Voisinage d'arbre évolutif appliqué au problème Maximum Parcimonie

Abstract

http://www710.univ-lyon1.fr/~csolnon

Full text

Voisinage d’arbre ´evolutif appliqu´e au probl`eme
Maximum Parcimonie
Adrien Go¨effon, Jean-Michel Richer, Jin-Kao Hao
To cite this version:
Adrien Go¨effon, Jean-Michel Richer, Jin-Kao Hao. Voisinage d’arbre ´evolutif appliqu´e au
probl`eme Maximum Parcimonie. Christine Solnon. Premi`eres Journ´ees Francophones de
Programmation par Contraintes, Jun 2005, Lens, Universit´e d’Artois, pp.443-446, Premi`eres
Journ´ees Francophones de Programmation par Contraintes. <inria-00000080>
HAL Id: inria-00000080
https://hal.inria.fr/inria-00000080
Submitted on 26 May 2005
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Actes JFPC 2005
Voisinage d’Arbre Evolutif Appliqué au
Problème Maximum Parcimonie
Adrien Goëffon, Jean-Michel Richer et Jin-Kao Hao
LERIA - Université d’Angers
2 bd Lavoisier - 49 045 Angers Cedex 01
Firstname.Name@univ-angers.fr
Résumé
Le problème Maximum Parcimonie vise à recons-
truire un arbre phylogénétique à partir de séquences
ADN de manières à ce que le nombre de mutations gé-
nétiques survenues au cours de l’évolution soit minimal.
Pour résoudre ce problème NP-complet, de nombreuses
méthodes heuristiques ont été développées, pour la plu-
part basées sur la recherche locale. Ici, nous nous inté-
ressons à l’influence de la relation de voisinage utilisée et
introduisons le concept de voisinage évolutif. Nous mon-
trons empiriquement que ce voisinage évolutif s’avère
plus puissant et robuste que les voisinages classiques.
1 Introduction
La phylogénie peut être définie comme la recons-
truction de l’évolution d’un ensemble d’espèces (ou
taxons) associés à une séquence d’acides nucléiques
(ADN) ou d’acides aminés (AA). Ces relations sont
représentées par un arbre dit phylogénétique.
Il existe plusieurs manière de reconstruire des arbres
phylogénétiques [2] : méthodes de distance, méthodes
probabilistes et méthodes cladistes.
Le problème Maximum Parcimonie (MP), vise à re-
trouver la phylogénie qui minimise le nombre d’évène-
ments évolutifs (score) et permet d’attribuer à chaque
ancêtre hypothétique (noeud interne de l’arbre), les
états possibles pris pour chaque caractère. Ce pro-
blème cladistique utilise une matrice de caractères
donnée sans recourir à un modèle de l’évolution.
MP est NP-complet [4]. L’approche utilisée pour
l’approximation du problème consiste à utiliser des al-
gorithmes heuristiques dans le but de trouver le plus
rapidement possible un arbre d’un score très proche
de celui d’une solution optimale. Considérant les très
larges espaces de recherche, il se vérifie empiriquement
que des heuristiques de recherche locale stochastique
sont particulièrement adaptées au problème MP, à la
condition d’utiliser un voisinage approprié.
Il existe majoritairement dans la littérature trois
voisinages d’arbres : NNI [8], SPR [7] et TBR [7].
Chaque recherche locale associée gagne en efficacité
ou en rapidité suivant le voisinage utilisé. Notre dé-
marche consiste à combiner les propriétés de ces voisi-
nages intéressants afin d’obtenir une recherche locale
à la fois rapide, efficace et robuste. Nous introduisons
ici le concept de voisinage évolutif en tant que nouvelle
approche pour la résolution du problème MP. Tous les
tests effectués montrent le réel gain apporté par cette
technique d’un point de vue efficacité et temps de cal-
cul, et surtout sa capacité à converger très vite vers
une solution de confiance, en évitant les pièges des op-
tima locaux.
2 Le problème Maximum Parcimonie
Le problème MP consiste à partir d’un ensemble S
de séquences, à retrouver la phylogénie optimale au
sens du critère de parcimonie, c’est-à-dire un arbre
dont les feuilles sont associées aux séquences de Set
qui minimise le nombre de mutations.
Définition 1 La distance de Hamming H(x, y)entre
deux séquences x= (x1, x2,...,xk)et y=
(y1, y2,...,yk)est égale à |{i:xi6=yi}|.
Définition 2 Le score de parcimonie f(T)d’un arbre
T= (V, E )dont chaque noeud vest étiqueté par une
séquence svde longueur ksur un alphabet Σest la
somme des distances de Hamming des séquences éti-
quetant chaque couple de noeuds séparés par une arête
dans T, i.e. f(T) = P(x,y)∈EH(x, y).

Etant donné un arbre Tdont les feuilles sont bijecti-
vement étiquetées par les séquences de S, Fitch a for-
malisé un algorithme polynomial [3] qui calcule des sé-
quences hypothétiques (assignées aux noeuds internes
de l’arbre) et le score de parcimonie de telle sorte que
celui-ci soit minimal.
Le but du problème MP est de trouver un arbre dont
le score de parcimonie est le plus faible parmi tous les
arbres phylogénétiques possibles pour un ensemble S
de séquences. MP peut alors être formulé comme un
problème combinatoire de minimisation (T, f)tel que :
1. l’espace de recherche Test défini par l’ensemble
des Q|S|
i=3(2i−3) configurations possibles
2. la fonction de coût f:T → IN qui calcule le score
de parcimonie de T.
3 Recherche locale et voisinages
La méthode de descente consiste à générer une pre-
mière phylogénie, puis à rechercher une phylogénie voi-
sine (au sens d’une relation de voisinage) dont le score
est inférieur, et ainsi de suite jusqu’à ce que la phy-
logénie courante n’ait aucun voisin dont le score soit
strictement inférieur. La solution finale est alors un op-
timum local, qui n’est pas nécessairement un optimum
global.
Cette approche de descente, qui est la méthode de
recherche locale la plus simple, dépend essentiellement
de la relation de voisinage à laquelle elle est associée.
Même s’il existe de nombreuses techniques pour ten-
ter d’améliorer la qualité des solutions fournies par les
algorithmes de descente, ces derniers sont à la base de
toutes les meilleures méthodes de résolution actuelles.
Une relation de voisinage structure l’espace de re-
cherche sur lequel une méthode de recherche locale
(par exemple descente) est appliquée. Les trois rela-
tions de voisinage d’arbres que l’on retrouve systéma-
tiquement dans la littérature sont NNI, SPR et TBR.
NNI (Nearest Neighbor Interchange) consiste à échan-
ger deux branches adjacentes de l’arbre, SPR (Subtree
Pruning Regrafting) est une stratégie qui coupe une
branche et la réinsère à un autre endroit de l’arbre, et
TBR (Tree-Bisection-Reconnection) est un voisinage
plus large qui casse l’arbre en deux sous-arbres qui
seront reconnectés à partir d’une de leurs arêtes. On
peut remarquer que NNI ⊆S P R ⊆T BR.
Une relation de voisinage réduite comme NNI pos-
sède l’avantage de favoriser la recherche à grande
échelle en ne permettant que des modifications très
locales sur l’arbre. Calculer la variation de coût en-
gendrée par une transformation NNI est d’autant plus
rapide que l’arbre résultant est très proche, et par-
courir l’ensemble des voisins d’une configuration est
également plus rapide qu’avec un voisinage plus large,
car le nombre de voisins à explorer est plus petit. En
revanche, une recherche locale sur un tel espace de re-
cherche aura une faible capacité à améliorer sensible-
ment le coût d’une solution sur quelques pas. De plus,
étant donné le faible nombre de voisins, les optima
locaux seront plus fréquents sur des solutions pas né-
cessairement proches de l’optimum en terme de coût.
A l’opposé, une relation de voisinage plus large
comme SPR ou TBR est plus coûteuse d’un point
de vue calculatoire. Explorer tout le voisinage d’une
configuration prend plus de temps (même si Goloboff
[5] propose une méthode qui réduit la complexité du
recalcul du score), et les arbres voisins peuvent subir
d’importantes modifications topologiques.
4 Voisinage évolutif
Afin de combiner les propriétés intéressantes des voi-
sinages larges et restreints, nous proposons d’effectuer
une recherche locale sur un espace de recherche qui
s’élargit ou se rétracte en fonction de l’avancée de la
recherche, ou de la fréquence d’apparition de voisins
pertinents. A titre d’exemple simple, nous définissons
un schéma prédéfini de voisinage qui se rétracte que
nous appliquons au problème MP.
Partir du voisinage le plus large peut s’avérer per-
tinent, en construisant les bases de la topologie de la
future solution. Evaluer plus de voisins (avec des modi-
fications plus sensibles) en début de recherche va per-
mettre d’améliorer grandement le coût des solutions
dès les premiers pas de la recherche locale, grâce à
une recherche plus intensive. En fin de recherche, on
peut imaginer n’intervenir que très localement sur la
topologie de l’arbre. On peut obtenir ce schéma en ré-
duisant petit à petit l’étendue du voisinage exploré au
fil de la recherche.
Prenons deux voisinages N1et N2tels que N2⊆
N1, de sorte que nous puissions définir plus simple-
ment un voisinage paramétrique Ndqui généralise N1
et N2. Une piste intéressante est de considérer N1
=NSP R et N2=NNNI. Avec SPR, on dégrafe une
branche de l’arbre et on la reconnecte ailleurs, sans
contrainte particulière si ce n’est d’obtenir un arbre
valide et distinct. On peut voir NNI comme un SPR
particulier, où une branche doit être insérée sur une
arête voisine d’où elle provient dans l’arbre courant.
Par extension, nous imaginons alors un voisinage
de type SPR où la distance entre l’arête supprimée
et l’arête insérée soit contrainte. Si cette distance
est maximale, alors il s’agit du voisinage SPR, sans
contrainte. Si celle-ci elle minimale, alors nous nous
retrouvons dans le cas NNI. Nous introduisons alors
un paramètre d, tel que NSP R
d(T)représente l’en-

semble des arbres obtenus par transformation SPR et
dont la longueur du chemin entre l’arête dégrafée et
l’arête d’insertion n’excède pas d. Réduire ddurant la
recherche permet de débuter avec un voisinage qua-
dratique (SPR) et de terminer avec le voisinage NNI,
linéaire par rapport au nombre de noeuds.
5 Premières expérimentations
5.1 Conditions d’expérimentation
Durant nos tests, nous avons utilisé en premier lieu
300 instances aléatoires, toutes générées suivant des
combinaisons de paramètres différentes. Nous avons
observé que la tendance des résultats variait très peu
d’une instance à l’autre. Parmi elles et pour des raisons
de lisibilité, nous avons choisi d’en extraire deux, com-
portant respectivement 300 séquences ADN courtes
(100 caractères) et 500 séquences plus longues (1000
caractères). De plus, nous considérons l’instance zilla
[1] majoritairement utilisée dans la littérature et ré-
putée très difficile, composée de 500 séquences de 759
caractères.
Nous utilisons un algorithme de descente stricte sur
lequel nous testons les trois voisinages : NSP R,NNNI
et NSP R
dpour le Voisinage Evolutif tel qu’il est dé-
crit dans la section 4 (le paramètre dest initialisé
au plus petit majorant des distances entre noeuds,
et est réduit de manière linéaire jusqu’à 1). Puisque
NNNI ⊆ N SP R
d⊆ N SP R , la descente classique (qui
retourne obligatoirement un optimum local) utilisant
NSP R retournera majoritairement des solutions de
coût meilleur ou égal. Mais déterminer un optimum
local nécessite en particulier d’avoir calculé tous ses
voisins. Pour mesurer efficacement l’influence du voi-
sinage sur la qualité de la solution retournée pour un
effort calculatoire équivalent (et donc des temps de cal-
cul plus raisonnables), nous fixons un nombre maximal
Md’itérations de recherche locale.
Nous avons lancé 20 fois chaque descente, à partir
d’un arbre aléatoire (méthode Adans les tableaux de
résultats), ou à partir d’un arbre construit selon une
méthode de distances stochastique (D) qui permet de
débuter la recherche depuis un arbre de meilleur score
(nécessaire pour l’instance difficile zilla).
5.2 Résultats
Les tableaux de résultats contiennent, pour chaque
instance et chaque méthode, le score minimum fb, le
score moyen fmet son écart-type σsur l’ensemble des
essais, ainsi que le temps d’exécution moyen en se-
condes (tableau 1) ou en minutes. Les tests ont été
réalisés sur une station SunFire à 750 MHz avec 8 Go
de Ram.
300-100 fbfmσtemps
A+NSP R 1 579 1 647,9 32,3 115
A+NNNI 1 746 1 921,9 92,2 53
A+NSP R
d1 304 1 310,8 7,0 51
D+NSP R 1 336 1 342,4 4,1 77
D+NNNI 1 303 1 305,6 3,7 54
D+NSP R
d1 302 1 303,4 1,5 53
Tab. 1 – Comparaison entre les voisinages (20 exécutions limitées
à 50 000 itérations)
Le tableau 1 montre que le voisinage NSP R retourne
des solutions de score très éloigné de ceux des solutions
trouvées par NSP R
d. La qualité de la solution retour-
née avec NNNI est fortement dépendante de l’arbre
initial et peut converger très rapidement vers un opti-
mum local, ce qui montre l’instabilité de la méthode en
fonction des facteurs stochastiques. NNNI n’est vrai-
ment efficace (en terme de performance, robustesse et
temps de calcul) que lorsque les séquences sont longues
et à condition de débuter la recherche avec une bonne
solution (D). Notre voisinage évolutif NSP R
dobtient
de bons résultats depuis toute solution initiale, mal-
gré le nombre réduit d’itérations comparé à la taille
du problème.
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000
score de l’arbre courant
nombre d’iterations
VE
NNI
SPR
Fig. 1 – Evolution du score de la solution courante à partir d’un
arbre aléatoire sur 50 000 itérations (instance 300-100 )
La figure 1 montre l’évolution du score de l’arbre
courant en fonction de l’avancée de la recherche, pour
l’instance 300-100 et en partant d’un arbre aléatoire
(la recherche reportée est celle retournant l’arbre de
score médian). La recherche locale à voisinage évolutif
(VE) domine clairement SPR et NNI.
Pour une instance très large (tableau 2), il se
confirme que NSP R donne de mauvais résultats. Les
scores retournés par NNNI sont peu stables, avec des
écarts-types importants. Si un allongement du temps
de recherche provoque une amélioration des perfor-
mances de NSP R , ce n’est rapidement plus le cas pour
NNNI, qui retourne très tôt un optimum local. On re-
marque particulièrement l’efficacité du voisinage évo-
lutif NSP R
ddans le cas de larges instances. En 100 000
itérations, il parvient à retourner systématiquement,

500-1000 M fbfmσtemps
NSP R
5.104
36 505 37 595,6 595,1 39’
NNNI 28 478 30 072,0 1 374,8 20’
NSP R
d24 337 24 491,7 184,7 16’
NSP R
105
31 615 32 029,7 319,4 75’
NNNI 24 319 24 460,3 188,9 29’
NSP R
d24 319 24 319 0 33’
NSP R
1,5.105
28 961 29 490,7 407,6 116’
NNNI 24 319 24 460,3 188,9 29’
NSP R
d24 319 24 319 0 44’
Tab. 2 – Comparaison entre les voisinages sur une instance large,
à partir d’une solution initiale aléatoire
une solution de score égal au meilleur score trouvé
pour cette instance. Sur les 20 tests, NNNI n’a trouvé
qu’une seule fois un tel score.
zilla M fbfmσtemps
NSP R
105
17 089 17 116,8 24,8 145’
NNNI 16 556 16 778,9 119,2 19’
NSP R
d16 306 16 356,5 47,8 27’
NSP R
2.105
16 785 16 816,8 36,6 278’
NNNI 16 556 16 778,9 119,2 19’
NSP R
d16 282 16 297,9 9,8 57’
NSP R
3.105
16 590 16 645,3 57,5 395’
NNNI 16 556 16 778,9 119,2 19’
NSP R
d16 277 16 296,3 18,0 77’
Tab. 3 – Comparaison entre les voisinages sur l’instance zilla , à
partir d’une solution construite
Avec l’instance réelle zilla bien connue, trouver le
score minimum calculé à ce jour (16 218) en un faible
nombre d’itérations et avec un unique arbre de dé-
part (une réplication ) est peu probable. Pour NSP R
et NNNI, nous avons lancé 20 fois chaque méthode
mais uniquement sur 3.105itérations. Les valeurs pour
105et 2.105itérations sont données par les résultats
intermédiaires des recherches locales. NNNI retourne
systématiquement un optimum local en 50 000 itéra-
tions en moyenne, c’est pour cette raison que les ré-
sultats sont identiques pour un Msupérieur. Sur cette
instance difficile, on remarque immédiatement la puis-
sance du voisinage évolutif. En 200 000 ou 300 000 ité-
rations, l’écart entre les arbres retournés et le meilleur
arbre connu à ce jour varie entre 0,36% et 0,69%,
(0,49% en moyenne), tandis qu’il varie entre 2,08% et
4,33% (3,31% en moyenne, soit près de 7 fois plus)
pour les autres voisinages connus.
La figure 2 montre le comportement des trois re-
cherches ayant retourné le score médian pour les trois
méthodes appliquées à l’instance zilla sur 300 000 ité-
rations. On remarque clairement la supériorité du voi-
sinage évolutif NSP R
d, noté VE sur les figures, par rap-
port à SPR et NNI.
16500
17000
17500
18000
18500
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000
score de l’arbre courant
nombre d’iterations
VE
NNI
SPR
Fig. 2 – Evolution du score de la solution courante sur 3.105
itérations (instance zilla ) partant d’un arbre initial construit selon
une méthode de distances
6 Conclusion
Pour résoudre le problème MP, les recherches locales
basées sur SPR et NNI sont parmi les méthodes les
plus populaires. Bien qu’elles soient très performantes
et rapides pour des petites instances (comportant
moins de 100 espèces), elles apparaissent peu fiables
lorsqu’on les applique à des instances plus grandes.
L’objectif ici était de comprendre l’influence du voi-
sinage utilisé en fonction des instances et de l’avancée
de la recherche locale, et de proposer une alternative
qui combine les propriétés intéressantes des voisinages
SPR et NNI. Nous avons alors introduit la notion de
voisinage évolutif, et effectué une série d’expérimenta-
tions montrant un gain d’efficacité sensible par rapport
à SPR et NNI, notamment sur des instances difficiles.
De plus, sa robustesse entraîne un gain de temps, car
elle permet de minimiser le nombre de réplications.
En effet, l’arbre initial influe très peu sur la qualité
des solutions retournées par le voisinage évolutif.
Remerciements : Ce travail est partiellement supporté par Ouest
Genopole R
.
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