fakt,
iż nieobecność spowoduje wzrost siły decyzyjnej udziałowców obecnych na
zgromadzeniu.
Analiza wartości Shapley'a może również posłużyć do przedstawienia siły
wpływu politycznego w organach ustawodawczych. W takiej sytuacji graczami
będą partie polityczne i kluby parlamentarne, zaś udziały będą reprezentowały
ilość głosów, jakimi partie i kluby dysponują.
Literatura
Axelrod R., Hamilton W. D. (1981), The evolution of cooperation, "Science", 212, 1390-1396.
Drabik E. (2005), Zastosowanie teorii gier w ekonomii i zarządzaniu, Wydawnictwo SGGW,
Warszawa.
Dubey P. (1975), On the uniqueness of the Shapley value, "International Journal of Game Theo-
ry", 4, 131-139.
Enelow J., Hinich M. (1984), The spatial theory of voting: an inroduction, Cambridge University
Press, New York.
Farquharson R. (1969), Theory of voting, Yale University Press, New Haven.

193
Gibbart A. (1973), Manipulation of voting schemes: a general result, "Econometrica", 41, 587-
602.
Kałuski J. (2002), Teoria gier, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice.
Malawski M., Wieczorek A., Sosnowska H. (2004), Konkurencja i kooperacja - teoria gier w
ekonomii i naukach społecznych, PWN, Warszawa.
Nash J. F. (1953), Two person cooperative games, "Econometrica", 27, 128-140.
Nisan N., Roughgarden T., Tardos E., Vazirani V. (2007), Algorithmic Game Theory, Cambridge
University Press, New York.
Roth A. (1988), The Shapley value: essays in honor of LLoyd S. Shapley, Cambridge University
Press, New York.
Shapley L. S. (1953), A value for n-person games, [w:] Kuhn H. W., Tucker A. W., Contributions
to the Theory of games, Princeton University Press, New Jersey, s. 307-317.
Straffin P. D. (2004), Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa.
Tyszka T. (1978), Konflikty i strategie - niektóre zastosowania teorii gier, WNT, Warszawa.
Young P. (2003), Sprawiedliwy podział, Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa.
Young P. (1993), The evolution of conventions, "Econometrica", 61(1), 57-84.
Streszczenie
Ideą powstania wartości Shapley'a, było ustalenie sprawiedliwego podziału uzyskanego zysku
zespołu wobec wspólnego działania w stosunku do łącznego zysku przy osobnym działaniu. W
ten sposób otrzymujemy rozwiązanie gry kooperacyjnej. Przykładem takiej gry jest podejmowa-
nie uchwał większością głosów w spółce akcyjnej. Wykorzystując twierdzenie Shapley'a i analizę
obliczonej wartości, można zmierzyć zdolność akcjonariuszy do tworzenia zespołów mogących
podejmować uchwały bez względu na opinie pozostałych akcjonariuszy nie włączonych do ze-
społu. W ten sposób powstają tzw. koalicje zwycięskie.
Abstract
Shareholders decision-power in joint-stock company
The idea of the Shapley's value was to determine fair distribution of any profit on team common
action to the overall profit for separate action. In this way we determine the solution of coopera-
tive games. Making decisions in joint-stock company on stockholders meeting is also an example
of cooperative game. Using Shapley's value we can measure the ability of shareholders to create
victorious coalitions.