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Un metodo didattico per sviluppare competenze nel calcolo mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre in studenti con difficoltà o con disturbo di apprendimento

Authors:

Abstract

The article presents the results of a controlled experiment designed to evaluate a teaching method aimed at developing mental calculation competencies in students with learning difficulties or disorder. The method exploits touch-screen technology to give students the means to have an Immersive Learning Experience of the strategies that experts use in mental calculation. The strategies that may be involved in mental calculation of multi-digit addition and subtraction are presented along with the ways in which these strategies are incorporated into the application used in the experiment. Ten students with learning difficulties or disorder were involved in the experiment and underwent three-months training by touch-screen application following a standardized protocol. Their performance was evaluated by a standardized test performed at the beginning and at the end of the experiment, by two questionnaires and by a final test of acquired mathematical skills. Statistical analysis showed a significant increase of the mean score at the standard addition/ subtraction test and most students, following the training, achieved a score in the normal range. The present findings indicate an effective and reproducible approach for the development of an inclusive teaching practice of mental calculation within the school context.
Un metodo didattico per sviluppare
competenze nel calcolo mentale di addizioni
e sottrazioni a più cifre in studenti con
difficoltà o con disturbo di apprendimento
Giampaolo Chiappini
/ Istituto per le Tecnologie Didattiche di Genova / chiappini@itd.cnr.it
Giacomo Cozzani
/ Istituto per le Tecnologie Didattiche di Genova / cozzani@itd.cnr.it
Luca Bernava
/ Istituto per le Tecnologie Didattiche di Genova / bernava@itd.cnr.it
Crisna Potente
/ Centro Leonardo di Genova / c.potente@centroleonardo.net
Shaula Verna
/ Centro Leonardo di Genova / shaula.verna@gmail.com
Fabrizio De Carli
/ Istituto di Bioimmagini e Fisiologia Molecolare di Milano / fabrizio@dism.unige.it
The article presents the results of a controlled experiment designed to evaluate a teaching method
aimed at developing mental calculation competencies in students with learning difficulties or di-
sorder. The method exploits touch-screen technology to give students the means to have an Im-
mersive Learning Experience of the strategies that experts use in mental calculation. The strategies
that may be involved in mental calculation of multi-digit addition and subtraction are presented
along with the ways in which these strategies are incorporated into the application used in the ex-
periment. Ten students with learning difficulties or disorder were involved in the experiment and
underwent three-months training by touch-screen application following a standardized protocol.
Their performance was evaluated by a standardized test performed at the beginning and at the
end of the experiment, by two questionnaires and by a final test of acquired mathematical skills.
Statistical analysis showed a significant increase of the mean score at the standard addition/ sub-
traction test and most students, following the training, achieved a score in the normal range. The
present findings indicate an effective and reproducible approach for the development of an inclu-
sive teaching practice of mental calculation within the school context.
Key-words: mental calculation, immersive learning experience, gimmefive, low attaining students,
dyscalculia
© Pensa MulMedia Editore srl
ISSN 2282-5061 (in press)
ISSN 2282-6041 (on line) abstract
Italian Journal of Special Education for Inclusion anno III | n. 1 | 2015
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III. Esiti di ricerca
1 Per esempio, dovendo calcolare il risultato di 34+23 aggiunge al valore 34 prima 20 e poi 3,
invece di operare con le cifre delle unità e delle decine dei due numeri come nel calcolo scritto.
2 Per esempio, dovendo calcolare il risultato di 34+98 usa una strategie diversa rispetto al calcolo
di 34+23, cioè aggiunge 100 al valore 34 e quindi toglie 2.
3 Gli studenti a basso funzionamento in aritmetica (low attaining students in arthmetic) sono un
gruppo di studenti eterogeneo con QI nella norma che mostrano resistenza ad apprendere l’arit-
metica secondo i tradizionali metodi di insegnamento e che nei test standardizzati tipicamente
producono risultati che si collocano nella fascia medio bassa (compreso tra -1ds e -2ds) o al di-
sotto di essa (minore di -2ds).
1. Introduzione
Il calcolo mentale presenta caratteristiche di esecuzione che lo rendono profon-
damente diverso dal calcolo scritto. Una persona esperta per svolgere un calcolo
mentale generalmente: i) opera sul valore complessivo del numero piuttosto che
sulle singole cifre di ogni numero coinvolto nel calcolo1; ii) seppur in modo im-
plicito, mobilita principi matematici importanti, come le proprietà delle opera-
zioni, con i quali elabora strategie per esprimere le quantità numeriche in gioco
in termini di relazioni tra altri numeri e semplificare il calcolo; iii) determina men-
talmente l’intero processo di calcolo in modo creativo e flessibile, tenendo conto
di specifiche caratteristiche che consentono di scomporre i numeri coinvolti nel
problema in elementi facilmente manipolabili2.
Queste caratteristiche rendono il calcolo mentale profondamente diverso
dal calcolo scritto centrato, invece, sull’esecuzione degli algoritmi caratteristici
delle operazioni aritmetiche. Notiamo che, per eseguire gli algoritmi delle ope-
razioni scritte non è necessario capire cosa rappresentano le cifre su cui si opera,
o i principi su cui si basa l’algoritmo di calcolo che si sta effettuando, e non è
neppure necessario possedere una chiara idea della struttura dei numeri e delle
relazioni che intercorrono tra di essi. È necessario solo saper eseguire rigorosa-
mente la procedura algoritmica appresa. L’intelligenza numerica, che è la capa-
cità di capire e rappresentarsi il mondo in termini di numeri e quantità, ha molto
a che vedere con il calcolo mentale e molto poco con il calcolo scritto (Lucangeli,
Ianniti & Vettore, 2007). La capacità nel calcolo mentale è una competenza im-
portante per l’autonomia di vita delle persone ed è cruciale per lo sviluppo di
capacità nella soluzione di problemi aritmetici. Infatti, l’abilità di decomporre e
comporre numeri per affrontare un problema di calcolo mentale fornisce euri-
stiche per la costruzione di strategie risolutive di problemi complessi. In gene-
rale, le competenze degli studenti nel calcolo mentale sono piuttosto carenti e,
in particolare, gli studenti a basso rendimento in ambito aritmetico3(low attai-
ning students), incontrano grosse difficoltà nello sviluppo di queste competenze
(Fuchs L.S., Fuchs D. & Prentice, 2004; Hanich, Giordania, Kaplan, & Dick, 2001).
Le cause dei modesti risultati nello sviluppo di queste competenze sono dovute
principalmente al curriculum e alla tradizione scolastica, che sono centrati prin-
cipalmente sull’insegnamento delle procedure del calcolo scritto, all’inadegua-
tezza dei metodi didattici impiegati nel sostenere gli studenti nello sviluppo delle
strategie del calcolo mentale, oltre che alle caratteristiche di funzionamento co-
gnitivo degli studenti.
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4 Il concetto di affordance è stato introdotto da Gibson nell’ambito della psicologia della percezione
per denotare la relazione tra un organismo e il suo ambiente (Gibson, 1979) ed è stato succes-
sivamente adottato da Norman nel campo di studi della Human Computer Interaction (1988)
per indicare le fondamentali proprietà degli artefatti che determinano come possono essere
usati. In quest’ultimo campo di studi la nozione di affordance ha avuto negli anni una forte evo-
luzione per tenere conto delle trasformazioni delle interfacce dovute al progresso tecnologico,
sino alle attuali interfacce immersive (Dede, 2009) che costituiscono un riferimento per il metodo
didattico da noi elaborato.
Il valore formativo del calcolo mentale e la sua importanza nel successo degli
studenti in ambito matematico sono oggi largamente condivisi nell’ambito della
ricerca didattica (Varol & Farran, 2007). Tuttavia, la ricerca didattica non ha an-
cora definito un metodo efficace e condiviso per sviluppare le strategie di calcolo
mentale con tutti i bambini, e in particolare con quelli a basso rendimento in am-
bito aritmetico.
2. Obiettivo della Ricerca
In una revisione della letteratura sul calcolo mentale di addizioni e sottrazioni e
sul modo di svilupparlo negli alunni, Varol e Farran (2007) hanno evidenziato che
una questione cruciale, oggi al centro del dibattito, è se agli studenti debba es-
sere data la possibilità di scoprire le strategie di calcolo mentale, sfruttando le
loro conoscenze e abilità naturali (Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema, & Em-
pson, 1998; Heirdsfield, 2000; Kamii, Lewis, & Livingston, 1993) o se, invece, sia
più opportuno insegnare queste strategie e consentire loro di usare quelle in cui
si sentono più sicuri (Beishuizen, 1993; Reys, 1984).
In questo lavoro presentiamo i risultati di una sperimentazione che abbiamo
effettuato per valutare un metodo didattico volto a sviluppare competenze nel
calcolo mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre. Questo metodo in qualche
misura integra i due approcci centrati rispettivamente sulla scoperta e sull’inse-
gnamento di strategie di calcolo e, allo stesso tempo, è diverso da entrambi.
Si tratta di un metodo da noi elaborato che si avvale della tecnologia per
creare le condizioni affinché gli studenti possano compiere un’Esperienza Didat-
tica Immersiva delle strategie che le persone esperte sono solite usare nel calcolo
mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre.
Lespressione “esperienza didattica immersiva” è qui usata per indicare l’espe-
rienza che si realizza in un ambiente strutturato sulla base di stimoli cognitivi e
percettivi (affordance4) che emergono operando in esso e consentono allo stu-
dente di:
Riconoscere, nella scansione degli eventi che emergono nell’interazione con
l’ambiente, l’attualizzazione concreta di strategie di calcolo che possono es-
sere proficuamente impiegate per risolvere addizioni e sottrazioni a più cifre
mediante una computazione di tipo mentale;
attribuire a tali strategie il significato e l’utilità che lo sviluppo culturale e la
pratica sociale hanno assegnato ad esse;
imparare ad usare tali strategie risolvendo un numero di compiti molto mag-
giore di quanto lo studente affronterebbe nella normale pratica didattica;
interiorizzare tali strategie in tempi brevi.
Chiaramente, affinché tutti gli studenti possano sviluppare questo tipo di
esperienza occorre che essi siano adeguatamente sostenuti nel pianificare la loro
strategia di calcolo e siano fortemente coinvolti in questo tipo di attività.
La nostra ricerca ci ha permesso di verificare che oggi è possibile far compiere
agli alunni questo tipo di esperienza, grazie all’uso della tecnologia dei tablet. In-
fatti, negli ultimi due anni, attraverso un progetto della regione Liguria, è stata
sviluppata una applicazione funzionante su iPad dal nome GimmeFive per gli
scopi sopra indicati. Questo lavoro ha come obiettivo la presentazione dei risul-
tati di una sperimentazione che è stata effettuata per valutare questo metodo
didattico e l’illustrazione del ruolo cruciale svolto dalla tecnologia nel rendere
possibile il suo impiego anche con bambini a basso rendimento in ambito arit-
metico.
3. Strategie coinvolte nel calcolo mentale di addizioni e sot-
trazioni a più cifre
Le strategie di più basso livello usate dai bambini nel loro approccio al calcolo
mentale di addizioni e sottrazioni sono basate sulla conta. All’inizio, i bambini
implementano queste strategie supportando il processo di conta attraverso l’uso
delle dita. Carpenter e Moser (1984) hanno mostrato che queste strategie pos-
sono essere di tipo counting-all (per esempio, per calcolare 3+5 il bambino parte
da 1 ed enumera in sequenza i due addendi sino ad arrivare a 8, aiutandosi con
le dita) oppure di tipo counting-on (il bambino parte dal valore cardinale di uno
degli addendi, per esempio 5, e conta in avanti per il valore dell’altro addendo
sino ad arrivare a 8, eventualmente aiutandosi con le dita).
Inoltre, Carpenter e Moser hanno evidenziato che le strategie non basate
sulla conta sono le strategie known fact e le strategie derived fact. Le prime sono
centrate sul richiamo del risultato del calcolo dalla propria memoria, in quanto
fatto aritmetico conosciuto e memorizzato verbalmente nella memoria a lungo
termine (5+3 fa 8!), le seconde sono basate su un processo di decomposizione
di uno o di entrambi gli addendi per poter derivare il risultato da fatti aritmetici
conosciuti (13+5= 18 perché 13 è 10+3 e 3+5 fa 8, quindi 10+8 fa 18).
Le strategie derived fact evolvono con l’esperienza e con lesecuzione di calcoli
mentali via via più complessi. La ricerca ha evidenziato che nel calcolo mentale
di addizioni e sottrazioni a più cifre possono essere mobilitati tre tipi di strategie
derived fact e più precisamente strategie di decomposizione, strategie sequen-
ziali, strategie di compensazione (e.g., Beishuizen, 1993; Blöte, Klein, & Beishui-
zen, 2000; Reys, Reys, Nohda, & Emori, 1995; Lucangeli, Tressoldi, Bendotti,
Bonanomi, & Siegel, 2003).
Le strategie di decomposizione sono strategie in cui i due numeri coinvolti
nel calcolo sono visti principalmente come oggetti dotati di una struttura deci-
male, quindi decomposti in base a tale struttura (i.e., in centinaia, decine e unità)
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con il fine di sommare o sottrarre separatamente le varie parti della struttura
per poi ricomporre nel risultato i calcoli parziali effettuati. Questa strategia, co-
nosciuta in letteratura anche come strategia 1010, può essere esemplificata nel
modo seguente:
34+27=; 30+20=50; 4+7=11; 50+11=61
64-39=; 60-30=30; 4-9=-5; 30+(-5)=25
Esiste una variante di questa strategia, conosciuta in letteratura come stra-
tegia 10s che crea minori problemi nella soluzione di sottrazioni. Questa strategia
presenta le caratteristiche riportate nei seguenti esempi:
34+27=; 30+20=50; 50+4=54; 54+7=61 oppure 54+6+1=61
64-39=; 60-30=30; 30+4=34; 34-9=25 oppure 34-4-5=25
Le strategie sequenziali, invece, sono strategie nelle quali solo il secondo nu-
mero viene decomposto nella struttura decimale (i.e. centinaia, decine, unità)
per far si che queste parti possano essere sequenzialmente sommate o sottratte
al primo numero.
Questa strategia, conosciuta in letteratura anche come strategia N10, può es-
sere esemplificata nel modo seguente:
34+27=; 34+20=54; 54+7=61 oppure 54+6+1=61
64-39=;64-30=34; 34-9=25 oppure 34-4-5=25
Infine, le strategie di compensazione sono strategie in cui i due numeri coin-
volti nel calcolo sono visti come oggetti che possono essere strutturati in modi
diversi, sfruttando specifiche proprietà aritmetiche, con il fine di giungere ad una
forma rappresentativa del calcolo che renda la sua esecuzione molto più facile
da essere eseguita mentalmente.
34+27=;34+30=64; 64-3=61 oppure 34+27=; 31+30=61
64-39=; 64-40=24; 24+1=25 oppure 64-39=; 65-40=25
Le strategie descritte sono giustificate dalle proprietà delle operazioni ma il
soggetto che le pratica può non essere consapevole di ciò. Esse possono essere
eseguite a diversi livelli di interiorizzazione e generalizzazione. Per esempio, ad un
livello inferiore lo studente può essere in grado di mobilitare tali strategie avva-
lendosi dell’aiuto di specifiche rappresentazioni esterne, come la linea dei numeri
o le rappresentazioni disponibili con un software interattivo come GimmeFive. Ad
un livello superiore può essere in grado di realizzarle in modo puramente mentale,
sapendo anche esplicitare i passaggi compiuti (Verschaffel et al., 2007).
Queste strategie non vengono normalmente usate spontaneamente dagli stu-
denti con basso rendimento in ambito aritmetico (Denvir &Brown, 1986; Gerva-
soni, Hadden & Turkenburg, 2007). Questi studenti tendono ad usare la strategia
in cui si sentono più sicuri, e questa generalmente coincide con la strategia basata
sulla conta (spesso supportata dall’uso delle dita) o sull’esecuzione mentale del-
l’algoritmo dell’operazione scritta (Wright, Ellemor-Collins, & Lewis, 2007).
4. Le funzionalità di GimmeFive
GimmeFive5è una applicazione funzionante su iPad che è stata sviluppata per
coinvolgere tutti gli studenti in attività volte a sviluppare, da una parte, la padro-
nanza delle relazioni additive dei numeri entro il 10, il 100 e il 1000 e, dall’altra,
la capacità di sfruttare queste relazioni per decomporre e ricomporre in modo
intelligente i numeri coinvolti nel calcolo mentale di addizioni e sottrazioni uti-
lizzando le strategie descritte nella sezione precedente.
GimmeFive si compone di 8 ambienti. I primi 5 ambienti supportano lo svi-
luppo delle competenze che costituiscono un prerequisito per lo sviluppo del
calcolo mentale di addizioni e sottrazione a più cifre e più in particolare la capa-
cità di:
Gestire le relazioni additive tra numeri con risultato minore o uguale a 10;
Decomporre numeri entro il 10 usando come base della decomposizione il
numero 5 per determinare il risultato di addizioni entro il 20;
Gestire relazioni additive tra decine, tra centinaia, …
Gli ultimi tre ambienti sono volti a supportare lo sviluppo di strategie sequen-
ziali, di decomposizione e di compensazione che possono essere coinvolte nel
calcolo mentale di addizioni e sottrazioni. Una descrizione dettagliata degli am-
bienti di cui l’ applicazione si compone è riportata al seguente indirizzo:
http://www.alnuset.com/it/gimmefive. Questi ambienti sono stati progettati per
consentire agli studenti di usare i gesti tipici della tecnologia dei tablet (touch e
drag) per attualizzare concretamente le strategie usate dagli esperti nel calcolo
mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre e metterli nelle condizioni di poter
fare esperienza di queste strategie, risolvendo una quantità di compiti molto
maggiore di quanto essi realizzerebbero nella praticata didattica ordinaria.
Analizziamo ora attraverso un esempio come gli ultimi tre ambienti di Gim-
meFive possano creare le condizioni per consentire allo studente di fare un’espe-
rienza immersiva delle strategie sequenziali, di decomposizione e di
compensazione usate dagli esperti nel calcolo mentale di addizioni e sottrazioni.
La prima immagine della Fig.1 mostra come il compito appare sul display di
GimmeFive.
Il touch sul primo e poi sul secondo addendo del compito produce il risultato
riportato nella seconda immagine. La decomposizione in parti dei due addendi,
tipica della strategia 1010 prodotta mentalmente da un esperto, è incorporata
nel gesto del touch che l’alunno può inizialmente attivare attraverso un approccio
esplorativo oppure in modo guidato dal tutor.
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5 GimmeFive è stata realizzata dall’Istituto per le Tecnologie Didattiche del CNR in collaborazione
con la società DiDiMa srl nell’ambito di un progetto finanziato da Fondo Sociale Europeo Regione
Liguria 2007-2013 Asse IV.
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Fig. 1: Esempio di esperienza di calcolo mentale con GimmeFive
Effettuata la decomposizione, il drag applicato sul numero 60 produce l’effetto
riportato nella terza immagine. Questo processo reifica quanto la persona esperta
compie mentalmente dopo la decomposizione dei due addendi: sommare sepa-
ratamente le varie parti della struttura, per poi riassemblarle nel risultato. Per
comprendere come si esegua la somma delle parti consideriamo la quarta imma-
gine: il touch sul primo operando del quarto passaggio determina la selezione del
calcolo da compiere e predispone l’interfaccia per poterlo eseguire. Mediante una
barra a scorrimento dei numeri lo studente può selezionare il risultato del calcolo
(il numero 90 nell’immagine) e trascinarlo nella cella preposta ad accoglierlo. Que-
sta procedura viene applicata sia per svolgere i vari calcoli parziali che per trovare
il risultato finale del calcolo. Quanto descritto fa riferimento alla strategia di de-
composizione 1010. Osserviamo, però, che tutte le strategie di calcolo mentale di
addizione e sottrazione a più cifre descritte nella precedente sezione possono es-
sere reificate nel funzionamento dell’applicazione e possono quindi essere con-
cretamente attualizzate nello svolgimento di questi calcoli.
5. Contesto della sperimentazione
L’applicazione è stata sperimentata in un contesto controllato con due gruppi di
studenti a basso rendimento in ambito aritmetico e, più in particolare, con un
gruppo di 4 studenti con difficoltà di apprendimento in aritmetica e con un
gruppo di 6 studenti con discalculia. Gli studenti, di età compresa tra 8 anni e 10
mesi e 11 anni e 11 mesi frequentavano le ultime due classi della scuola primaria
e le prime due classi della scuola media (dettagli in Tabella 1). Entrambi i gruppi
di studenti erano seguiti presso il Centro Leonardo di Genova che è stato coin-
volto nella sperimentazione. L’attestazione di difficoltà di apprendimento e la
diagnosi di discalculia sono state compiute presso questo centro dopo aver sot-
toposto i bambini a prove standardizzate che forniscono parametri per valutare
la correttezza e la rapidità nel calcolo mediante la Batteria per la Discalculia Evo-
lutiva – BDE (Biancardi, Morioni & Pieretti, 2004) e dopo aver verificato, con trai-
ning specifico, una resistenza al trattamento da parte del gruppo di bambini a
cui è stata di conseguenza riconosciuta la discalculia.
Tab. 1: Studenti coinvolti nella sperimentazione
La sperimentazione con questi due gruppi di studenti si è limitata allo sviluppo
di strategie sequenziali e di decomposizione relative al calcolo mentale di addi-
zioni e sottrazioni a due cifre e si è basata sul confronto tra le prestazioni dei due
gruppi di studenti all’inizio e al termine della sperimentazione. Tutti gli studenti
hanno iniziato l’attività a partire dal primo ambiente di GimmeFive e, in succes-
sione, hanno operato in tutti gli ambienti ad eccezione dell’ultimo. I tutor che
hanno seguito gli studenti nella sperimentazione sono collaboratori del Centro
Leonardo che hanno ricevuto una specifica formazione sulle tematiche al centro
dell’indagine per poter gestire con sicurezza le attività.
La sperimentazione è stata condotta in base ad un protocollo condiviso tra
ricercatori e tutor. Anche i genitori degli studenti sono stati coinvolti: si sono as-
sunti l’impegno di monitorare i propri figli a casa durante lo svolgimento dei com-
piti assegnati loro dai tutor e di compilare giorno per giorno un resoconto
dell’attività svolta. Il protocollo della sperimentazione prevedeva:
Un incontro settimanale tra tutor e studente della durata di circa 45 minuti.
All’inizio di ogni incontro il Tutor verificava la prestazione dello studente relativa
all’attività svolta nell’incontro precedente (prendendo nota degli errori commessi
e del tempo impiegato nell’esecuzione di un set di 10 compiti). Quindi introdu-
ceva la nuova attività con GimmeFive fornendo il supporto indicato dal protocollo
di gestione dell’attività. Al termine dell’incontro verificava la prestazione relativa
alla sessione di lavoro corrente (prendendo nota degli errori commessi e del
tempo impiegato nell’esecuzione di un set di 10 compiti). Il tutor, infine, asse-
gnava allo studente i compiti da svolgere a casa;
Un’attività giornaliera che lo studente svolgeva a casa, della durata media
di 10 minuti, monitorata dai genitori, che consisteva nello svolgimento di 2-3
sequenze di 10 esercizi con GimmeFive. I genitori dovevano ogni volta regi-
strare in una griglia il numero di compiti svolti a casa dai loro figli e il tempo
impiegato.
La sperimentazione è iniziata alla fine del mese di ottobre 2014 e si è protratta
sino alla prima decade di febbraio 2015 (3 mesi e mezzo, comprensivi delle va-
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III. Esiti di ricerca
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canze di Natale) e ha contemplato 12 o 13 incontri tra bambini e tutor. Nel corso
della sperimentazione le disposizioni del protocollo sono state eseguite con cura
da parte di tutti i tutor e dalla maggioranza dei genitori (con due eccezioni).
6. Strumenti usati nella valutazione del metodo didattico
Prima di iniziare la sperimentazione tutti gli studenti sono stati sottoposti al test
BDE per quanto riguarda i sottotest di calcolo mentale con risultato < 10 (BDE_1)
e > 10 (BDE_2) riportati nelle seguenti in Tab. 2 e Tab. 3 che sono stati ritenuti
adeguati al tipo di sperimentazione che volevamo compiere.
Tab. 2: Test BDE_1
Tab. 3 Test BDE_2
Al termine della sperimentazione tutti gli studenti sono stati nuovamente
sottoposti agli stessi test. Inoltre, al termine della sperimentazione gli studenti
sono stati sottoposti ad ulteriori due test, da noi elaborati, riportati nella se-
guente Tab. 4.
Tab. 4: Test su addizioni e sottrazioni a due cifre
Le 5 addizioni e 5 sottrazioni riportate nella prima riga della tabella 3 sono
state proposte in modo orale, mentre quelle riportate nella seconda riga della
tabella 3, di difficoltà analoga alle precedenti, sono state proposte anche in forma
lineare scritta. Per ognuno di questi due test sono state registrate le risposte e il
tempo di esecuzione sia delle addizioni che delle sottrazioni. La somministrazione
del test in forma lineare scritta, di difficoltà analoga a quello presentato in forma
orale, è stata ritenuta necessaria per verificare l’acquisizione o meno delle stra-
tegie in studenti che presentavano anche un deficit nella memoria di lavoro.
I dati dei test sono stati sottoposti ad una elaborazione di tipo statistico.
Sono stati confrontati i risultati al test BDE all’inizio ed al termine della spe-
rimentazione tramite un’analisi di varianza per misure ripetute nella quale veniva
considerato un fattore di variabilità tra soggetti, cioè la presenza di discalculia, e
2 fattori entro soggetti, cioè il tipo di operazione (risultato minore o maggiore di
10) e la fase della sperimentazione (inizio e fine).
I risultati dei test di Tab. 4 non consentivano una valutazione diretta dell’ef-
fetto della sperimentazione in quanto eseguiti solo nella fase finale e sono stati
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esaminati con analisi multivariata della varianza per misure ripetute per valutare
se, in presenza di operazioni relativamente complesse, si riscontrassero diffe-
renze sia nei punteggi che nei tempi di esecuzione relativamente al fattore tra
soggetti (presenza della discalculia) e ai due fattori entro soggetti, cioè tipo di
operazione (addizione/sottrazione) e forma di presentazione (scritta/orale).
Infine, tutti gli studenti sono stati sottoposti a due questionari, uno all’inizio
e uno al termine della sperimentazione per acquisire, con il primo, informazioni
sul loro rapporto con il calcolo maturato nell’esperienza pregressa, con il se-
condo, informazioni sulla loro percezione dell’esperienza di calcolo compiuta in
questa sperimentazione.
La valutazione dei miglioramenti conseguiti dagli studenti attraverso l’appli-
cazione del metodo didattico descritto in precedenza si basa su diversi elementi:
l’analisi dei dati relativi ai test descritti, le rilevazioni effettuate dal tutor all’inizio
e al termine di ogni sessione di lavoro con gli studenti, i dati forniti dai genitori,
i dati raccolti con i due questionari.
7. Analisi dei dati della sperimentazione
7.1 Analisi dei dati dei test
All’inizio della sperimentazione tutti gli alunni mostravano risultati al di sotto dei
valori medi di riferimento al test BDE: in particolare 8 alunni su 10 nel sottotest
BDE_1 e 3 alunni su 10 nel sottotest BDE_2 conseguivano un punteggio sotto la so-
glia ottenuta sottraendo 2 deviazioni standard alla media (in accordo con le dispo-
sizioni del Consensus Conference del 2009). Al termine dell’esperimento gli alunni
con punteggi sotto-soglia si riducevano a 3 per il test BDE_1 e a 2 per il test BDE_2.
L’analisi di varianza indicava un significativo incremento del punteggio al ter-
mine della sperimentazione (F1,8=16.99, p=0.0033), una significativa differenza
in base al tipo di operazione (F1,8=14.25, p=0.0054), cioè un punteggio medio
migliore nelle operazioni con numeri maggiori di 10 rispetto a quelle con numeri
inferiori a 10, ed un’interazione tra questi due fattori (F1,8=19.37, p=0.0023) in-
dicativa di un progresso maggiore per le operazioni con risultato inferiore a 10.
La presenza di discalculia si associava a punteggi lievemente più bassi ma la dif-
ferenza non raggiungeva la significatività statistica (F1,8=4.76, p=0.061) e non
emergevano interazioni con gli altri fattori.
Per quanto riguarda i due test effettuati al termine della sperimentazione e
riportati in Tab. 3, il numero di risposte corrette e i tempi di esecuzione dei due
gruppi di studenti nel test di addizioni e sottrazioni sono riportati in Tab. 5 (pre-
sentazione solo orale) e in Tab. 6 (presentazione in forma lineare scritta6).
III. Esiti di ricerca
94
6 In queste due tabelle non abbiamo tenuto conto dei risultati di due studenti discalculici in quanto
quest’ultimi, nell’ultima parte della sperimentazione centrata proprio sullo sviluppo delle stra-
tegie di calcolo mentale, non hanno più svolto il lavoro assegnato per casa secondo le indicazioni
del protocollo della sperimentazione e la loro prestazione non può essere pertanto confrontata
con quella degli altri studenti che, invece, hanno seguito pienamente tali indicazioni.
anno III | n. 1 | 2015 AUTORI VARI
95
Tab. 5: Risultati test addizioni e sottrazioni presentate in modo solo orale
Tab. 6: Risultati test addizioni e sottrazioni presentate anche in forma scritta lineare
Nell’analisi multivariata della varianza applicata a questi due test è risultato
significativo solamente il fattore associato alla modalità di somministrazione del
test (F2,8=5.69, p=0.029) per cui la presentazione scritta si è associata ad un au-
mento della correttezza delle risposte (anche se con alcune interessanti ecce-
zioni, come vedremo successivamente,) e ad una diminuzione del tempo di
esecuzione. La presenza di discalculia ed il tipo di operazione (addizione/sottra-
zione) non hanno evidenziato effetti significativi.
Il confronto dei dati delle tabelle 5 e 6 mette in evidenza anche altri aspetti
interessanti e cioè che:
La prestazione degli studenti con discalculia nella soluzione di addizioni pre-
sentate in modo orale è un’ottima prestazione (un solo errore: 48+36=74), mi-
gliore di quella dei soggetti con difficoltà di apprendimento e addirittura migliore
di quella da loro realizzata nel test somministrato in forma anche lineare scritta.
Nell’eseguire mentalmente addizioni a due cifre, la modalità della somministra-
zione non ha inciso sulla correttezza delle risposte fornite dagli studenti discal-
culici. La modalità di somministrazione, invece, ha inciso sul tempo di esecuzione
delle strategie di calcolo mentale delle addizioni, in quanto la somministrazione
solo orale ha aumentato il carico cognitivo coinvolto nella memorizzazione e nel
recupero dei dati numerici di ciascun compito;
La prestazione degli studenti discalculici nella soluzione di sottrazioni è mi-
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gliore con la somministrazione effettuata in forma lineare scritta in cui non si re-
gistra alcun errore. Nei compiti di sottrazione la modalità di somministrazione
ha inciso sia sul tempo di esecuzione delle strategie di calcolo mentale delle sot-
trazioni, sia sul controllo della correttezza della strategia nei compiti più compli-
cati. È importante notare che nel test somministrato in modo orale, tutti gli errori
compiuti da questi studenti (tranne un caso) riguardano le due sottrazioni in cui
il valore delle unità del sottraendo è maggiore di quello delle unità del minuendo
(quindi nelle sottrazioni di maggiore difficoltà);
La prestazione degli studenti con difficoltà di apprendimento in aritmetica
non è significativamente diversa da quella degli studenti con discalculia. I dati ri-
portati nelle due tabelle mostrano che anche con questi alunni le modalità di
somministrazione hanno inciso sia sul tempo di esecuzione delle strategie di cal-
colo mentale di addizioni e sottrazioni sia sulla correttezza delle risposte.
7.2 Analisi di un caso
Per comprendere il tipo di mediazione fornito dall’uso di GimmeFive nello svi-
luppo di competenze nel calcolo mentale, riportiamo di seguito la sintesi di
un’analisi tratta dalle osservazioni e dai rilevamenti effettuati dai tutor sul com-
portamento di uno studente durante la sperimentazione.
Carlo frequenta la 5 classe della scuola primaria ed è stato diagnosticato di-
scalculico. All’inizio della sperimentazione Carlo era in grado di eseguire solo sem-
plici calcoli appoggiandosi sull’uso delle dita. In precedenza Carlo aveva già
partecipato ad un training che gli aveva permesso di familiarizzare con i numeri
“amici del 10”. Prima della sperimentazione Carlo fornisce 7 risposte esatte su 12
nel test BDE_1 e 18 risposte esatte su 20 nel test BDE_2. Lo studente partecipa
alle attività della sperimentazione con grande impegno. Non ha difficoltà a svol-
gere le prime cinque attività volte alla costruzione dei prerequisiti che impara a
realizzare molto velocemente. Infatti, i dati raccolti nel corso della sperimenta-
zione indicano che Carlo impiega meno di un minuto per svolgere in modo cor-
retto i 10 compiti di ciascuna delle prime quattro attivie circa 3 minuti per
svolgere la quinta attività. Operando nel sesto ambiente di GimmeFive, tramite il
touch sui numeri Carlo comincia a fare esperienza della possibilità di decomporre
numeri e, mediante il drag, di spostarli per poterli accorpare tra loro in modo di-
verso usando una strategia di complemento a 10 o una decomposizione su base
5. Nel quinto incontro il tutor fa operare Carlo con addizioni a due cifre e lo intro-
duce all’uso della strategia 1010 che lo studente impara velocemente ad eseguire
con l’aiuto di GimmeFive. Emergono difficoltà nella gestione di calcoli che com-
portano il passaggio della decina e Carlo è aiutato dal tutor a trovare una strategia
mediata dall’applicazione per superarla. Nel sesto incontro il tutor introduce la
strategia N10 affrontando addizioni a due cifre e le stesse vengono riprese anche
nell’incontro successivo. Carlo impara ad usare la strategia N10 reificandola con-
cretamente sul display attraverso il supporto fornito da GimmeFive. Nell’incontro
successivo il tutor introduce compiti di addizioni a tre cifre. Risolvendo questo
tipo di compiti emergono difficoltà nella memorizzazione di risultati parziali
(quando lo studente cerca di ridurre i passaggi risolutivi con GimmeFive) e nella
verbalizzazione corretta dei numeri, ed è aiutato dal tutor. A casa, durante la set-
III. Esiti di ricerca
96
anno III | n. 1 | 2015 AUTORI VARI
97
timana Carlo si impegna molto e svolge ogni giorno almeno due set di 10 esercizi
ciascuno. Nell’incontro successivo, durante la verifica iniziale si notano migliora-
menti. L’attività con le addizioni prosegue sino al nono incontro quando, con il
supporto di GimmeFive, vengono introdotte le strategie di soluzione di sottrazioni
mediante la decomposizione del minuendo o del sottraendo o di entrambi. Grazie
al supporto fornito da GimmeFive che consente di reificare sia la strategia 1010
che la strategia N10 della sottrazione, Carlo impara abbastanza velocemente en-
trambe le strategie. Dal nono incontro sino al termine della sperimentazione (do-
dicesimo incontro) Carlo continua a svolgere calcoli mentali di addizioni e
sottrazioni a due cifre. In questa fase si nota un decremento costante nell’uso del
supporto fornito da GimmeFive. Carlo non ha più bisogno di reificare la strategia
per mezzo dell’applicazione, ma la realizza mentalmente e fornisce direttamente
il risultato. Questo è il segno che le strategie sono state da lui interiorizzate. Al
termine della sperimentazione, nel test BDE_1 Carlo risponde correttamente a
11 domande su 12 mentre nel BDE_2 risponde correttamente a 20 domande su
20. Nel test somministrato in modo orale Carlo fornisce, nelle addizioni, 5 risposte
esatte su 5 in 1’ e 43’’ e, nelle sottrazioni, 4 risposte esatte su 5 in 1’ e 30’’ (sbaglia
82-34=52). Nel test somministrato in forma lineare scritta Carlo fornisce, nelle
addizioni, 3 risposte esatte su 5 in 58’’ (sbaglia 34+23=11, sicuramente come ef-
fetto di trascinamento del test precedente che era di sottrazione e 38+26=25),
nelle sottrazioni, 5 risposte esatte su 5 in 1’.
7.3 Analisi dei dati del questionario
Prima di effettuare la sperimentazione agli studenti sono state sottoposte una
serie di domande volte ad acquisire informazioni sul loro rapporto con il calcolo.
Le loro risposte evidenziavano che il livello di ansia alla richiesta di calcoli mentali
era molto elevato e conseguentemente il senso di autoefficacia di fronte alla pre-
stazione molto basso.
Al termine della sperimentazione agli studenti sono state proposte 7 do-
mande volte ad acquisire informazioni relative alla loro percezione dell’espe-
rienza compiuta nella sperimentazione.
Con la prima domanda si è chiesto ad ogni alunno di esprimere, mediante
una scala di valori da 1 a 4 (1 Per nulla – 2 Poco – 3 Abbastanza - 4 Molto ) se l’at-
tività avesse cambiato il suo rapporto con la matematica. Tutti gli studenti hanno
scelto il valore 3 (abbastanza).
Con la seconda domanda si è chiesto ad ogni alunno se operando con Gim-
meFive avesse imparato cose che prima non sapeva fare e di indicare quali. Tutti
hanno risposto che avevano imparato ad usare strategie di calcolo mentale.
Con la terza domanda si è chiesto all’alunno di indicare con una scala da 1 a
4, quanto sia importante conoscere strategie per eseguire un calcolo mentale.
La maggioranza ha risposto 4, cioè molto.
Con la quarta e la quinta domanda si è chiesto ad ogni alunno di indicare
come eseguiva il calcolo mentale di addizioni e sottrazioni prima di effettuare
questa sperimentazione e come lo esegue ora. Tutti gli alunni hanno affermato
che prima della sperimentazione contavano con le dita, due alunni hanno preci-
sato che non eseguivano alcun calcolo a mente, due studenti hanno fatto riferi-
mento all’incolonnamento mentale dei numeri usato nel calcolo scritto. Riguardo
al loro comportamento attuale, tutti gli studenti hanno evidenziato di usare le
strategie apprese operando con GimmeFive.
Con la sesta e settima domanda si è chiesto agli studenti di indicare con una
scala da 1 a 4, quanto conoscere strategie per eseguire il calcolo li renda più sicuri
(sesta domanda) e tolga loro ansia e paura (settima domanda). Nella sesta do-
manda la maggioranza degli studenti ha fornito come risposta il valore 4, nella
settima il valore 3.
8. Discussione
Riteniamo che i risultati conseguiti dai due gruppi di studenti nei due test BDE
evidenzino che:
All’inizio della sperimentazione la maggioranza degli studenti non aveva an-
cora memorizzato fatti aritmetici elementari (8/10 alunni non superavano la
soglia al test BDE_1). Il confronto tra i risultati nel test BDE_1 prima e dopo
la sperimentazione mette in evidenza un netto miglioramento nella memo-
rizzazione di fatti aritmetici elementari (con risultato <10) da parte degli stu-
denti con discalculia e con difficoltà di apprendimento: degli 8 studenti sotto
la soglia alla prova iniziale 5 la superano alla prova finale. Infatti gli studenti
che prima della sperimentazione non riescono a rispondere alle domande
nel tempo concesso per la risposta (2 secondi per ciascuna domanda), mi-
gliorano dopo la sperimentazione. Si noti che, in questo caso, il tempo molto
breve concesso per la risposta ha impedito loro di attuare una strategia di
conta;
Il fatto che gli studenti all’inizio della sperimentazione abbiano dimostrato
una migliore prestazione nel test BDE_2 rispetto al test BDE_1 non deve sor-
prendere. Notiamo che nel test BDE_2, sia per quanto riguarda le addizioni
che le sottrazioni, sono presenti 6 domande su 10 che, nel tempo assegnato
per rispondere (15 s), possono essere affrontate attraverso una strategia di
conta (supportata dall’uso delle dita) e, in effetti, la maggioranza degli stu-
denti ha utilizzato questa strategia per rispondere alle domande. In questo
test l’analisi delle prestazioni degli studenti mostra che gli errori o le non ri-
sposte sono concentrate praticamente sulle 4 domande finali. Complessiva-
mente, però, queste domande incidono poco sul risultato finale del BDE_2.
Per questa ragione, il confronto tra i risultati nel test BDE_2 prima e dopo la
sperimentazione mette in evidenza un miglioramento meno marcato nel cal-
colo mentale di addizioni e sottrazioni rispetto al test BDE_1;
Coloro che al termine della sperimentazione sono ancora sotto la soglia di
normalità nei due test sono due studenti che hanno svolto la sperimentazione
non aderendo completamente alle disposizioni del protocollo. Si tratta di due
studenti che hanno partecipato agli incontri settimanali con i tutor ma che
non hanno più svolto a casa i compiti assegnati, soprattutto nell’ultima fase
della sperimentazione centrata sullo sviluppo delle strategie. I risultati di que-
sti due studenti sono stati successivamente esclusi dall’analisi dei dati relativi
al test riportato in Tab. 4.
III. Esiti di ricerca
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anno III | n. 1 | 2015 AUTORI VARI
99
I test BDE_1 e BDE_2 non permettono di valutare appieno i miglioramenti
prodotti dal metodo usato nella sperimentazione nello sviluppo di strategie
di calcolo mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre. Per questo motivo, al
termine della sperimentazione abbiamo sottoposto tutti gli studenti ai test
riportati in Tab. 4.
L’analisi multivariata della varianza applicata a questi due test mostra che il
fattore della somministrazione del test in forma lineare scritta ha prodotto
un significativo effetto positivo sulla correttezza delle risposte e una diminu-
zione del tempo di esecuzione rispetto alla somministrazione solo orale. Que-
sti due risultati erano abbastanza prevedibili. Meno prevedibile era il tipo di
prestazione che gli studenti avrebbero prodotto in questi due test che sono
di difficoltà superiore a quella dei test BDE. Il computo delle risposte corrette
nei due test e l’analisi degli errori compiuti dagli studenti mostra che:
I due gruppi di studenti coinvolti nella sperimentazione hanno imparato a ge-
stire strategie sequenziali e di decomposizione nel calcolo mentale di addi-
zioni e sottrazioni: riteniamo infatti che l’applicazione di queste strategie fosse
necessaria per eseguire correttamente i test nei tempi rilevati. L’acquisizione
di questa competenza da parte di studenti con discalculia o difficoltà di ap-
prendimento costituisce un risultato rilevante anche se, in alcuni casi, per-
mangono alcune incertezze nell’esercitare un pieno controllo della strategia
nei compiti che presentano maggiori difficoltà; Non vi è differenza significa-
tiva nella prestazione dei due gruppi di studenti. Questo significa che anche
gli studenti con discalculia hanno imparato a gestire strategie sequenziali e
di decomposizione per effettuare il calcolo mentale di addizioni e sottrazioni.
All’inizio della sperimentazione non era assolutamente scontato che
avremmo potuto ottenere i risultati emersi in questi test, soprattutto da parte
degli studenti con discalculia. Colpisce il fatto che l’apprendimento delle stra-
tegie di calcolo mentale sia avvenuto in un arco di tempo piuttosto breve e
che riguardi tutti gli studenti che hanno seguito con impegno costante la spe-
rimentazione attenendosi alle indicazioni del protocollo.
Le osservazioni e le verifiche compiute dai tutor durante gli incontri con gli
studenti ci hanno permesso di comprendere meglio la mediazione fornita dal
sistema GimmeFive sia nella costruzione dei prerequisiti per il calcolo mentale
sia nello sviluppo di strategie sequenziali e di decomposizione coinvolte nella
soluzione di addizioni e sottrazioni. Seguendo i vari studenti nel corso della
sperimentazione abbiamo verificato che:
I supporti di tipo visuale e le particolari caratteristiche dell’interazione dispo-
nibili nei primi 5 ambienti di GimmeFive hanno permesso lo sviluppo di una
pratica didattica immersiva che ha consentito a tutti gli studenti di sviluppare
in breve tempo (circa un mese o un mese e mezzo, a seconda degli studenti)
la capacità di: gestire le relazioni additive tra numeri con risultato minore o
uguale a 10; decomporre numeri entro il 10 usando come base della decom-
posizione il numero 5 per determinare il risultato di addizioni entro il 20; ge-
stire relazioni additive tra decine e tra centinaia;
Le particolari caratteristiche di visualizzazione e di interazione disponibili con
il sesto e settimo ambiente di GimmeFive hanno consentito agli studenti di
fare una concreta esperienza immersiva delle strategie di calcolo mentale che
le persone esperte usano nella soluzione di addizioni e sottrazioni a più cifre.
La tecnologia dei tablet ha consentito di reificare queste strategie attraverso
semplici gesti. Mediante il touch e il drag sui numeri che apparivano sul di-
splay gli studenti hanno potuto entrare in contatto con le strategie che gli
esperti usano nel calcolo mentale e hanno potuto fare esperienza di esse mo-
bilitando le proprie capacità di tipo visuale, spaziale e motorie, nonché le
competenze apprese nella fase di costruzione dei prerequisiti.
Le risposte fornite dagli studenti al questionario mostrano che entrambi i
gruppi di studenti coinvolti nella sperimentazione hanno modificato profonda-
mente il loro comportamento nel calcolo mentale di addizioni e sottrazioni a più
cifre. Le risposte di tutti gli studenti evidenziano che il processo attuato con la
sperimentazione li ha resi più sicuri e meno soggetti a problemi sul piano emo-
tivo. Sentire di possedere delle strategie e sperimentare di saper risolvere calcoli
anche complessi ha influenzato positivamente la loro auto-stima e ha migliorato
gli aspetti emotivo-relazionali connessi al calcolo .
La loro percezione dei cambiamenti intervenuti con la sperimentazione col-
lima con quella dei tutor e dei genitori. Questi ultimi, al termine della sperimen-
tazione, hanno espresso un giudizio positivo sull’esperienza compiuta perché
hanno visto concretizzarsi modifiche sostanziali nel comportamento e nelle pre-
stazioni dei ragazzi in questo tipo di attività.
Le indicazioni emerse da questo studio sono supportate da risultati statistica-
mente significativi. Il presente studio si è proposto di analizzare le differenze tra di-
scalculia e difficoltà di apprendimento avendo classificato in fase preliminare gli
studenti in base alla risposta al trattamento convenzionale ma in considerazione
dei risultati ottenuti può essere interessante una valutazione più estesa dell’efficacia
del metodo con la possibile inclusione di un gruppo di controllo di studenti con di-
scalculia ed un percorso di apprendimento con strumenti tradizionali.
9. Conclusione
La sperimentazione ha confermato l’ipotesi alla base di questa ricerca e cioè che
sia possibile sviluppare la capacità di usare strategie di calcolo mentale per risol-
vere mentalmente addizioni e sottrazioni a più cifre anche negli alunni che evi-
denziano un basso rendimento nel calcolo aritmetico. La sperimentazione ha
mostrato che questo obiettivo può essere concretamente perseguito per mezzo
di un ambiente come GimmeFive nel quale questi studenti, con la guida di un
tutor esperto della materia, possano compiere un ricca esperienza didattica im-
mersiva di calcolo mentale volta a esplorare l’utilità e l’efficacia delle strategie
sequenziali, di compensazione e di decomposizione usate dagli esperti in questo
calcolo e possano apprendere tali strategie avvalendosi del supporto cognitivo
fornito dall’ambiente in cui operano. Il metodo didattico usato in questa speri-
mentazione controllata può costituire un riferimento per migliorare la didattica
relativa al calcolo mentale e renderla maggiormente inclusiva. Come evidenziato
nell’introduzione di questo articolo, al calcolo mentale viene oggi assegnato un
valore formativo molto importante, ma le pratiche didattiche relative al suo svi-
luppo nelle classi risultano ancora poco efficaci e incapaci di includere nelle at-
tività gli studenti che presentano bisogni speciali.
III. Esiti di ricerca
100
anno III | n. 1 | 2015 AUTORI VARI
101
Il nostro studio mostra che il metodo usato nella sperimentazione è in grado
di incidere positivamente sull’apprendimento sia di studenti con difficoltà di ap-
prendimento sia di studenti con discalculia. Questo costituisce una premessa im-
portante che apre la strada allo studio di come questo metodo possa essere
implementato nelle classi per consentire lo sviluppo di una pratiche didattica in-
clusiva in questo campo.
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Australasia, Hobart (Vol. 2, pp. 843-852). Hobart: MERGA
... Nella prima sperimentazione (Chiappini, Cozzani, Bernava, Potente, Verna & De Carli, 2015b) sono stati coinvolti due gruppi di studenti a basso rendimento in ambito aritmetico. Più in particolare gli studenti che al termine della sperimentazione hanno concluso il training nel rispetto delle indicazioni del protocollo sono stati un gruppo di quattro studenti con difficoltà di apprendimento e un gruppo di quattro studenti con diagnosi di discalculia. ...
... I risultati della prima sperimentazione sono stati recentemente pubblicati (Chiappini et al., 2015b), pertanto in questo articolo non riportiamo i dati ma solo la sintesi dei risultati: ...
... All'inizio della sperimentazione non era assolutamente scontato che avremmo potuto ottenere i risultati emersi in questi test, soprattutto da parte degli studenti con diagnosi di discalculia. Colpisce il fatto che l'apprendimento delle strategie di calcolo mentale sia avvenuto in un arco di tempo piuttosto breve e che riguardi tutti gli studenti che hanno seguito con impegno costante la sperimentazione attenendosi alle indicazioni del protocollo (Chiappini et al., 2015b). ...
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In questo lavoro viene presentato un metodo didattico che si è dimostrato efficace per valutare la resistenza al trattamento dello studente che è uno dei parametri fondamentali per distinguere la difficoltà di apprendimento in matematica dal disturbo di apprendimento noto come discalculia. Il metodo si basa sull’uso dell’applicazione GimmeFive che è stata progettata per sviluppare competenze nel calcolo mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre. In questo lavoro vengono presentati risultati di due sperimentazioni condotte con gruppi di studenti rispettivamente con difficoltà di apprendimento e con diagnosi di discalculia. Queste sperimentazioni hanno consentito di mostrare l’efficacia del metodo didattico nella valutazione della resistenza al trattamento e di discutere le caratteristiche che lo rendono adeguato per la valutazione del disturbo di apprendimento.
... Molti articoli, alcuni dei quali scritti da persone con HFA (Grandin, 2009), hanno messo in rilievo le grandi capacità di visual thinking possedute dalle persone con questo tipo di disturbo. Certamente, le immagini visive rivestono un ruolo centrale nella comprensione e nel ragionamento matematico (Chiappini e Bottino, 1999;Chiappini et al., 2015). Tuttavia, il pensiero visuale e le immagini visive non sono le sole risorse cognitive su cui poggia il pensiero matematico. ...
... Per esemplificare le caratteristiche principali di questo metodo e il modo in cui può essere usato, si riporta di seguito un esempio di applicazione del metodo per sviluppare competenze nel calcolo mentale di addizioni e sottrazioni a più cifre. Questa applicazione del metodo CRA si è dimostrata efficace sia con studenti a sviluppo tipico e difficoltà di apprendimento in matematica (Chiappini et al., 2015) sia in una prima sperimentazione con due bambini con HFA. La sequenza di attività che verrà di seguito descritta è stata elaborata per essere proposta a studenti con HFA nel quadro di una pratica didattica di tipo inclusivo, rivolta a tutti gli studenti della classe. ...
... I bambini automatizzano progressivamente il calcolo attraverso la memorizzazione di fatti aritmetici e lo sviluppo di strategie di più alto livello, come le strategie di decomposizione, le strategie sequenziali e quelle di compensazione (Blöte, Klein e Beishuizen, 2000;Lucangeli et al., 2003). A tal proposito si vedano gli esempi riportati nella tabella 1. Per un'analisi più approfondita di queste strategie si veda Chiappini et al. (2015). A scuola non sempre viene attuata una pratica didattica appropriata di queste strategie, poiché si tende a privilegiare l'insegnamento del calcolo scritto. ...
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A «school for all», based on the principles of universal access and non-discrimination, has been a decades-long tradition in the Italian context. Despite the interest the Italian model for inclusive educationhas attracted internationally, empirical research concerning such a model remains confined to the nationalcontext because of the language barrier. In effect, the vast majority of publications on school inclusion in Italyhave been published exclusively in Italian. Sharing empirical data on Italy’s long tradition could support theimplementation of school inclusion worldwide, offering an example of actual implementation. This article presents the results of a mapping review conducted with the aim of summarising, even if partially, the empirical research published in Italian from 2009 to 2019, and describing the main trends in relation to topics and research methods. Following a rigorous selection procedure, 202 articles published in field journals (Fascia A, 11/D2) have been selected for coding. The analysis shows the extensive development of research on school inclusion in the national context and highlights elements that may be of interest nationally and internationally.
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The performance of 210 2nd graders in different areas of mathematical cognition was examined. Children were divided into 4 achievement groups: children with difficulties in mathematics but not in reading (MD-only), children with difficulties in both mathematics and reading (MD/RD), children with difficulties in reading but not in mathematics, and children with normal achievement. Although both MD groups performed worse than normally achieving groups in most areas of mathematical cognition, the MD-only group showed an advantage over the MD/RD group in exact calculation of arithmetic combinations and in problem solving. The 2 groups did not differ in approximate arithmetic and understanding of place value and written computation. Children with MD-only seem to be superior to children with MD/RD in areas that may be mediated by language but not in ones that rely on numerical magnitudes, visuospatial processing, and automaticity. (PsycINFO Database Record (c) 2012 APA, all rights reserved)
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This paper explores the number learning in 2006 of over 7000 children in the Ballarat Diocese for the purpose of identifying any issues that may inform the development of a Diocesan professional learning plan. The data for each grade level were examined to find if there were any apparent learning, teaching, or curriculum issues. The study found that there was a spread of knowledge within each grade level, and that there were groups of students who may be vulnerable. In particular, it was found that notable numbers of students beginning Grade 6 were not yet able to read, write, order, and interpret four-digit numbers nor use reasoning-based strategies for calculations in addition and subtraction, and multiplication and division. These findings need to inform the professional learning plan.
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The strategies used to solve mental and written multidigit arithmetical addition, subtraction, multiplication and division were observed in 200 third, fourth and fifth grade children. A strategy was classified as effective if it resulted in the correct solution at least 75% of the time. For mental addition and subtraction, primitive strategies such as counting on fingers and counting on (mental counting from a specific point), and the more sophisticated strategy 1010 (solution of the calculation problem using tens and units separately) were more effective than the strategies learned at school. In written addition, subtraction and multiplication there was a shift from the CAR+to the CAR- strategy (tabulating with, or without, a carried amount) from the third to the later grades. Results show that typical strategies taught at school progressively substitute every other strategy both in mental and written calculation, but without reaching the criterion of effectiveness. The implications for maths curricula are discussed.
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Instructional psychologists and mathematics educators have for a long time emphasised the educational importance of recognising and stimulating flexibility in children’s self-constructed strategies as a major pillar of their innovative approaches of (elementary) mathematics education and have designed and implemented instructional materials and interventions aimed at the development of such flexibility. Especially in many curriculum reform documents from the last two decades as well as in many innovative curricula, textbooks, software, etc., there is a basic belief in the feasibility and educational value of striving for strategy flexibility, also for the younger and mathematically weaker children. However, systematic and scrutinised research that convincingly supports these basic claims is still rather scarce. In this contribution, we reflect on the flexible or adaptive choice and use of solution strategies in elementary school arithmetic. In the first part of this article we give some conceptual and methodological reflections on the adaptivity issue. More specifically, we critically review definitions and operationalisations of strategy adaptivity that only take into account task and subject characteristics and we argue for a concept and an approach that also involve the sociocultural context. Second, we address the question whether strategic flexibility is a parameter of strategic competence that differentiates mathematically strong and weak children. Finally, we discuss whether aiming for strategy flexibility is a feasible and valuable goal for all children, including the younger and mathematically weaker and weakest ones.
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This study assessed attitude, computational preferences, and mental computational performance of 176, 187, 186, and 206 Japanese students in grades 2, 4, 6, and 8, respectively. A sample of students in grades 4 and 8 scoring in the upper and middle quintiles on the mental computation test was interviewed to identify strategies used to mentally compute. All data were collected during the last month of the school year. A wide range of performance on mental computation was found with respect to all types of numbers (whole numbers, decimals, and fractions) and operations at every grade level; the mode of presentation (visual or oral) significantly affected performance levels, with visual items generally producing higher performance; and the range of strategies (initial and alternative) used to do mental computation was narrow, with the most popular approach reflecting a mental version of a learned "paper/pencil" algorithm.
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This 3-year longitudinal study investigated the development of 82 children's understanding of multidigit number concepts and operations in Grades 1-3. Students were individually interviewed 5 times on a variety of tasks involving base-ten number concepts and addition and subtraction problems. The study provides an existence proof that children can invent strategies for adding and subtracting and illustrates both what that invention affords and the role that different concepts may play in that invention. About 90% of the students used invented strategies. Students who used invented strategies before they learned standard algorithms demonstrated better knowledge of base-ten number concepts and were more successful in extending their knowledge to new situations than were students who initially learned standard algorithms.
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Dutch mathematics programs emphasize mental addition and subtraction in the lower grades. For two-digit numbers up to 100, instruction focuses on "counting by tens from any number" (N10), a strategy that is difficult to learn. Therefore, many children prefer as an easier alternative "decomposition" in tens (1010) and units. Instead of the use of arithmetic blocks (BL), the hundredsquare (HU) was introduced in the 1980s because of a (supposed) better modeling function for teaching N10. In a field study with several schools, (a) we compared the strategies N10 and 1010 on procedural effectiveness and error types, and (b) we assessed the influence of the support conditions BL versus HU on the acquisition of mental strategies (we had also a control condition NO with no extra materials or models). Results confirmed the greater effectiveness of N10 but also the preference of many weaker children for 1010. Support for BL or HU had differential effects on mental strategies. Differences are discussed in terms of cognitive psychology: the role of declarative knowledge and the relation between conceptual and procedural knowledge. New Dutch proposals for the 1990s emphasize teaching both strategies N10 and 1010 to enhance the flexibility of students' mental arithmetic.
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Children's solutions to simple addition and subtraction word problems were studied in a 3-year longitudinal study that followed 88 children from Grades 1 through 3. The children were able to solve the problems using a variety of modeling and counting strategies even before they received formal instruction in arithmetic. The invented strategies continued to be used after several years of formal instruction. Four levels of problem-solving ability were found. At the first level, children could solve problems only by externally modeling them with physical objects. Modeling strategies were gradually replaced with more sophisticated counting strategies. The results of the study are at variance with important aspects of models of children's performance proposed by Briars and Larkin and by Riley, Greeno, and Heller.
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In an article that appeared in the Arithmetic Teacher , Madell (1985) described findings from a private school in New York City in which children were not taught any algorithms until the end of the third grade. Without algorithms, the children devised their own ways of solving computation problems. Madell's observation of the children's thinking led him to conclude that “children not only can but should create their own computational algorithms” (p. 20) and that “children can and should do their own thinking” (p. 22). The purpose of the present article is to reiterate Madell's call for reform, with supporting evidence from a public school near Birmingham, Alabama.