非偶然算子的逻辑研究（PhD thesis）

Abstract

Logical studies for noncontingency operator

Full text

博士研究生学位论文
题目：非偶然算子的逻辑研究
姓名：范杰
学号：1101110686
院系：哲学系
专 业：逻辑学
研究方向：符号逻辑
导师：周北海
二〇一五年六月

北京大学博士研究生学位论文
坻 坩坩 坻

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北京大学博士研究生学位论文
坻 坩坶 坻

摘要
称一个公式是非偶然的（坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴），如果它必然为真，或者它必然为
假。而称一个公式是偶然的（坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴），如果它不是非偶然的，也就是说，如
果它既可能为真，也可能为假。非偶然算子和偶然算子在不同的语境中有不同的
意思。比如，在信念语境中，“一个公式是非偶然的”意为主体对该公式是否为真
有看法，即主体或者相信该公式为真，或者相信该公式为假，而“一个公式是偶
然的”意为主体在信念上对该公式的真假不确定（坡坧坮坯坳坴坩坣），即主体既不相信该
公式为真，也不相信该公式为假；在认知语境中，“一个公式是非偶然的”意为主
体知道该公式是否为真，而“一个公式是偶然的”意为主体对该公式的真值无知
（坩坧坮坯坲坡坮坴）。
尽管非偶然算子和偶然算子都可以通过必然算子或可能算子来定义，然而，
正如文献中所讨论的，必然（和可能）算子不一定能通过非偶然（和偶然）算子
来定义。本文提出一个“几乎可定义模式”AD，它告诉我们，必然算子在什么
情况下可以用非偶然算子来定义。这个模式可以避免文献中关于“如何用非偶然
算子定义必然算子”的讨论中所提出的几个方案的不足。受AD 的启发，本文
提出适合于非偶然逻辑（即以非偶然算子为唯一初始模态词的逻辑）的互模拟概
念。基于该互模拟概念，我们将得到非偶然逻辑在标准模态逻辑中和一阶逻辑中
的两个刻画结果。
非偶然逻辑不是正规模态逻辑，因为它没有“模态词在实质蕴涵下封闭”这
一性质，即圁在ϕ甡ψ圩甡在圁ϕ甡圁ψ圩不是有效式。正如本文将证明的，在非自
反的模型类上，非偶然逻辑的表达力都要严格地弱于标准模态逻辑；而且，许多
通常的框架性质都不是非偶然逻辑可定义的，因此不存在这些框架性质的刻画公
理。非偶然逻辑的这些特征都加大了该逻辑在各个框架类上公理化问题的难度，
尤其对于该逻辑在对称框架类上的公理化来说。尽管自从圲地 世纪圶地 年代以来，
坻坶坻

摘要北京大学博士研究生学位论文
文献中已经有了比较多的关于非偶然逻辑的公理化结果，但对称框架上的公理化
仍是未知的。另外，即使在已有的公理化结果中，也缺乏一种一致的方式来证明
这些公理系统的完全性。
非偶然逻辑也出现在认知逻辑领域，不过是以“无知逻辑”（坬坯坧坩坣坳 坯坦 坩坧坮坯圭
坲坡坮坣坥）这一术语出现在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圬 圲地地圴圻 坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩。在
那儿，“ϕ是非偶然的”意为“主体知道是否ϕ”，而“ϕ是偶然的”则意为“主体
对ϕ无知”。由于没有意识到非偶然逻辑的工作，坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圳圩
建立了无知逻辑的一个极小系统Ig，并在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 中给
出了一个他们声称是相对于传递框架的类既可靠又完全的公理系统Ig 圫G4。他
们的系统Ig 实质上也是非偶然逻辑的一个极小系统。作者们在文章中还提出了
一些开问题，其中包括：第一，如何在其他框架类上刻画无知逻辑？第二，自反
性不是无知逻辑可定义的。那么，其他框架性质是不是无知逻辑可定义的呢？第
三，无知逻辑的互模拟概念是什么？一个在拓扑语义下可靠且完全的无知逻辑系
统LB 由坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 给出，其中的拓扑模型相当于S4 的克里普克模型。
除了前面所说的非偶然逻辑在模型论方面的工作，本文也将建立非偶然逻辑
在许多框架类上的公理化系统。受模式AD 的启发，本文找到一种新的相当一致
的方法，该方法可以一揽子处理这些系统的完全性。在这些完全性证明中，对称
框架类上的情形最为困难，它需要用到‘对称闭包圫终点副本’的方法。自反框
架类和对称框架类上的特征公理也是运用模式AD 得来的，这两条公理对于非
偶然逻辑在这两个框架类上的完全公理化分别起着至关重要的作用。由于非偶然
逻辑在对称框架上的完全性证明不能简单地推广到多模态情形，因此本文也将处
理多模态情形下这一逻辑在对称框架上的完全公理化问题。本文还将考虑动态的
非偶然逻辑，包括分别加入公开宣告算子和活动模型算子，通过找到相应的归约
公理，从而得到两个完全的公理系统。在此之后，本文也将与非偶然逻辑和无知
逻辑的已有工作进行对比和比较，证明坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 的系统
Ig 圫G4 相对于传递框架的类是不可靠的。最后，在坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩 的拓扑语义被
提升到邻域语义，非偶然逻辑在邻域语义下的一些特性被考虑。本文的工作也建
立起非偶然逻辑和无知逻辑这两个研究领域的桥梁。另外，本文也回答了坶坡坮 坤坥坲
坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 的三个开问题。
关键词：非偶然算子，完全性，表达力，框架可定义性，邻域语义学
坻 坶坩 坻

Logical Studies for Non-contingency Operator
坊坩坥 坆坡坮 在坌坯坧坩坣圩
坄坩坲坥坣坴坥坤 坢坹 坂坥坩坨坡坩 坚坨坯坵
Abstract
坁 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圬 坩坦 坩坴 坩坳 坮坥坣坥坳坳坡坲坩坬坹 坴坲坵坥圬 坯坲 坩坴 坩坳 坮坥坣坥坳坳坡坲坩坬坹 坦坡坬坳坥圮
坁 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圬 坩坦 坩坴 坩坳 坮坯坴 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圬 坩圮坥圮圬 坩坦 坩坴 坩坳 坰坯坳坳坩坢坬坹 坴坲坵坥 坡坮坤
坰坯坳坳坩坢坬坹 坦坡坬坳坥圮 坔坨坥 坯坰坥坲坡坴坯坲坳 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坮坤 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坨坡坳 坤坩國坥坲坥坮坴
坲坥坡坤坩坮坧坳 坩坮 坤坩國坥坲坥坮坴 坣坯坮坴坥坸坴坳圮 坆坯坲 坩坮坳坴坡坮坣坥圬 坩坮 坡 坤坯坸坡坳坴坩坣 坣坯坮坴坥坸坴圬 坠坡 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳
坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圧 坭坥坡坮坳 坴坨坡坴 坴坨坥 坡坧坥坮坴 坩坳 坯坰坩坮坩坯坮坡坴坥坤 坡坳 坴坯 坷坨坥坴坨坥坲 坴坨坥 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳
坴坲坵坥圬 坷坨坩坬坥 坠坡 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圧 坭坥坡坮坳 坴坨坡坴 坴坨坥 坡坧坥坮坴 坩坳 坡坧坮坯坳坴坩坣 坡坢坯坵坴 坴坨坥
坶坡坬坵坥 坯坦 坴坨坥 坦坯坲坭坵坬坡圮 坉坮 坡坮 坥坰坩坳坴坥坭坩坣 坣坯坮坴坥坸坴圬 坠坡 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圧 坭坥坡坮坳
坴坨坥 坡坧坥坮坴 坫坮坯坷坳 坷坨坥坴坨坥坲 坴坨坥 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳 坴坲坵坥圬 坷坨坩坬坥 坠坡 坦坯坲坭坵坬坡 坩坳 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圧 坭坥坡坮坳
坴坨坥 坡坧坥坮坴 坩坳 坩坧坮坯坲坡坮坴 坡坢坯坵坴 坴坨坥 坴坲坵坴坨 坶坡坬坵坥 坯坦 坴坨坥 坦坯坲坭坵坬坡圮
坁坬坴坨坯坵坧坨 坴坨坥 坯坰坥坲坡坴坯坲坳 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坮坤 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坲坥 坤坥圌坮坡坢坬坥 坩坮
坴坥坲坭坳 坯坦 坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坯坰坥坲坡坴坯坲 坯坲 坰坯坳坳坩坢坩坬坩坴坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圬 坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坯坰坥坲坡坴坯坲 坩坳 坮坯坴 坡坬坷坡坹坳
坤坥圌坮坡坢坬坥 坷坩坴坨 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圬 坡坳 坤坩坳坣坵坳坳坥坤 坩坮 坴坨坥 坬坩坴坥坲坡坴坵坲坥圮 坉坮 坴坨坩坳
坴坨坥坳坩坳圬 坷坥 坰坲坯坰坯坳坥 坡 坳坯圭坣坡坬坬坥坤 坠坡坬坭坯坳坴 坤坥圌坮坡坢坩坬坩坴坹圧 坳坣坨坥坭坡 坁坄圬 坭坡坫坩坮坧 坰坲坥坣坩坳坥 坷坨坥坮
坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坯坰坥坲坡坴坯坲 坩坳 坤坥圌坮坡坢坬坥 坷坩坴坨 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圮 坔坨坥 坳坣坨坥坭坡 坣坡坮
坡坶坯坩坤 坴坨坥 坤坥坦坥坣坴坳 坯坦 坳坥坶坥坲坡坬 坰坲坯坰坯坳坡坬坳 坯坮 坠坨坯坷 坴坯 坤坥圌坮坥 坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坯坰坥坲坡坴坯坲 坷坩坴坨 坮坯坮圭
坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圧 坩坮 坴坨坥 坬坩坴坥坲坡坴坵坲坥圮 坉坮坳坰坩坲坥坤 坢坹 坴坨坥 坳坣坨坥坭坡 坁坄圬 坷坥 坰坲坯坰坯坳坥 坡
坮坯坴坩坯坮 坯坦 坢坩坳坩坭坵坬坡坴坩坯坮 坦坯坲 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣圬 坡 坬坯坧坩坣 坷坩坴坨 坴坨坥 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹
坯坰坥坲坡坴坯坲 坡坳 坴坨坥 坯坮坬坹 坰坲坩坭坩坴坩坶坥 坭坯坤坡坬坩坴坹圮 坂坡坳坥坤 坯坮 坴坨坥 坢坩坳坩坭坵坬坡坴坩坯坮圬 坷坥 坯坢坴坡坩坮 坴坷坯
坻 坶坩坩 坻

坁坢坳坴坲坡坣坴 北京大学博士研究生学位论文
坣坨坡坲坡坣坴坥坲坩坺坡坴坩坯坮 坲坥坳坵坬坴坳 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坷坩坴坨坩坮 坳坴坡坮坤坡坲坤 坭坯坤坡坬 坬坯坧坩坣 坡坮坤
圌坲坳坴圭坯坲坤坥坲 坬坯坧坩坣圮
坎坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坩坳 坮坯坴 坡 坮坯坲坭坡坬 坭坯坤坡坬 坬坯坧坩坣圬 坢坥坣坡坵坳坥 圁在ϕ甡ψ圩甡
在圁ϕ甡圁ψ圩 坩坳 坮坯坴 坶坡坬坩坤圮 坁坳 坷坥 坷坩坬坬 坳坨坯坷圬 坩坴坳 坥坸坰坲坥坳坳坩坶坥 坰坯坷坥坲 坩坳 坳坴坲坩坣坫坬坹 坷坥坡坫坥坲
坴坨坡坮 坴坨坡坴 坯坦 坳坴坡坮坤坡坲坤 坭坯坤坡坬 坬坯坧坩坣 坯坶坥坲 坴坨坥 坣坬坡坳坳 坯坦 坭坯坤坥坬坳 坷坩坴坨坯坵坴 坲坥圍坥坸坩坶坩坴坹圬 坡坮坤
坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坣坡坮坮坯坴 坤坥圌坮坥 坭坡坮坹 坵坳坵坡坬 坦坲坡坭坥 坰坲坯坰坥坲坴坩坥坳圬 坴坨坥坲坥坢坹 坡坢坳坥坮坣坥 坯坦
坡坸坩坯坭坳 坣坨坡坲坡坣坴坥坲坩坺坩坮坧 坴坨坥坳坥 坦坲坡坭坥 坰坲坯坰坥坲坴坩坥坳圮 坔坨坥坳坥 坦坥坡坴坵坲坥坳 坭坡坫坥 坩坴 坨坡坲坤坥坲 坴坯 圌坮坤
坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮坳 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坯坶坥坲 坧坩坶坥坮 坦坲坡坭坥 坣坬坡坳坳坥坳圬 坥坳坰坥坣坩坡坬坬坹 坦坯坲 坴坨坥
坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮 坯坶坥坲 坳坹坭坭坥坴坲坩坣 坦坲坡坭坥坳圮 坎坯 坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮 坯坶坥坲 坳坹坭坭坥坴坲坩坣 坦坲坡坭坥坳
坩坳 坫坮坯坷坮圬 坤坥坳坰坩坴坥 坴坨坥 坲坩坣坨 坲坥坳坵坬坴坳 坡坢坯坵坴 坴坨坥 坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮坳 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹
坬坯坧坩坣 坯坢坴坡坩坮坥坤 坩坮 坴坨坥 坬坩坴坥坲坡坴坵坲坥 坳坩坮坣坥 坴坨坥 圱圹圶地坳圮 坂坥坳坩坤坥坳圬 坴坨坥坲坥 坨坡坳 坢坥坥坮 坮坯 坵坮坩坦坯坲坭
坭坥坴坨坯坤 坦坯坲 坰坲坯坶坩坮坧 坴坨坥 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坯坦 坡坬坬 坴坨坥坳坥 坡坸坩坯坭坡坴坩坣 坳坹坳坴坥坭坳圮
坎坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坡坬坳坯 坡坲坯坳坥 坩坮 坴坨坥 坡坲坥坡 坯坦 坥坰坩坳坴坥坭坩坣 坬坯坧坩坣 坢坵坴 坷坩坴坨 坴坨坥
坴坥坲坭坩坮坯坬坯坧坹 坠坬坯坧坩坣坳 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥圧 在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圬 圲地地圴圻 坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬
圲地地圸圩圮 坔坨坥坲坥圬 坠ϕ坩坳 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圧 坭坥坡坮坳 坠坴坨坥 坡坧坥坮坴 坫坮坯坷坳 坷坨坥坴坨坥坲 ϕ圧圬 坳坯 坴坨坡坴 坠ϕ
坩坳 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坴圧 坭坥坡坮坳 坠坴坨坥 坡坧坥坮坴 坩坳 坩坧坮坯坲坡坮坣坥 坡坢坯坵坴 ϕ圧圮 坁坰坰坡坲坥坮坴坬坹 坵坮坡坷坡坲坥 坯坦 坴坨坥
坬坩坴坥坲坡坴坵坲坥 坯坮 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣圬 坡 坭坩坮坩坭坡坬 坳坹坳坴坥坭 Ig 坦坯坲 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥
坩坳 坰坲坥坳坥坮坴坥坤 坩坮 在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圩圬 坡坮坤 坴坨坥坮 坡 坳坹坳坴坥坭 Ig 圫G4 坩坳
坣坬坡坩坭坥坤 坩坮 在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圴圩 坴坯 坢坥 坳坯坵坮坤 坡坮坤 坣坯坭坰坬坥坴坥 坷坩坴坨 坲坥坳坰坥坣坴
坴坯 坴坨坥 坣坬坡坳坳 坯坦 坴坲坡坮坳坩坴坩坶坥 坦坲坡坭坥坳圮 坔坨坥 坳坹坳坴坥坭 Ig 坩坳 坥坳坳坥坮坴坩坡坬坬坹 坡 坭坩坮坩坭坡坬 坳坹坳坴坥坭
坦坯坲 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣圮 坍坯坲坥坯坶坥坲圬 坴坨坥 坡坵坴坨坯坲坳 坴坨坥坲坥 坰坯坳坥 坳坥坶坥坲坡坬 坯坰坥坮 坱坵坥坳坴坩坯坮坳圬
坩坮坣坬坵坤坩坮坧 坴坨坥 坦坯坬坬坯坷坩坮坧圮 坆坩坲坳坴圬 坨坯坷 坴坯 坡坸坩坯坭坡坴坩坺坥 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥 坯坮 坯坴坨坥坲
坣坬坡坳坳坥坳 坯坦 坦坲坡坭坥坳圿 坓坥坣坯坮坤圬 坲坥圍坥坸坩坶坩坴坹 坩坳 坵坮坤坥圌坮坡坢坬坥 坩坮 坴坥坲坭坳 坯坦 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥圮
坔坨坥坮 坨坯坷 坡坢坯坵坴 坯坴坨坥坲 坦坲坡坭坥 坰坲坯坰坥坲坴坩坥坳圿 坔坨坩坲坤圬 坷坨坡坴 坩坳 坴坨坥 坮坯坴坩坯坮 坯坦 坢坩坳坩坭坵坬坡坴坩坯坮
坦坯坲 坴坨坩坳 坬坯坧坩坣圿 坉坮 在坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩 坡 坴坯坰坯坬坯坧坩坣坡坬 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坯坮 坴坨坥 坣坬坡坳坳 坯坦 S4
坭坯坤坥坬坳 坩坳 坳坨坯坷坮 坦坯坲 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥圮
坁坰坡坲坴 坦坲坯坭 坴坨坥 坭坯坤坥坬 坴坨坥坯坲坹 坯坦 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣圬 坷坥 坷坩坬坬 坡坬坳坯 坰坲坥坳坥坮坴
坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮坳 坯坶坥坲 坶坡坲坩坯坵坳 坦坲坡坭坥 坣坬坡坳坳坥坳圮 坉坮坳坰坩坲坥坤 坢坹 坴坨坥 坳坣坨坥坭坡 坁坄圬 坷坥 坨坡坶坥
坡 坲坡坴坨坥坲 坵坮坩坦坯坲坭 坭坥坴坨坯坤 坴坯 坤坥坡坬 坷坩坴坨 坴坨坥 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坯坦 坴坨坥坳坥 坳坹坳坴坥坭坳圬 坡坭坯坮坧
坷坨坩坣坨 坴坨坥 坳坹坭坭坥坴坲坹 坣坡坳坥 坩坳 坴坨坥 坭坯坳坴 坤坩圎坣坵坬坴圬 坢坥坣坡坵坳坥 坷坥 坮坥坥坤 坴坯 坵坳坥 坡 坭坥坴坨坯坤
坻 坶坩坩坩 坻

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坠坳坹坭坭坥坴坲坩坣 坣坬坯坳坵坲坥 圫 坣坯坰坩坥坳 坯坦 坥坮坤坰坯坩坮坴坳圧圮 坂坹 坵坳坩坮坧 坴坨坥 坳坣坨坥坭坡 坁坄圬 坷坥 坣坡坮 圌坮坤 坴坨坥
坡坸坩坯坭坳 坣坨坡坲坡坣坴坥坲坩坺坩坮坧 坴坨坥 坣坬坡坳坳 坯坦 坲坥圍坥坸坩坶坥 坦坲坡坭坥坳 坡坮坤 坴坨坡坴 坯坦 坳坹坭坭坥坴坲坩坣 坦坲坡坭坥坳圬
坷坨坩坣坨 坡坲坥 坥坳坳坥坮坴坩坡坬 坦坯坲 坴坨坥 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坯坦 坴坨坥 坣坯坲坲坥坳坰坯坮坤坩坮坧 坦坲坡坭坥坳圮 坓坵坲坰坲坩坳坩坮坧坬坹圬
坴坨坥 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坯坦 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坯坶坥坲 坳坹坭坭坥坴坲坩坣 坦坲坡坭坥坳 坣坡坮坮坯坴 坢坥 坥坸坴坥坮坤坥坤
坴坯 坴坨坥 坭坵坬坴坩坭坯坤坡坬 坣坡坳坥圬 坷坨坩坣坨 坷坩坬坬 坢坥 坥坸坰坬坩坣坡坴坥坤 坡坮坤 坨坡坮坤坬坥坤圮 坆坵坲坴坨坥坲坭坯坲坥圬 坷坥 坷坩坬坬
坥坸坴坥坮坤 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坷坩坴坨 坰坵坢坬坩坣 坡坮坮坯坵坮坣坥坭坥坮坴坳 坡坮坤 坷坩坴坨 坡坣坴坩坯坮 坭坯坤坥坬坳圬
坡坮坤 坧坩坶坥 坣坯坭坰坬坥坴坥 坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮坳 坦坯坲 坴坨坥坭 坤坵坥 坴坯 坴坨坥 坤坥坳坩坲坥坤 坲坥坤坵坣坴坩坯坮 坡坸坩坯坭坳圮
坔坨坩坳 坰坡坲坴 坷坩坬坬 坢坥 坦坯坬坬坯坷坥坤 坢坹 坡 坣坯坭坰坡坲坩坳坯坮 坷坩坴坨 坴坨坥 坬坩坴坥坲坡坴坵坲坥 坯坦 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹
坬坯坧坩坣 坡坮坤 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥圬 坷坨坥坲坥 坷坥 坷坩坬坬 坳坨坯坷 坴坨坡坴 坴坨坥 坳坹坳坴坥坭 Ig 圫G4 坰坲坯圭
坰坯坳坥坤 坩坮 在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圴圩 坩坳 not 坳坯坵坮坤圮 坌坡坳坴 坢坵坴 坮坯坴 坬坥坡坳坴圬 坷坥
坬坩坦坴 坴坨坥 坴坯坰坯坬坯坧坩坣坡坬 坳坥坭坡坮坴坩坣坳 坯坦 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坩坮 在坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩 坴坯 坭坯坲坥
坧坥坮坥坲坡坬 坮坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坳坥坭坡坮坴坩坣坳圬 坡坮坤 坳坴坵坤坹 坴坨坥 坦坥坡坴坵坲坥坳 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣
坵坮坤坥坲 坮坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坳坥坭坡坮坴坩坣坳圮 坔坨坩坳 坴坨坥坳坩坳 坡坬坳坯 坢坲坩坤坧坥 坴坨坥 坧坡坰 坢坥坴坷坥坥坮 坴坨坥 坮坯坮圭
坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣 坡坮坤 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥圬 坷坨坩坣坨 坩坳 坯坢坬坩坶坩坯坵坳 坴坯 坴坨坥 坲坥坳坥坡坲坣坨坥坲坳 坯坦
坴坨坥 坴坷坯 坤坩國坥坲坥坮坴 坡坲坥坡坳圮 坂坥坳坩坤坥坳圬 坷坥 坡坮坳坷坥坲 坴坨坥 坴坨坲坥坥 坯坰坥坮 坱坵坥坳坴坩坯坮坳 坲坡坩坳坥坤 坩坮 在坶坡坮
坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圴圩圮
Keywords: 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圬 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳圬 坥坸坰坲坥坳坳坩坶坩坴坹圬 坦坲坡坭坥 坤坥圌坮坡坢坩坬圭
坩坴坹圬 坮坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坳坥坭坡坮坴坩坣坳
坻 坩坸 坻

坁坢坳坴坲坡坣坴 北京大学博士研究生学位论文
坻坸坻

目录
引言1
地圮圱 研究背景圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱
地圮圲 论文结构圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圵
第一章非偶然逻辑和必然算子的定义9
圱圮圱 非偶然逻辑的语言和关系语义圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圹
圱圮圲 必然算子的三种定义方案及评价圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圳
圱圮圲圮圱 方案一：在特殊框架类上定义必然算子圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圳
圱圮圲圮圲 方案二：扩充非偶然逻辑的语言圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圳
圱圮圲圮圳 方案三：定义一个无穷算子圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圴
圱圮圲圮圴 评价圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圵
圱圮圳 几乎可定义模式圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圵
第二章非偶然逻辑的模型论17
圲圮圱 表达力和框架可定义性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圷
圲圮圱圮圱 表达力圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圷
圲圮圱圮圲 框架可定义性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圹
圲圮圲 互模拟圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圲圱
圲圮圳 两个刻画片断圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圳圱
第三章公理系统和完全性35
圳圮圱 极小系统圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圳圵
圳圮圱圮圱 系统及其可靠性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圳圵
圳圮圱圮圲 完全性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圳圹
坻 坸坩 坻

目录北京大学博士研究生学位论文
圳圮圲 一些扩张系统圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圴地
圳圮圲圮圱 系统及其可靠性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圴圱
圳圮圲圮圲 完全性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圴圸
圳圮圳 对称系统畎畃界畂 的完全性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圵圳
第四章多模态的非偶然逻辑63
圴圮圱 语言和语义圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圶圳
圴圮圲 几乎可定义模式圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圶圵
圴圮圳 系统畎畃界畂m的完全性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圶圶
第五章动态的多模态非偶然逻辑77
圵圮圱 加入公开宣告算子圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圷圷
圵圮圲 加入活动模型算子圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圸圱
圵圮圳 与已有工作的比较圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圸圵
第六章非偶然逻辑和邻域语义91
圶圮圱 语言和邻域语义圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圹圲
圶圮圲 表达力和框架可定义性圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圹圵
圶圮圳 最小的经典非偶然逻辑圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱地圲
圶圮圴 邻域语义和克里普克语义圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱地圴
圶圮圵 小结圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱地圵
结论107
附录A模型论的一些预备知识119
附录B与无知逻辑文献的对比121
坂圮圱 与坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圳圩 的比较圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圲圱
坂圮圲 与坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 的比较圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮 圱圲圵
附录C一些省略的证明129
致谢133
坻 坸坩坩 坻

北京大学博士研究生学位论文目录
博士期间的科研成果135
坻 坸坩坩坩 坻

目录北京大学博士研究生学位论文
坻 坸坩坶 坻

引言
0.1 研究背景
称一个公式是偶然的，如果它可能真也可能假；称一个公式是非偶然的，如
果它不是偶然的，换句话说，如果它必然为真，或者它必然为假。偶然和非偶
然对应的英文分别是坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 和坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹，它们并不一定代表真正意
义上的哲学概念“偶然”和“非偶然”，这里我们只是借用了文献中关于术语
坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 和坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 以及它们的中文翻译。本文主要从技术角度去研
究非偶然算子（和偶然算子），而不讨论它们的哲学意义。关于偶然的讨论最早可
以追溯到亚里士多德，他建立了关于偶然的语句逻辑，在其中他论证了，偶然的
全称否定命题是不可逆的，即，“偶然地，没有A是B”不能推出“偶然地，没
有B是A”，但这一论证后来被坂坲坯坧坡坮 在圱圹圶圷圩 推翻；另外，亚里士多德在著名
的海战例子中有关于将来偶然命题的讨论 在坣坦圮 坥圮坧圮圬 坍坡坲坣坯坳圬 圲地地圴圬 坰圮 圲圳圵圩。而“非
偶然”这个术语则起源于必然算子的可证性解释：称一个语句在一个理论中是非
偶然的，如果在该理论中，该语句和它的否定至少有一个可证在坚坯坬坩坮圬 圲地地圲圬 坮坯坴坥
圱圩。
关于偶然和非偶然的形式研究开始于坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 和坒坯坵坴坬坥坹。他们最早在
在坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹圬 圱圹圶圶圩 中给出了偶然和非偶然的形式定义，分别用畲和
圁表示偶然算子和非偶然算子，定义如下：圁ϕdef
圽2ϕ畟2町ϕ, 畲ϕdef
圽町圁ϕ，研
究了正规模态逻辑坔、坓圴、坓圵 与它们对应的偶然和非偶然逻辑之间的系统等价问
题，并在在坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹圬 圱圹圶圸坡圩 中进一步研究了坓圴、坓圵 与其它系统的
等价问题。在此基础上，坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹 在圱圹圶圸坢圩 探讨了坓圱 的非偶然版本
的几个扩充系统中非偶然算子的归约问题，然后在在坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹圬 圱圹圶圹圩
中给出了非偶然算子的克里普克语义的一个雏形，并运用语义的方法研究了非偶
坻圱坻

引言北京大学博士研究生学位论文
然算子的某些归约问题。
偶然算子和非偶然算子在不同的语境下有不同的意义，比如：在命题逻辑的
语境下，称一个公式是偶然的，如果它只被部分真值赋值满足，此时偶然算子意
为“即非永真也非永假”1；在一阶逻辑的语境下，称一个公式是偶然的，如果
它只被部分指派满足，此时偶然算子意为“既非有效也非不可满足”；在模态逻
辑的语境下，称一个公式是偶然的，如果它可能真也可能假，此时偶然算子意
为“双向的可能”；在道义逻辑的语境下，称一个行为（比如在吸烟室吸烟）是
偶然的，如果主体允许它发生，也允许它不发生，即对这个行为是否发生持漠然
的态度，此时偶然算子意为“道义漠然”（坭坯坲坡坬 坩坮坤坩國坥坲坥坮坣坥）在坶坯坮 块坲坩坧坨坴圬 圱圹圵圱圩；
在认知逻辑2的语境下，称一个公式（相对于主体的知识）是偶然的，如果主体
不能（根据自己的知识）确定它的真假，此时偶然算子意为“无知”（坩坧坮坯坲坡坮坣坥）
在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圬 圲地地圴圻 坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩，或者说“主体不理解该
公式”在何纯秀，李小五，圲地圱地圩3；在信念逻辑（坄坯坸坡坳坴坩坣 坌坯坧坩坣）的语境下，称一
个公式（相对于主体的信念）是偶然的，如果主体既不相信它真，也不相信它假，
此时偶然算子意为“（信念上）未定的”（坵坮坤坥坣坩坤坥坤）在坌坩坵 et al.圬 圲地圱圴圩；在可证性
逻辑（坐坲坯坶坡坢坩坬坩坴坹 坌坯坧坩坣）的语境下，称一个公式是偶然的，如果它和它的否定在
皮亚诺算术中都是不可证的，此时偶然算子意为“（在皮亚诺算术中）不可判定
（坵坮坤坥坣坩坤坡坢坬坥）”在坚坯坬坩坮圬 圲地地圱坢圩；在空间逻辑（坓坰坡坴坩坡坬 坌坯坧坩坣）的语境下，当必然
算子被解释为内核（坩坮坴坥坲坩坯坲）时，称公式ϕ是偶然的，如果它既不在ϕ的真值集
的内核里，也不在町ϕ的真值集的内核里，也就是ϕ的真值集的边界（坢坯坲坤坥坲），
此时偶然算子意为“拓扑边界”（坴坯坰坯坬坯坧坩坣坡坬 坢坯坲坤坥坲）在坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩。相应地，
非偶然算子在不同的语境下也有不同的意义。
在文献中，一个研究主题是如何用非偶然算子去定义必然算子。前面已经提
到，非偶然算子是可以通过必然算子来定义的，即圁ϕdef
圽2ϕ畟2町ϕ，但是必然
算子不一定总可以通过非偶然算子来定义。坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹 在圱圹圶圶圩 提议
将必然算子定义成2ϕdef
圽 圁ϕ畞ϕ。直观上，必然就是非偶然的真。然而，正如
1这种意义的偶然被Costa-Leite (2007) 称为metaproperty contingency。而下面“双向的可能”意义
的偶然被Costa-Leite (2007) 称为modal contingency。Costa-Leite (2007, p. 71) 区分了这两种偶然性。
2认知逻辑的英文是Epistemic Logic。尽管国内通常采用“认知逻辑”这一翻译，但有学者认为这个翻
译中的“认知”容易与认知科学中的“认知”（cognition）相混淆，因此把Epistemic Logic 翻译为“知识逻
辑”更贴切。不过，本文仍然沿用“认知逻辑”这一传统翻译。
3在何纯秀和李小五(2010) 那里，“理解一个公式”被解释为“知道该公式真或知道该公式假”，见（何
纯秀，李小五，2010, 第29 页）.根据这一解释，主体对一个公式无知，等价于是说，主体不理解该公式。
坻圲坻

北京大学博士研究生学位论文地圮圱 研究背景
坓坥坧坥坲坢坥坲坧 在圱圹圸圲圬 坰圮 圱圲圸圩 所观察到的，这个定义只有在包含T公理2ϕ甡ϕ的系统
中才成立。那么，在其它什么情况下，必然算子可以通过非偶然算子来定义呢？
已有工作提出了三类方案，但这些方案都不是令人满意的。第一章将回顾这些方
案，指出这些方案的不足，并提出一个新的解决方案。
另一个研究主题是非偶然逻辑（即以非偶然算子为唯一初始模态词的逻辑）
的公理化。由于通常的框架性质在非偶然逻辑中都是不可定义的（见第二章），
这些框架性质的刻画公理在该逻辑中不存在，因此非偶然逻辑在这些框架性质
上的公理化问题变得异 常困难。作为一个 未发表的工作，基于非偶然的S5 系
统由坌坥坭坭坯坮 和均坪坥坲坴坳坥坮 于圱圹圵圹 年提出在坣坦圮 坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥圬 圲地地圲圬 坮坯坴坥 圱地圩。非偶
然逻辑在自反框架上的公理化及 其扩充由坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹 在圱圹圶圶圩 给出。
坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥 在圱圹圹圵圩 提出了非偶然逻辑在所有框架的类上的一个无穷公理系统，
并证明了该系统相对于持续框架的类也是可靠且完全的。所有框架的类上的一个
有穷的公理化由坋坵坨坮 在圱圹圹圵圩 给出，其中作者也提供了该逻辑在传递框架类上的
一个有穷的公理刻画。欧性非偶然逻辑的一个公理化则由坚坯坬坩坮 在圱圹圹圹圩 建立。然
而，据我们所知，由于技术上的困难，非偶然逻辑在对称框架类上的公理化问题
仍然没有被解决。圳圮圳 节将给出非偶然逻辑在对称框架上的一个公理化，并运用
一些比较巧妙的方式去证明该系统的完全性。同时，在考虑多模态情形时，对称
系统的完全性证明会遇到新的技术上的困难，因此圴圮圳 节证明多模态情形下对称
非偶然逻辑的完全性。
非偶然逻辑也出现在认知逻辑领域，不过是以“无知逻辑”（坬坯坧坩坣坳 坯坦 坩坧坮坯圭
坲坡坮坣坥）这一术语出现在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圬 圲地地圴圻 坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩。在
那儿，“ϕ是非偶然的”意为“主体知道是否ϕ”，而“ϕ是偶然的”则意为“主
体对ϕ无知”。由于没有意识到非偶然逻辑的工作，坄坥坭坲坩 在圱圹圹圷圩 提供了“知道
是否”逻辑在S5 框架上的一个公理化4。在在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圩 中，
作者们提出了一个无知逻辑，并建立了该逻辑在所有框架类上的一个完全公理系
统Ig，还在在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圴圩 中给出了一个他们声称是相对于传
递框架的类既可靠又完全的公理系统Ig 圫G4。他们的系统Ig 实质上也是非偶然
逻辑的一个极小系统。作者们在文章中还提出了一些开问题，其中包括：第一，
4由于把Hintikka (1962) 的命题知识（knowing that）算子误解成“知道是否”（knowing whether）算
子，Demri 在他的文章中把Hintikka 的Kϕ解释成“主体知道是否ϕ”，并建立了知道是否逻辑（即以“知
道是否”算子为唯一初始模态词的逻辑）在S5 框架上的一个完全的公理系统。这一误解在(Humberstone,
2002, note 10) 中也被详细说明。
坻圳坻

引言北京大学博士研究生学位论文
如何在其他框架类上刻画无知逻辑？第二，自反性不是无知逻辑可定义的。那么，
其他框架性质是不是无知逻辑可定义的呢？第三，无知逻辑的互模拟概念是什
么？一个在拓扑语义下可靠且完全的无知逻辑系统LB 被坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 给出，
其中的拓扑模型相当于S4 的克里普克模型。坁坫坡坭坡 et al. 在圲地圱圲圩 建立了非无知逻
辑（坡 坬坯坧坩坣 坦坯坲 坮坯坮圭坩坧坮坯坲坡坮坣坥）在S5 框架类上的一个可靠且完全的公理系统。
出人意料的是，非偶然逻辑的研究者们和无知逻辑的研究者们都没有意识到
彼此的工作。本文可以建立这两个研究领域的桥梁。
尽管各种公理化分散在非偶然逻辑和无知逻辑的文献中，但仍缺少一种一致
的方式来一揽子处理这些公理系统，这也是本文的一个研究动机。本文将提出一
个很重要的模式——“几乎可定义模式”AD（见圱圮圳 节）。基于模式AD，本文运
用一种相当一致的方法（该方法不同于文献中的已有方法），去证明非偶然逻辑
相对于各个框架类的完全性。在多主体认知语境中，考虑多模态的非偶然逻辑，
就像多主体认知逻辑一样，是非常合理的5。本文的方法也适用于多模态的非偶然
逻辑，不过有趣的是，多模态情形的完全性证明可能会遇到新的技术上的困难，
这一点可以从多模态非偶然逻辑在对称框架上的非常复杂的完全性证明中可以看
到（见圴圮圳 节）。
关于偶然算子的哲学相关性，文献中并未太多提及。正如坃坯坳坴坡圭坌坥坩坴坥 在圲地地圷圬
坰圮 圶圶圬 坮坯坴坥 圳圩 所提到的，赫拉克利特首次讨论了世界的偶然性（坴坨坥 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹
坯坦 坴坨坥 坷坯坲坬坤）。除了区分坭坥坴坡坰坲坯坰坥坲坴坹 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 和坭坯坤坡坬 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 外在坣坦圮
坃坯坳坴坡圭坌坥坩坴坥圬 圲地地圷圬 坰圮 圷圱圩，坃坯坳坴坡圭坌坥坩坴坥 在圲地地圷圩 主要讨论了偶然和知识、信念这两
个认知概念之间的关系，比如“偶然命题是否被知道？”，“偶然命题是否能被知
道？”在坣坦圮 坥圮坧圮圬 坃坯坳坴坡圭坌坥坩坴坥圬 圲地地圷圬 坰圮 圷圹圩。坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹 在圱圹圶圶圩 一开始就
提到：
“模态逻辑的偶然性和非偶然性基础，为具有哲学趣味的各种逻辑研究，比
如，因果关系和因果蕴涵的逻辑（坬坯坧坩坣坳 坯坦 坣坡坵坳坡坴坩坯坮 坡坮坤 坣坡坵坳坡坬 坩坭坰坬坩坣坡坴坩坯坮）、衍
推（坥坮坴坡坩坬坭坥坮坴）理论、仅包含偶然命题的三段论系统、将来偶然命题的理论，等
等，都提供了直接的理论依据。而且，有人建议将偶然算子作为初始模态词加到
一些弱模态逻辑（包括系统坓圶圭坓圸）中，可以得到一些哲学上有趣的扩充系统。
偶然和非偶然在形式上也是有趣的；例如，用非偶然算子构造出来的坓圵 型的系
5回顾“非偶然”在认知语境中意为“知道是否”，因此多模态的非偶然逻辑相应地意为“多主体知道是
否逻辑”。
坻圴坻

北京大学博士研究生学位论文地圮圲 论文结构
统简单而又优雅。”
在认知语境中，相比命题知识，“知道是否”是一个非常自然且简洁的表达，
并且往往足以表达某些有趣的命题。比如，考虑语句“我知道明天是否下雨”。
如果要用命题知识来表达同样的意思，我们得说“我知道明天下雨，或者，我
知道明天不下雨”。6对于这两种表达，人们一般会采用“知道是否”的表达方
式，就是因为它在表达上更简洁。在不完全信息的场合下，和命题知识算子一
样，“知道是否”算子也被用在知识表示中在坣坦圮 坥圮坧圮圬 坄坥坭坲坩圬 圱圹圹圷圻 坏坲圠坬坯坷坳坫坡圬 圱圹圸圹圩。
在人工智能中，“知道是否”算子通常被用来表达机器人移动的前提条件在坣坦圮 坥圮坧圮圬
坍坣坃坡坲坴坨坹圬 圱圹圷圹圻 坒坥坩坴坥坲圬 圲地地圱圻 坐坥坴坲坩坣坫 圦 坂坡坣坣坨坵坳圬 圲地地圴圩。在微观经济学中，“知道
是否”算子也方便知识状态的一个连续统的简单的构造在坈坡坲坴 et al.圬 圱圹圹圶圻 坈坥坩坦坥坴坺
圦 坓坡坭坥坴圬 圱圹圹圳圩，该构造极大地简化了坁坵坭坡坮坮 在圱圹圸圹圩 运用命题知识对该连续统
的构造。而且，在如泥孩谜题（坍坵坤坤坹 坃坨坩坬坤坲坥坮 坐坵坺坺坬坥）在坍坯坳坥坳 et al.圬 圱圹圸圶圩 和八
卦协议（均坯坳坳坩坰 坐坲坯坴坯坣坯坬坳）在坈坥坤坥坴坮坩坥坭坩 et al.圬 圱圹圸圸圩 等场景中，所涉及到的高阶
认知推理可以用“知道是否”算子来分析。例如，在泥孩谜题中，通过重复真实
宣告“没有小孩知道自己是否有泥巴”，每个小孩将最终知道自己是否有泥巴。运
用“知道是否”算子对八卦协议的认知版本的处理能在坁坴坴坡坭坡坨 et al. 在圲地圱圴圩 中
找到。“知道是否”算子在带有选择疑问句（坡坬坴坥坲坮坡坴坩坶坥 坱坵坥坳坴坩坯坮坳）的认知逻辑和
问句语义（坩坮坱坵坩坳坩坴坩坶坥 坳坥坭坡坮坴坩坣）中也被讨论 在坣坦圮 坥圮坧圮圬 坁坬坯坮坩 et al.圬 圲地圱圳圻 坃坩坡坲坤坥坬坬坩
圦 坒坯坥坬坯坦坳坥坮圬 圲地圱圴圩。另外，“知道是否”算子还可以被视为“知道值（坫坮坯坷坩坮坧
坶坡坬坵坥）”算子的一个特例：知道是否ϕ，就是说，知道ϕ的真值在坣坦圮 坐坬坡坺坡圬 圱圹圸圹圻
坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圬 圲地地圷圻 块坡坮坧 圦 坆坡坮圬 圲地圱圳圬 圲地圱圴圩。
本论文拟从技术角度，对非偶然算子做一个较为详尽的逻辑研究。
0.2 论文结构
本文总共分为六章。
第一章引入非偶然逻辑（即以非偶然算子为唯一初始模态词的逻辑），包括
其语言和克里普克语义。在总结和评价文献中运用非偶然算子去定义必然算子的
6再比如，对于语句“我不知道明天是否会下雨，但我知道是否你知道是否明天会下雨”，如果用命题知
识表达就要复杂得多：“我既不知道明天下雨，我也不知道明天不下雨，但我知道（你知道明天下雨，或者，
你知道明天不下雨），或者，我知道（你既不知道明天下雨，你也不知道明天不下雨）”。
坻圵坻

引言北京大学博士研究生学位论文
几种方案的基础上，本文提出一个很重要的模式——“几乎可定义模式”，该模式
引导找到适合于非偶然逻辑的互模拟概念，也帮助找到一些所需要的公理，还引
导定义一个合适的典范关系，通过适当地修改该关系，本文运用一种相当一致的
方法去证明该逻辑在通常框架类上的公理系统的完全性。
第二章考察非偶然逻辑的模型论，包括表达力的对比、框架可定义性、圁圭互
模拟的提出及在标准模态逻辑和一阶逻辑中刻画非偶然逻辑。主要结果包括：在
非自反模型类上，非偶然逻辑的表达力要严格弱于标准模态逻辑，但在自反模型
类上，这两个逻辑的表达力一样；通常的一阶性质在非偶然逻辑中都不是可定义
的；标准的互模拟概念不适用于非偶然逻辑，因此我们提出适合于该逻辑的互模
拟概念，称之为“圁圭互模拟”；非偶然逻辑既是标准模态逻辑在圁圭互模拟下的不
变片段，也是一阶逻辑在圁圭互模拟下的不变片段。
第三章考虑非偶然逻辑在各个框架类上的公理化。圳圮圱 节给出可靠且完全
的极小系统，圳圮圲 节给出可靠且完全的扩充系统，由此也回答了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦
坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 中的第一个开问题。其中，受“几乎可定义模式”的启发，本文
定义一个合适的典范关系，通过适当地修改该关系，我们有一种相当一致的方法
去证明这些系统相对于相应框架类的完全性。
由于第三章中对称系统畎畃界畂 的完全性证明较为复杂，圳圮圳 节用一节的篇幅
来证明畎畃界畂 的完全性。又因为系统畎畃界畂 的完全性证明不能简单地推广到多模
态的情形，该系统的多模态版本（记为畎畃界畂m）在对称框架类上的完全性在圴圮圳
节中被给出。虽然多模态情形的证明涵盖了单模态的情形，但由于单模态情形的
证明相对而言较为直观和简洁，本文还是将其分别给出。证明完全性的过程中要
综合运用“对称闭包”和“副本”（坣坯坰坹）的思想，而且多模态的情形还需要运用
递归定义来一步一步地构造出所求的典范模型。
第五章考虑动态的多模态非偶然逻辑，即非偶然算子在动态影响下的变化。
圵圮圱 节先考虑最简单的活动——公开宣告，得到一个可靠且完全的公理化系统，
圵圮圲 节考虑一般的活动——活动模型，得到一个可靠且完全的公理化系统。这两个
逻辑在认知语境（畓圵）中的应用分别用案例“泥孩谜题”和“八卦协议”来举例
说明。本章最后将前面的工作与已有文献中的工作进行一个对比，证明坶坡坮 坤坥坲
坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圬 坌坥坭坭坡 圴圮圲圩 所声称的相对于传递框架的类既可靠又完全
的系统Ig 圫G4 实际上并不可靠。
坻圶坻

北京大学博士研究生学位论文地圮圲 论文结构
由于非偶然逻辑在克里普克语义下的公理化存在诸多困难，且存在某种逻辑
全知问题（即“主体知道所有内定理是否为真”），再加上该逻辑不是正规模态逻
辑，因此第六章提出邻域的非偶然逻辑，即用邻域语义学去解释非偶然逻辑。主
要结果包括非偶然算子的一个邻域语义的提出；在许多邻域模型类上，非偶然逻
辑的表达力严格弱于标准模态逻辑；所列出的所有十个邻域性质都是非偶然逻辑
不可定义的；最小经典非偶然逻辑的建立；非偶然逻辑的邻域语义和克里普克语
义的关系。这一工作也是对坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 拓扑语义的一个推广。
本文的主要贡献可以被总结如下：
甏“几乎可定义模式”AD 的提出（圱圮圳 节）
甏圁圭互模拟的提出以及非偶然逻辑在标准模态逻辑中和一阶逻辑中的刻画片
段（圲圮圲 节和圲圮圳 节）
甏非偶然逻辑在通常框架类上完全性证明方法的一致性（第三章）
甏公理系统畎畃界畂 的提出及其完全性证明，其中需要用到“对称闭包圫终点副
本”的方法（圳圮圳 节）
甏多模态非偶然逻辑的提出，以及公理系统畎畃界畂m的非常复杂的完全性证
明，除了用到“对称闭包圫终点副本”的方法，还要运用递归的方法一步一
步构造出所需的典范模型（第四章）
甏多模态非偶然逻辑与动态算子的结合，以及两个可靠且完全的公理系统的建
立（第五章）
甏坖坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圬 坌坥坭坭坡 圴圮圲圩 所声称的相对于传递框架的类
既可靠又完全的系统Ig 圫G4 实际上并不可靠（推论圵圮圳圮圴）。
甏用邻域语义解释非偶然逻辑（第六章）
本文的主要技术工作来源于如下已发表的论文：
坛圱坝 坊坩坥 坆坡坮圬 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坮坤 坋坮坯坷坩坮坧
块坨坥坴坨坥坲圮 The Review of Symbolic Logic圬 坃坡坭坢坲坩坧坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹 坐坲坥坳坳圬 坖坯坬坵坭坥 圸圬
坉坳坳坵坥 地圱圬 坰坡坧坥坳 圷圵圭圱地圷圬 坍坡坲坣坨 圲地圱圵圮
坛圲坝 坊坩坥 坆坡坮 坡坮坤 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坎坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坌坯坧坩坣圮 坉坮
Proceedings of 6th Indian Conference on Logic and its Applications (ICLA 2015)圬
坌坥坣坴坵坲坥 坎坯坴坥坳 坩坮 坃坯坭坰坵坴坥坲 坓坣坩坥坮坣坥圬 坖坯坬坵坭坥 圸圹圲圳圬 坰坡坧坥坳 圸圸圭圹圹圬 圲地圱圵圮
坛圳坝 坊坩坥 坆坡坮圬 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坁坬坭坯坳坴 坎坥坣坥坳坳坡坲坹圮 Ad-
坻圷坻

引言北京大学博士研究生学位论文
vances in Modal Logic圬 坖坯坬坵坭坥 圱地圬 坰坡坧坥坳 圱圷圸圭圱圹圶圬 圲地圱圴圬 坃坯坬坬坥坧坥 坐坵坢坬坩坣坡坴坩坯坮坳圮
本文第一章和第二章是基于坛圳坝的修改和补充，第三章是基于坛圱坝和坛圳坝的修改和
补充，第四章和第五章是基于坛圱坝的修改和补充，第六章是基于坛圲坝的修改和补充。
坻圸坻

第一章非偶然逻辑和必然算子的定义
正如坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹 在圱圹圶圶圩 所定义的，圁ϕdef
圽2ϕ畟2町ϕ，非偶然就
是必然为真或者必然为假，因此非偶然算子可以被必然算子定义。那么，如何用
非偶然算子去定义必然算子呢？这是非偶然逻辑文献中一个广为研究的主题。为
了回答这个问题，已有工作提出了三种不同方案。但是，这些方案都有各自的不
足。本章在回顾这三种方案的基础上，指出这些方案所存在的不足，并提出新的
解决方案。
1.1 非偶然逻辑的语言和关系语义
首先回顾非偶然逻辑的语言和关系语义。为了下文表述方便，引入一个既有
必然算子又有非偶然算子的逻辑语言。
定义1.1.1 在语言CML,NCL,ML圩.令P是可数多个命题变元的集合。语言
CML 为：
ϕ场场圽 甾 番 p番 町ϕ番在ϕ畞ϕ圩番圁ϕ番2ϕ
其中p甲P。将CML 中没有形如2ϕ的公式的片段称为非非非偶偶偶然然然逻逻逻辑辑辑的的的语语语言言言，记
为NCL；没有形如圁ϕ的公式的片段称为模模模态态态逻逻逻辑辑辑的的的语语语言言言，记为ML。称ϕ是
一个 NCL-公式，如果ϕ甲NCL；称ϕ是一个 ML-公式，如果ϕ甲ML。
下文主要集中于语言NCL，即以圁作为唯一的初始模态词的逻辑语言。
直观上，公式2ϕ是说“ϕ是必然的”，公式圁ϕ是说“ϕ是非偶然的”。1
如常，甿圬在ϕ畟ψ圩圬在ϕ甡ψ圩圬在ϕ甤ψ圩圬畲ϕ圬3ϕ分别被缩写为町甾圬町在町ϕ畞 町ψ圩圬在町ϕ畟
1Humberstone (2002, page 95) 建议把∆ϕ读成“‘是否ϕ’是非偶然的”（it is non-contingent whether
ϕ），以避免可能产生的歧义。本文沿用文献中对于∆ϕ的传统读法。
坻圹坻

第一章非偶然逻辑和必然算子的定义北京大学博士研究生学位论文
ψ圩圬在在ϕ甡ψ圩畞在ψ甡ϕ圩圩圬町圁ϕ, 町2町ϕ。畲ϕ直观上是说‘ϕ是偶然的’。注意，尽
管畲被定义成圁算子的否定而非对偶，但从下面的语义读者将会看到，畲实际
上也是圁的对偶，即畲ϕ甤 町圁町ϕ。在不引起混淆的情况下，公式中的括号被
省略。同时假定一元算子的约束力最强，且畞和畟的约束力强于甡和甤。另外，
我们分别用Vm
j=1 ϕj和Wm
j=1 ϕj来表示ϕ1畞 甁 甁 甁 畞 ϕm和ϕ1畟 甁 甁 甁 畟 ϕm。
定义1.1.2 在框架和模型圩.一个框框框架架架是一个二元组畆圽畨S, R畩，其中S非空，被
称为“可能世界集”，R是S上的一个二元关系。一个模模模型型型是畍圽畨畆, V 畩，其中
V是命题变元的赋值函数。给定s甲S，在畍, s圩被称为点点点模模模型型型，有时简单地被说
成模型。在不引起混淆的情况下，我们一般省略在畍, s圩中的括号，而简单地写
畍, s。有时也写s甲 畍 来表示s甲S。另外，R在s圩 圽 畦t甲S番sRt畧表示s的R后
继集，即s在S中通过关系R可通达到的那些世界的集合。为了下文便于参考，
这里设定如下记号来表示框架或模型性质。
记号框架（模型）性质
畋—
畄持续性
畔自反性
畂对称性
圴传递性
圵欧性
圴圵 传递性和欧性
畋畄圴圵 持续、传递和欧性
畓圴自反且传递
畓圵自反且欧性
畐畆 部分函数性
称框架畆圽畨S, R畩是部分函数的，如果R对应于一个部分函数，也就是说，S中
的每个元素都最多只有一个 R后继。部分函数性在非偶然逻辑中有着特殊的作
用。
坻 圱地 坻

北京大学博士研究生学位论文圱圮圱 非偶然逻辑的语言和关系语义
定义1.1.3 在语义圩.给定模型畍圽畨S, R, V 畩，CML 的语义为：
畍, s 甾 甬 恒成立
畍, s p甬s甲V在p圩
畍, s 町ϕ甬 畍, s 甲ϕ
畍, s ϕ畞ψ甬 畍, s ϕ且畍, s ψ
畍, s 圁ϕ甬任给t1, t2，如果sRt1, sRt2，
则在畍, t1ϕ甬 畍, t2ϕ圩
畍, s 2ϕ甬任给t，如果sRt，则畍, t ϕ
称ϕ在在畍, s圩中为真，如果畍, s ϕ，当畍很明显时，简单地记为sϕ。称
ϕ是有效的，记为ϕ，如果任给点模型在畍, s圩，畍, s ϕ。称ϕ是可满足的，
如果甲町ϕ。给定公式集圀，称圀在在畍, s圩中为真，记为畍, s 圀，如果对于所
有ψ甲圀，都有畍, s ψ；称在框架类畆上圀衍推ϕ，记为圀畆ϕ，如果对于
所有畆 甲 畆，对于基于畆的所有模型畍，以及对于所有s甲 畍，畍, s 圀蕴涵
畍, s ϕ。当畆是所有框架的类时，往往把畆省略，而简记为圀ϕ。称ϕ和ψ
相对于模型类畍是逻辑等值的，记为畍ϕ甤ψ，如果对于所有在畍, s圩甲 畍，
都有畍, s ϕ当且仅当畍, s ψ。称两个模型在畍, s圩,在畎, t圩是圁-等价的，记为
在畍, s圩甑∆在畎, t圩，如果它们满足同样的NCL-公式；称在畍, s圩,在畎, t圩是2-等价
的，记为在畍, s圩甑2在畎, t圩，如果它们满足同样的ML-公式。
直观上，圁ϕ在s上为真，当且仅当，在s的所有可及世界中，ϕ都有同样的
真值，即：ϕ在其中都为真，或者在其中都为假。因此，非偶然算子圁的语义可
以等价地写成：
畍, s 圁ϕ甬在任给t，如果sRt，则畍, t ϕ圩或者
在任给t，如果sRt，则畍, t 町ϕ圩
从上述语义，不难证明：圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ且圁ϕ甤 町圁町ϕ。
为了帮助理解圁的语义定义，来看下面四个模型。由于在前三个模型中s都
最多只有一个后继，根据圁的语义，无论p在s的那个后继（如果有的话）中取
何种真值，圁p在s中都为真；但如果s有两个不同的后继使得p在其中的真值不
坻 圱圱 坻

第一章非偶然逻辑和必然算子的定义北京大学博士研究生学位论文
相同，则圁p在s中为假。
p町p
s场 圁p s 场 圁p
OO
s场 圁p
OOp
s场町圁p
::
//町p
可以得到其他缩写算子的语义定义，特别地，
畍, s 畲ϕ甬存在t1, t2使得sRt1, sRt2且畍, t1ϕ且畍, t2町ϕ.
非偶然逻辑NCL 不是正规模态逻辑（当把圁看成是2时），因为它没有
“模态词对蕴涵联结词分配”这条公理，即甲圁在ϕ甡ψ圩甡在圁ϕ甡圁ψ圩。而且，
该模态词也不具有单调性，即“ϕ甡ψ不能推出圁ϕ甡圁ψ”。例如，考虑下
面的畓圵模型畍：
畍场s场町p, 町q
//町p, q

oo
不难证明畍, s 圁p畞圁在p甡q圩但畍, s 甲圁q。而且，p畞q甡q但甲圁在p畞q圩甡
圁q。
公式ϕ在ψ/p圩表示ϕ的一个一致代入，即用ψ替换p在ϕ中的所有出现后所
得到的公式。下列命题表明NCL圭公式的有效性在一致代入下被保持。
命题1.1.4. 任给ϕ, ψ 甲NCL，任给p甲P，如果ϕ，则ϕ在ψ/p圩。
证明.证明逆否命题：如果甲ϕ在ψ/p圩，则甲ϕ。
假定甲ϕ在ψ/p圩，则存在模型在畍, s圩使得畍, s 甲ϕ在ψ/p圩，其中畍圽畨S, R, V 畩。
定义畍0圽畨S, R, V 0畩与畍相同，除了赋值V0满足V0在p圩 圽 畦t甲S番 畍, t 
ψ畧。通过对χ作归纳，我们证明：任给χ甲NCL，任给t甲S：畍, t 
χ在ψ/p圩 坩國 畍0, t χ。只需要考虑圁χ的情形（下面证明中第二个 “坩國”由归
纳假设得来）。
畍, t 圁χ在ψ/p圩
坩國 任给s1, s2使得tRs1, tRs2场畍, s1χ在ψ/p圩 坩國 畍, s2χ在ψ/p圩
坩國 任给s1, s2使得tRs1, tRs2场畍0, s1χ坩國 畍0, s2χ
坩國 畍0, t 圁χ
坻 圱圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圱圮圲 必然算子的三种定义方案及评价
由于已有畍, s 甲ϕ在ψ/p圩，因此畍0, s 甲ϕ，从而有甲ϕ，为所求。
1.2 必然算子的三种定义方案及评价
1.2.1 方案一：在特殊框架类上定义必然算子
坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹 在圱圹圶圶圩 提议将必然算子定义如下：2ϕdef
圽 圁ϕ畞ϕ。直
观上，必然就是非偶然的真。但正如坓坥坧坥坲坢坥坲坧 在圱圹圸圲圩 所指出的，这个定义只有
在包含公理T（2ϕ甡ϕ）的系统中才成立。由于T框架对应于自反性，因此上述
定义只有在自反框架类上才成立。
命题1.2.1. 令畆是所有自反框架构成的类。则畆2ϕ甤圁ϕ畞ϕ。
证明.任给自反模型畍圽畨S, R, V 畩以及s甲S。先假设畍, s 2ϕ，据语义定义，
显然有畍, s 圁ϕ；由于畍自反，可得畍, s ϕ。因此畍, s 圁ϕ畞ϕ。
反之，假设畍, s 圁ϕ畞ϕ，要证畍, s 2ϕ。任给t甲S使得sRt，只需证
畍, t ϕ。由畍自反，得：sRs。据这个，sRt 和假设，有畍, t ϕ，得证。
那么，在其它情况下必然算子可以通过非偶然算子来定义吗？坃坲坥坳坳坷坥坬坬
在圱圹圸圸圩 证明了，只有在坖坥坲坵坭 系统（即经典命题演算加上新公理2ϕ得到的系统）
中，或者在包含D公理（2ϕ甡3ϕ）的系统中，必然算子才能用非偶然算子来定
义。作者还给出了如下的非自反框架
s1
~~
s2
GGs3WW
oo
``
并证明了，在该框架上，必然算子是非偶然算子可定义的，定义如下：2ϕdef
圽
在圁ϕ畞在ϕ甤圁圁ϕ圩圩。
1.2.2 方案二：扩充非偶然逻辑的语言
坌坥坷坩坳 圦 坌坡坮坧坦坯坲坤 在圱圹圳圲圩 引入了所谓的“存在公设”（坅坸坩坳坴坥坮坣坥 坐坯坳坴坵坬坡坴坥），
该公设说的是，“至少有两个命题是一致且相互独立的”，形式化为甹p甹q在3在p畞
坻 圱圳 坻

第一章非偶然逻辑和必然算子的定义北京大学博士研究生学位论文
q圩畞3在p畞町q圩圩。受此启发，坐坩坺坺坩 在圱圹圹圹圩 提出了一条所谓的“偶然公设”（坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹
坐坯坳坴坵坬坡坴坥），并证明了该公设等价于“存在公设”。偶然公设说的是，存在一个偶
然的命题，换句话说，存在一个命题，该命题可能为真，也可能为假，形式化为
甹p畲p。然后，坐坩坺坺坩 引入命题量词（坰坲坯坰坯坳坩坴坩坯坮坡坬 坱坵坡坮坴坩圌坥坲坳），将必然算子定义成
2ϕdef
圽甸p在圁在p畞ϕ圩甡圁p圩，等价地，2ϕdef
圽甸p在畲p甡 畲在p畞ϕ圩圩。直观上，一个
命题是必然的，如果加入它不会改变任何偶然命题的偶然性。
坓坭坩坬坥坹 在圱圹圶圳圩 引入了一个特殊的命题常项τ来保证所谓的自我一致，即公设
3τ，读作“τ是可能的”。受此启发，坐坩坺坺坩 在圲地地圶圬 圲地地圷圩 引入一个更强的公设，即
Oτ，“τ是偶然的”。在此基础上，坐坩坺坺坩 将必然算子定义成为ϕdef
圽甴ϕ畞 甴在τ甡
ϕ圩，直观上它说的是，一个命题是必然的，当且仅当，它是非偶然的，并且它被
τ非偶然地蕴涵。
1.2.3 方案三：定义一个无穷算子
为了用非偶然逻辑的极小系统的完全性证明中的典范关系去模拟模态逻辑
的极小系统的典范关系，坋坵坨坮 在圱圹圹圵圩 定义了一个函数λ，使得任给极大一致
集s，都有λ在s圩 圽 畦ϕ番任给ψ, 圁在ϕ畟ψ圩甲s畧。这个定义的一个等价表述是
λ在s圩 圽 畦ϕ番任给ψ, 圁在ψ甡ϕ圩甲s畧。这一定义大大简化了坋坵坨坮 系统的完全性
证明。
受这一定义的启发，坚坯坬坩坮 在圲地地圱坡圩 给出了一个无穷算子的定义：ϕdef
圽
Vψ∈NCL 圁在ψ甡ϕ圩圮 而且，坚坯坬坩坮 证明了，在许多性质上与必然算子2相同：比
如，是一个正规模态算子，即在ϕ甡ψ圩甡在ϕ甡ψ圩是有效式，且概括规
则ϕ
ϕ保持有效性；满足4公理，即ϕ甡  ϕ在传递框架类上有效；
满足5公理，即町ϕ甡町ϕ在欧性框架类上有效。除此之外，还满足
圁ϕ甤ϕ畟町ϕ。
尽管无穷算子与必然算子2具有如此多共同的性质，仍然不同于2圮比
如，算子2满足，ϕ甡2町2町ϕ在对称框架类上有效，而不满足这一点，因为
不难找到反模型来说明，ϕ甡町町ϕ在对称框架类上不有效。
坻 圱圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圱圮圳 几乎可定义模式
1.2.4 评价
方案一将必然算子定义在特殊的框架类上，或者是自反框架类上在坍坯坮坴圭
坧坯坭坥坲坹 圦 坒坯坵坴坬坥坹圬 圱圹圶圶圩，或者是三点构成的非自反框架在坃坲坥坳坳坷坥坬坬圬 圱圹圸圸圩。然而，
它们都不是一般情况下的定义，即它们都不是定义在任意的框架类上。
方案二是通过扩充原有的非偶然逻辑的语言，或者引入命题量词在坐坩坺坺坩圬
圱圹圹圹圩，或者引入新的命题常项τ在坐坩坺坺坩圬 圲地地圶圬 圲地地圷圩。这里，之所以称τ是一个新
的命题常项，是因为根据语义定义圱圮圱圮圳，不存在任何NCL圭公式ϕ使得畲ϕ是
有效式，因此τ必须作为一个新的命题常项被引入，来保证畲τ作为公理的有效
性。
方案三定义了一个无穷算子，并且证明了该算子具有必然算子2所具有的
许多性质，比如满足K公理和概括规则、4公理和5公理，但它仍不同于2算
子，因为它的B公理在对称框架类上不是有效式。也就是说，方案三定义的不是
一个真正的必然算子2。
下文将提出一个很有用的模式，即所谓的“几乎可定义模式”。通过该模式，
读者将发现，上述三个问题都将被避免；换句话说，必然算子是被定义在任意的
框架类上，并且不需要扩充原有的非偶然逻辑的语言，并且所定义的算子就是真
正的必然算子2。
1.3 几乎可定义模式
尽管非偶然算子不能从一般的意义上去定义必然算子，但是，在某个特定条
件下，必然算子是可以通过非偶然算子来定义的，前者是后者“几乎”可定义的。
首先有如下命题。
命题1.3.1. 令ϕ, ψ, χ 甲NCL2。假设畍, s 町圁ψ。则畍, s 2ϕ，当且仅当，
存在χ使得畍, s 圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ。
证明.假设畍, s 町圁ψ。需证“当且仅当”。
2注意，ϕ, ψ, χ 的取值范围可以被放宽到CML 中的公式，这一点将在公理∆B的获取中被用到，见
3.2.1 小节。只不过，这里为了显示非偶然算子对于必然算子的“几乎”可定义性，我们将它们的取值范围都
限制在NCL 中，而不能再包含必然算子。
坻 圱圵 坻

第一章非偶然逻辑和必然算子的定义北京大学博士研究生学位论文
首先，假定存在χ使得畍, s 圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ，要证畍, s 2ϕ。
若不然，则存在t使得sRt 且t甲ϕ。同时，由于畍, s 町圁χ，存在t1, t2满足
sRt1, sRt2且t1χ, t2町χ。又因为s圁ϕ, sRt, sRt1且t甲ϕ，有t1甲ϕ。类似
可得t2甲ϕ。因而t1甲χ甡ϕ但t2χ甡ϕ，矛盾于假设畍, s 圁在χ甡ϕ圩。因
此畍, s 甲2ϕ。
反之，假定畍, s 2ϕ。则任给t使得sRt 都有畍, t ϕ，进而畍, t ψ甡
ϕ，因此畍, s 圁ϕ且畍, s 圁在ψ甡ϕ圩。而且，据假设，显然有畍, s 町圁ψ。
因此存在χ圽ψ使得畍, s 圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ，为所求圮
从该命题的证明可以看出，其中的χ可以取ψ，又因为畲ψ被定义为 町圁ψ，
因此上述命题可以被进一步简化为
命题1.3.2. 令ϕ, ψ 甲NCL3。
畲ψ甡在2ϕ甤圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩圩.4
该命题说的是，在存在某个偶然命题的情况下，必然算子2可以通过非偶
然算子圁来定义。正因为如此，本文将公式畲ψ甡在2ϕ甤圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩圩 称
为“几乎可定义模式”，简记为AD。AD 在本论文中起着至关重要的作用：第
一，它将引导找到适合于非偶然逻辑的互模拟概念；第二，它将帮助找到后面的
公理圁T和公理圁B（见第三章）；第三，它将帮助我们在定义典范模型时找到合
适的典范关系，通过对该典范关系适当的修改，找到一种相当一致的方式去证明
第三章中各个系统的完全性。
3同于脚注2的说明。
4从命题1.3.2 可以推出“如果∇ψ，那么2ϕ↔∆ϕ∧∆(ψ→ϕ)”。这证实了Pizzi 引入新命题常
项τ对于必然算子2的定义（令ψ为τ，见1.2.2 小节）。然而需要注意的是，根据∇的语义定义，不存在
ψ使得∇ψ是有效式。
坻 圱圶 坻

第二章非偶然逻辑的模型论
本章讨论非偶然逻辑的模型论。圲圮圱 节探讨非偶然逻辑的表达力和框架可定
义性。主要结果是，在自反模型类上，非偶然逻辑和标准模态逻辑具有同样的表
达力，但在其他模型类上前者在表达力上要严格弱于后者；所有基本的框架性质
（持续、自反、对称、传递、欧性）都不是非偶然逻辑可定义的。圲圮圲 节提出适合
于非偶然逻辑的互模拟概念，该互模拟的提出需要借助于“几乎可定义模式”，
圲圮圳 节得到非偶然逻辑在标准模态逻辑和一阶逻辑中的两个刻画片断。
2.1 表达力和框架可定义性
逻辑语言可以被用来表达某些数学性质，如标准模态逻辑ML 可以表达自
反、对称、传递等一阶性质。语言的表达力说的是所涉及到的语言能够定义模型
类的能力，即语言中的公式能定义什么样的模型类；框架可定义性说的是语言定
义框架性质的能力，换句话说，语言中的公式能够定义什么样的框架类。标准模
态逻辑能够被用来刻画基本的框架性质，如2p甡p对应于框架的自反性。相对
而言，这些基本的框架性质在非偶然逻辑NCL 中都是不可定义的，这是非偶然
逻辑不同于标准模态逻辑的一个特征。
本节首先对比非偶然逻辑NCL 和标准模态逻辑ML 在各个克里普克模型类
上的相对表达力，然后给出关于NCL 在框架对应方面的某些否定性结果。首先，
我们引入表达力的定义。表达力的对比是基于同样的模型类上而言的。
2.1.1 表达力
定义2.1.1 在表达力圩.给定两个语言L1, L2，它们在同样的模型类畍上被解释。
坻 圱圷 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
甏称L2在表达力上和L1至少一样强，记为L1甖L2，如果任给ϕ甲L1，都存
在ψ甲L2，使得畍ϕ甤ψ。
甏称L1在表达力上和L2一样强，记为L1甑L2，如果L1甖L2且L2甖L1。
甏称L1在表达力上严格弱于L2，记为L1甞L2，如果L1甖L2且L2甶甖 L1。
为了证明L1的表达力在畍上严格弱于L2，或者等价地说，L2的表达力严
格强于L1，只需证L1甖L2但L2甶甖 L1。而要证后者，根据定义，只需找到L2中
某个公式ϕ，使得L1中没有与ϕ在畍上逻辑等值的公式，即：任给ψ甲L1，都
有畍 甲 ϕ甤ψ。
命题2.1.2. 在畋-模型类、畄-模型类、圴-模型类或圵-模型类上，NCL 在表达力上
都严格弱于ML.
证明.定义NCL 到ML 的保真翻译t如下：
t在p圩 圽 p
t在町ϕ圩 圽 町t在ϕ圩
t在ϕ畞ψ圩 圽 t在ϕ圩畞t在ψ圩
t在圁ϕ圩 圽 2t在ϕ圩畟2町t在ϕ圩
易证t确实是一个保真翻译，即：任给ϕ甲NCL，都有ϕ甤t在ϕ圩。因此，ML
在表达力上和NCL 至少一样强。但是，ML 甶甖 NCL，因为ML圭公式2p在这些
模型类上没有等价的NCL圭公式。考虑下面一对点模型在畍, s圩和在畎, t圩：
畍场s场p//p畎场t场p//町p

不难发现，畍和畎两者都满足持续性、传递性和欧性。施归纳于公式的
结构，可以证明：在?圩任给ϕ甲NCL，畍, s ϕ坩國 畎, t ϕ。为此，只需考虑
ϕ圽 圁ψ的情形。注意到s和t都仅有一个后继。因此，任给ψ，都有畍, s 圁ψ
且畎, t 圁ψ，因此当然有畍, s 圁ψ坩國 畎, t 圁ψ（注意此时根本不需要运用
归纳假设）。
因此我们证得了在?圩。假设存在某个NCL圭公式在题设中的模型类上等
价于 2p，那么根据在?圩，应该也有畍, s 2p坩國 畎, t 2p。但是，不难发现
坻 圱圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圱 表达力和框架可定义性
畍, s 2p，而畎, t 甲2p，矛盾。因此，2p在题设中的模型类上没有等价的
NCL圭公式。由此该命题得证。
命题2.1.3. 在畂-模型类上，NCL 在表达力上严格弱于ML。
证明.考虑下列一对畂圭模型在畍0, s0圩和在畎0, t0圩。又一次，2p在题设中的模型类
上没有等价的NCL圭公式，因为：一方面，畍0, s02p但畎0, t0甲2p圻另一方面，
类似于命题圲圮圱圮圲，可以证明：任给ϕ甲NCL圬都有畍, s ϕ坩國 畎, t ϕ圮
畍0场s0场p//p
oo畎0场t0场p//町p
oo
然而，在畔圭模型类上，NCL 和ML 在表达力上一样强。
命题2.1.4. 在畔-模型类上，NCL 和ML 在表达力上一样强。
证明.如命题圲圮圱圮圲 一样定义翻译函数t，有NCL 甖ML。
同时，定义t0场ML 甡NCL：
t0在p圩 圽 p
t0在町ϕ圩 圽 町t0在ϕ圩
t0在ϕ畞ψ圩 圽 t0在ϕ圩畞t0在ψ圩
t0在2ϕ圩 圽 t0在ϕ圩畞圁t0在ϕ圩
通过施归纳于公式的结构，不难证明：在畔圭模型类上，t0是一个保真翻译，
即：任给ϕ甲ML，有畍tϕ甤t0在ϕ圩（其中畍t是所有畔圭模型的类），因此
ML 甖NCL。又因为NCL 甖ML，从而在畔圭模型类上，ML 甑NCL。
这一结果也适用于畔圭模型类的子模型类上，比如畓圴圭模型类和畓圵圭模型类。
2.1.2 框架可定义性
本节证明所有基本的框架性质，即持续性、自反性、传递性、对称性和欧性
都不是NCL 可定义的。我们的方法比坚坯坬坩坮 在圱圹圹圹圩 用到的方法要简洁得多，在那
坻 圱圹 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
儿作者需要证明一个很复杂的定理，该定理说的是，每个非偶然逻辑可定义的框
架类都包含部分函数的框架类，即部分函数的框架类是非偶然逻辑可定义的框架
类中最小的框架类。1
定义2.1.5 在框架可定义性圩.令圀甒NCL 且畆是一个框架类。称圀定义畆，如果
对于所有框架畆，畆 甲 畆当且仅当畆圀。此时也称圀定义畆的性质。如果圀是
一个单元集，比如畦ϕ畧，通常将畆畦ϕ畧写成畆ϕ。称畆（或者说畆的框架性
质）是NCL 可定义的，当且仅当，存在圀甒NCL 使得圀定义畆。
命题2.1.6. 任给部分函数的框架畆,畆0和ϕ甲NCL:畆ϕiff 畆0ϕ。
证明.令畆圽畨S, R畩,畆0圽畨S0, R0畩是两个部分函数性的框架，且令 ϕ甲NCL。
假设畆甲ϕ，则存在畍圽畨畆, V 畩和s甲S使得畍, s 甲ϕ。由于S0甶圽画，不妨
假设s0甲S0。定义畆0上的赋值函数V0使得：任给p甲P，p甲V0在s0圩 坩國 p甲V在s圩。
由于畆和畆0都具有部分函数性，s和s0都最多只有一个后继。施归纳于ψ，可
以证明：任给ψ甲NCL，畍, s ψ坩國 畍0, s0ψ。由这个和畍, s 甲ϕ，可得
畍0, s0甲ϕ，因此畆0甲ϕ。逆方向的证明类似。
命题2.1.7. (Zolin, 1999) 持续性、自反性、传递性、对称性和欧性都不是NCL
可定义的。
证明.考虑下列两个框架：
畆1场s1//t//u畆2场s2
这两个框架都具有部分函数性。根据命题圲圮圱圮圶，任给圈甒NCL，都有
畆1圈 坩國 畆2圈圮 注意到畆2是持续（相应地，自反、传递、对称、欧性）的，但
畆1不是。
如果这些性质中有一个是NCL 可定义的，比如自反性：如果圈甒NCL 定
义自反性，那么，由于畆2是自反的，有畆2圈，因此畆1圈，进而畆1应该具
有自反性。然而，畆1不是自反的，矛盾。因此这样的圈不存在。因而自反性不是
NCL 可定义的。其他性质的不可定义性证明类似（注意，畆1的确不具有欧性，
因为s1Rt 且s1Rt，但没有tRt。）
1关于部分函数框架的定义，参考定义1.1.2。
坻 圲地 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圲 互模拟
由此我们回答了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 的第二个开问题。
由于在任意框架类畋上，非偶然逻辑在表达力上要严格弱于标准模态逻辑，
ML 中的许多公理不能用NCL 公式来表达，NCL 在畋上的公理化问题要比ML
的情形困难得多。又由于所有基本的框架性质在NCL 中都不可定义，非偶然逻
辑在这些框架类上（比如在自反框架类上）所需要的刻画公理不存在，这导致该
逻辑在这些框架类上的公理化问题变得很难，这点将在圳圮圲 节中看到。
2.2 互模拟
由于圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ，非偶然逻辑可被看成是标准模态逻辑ML 的一个
片断。那么，这个片断到底是个什么样子？为了回答这个问题，我们利用互模拟
的概念。但是，标准的互模拟概念并不适用于这一逻辑。首先，简单地回顾标准
的互模拟概念（2圭互模拟）。
定义2.2.1 在2圭互模拟圩.令畍圽畨S, R, V 畩和畍0圽畨S0, R0, V 0畩是两个模型。称二
元关系Z是畍和畍0之间的一个 2-互互互模模模拟拟拟 （2-bisimulation），如果Z非空，且
若sZs0，则下列条件被同时满足，
（Inv）任给p甲P，s甲V在p圩当且仅当s0甲V0在p圩；
（2-Zig）如果sRt，则存在t0甲S0使得s0R0t0且tZt0；
（2-Zag）如果s0R0t0，则存在t甲S使得sRt 且tZt0。
称在畍, s圩与在畍0, s0圩是2-互互互类类类似似似的（2-bisimilar），记为：在畍, s圩甤2在畍0, s0圩，
如果存在畍和畍0之间的一个 2-互模拟Z，使得在s, s0圩甲Z（或者写成sZs0）。
在不引起混淆的情况下，用s甤2s0来表示在畍, s圩甤2在畍0, s0圩。
可以证明2圭互类似是最大的2圭互模拟，且它是一个等价关系。同时，2圭互
类似满足如下性质，该性质在命题圲圮圲圮圶 的证明中需要用到。
命题2.2.2. 令畍圽畨S, R, V 畩和畍0圽畨S0, R0, V 0畩是两个模型。如果在畍, s圩甤2
在畍0, s0圩，那么下列三个条件同时被满足：
1. 任给p甲P，s甲V在p圩当且仅当s0甲V0在p圩；
2. 如果sRt，则存在t0甲S0使得s0R0t0且t甤2t0；
3. 如果s0R0t0，则存在t甲S使得sRt 且t甤2t0。
坻 圲圱 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
证明.由甤2的定义和2圭互模拟的定义易得。
一个互模拟概念要适合于一个逻辑，这个互模拟应该尽可能接近逻辑等价：
首先，互类似蕴涵逻辑等价；其次，坈坥坮坮坥坳坳坹圭坍坩坬坮坥坲 定理应该成立：在像有穷
（坩坭坡坧坥圭圌坮坩坴坥）的模型类2上，逻辑等价蕴涵互类似。下面的例子表明，2圭互模拟
的概念不适合于非偶然逻辑。
例子2.2.3. 两个像有穷模型在畍, s圩和在畍0, s0圩满足同样的NCL-公式，但它们
不是2-互类似的。
畍场s场p//t场p畍0场s0场p//t0场町p
那么，什么 样的互模拟概念适合于非偶然逻辑呢？受“几乎可定义模式”
AD 的启发，通过适当地修改2-Zig 和2-Zag圬我们可以得到适合于非偶然逻辑
的互模拟概念。回顾直观上AD 说的是，在存在某个偶然命题（即存在ψ使得
町圁ψ）的条件下，2是圁可定义的。町圁ψ在当前世界s中为真，在语义上被解
释成“s有两个非圁圭等价的后继”，而这在结构上对应于“s有两个不互类似的后
继”3。由此我们得到适合于非偶然逻辑的互模拟，不妨称之为“圁圭互模拟”。
定义2.2.4 在圁圭互模拟圩.令畍圽畨S, R, V 畩是一模型。称S上的二元关系Z是畍
上的圁-互互互模模模拟拟拟，如果Z非空，且若sZs0，则
（Inv）任给p甲P，s甲V在p圩当且仅当s0甲V在p圩；
（圁-Zig）如果sRt，且存在（不同的）t1, t2使得sRt1, sRt2且在t1, t2圩/甲Z，
则存在t0使得s0Rt0且tZt0；
（圁-Zag）如果s0Rt0，且存在（不同的）t0
1, t0
2使得s0Rt0
1, s0Rt0
2且在t0
1, t0
2圩/甲Z，
则存在t使得sRt 且tZt0。
称两个模型在畍, s圩,在畍0, s0圩是圁-互互互类类类似似似的，记为：在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩，如
果存在畍和畍0的不交并（disjoint union）上的圁-互模拟Z，使得sZs0。
注意，圁圭互模拟是定义在单个模型上，而不是在两个不同模型之间。这个
定义是合适的，因为通常两个模型之间的互模拟（比如定义圲圮圲圮圱 中的2圭互模
2称模型M=hS, R, V i是像有穷的，如果任给s∈S，s只有有穷多个R后继。
3这里的“互类似”是指适合于非偶然逻辑的互类似，见定义2.2.4。
坻 圲圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圲 互模拟
拟）也可以转化为这两个模型的不交并上的互模拟。当然，我们可以像定义圲圮圲圮圱
一样，将圁圭互模拟直接定义在两个不同模型之间，但是表述上会非常复杂。之
所以把圁圭互模拟定义在单个模型上，是因为新的Zig 和Zag 条件要求考虑“兄
弟”世界之间的关系，而该条件刚好是“非圁圭等价”在结构上的对应。在定义好
圁圭互模拟之后，再将圁圭互类似定义在不同模型之间。
为了理解圁圭互模拟这一概念，回顾之前的例子圲圮圲圮圳：
畍场s场p//t场p畍0场s0场p//t0场町p
前文已经证明了，尽管在像有穷模型类上，在畍, s圩甑∆在畍0, s0圩，但在畍, s圩甶甤2
在畍0, s0圩。然而，不难证明在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩，因为：首先，这两个点模型满足
同样的命题变元，Inv 成立；其次，s至多只有一个后继，因此圁-Zig 空洞成立；
第三，s0也至多只有一个后继，因此圁-Zag 也空洞成立。
下列命题表明，两个 圁圭互模拟的并仍然是一个 圁圭互模拟，因此可以从更小
的圁圭互模拟出发构造出更大的圁圭互模拟。
命题2.2.5. 令畍圽畨S, R, V 畩。如果Z和Z0都是畍上的圁-互模拟，那么它们
的并Z畛Z0也是畍上的圁-互模拟。
证明.假定Z和Z0都是畍上的圁圭互模拟，需证：Z畛Z0也是畍上的圁圭互模
拟。
首先，由假定，Z和Z0都非空，因此Z畛Z0也非空。只需证明：Z畛Z0满足
圁圭互模拟的三个条件。假设在s, s0圩甲Z畛Z0，则sZs0或sZ0s0。
（Inv）：如果sZs0，因为Z是一个 圁圭互模拟，则任给p甲P，都有s甲V在p圩
当且仅当s0甲V在p圩；如果sZ0s0，则由Z0是一 个 圁圭互模拟，同理可得：任给
p甲P，都有s甲V在p圩当且仅当s0甲V在p圩。因此总有：任给p甲P，都有s甲V在p圩
当且仅当s0甲V在p圩。
（圁-Zig）：假定sRt，且存在t1, t2使得sRt1, sRt2且在t1, t2圩/甲Z畛Z0，则
在t1, t2圩/甲Z且在t1, t2圩/甲Z0。如果sZs0，则由于Z是畍上的一个 圁圭互模拟，存在
t0使得s0Rt0且在t, t0圩甲Z，进而在t, t0圩甲Z畛Z0；如果sZ0s0，则此时由于Z0是畍
上的一个 圁圭互模拟，存在t0使得s0Rt0且在t, t0圩甲Z0，进而也有在t, t0圩甲Z畛Z0。
因此总有：存在t0使得s0Rt0且在t, t0圩甲Z畛Z0。
坻 圲圳 坻

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（圁-Zag）：类似于（圁-Zig）可证。
根据圁圭互类似的定义，可以看出，圁圭互类似是最大的圁圭互模拟。可以证明，
圁圭互类似是一个等价关系，不过证明过程比2圭互类似是等价关系的证明要复杂很
多（证明甤2的传递性时，只需取已有两个 2圭互模拟关系的复合即可，但甤∆的
传递性证明则要复杂得多）。这一冗长的证明细节见附录坃中的命题坃圮地圮圱地。
下面的命题表明了圁圭互类似和2圭互类似这两者之间的关系：圁圭互类似严格
弱于2圭互类似。这对应于非偶然逻辑严格弱于标准模态逻辑这一事实。
命题2.2.6. 任给两个模型在畍, s圩,在畎, t圩。如果在畍, s圩甤2在畎, t圩，那么在畍, s圩甤∆
在畎, t圩，但反过来不成立。
证明.假设在畍, s圩甤2在畎, t圩，要证在畍, s圩甤∆在畎, t圩。
将所有满足在畍, w圩甤2在畎, u圩的在w, u圩收集起来构造关系Z。也就是说，定
义Z圽畦在w, u圩番在畍, w圩甤2在畎, u圩畧。需要证明：Z是畍和畎的不交并上的一
个圁圭互模拟，使得sZt。
首先注意到，由假设和Z的定义，有sZt。因此Z非空。设wZu，则
在畍, w圩甤2在畎, u圩。则命题圲圮圲圮圲 的圱保证了条件（Inv）。对于条件（圁-Zig），如
果wRw0，且存在w1, w2使得wRw1, wRw2且在w1, w2圩/甲Z，则由命题圲圮圲圮圲 的圲，
有：存在u0使得uRu0且w0甤2u0，后者据Z的定义，即w0Zu0。条件（圁-Zag）
同理可证，此时运用命题圲圮圲圮圲 的圳。
对于逆命题，可以看出例子圲圮圲圮圳 中，在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩但在畍, s圩甶甤2
在畍0, s0圩。
下述命题说明了，NCL圭公式在圁圭互类似下不变。换句话说，NCL圭公式不
能区分圁圭互类似的模型。
命题2.2.7. 令畍圽畨S, R, V 畩且畍0圽畨S0, R0, V 0畩。任给s甲S, s0甲S0，如果
在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩，则在畍, s圩甑∆在畍0, s0圩。也就是说，圁-互类似蕴涵圁-等价。
证明.假定在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩，需要证明：任给ϕ甲NCL，畍, s ϕ当且仅当
畍0, s0ϕ圮
对ϕ做归纳。只需考虑圁ϕ的情形。
坻 圲圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圲 互模拟
假设畍, s 甲圁ϕ。那么存在t1, t2使得sRt1, sRt2且t1ϕ且t2甲ϕ。由假定，
存在Z是畍和畍0不交并上的互模拟关系，使得sZs0。据t1ϕ且t2甲ϕ和归
纳假设，可得在t1, t2圩/甲Z。由于sRt1，运用圁-Zig，存在t0
1使得s0R0t0
1且t1Zt0
1，
因此在畍, t1圩甤∆在畍0, t0
1圩。类似地，可以证明：存在t0
2使得s0R0t0
2且t2Zt0
2，因此
在畍, t2圩甤∆在畍0, t0
2圩。从t1甤∆t0
1以及t1ϕ，运用归纳假设，可知t0
1ϕ；类似
地，可以证明t0
2甲ϕ。因此畍0, s0甲圁ϕ。逆命题运用圁-Zag。
下面将证明“坈坥坮坮坥坳坳坹圭坍坩坬坮坥坲 定理”：在像有穷模型类上，圁圭等价蕴涵圁圭互
类似。事实上，我们证明一个更强的命题：在NCL圭饱和模型类上，圁圭等价蕴涵
圁圭互类似。首先，我们给出一些相关的概念。
定义2.2.8 在NCL圭饱和圩.称模型畍是NCL-饱饱饱和和和（saturated），如果任给s甲 畍，
任给圆甒NCL，如果圆的每个有限子集在R在s圩中可满足，则圆自身也在R在s圩
中可满足。
下面我们将证明，在NCL圭饱和模型上，圁圭等价和圁圭互类似是一回事，这表
明NCL圭饱和模型的类有坈坥坮坮坥坳坳坹圭坍坩坬坮坥坲 性质。证明类似于标准模态逻辑中的
相应证明，但是它关键性地用到了NCL圭公式。
命题2.2.9. 任给NCL-饱和模型在畍, s圩,在畎, t圩，在畍, s圩甑∆在畎, t圩当且 仅 当
在畍, s圩甤∆在畎, t圩。
证明.“从右到左”：据命题圲圮圲圮圷 显然。要证明“从左到右”，令畍圽畨S, R, V 畩,
畎圽畨S0, R0, V 0畩是两 个 NCL圭饱和模型。假定在畍, s圩甑∆在畎, t圩。如果能证
明甑∆是在畍, s圩和在畎, t圩不交并上的一个 圁圭互模拟关系，那么根据定义，有
在畍, s圩甤∆在畎, t圩。只需证明甑∆满足条件圁-Zig，因为圁-Zag 同理可证。
假设s甑∆t，sRs0且存在s1, s2使得sRs1, sRs2且s1甶甑∆s2，要证：存在t0
使得tR0t0且s0甑∆t0。令圆 圽 畦ψ甲NCL 番s0ψ畧。显然，s0圆。那么任给有
限圀甒圆，都有s0V圀。由假设s1甶甑∆s2，可知：存在ϕ甲NCL，使得s1ϕ
且s2甲ϕ。如果任给t0使得tR0t0，都有t0甲V圀，那么t0V圀甡ϕ。于是有
t圁V圀且t圁在V圀甡ϕ圩。据假设s甑∆t，有s圁V圀且s圁在V圀甡ϕ圩。
再据假设sRs0，sRs2以及s0V圀，可得s2V圀。因此s1V圀甡ϕ且
s2甲V圀甡ϕ，矛盾于s圁在V圀甡ϕ圩以及sRs1, sRs2。
坻 圲圵 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
因此存在u使得tR0u且uV圀。由畎的NCL圭饱和性，存在t0使得tR0t0
且t0圆。并且，s0甑∆t0：任给ψ甲NCL，如果s0ψ，则ψ甲圆，因此t0ψ；
反之，如果s0甲ψ，则s0町ψ，那么町ψ甲圆，进而有t0町ψ，从而t0甲ψ。
如果去掉“NCL圭饱和”这一前提条件，则命题圲圮圲圮圹 不再成立，因为甤∆不
再等同于甑∆。
例子2.2.10. 考虑两个模型畍圽畨S, R, V 畩和畍0圽畨S0, R0, V 0畩，其中S圽畎畛畦s畧,
R圽畦在s, n圩番n甲畎畧,V在pn圩 圽 畦n畧，且S0圽畎畛 畦s0, ω畧,R0圽畦在s0, n圩番n甲
畎畧畛畦在s0, ω圩畧,V0在pn圩 圽 畦n畧。用图形表示如下：
s
 ((**
畍
p1p2p3. . .
s0
 ''**
//ω畍0
p1p2p3. . .
有：
甏 畍 不是NCL-饱和的，因为NCL-公式集圀 圽 畦町p1,町p2,甁 甁 甁 ,町pn,甁 甁 甁 畧 的
任意有限子集在R在s圩中可满足，但圀自身在R在s圩中不可满足。
甏在畍, s圩甑∆在畍0, s0圩：施归纳于ϕ，需证：对于任意NCL-公式ϕ，畍, s ϕ
当且仅当畍0, s0ϕ。只需考虑圁ϕ的情形，即需证畍, s 圁ϕ当且仅当
畍0, s0圁ϕ。从右到左不难证明，因为R在s圩甒R0在s0圩。对于从左到右的证
明，假设s圁ϕ，要证明s0圁ϕ。由假设，任给x, y 甲畎，xϕ当且仅
当yϕ。同时，由于ϕ是有穷的，它只包含有穷多个命题变元，不妨令n
是出现在ϕ中的所有命题变元的最大下标。对ϕ甲NCL 作归纳，不难证明
n圫 圱 ϕ当且仅当ωϕ。那么，可以得知，任给n甲畎，有nϕ当且仅
当ωϕ。因此畍0, s0圁ϕ。
甏在畍, s圩甶甤∆在畍0, s0圩：假设在畍和畍0的不交并上存在某个互模拟关系Z，
使得sZs0。由于存在s0的两个后继世界，如圱和圲且在圱,圲圩 /甲Z（由于它们
不满足同样的命题变元），且s0R0ω，由(圁-Zag),应该存在s的某个后继世
界（比如n）和ω有Z关系，但这是不可能的，因为npn但ω甲pn。矛
盾。
我们已经证明了圁圭互模拟确实是适合于非偶然逻辑的互模拟概念，这回答
坻 圲圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圲 互模拟
了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 的第三个开问题。这一概念有着许多方面的
应用。首先，运用它可以证明，许多在ML 中可定义的模型性质在NCL 中不
能被定义（如命题圲圮圲圮圱圱）；其次，运用它可以证明基本框架性质的不可定义性；
而且，它还可以帮助证明NCL 的表达力在对称（以及许多其它的）模型类上
严格弱于ML。对于表达力和框架可定义性的定义，分别参考定义圲圮圱圮圱 和定义
圲圮圱圮圵。
命题2.2.11. “是死点（endpoint）”性质是ML 可定义的，但它是NCL 不可定
义的。
证明.不难证明“是死点”性质被ML 公式2甿定义。
要证明后半部分，只需考虑下列两个模型。
畍场s场p//t场p畍0场s0场p
可以证明在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩。如果“是死点”性质由某个NCL圭公式集定义，
不妨设该 集合为圀。则因为s0是一死点，有畍0, s0圀。由命题圲圮圲圮圷 可得：
畍, s 圀，因此s也应该是一死点，矛盾。因此不存在NCL圭公式集定义“是死
点”性质，即该性质是NCL 不可定义的。
命题2.2.12. 持续性、自返性、传递性、对称性、欧性都不是NCL 可定义的。
证明.考虑下面两个框架：
畆1场s1//t//u畆2场s2
首先证明：任给ϕ甲NCL圬畆1ϕ当且仅当畆2ϕ，如下：令ϕ甲NCL。如果
畆1甲ϕ，则存在畍1圽畨畆1, V1畩以及畍1中的某个点s，使得畍1, s 甲ϕ。定义V2
是畆2上的赋值使得：对于所有p甲P，s2甲V2在p圩当且仅当s甲V1在p圩。此时不难
证明在畍1, s圩甤∆在畍2, s2圩。据命题圲圮圲圮圷，可得畍2, s2甲ϕ，因此畆2甲ϕ。逆命
题类似可证。
假设持续性被某个NCL圭公式集定义，不妨设该集合为圀。则因为畆2是持续
的，有畆2圀，那么也应该有畆1圀。也就是说，畆1也应该是持续的，矛盾。其
它性质的NCL 不可定义性类似可证。
坻 圲圷 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
命题2.2.13. NCL 在对称模型类上表达力严格弱于ML。
证明.由于圁ϕdef
圽2ϕ畟2町ϕ，ML 在表达力上至少和NCL 一样强。考虑下面两
个模型：
畍场s场p//p
oo畎场t场p//町p
oo
可以看出，在畍, s圩和在畎, t圩都是对称模型，且ML圭公式2p可以区分这两个模
型。
然而，容易证明在畍, s圩甤∆在畎, t圩。据命题圲圮圲圮圷，可得在畍, s圩甑∆在畎, t圩，因
此NCL 不能区分这两个模型。由此该命题得证。
有了圁圭互模拟的概念，一个很自然的问题是，相关于这一互模拟概念的互
模收缩概念（坢坩坳坩坭坵坬坡坴坩坯坮 坣坯坮坴坲坡坣坴坩坯坮）是什么。一般而言，一个合适的互模收缩
概念应满足：每个模型经该互模收缩后所得到的模型和原模型互类似，且任意
畓圵圭模型在该互模收缩后所得到的模型仍是畓圵圭模型。回顾标准的互模收缩概念
（称为“2圭互模收缩”）的定义如下：
定义2.2.14 在2圭互模收缩圩.给定模型畍圽畨S, R, V 畩。由于2-互类似（甤2）是一
个等价关系，定义畍的商结构坛畍坝 圽 畨坛S坝,坛R坝,坛V坝畩是畍的2-互互互模模模收收收缩缩缩，其中
甏坛S坝 圽 畦坛s坝番s甲S畧,其中坛s坝 圽 畦t甲S番s甤2t畧;
甏坛s坝坛R坝坛t坝当且仅当存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0;
甏坛V坝在p圩 圽 畦坛s坝甲坛S坝番s甲V在p圩畧,其中p甲P.
如果仅仅通过用甤∆来替换上述定义中的甤2，来定义圁圭互模收缩，我们将
会发现，所得到的收缩模型与原来的模型不一定圁圭互类似。
例子2.2.15. 不难验证s1, t, s2两两 圁-互类似，因此坛s1坝 圽 畦s1, t, s2畧,坛u坝 圽 畦u畧,
进而模型畍0是畍在如上替换后的“圁-互模收缩”，但是在畍0,坛s1坝圩 甶甤∆在畍, s1圩:
例如，畍, s1圁p但畍0,坛s1坝甲圁p。（可以看出，畍的2-互模收缩与畍具有同
样的结构。因此，一个模型（如这里的畍）的2-互模收缩和它的圁-互模收缩
坻 圲圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圲 互模拟
（相应地，坛畍坝）之间没有强弱之分。）
t场p u 场町p坛u坝 场 町p坛u坝 场 町p
s1场p
OO
s2场p
OO
坛s1坝 场 p
UU
OO
坛s1坝 场 p
UU
畍 畍0坛畍坝
为了克服上述困难，我们提出一个新的互模收缩概念，称为“圁圭互模收缩”。
特别地，我们希望上面例子中的坛畍坝成为畍的收缩模型。
定义2.2.16 在圁圭互模收缩圩.给定模型畍圽畨S, R, V 畩。回顾圁-互类似（甤∆）是
一个等价关系。定义坛畍坝 圽 畨坛S坝,坛R坝,坛V坝畩是畍的圁-互互互模模模收收收缩缩缩，其中
甏坛S坝 圽 畦坛s坝番s甲S畧，其中坛s坝 圽 畦t甲S番s甤∆t畧；
甏坛s坝坛R坝坛t坝当且 仅 当（存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且存在t1, t2使得
s0Rt1, s0Rt2且t1甶甤∆t2）或者（存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且s0甤∆t0）；
甏坛V坝在p圩 圽 畦坛s坝甲坛S坝番s甲V在p圩畧，其中p甲P。
按照上述定义，我们的确得到例子圲圮圲圮圱圵 中的坛畍坝。
首先，不难发现，定义圲圮圲圮圱圶 中的坛R坝是良定义的，即坛R坝的定义与等价类中
代表元的选择无关。
命题2.2.17. 如果坛s坝坛R坝坛t坝且s0甤∆s, t0甤∆t，则坛s0坝坛R坝坛t0坝。
下面证明：任意模型的圁圭互模收缩模型都与原来的模型圁圭互类似，且任意
畓圵圭模型的圁圭互模收缩仍是畓圵圭模型。
命题2.2.18. 令畍圽畨S, R, V 畩是一模型，且坛畍坝 圽 畨坛S坝,坛R坝,坛V坝畩是畍的圁-互
模收缩。则任给s甲S,都有在坛畍坝,坛s坝圩 甤∆在畍, s圩。
证明.定义Z圽畦在坛s坝, s圩番s甲S畧 畛 畦在t, t0圩番t甲S, t0甲S且t甤∆t0畧 畛 畦在坛s坝,坛t坝圩 番s甲
S, t 甲S且s甤∆t畧。要证明在坛畍坝,坛s坝圩 甤∆在畍, s圩，只需证Z是坛畍坝和畍不交
并上的一个 圁圭互模拟。首先，由于S非空，可知Z非空。
甏Inv：由定义立得。
坻 圲圹 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
甏圁-Zig：假设坛s坝Zs, 坛s坝坛R坝坛t坝且存在t1, t2使得坛s坝坛R坝坛t1坝,坛s坝坛R坝坛t2坝且在坛t1坝,坛t2坝圩 /甲
Z，只需证明：存在u甲S使得sRu 且坛t坝Zu。由坛s坝坛R坝坛t坝和坛R坝的定义，考
虑两种情形：
–存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝, s0Rt0, s0甤∆t0。由在坛t1坝,坛t2坝圩 /甲Z，得t1甶甤∆t2。则
因为甤∆是一个等价关系，不可能同时有s甤∆t1且s甤∆t2。此时，
据假设坛s坝坛R坝坛t1坝,坛s坝坛R坝坛t2坝和坛R坝的定义，一定对至少某个i甲 畦圱,圲畧，有
s00 甲坛s坝, t0
i甲坛ti坝使得s00Rt0
i且存在t1
i, t2
i使得s00Rt1
i, s00Rt2
i且t1
i甶甤∆t2
i。
易知s0甤∆s00。由于甤∆是一个 圁圭互模拟（实际上是最大的圁圭互
模拟），可得：存在x, y 使得s0Rx, s0Ry 且x甤∆t1
i, y 甤∆t2
i，进而
x甶甤∆y。再由s甤∆s0, s0Rt0和甤∆的互模拟性质，存在u使得sRu 且
u甤∆t0。因为t0甲坛t坝，易得坛u坝圽坛t坝。因为坛u坝Zu，所以坛t坝Zu。
–存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且存在u1, u2使得s0Ru1, s0Ru2且u1甶甤∆
u2。易知s甤∆s0。由于甤∆是一个 圁圭互模拟，运用圁-Zag，存在
u甲S使得sRu 且u甤∆t0。据t0甲坛t坝，易得坛u坝圽坛t坝。因为坛u坝Zu，所
以坛t坝Zu，为所求。
甏圁-Zag：假设坛s坝Zs, sRt 且存在u1, u2使得sRu1, sRu2且在u1, u2圩/甲Z。据
Z的定义，有u1甶甤∆u2。进而根据坛R坝的定义，可得坛s坝坛R坝坛t坝，而且显然有
坛t坝Zt。
命题2.2.19. 令畍圽畨S, R, V 畩是一模型，且坛畍坝 圽 畨坛S坝,坛R坝,坛V坝畩是畍的圁-互
模收缩。如果畍是畓圵-模型，则坛畍坝也是畓圵-模型。
证明.假设畍是畓圵圭模型，要证坛畍坝也是畓圵圭模型，只需证坛R坝满足自反、对称、
传递这三条性质。
甏自反性：任给坛s坝甲坛S坝，有s甲S。因为R是自反的，有sRs。由甤∆的自
反性（命题坃圮地圮圱地），有s甤∆s。据坛R坝定义的第二部分，有坛s坝坛R坝坛s坝。
甏对称性：任给坛s坝,坛t坝甲坛S坝，假定坛s坝坛R坝坛t坝，需证坛t坝坛R坝坛s坝。由假定和坛R坝的定
义，考虑两种情形：
–存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且s0甤∆t0。此时，据R的对称性和甤∆
的对称性（命题坃圮地圮圱地），存在t0甲坛t坝, s0甲坛s坝使得t0Rs0且t0甤∆s0。
因此坛t坝坛R坝坛s坝。
坻 圳地 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圳 两个刻画片断
–存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且存在t1, t2使得s0Rt1, s0Rt2且t1甶甤∆
t2。此时，由R的对称性和传递性，易得：t0Rs0且t0Rt1, t0Rt2。因此
坛t坝坛R坝坛s坝。
甏传递性：任给坛s坝,坛t坝,坛u坝甲坛S坝，假定坛s坝坛R坝坛t坝,坛t坝坛R坝坛u坝，需证坛s坝坛R坝坛u坝。据假
定，考虑如下两种情形：
–存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且s0甤∆t0，或者，存在t00 甲坛t坝, u0甲坛u坝
使得t00Ru0且t00 甤∆u0。则此时易得坛s坝 圽 坛t坝或者坛t坝 圽 坛u坝。任意情况
下总有坛s坝坛R坝坛u坝。
–存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且存在t1, t2使得s0Rt1, s0Rt2且t1甶甤∆t2，
且存在t00 甲坛t坝, u0甲坛u坝使得t00Ru0且存在u1, u2使得t00 Ru1, t00Ru2且
u1甶甤∆u2。此时，易知t0甤∆t00。由于甤∆是一个 圁圭互模拟，可得：
存在u00 使得t0Ru00 且u00 甤∆u0。从s0Rt0, t0Ru00 和R的传递性，得出
s0Ru00。易知u00 甲坛u坝。从而根据坛R坝定义的第一部分，有坛s坝坛R坝坛u坝。
至此整个命题得证。
定义圲圮圲圮圱圶 修正了坆坡坮 et al. 在圲地圱圴圬 坄坥坦圮 圳圮圱圲圩 中的问题，在那儿，坛R坝被定义
如下：
坛s坝坛R坝坛t坝当且仅当存在s0甲坛s坝, t0甲坛t坝使得s0Rt0且存在t1, t2使得s0Rt1, s0Rt2
且t1甶甤∆t2。
注意，在这个被引述的定义下，命题圲圮圲圮圱圹 是不成立的。比如：考虑一个单
自反点模型畍，其中只有一个自反世界s。一方面，畍确实是一个 畓圵圭模型。另
一方面，根据被引述的坛R坝定义，所得到的互模收缩坛畍坝只有一个孤立的点坛s坝，
它不和任何点（包括自身）有坛R坝关系，因此坛畍坝不是一个 畓圵圭模型。
而根据本文坛R坝的定义（即定义圲圮圲圮圱圶），当考虑一个单自反点模型畍，其中
只有一个自反世界s时，由于sRs 且s甤∆s（命题坃圮地圮圱地），根据坛R坝的定义的
第二部分，可得坛s坝坛R坝坛s坝，因此畍的互模收缩坛畍坝仍是一个 畓圵圭模型。
2.3 两个刻画片断
由于圁ϕdef
圽2ϕ畟2町ϕ，非偶然逻辑NCL 可以被看成是标准模态逻辑ML
的一个片断。又因为ML 可以被看成是一阶逻辑FOL 的一个片断（定理坁圮地圮圵），
坻 圳圱 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
因此NCL 也可以被看成是FOL 的一个片断。那么，这两个片断恰好是什么样子
呢？这一部分来回答这个问题，即分别在ML 和FOL 中刻画NCL。为此，首先
给出一些必要的定义。更多细节可参考比如坂坬坡坣坫坢坵坲坮 et al. 在圲地地圱圩。
定义2.3.1 在超滤扩充圩.任给模型畍圽畨S, R, V 畩,称ue在畍圩 圽 畨Uf在S圩, Rue, V ue畩
是畍的超超超滤滤滤扩扩扩充充充（ultrafilter extension），如果
甏Uf在S圩 圽 畦u番u是S上的一个超滤子畧,
甏uRuev当且仅当任给X，如果X甲v，则m在X圩甲u，其中m在X圩 圽 畦s番
存在t甲X, sRt畧;
甏Vue在p圩 圽 畦u甲U f 在S圩番V在p圩甲u畧.
因为NCL 是ML 的一个片断，NCL 的任意子集也可以被看作是ML 的子
集。据命题坁圮地圮圴，有
引理2.3.2. 任给模型畍以及s甲 畍，有：ue在畍圩是NCL-饱和模型，并且
在畍, s圩甑∆在ue在畍圩, πs圩。
引理2.3.3. 令在畍, s圩,在畎, t圩是两个点模型。如果在畍, s圩甑∆在畎, t圩，则
在ue在畍圩, πs圩甤∆在ue在畎圩, πt圩。
证明.据引理圲圮圳圮圲 和 命题圲圮圲圮圹 易得。
现在准备证明两个刻画结果：非偶然逻辑NCL 是标准模态逻辑ML 在圁圭互
模拟下不变的片断，同时也是一阶逻辑FOL 在圁圭互模拟下不变的片断。
令ϕ甲ML 且α甲FOL。称ϕ（相应地，α）在圁-互模拟下不变，如果任给
模型在畍, s圩,在畎, t圩使得在畍, s圩甤∆在畎, t圩，都有畍, s ϕ当且仅当畎, t ϕ（相
应地，畍, s α当且仅当畎, t α）。
定理2.3.4. 任给ϕ甲ML。ϕ等价于某一NCL-公式，当且仅当，ϕ在圁-互模拟
下不变。
证明.“从左到右”：据命题圲圮圲圮圷 易得。
“从右到左”：假定ϕ在圁圭互模拟下不变。定义ϕ的模态后承公式集为
MOC在ϕ圩 圽 畦t在ψ圩番ψ甲NCL 且ϕt在ψ圩畧，其中t是一个从 NCL 到ML 的翻译
坻 圳圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圲圮圳 两个刻画片断
函数，它把每个NCL圭公式递归地翻译成一个等价的ML圭公式。特别地，对于每
个形如圁χ的公式ψ，t在ψ圩 圽 2t在χ圩畟2t在町χ圩。
如果能证明MOC在ϕ圩ϕ，则根据模态逻辑的紧致性定理，存在MOC在ϕ圩的
某个有限子集T，使得Tϕ，即VT甡ϕ。同时，由MOC在ϕ圩的定义，可知
ϕVT，即ϕ甡VT，由此有ϕ甤VT。由于T中的每个公式都等价于一
个NCL圭公式的翻译，因此VT也是，则该定理得证。
因此只需证明MOC在ϕ圩ϕ。任给模型在畍, s圩，如果畍, s MOC在ϕ圩，要
证畍, s ϕ。令X圽畦t在ψ圩番 畍, s t在ψ圩, ψ 甲NCL畧。此时X畛 畦ϕ畧是可满
足的，否则，再根据模态逻辑的紧致性定理，存在X的某个有限子集X0，使
得ϕ甡 町 VX0，于是有ϕ町VX0，因此町VX0甲M OC在ϕ圩。据假设，有
畍, s 町VX0，矛盾于畍, s X以及X0甒X。
既然X畛 畦ϕ畧是可满足的，不妨假设在畎, t圩使得畎, t X畛 畦ϕ畧。此时证
明在畍, s圩甑∆在畎, t圩如下：任给ψ甲NCL，若畍, s ψ，则畍, s t在ψ圩，进
而t在ψ圩甲X，由此畎, t t在ψ圩，从而有畎, t ψ；若畍, s 甲ψ，则畍, s 町ψ，
则畍, s t在町ψ圩，进而t在町ψ圩甲X，由此畎, t t在町ψ圩，从而有畎, t 町ψ，即
畎, t 甲ψ。
现在构建畍和畎的超滤扩充，分别记为ue在畍圩和ue在畎圩。由在畍, s圩甑∆
在畎, t圩和引理圲圮圳圮圳，得在ue在畍圩, πs圩甤∆在ue在畎圩, πt圩。由畎, t ϕ和引理圲圮圳圮圲，有
ue在畎圩, πtϕ。据假定ϕ在圁圭互模拟下不变，得ue在畍圩, πsϕ。再由引理圲圮圳圮圲，
有畍, s ϕ，为所求。
定理2.3.5. 任给α甲FOL。α等价于某一NCL-公式，当且仅当，α在圁-互模
拟下不变。
证明.“从左到右”：据命题圲圮圲圮圷 易得。
“从右到左”：假定α在圁圭互模拟下不变。由于2圭互类似强于圁圭互类似
（命题圲圮圲圮圶），α也一定在2圭互模拟下不变。据定理坁圮地圮圵，α等价于某一ML圭公
式ϕ圮由这个和假定，ϕ在圁圭互模拟下不变。进而运用定理圲圮圳圮圴圬 ϕ等价于某个
NCL圭公式。因此α等价于某一NCL圭公式，为所求。
坻 圳圳 坻

第二章非偶然逻辑的模型论北京大学博士研究生学位论文
坻 圳圴 坻

第三章公理系统和完全性
本章研究非偶然逻辑的公理化及其完全性问题。圳圮圱 节给出可靠且完全的极
小系统，圳圮圲 节给出可靠且完全的扩充系统。
NCL 在各个框架类上的公理化及其完全性证明并不容易，主要基于如下三
个原因：第一，NCL 不是正规模态逻辑；第二，NCL 的表达力在畋圭模型类上严
格弱于ML，因此ML 中的许多公理不能用相应的NCL圭公式来表达；第三，通
常的框架性质，如持续性、传递性、对称性等，在NCL 中都不是可定义的，这
意味着不存在这些框架性质的刻画公理，从而使得NCL 在这些框架上的公理化
问题变得困难。
下文首先建立非偶然逻辑的极小系统，即NCL 在所有框架的类上的公理刻
画。在证明完全性时，受模式AD 的启发，我们找到了合适的典范关系，来证明
该极小系统的强完全性。然后，建立该极小系统的各个扩充系统，通过对典范关
系进行适当的修改，完成所有这些系统的强完全性证明。
3.1 极小系统
3.1.1 系统及其可靠性
本节给出一个极小非偶然逻辑，即NCL 在所有框架类上的一个完全的公理
化。
定义3.1.1 在证明系统畎畃界圩.证明系统畎畃界 由下列公理模式和初始规则组成：
坻 圳圵 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
系统畎畃界
公理模式
TAUT 命题重言式的所有特例
圁Con 圁在ϕ甡ψ圩畞圁在町ϕ甡ψ圩甡圁ψ
圁Dis 圁ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩畟圁在町ϕ甡χ圩
圁Equ 圁ϕ甤圁町ϕ
初始规则
MP ϕ, ϕ 甡ψ
ψ
GEN圁ϕ
圁ϕ
RE圁ϕ甤ψ
圁ϕ甤圁ψ
令圀甒NCL 且ϕ甲NCL。从圀出发到ϕ的一个推推推演演演，记为圀畠ϕ，是一
个有穷的NCL-公式序列，其中每个公式或者是畎畃界 的一个公理，或者是圀中
的一个公式，或者是在序列中先前的公式通过运用畎畃界 的某个初始规则得到的。
从空前提集出发到ϕ的一个推演被称为ϕ的一个证明，此时称ϕ在畎畃界 中是可可可
证证证的的的，或者称ϕ是畎畃界 的一个内内内定定定理理理，记为畠ϕ。
直观上，公理圁Con 是说，如果一个公式不仅为某个公式所非偶然地蕴涵，
而且也为后者的否定所非偶然地蕴涵，那么该公式本身也是非偶然的；公理
圁Dis 是说，如果一个公式是非偶然的，那么或者它是必然真的，此时由于它的
否定是不可能真的，该否定非偶然地蕴涵任何公式，或者它是必然假的，此时由
于它是不可能真的，它非偶然地蕴涵任何公式；公理圁Equ 是说，一个公式是非
偶然的当且仅当它的否定是非偶然的；规则GEN圁是说，任何内定理都不是偶然
的1；规则RE圁是说，非偶然算子圁对公式的等值替换封闭。
注意，规则GEN圁在系统畎畃界 中是必不可少的，因为它在系统畎畃界 甀GEN圁
中不是可允许的（坡坤坭坩坳坳坩坢坬坥），即用畎畃界 中的公理和其它规则不能推导出GEN圁。
为了看到这点，首先注意到，运用公理TAUT 和规则GEN圁，很容易证明畠圁甾。
其次，证明圁甾在系统畎畃界 甀GEN圁中是不可证的，如下：定义一个非标准语
义，使得同于，除了新语义把所有形如圁ϕ的公式解释为恒假。在该
新语义下，不难证明畎畃界 甀GEN圁是可靠的，但由圁甾，这表明圁甾在系统
畎畃界 甀GEN圁中不可证。这意味着，GEN圁在畎畃界 甀GEN圁中不可允许。这同时也
证明了畎畃界 甀GEN圁不是完全的公理系统，因此GEN圁对于公理系统畎畃界 的完全
性是必需的。
下列命题表明，系统畎畃界 在标准语义下是可靠的。
1当把非偶然算子∆意为“知道是否”时，该规则是说：主体知道所有内定理是否为真。这是某种逻辑
全知问题。
坻 圳圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圱 极小系统
命题3.1.2 在畎畃界 的可靠性圩.畎畃界 相对于所有框架的类是可靠的。
证明.只需证明公理圁Con,圁Dis,圁Equ 的有效性。
甏对于公理圁Con，即证圁在ϕ甡ψ圩畞圁在町ϕ甡ψ圩甡圁ψ。若不然，则存在
模型在畍, s圩使得畍, s 圁在ϕ甡ψ圩圬 畍, s 圁在町ϕ甡ψ圩但畍, s 甲圁ψ。据
后者，存在t1, t2甲 畍 使得sRt1, sRt2且t1ψ且t2町ψ。由t1ψ，得
t1ϕ甡ψ且t1町ϕ甡ψ。进而由畍, s 圁在ϕ甡ψ圩和畍, s 圁在町ϕ甡
ψ圩，可得t2ϕ甡ψ且t2町ϕ甡ψ，因此t2ϕ且t2町ϕ，矛盾。
甏对于公理圁Dis，即证圁ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩畟圁在町ϕ甡χ圩。若不然，则存在
模型在畍, s圩使得畍, s 圁ϕ但畍, s 甲圁在ϕ甡ψ圩且畍, s 甲圁在町ϕ甡χ圩。
由畍, s 甲圁在ϕ甡ψ圩，存在t1, t2甲 畍 使得sRt1, sRt2且t1ϕ畞 町ψ且
t2ϕ甡ψ；由畍, s 甲圁在町ϕ甡χ圩，存在u1, u2甲 畍 使得sRu1, sRu2且
u1町ϕ畞 町χ且u2町ϕ甡χ，这矛盾于s圁ϕ且t1ϕ且sRt1。
甏对于公理圁Equ，即证圁ϕ甤圁町ϕ，而这从圁算子的语义定义是显然的。
命题3.1.3. 等值置换规则Sub 在系统畎畃界 中是可允许的，即
Sub 如果畠ϕ甤ψ, 则畠χ坛ϕ/p坝甤χ坛ψ/p坝.2
证明.对χ的结构作归纳，只需考虑圁χ的情形。假设畠ϕ甤ψ，据归纳假设
有畠χ坛ϕ/p坝甤χ坛ψ/p坝。进而据规则RE圁，可得畠圁在χ坛ϕ/p坝圩 甤圁在χ坛ψ/p坝圩，即
畠圁χ坛ϕ/p坝甤圁χ坛ψ/p坝。
初始规则RE圁在畎畃界 中也是必不可少的。再次考虑公式圁在ϕ甡ψ圩甡
在圁ϕ甡圁ψ圩，前面已经证明了该公式不是有效的。尽管这个公式通常对于证明
Sub 是必要的，但它在系统畎畃界 中是不可证的。因此，为了证明Sub 在畎畃界 中
是可允许的，规则RE圁是必需的。
下一节证明畎畃界 的完全性。为此，需要一些准备工作。
引理3.1.4.
畠圁ϕ畞圁在町ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ畞圁在ϕ甡δ圩甡圁δ
2公式χ[ϕ/p]表示用公式ϕ替换命题变元p在公式χ中的某些出现所得到的结果，下同。
坻 圳圷 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
证明.
在i圩 圁在町ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ甡 町圁在ϕ甡ψ圩 圁Con
在ii圩 圁ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩畟圁在町ϕ甡δ圩 圁Dis
在iii圩 圁在ϕ甡δ圩畞圁在町ϕ甡δ圩甡圁δ圁Con
在iv圩 圁ϕ畞圁在町ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ畞圁在ϕ甡δ圩甡圁δTAUT,在i圩甀在iii圩
命题3.1.5. 任给k甕圱:
畠圁在
k
^
j=1
ϕj甡 町ψ圩畞
k
^
j=1
圁ϕj畞
k
^
j=1
圁在ψ甡ϕj圩甡圁ψ
证明.对k甕圱作归纳。
在圱圩 基始步骤，即k圽 圱。需要证明畠圁在ϕ1甡 町ψ圩畞圁ϕ1畞圁在ψ甡ϕ1圩甡圁ψ。
这从TAUT圬RE圁圬 圁Con 和圁Equ 可得。
在圲圩 归纳步骤。归纳假设（坉坈）该命题对于k圽n的情形成立。考虑k圽n圫圱，
需要证明：
畠圁在
n+1
^
j=1
ϕj甡 町ψ圩畞
n+1
^
j=1
圁ϕj畞
n+1
^
j=1
圁在ψ甡ϕj圩甡圁ψ
在i圩 圁在Vn
j=1 ϕj甡 町ψ圩畞Vn
j=1 圁ϕj畞Vn
j=1 圁在ψ甡ϕj圩甡圁ψ坉坈
在ii圩 在圁在ϕn+1 甡在Vn
j=1 ϕj甡 町ψ圩圩 畞圁在町ϕn+1 甡 町ψ圩
畞町圁町ψ畞圁ϕn+1圩甡圁在Vn
j=1 ϕj甡 町ψ圩引理圳.圱.圴
在iii圩 在圁在Vn+1
j=1 ϕj甡 町ψ圩圩 畞圁在ψ甡ϕn+1圩畞 町圁ψTAUT,RE圁,
畞圁ϕn+1圩甡圁在Vn
j=1 ϕj甡 町ψ圩 圁Equ,在ii圩
在iv圩 在圁在Vn+1
j=1 ϕj甡 町ψ圩圩 畞Vn+1
j=1 圁ϕj畞 町圁ψ
畞Vn+1
j=1 圁在ψ甡ϕj圩甡圁ψTAUT在i圩在iii圩
在v圩 圁在Vn+1
j=1 ϕj甡 町ψ圩畞Vn+1
j=1 圁ϕj畞Vn+1
j=1 圁在ψ甡ϕj圩甡圁ψTAUT在iv圩
坻 圳圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圱 极小系统
3.1.2 完全性
这一节证明系统畎畃界 的完全性，方法是典范模型构造。受模式AD 的启发，
我们可以定义典范模型中合适的典范关系，如下。
定义3.1.6 在畎畃界 的典范模型圩.称畍c圽畨Sc, Rc, V c畩是畎畃界 的典范模型，如果
甏Sc圽畦s番s是极大畎畃界-一致集畧
甏任给s, t 甲Sc，sRct，当且仅当，存在ψ使得
–町圁ψ甲s，且
–任给ϕ，若圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲t。
甏Vc在p圩 圽 畦s甲Sc番p甲s畧.
其中，畎畃界圭一致集和极大畎畃界圭一致集定义如常。正如前面所言，典范关系
Rc的定义是受到“几乎可定义模式”的启发得来的。回顾在模态逻辑ML 的极
小系统的典范模型定义中，典范关系Rc通常被定义成：sRct，当且仅当，任给
ϕ，若2ϕ甲s，则ϕ甲t。根据“几乎可定义模式”，给定町圁ψ甲s，2ϕ甲s可被
圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲s替换。从Rc的定义可见，如果s中不包含任意形如町圁ψ的
公式，则s没有任何Rc后继。
引理3.1.7 在林登鲍姆引理圩.令S是某个系统。则每个S-一致集可扩充为某个极
大S-一致集。
引理3.1.8 在真值引理圩.任给ϕ甲NCL，任给s甲 畍c，都有
畍c, s ϕ用甩 ϕ甲s.
证明.对ϕ的结构作归纳。只需考虑ϕ圽 圁ψ的情形，即证畍c, s 圁ψ用甩
圁ψ甲s。
“圽甩场”假设圁ψ /甲s，即町圁ψ甲s。需证畍c, s 甲圁ψ。为此，据归纳假设，
我们需构造t1, t2甲Sc，使得sRct1, sRct2且ψ甲t1,町ψ甲t2。首先，证明
圱圮 畦χ番圁χ畞圁在ψ甡χ圩甲s畧畛畦ψ畧是一致的，且
圲圮 畦χ0番圁χ0畞圁在ψ甡χ0圩甲s畧 畛 畦町ψ畧是一致的。
我们证明圱。假设该集合不一致，则存在χ1,甁 甁 甁 , χn，使得畠χ1畞 甁 甁 甁 畞 χn甡
町ψ且任给j甲坛圱, n坝都有，圁χj畞圁在ψ甡χj圩甲s。据前者和规则GEN圁，有
坻 圳圹 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
畠圁在Vn
j=1 χj甡 町ψ圩，因此圁在Vn
j=1 χj甡 町ψ圩甲s。据命题圳圮圱圮圵，有圁ψ甲s，矛
盾于假设。
对于圲的证明类似，此时要用到公理圁Equ。
由圱和林登鲍姆引理，存在t1甲Sc使得畦χ番圁χ畞圁在ψ甡χ圩甲s畧畛畦ψ畧 甒 t1，
据这个和假设以及Rc的定义，有sRct1且ψ甲t1。同理，据圲，存在t2甲Sc使得
sRct2且町ψ甲t2。
“用圽场”假设圁ψ甲s，即圁町ψ甲s，要证畍c, s 圁ψ。假设不然，则据归
纳假设，存在t1, t2甲Sc使得sRct1, sRct2且ψ甲t1且町ψ甲t2。由sRct1和Rc的
定义，存在χ使得町圁χ甲s，且在?圩 场 任给δ，若圁δ畞圁在χ甡δ圩甲s，则δ甲t1。
由假设和在?圩以及町ψ /甲t1，有圁在χ甡 町ψ圩/甲s，即圁在ψ甡 町χ圩/甲s。同理，由
sRct2, ψ /甲t2和假设，以及Rc的定义，可得：存在χ0使得圁在町ψ甡 町χ0圩/甲s。由
圁在ψ甡 町χ圩畟圁在町ψ甡 町χ0圩/甲s，运用公理圁Dis，得圁ψ /甲s，矛盾于假设。
基于引理圳圮圱圮圷 和引理圳圮圱圮圸，有
定理3.1.9 在畎畃界 的强完全性圩.畎畃界 相对于所有框架的类是强完全的。
证明.任给圀甒NCL 及ϕ甲NCL。假设圀田ϕ圬则圀畛 畦町ϕ畧是畎畃界圭一致的。据
引理圳圮圱圮圷圬 存在s甲Sc使得圀畛畦町ϕ畧 甒 s。进而据引理圳圮圱圮圸，可得：s圀畛畦町ϕ畧圬
因此圀甲ϕ，为所求。
由命题圲圮圱圮圲，存在NCL 到ML 的一个保真翻译函数，因此NCL 可看成是
ML 的一个子语言。由于ML 是可判定的，因此NCL （的可满足性问题）也是
可判定的。
命题3.1.10 在NCL 的可判定性圩.NCL 是可判定的。
3.2 一些扩张系统
本节给出畎畃界 相对于一些基本框架类的扩张系统，并证明它们相对于相应
框架类的可靠性和强完全性（由于技术上相对更困难，我们把系统畎畃界畂 的完全
性证明推迟到圳圮圳 节）。
坻 圴地 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圲 一些扩张系统
3.2.1 系统及其可靠性
定义圳圮圲圮圱 展示了新的公理模式和相应的系统，以及这些系统相对于其可靠
且强完全的框架类。
定义3.2.1 在畎畃界 的各个扩展系统圩.
记法公理系统框架
畎畃界 畄
圁T圁甧畞圁在甧甡甠圩畞甧甡圁甠畎畃界畔 圽畎畃界 圫 圁T畔
圁圴 圁甧甡圁在圁甧畟甠圩畎畃界圴 圽 畎畃界 圫 圁圴 圴
圁圵 町圁甧甡圁在町圁甧畟甠圩畎畃界圵 圽 畎畃界 圫 圁圵 圵
圁B甧甡圁在在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩甡生圩畎畃界畂 圽畎畃界 圫 圁B畂
w圁圴 圁甧甡圁圁甧畎畃界畓圴 圽 畎畃界 圫 圁T圫w圁圴 畓圴
w圁圵 町圁甧甡圁町圁甧畎畃界畓圵 圽 畎畃界 圫 圁T圫w圁圵 畓圵
w圁B甧甡圁在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩畎畃界畔畂 圽畎畃界 圫 圁T圫w圁B畔圦畂
畎畃界圴圵 圽 畎畃界 圫 圁圴 圫 圁圵 圴圵在畋畄圴圵圩
定义圳圮圲圮圱 中的公理是通过运用“几乎可定义模式”，同时根据实际需要找到
的。以公理圁T和公理圁B为例。首先考虑公理圁T。它是由公理T场2町ϕ甡 町ϕ
运用“几乎可定义模式”得来的。
町圁町ψ甡在2町ϕ甡 町ϕ圩 在圳圮圱圩
甬 町圁町ψ畞2町ϕ甡 町ϕ在圳圮圲圩
甬 町圁町ψ畞圁町ϕ畞圁在町ψ甡 町ϕ圩甡 町ϕ在圳圮圳圩
甬圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞ϕ甡圁ψ在圳圮圴圩
之所以不写2町ϕ甡 町ϕ，而写町圁町ψ甡在2町ϕ甡 町ϕ圩，是因为根据“几乎
可定义模式”，在“町圁町ψ对某个町ψ成立”这一条件下，2是通过圁可定义的。
上述在圳圮圲圩 到在圳圮圳圩 的等价转换是从“几乎可定义模式”得来的。然后，通过运用
公理TAUT,圁Equ 以及规则RE圁，得到在圳圮圴圩，即公理圁T。
相对而言，公理圁B的获取要复杂得多。现在考虑公理圁B。它是由公理
B场ϕ甡2町2町ϕ运用“几乎可定义模式”得来的，其中需要做出一些细微的调
坻 圴圱 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
整。
町圁町χ甡在ϕ甡2町2町ϕ圩 在圳圮圵圩
甬 町圁町χ甡在ϕ甡圁町2町ϕ畞圁在町χ甡 町2町ϕ圩圩 在圳圮圶圩
!町圁町χ甡在ϕ甡圁町在圁町ϕ畞圁在町ψ甡 町ϕ圩畞 町圁町ψ圩畞
圁在町χ甡 町在圁町ϕ畞圁在町ψ甡 町ϕ圩畞 町圁町ψ圩圩圩 在圳圮圷圩
甬 町圁χ甡在ϕ甡圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩畞
圁在在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩甡χ圩圩 在圳圮圸圩
在圳圮圵圩 到在圳圮圶圩 的等价转化是从命题圱圮圳圮圲 得来，而在圳圮圶圩 到在圳圮圷圩 的近似转化是从
命题圱圮圳圮圱 得来，而在圳圮圷圩 到在圳圮圸圩 的等价转化是综合运用公理TAUT,圁Equ 和规则
RE圁,MP 得到。
不难检查在圳圮圸圩 在对称框架类上是有效的。事实上，在圳圮圸圩 的有效性与它的前
件町圁χ无关，因此我们可以去掉它，从而得到一个更强的版本：
ϕ甡圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩畞圁在在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩甡χ圩
上述公式可以在下文中被使用来证明完全性结果，但我们只需要如下更弱的版
本：
ϕ甡圁在在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩甡χ圩,
即公理圁B圮
注意到这里公理系统的定义并没有考虑公理和规则的独立性问题。不难证明，
规则GEN圁在系统畎畃界圵,畎畃界圴圵,畎畃界畓圵,畎畃界畂,畎畃界畔畂 中都不是独立的，即该
规则从这些系统分别减去规则GEN圁后得到的子系统中都是可允许的（比如，命
题圳圮圳圮圱），因此我们可以用这些系统减去规则GEN圁后所得到的子系统来分别替
换这些系统。然而，类似于畎畃界 的情形，可以证明GEN圁在上述定义的其它四个
系统中都是独立的，即从这四个系统分别减去这一规则后所得的子系统中都不能
推导出GEN圁，因此对于完全公理化的问题来说，这个规则在这些系统中都是不
可缺少的。需要特别说明的是，即使在自反情形下，运用2ϕdef
圽 圁ϕ畞ϕ这个翻
译，我们也不能从标准模态逻辑的公理得到NCL 中所需的公理。比如，从标准
坻 圴圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圲 一些扩张系统
模态逻辑公理T出发，我们也只能得到圁ϕ畞ϕ甡ϕ这个重言式。这说明，即使
在自反模型类上ML 和NCL 表达力一样强，我们也不能从标准模态逻辑的公理
推出这里所需要的公理。
令公理圁圴,圁圵 中的ψ都为甿，容易证明公理w圁圴 和w圁圵 分别在系统畎畃界圴
和畎畃界圵中可证；令圁B中的χ为甿，容易证明w圁B在系统畎畃界畂 中可证。下
文将证明系统畎畃界畓圴,畎畃界畓圵,畎畃界畔畂 分别是畎畃界圴,畎畃界圵,畎畃界畂 的扩展系统。
圁圴圬 圁圵 和圁B分别是w圁圴圬 w圁圵 和w圁B的强化版本，正如下文命题圳圮圲圮圴圭圳圮圲圮圶 将
证明的，这些强化版本对于相应系统的完全性证明都是必不可少的。
系统畎畃界圴圵 刻画了一种“观点的逻辑”（坡 坬坯坧坩坣 坯坦 坯坰坩坮坩坯坮坡坴坥坤坮坥坳坳），其中
在信念语境下，圁ϕ意为“主体对ϕ是否为真有观点”，或者说“主体相信ϕ，
或者相信町ϕ”。注意到，正如圓
坅坧坲圓坥 在圲地地圸圩 所论证的，尽管“相信是否（坢坥坬坩坥坶坥
坷坨坥坴坨坥坲）”在自然语言中不是符合语法的，“相信（坢坥坬坩坥坶坥 坴坨坡坴）”是符合语法
的。同时注意到，我们没有给“相信”这个动词预设“否定生成行为（坮坥坧圭坲坡坩坳坩坮坧
坢坥坨坡坶坩坯坲）”，即“如果不相信ϕ，那么相信町ϕ”3，因此圁ϕ也不是空洞成立的。
畎畃界畓圵刻画了一种“知道是否（坫坮坯坷坩坮坧 坷坨坥坴坨坥坲）的逻辑”，其中在认知语境下，
圁ϕ意为“主体知道ϕ是否为真”，或者说“主体知道ϕ为真，或知道ϕ为假”。
为了证明定义圳圮圲圮圱 中所提系统的可靠性，根据前面的分析，只需证：
命题3.2.2.
甏圁T在所有畔-框架的类上是有效的；
甏圁圴 在所有圴-框架的类上是有效的：
甏圁圵 在所有圵-框架的类上是有效的；
甏圁B在所有畂-框架的类上是有效的。
证明.反证法。
甏假设存在自反模型畍以及s甲 畍，使得畍, s 圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞ϕ，但
畍, s 甲圁ψ。则存在t1, t2甲 畍 使得sRt1, sRt2，且t1ψ, t2甲ψ。由畍的
自反性，有sRs。进而由s圁ϕ，可得t1ϕ且t2ϕ。因此t1ϕ甡ψ
且t2甲ϕ甡ψ，矛盾于s圁在ϕ甡ψ圩以及sRt1, sRt2。
甏假设存在传递模型畍以及s甲 畍，使得畍, s 圁ϕ但畍, s 甲圁在圁ϕ畟ψ圩。
据后者，存在t1, t2甲 畍 使得sRt1, sRt2且t1圁ϕ畟ψ以及t2町圁ϕ畞
3这一预设被Zuber (1982) 运用，也参见´
Egr´e (2008) 的讨论。
坻 圴圳 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
町ψ。由t2町圁ϕ，存在u1, u2使得t2Ru1, t2Ru2且u1ϕ, u2甲ϕ。从
sRt2, t2Ru1, t2Ru2和R的传递性，可得sRu1, sRu2，这矛盾于畍, s 圁ϕ
以及u1ϕ, u2甲ϕ。
甏假设存在欧性模型畍以及s甲 畍，使得畍, s 町圁ϕ但畍, s 甲圁在町圁ϕ畟
ψ圩。据前者，存在t1, t2使得sRt1, sRt2且t1ϕ且t2甲ϕ；据后者，存在
u1, u2使得sRu1, sRu2且u1町圁ϕ畟ψ且u2圁ϕ畞町ψ。从sRu2, sRt1, sRt2
和R的欧性，可得u2Rt1, u2Rt2，这矛盾于u2圁ϕ以及t1ϕ, t2甲ϕ。
甏假设存在对称模型畍以及s甲 畍，使得畍, s ϕ但畍, s 甲圁在在圁ϕ畞圁在ϕ甡
ψ圩畞 町圁ψ圩甡χ圩。据后者，存在t1, t2使得sRt1, sRt2且t1圁ϕ畞圁在ϕ甡
ψ圩畞 町圁ψ甡χ且t2圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ畞 町χ。由t2町圁ψ，存在
u1, u2使得t2Ru1, t2Ru2且u1ψ且u2甲ψ。由sRt2和R的对称性，得
t2Rs，据这个和t2圁ϕ以及t2Ru1, t2Ru2和sϕ，有u1ϕ且u2ϕ，因
此u1ϕ甡ψ且u2甲ϕ甡ψ，这矛盾于t2圁在ϕ甡ψ圩以及t2Ru1, t2Ru2。
公理圁圴,圁圵 和圁B分别在系统畎畃界畓圴,畎畃界畓圵,畎畃界畔畂 中是可证的。
命题3.2.3.
1. 畠畎畃界畓4圁ϕ甡圁在圁ϕ畟ψ圩
2. 畠畎畃界畓5町圁ϕ甡圁在町圁ϕ畟ψ圩
3. 畠畎畃界畔畂 ϕ甡圁在在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩甡χ圩
证明.对于圱，下面是畎畃界畓圴中的一个证明序列：
在i圩 圁ϕ甡在圁ϕ畟ψ圩TAUT
在ii圩 圁在圁ϕ甡在圁ϕ畟ψ圩圩 GEN圁,在i圩
在iii圩 圁圁ϕ畞圁在圁ϕ甡在圁ϕ畟ψ圩圩 畞圁ϕ甡圁在圁ϕ畟ψ圩 圁T
在iv圩 圁圁ϕ畞圁ϕ甡圁在圁ϕ畟ψ圩 在ii圩,在iii圩
在v圩 圁ϕ甡圁圁ϕw圁圴
在vi圩 圁ϕ甡圁在圁ϕ畟ψ圩 在iv圩,在v圩
圲的证明与圱类似，运用公理w圁圵。
坻 圴圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圲 一些扩张系统
对于圳，下面是畎畃界畔畂 中的一个证明序列：
在畩圩町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩甡在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠甡生圩TAUT
在畩畩圩 圁在町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩甡在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠甡生圩圩 GEN圁画在畩圩
在畩畩畩圩 圁在町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩甡在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠甡生圩圩
畞圁町在圁甧畞圁在甧甡生圩畞 町圁甠圩畞 町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩
甡圁在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠甡生圩 圁T
在畩當圩 圁町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩畞 町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩
甡圁在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠甡生圩 在畩畩圩在畩畩畩圩
在當圩甧甡圁町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩w圁B画圁Equ
在當畩圩甧甡 町在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠圩 圁T画TAUT
在當畩畩圩甧甡圁在圁甧畞圁在甧甡甠圩畞 町圁甠甡生圩 在畩當圩甀在當畩圩
因此，在公理圁T存在的情况下，公理圁圴,圁圵,圁B分别在畎畃界 圫w圁圴圬
畎畃界 圫w圁圵圬 畎畃界 圫w圁B中是可证的。细心的读者可能会问：公理圁T在这些
系统中是否可以缺少呢？换句话说，在没有圁T的情况下，畎畃界 圫w圁圴,畎畃界 圫
w圁圵,畎畃界 圫w圁B是否分别在传递框架类、欧性框架类和对称框架类上足以刻画
NCL 呢？如果答案是肯定的，那么，我们就不再需要公理圁T，即不再需要系统
畎畃界圴,畎畃界圵,畎畃界畂，而只需要系统畎畃界 圫w圁圴圬 畎畃界 圫w圁圵圬 畎畃界 圫w圁B。然
而，答案是否定的。注意通常不完全性是构造框架来证明，下面的命题圳圮圲圮圴 和命
题圳圮圲圮圵 就分别被均坥坯坲坧坥 坓坣坨坵坭坭 在在坋坵坨坮圬 圱圹圹圵圩 的评论中4和坚坯坬坩坮 在圱圹圹圹圩 构造
框架来证明。下面将构造模型来证明这两个命题以及命题圳圮圲圮圶。
命题3.2.4 在畎畃界 圫w圁圴 的不完全性圩.畎畃界 圫w圁圴 相对于所有传递框架的类不是
完全的。
证明.因为圁p甡圁在圁p畟q圩是公理圁圴 的一个特例，因此由命题圳圮圲圮圲，圁p甡
圁在圁p畟q圩在所有传递框架的类上是有效的。下面将证明这个公式不是畎畃界 圫w圁圴
的内定理。为此，构造一个模型畍，使得畎畃界 圫w圁圴 相对于畍是可靠的，即
4这一点被Steven Kuhn 在邮件中 证实：“I believe that Zolin meant to refer to the abstract in
Mathematical Review written by George Schumm about my paper on the minimal non-contingency logic
that was published in NDJFL in 1995. Schumm provides a frame to show that Humberstone’s conjecture
about the axiomatization of the logic of noncontingency on transitive frames is false. My paper gives a
correct axiomatization.”
坻 圴圵 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
畎畃界 圫w圁圴 的所有内定理都在畍上有效，但畍甲圁p甡圁在圁p畟q圩。如果能证
明这个，就有田畎畃界+w∆4 圁p甡圁在圁p畟q圩。因此存在所有传递框架类的有效式，
它在畎畃界 圫w圁圴 中不可证，这说明该系统相对于所有传递框架的类不是完全的。
考虑下面的模型畍，其中不失一般性，假定P圽畦p, q畧：
u1场p, q t1场p, q
u场p, 町q
gg
ww
t场p, q
88
&&
u2场町p, 町q s 场p, q
99ff
t2场町p, 町q
首先，由命题圳圮圱圮圲，畎畃界 的所有公理在所有框架的类上都是有效的，因此
当然在畍上也都有效。至于推理规则，前面已证，它们在所有框架的类上保持
有效性，但这不能直接推出，这些规则在模型畍上也保持有效性。尽管如此，
不难发现，规则MP,GEN圁,RE圁在畍上确实是保持有效性的，也就是说，任给其
中一个规则，如果它的前提在畍上有效，那么它的结论也在畍上有效。
其次，w圁圴 在畍上也是有效的：由畍的构造，通过施归纳于ϕ的结构，
不难证明在甃圩：任给ϕ甲NCL，t1ϕ坩國 u1ϕ，且t2ϕ坩國 u2ϕ。因为
t1, t2, u1, u2都没有后继，因此它们都满足圁圁ϕ，从而它们都满足圁ϕ甡圁圁ϕ，
即w圁圴。同时，任给ϕ甲NCL，t1, t2都满足圁ϕ，因而t圁圁ϕ，进而t
圁ϕ甡圁圁ϕ。同理，可以证明：任给ϕ甲NCL，u圁ϕ甡圁圁ϕ。而且，据
在甃圩，有t圁ϕ坩國 u圁ϕ，进而s圁圁ϕ，因此s圁ϕ甡圁圁ϕ。综上所述，
畍圁ϕ甡圁圁ϕ。至此已经证明了畎畃界 圫w圁圴 相对于畍是可靠的。
然而，不难发现畍, s 甲圁p甡圁在圁p畟q圩，因此畍甲圁p甡圁在圁p畟q圩。根
据前面的分析，有田畎畃界+w∆4 圁p甡圁在圁p畟q圩。
命题3.2.5 在畎畃界 圫w圁圵 的不完全性圩.畎畃界 圫w圁圵 相对于所有欧性框架的类不是
完全的。
证明.方法类似于命题圳圮圲圮圴 的证明。因为町圁p甡圁在町圁p畟q圩是公理圁圵 的一个
特例，因此由命题圳圮圲圮圲，町圁p甡圁在町圁p畟q圩在所有欧性框架的类上是有效的。
我们将证明这个公式不是畎畃界 圫w圁圵 的内定理。为此，构造一个模型畎，使得
坻 圴圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圲 一些扩张系统
畎畃界 圫w圁圵 相对于畎是可靠的，即畎畃界 圫w圁圵 的所有内定理都在畎上有效，但
畎甲町圁p甡圁在町圁p畟q圩。
考虑下面的模型畎，又一次，不失一般性，假定P圽畦p, q畧：
t场p, q
s场p, q
88
''
u场町p, 町q
同于命题圳圮圲圮圴 中的证明，在畎上，畎畃界 的所有公理都是有效的，且初始规
则都是保有效的。
而且，w圁圵 在畎上也是有效的：由畎的构造，t和u都没有后继，因此
它们都满足圁町圁ϕ，从而都满足町圁ϕ甡圁町圁ϕ，即w圁圵。同时，由于t圁ϕ
且u圁ϕ，因此s圁町圁ϕ，从而有s町圁ϕ甡圁町圁ϕ。至此已经证明了
畎畃界 圫w圁圵 相对于畎是可靠的。
然而，不难证明畎, s 甲町圁p甡圁在町圁p畟q圩，因而畎甲町圁p甡圁在町圁p畟q圩。
命题3.2.6 在畎畃界 圫w圁B的不完全性圩.畎畃界 圫w圁B相对于所有对称框架的类是不
完全的。
证明.因为公式p甡圁在圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圩是公理圁B的一个特例，因此
由命题圳圮圲圮圲，该公式在所有对称框架的类上是有效的。我们将证明这个公式不是
畎畃界 圫w圁B的内定理。为此，构造一个模型畎0，使得畎畃界 圫w圁B相对于畎0是可
靠的，即畎畃界 圫w圁B的所有内定理都在畎0上有效，但畎0甲p甡圁在圁p畞圁在p甡
q圩畞 町圁q甡r圩圮
坻 圴圷 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
考虑下面的模型畎0，不失一般性，假定P圽畦p, q, r畧：
t场p, q, r //
!!
t0场町p, q, r
s场p, q, r
77
''
u场p, q, 町r
==
//u0场町p, 町q, r
同于命题圳圮圲圮圴 中的证明，在畎0上，畎畃界 的所有公理都是有效的，且初
始规则都是保有效的（比如，畎0p畞r甡q且畎0圁在p畞r甡q圩）。而
且，w圁B在畎0上也 是有效的，因为圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩在畎0是有效
的。为了 看到这点，首先，由于t0和u0都没有任何后继，因而对于任 意ϕ圬都
有t0圁ϕ且u0圁ϕ。因此它们当然也都满足圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩。
其次，由于t只有两个 后继t0和u0圬因而t圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩 坩國
在t0圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ坩國 u0圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩圬 这显然成立。同理可
证u圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞町圁ψ圩。而且，任给ϕ圬都有t圁ϕ坩國 u圁ϕ圬因为等式
两边都等价于 在t0ϕ坩國 u0ϕ圩。因此，不难得到s圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩。
至此已经证明了畎畃界 圫w圁B相对于畎0是可靠的。
然而，根据畎0的构造，不难发现u甲圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r但t
圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r，因此s甲圁在圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圩。又由于
sp圬因此s甲p甡圁在圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圩。
3.2.2 完全性
这一节证明扩充系统的完全性。首先，给出一个有用的定义。
定义3.2.7 在死点圩.给定模型畍圽畨S, R, V 畩以及u甲S。称u是畍中的死点，
如果u在S中相对于关系R没有任何后继，即如果不存在v甲S使得uRv。
据定理圳圮圱圮圹，已有：畎畃界 相对于所有框架的类是强完全的。令人惊讶地是，
该系统相对于所有持续框架的类也是（可靠且）强完全的，这一结果是源于非偶
然算子圁的特殊语义。我们首先来证明这一完全性结果。为此，只需证明典范关
系Rc是持续的。然而，定义圳圮圱圮圶 并不能保证Rc的持续性，因为有可能畍c中
坻 圴圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圲 一些扩张系统
的某些状态是死点，比如那些包含所有形如圁ϕ的公式为元素的极大一致集u。
因此，我们需要将模型畍c转化为一个持续模型，注意公式的真值在转化的过程
中不能被改变。下面的证明比在坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥圬 圱圹圹圵圻 坚坯坬坩坮圬 圱圹圹圹圩 中的证明要更简
洁。
定理3.2.8 在畎畃界 的强完全性圩.畎畃界 相对于所有畄-框架的类是强完全的。
证明.如同定义圳圮圱圮圶 定义畍c。为了将畍c转化为一个持续模型，我们采用如
下策略——“使死点自反化”：任给畍c中的死点u，在保留原有可通达关系的
基础上，添加u相对于Rc的自反箭头。记所得到的关系为RD。形式上表示为：
RD圽Rc畛 畦在u, u圩番u是畍c中的死点畧。令畍D圽畨Sc, RD, V c畩，其中RD如上
定义，而Sc和Vc不变。现在，很显然畍D是持续的。
而且，任给ϕ甲NCL，有畍c, s ϕ坩國 畍D, s ϕ。证明如下：对ϕ的结构
作归纳，只需考虑圁ϕ的情形。如果s不是畍c中的死点，那么“坩國”显然成立；
如果s是畍c中的死点，那么根据圁ϕ的语义，有畍c, s 圁ϕ且畍D, s 圁ϕ，
也有“坩國”成立。
据上面的结果和引理圳圮圱圮圸，可得：畎畃界 相对于所有畄圭框架的类是强完全的。
对于畎畃界圴和畎畃界圵的强完全性，我们沿用定义圳圮圱圮圶 中的典范模型畍c，除
了其中Sc是相对于各自所在的系统。
定理3.2.9 在畎畃界圴的强完全性圩.畎畃界圴相对于所有圴-框架的类是强完全的。
证明.如同定义圳圮圱圮圶 定义畍c，除了Sc是所有极大畎畃界圴圭一致集的集合。由引
理圳圮圱圮圸，只需证Rc是传递的。
任给s, t, u 甲Sc，假设sRct且tRcu，要证sRcu。由sRct，存在χ使得
町圁χ甲s，且在畿圩 场 任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲t。由tRcu，存在ψ
使得町圁ψ甲t，且在畼圩 场 任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲t，则ϕ甲u。为了证明
sRcu，因为已有町圁χ甲s，只需证在畾圩 场 任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲s，则
ϕ甲u。于是假设任给ϕ都有圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲s，如果能证明圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲t，
则根据在畼圩，立得ϕ甲u。
对于圁ϕ甲t的证明：因为圁ϕ甲s，由w圁圴，得圁圁ϕ甲s；由圁圴，得
圁在圁ϕ畟 町χ圩甲s，即圁在χ甡圁ϕ圩甲s。据这两者和在畿圩，得圁ϕ甲t。
坻 圴圹 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
对于圁在ψ甡ϕ圩甲t的证明：由町圁χ甲s和公理圁Equ，有町圁町χ甲s；由
圁在χ甡ϕ圩甲s，有圁在町ϕ甡 町χ圩甲s。据这两者和公理圁Con，可得町圁在ϕ甡
町χ圩甲s。据这个和圁ϕ甲s和公理圁Dis，有圁在町ϕ甡 町ψ圩甲s，即圁在ψ甡ϕ圩甲
s。进而由w圁圴，有圁圁在ψ甡ϕ圩甲s；由公理圁圴，有圁在圁在ψ甡ϕ圩畟 町χ圩甲s，即
圁在χ甡圁在ψ甡ϕ圩圩 甲s。据这两者和在畿圩，得圁在ψ甡ϕ圩甲t。
定理3.2.10 在畎畃界圵的强完全性圩.畎畃界圵相对于所有圵-框架的类是强完全的。
证明.如同定义圳圮圱圮圶 定义畍c，除了Sc是所有极大畎畃界圵圭一致集的集合。由引
理圳圮圱圮圸，只需证Rc是欧性的。
任给s, t, u 甲Sc，假设sRct且sRcu，要证tRcu。由sRct，存在χ使得
町圁χ甲s，且在畾圩 场 任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲t。由sRcu，存在
ψ使得町圁ψ甲s，且在畽圩 场 任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲u。为了证
明tRcu，只需证：存在θ使得
圱圮 町圁θ甲t且
圲圮 任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在θ甡ϕ圩甲t，则ϕ甲u。
我们证明χ就是所求的θ。
对于圱的证明：由町圁χ甲s，有町圁χ甲s。据w圁圵，有圁町圁χ甲s；由公理
圁圵，得圁在町圁χ畟 町χ圩甲s，即圁在χ甡 町圁χ圩甲s。据这两者和在畾圩，得町圁χ甲t。
对于圲的证明：任给ϕ，假设圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲t，需证ϕ甲u。由假设
圁ϕ甲t，得町圁ϕ /甲t，进而据在畾圩得圁町圁ϕ畞圁在χ甡 町圁ϕ圩/甲s。运用w圁圵
和公理圁圵，可得町圁ϕ /甲s，即圁ϕ甲s。同理，据假设圁在χ甡ϕ圩甲t，可
得圁在χ甡ϕ圩甲s。由于町圁χ甲s，有町圁町χ /甲s；由于圁在χ甡ϕ圩甲s，有
圁在町ϕ甡 町χ圩甲s。据这两者和公理圁Con，有圁在ϕ甡 町χ圩/甲s。进而由已证
圁ϕ甲s和公理圁Dis，可得圁在町ϕ甡 町ψ圩甲s，即圁在ψ甡ϕ圩甲s。至此已经证明
了圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲s，由在畽圩可得ϕ甲u。证毕。
定理3.2.11 在畎畃界圴圵 的强完全性圱圩.畎畃界圴圵 相对于所有圴圵-框架的类是强完全
的。
证明.直接由定理圳圮圲圮圹 和定理圳圮圲圮圱地 可得。畎畃界圴圵 的典范模型既是传递的又是
欧性的。
坻 圵地 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圲 一些扩张系统
有趣的是，畎畃界圴圵 相对于所有畋畄圴圵圭框架的类也是强完全的，但难度更大。
在进入证明细节之前，我们首先说明其中的难点。尽管畎畃界圴圵 典范模型畍c中的
典范关系Rc是既传递又欧性的，但该关系不一定是持续的，原因同于定理圳圮圲圮圸
之前的分析。因此，我们需要一种策略，将畍c转化为一个持续模型，而不改变
原有关系的传递性和欧性，同时公式的真值在转化的过程中不发生变化。
定理3.2.12 在畎畃界圴圵 的强完全性圲圩.畎畃界圴圵 相对于所有畋畄圴圵-框架的类是强完
全的。
证明.如同定理圳圮圲圮圸 中定义畎畃界圴圵 的典范模型畍D，除了此时Sc是所有极大
畎畃界圴圵圭一致集的集合。类似于定理圳圮圲圮圸 可证，RD是持续的，任给ϕ甲NCL，
有畍c, s ϕ坩國 畍D, s ϕ。只需证明RD是传递且欧性的。
传递性：任给s, t, u 甲Sc，假设sRDt且tRDu，要证sRDu。由假设，考虑如
下情形：如果s甶圽t且t甶圽u，则sRct且tRcu，然后类似于定理圳圮圲圮圹 可证sRcu，
因此sRDu；如果s圽t或t圽u，则显然有sRDu。所有情形下都有sRDu，因此
RD是传递的。
欧性：任给s, t, u 甲Sc，假设sRDt且sRDu，要证tRDu。由假设，考虑如
下情形：如果s甶圽t且s甶圽u，则sRct且sRcu，然后类似于定理圳圮圲圮圱地 可证tRcu，
因此tRDu；如果s圽t，则据假设，显然有tRDu。只需考虑情形s甶圽t且s圽u。
此时sRct。这种情形下一定有sRcu，因为否则据RD的定义，有s是畍c中的死
点，矛盾于sRct。前面已证sRct且sRcu，同于第一种情形，最终可得tRDu。所
有情形下也都有tRDu，因此RD是欧性的。
对于畎畃界畔 的强完全性，我们不能直接使用定义圳圮圱圮圶 中的关系Rc，因为可
能畍c中存在某些死点，分析如前。一个自然的问题是能否使用前面所谓的“使
死点自反化”策略，即定理圳圮圲圮圸 中的策略。这种方法是不够的，因为可能有畍c
中的某些点，尽管它们不是死点，但它们也不自反。为了确保关系是自反的，我
们可以采取如下策略：“使非自反点自反化”。但为了定义方便起见，我们使用一
个等价的策略，即取 Rc的自反闭包。
定义3.2.13 在畎畃界畔 的典范模型圩.畎畃界畔 的典范模型畍T圽畨Sc, RT, V c畩如同定
义3.1.6 中的畍c，除了：Sc是所有极大畎畃界畔-一致集，且RT是Rc的自反闭
坻 圵圱 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
包，即sRTt，当且仅当，s圽t，或者，（存在ψ使得町圁ψ甲s，且任给ϕ，若
圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲t）。
需要证明畎畃界畔 的真值引理。
引理3.2.14 在畎畃界畔 的真值引理圩.任给s甲Sc，任给ϕ甲NCL，都有：
畍T, s ϕ用甩 ϕ甲s.
证明.对ϕ的结构作归纳。只需考虑ϕ圽 圁ψ的情形，即证畍T, s 圁ϕ用甩
圁ϕ甲s。
“圽甩场”类似于引理圳圮圱圮圸 的相应证明，注意到，Rc中的有序对都包含在RT
中。
“用圽场”假设圁ψ甲s，即圁町ψ甲s，要证畍T, s 圁ϕ。假设不然，则据归
纳假设，存在t1, t2甲Sc使得sRTt1, sRTt2且ψ甲t1,町ψ甲t2。因为RT具有自反
性，只需考虑如下两种情况（s圽t1且s圽t2的情况是不可能的，因为t1甶圽t2）：
甏s甶圽t1且s甶圽t2。则sRct1, sRct2。然后类似于引理圳圮圱圮圸 的“用圽”的证明，
可以得出矛盾。
甏s圽t1或者s圽t2。不失一般性，假设s圽t1，因此ψ甲s且s甶圽t2。
由s甶圽t2和sRTt2，有sRct2。则存在χ使得町圁χ甲s且在?圩 场 任给ϕ，
如果圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲t2。据假设圁ψ甲s以及ψ /甲t2，可得
圁在χ甡ψ圩/甲s，即圁在町ψ甡 町χ圩/甲s；而且，据公理圁T和圁ψ畞ψ畞町圁χ甲s，
有圁在ψ甡χ圩/甲s。据这两者和公理圁Dis，得圁ψ /甲s，矛盾于假设。
所考虑的情况都得出矛盾，因此有畍T, s 圁ϕ。
基于上述引理，不难证明
定理3.2.15 在畎畃界畔 的强完全性圩.畎畃界畔 相对于所有畔-框架的类是强完全的。
定理3.2.16 在畎畃界畓圴的强完全性圩.畎畃界畓圴相对于所有畓圴-框架的类是强完全的。
证明.如同定义圳圮圲圮圱圳 定义畎畃界畓圴的典范模型畍T，除了Sc此时是所有极大
畎畃界畓圴圭一致集的集合。由定理圳圮圲圮圱圵，只需证RT是传递的。
任给s, t, u 甲Sc，假设sRTt且tRTu，要证sRTu。由假设，考虑如下几种情
形：如果s甶圽t且t甶圽u，则sRct且tRcu，其中Rc的定义同于定义圳圮圱圮圶。注意
坻 圵圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圳 对称系统畎畃界畂 的完全性
由于命题圳圮圲圮圳，此时可以运用公理圁圴。类似于定理圳圮圲圮圹 中的证明，可得sRcu，
因此sRTu。如果s圽t或t圽u，据假设显然有sRTu。
所有情形下都有sRTu，为所求。
定理3.2.17 在畎畃界畓圵的强完全性圩.畎畃界畓圵相对于所有畓圵-框架的类是强完全的。
证明.如同定义圳圮圲圮圱圳 定义畎畃界畓圵的典范模型畍T，除了Sc此时是所有极大
畎畃界畓圵圭一致集的集合。由定理圳圮圲圮圱圵，只需证RT是欧性的。
任给s, t, u 甲Sc，假设sRTt且sRTu，要证tRTu。由假设，考虑如下几种情
形：如果s甶圽t且s甶圽u，则sRct且sRcu，其中Rc的定义同于定义圳圮圱圮圶。注意
由于命题圳圮圲圮圳，此时可以运用公理圁圵。类似于定理圳圮圲圮圱地 中的证明，可得tRcu，
因此tRTu。如果s圽t，则据假设显然有tRTu。只需考虑情形s甶圽t且s圽u。此
时有sRct。类似于定理圳圮圲圮圱地 中的相应证明，可以证得存在χ使得町圁χ甲s且
町圁χ甲t；同时，任给ϕ，如果圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲t，则可证圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩甲s，
则圁町ϕ畞圁在町ϕ甡 町χ圩畞 町圁町χ甲s，运用公理圁T，得町ϕ /甲s，即ϕ甲s，也即
ϕ甲u，因此tRTu。
所有情形下都已证tRTu，为所求。
3.3 对称系统畎畃界畂 的完全性
回顾公理系统畎畃界畂 如定义圳圮圲圮圱 中所示。该系统的完全性证明也是基于典
范模型构造，但是非常复杂，因此单独作为一节来探讨。
正如前面所声称的，不像畎畃界 和定义圳圮圲圮圱 中的许多其它系统，初始规
则GEN圁在系统畎畃界畂 甀GEN圁中是可允许的。这意味着畎畃界畂 可以被替换为
畎畃界畂 甀GEN圁。
命题3.3.1. GEN圁在畎畃界畂 甀GEN圁中是可允许的。5
证明.假定畠ϕ。由公理圁B圬有畠圁在在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ圩甡 甾圩。进而由公理
TAUT 和RE圁，得畠圁甾。再次由假定和公理TAUT，有畠ϕ甤 甾。然后再据RE圁，
得到畠圁ϕ甤圁甾，因此畠圁ϕ。
5这里用`ϕ来表示ϕ在畎畃界畂 −GEN∆中是可证的。
坻 圵圳 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
现在开始分析畎畃界畂 的完全性证明。为了表述方便，我们给出一个重要的定
义。
定义3.3.2 在终点圩.令畍圽畨S, R, V 畩是一个模型。称s是畍中的一个终终终点点点，如
果s在畍中相对于关系R只有前驱而没有后继；换句话说，如果存在t甲S使
得tRs,但不存在u甲S使得sRu。
如果畎畃界畂 的典范模型被定义成畨Sc, Rc, V c畩，其中Sc是所有极大畎畃界畂圭一
致集的集合，Rc和Vc如同定义圳圮圱圮圶。那么通过检查证明，我们发现，Rc会满足
第二条，但不满足第一条（对于细节，也可以从命题圳圮圳圮圳 中得知）。由于无法保
证畍c中的每个状态都包含某个形如町圁χ的公式，因此Rc无法被保证一定是对
称的，而只是“几乎”对称的。
命题3.3.3. 任给s, t 甲Sc，若sRct，且存在χ使得町圁χ甲t，则tRcs。
证明.假定sRct且町圁χ甲t圬要证tRcs。假设不然，则存在ϕ使得圁ϕ畞圁在χ甡
ϕ圩甲t且ϕ /甲s，后者即町ϕ甲s。由于sRct，据定义，存在ψ使得町圁ψ甲s且在?圩场
任给θ，若圁θ畞圁在ψ甡θ圩甲s，则θ甲t。由町ϕ甲s和公理圁B以及w圁B，可得：
圁在圁町ϕ畞圁在町ϕ甡 町χ圩畞町圁町χ甡 町ψ圩甲s以及圁在圁町ϕ畞圁在町ϕ甡 町χ圩畞町圁町χ圩甲
s。由公理圁Equ 和规则RE圁，有圁在圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ圩畞圁在圁ϕ畞圁在χ甡
ϕ圩畞 町圁χ甡 町ψ圩甲s，进而可以证得圁町在圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ圩畞圁在ψ甡
町在圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ圩圩 甲s。据在?圩，有町在圁ϕ畞圁在χ甡ϕ圩畞 町圁χ圩甲t，矛
盾。
下面给出上述命题的一个应用。
s

圽甩s

t//u t //
OO
u
在左边的典范模型畍c中，sRct且tRcu，没有其它的典范关系。由于tRcu，据
Rc的定义，t包含某个町圁χ。据这个，sRct和命题圳圮圳圮圳，有tRcs。但是，尽管
tRcu，我们不能保证uRct。因此我们得到右边的模型。而这不是一个对称模型。
现在，一个自然的问题是：如何把模型畍c转化为一个对称模型，同时在转
换的过程中不改变任何公式的真值？一个可能的回答是：类似于自反性的情形
坻 圵圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圳 对称系统畎畃界畂 的完全性
（见定义圳圮圲圮圱圳 和它前面的段落），我们也许可以采用策略“使非对称的有序对对
称化”，等价地说，取Rc的对称闭包。例子如下图所示。
s

u

圽甩s

u

t t
??
^^
上图中，左边的模型畍c中有sRct且uRct，但没有tRcs，也没有tRcu。通过
“使非对称的有序对对称化”，即增加tRcs和tRcu，得到右边的模型，不妨记
为畍0。的确，模型畍0现在是对称的，但这种方法不能保证每个公式的真值
被保持。比如说，在畍c中，由于t没有任何后继，根据语义定义，有：任给
ϕ甲NCL，都有t圁ϕ。然而，在畍0中，由于t有两个不同的后继s, u，而这
两个后继可能一个使得某个ψ为真而另一个使得ψ为假，因此存在某个NCL圭公
式ψ使得t甲圁ψ。也就是说，形如圁ϕ的公式的真值在转换前后发生了改变。因
此，对称闭包的方法行不通。
回顾定义圳圮圳圮圲，畍c中的终点是指相对于Rc只有前驱而没有后继的那些世
界，比如上述例子中的t。现在，困难主要在于如何处理畍c中的那些终点。
为了处理那些终点，比如说t，我们利用如下两个关键的观察：
甏如果t只有一个 Rc前驱，比如说s，此时如果仅仅增加对称闭包，以保证
Rc对称，那么此时任意NCL圭公式的真值在s和t这两个世界中都不会被改
变。
这一观察用图形表示如下：
s

圽甩s

t t
OO
甏如果t有多个前驱，不失一般性，不妨假设有两个，s和u，即sRct且uRct。
前面已经提到，如果此时仅仅增加对称闭包，可能会使某些公式的真值在t
上被改变，因为现在t有两个不同的后继，这会导致某些形如圁ψ的公式可
能不再成立。此时可以用这些终点的副本（坣坯坰坩坥坳）来取代这些终点，以保
证每个副本都有且仅有一个前驱，然后再继续使用第一个观察，即增加对称
坻 圵圵 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
闭包。在某种程度上，这种策略可以被看作是副本和对称闭包的综合运用。
这一观察用图形表示如下：
s

u

圽甩s

u

圽甩s

u

t在s, t圩 在u, t圩 在s, t圩
OO
在u, t圩
OO
基于上述两个观察，我们从形式上定义畎畃界畂 的典范模型如下。首先令
D圽畦t甲Sc番任给χ都有圁χ甲t, 且存在s甲Sc使得sRct畧，其中Sc是所有极大
畎畃界畂圭一致集的集合，Rc的定义同于定义圳圮圱圮圶。然后令D圽Sc畮D。
定义3.3.4 在畎畃界畂 的典范模型圩.称畍+圽畨S+, R+, f, V +畩是畎畃界畂 的典范模型，
如果
甏S+圽D畛 畦在s, t圩番t甲D, sRct畧
甏sR+t当且仅当下面至少一种情况成立：
1. s, t 甲D且sRct,
2. s甲D且t圽 在s, s0圩甲S+,
3. t甲D且s圽 在t, t0圩甲S+.
甏f是从S+到Sc的函数，使得：如果s甲D,则f在s圩 圽 s;如果s圽 在t, u圩甲S+,
则f在s圩 圽 u.
甏V+在p圩 圽 畦s甲S+番p甲f在s圩畧.
注意这里的f被引入以对畍+中的每个状态给出一个极大一致集的“标签”，
因为畍+中可能有多个状态“共享”同一个极大一致集。函数f有如下性质：
命题3.3.5.
1. f是满射。
2. 若s甲D且sR+t,则f在s圩Rcf在t圩.
3. 若f在s圩Rct,则存在u甲S+使得sR+u且f在u圩 圽 t.
证明.对于圱，要证明，任给t甲Sc，都存在u甲S+使得f在u圩 圽 t。任给t甲Sc，
考虑两种情况：
甏t甲D。显然有t甲S+。并且，根据f的定义，立得f在t圩 圽 t。
甏t /甲D，即t甲D。据D的定义，存在s甲Sc使得sRct，再据S+的定义，
有在s, t圩甲S+。由此根据f的定义，f在在s, t圩圩 圽 t。
坻 圵圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圳 对称系统畎畃界畂 的完全性
任一情况都有：存在u甲S+使得f在u圩 圽 t。
对于圲，假设s甲D（因此f在s圩 圽 s）且sR+t。同样考虑两种情形：t甲D和
t /甲D。如果t甲D，则根据f和R+的定义，可得f在t圩 圽 t且sRct，即f在s圩Rcf在t圩；
如果t /甲D，则根据R+的定义，t圽 在s, s0圩甲S+且sRcs0，据此f在t圩 圽 s0，因此
f在s圩Rcf在t圩。
对于圳，假设f在s圩Rct。据D的定义，f在s圩/甲D。由于f在s圩甲Sc，可得
f在s圩甲D，由此f在s圩 圽 s：否则，据f的定义，f在s圩 圽 t0且s圽 在t, t0圩甲S+，进而
t0甲D且t0甲D，矛盾。因此sRct且s甲D。如果t甲D，则显然t甲S+。同时，
据R+的定义，sR+t；据f的定义，f在t圩 圽 t。如果t /甲D，即t甲D，则据S+
的定义，在s, t圩甲S+。此时据R+的定义，sR+在s, t圩；据f的定义，f在在s, t圩圩 圽 t。
注意上述圲中的条件s甲D是必不可少的。例如，假设s圽 在t, t0圩甲S+且
t甲D。据定义，sR+t。据f的定义，f在s圩 圽 t0且f在t圩 圽 t。因为t0甲D，据D的
定义，t0没有任何Rc后继，也就没有t0Rct，即f在s圩Rcf在t圩不成立。
引理3.3.6. 畍+是对称的。
证明.任给s, t 甲S+，假定sR+t，要证tR+s。根据R+的定义，考虑如下三种情
形：
甏s, t 甲D且sRct。则t /甲D。根据D的定义，存在χ使得町圁χ甲t。再据
sRct和命题圳圮圳圮圳，有tRcs。因此tR+s。
甏s甲D且t圽 在s, s0圩甲S+。据R+定义的第三个条件，即得tR+s。
甏t甲D且s圽 在t, t0圩甲S+。据R+定义的第二个条件，即得tR+s。
下面的命题表明，畍+相对于函数f保持了公式的真值。
命题3.3.7. 任给s甲S+以及ϕ甲NCL，都有：
畍+, s ϕ用甩 畍c, f 在s圩ϕ.6
6我们也可以通过证明(M+, s)↔∆(Mc, f (s))，然后根据命题2.2.7，来得到该命题。证明见附件C中
的命题C.0.11。
坻 圵圷 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
证明.对ϕ的结构作归纳。
甏ϕ圽p甲P。据V+和Vc的定义，任给s甲S+，都有畍+, s p用甩 p甲f在s圩
用甩 畍c, f 在s圩p。
甏布尔情形由归纳假设易得。
甏ϕ圽 圁ψ。需要证明畍+, s 甲圁ψ用甩 畍c, f在s圩甲圁ψ。
圽甩场假设畍+, s 甲圁ψ。则存在t, u 使得sR+t, sR+u且畍+, t ψ且
畍+, u 甲ψ。此时必有s甲D，否则据R+的定义，将会有s圽 在t, t0圩甲S+
且s圽 在u, u0圩甲S+，进而t圽u，矛盾。据s甲D，sR+t, sR+u以及命题
圳圮圳圮圵 的圲，可得f在s圩Rcf在t圩且f在s圩Rcf在u圩。据归纳假设，可得畍c, f在t圩ψ
且畍c, f 在u圩甲ψ。从而有畍c, f在s圩甲圁ψ。
用圽场 假设畍c, f 在s圩甲圁ψ。则存在t0, u0甲Sc使得f在s圩Rct0, f 在s圩Rcu0且
畍c, t0ψ且畍c, u0甲ψ。据命题圳圮圳圮圵 的圳，可得：存在t, u 甲S+，使得
f在t圩 圽 t0, f 在u圩 圽 u0且sR+t, sR+u。据归纳假设，有畍+, t ψ且畍+, u 甲
ψ，从而畍+, s 甲圁ψ。
现在根据引理圳圮圱圮圸 和命题圳圮圳圮圷，有
引理3.3.8. 任给ϕ甲NCL 以及s甲S+，都有畍+, s ϕ用甩 ϕ甲f在s圩。
从命题圳圮圳圮圵 的圱，每个s甲Sc都是畍+中某个元素在f下的象，由此每个
极大畎畃界畂圭一致集都在畍+中可满足。基于引理圳圮圳圮圶，我们得到畎畃界畂 的完全
性定理。
定理3.3.9 在畎畃界畂 的强完全性圩.畎畃界畂 相对于所有畂-框架的类是强完全的。
由于所有五个基本的一阶性质都是NCL 不可定义的（见圲圮圱圮圲 小节），因此
也就不是定义圳圮圲圮圱 中的公理可定义的。那么，我们就要问，哪些一阶性质是这些
公理可定义的呢？或者说，这些公理分别对应于哪些一阶性质呢？首先给出框架
对应的定义。
定义3.3.10 在框架对应圩.令ϕ甲NCL 且α甲FOL。称ϕ和α是框架对应的，如
果任给框架畆,畆ϕiff 畆α.
坻 圵圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圳 对称系统畎畃界畂 的完全性
为了表述上的简便，把甸x在甹y甹z在xRy 畞xRz 畞y甶圽z圩甡α在x圩圩 简记为坞
甸xα在x圩圮
坚坯坬坩坮 在圱圹圹圹圬 坔坨坥坯坲坥坭 圵圮圱圩 证明了下列结果：
命题3.3.11. 公理圁T,圁圴,w圁圴,圁圵 分别对应于如下一阶性质：
在ϕ4
T圩坞
甸x xRx
在ϕ4
4圩坞
甸x坞
甸y在xRy 甡 甸z在yRz 甡xRz圩圩
在ϕ4
4b圩坞
甸x在坞
甸y在xRy 甡R在y圩甒R在x圩圩 畟 甸y甸z在xRy 畞xRz 甡在R在y圩畮R在x圩 圽
R在z圩畮R在x圩圩 畞在R在x圩畜R在y圩甶圽画 甬 R在x圩畜R在z圩甶圽画圩圩圩
在ϕ4
5圩坞
甸x甸y甸z在xRy 畞xRz 甡yRz圩
但是，公理w圁圵 的对应结果并没有找到。而且，由于对称框架上的重要公理
圁B和w圁B在文献中一直没有被找到，所以这两个公理的对应结果也一直没有被
给出。本节寻找公理圁B的一阶对应公式，并证明它们之间的框架对应，而把公
理w圁B和公理w圁圵 的框架对应问题留作后续工作。
命题3.3.12. 公理圁B对应于一阶公式坞
甸x坞
甸y在xRy 甡yRx圩.
证明.任给框架畆圽畨S, R畩。我们只需证：
畆ϕ甡圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ甡χ圩 坩國 畆坞
甸x坞
甸y在xRy 甡yRx圩.
“从右至左”：假定畆坞
甸x坞
甸y在xRy 甡yRx圩圬 要证畆圁B。假设不然，即
存在畆上的赋值V以及s甲S，使得畨畆, V 畩, s ϕ且s甲圁在圁ϕ畞圁在ϕ甡
ψ圩畞町圁ψ甡χ圩。则存在s1, s2使得sRs1, sRs2且s1圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞町圁ψ甡χ
且s2圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁ψ畞 町χ。据s2町圁ψ可得：存在t1, t2使得
s2Rt1, s2Rt2且t1ψ, t2甲ψ。显然，s1甶圽s2且t1甶圽t2。我们已经证明了，s和s2
分别都有两个不同的后继。由假定和sRs2圬有s2Rs。据这个和假设sϕ圬s2圁ϕ
以及s2Rt2圬有t2ϕ，从而t1ϕ甡ψ且t2甲ϕ甡ψ圬矛盾于s2圁在ϕ甡ψ圩以
及s2Rt1, s2Rt2圮
“从左至右”场假定畆甲坞
甸x坞
甸y在xRy 甡yRx圩，即存在s, t 使得存在s1, s2且
sRs1, sRs2且s1甶圽s2，以及存在t1, t2且tRt1, tRt2且t1甶圽t2圬且sRt圬但没有tRs。
考虑三种情形：
坻 圵圹 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
情形一：t甶圽s1且t甶圽s2。此时，定义畆上的赋值V如下：V在p圩 圽 畦s畧，
V在q圩 圽 畦t1畧且V在r圩 圽 畦s2畧。图示如下：
t1场q
t
44
**
畨畆, V 畩场s场p
55
++
//s1t2
s2场r
我们可以证得畨畆, V 畩, s 甲圁B如下：首先，由V在p圩 圽 畦s畧且没有tRs圬可知：sp圬
且任给t0使得tRt0圬都有t0町p圬由此t0p甡q圬从而t圁p畞圁在p甡q圩圻 因
为V在q圩 圽 畦t1畧且t1甶圽t2圬有t1q, t2甲q圬从而t町圁q圻因为V在r圩 圽 畦s2畧
且t甶圽s2圬得t甲r且s2r。因此易知t甲圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圬但
s2圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圬因此s甲圁在圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圩。从而
s甲p甡圁在圁p畞圁在p甡q圩畞 町圁q甡r圩圬 所以s甲圁B。
情形二：t圽s1圬则t甶圽s2。此时赋值定义同于情形一，且图示如下：
t1场q
t在圽 s1圩
77
&&
畨畆, V 畩场s场p
44
**
t2
s2场r
同于情形一，可以证得s甲圁B。
情形三：t圽s2圬则t甶圽s1。此时，定义畆上的赋值V如下：V在p圩 圽 畦s畧，
V在q圩 圽 畦t1畧且V在r圩 圽 畦s1畧。图示如下：
t1场q
t在圽 s2圩
77
&&
畨畆, V 畩场s场p
44
**
t2
s1场r
坻 圶地 坻

北京大学博士研究生学位论文圳圮圳 对称系统畎畃界畂 的完全性
类似于情形一，可以证得s甲圁B。
所有情形下都有s甲圁B，从而该命题得证。
坻 圶圱 坻

第三章公理系统和完全性北京大学博士研究生学位论文
坻 圶圲 坻

第四章多模态的非偶然逻辑
本章考虑多模态的非偶然逻辑，也就是非偶然逻辑的多模态版本。之所以做
出这一考虑，除了有着一定的哲学意义之外，最主要的是因为，当把非偶然逻辑
NCL 在对称框架类上的公理系统畎畃界畂 的完全性证明推广到多模态情形时，会
引出新的技术上的困难，其中的证明过程比畎畃界畂 的情形复杂很多。不像定义
圳圮圲圮圱 中的其他公理系统，畎畃界畂 的完全性证明不能简单地推广到多模态情形。
4.1 语言和语义
首先，引入多模态非偶然逻辑的语言和语义。
定义4.1.1 在逻辑语言CMLm,NCLm,MLm圩.令P是可数多个命题变元的集合，
Ag 是一个有穷的集合1，多模态非偶然逻辑的语言CMLm被定义为：
ϕ场场圽 甾 番 p番 町ϕ番在ϕ畞ϕ圩番圁iϕ番2iϕ
其中p甲P, i 甲Ag。如果不考虑形如2iϕ的公式，就得到多模态的非偶然逻
辑语言NCLm；如果不考虑形如圁iϕ的公式，就得到多模态的模态逻辑语言
MLm。称ϕ是一个 NCLm-公式，如果ϕ甲NCLm；称ϕ是一个 MLm-公式，如
果ϕ甲MLm。
下文主要集中于语言NCLm，即以圁i在i甲Ag圩作为唯一一类初始模态词的
逻辑语言。
1这里，“Ag 是有穷的”这个假设对于下面畎畃界畂m的完全性证明是很关键的，本章结尾将对这一假设
进行解释。
坻 圶圳 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
直观上，可以把集合Ag 看成有限多个主体的集合，这些主体对于命题的必
然性和偶然性有不同的看法2。因此，公式2iϕ的意思是“对于主体i来说，ϕ是
必然的”，而公式圁iϕ的意思是“对于i来说，ϕ是非偶然的”，也就是说，“对于
i来说，ϕ必然是真的，或者必然是假的。”在信念逻辑的语境中（畋畄圴圵），2iϕ
和圁iϕ分别意为“主体i相信ϕ”和“主体i对于ϕ是否成立有自己的观点”；在
认知逻辑的语境中（畓圵），2iϕ和圁iϕ分别意为“主体i知道ϕ为真”和“主体
i知道是否ϕ”（换句话说，i知道ϕ为真，或者i知道ϕ为假）。不过，我们不把
语言限制在认知或信念语境中。如常，把甿圬 在ϕ畟ψ圩圬 在ϕ甡ψ圩圬 在ϕ甤ψ圩圬 畲iϕ分
别缩写定义为 町甾圬町在町ϕ畞 町ψ圩圬 在町ϕ畟ψ圩圬 在在ϕ甡ψ圩畞在ψ甡ϕ圩圩圬 町圁iϕ。直观上，
畲iϕ被读作“对于主体i来说，ϕ是偶然的”。注意，尽管畲i是被定义成圁iϕ的
否定而非对偶，但从下面畲i的语义可以看出，畲iϕ甤 畲i町ϕ是有效式，因此畲i
实际上也是圁i的对偶。
定义4.1.2 在模型圩.一个模型畍是一个三元组畨S, 畦Ri番i甲Ag畧, V 畩，其中S非
空，被称为“可能世界集”，每个Ri都是S上的二元关系，V是一个赋值函数，
它给每个命题变元p甲P指派一集可能世界V在p圩甒S。任给s甲S，在畍, s圩被称
为一个点模型。一个框架畆是一个有序对畨S, 畦Ri番i甲Ag畧畩，也就是不考虑赋值
的模型。称模型畍（或框架畆）是对称的，如果每个Ri在i甲Ag圩是对称的；换
句话说，对于任意i甲Ag，任给s, t 甲S，如果sRit，则tRis。
定义4.1.3 在语义圩.给定模型畍圽畨S, 畦Ri番i甲Ag畧, V 畩，CML 的语义被定义如
下：
畍, s 甾 甬 恒成立
畍, s p甬s甲V在p圩
畍, s 町ϕ甬 畍, s 甲ϕ
畍, s ϕ畞ψ甬 畍, s ϕ且畍, s ψ
畍, s 圁iϕ甬任给t1, t2，如果sRit1, sRit2，
则在畍, t1ϕ甬 畍, t2ϕ圩
畍, s 2iϕ甬任给t，如果sRit，则畍, t ϕ
真、有效性、可满足性，以及圁-等价等概念如同定义1.1.3。
2例如，对于范·本特姆本人来说，范·本特姆刻画定理（见定理A.0.5）是必然的；但是对于外行来说，
他们很可能认为范·本特姆刻画定理只是偶然的。
坻 圶圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圴圮圲 几乎可定义模式
直观上，圁iϕ在s上为真，当且仅当，在主体i在可能世界s中认为可能的
所有世界中，ϕ都有同样的真值。
上述定义中 圁i的情形可以被等价地写成：
畍, s 圁iϕ甬任给t，如果sRit，则畍, t ϕ，或者，
任给t，如果sRit，则畍, t 町ϕ。
根据语义，不难证明：圁iϕ甤圁i町ϕ且圁iϕ甤2iϕ畟2i町ϕ。
同于（单模态）非偶然逻辑的情形一样，多模态的非偶然逻辑也不是正规模
态逻辑，因为圁i在ϕ甡ψ圩甡在圁iϕ甡圁iψ圩不是有效式。
4.2 几乎可定义模式
非偶然逻辑的“几乎可定义模式”AD 可以推广到多模态的情形。这里我们
运用一种稍微不同于命题圱圮圳圮圲 的证明方法。
命题4.2.1. 令ϕ, χ 甲NCLm, i 甲Ag。则畲iχ甡在2iϕ甤圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩圩。
证明.任给在畍, s圩，假定畍, s 畲iχ。需要证明：畍, s 2iϕ甤圁iϕ畞圁i在χ甡
ϕ圩。
首先，假设畍, s 2iϕ。据语义定义，任给t使得sRit，有畍, t ϕ（也
就有tχ甡ϕ）。因此畍, s 圁iϕ以及畍, s 圁i在χ甡ϕ圩，从而畍, s 
圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩。
反之，设畍, s 圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩。从假定可以得出，存在t1, t2使得
sRit1, sRit2且t1χ且t2町χ。显然有t2χ甡ϕ。据这个，sRit1, sRit2以
及s圁i在χ甡ϕ圩，有t1χ甡ϕ，进而t1ϕ。于是，任给t使得sRit，据
畍, s 圁iϕ，t1ϕ以及sRit1，有畍, t ϕ。从而畍, s 2iϕ。
命题圴圮圲圮圱 是非常重要的。前面的许多结果可以被推广到多模态情形，比如：
非偶然逻辑的互模拟概念，公理圁T和公理圁B的获得，典范关系Rc。
然而，公理系统畎畃界畂 的完全性证明不能直接推广到多模态情形。下文主
要致力于多模态的畎畃界畂 的完全性证明。不妨将系统畎畃界畂 的多模态版本记为
畎畃界畂m。为了方便参考，畎畃界畂m被表述如下。
坻 圶圵 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
定义4.2.2 在证明系统畎畃界畂m圩.证明系统畎畃界畂m由下列公理模式和初始规则组
成：3
TAUT 命题重言式的所有特例
圁Con 圁i在χ甡ϕ圩畞圁i在町χ甡ϕ圩甡圁iϕ
圁Dis 圁iϕ甡圁i在ϕ甡ψ圩畟圁i在町ϕ甡χ圩
圁Equ 圁iϕ甤圁i町ϕ
圁Bϕ甡圁i在在圁iϕ畞圁i在ϕ甡ψ圩畞 町圁iψ圩甡χ圩
MP ϕ, ϕ 甡ψ
ψ
RE圁ϕ甤ψ
圁iϕ甤圁iψ
我们把系统畎畃界畂m甀圁B圫GEN圁（GEN圁是指规则ϕ
圁iϕ）所得到的系统记为
畎畃界m。
4.3 系统畎畃界畂m的完全性
本节证明系统畎畃界畂m的完全性。我们采用典范模型构建的方法，其中关键
的是定义一个合适的典范模型。如果我们采用定义圳圮圱圮圶 的多主体版本，即
定义4.3.1. 模型畍c圽畨Sc,畦Rc
i番i甲Ag畧, V c畩被定义如下：
甏Sc圽畦s番s是极大畎畃界畂m-一致集畧
甏任给s, t 甲Sc，任给i甲Ag，sRc
it，当且仅当，存在ψ使得
–町圁iψ甲s，且
–任给ϕ，若圁iϕ畞圁i在ψ甡ϕ圩甲s，则ϕ甲t。
甏Vc在p圩 圽 畦s甲Sc番p甲s畧.
回顾引理圳圮圱圮圸。在多模态情形下，由定义圴圮圳圮圱，同理可证：
引理4.3.2. 任给ϕ甲NCLm，任给s甲 畍c，都有
畍c, s ϕ用甩 ϕ甲s.
3这里滥用了之前公理和规则的记法，但这应该不会带来阅读上的困难。
坻 圶圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圴圮圳 系统畎畃界畂畭的完全性
因此，要证明畎畃界畂m的完全性，只需证明定义圴圮圳圮圱 中的畍c是对称的，即
证：每个Rc
i都是对称的。
然而，下列命题表明，定义圴圮圳圮圱 中的每个Rc
i只是几乎对称的，而不是对称
的。
命题4.3.3. 任给s, t 甲Sc，任给i甲Ag，若sRc
it，且存在t0甲Sc使得tRc
it0，则
tRc
is。4
证明.假定sRc
it且存在t0甲Sc使得tRc
it0（因此对某个χ有町圁iχ甲t），要证tRc
is圮
假设不然，则存在ϕ使得圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩甲t且ϕ /甲s，后者即町ϕ甲s。由于
sRc
it，据定义，存在ψ使得町圁iψ甲s且在?圩场 任给θ，若圁iθ畞圁i在ψ甡θ圩甲s，
则θ甲t。由町ϕ甲s、公理圁B以及定理w圁B，可得：圁i在圁i町ϕ畞圁i在町ϕ甡
町χ圩畞 町圁i町χ甡 町ψ圩甲s以及圁i在圁i町ϕ畞圁i在町ϕ甡 町χ圩畞 町圁i町χ圩甲s。由公理
圁Equ 和规则RE圁，有圁i在圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩畞町圁iχ圩畞圁i在圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩畞町圁iχ甡
町ψ圩甲s，进而可以证得圁i町在圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩畞町圁iχ圩畞圁i在ψ甡 町在圁iϕ畞圁i在χ甡
ϕ圩畞 町圁iχ圩圩 甲s。据在?圩，有町在圁iϕ畞圁i在χ甡ϕ圩畞 町圁iχ圩甲t，矛盾。
再次回顾定义圳圮圳圮圲，可以类似地定义相对于主体i（其中i甲Ag）的终点，
即相对于关系Ri只有前驱而没有后继的那些世界。在单模态（单主体）情形下，
由于只有一个主体，所以在处理终点时不需要考虑不同主体的因素。然而，在多
主体情形下，我们需要考虑不同的主体，此时终点是相对于主体而言的，相对于
主体i的终点并不一定是相对于主体j的终点。
比如，在下面的例子中，由于t只有相对于R2的前驱s，却没有相对于R2
的后继，因此t是相对于主体圲的终点。然而，t不是相对于主体圱的终点，因为
t有相对于R1的后继u。
s
1,2

t1//u
这导致了畎畃界畂 在单模态情形下的典范模型不能简单地推广到多模态情形。
4注意该命题不同于但等价于命题3.3.3 的多模态版本，这点可通过运用Rc
i的定义和引理3.1.8 中的
“=⇒”。具体细节可见附录C中的命题C.0.12。
坻 圶圷 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
因此我们需要一种新的策略，来把畍c转换成一个对称模型，同时不改变公式的
真值。
回顾畎畃界畂 的完全性证明（见圳圮圳 节），那里采用了副本和对称闭包相结合的
证明方法。这里，副本和对称闭包的思想继续被使用。但此时的困难在于，如何
连接非终点和副本的可通达关系，以及副本之间的可通达关系，以保证相对于所
有主体的可通达关系都是对称的，而且所有NCLm圭公式的真值被保持。
我们采用如下策略：由于主体集Ag 是有穷的，可以枚举出Ag 中的元素为
圱,圲,圳,甁 甁 甁 , m。起始于畍0圽畍c（不妨假设畍c不能再用命题圴圮圳圮圳），我们用m
步构建所求的模型畍m。其中在每一步（比如说，第i步），通过运用副本，我
们处理对应于那一步（相应地，第i步）的终点，即在前一步（相应地，第i甀圱
步）相对于该主体（相应地，主体i）只有前驱而没有后继的那些状态，使得每
个副本只有一个相对于那个主体（相应地，主体i）的前驱，然后增加相对于那
个主体（相应地，主体i）的逆箭头（即增加相对于那个主体的可通达关系的对
称闭包），而保持其他主体的可通达关系不变，除了用副本对终点进行相应的替
换。我们得保证，在每一步相对于那个主体的可通达关系是对称的，同时不破坏
之前的对称关系，这保证了畍m是对称的。而且，所有NCLm圭公式的真值在每
一步都被保持。
在给出畎畃界畂m的典范模型的形式 定义前，先引入一 些 有用的记法。令
畍n圽畨Sn,畦Rn
i番i甲Ag畧, V n畩，其中畍n是畍0圽畍c在第n步构造后所得的
模型，Rn
i（其中n和i可以相同）是指在第n步主体i的可通达关系。除非特别
提及，我们一般都假设n在区间坛地, m坝上取值，而i在区间坛圱, m坝上取值。定义
Dn圽畦t番t甲Sn−1,存在s甲Sn−1使得sRn−1
nt, 且不存在t0甲Sn−1使得tRn−1
nt0畧5，
即在畍n−1中相对于主体n的那些终点的集合。同时令Dn圽Sn−1畮Dn。为了方
便起见，我们把圁iϕ在在畍n, s圩中的语义定义改述如下：
畍n, s 圁iϕ甬任给t1, t2甲Sn,若sRn
it1, sRn
it2,则t1ϕ当且仅当t2ϕ.
直观上，公式圁iϕ在第n步模型畍n的可能世界s中为真，当且仅当，在第n
步，主体i在s中认为可能的所有世界中，ϕ都有同样的真值。
5注意定义4.3.4 不需要用到D0或D0，也就不会出现R−1
0，所以假设n在区间[0, m]上取值是合理的。
同时，因为定义4.3.4 要用到M0，所以必须假设n∈[0, m]而不是n∈[1, m]。
坻 圶圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圴圮圳 系统畎畃界畂畭的完全性
下面是畎畃界畂m典范模型的定义。在理解这个复杂的定义之前，建议读者们
先理解该定义后面给出的一个例子。
定义4.3.4 在畎畃界畂m的典范模型圩.畎畃界畂m的典范模型畍m是畨Sm,畦Rm
i番i甲
Ag畧, fm, V m畩，通过施归纳于地甔n甔m定义如下：
甏 畍0圽畍c，即S0圽Sc, R0
i圽Rc
i, V 0在p圩 圽 畦s甲Sc番p甲s畧.
对于n > 地，
甏Sn圽Dn畛 畦在s, t圩番t甲Dn, sRn−1
nt畧.
甏sRn
nt当且仅当下列情况之一成立：
1. s, t 甲Dn且sRn−1
nt,
2. s甲Dn且t圽 在s, s0圩甲Sn,
3. t甲Dn且s圽 在t, t0圩甲Sn.
甏对于i甶圽n，sRn
it当且仅当下列情况之一成立：
1. s, t 甲Dn且sRn−1
it,
2. s甲Dn且t圽 在s00, s0圩甲Sn且sRn−1
is0,
3. t甲Dn且s圽 在t00, t0圩甲Sn且t0Rn−1
it,
4. s圽 在w, v圩甲Sn且t圽 在w0, v0圩甲Sn且vRn−1
iv0.
甏fn是从Sn到Sn−1的函数，使得fn在s圩 圽 s对于s甲Dn成立，fn在在s, t圩圩 圽 t
对于在s, t圩甲Sn成立。
甏Vn在p圩 圽 畦s甲Sn番fn在s圩甲Vn−1在p圩畧.
上述定义是一个递归定义。由于我们的目标是要把非对称模型畍c转化为一
个对称模型，我们就从畍c出发，于是就把初始模型畍0（即第地步构造的模型）
定义成畍c（畍c见定义圴圮圳圮圱）。然后在第圱步将畍0转化为畍1，如下：利用S0
和在第地步主体圱的可通达关系R0
1可以得到畍0中相对于主体圱的终点（即D1
中的元素）和非终点（即D1中的元素）（见前面Dn和Dn的定义），并用相应的
副本对这些终点进行替换，然后把这些副本和那些非终点合到一起，构成S1；再
由S1, R0
1, D1定义R1
1（即在第圱步主体圱的可通达关系），由S1, R0
i（即在第地步
其他主体的可通达关系）和D1定义R1
i（即在第圱步其他主体的可通达关系），而
根据S0, S1和D1定义f1，再由f1和V0定义V1，由此得到第圱步构造后的模型
畍1。简而言之，用畍0中的成分来构造畍1。我们还可以从 畍1中的成分构造
出畍2，从畍2中的成分构造出畍3，以此类推，最后从畍m−1中的成分构造出
坻 圶圹 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
畍m。
这里最难理解的是可通达关系Rn
i的定义。之所以在定义Rn
i时要区分i圽n
和i甶圽n，是因为根据我们的策略，在第n步对主体n的处理和对其他主体的处
理是不一样的：我们要保证的是，在第n步，相对于主体n的可通达关系，即
Rn
n是对称的，因此这一处理类似于单主体情形（见定义圳圮圳圮圴），先找到在上一步
模型畍n−1中相对于主体n的终点，然后让这些终点分别被它们的副本取代，以
保证每个副本有且仅有一个相对于可通达关系Rn
n的前驱，然后增加这一关系的
对称闭包，以保证Rn
n是对称的；而另一方面，对于其他主体，我们要保证他们
的可通达关系不变，除了用副本对终点进行相应的替换。另外，对于可通达关系
定义中的几种情况，情形圱都是容易理解的，它说的是前一步的非终点之间的可
通达关系仍然保留在这一步中（因为我们只需对终点进行处理），情形圲和情形圳
处理的是非终点和（终点的）副本之间的可通达关系，而情形圴处理的是副本之
间的可通达关系，大意是：如果前一步（比如，第n甀圱步）的终点之间有Ri关
系，那么在这一步（相应地，第n步）这些终点的副本之间仍有Ri关系。
为了帮助理解定义圴圮圳圮圴，下面给出一个具体的例子。
畳
由画甲

由

畳
甲
由
xx
由
##
畴 畵
甲
oo畓畴略異 由
甩在畳画 畴圩
88
在畳画 畵圩
甲
oo
cc
在畳画 在畳画 畴圩圩 由画甲//畳
oo
由
yy
由

畓畴略異 甲
甩在在畳画 畵圩画在畳画 畴圩圩
99
//在畳画 畵圩
甲
oo
OO
上面的模型序列畍0在圽 畍c圩,畍1,畍2（依顺序），例示了如何通过两步将一
个非对称模型畍0转换为一个对称模型畍2。在第圱步（即坓坴坥坰 圱），我们处理
相对于主体圱的终点。不难发现，在畍0中相对于主体圱的终点只有t和u，而
且sR0
1t, sR0
1u，因此畍0中的t和u分别被畍1中的在s, t圩,在s, u圩替换，使得每个
副本有且仅有一个相对于主体圱的前驱，然后增加相对于主体圱的逆箭头（即增
加可通达关系R1
1的对称闭包），以保证R1
1的对称性。同时，对于其他主体（该
坻 圷地 坻

北京大学博士研究生学位论文圴圮圳 系统畎畃界畂畭的完全性
情况下即主体圲）的所有可通达关系都不变，除了终点被相应的副本所替换。第
圲步（即坓坴坥坰 圲）的分析类似，新的部分是，R1
1（即第圱步主体圱的可通达关系）
的对称性在第圲步被保持，也就是说，R2
1（即第圲步主体圱的可通达关系）仍是
对称的。这样，我们就得到对称模型畍2。
函数fn+1 具有一些很好的性质。
命题4.3.5 在满射圩.任给n甲坛地, m 甀圱坝，fn+1 是满射。
证明.令n甲坛地, m 甀圱坝。任给t甲Sn，需证明：存在u甲Sn+1 使得fn+1在u圩 圽 t。
为此，考虑两种情况。
如果t甲Dn+1，则据定义，fn+1在t圩 圽 t且t甲Sn+1；如果t甲Dn+1，
则据Dn+1 的定义，存在s甲Sn使得sRn
n+1t，因此有在s, t圩甲Sn+1，进而有
fn+1在在s, t圩圩 圽 t。
两种情况下都有：存在u甲Sn+1 使得fn+1在u圩 圽 t，从而命题得证。
命题4.3.6 在保持性圩.令n甲坛地, m 甀圱坝。任给s, t 甲Sn+1 ，如果fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩，
则
1. 如果i甶圽n圫 圱，则sRn+1
it；
2. 如果i圽n圫 圱，则存在t0甲Sn+1 使得sRn+1
it0且fn+1在t0圩 圽 fn+1 在t圩。
证明.令n甲坛地, m 甀圱坝。假定fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。
对于圱，假设i甶圽n圫 圱。据定义，考虑如下四种情形：
甏s, t 甲Dn+1。此时fn+1在s圩 圽 s且fn+1在t圩 圽 t。据假定，有sRn
it。因此
sRn+1
it。
甏s甲Dn+1 且t /甲Dn+1。则t圽 在s00, s0圩甲Sn+1。此时据fn+1 的定义，有
fn+1在s圩 圽 s且fn+1 在t圩 圽 fn+1在在s00, s0圩圩 圽 s0。据假定，有sRn
is0。因此
sRn+1
it。
甏s /甲Dn+1 且t甲Dn+1。则s圽 在t00, t0圩甲Sn+1。此时据fn+1 的定义，有
fn+1在s圩 圽 fn+1 在在t00, t0圩圩 圽 t0且fn+1 在t圩 圽 t。据假定，有t0Rn
it。因此sRn+1
it。
甏s, t /甲Dn+1。则s圽 在w, v圩甲Sn+1 且t圽 在w0, v0圩甲Sn+1。此时据fn+1 的定
义，有fn+1在s圩 圽 fn+1 在在w, v圩圩 圽 v且fn+1 在t圩 圽 fn+1在在w0, v0圩圩 圽 v0。据假定，
有vRn
iv0。因此sRn+1
it。
坻 圷圱 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
对于圲，假设i圽n圫 圱。类似于圱的证明，考虑四种情形。情形圱类似于前
面的情形圱。情形圳和情形圴会导致矛盾。只需要考虑情形圲，即s甲Dn+1 且
t /甲Dn+1。令fn+1在t圩 圽 u。因为u甲Sn，考虑两种子情形：
甏u甲Dn+1。据Rn+1
n+1 的定义，可得sRn+1
iu；据fn+1 的定义，有fn+1在u圩 圽
u圽fn+1在t圩；据Sn+1 的定义，有u甲Sn+1。
甏u甲Dn+1。则由于fn+1在s圩 圽 s和假定，有sRn
iu，进而据假设，有在s, u圩甲
Sn+1。同时，据Rn+1
n+1 的定义，可得sRn+1
i在s, u圩；据fn+1 的定义，有fn+1在在s, u圩圩 圽
u圽fn+1在t圩。
两种子情形下都有：存在t0甲Sn+1 使得sRn+1
it0且fn+1在t0圩 圽 fn+1 在t圩。从而命题
得证。
注意，上述命题中的结论圱和圲不能合并为“sRn+1
it”，一个反例是前面
的模型序列畍0甀 畍2。一方面，易证f2在s圩 圽 s且f2在在在s, u圩,在s, t圩圩圩 圽 在s, t圩且
sR1
2在s, t圩，因此f2在s圩R1
2f2在在在s, u圩,在s, t圩圩圩。但另一方面，易见sR2
2在在s, u圩,在s, t圩圩 不
成立。而且，它们也不能合并为更弱的结论“存在t0甲Sn+1 使得sRn+1
it0且
fn+1在t0圩 圽 fn+1 在t圩。”，因为结论圱在下面会被用到。
命题4.3.7 在“没有奇迹”（坮坯 坭坩坲坡坣坬坥）圩.令n甲坛地, m 甀圱坝。任给s, t 甲Sn+1。
1. 如果i甶圽n圫 圱，则sRn+1
it蕴涵fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩；
2. 如果i圽n圫 圱 且s甲Dn+1，则sRn+1
it蕴涵fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。
证明.令n甲坛地, m 甀圱坝。对于圱，假设i甶圽n圫 圱 且sRn+1
it。据定义，考虑如下四
种情况：
甏s, t 甲Dn+1 且sRn
it。据fn+1 的定义，有fn+1在s圩 圽 s且fn+1 在t圩 圽 t，因此
fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。
甏s甲Dn+1, t 圽 在s00 , s0圩甲Sn+1 且sRn
is0。据fn+1 的定义，有fn+1在s圩 圽 s且
fn+1在t圩 圽 s0，因此fn+1 在s圩Rn
ifn+1在t圩。
甏t甲Dn+1, s 圽 在t00, t0圩甲Sn+1 且t0Rn
it。据fn+1 的定义，有fn+1在s圩 圽 t0且
fn+1在t圩 圽 t，因此fn+1 在s圩Rn
ifn+1在t圩。
甏s圽 在w, v圩甲Sn+1 且t圽 在w0, v0圩甲Sn+1 且vRn
iv0。据fn+1 的定义，有
fn+1在s圩 圽 v且fn+1 在t圩 圽 v0，因此fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。
四种情况都有fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩，从而圱得证。
坻 圷圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圴圮圳 系统畎畃界畂畭的完全性
对于圲，假设i圽n圫 圱 且s甲Dn+1 且sRn+1
it，则fn+1在s圩 圽 s。据定义，考
虑如下两种情况：
甏t甲Dn+1 且sRn
it。据fn+1 的定义，有fn+1在t圩 圽 t，因此fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。
甏t圽 在s, s0圩甲Sn+1。此时有sRn
is0。据fn+1 的定义，有fn+1在t圩 圽 s0，因此
fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。
两种情况都有fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩，从而圲得证。
注意，命题圴圮圳圮圷圮圲 中的条件“s甲Dn+1”是必不可少的。例如，再次考虑
之前的模型序列畍0甀 畍2。不难发现在s, 在s, t圩圩 /甲D2，在s, 在s, t圩圩R2
2s但并没有
在s, t圩R1
2s，后者即f2在在s, 在s, t圩圩圩R1
2f2在s圩。
下列命题表明，Rn
i是几乎对称的。
命题4.3.8. 令n甲坛地, m坝, i 甲坛圱, m坝。如果s, t 甲Sn, sRn
it且存在t0甲Sn使得
tRn
it0，则tRn
is。
证明.对n作归纳。基始情形由命题圴圮圳圮圳 立得。归纳假设命题对n圽k时成立，
考虑n圽k圫 圱：假定s, t 甲Sk+1, sRk+1
it且存在t0甲Sk+1 使得tRk+1
it0，要证明
tRk+1
is。
如果i圽k圫 圱，据定义，考虑如下三种情况：
甏s, t 甲Dk+1。据命题圴圮圳圮圷圮圲，得fk+1在s圩Rk
ifk+1在t圩Rk
ifk+1在t0圩。据归纳假设，
有fk+1在t圩Rk
ifk+1在s圩，即tRk
is，因此tRk+1
is。
甏s甲Dk+1 且t圽 在s, s0圩甲Sk+1。据Rk+1
k+1 定义的第三种情形，得tRk+1
is。
甏t甲Dk+1 且s圽 在t, t0圩甲Sk+1。据Rk+1
k+1 定义的第二种情形，得tRk+1
is。
如果i甶圽k圫 圱，则据命题圴圮圳圮圷圮圱，有fk+1在s圩Rk
ifk+1在t圩Rk
ifk+1在t0圩。进而由归纳假
设，有fk+1在t圩Rk
ifk+1在s圩。最后由命题圴圮圳圮圶圮圱，得tRk+1
is。
有了上述铺垫后，下面着手证明典范模型畍m确实是对称的：在第m步构
造后，所有的可通达关系Rm
i都是对称的。
命题4.3.9. 畍m是对称的，也就是说，任给i甲坛圱, m坝，Rm
i都是对称的。
证明分两部分：首先，任给n甲坛圱, m坝，在第n步构造后，可通达关系Rn是
对称的；其次，对称性在构造的每一步都被保持。
引理4.3.10. 任给n甲坛圱, m坝，Rn
n是对称的。
坻 圷圳 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
证明.任给n甲坛圱, m坝，任给s, t 甲Sn，假设sRn
nt，要证tRn
ns。
由假设和Rn
n的定义，考虑下述三种情况：
甏s, t 甲Dn且sRn−1
nt。由t甲Sn−1和t甲Dn，得t /甲Dn。据Dn的定义，存
在t0甲Sn−1使得tRn−1
nt0。进而由命题圴圮圳圮圸，有tRn−1
ns。由Rn
n定义的第一
种情况，有tRn
ns。
甏s甲Dn且t圽 在s, s0圩甲Sn。由Rn
n定义的第三种情况，得tRn
ns。
甏t甲Dn且s圽 在t, t0圩甲Sn。由Rn
n定义的第二种情况，得tRn
ns。
引理4.3.11. 任给n甲坛地, m 甀圱坝，若Rn
i是对称的，则Rn+1
i也是对称的。
证明.任给n甲坛地, m 甀圱坝。假设Rn
i是对称的。任给s, t 甲Sn+1 使得sRn+1
it，要
证tRn+1
is。如果i圽n圫 圱，则据引理圴圮圳圮圱地，立得tRn+1
is。如果i甶圽n圫 圱，则由
命题圴圮圳圮圷圮圱，得fn+1在s圩Rn
ifn+1在t圩。据这个和假设，fn+1在t圩Rn
ifn+1在s圩。进而由命
题圴圮圳圮圶圮圱，得tRn+1
is。得证。
由此我们完成了命题圴圮圳圮圹 的证明。接下来，我们证明：所有NCLm圭公式的
真值在构造的每一步都被保持。
命题4.3.12. 任给n甲坛地, m 甀圱坝，任给s甲Sn+1 ，任给ϕ甲NCLm，都有
畍n+1, s ϕ用甩 畍n, fn+1在s圩ϕ.
证明.任给s甲Sn+1。对ϕ的结构作归纳。只需考虑ϕ圽p甲P和ϕ圽 圁iψ的情
形。
甏ϕ圽p甲P。由Vn的定义，有畍n+1, s p用甩 s甲Vn+1在p圩用甩 fn+1在s圩甲
Vn在p圩用甩 畍n, f n+1在s圩p。
甏ϕ圽 圁iψ。需证畍n+1, s 甲圁iψ用甩 畍n, f n+1在s圩甲圁iψ。
“圽甩场”假设畍n+1 , s 甲圁iψ，要证畍n, f n+1在s圩甲圁iψ。由假设，存在
t1, t2甲Sn+1 使得sRn+1
it1, sRn+1
it2且t1ψ且t2甲ψ。如果i圽n圫 圱，则
s甲Dn+1，因为否则根据Rn+1
n+1 的定义可得s圽 在t1, t0
1圩 圽 在t2, t0
2圩，从而导
致t1圽t2，矛盾。由于i圽n圫 圱 且s甲Dn+1，运用命题圴圮圳圮圷 的圲，可
得fn+1在s圩Rn
ifn+1在t1圩且fn+1 在s圩Rn
ifn+1在t2圩。如果i甶圽n圫 圱，则由命题圴圮圳圮圷
坻 圷圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圴圮圳 系统畎畃界畂畭的完全性
的圱，也可得fn+1在s圩Rn
ifn+1在t1圩且fn+1 在s圩Rn
ifn+1在t2圩。两种情况下都有：
fn+1在s圩Rn
ifn+1在t1圩且fn+1 在s圩Rn
ifn+1在t2圩。而且，据t1ψ且t2甲ψ和归纳
假设，分别得fn+1在t1圩ψ且fn+1 在t2圩甲ψ。从而有畍n, f n+1在s圩甲圁iψ。
“圽甩场”假设畍n, f n+1在s圩甲圁iψ，要证畍n+1 , s 甲圁iψ。由假设，存在
u1, u2甲Sn使得fn+1在s圩Rn
iu1, f n+1在s圩Rn
iu2且u1ψ且u2甲ψ。由命题圴圮圳圮圵，
存在t1, t2甲Sn+1 使得u1圽fn+1在t1圩且u2圽fn+1 在t2圩。则fn+1在s圩Rn
ifn+1在t1圩
且fn+1在s圩Rn
ifn+1在t2圩且fn+1 在t1圩ψ且fn+1在t2圩甲ψ。由fn+1在s圩Rn
ifn+1在t1圩，
运用命题圴圮圳圮圶，无论i甶圽n圫 圱 还是i圽n圫 圱，都有：存在t0
1甲Sn+1 使
得sRn+1
it0
1且fn+1在t0
1圩 圽 fn+1在t1圩。同理，从fn+1在s圩Rn
ifn+1在t2圩可得：存在
t0
2甲Sn+1 使得sRn+1
it0
2且fn+1在t0
2圩 圽 fn+1在t2圩。据归纳假设和fn+1在t0
1圩ψ
且fn+1在t0
2圩甲ψ，分别有t0
1ψ且t0
2甲ψ。从而有畍n+1, s 甲圁iψ。
定义f圽f1甎 甁 甁 甁 甎 fm。据命题圴圮圳圮圵，易知f是从Sm到S0的满射。据引理
圴圮圳圮圲 和命题圴圮圳圮圱圲，有
引理4.3.13. 任给s甲Sm，任给ϕ甲NCLm，都有畍m, s ϕ用甩 ϕ甲f在s圩。
由于每个u甲Sc圽S0都是某个s甲Sm在f下的像。因此，每个畎畃界畂m
极大一致集都在畍m中可满足。又因为畍m是对称的（命题圴圮圳圮圹），因此每个
畎畃界畂m极大一致集都在某个对称模型中可满足。于是，我们就有下面的完全性
结果。
定理4.3.14 在畎畃界畂m的可靠性和强完全性圩.畎畃界畂m相对于所有对称框架的类是
可靠和强完全的。
这就完成了畎畃界畂m的完全性证明。回顾在定义圴圮圱圮圱 中，我们假设集合Ag
是有穷的。这是因为，在畎畃界畂m的典范模型构造中，我们是通过递归的方法
在有穷多步内一步一步构造出所求的典范模型的，每一步处理一个主体的终点；
如果Ag 被放宽到无穷的话，那么按照当前的策略，我们需要无穷多步来完成
畎畃界畂m典范模型的构造，而且必须是通过逐步地构造来完成，而这是不可能的，
因为从定义圴圮圳圮圴 可以看出，在模型转换的每一步，通过用副本替换相应的终点，
可能世界集都是不断地在无规律的发生变化。此时当前的方法可能不适用。为了
坻 圷圵 坻

第四章多模态的非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
证明畎畃界畂m在这一无穷情形下的强完全性，我们可能需要新的方法。这一证明
被留作将来的工作。
坻 圷圶 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑
前面考虑的都是非偶然逻辑的静态情形。我们同样也可以考虑非偶然逻辑的
动态情形。比如说，在没有学逻辑之前，张三认为某一逻辑定理是偶然的，它可
能真也可能假；然而，在学了逻辑之后（通过自学或上课），张三发现该逻辑定理
是非偶然的，换句话说，对于张三来说，该逻辑定理是非偶然的。这表明，在做
了某个活动后，对于主体来说，命题从一开始的偶然变成了后来的非偶然。由于
涉及到多个主体，我们需要考虑多模态（多主体）的非偶然逻辑的动态情形。
在认知逻辑的语境下（畓圵），“ϕ是非偶然的”和“ϕ是偶然的”分别意为
“主体知道是否ϕ”和“主体对ϕ的真值无知”。此时，动态的考虑更为明显。一
开始，主体对ϕ的真值无知，即不确定ϕ是真还是假；在被告知ϕ或被告知町ϕ
后，主体就知道了ϕ是否为真。通过某个活动，主体的认知状态从原来的“对命
题无知”变成了后来的“知道是否该命题成立”。
“知道是否”的动态考虑在在坈坥坮坤坲坩坣坫坳圬 圲地圱地圩 中可以找到，但作 者并没有
给出公理刻画。本章致力于对非偶然逻辑进行动态化处理，提出几个公理化系
统，来刻画非偶然算子的变化，而将“知道是否”算子看成是非偶然算子在畓圵
情形下的特例。圵圮圱 节考虑公开宣告算子，圵圮圲 节考虑活动模型算子。这些处理与
在坐坬坡坺坡圬 圱圹圸圹圻 均坥坲坢坲坡坮坤坹 圦 均坲坯坥坮坥坶坥坬坤圬 圱圹圹圷圻 坂坡坬坴坡坧 et al.圬 圱圹圹圸圩 对信息变化的处
理是相一致的。
5.1 加入公开宣告算子
本节考虑多模态非偶然逻辑的公开宣告扩展。首先给出该逻辑的语言和语
义，然后提出一个完全的公理化系统，最后在“知道是否”的语境中，通过将可
通达关系限制到等价关系，给出泥孩迷题（坍坵坤坤坹 坃坨坩坬坤坲坥坮 坐坵坺坺坬坥）的一个案例
坻 圷圷 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
分析。
定义5.1.1 在语言NCLAm圩.带有公开宣告算子的多模态非偶然逻辑的语言
NCLAm是在NCLm的基础上加上形如坛ϕ坝ϕ的公式得到的，即
ϕ场场圽 甾 番 p番ϕ番ϕ畞ϕ番圁iϕ番坛ϕ坝ϕ
其中p甲P, i 甲Ag。
直观上，坛ϕ坝ψ的意思是“在每次真实地公开宣告ϕ之后，ψ成立”。
定义5.1.2 在NCLAm的语义圩.令畍圽畨S, 畦Ri番i甲Ag畧, V 畩是一模型，NCLAm
的语义定义如同定义1.1.3，除了下面新增的部分，而不需要考虑2iϕ的情形：
畍, s 坛ϕ坝ψ用甩 如果畍, s ϕ, 则畍番ϕ, s ψ.
其中畍番ϕ圽畨S0,畦R0
i番i甲Ag畧, V 0畩，满足：S0圽畦s甲S番 畍, s ϕ畧, R0
i圽
Ri畜在S0甂S0圩，且V0在p圩 圽 V在p圩畜S0。
与NCLm不同，NCLAm不在代入规则下封闭。例如，从下面的例子可以
看出，p甡坛q坝p是有效的，但町圁iq甡坛q坝町圁iq不是有效的，因为畍, s 甲町圁iq甡
坛q坝町圁iq。
q
畍场s场q
i
99
i
%%
!q
甩 畍0场s场qi//q
町q
这就是为什么我们对于前面的公理化系统畎畃界 以及下面的公理系统畎畃界畁m
都采用公理模式，而不采用“公理圫代入规则”的描述方式的原因。
下面是公理系统畎畃界畁m的定义。
坻 圷圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圵圮圱 加入公开宣告算子
定义5.1.3 在证明系统畎畃界畁m圩.证明系统畎畃界畁m是畎畃界m加上如下公理模式所
得到的扩充系统1：
!TOP 坛ϕ坝甾甤甾
!ATOM 坛ϕ坝p甤在ϕ甡p圩
!NEG 坛ϕ坝町ψ甤在ϕ甡 町坛ϕ坝ψ圩
!CON 坛ϕ坝在ψ畞χ圩甤在坛ϕ坝ψ畞坛ϕ坝χ圩
!COM 坛ϕ坝坛ψ坝χ甤坛ϕ畞坛ϕ坝ψ坝χ
!圁 坛ϕ坝圁iψ甤在ϕ甡在圁i坛ϕ坝ψ畟圁i坛ϕ坝町ψ圩圩
命题5.1.4 在畎畃界畁m的可靠性圩.畎畃界畁m相对于所有框架的类是可靠的。
证明.由畎畃界m的可靠性（证明类似于命题圳圮圱圮圲），我们只需证明公理!圁的有
效性，即坛ϕ坝圁iψ甤在ϕ甡在圁i坛ϕ坝ψ畟圁i坛ϕ坝町ψ圩圩。任给模型畍圽畨S, 畦Ri番i甲
Ag畧, V 畩以及s甲S。
先假设畍, s 坛ϕ坝圁iψ，需证畍, s ϕ甡在圁i坛ϕ坝ψ畟圁i坛ϕ坝町ψ圩。运用反证
法，假定畍, s ϕ且畍, s 甲圁i坛ϕ坝ψ畟圁i坛ϕ坝町ψ，我们想推出矛盾。由假定，
畍, s 甲圁i坛ϕ坝ψ且畍, s 甲圁i坛ϕ坝町ψ。据前者，存在t1, t2甲S使得sRit1, sRit2且
t1坛ϕ坝ψ且t2甲坛ϕ坝ψ；据后者，存在u1, u2甲S使得sRiu1, sRiu2且u1坛ϕ坝町ψ
且u2甲坛ϕ坝町ψ。由畍, t2甲坛ϕ坝ψ有畍, t2ϕ且畍番ϕ, t2甲ψ；由畍, u2甲坛ϕ坝町ψ有
畍, u2ϕ且畍番ϕ, u2甲町ψ，即畍番ϕ, u2ψ。由于s甲 畍番ϕ, t2甲 畍番ϕ和sRit2，
我们有sR0
it2，其中R0
i如同定义圵圮圱圮圲；同理可得sR0
iu2。另一方面，由假设和假
定畍, s ϕ，可得畍番ϕ, s 圁iψ，矛盾于sR0
it2, sR0
iu2和t2甲ψ且u2ψ。
反之，假设畍, s ϕ甡在圁i坛ϕ坝ψ畟圁i坛ϕ坝町ψ圩，需证畍, s 坛ϕ坝圁iψ。为此，假
定畍, s ϕ，要证畍番ϕ, s 圁iψ。据假设和假定，有畍, s 圁i坛ϕ坝ψ畟圁i坛ϕ坝町ψ。
如果畍, s 圁i坛ϕ坝ψ，则任给t甲S满足sRit都有畍, t 坛ϕ坝ψ，或者，任给t甲S
满足sRit都有畍, t 町坛ϕ坝ψ。在第一种情形下，由于sϕ，得：任给t满足
sR0
it都有畍番ϕ, t ψ；在第二种情形下，由于sϕ，得：任给t满足sR0
it都有
畍番ϕ, t 甲ψ。在任何子情形下，我们都有畍番ϕ, s 圁iψ。如果畍, s 圁i坛ϕ坝町ψ，
类似可得畍番ϕ, s 圁iψ。因此总有畍番ϕ, s 圁iψ，为所求。
1畎畃界m见定义4.2.2。
坻 圷圹 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
由于定义圵圮圱圮圳 中的归约公理，公理系统畎畃界畁m事实上给出了 一 个 从
NCLAm到NCLm的重写程序，因此NCLAm和NCLm具有相同的表达力。通
过定义一个合适的复杂度，我们可以把每个NCLAm公式重写成一个复杂度更低
的NCLm圭公式，并且这一重写会最终停止。由此，据畎畃界m的完全性，我们可
得畎畃界畁m的完全性。关于归约技巧，参考在坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨 et al.圬 圲地地圷圻 块坡坮坧 圦
坃坡坯圬 圲地圱圳圩。
定理5.1.5 在畎畃界畁m的强完全性圩.畎畃界畁m相对于所有框架的类都是强完全的。
由于公理系统畎畃界畁m给出了NCLAm到NCLm的一个翻译，而NCLm又
是可判定的（证明类似于命题圳圮圱圮圱地），因此NCLAm也是可判定的。
命题5.1.6 在NCLAm的可判定性圩.NCLAm是可判定的。
我们也可以在其它框架类上考虑NCLAm，其中最有趣的是畓圵圭框架的类。
注意，在其它框架类上，NCLAm和NCLm仍具有同样的表达力，因为我们的
归约公理是适用于任意框架的类的，它仍然允许每个NCLAm圭公式被等价地重写
为一个 NCLm圭公式。
命题5.1.7 在畎畃界畁畓圵m的完全性圩.定义系统畎畃界畁畓圵m为畎畃界畁m中增加公理
圁T的多主体版本和公理w圁圵 的多主体版本所得的扩展系统。畎畃界畁畓圵m相对于
所有畓圵-框架的类是可靠且强完全的。
“泥孩迷题”（坍坵坤坤坹 坃坨坩坬坤坲坥坮 坐坵坺坺坬坥）是动态认知逻辑（坄坹坮坡坭坩坣 坅坰坩坳坴坥坭坩坣
坌坯坧坩坣）中的一个著名迷题在坣坦圮 坥圮坧圮圬 坍坯坳坥坳 et al.圬 圱圹圸圶圩，它通常是运用命题知识
算子K来形式化处理。但是，事实上，我们只需要运用更弱的“知道是否”算子
圁，就能更简洁、更自然地形式化处理这一迷题。
例子5.1.8 在泥孩迷题圩.n个小孩在外面玩泥巴，被父亲叫回屋里。可以想象，这
些小孩子当中有些人额头上有泥巴。小孩子只能看见别人的额头，而看不见自己
的额头，并且每个人都知道这一点。假设这些都被小孩子们公共地知道，并且，
这些小孩子都是完美的推理者；同时假设父亲和小孩们都是诚实的。父亲对小孩
们说：“你们当中至少有一个人额头上有泥巴。”然后，父亲要求道：“请回答，知
不知道自己是否有泥巴”。如果n个小孩都回答“不知道”，那么父亲就继续重复
坻 圸地 坻

北京大学博士研究生学位论文圵圮圲 加入活动模型算子
这一要求。如果事实上k甔n个小孩有泥巴，那么，在父亲要求k次后，所有泥
孩都将异口同声地回答“知道”；并且，在泥孩回答完后，其他n甀k个小孩也都
将异口同声地回答“知道”。
令命题变元mi表示“i是有泥巴的”，令畍n表示有n个状态的泥孩模型，
且令 k是其中前k个小孩有泥巴的状态。下面的模型是n圽 圳 和k圽 圲 时的一个
例子。“至少有一个小孩是有泥巴的”这一宣告被形式化表示为Wn
i=1 mi，“没有
人知道他自己是不是有泥巴的”这一宣告被形式化为Vn
i=n町圁imi。我们能得到下
列有效式，其中任给ϕ，坛ϕ坝0ψ圽df ψ且坛ϕ坝n+1ψ圽df 坛ϕ坝坛ϕ坝nψ：
畍n, k 坛Wn
i=1 mi坝坛Vn
i=1 Oimi坝k−1町在Vn
i=1 Oimi圩
畍n, k 坛Wn
i=1 mi坝坛Vn
i=1 Oimi坝k−1在Vk
i=1 圁imi畞Vn
i=k+1 Oimi圩
畍n, k 坛Wn
i=1 mi坝坛Vn
i=1 Oimi坝k−1坛Vk
i=1 圁imi坝Vn
i=k+1 圁imi
地地地
地地圱
地圱地
地圱圱
圱地地
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
a
a
a
b
b b
c
c
c
c
a
b地地圱
地圱地
地圱圱
圱地地
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
a
a
b b
c
c
c
a
b
地圱圱
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
圱圱圱
a
b
c
圱圱圱
圱圱地
圱圱圱
5.2 加入活动模型算子
这节将带有公开宣告算子的多模态非偶然逻辑扩展到带有活动模型算子的多
模态非偶然逻辑。活动模型（坡坣坴坩坯坮 坭坯坤坥坬坳）是关于信息变化的一般形式，其研
究起始于坂坡坬坴坡坧 et al. 在圱圹圹圸圩。首先，我们给出这一逻辑的语言和语义，然后提出
一个完全的公理化系统，该系统显示这一逻辑和多模态非偶然逻辑在表达力上是
一样的。最后在“知道是否”的语境中，通过将可通达关系限制到等价关系，来
给出八卦协议（均坯坳坳坩坰 坐坲坯坴坯坣坯坬坳）的一个案例分析。我们将带有活动模型算子的
多模态非偶然逻辑的语言记为NCLAMm。
坻 圸圱 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
定义5.2.1 在语言NCLAMm圩.NCLAMm被联立归纳定义如下：
ϕ场场圽 甾 番 p番 町ϕ番在ϕ畞ϕ圩番圁iϕ番坛α坝ϕ
α场场圽 在M,s圩番在α畛α圩
其中p甲P且i甲Ag。在M,s圩是点活动模型，定义如下：M圽畨S,畦Ri番i甲Ag畧,pre畩，
s甲S，S是一集有穷的活动点，Ri是S上的一个二元关系，pre 是一个从 S到
NCLAMm的一个函数，该函数给S中的每个活动指派一个前提条件。
直观上，坛α坝ϕ被读作“在每次执行活动α之后，ϕ成立”。
定义5.2.2 在活动模型的组合圩.任给两个活动模型M圽畨S,畦Ri番i甲Ag畧,pre畩
和M0圽畨S0,畦R0
i番i甲Ag畧,pre0畩，定义它们的模型组合在M圻M0圩为活动模型
畨S00,畦R00
i番i甲Ag畧,pre00畩，其中
S00 圽S甂S0
在s,s0圩R00
i在t,t0圩甬sRit且s0R0
it0
pre00在在s,s0圩圩 圽 畨M,s畩pre0在s0圩
定义5.2.3 在NCLAMm的语义圩.任给关系模型畍圽畨S, 畦Ri番i甲Ag畧, V 畩，活动
模型M圽畨S,畦Ri番i甲Ag畧,pre畩，ϕ甲NCLAMm以及活动α，NCLAMm的
语义定义如下，为了简洁，我们只考虑新的算子的解释：
畍, s 坛α坝ϕ甬任给在畍0, s0圩 场 如果在畍, s圩α
甩在畍0, s0圩,则畍0, s0ϕ
在畍, s圩M,s
甩在畍0, s0圩甬 畍, s pre在s圩且在畍0, s0圩圽在畍 甊 M,在s, s圩圩
α∪α0
甩圽α
甩 畛 α0
甩
其中畍0圽畍 甊 M是关系模型畍和活动模型M的更新乘积畨S0,畦R0
i番i甲
Ag畧, V 0畩，满足
S0圽畦在s, s圩番s甲S, s甲S且畍, s pre在s圩畧
在s, s圩R0
i在t, t圩甬sRit且sRit
在s, s圩甲V0在p圩甬s甲V在p圩,任给p甲P
坻 圸圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圵圮圲 加入活动模型算子
定义5.2.4 在证明系统畎畃界畁畍m圩.系统畎畃界畁畍m是畎畃界m加上如下归约公理所
得到的扩充系统2：
ATOP 坛M,s坝甾甤甾
AATOM 坛M,s坝p甤在pre在s圩甡p圩
ANEG 坛M,s坝町ϕ甤在pre在s圩甡 町坛M,s坝ϕ圩
ACOM 坛M,s坝在ϕ畞ψ圩甤在坛M,s坝ϕ畞坛M,s坝ψ圩
A圁 坛M,s坝圁iψ甤在pre在s圩甡VsRit在圁i坛M,t坝ψ畟圁i坛M,t坝町ψ圩圩
AA 坛M,s坝坛M0,s0坝ϕ甤坛在M,s圩圻 在M0,s0圩坝ϕ
AC 坛α畛β坝ϕ甤在坛α坝ϕ畞坛β坝ϕ圩
命题5.2.5 在畎畃界畁畍m的可靠性圩.畎畃界畁畍m相对于所有框架的类是可靠的。
证明.我们只需证明公理模式A圁的有效性。任给模型畍圽畨S, 畦Ri番i甲Ag畧, V 畩
以及s甲S，即证
畍, s 坛M,s坝圁iψ用甩 畍, s pre在s圩甡^
sRit
在圁i坛M,t坝ψ畟圁i坛M,t坝町ψ圩.
“圽甩场”假设畍, s 坛M,s坝圁iψ且畍, s pre在s圩，要证畍, s VsRit在圁i坛M,t坝ψ畟
圁i坛M,t坝町ψ圩。若不然，即存在t使得sRit，且畍, s 甲圁i坛M,t坝ψ且畍, s 甲
圁i坛M,t坝町ψ。由前者，存在t1, t2甲S使得sRit1, sRit2且t1坛M,t坝ψ且t2甲
坛M,t坝ψ；据后者，存在u1, u2甲S使得sRiu1, sRiu2且u1坛M,t坝町ψ且u2甲
坛M,t坝町ψ。由于t2甲坛M,t坝ψ，有畍, t pre在t圩且畍 甊 M,在t2,t圩甲ψ；由于
u2甲坛M,t坝町ψ，有畍, u pre在t圩且畍 甊 M,在u2,t圩ψ。而且，因为sRit2和
sRit，有在s, s圩R0
i在t2,t圩；同理有在s, s圩R0
i在u2,t圩，其中R0
i如定义圵圮圲圮圳 中的定义。因
此有畍 甊 M,在s, s圩甲圁iψ。但另一方面，由假设，可得畍 甊 M,在s, s圩圁iψ，矛
盾。
“用圽场”假设畍, s pre在s圩甡VsRit在圁i坛M,t坝ψ畟圁i坛M,t坝町ψ圩，要证畍, s 
坛M,s坝圁iψ。为此，任给在畍0, s0圩满足在畍, s圩M,s
甩在畍0, s0圩，只需证畍0, s0圁iψ。
易知，畍, s pre在s圩且在畍0, s0圩 圽 在畍 甊 M,在s, s圩圩。由前者和假设有，畍, s 
VsRit在圁i坛M,t坝ψ畟圁i坛M,t坝町ψ圩。则任给t使得sRit，都有畍, s 圁i坛M,t坝ψ或
2畎畃界m见定义4.2.2。
坻 圸圳 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
畍, s 圁i坛M,t坝町ψ。令t满足sRit。如果畍, s 圁i坛M,t坝ψ，则任给t满足sRit，
都有畍, t 坛M,t坝ψ，或者，任给t满足sRit，都有畍, t 甲坛M,t坝ψ。考虑第一种
子情况。此时我们有，任给t满足sRit且畍, t pre在t圩，都有畍 甊 M,在t, t圩ψ。
由此，我们可以证明：任给在t, t圩满足在s, s圩R0
i在t, t圩，都有畍 甊 M,在t, t圩ψ。因
此畍 甊 M,在s, s圩圁iψ。类似地，由第二种子情况，可以证明：任给在t, t圩满
足在s, s圩R0
i在t, t圩，都有畍 甊 M,在t, t圩甲ψ，因此也有畍 甊 M,在s, s圩圁iψ。如果
畍, s 圁i坛M,t坝町ψ，通过类似的证明，可以证得畍 甊 M,在s, s圩圁iψ。因此，总
有畍 甊 M,在s, s圩圁iψ，即畍0, s0圁iψ，为所求。
和NCLAm相同，NCLAMm和NCLm也具有同样的表达力，因为公理系
统畎畃界畁畍m给出了一个重写程序。通过定义一个合适的复杂度，根据重写程序，
我们可以把每个NCLAMm圭公式重写为一个等价但复杂度更低的NCLm圭公式。
由于复杂度不断减少，这一重写过程最终可以停止，因此据畎畃界 的完全性，我
们可以得到畎畃界畁畍m的完全性。
定理5.2.6 在畎畃界畁畍m的强完全性圩.畎畃界畁畍m相对于所有框架的类是强完全
的。
类似于定理圵圮圱圮圷 之前的分析，我们能够得到NCLAMm在其它框架类上的
公理化系统，其中最有趣的是畓圵圭框架的类。由于NCLAMm和NCLm表达力
在任意框架的类上一样，又因为NCLm是可判定的，因此
命题5.2.7 在NCLAMm的可判定性圩.带有活动模型算子的多模态非偶然逻辑
NCLAMm是可判定的。
例子5.2.8 在八卦协议圩.在八卦协议（gossip protocols）的认知处理中(Hedetniemi
坥坴 坡坬圮, 1988; Wang 坥坴 坡坬圮, 2011; Attamah 坥坴 坡坬圮, 2014)，主体通过电话来分享他
们知道的信息。我们假定两个主体i和j之间的电话ij 是Attamah 坥坴 坡坬圮 (2014)
中ab−型的电话：刚开始，每个主体都只知道一个秘密（的真值），当他们之间
打电话时他们交流他们知道的所有秘密，并且其他主体能够看到他们在打电话
但不知道打电话者交流的具体内容。我们也假定这些秘密都是命题型的，即都
有二值，地和圱。最初的模型畍n类似于泥孩迷题中的初始模型畍n：在泥孩
模型中主体只知道其他人的秘密（有泥巴或没有泥巴），在八卦协议中主体只
坻 圸圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圵圮圳 与已有工作的比较
知道自己的秘密。我们可以证明，对于三 个 主体a, b, c，他们所 拥 有的秘密分
别为ma, mb, mc的情形，协议ab圻bc圻ac 可以使得a, b, c 三者都知道所有秘密，即
畍3坛ab圻bc圻ac坝Vi∈{a,b,c}Vj∈{a,b,c}圁imj。下面的图示是对初始模型畍3中执行协
议ab圻bc圻ac 后信息变化序列的一个描述。对于其中涉及到的活动模型，我们描述
如下：第一个电话ab 的活动模型有四个点，其前提条件分别对应于ma和mb赋
值的四种情况，主体a, b 对于活动的不可区分关系是等同关系，而主体c对于活
动的不可区分关系是全通关系。第二个电话bc 和第三个电话ac 的活动模型有八
个点，其前提条件分别对应于ma, mb, mc赋值的八种情况。
地地地
地地圱
地圱地
地圱圱
圱地地
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
bc
bc
bc
ac
ac ac
ab
ab
ab
ab
bc
ac
地地地
地地圱
地圱地
地圱圱
圱地地
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
c
c
c
c
c c
ab
ab
ab
ab
c
c
地地地
地地圱
地圱地
地圱圱
圱地地
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
a
a
a
a
地地地
地地圱
地圱地
地圱圱
圱地地
圱地圱
圱圱地
圱圱圱
5.3 与已有工作的比较
正如引言中所提到的，在坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥圬 圱圹圹圵圻 坋坵坨坮圬 圱圹圹圵圻 坚坯坬坩坮圬 圱圹圹圹圩 先后提
供了非偶然逻辑在许多框架类上的完全公理化，除了对称框架上的完全公理化。
坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥 在圱圹圹圵圩 提供了一个无穷的公理化系统NC圬该系统有无穷多条初始
规则在坎坃坒圩k，并证明了该系统相对于所有框架的类是可靠且强完全的，而且该
系统相对于所有持续框架的类也是可靠且强完全的。坋坵坨坮 在圱圹圹圵圩 将系统NC 简
化为K甴3，他还给出了传递框架类上一个有穷的完全公理化。坚坯坬坩坮 在圱圹圹圹圩 则修
改了K甴，使得它形式上类似于极小模态逻辑，并建立了欧性框架上的完全公理
化。我们必须将本文的公理化和证明方法与非偶然逻辑的文献做一个对比。
为 了 证明完全性，现有的工作都采用典范模型构造方法，其中关键的
部分是定义一个合适的典范关系。为 了 模拟标准模态逻辑中的典范关系，
坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥 把典范关系定义成sRct坩國 λ在s圩甒t圬其中λ满足λ在s圩 圽 畦ϕ番
圁ϕ甲s, 并且，任给ψ, 畠ϕ甡ψ蕴涵圁ψ甲s畧。这导致了他所建立的公理化
系统NC 是一个无穷系统，同时该系统的完全性证明非常复杂，且需要用到
3正如George Schumm 在对Kuhn (1995) 的评论中所指出的，在他文章的第231 页，Kuhn 把K4误
写成了K44。
坻 圸圵 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
坋坿坯坮坩坧圧坳 坌坥坭坭坡。坋坵坨坮 天才般地修改并简化了之前λ的定义，而把λ定义成
λ在s圩 圽 畦ϕ番任给ψ, 圁在ϕ畟ψ圩甲s畧圬这使得完全性证明比坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥 在圱圹圹圵圩 中
用到的方法要简单得多。坚坯坬坩坮 则定义了一个从极大一致集到NCL 子集的函数]，
使得]在s圩 圽 畦ϕ番ϕ甒s畧圬其中ϕ圽畦圁在ψ甡ϕ圩番ψ甲NCL畧圮注意，坋坵坨坮 的λ
和坚坯坬坩坮 的]是同一个函数，因为不难证明，任给极大一致集s圬都有]在s圩 圽 λ在s圩圮
系统畎畃界 最接近于坋坵坨坮 的系统K甴圬除了我们的公理圁Con 不同于那里
的公理圁ϕ畞 畲在ϕ畞ψ圩甡 畲ψ。然而，我们的证明方法是基于“几乎可定义模
式”AD（参见命题圱圮圳圮圲），该方法与坋坵坨坮圬 坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥圬 坚坯坬坩坮 等人的方法的方
法很不相同。AD 的思想也激发了适合于NCL 的互模拟概念（即圁圭互模拟），
该互模拟被用来在标准模态逻辑和一阶逻辑中刻画非偶然逻辑NCL圻确切地
说，任意ML圭公式（相应地，FOL圭公式）等价于某个NCL圭公式，当且仅当，
它在圁圭互模拟下不变（参见圲圮圳 节）。坋坵坨坮 的方法有自身的限制，因为从他的
函数λ所定义出的算子ϕdef
圽Vψ∈NCL 圁在ϕ畟ψ圩圬 并不是真正的必然算子。例如，
ϕ甡町町ϕ在所有对称框架的类上不有效，这一点已在坚坯坬坩坮 在圲地地圱坡圩 中被观
察到。另外，正如坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥 在圲地地圲圬 坰坡坧坥 圱圱圸圩 所质疑的，在坋坵坨坮圬 圱圹圹圵圻 坚坯坬坩坮圬
圱圹圹圹圩 中的典范关系至少不适用于自反框架，更别说它们适用于对称框架了。相
比而言，我们真正在一般意义上运用非偶然算子定义了必然算子，并且我们的方
法以一种相当一致的方式适用于所有基本的框架性质，在其中对称框架的情形
（包括单模态和多模态）都是很复杂的。而且，这些结果还被推广到动态的情形，
包括公开宣告和活动模型，这些在非偶然逻辑的文献中都没有讨论。
由于没有意识到非偶然逻辑的文献，坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圳圬 圲地地圴圩
提出了一个“无知逻辑”（坡 坬坯坧坩坣 坦坯坲 坩坧坮坯坲坡坮坣坥），来刻画无知（坩坧坮坯坲坡坮坣坥）这一
认知概念。语形上，在命题逻辑语言的基础上，增加一个初始模态词I，其中I
表示无知算子。直观上，Iϕ 被读作“主体对ϕ无知”，或者说，“主体对ϕ的真
值不确定”。语义上，Iϕ 为真，当且仅当，主体能够想象到两个不同的世界，使
得ϕ在一个世界上为真，而在另一个世界上为假。同时，他们提出了该逻辑的一
个极小系统，并证明了该系统相对于任意框架类上的可靠性和完全性。尽管是在
认知语境中对无知进行公理刻画，他们实质上也给出了非偶然逻辑的一个极小系
统。下面的系统Ig 是他们系统的一个改写，其中I的所有出现都已被町圁替换。
坻 圸圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圵圮圳 与已有工作的比较
定义5.3.1 在公理系统Ig 在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圳圬 圲地地圴圩圩.
I0 命题重言式的所有特例
I1 町圁ϕ甤 町圁町ϕ
I2 町圁在ϕ畞ψ圩甡 町圁ϕ畟 町圁ψ
I3 在圁ϕ畞 町圁在χ1畞ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在χ2畞在ϕ甡ψ圩圩圩 甡圁ψ畞 町圁在χ1畞ψ圩
I4 圁ψ畞 町圁χ甡 町圁在χ畞ψ圩畟 町圁在χ畞 町ψ圩
RI ϕ
圁ϕ畞在町圁χ甡 町圁在χ畞ϕ圩圩
MP ϕ, ϕ 甡ψ
ψ
Sub ϕ甤ψ
χ坛ϕ/p坝甤χ坛ψ/p坝
运用典范模型方法，他们证明了Ig 相对于所有克里普克框架的类的可靠性和
完全性。圳圮圱 节已经证明，畎畃界 相对于所有克里普克框架的类是既可靠又完全的。
可以看出，系统Ig 非常复杂，特别是公理I3 和公理I4。相比而言，系统畎畃界
要简单许多。由于这两个系统都是可靠且完全的，Ig 的公理圯初始规则在畎畃界 中
都是可证的圯可允许的。
命题5.3.2. Ig 的所有公理在畎畃界 中都是可证的，且Ig 的所有初始规则在畎畃界
中都是可允许的。
这一冗长的证明见附录坂。因此，系统畎畃界 确实比系统Ig 更有优势，因为
在推理能力不弱于后者的情况下，前者还更简单。
随后，坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 对系统Ig 进行了扩充，通过增加如
下的新公理G4（又一次，I被一致地替换为町圁）：
町圁χ甡圁ϕ畞 町圁在ϕ畞χ圩甡圁在圁ϕ畞 町圁在χ畞ϕ圩圩 畞 町圁在圁ϕ畞 町圁在ϕ畞χ圩畞χ圩
坖坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圬 坌坥坭坭坡 圴圮圲圩 声称，Ig 圫G4 相对于传递框架
的类是可靠且完全的。然而，G4 在传递框架的类上并不有效，因此Ig 圫G4 相对
于传递框架的类不是可靠的。
命题5.3.3. G4 在所有传递框架的类上不是有效的。
坻 圸圷 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
证明.考虑模型畍场
t1场p, q
t场p, q
88
&&
畍场s场p, q
66
((
//
11t2场町p, q
u场町p, q
以及G4 的如下特例γ场
町圁p甡在圁q畞 町圁在q畞p圩甡圁在圁q畞 町圁在p畞q圩圩 畞 町圁在圁q畞 町圁在q畞p圩畞p圩圩
首先，不难证明s町圁p且s圁q畞町圁在q畞p圩圮 其次，由于t圁q畞町圁在p畞q圩
但u甲圁q畞 町圁在p畞q圩，因此s甲圁在圁q畞 町圁在p畞q圩圩，进而有s甲圁在圁q畞 町圁在p畞
q圩圩 畞 町圁在圁q畞 町圁在q畞p圩畞p圩。从而有畍, s 甲γ，因此畍甲γ。不难看出畍是
传递的，从而有G4 在传递框架类上不有效。
推论5.3.4. Ig 圫G4 相对于传递框架的类不是可靠的。
至此我们已经证明了，Ig 圫G4 相对于传递框架的类不具有可靠性。
圳圮圲 节给出了一个可靠且强完全的公理系统畎畃界圴。除了给出畎畃界 和畎畃界圴
的可靠且完全的公理化之外，本文也给出了NCL 在其他框架类上的完全公理化，
而这些工作在在坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯圬 圲地地圴圩 中被认为是很困难的。本文也研
究了畎畃界 的表达力和框架可定义性问题，提出了适合于非偶然逻辑的互模拟概
念，并基于这一互模拟得出非偶然逻辑在模态逻辑和一阶逻辑中的两个刻画结
果。除了回答了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 的三个开问题，本文还把非偶然
逻辑推广到动态情形（包括公开宣告和活动模型），给出了这两个动态情形下非
偶然逻辑的完全公理化。
作为无知逻辑的一个更近的工作，坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 给出了无知逻辑的一个
拓扑语义，并建立了该逻辑在这一语义下可靠且完全的一个公理化系统LB。其
坻 圸圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圵圮圳 与已有工作的比较
中，拓扑模型对应于S4 克里普克模型。系统LB 被定义如下，其中的所有出
现已被圁替换。
定义5.3.5 在公理系统LB圩.
TAUT 命题逻辑重言式的特例
N圁甾甤甾
Z圁ϕ甤圁町ϕ
R圁ϕ畞圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩
WM 圁ϕ畞ϕ甡ψ
圁ϕ畞ϕ甡圁ψ畞ψ
MP ϕ, ϕ 甡ψ
ψ
Sub ϕ甤ψ
χ坛ϕ/p坝甤χ坛ψ/p坝
第三章建立了系统畎畃界畓圴，并证明了该系统相对于所有S4 克里普克框架的
类是可靠且强完全的。本文将证明，畎畃界畓圴和LB 这两个系统具有同样的内定理
集。也就是下列命题：
命题5.3.6. LB 的所有公理在畎畃界畓圴中都是可证的，LB 的所有初始规则在
畎畃界畓圴中都是可允许的，并且反之亦然。
值得注意的是，由于畎畃界畓圴和LB 分别是基于两个不同的语义，因此命题
圵圮圳圮圶 不能直接由两个系统的完全性得到。对于证明细节参考附录坂。
拓扑语义可以看作是邻域语义的一个特例。可以考虑在更大的模型类上给出
非偶然逻辑（因此也是无知逻辑）的一个邻域语义，这正是下一章的工作。
坻 圸圹 坻

第五章动态的多模态非偶然逻辑北京大学博士研究生学位论文
坻 圹地 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义
前一章回顾了坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 的无知逻辑。坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 给出了无知逻辑（因
此非偶然逻辑）的一个拓扑语义1，他的拓扑模型对应于S4 的克里普克模型。
另外，在克里普克语义下，我们已经看到，非偶然逻辑中不存在通常框架性质
的刻画公理，使得很难找到该逻辑在这些框架上的公理化。更重要的是，由于
圁在ϕ甡ψ圩甡在圁ϕ甡圁ψ圩不是有效式，非偶然逻辑不是正规的。另外，当把非
偶然算子意为“知道是否”时，在克里普克语义下，可以得到某种逻辑全知问题：
主体知道所有内定理是否为真（即：如果ϕ圬则圁ϕ。见定义圳圮圱圮圱 的初始规则
GEN圁）。这表明，用邻域语义去解释非偶然逻辑更加有趣。
本章提出非偶然逻辑的一个邻域语义，其中非偶然算子的解释符合它的哲学
直观：非偶然就是必然为真或必然为假。基于这一语义，我们将在各个邻域模型
类上对比非偶然逻辑和标准模态逻辑的相对表达力，并研究非偶然逻辑在邻域框
架上的可定义性问题。本章将建立非偶然逻辑在该邻域语义下的一个公理系统，
该公理系统相对于两个不同的邻域框架类是可靠且完全的，而且，它还是可判定
的。另外，对于非偶然逻辑来说，邻域语义可以看成是克里普克语义的一个推广。
尽管这些结果是以（单模态）非偶然逻辑来展示，但需要注意的是，这些技术性
结果同样也适用于多模态的非偶然逻辑。
邻域语义学是由坓坣坯坴坴 和坍坯坮坴坡坧坵坥 在圱圹圷地 年分别独立提出来的在坓坣坯坴坴圬 圱圹圷地圻
坍坯坮坴坡坧坵坥圬 圱圹圷地圩。自从被提出以来，邻域语义学就已经成为了研究非正规模态逻
辑的一个标准工具在坃坨坥坬坬坡坳圬 圱圹圸地圩。据我们所知，坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 能够被看做是探讨非
偶然逻辑的邻域语义学的第一人 在坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圬 圲地地圸圩。坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 给出了无知逻辑的
一个拓扑语义（无知是偶然在认知语境中的对应物），其中非偶然算子本质上被
解释成2ϕ畟2町ϕ。他的拓扑模型对应于畓圴的克里普克模型。他的文章没有提及
1拓扑语义是邻域语义的一个特例，参见如Pacuit (2007)。
坻 圹圱 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
非偶然逻辑的工作。本章在一个更广泛的模型类的基础上，提出非偶然逻辑的一
个邻域语义，来研究该逻辑在这一语义下所具有的特性。
本章结构安排如下：圶圮圱 节提出非偶然逻辑的邻域语义。在该语义下，圶圮圲 节
讨论非偶然逻辑的表达力和框架可定义性。圶圮圳 节提出一个可判定的公理系统，即
所谓的最小的“经典非偶然逻辑”（坣坬坡坳坳坩坣坡坬 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣）2，它不仅被所有
邻域框架的类所刻画，还被另一类邻域框架所刻画。圶圮圴 节处理非偶然逻辑的邻
域语义和克里普克语义之间的关系。最后在圶圮圵 节做一个小结。
6.1 语言和邻域语义
回顾定义圱圮圱圮圱 中非偶然逻辑的语言NCL。在给出NCL 的邻域语义之前，
定义邻域模型、邻域框架以及各种邻域性质。
定义6.1.1 在邻域模型和邻域框架圩.称三元组畍圽畨S, N, V 畩是一个 邻域模型，
如果S是一个非空的可能世界集（即论域D在畍圩），N是从S到畐在畐在S圩圩 的一
个邻域函数，V是一个赋值函数，它给每个命题变元p甲P指派一集可能世界
V在p圩甒S。给定s甲D在畍圩，在畍, s圩被称为一个点模型；有时候省略点模型两边
的括号。对于s甲D在畍圩，有时也写s甲 畍。一个邻域框架是不考虑赋值的邻域
模型，此时称邻域模型是基于该邻域框架的模型。有时将“邻域模型”和“邻域
框架”分别简称为“模型”和“框架”。
定义6.1.2 在邻域性质圩.令畆圽畨S, N 畩是一个邻域框架，畍是基于畆的邻域模
型。令s甲S且X, Y 甒S。定义各种邻域性质如下：任给X, Y 甒S，
甏在n圩 场 称N在s圩包含单位元，如果S甲N在s圩。
甏在r圩 场 称N在s圩包含它的“核”，如果TN在s圩甲N在s圩。
甏在i圩 场 称N在s圩在二元交下封闭，如果X, Y 甲N在s圩蕴涵X畜Y甲N在s圩。
甏在s圩 场 称N在s圩在超集下封闭，如果X甲N在s圩且X甒Y甒S蕴涵Y甲N在s圩。
甏在c圩 场 称N在s圩在补集下封闭，如果X甲N在s圩蕴涵S畮X甲N在s圩。
甏在d圩 场 X甲N在s圩蕴涵S畮X /甲N在s圩。
甏在t圩 场 X甲N在s圩蕴涵s甲X。
2这是源自于对所谓的最小的“经典模态逻辑”（classical modal logic）的一种模拟称呼。最小的经典模
态逻辑是指被所有邻域框架的类刻画的模态逻辑系统E，见(Chellas, 1980, Chapter 8)。
坻 圹圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圱 语言和邻域语义
甏在b圩 场 s甲X蕴涵畦u甲S番S畮X /甲N在u圩畧 甲 N在s圩。
甏在圴圩 场 X甲N在s圩蕴涵畦u甲S番X甲N在u圩畧 甲 N在s圩。
甏在圵圩 场 X /甲N在s圩蕴涵畦u甲S番X /甲N在s圩畧 甲 N在s圩。
称函数N有上述某个性质，如果任给s甲S，N在s圩都满足这个性质；称畆或畍
有某个性质，如果N有。称畆是增强的，如果畆同时满足性质在r圩和在s圩。
性质在d圩,在t圩,在b圩,在圴圩,在圵圩 分别对应于持续性、自反性、对称性、传递性和欧性
这些关系性质。作为一个已知的结果，这些关系性质分别被公理D, T, B, 圴,圵所刻
画。这也解释了这些邻域性质的名字由来。
为了在邻域语义中解释非偶然算子圁，我们借助于来自必然算子2的邻域语
义的启发。回顾非偶然算子的哲学直观是：一个公式是非偶然的，如果该公式必
然真或必然假。由此，通过运用2的邻域语义，我们提出圁的一个邻域解释，以
保证圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ在邻域语义下是有效式。坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圬 坄坥坦圮 圳圮圲圩 在拓扑
语义学的语境下提出了类似的想法。
定义6.1.3 在邻域语义圩.令畍圽畨S, N, V 畩是一个邻域模型，s甲S。CML 的邻
域语义被定义如下：
畍, s 甾 用甩 恒成立
畍, s p用甩 s甲V在p圩
畍, s 町ϕ用甩 畍, s 甲ϕ
畍, s ϕ畞ψ用甩 畍, s ϕ且畍, s ψ
畍, s 2ϕ用甩 ϕM甲N在s圩
畍, s 圁ϕ用甩 ϕM甲N在s圩或在町ϕ圩M甲N在s圩
其中，ϕM表示ϕ在畍中的真值集，即ϕM圽畦s甲S番 畍, s ϕ畧。
称ϕ在在畍, s圩中为真，如果畍, s ϕ，有时简写成sϕ；称ϕ在畍中有
效，记为畍ϕ，如果任给s甲 畍，都有畍, s ϕ；称ϕ有效，记为ϕ，如果
任给模型畍，都有畍ϕ。称ϕ可满足，如果存在模型在畍, s圩使得畍, s ϕ。
给定公式集圀，称圀在在畍, s圩中为真，记为畍, s 圀，如果对于所有ψ甲圀，都
有畍, s ψ；称在框架类畆上圀衍推ϕ，记为圀畆ϕ，如果对于所有畆 甲 畆，
对于基于畆的所有模型畍，以及对于所有s甲 畍，畍, s 圀蕴涵畍, s ϕ。
坻 圹圳 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
称ϕ和ψ相对于模型类畍是逻辑等值的，记为畍ϕ甤ψ，如果对于所有
在畍, s圩甲 畍，都有畍, s ϕ当且仅当畍, s ψ。
直观上，N在s圩意思是“所有在s中必然的命题的集合”。因此，2ϕ说的是
“ϕ所表达的命题在s中是必然的”，圁ϕ说的是“ϕ和它的否定所表达的命题至少
有一个在s中是必然的”。
在这一语义下，可以得到下面的有效式和非有效式。前面已经证明，这些公
式在关系语义下都是有效的。下面命题中的圵说明，这里给出的邻域语义可以避
免克里普克语义解释之下的逻辑全知问题。
命题6.1.4 在有效式和非有效式圩.
1. 圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ, 圁ϕ甤圁町ϕ
2. ϕ甤ψ蕴涵圁ϕ甤圁ψ
3. 甲圁在ϕ甡ψ圩畞圁在町ϕ甡ψ圩甡圁ψ
4. 甲圁ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩畟圁在町ϕ甡χ圩
5. ϕ不蕴涵圁ϕ
证明.圱和圲由语义定义不难证明。
对于圳，考虑模型畍1圽畨S1, N1, V1畩，其中：
甏S1圽畦s1, t1畧
甏N1在s1圩 圽 畦畦s1畧,畦t1畧畧, N1在t1圩 圽 画
甏V1在p圩 圽 畦s1畧, V1在q圩 圽 画
用图圱表示如下，其中，X甲N1在s圩被表示成从s到X的箭头（下同，不再赘
述）：
畦s1畧 畦t1畧
s1场p, 町q
ee99
t1场町p, 町q
从图圱可以看出，在p甡q圩M1圽畦t1畧 甲 N1在s1圩且在町p甡q圩M1圽畦s1畧 甲 N1在s1圩，
根据语义定义，可得畍1, s1圁在p甡q圩且畍1, s1圁在町p甡q圩。但另一方面，
qM1圽V1在q圩 圽 画/甲N1在s1圩且在町q圩M1圽畦s1, t1畧/甲N1在s1圩，因此有畍1, s1甲圁q。
从而有畍1, s1甲圁在p甡q圩畞圁在町p甡q圩甡圁q。
对于圴，考虑模型畍2圽畨S2, N2, V2畩，其中：
坻 圹圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圲 表达力和框架可定义性
甏S2圽畦s2, t2畧
甏N2在s2圩 圽 畦畦s2畧,畦t2畧畧, N2在t2圩 圽 画
甏V2在p圩 圽 V2在q圩 圽 畦s2畧, V2在r圩 圽 畦t2畧
用图圲表示如下：
畦s2畧 畦t2畧
s2场p, q, 町r
ff99
t2场町p, 町q, r
从图圲可以看出，一方面，pM2圽V2在p圩 圽 畦s2畧 甲 N2在s2圩，因此畍2, s2圁p。另
一方面，易证在p甡q圩M2圽畦s2, t2畧/甲N2在s2圩且在町在p甡q圩圩M2圽画/甲N2在s2圩，则
畍2, s2甲圁在p甡q圩；在町p甡r圩M2圽畦s2, t2畧/甲N2在s2圩且在町在町p甡r圩圩M2圽画/甲
N2在s2圩，因此畍2, s2甲圁在町p甡r圩。所以有畍2, s2甲圁p甡圁在p甡q圩畟圁在町p甡
r圩。
对于圵，考虑模型畍3圽畨S3, N3, V3畩，其中：
甏S3圽畦s3畧
甏N3在s3圩 圽 画
甏V3在p圩 圽 画
用图圳表示如下：
s3场町p
根据语义定义，有甾；另一方面，甾M3圽畦s3畧/甲N3在s3圩且在町甾圩M3圽画/甲
N3在s3圩，因此畍3, s3甲圁甾，从而有甲圁甾。
6.2 表达力和框架可定义性
本节首先对比非偶然逻辑NCL 和标准模态逻辑ML 在各个邻域模型上
的相 对表达力，然后给出关于非偶然逻辑在框架对应方面的某些否定性结果。
为了 对比两 个 逻辑语言之间的表达力，不同于圲圮圱圮圱 小节，这里借助区分力
（坤坩坳坴坩坮坧坵坩坳坨坮坥坳坳）的概念。区分力说的是语言区分模型的能力。表达力的定义见
定义圲圮圱圮圱，区分力的定义见下。与表达力的对比一样，区分力的对比也是基于同
坻 圹圵 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
样的模型类上而言的。
表达力
定义6.2.1 在区分力圩.给定两个语言L1, L2，它们在同样的邻域模型类畍上被解
释。
甏称L2的区分力至少和L1一样强，记为L1甖dL2，如果任给在畍, s圩,在畎, t圩甲
畍，都有在畍, s圩番番L1在畎, t圩蕴涵在畍, s圩番番L2在畎, t圩。其中，对于L甲 畦L1, L2畧，
在畍, s圩番番L在畎, t圩成立，如果存在ϕ甲L，使得畍, s ϕ但畎, t 甲ϕ。
甏称L1的区分力和L2一样强，记为L1甑dL2，如果L1甖dL2且L2甖dL1。
甏称L1的区分力严格弱于L2，记为L1甞dL2，如果L1甖dL2且L1甶甑dL2。
在畍, s圩番番L在畎, t圩的直观意思是“在畍, s圩和在畎, t圩这两个模型能被L区分”。因
此，L1甖dL2直观上说的是“L1能区分的任意两个模型也能被L2区分”。根据定
义不难证明，如果两个语言的表达力一样，那么它们的区分力也一样，但逆方向
不一定成立。换句话说，如果两个语言的区分力不一样，那么它们的表达力也就
不一样。因此，为了证明L1的表达力在畍上严格弱于L2，或者等价地说，L2
的表达力在畍上严格强于L1，只需证L1甖L2但L1甶甑dL2。而对于后者，只需
找到两个模型在畍, s圩,在畎, t圩甲畍，使得L1不能区分这两个模型（即任给ϕ甲L1，
有畍, s ϕ坩國 畎, t ϕ），但L2能区分它们（即：存在ψ甲L2使得畍, s ψ但
畎, t 甲ψ）。
命题6.2.2. 在满足性质在r圩,在i圩,在s圩,在d圩的任意组合（包括空组合）的模型类上，
NCL 的表达力都要严格弱于ML。
证明.由命题圶圮圱圮圴 的圱，圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ。由此可以定义一个从 NCL 到
ML 的翻译映射t使得t对于命题变元和联结词都保持，而对于形如圁ϕ的公
式有t在圁ϕ圩 圽 2t在ϕ圩畟2町t在ϕ圩。易证：任给ϕ甲NCL，都有t在ϕ圩甲ML，使得
ϕ甤t在ϕ圩。从而有NCL 甖ML。
为了证明NCL 甞ML，根据前面的分析，只需找到两个模型，使得这两个
模型满足题设中的性质，且NCL 不能区分它们，而ML 能区分。考虑下列两个
邻域模型畍圽畨S, N, V 畩和畍0圽畨S0, N 0, V 0畩，其中
甏S圽畦s, t畧, S0圽畦s0, t0畧
坻 圹圶 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圲 表达力和框架可定义性
甏N在s圩 圽 畦畦t畧,畦s, t畧畧, N在t圩 圽 画, N0在s0圩 圽 畦畦t0畧,畦s0, t0畧畧, N 0在t0圩 圽 画
甏V在p圩 圽 畦s畧, V 0在p圩 圽 畦s0, t0畧
这两个模型可以被图示如下：
畦t畧 畦s, t畧
s场p
bb::
t场町p
畍
畦t0畧 畦s0, t0畧
s0场p
cc99
t0场p
畍0
首先，不难发现畍和畍0都满足在r圩,在i圩,在s圩,在d圩。
其次，ML 能区分在畍, s圩和在畍0, s0圩：由于pM圽畦s畧/甲N在s圩，有畍, s 甲2p；
由于pM0圽畦s0, t0畧 甲 N0在s0圩，有畍0, s02p。因此ML 公式2p能区分这两个模
型。
然而，NCL 不能区分这两个模型，即在?圩 场 任给ϕ甲NCL，都有畍, s ϕ
坩國 畍0, s0ϕ。
对ϕ甲NCL 作归纳，来证明在?圩。唯一非平凡的情形是圁ϕ。由语义定义，
有下列等价序列：
畍, s 圁ϕ用甩 ϕM甲N在s圩 坯坲 在町ϕ圩M甲N在s圩
用甩 ϕM甲 畦畦t畧,畦s, t畧畧 坯坲 在町ϕ圩M甲 畦畦t畧,畦s, t畧畧
用甩 ϕM圽畦t畧坯坲 ϕM圽畦s, t畧坯坲 在町ϕ圩M圽畦t畧坯坲 在町ϕ圩M圽畦s, t畧
用甩 ϕM圽畦t畧坯坲 ϕM圽畦s, t畧坯坲 ϕM圽畦s畧坯坲 ϕM圽画
用甩 恒成立
畍0, s0圁ϕ用甩 ϕM0甲N0在s圩 坯坲 在町ϕ圩M0甲N0在s圩
用甩 ϕM0甲 畦畦t0畧,畦s0, t0畧畧 坯坲 在町ϕ圩M0甲 畦畦t0畧,畦s0, t0畧畧
用甩 ϕM0圽畦t0畧坯坲 ϕM0圽畦s0, t0畧坯坲 在町ϕ圩M0圽畦t0畧
坯坲 在町ϕ圩M0圽畦s0, t0畧
用甩 ϕM0圽畦t0畧坯坲 ϕM0圽畦s0, t0畧坯坲 ϕM0圽畦s0畧坯坲 ϕM0圽画
用甩 恒成立
在每种情形下，等价序列的倒数第二行的意思是：ϕ能在所涉及到的模型上被解
坻 圹圷 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
释，即ϕ在其中的真值集一定是该模型论域的所有可能子集中的某一个。注意
圁ϕ的归纳证明不需要用到归纳假设。因此畍, s 圁ϕ坩國 畍0, s0圁ϕ。
命题6.2.3. 在满足性质在n圩或在b圩的模型类上，NCL 的表达力都严格弱于ML。
证明.类似于命题圶圮圲圮圲 的相应证明，可证：NCL 甖ML。只需证在相关的模
型类上有：NCL 甶甑dML。据前面的分析，考虑模型畍圽畨S, N, V 畩和畍0圽
畨S0, N0, V 0畩，其中
甏S圽畦s, t畧圬S0圽畦s0, t0畧
甏N在s圩 圽 畦画,畦t畧,畦s, t畧畧圬N在t圩 圽 畦画,畦s畧,畦t畧,畦s, t畧畧圬N0在s0圩 圽 畦画,畦t0畧,畦s0, t0畧畧圬
N0在t0圩 圽 畦画,畦s0畧,畦t0畧,畦s0, t0畧畧
甏V在p圩 圽 畦s畧圬V0在p圩 圽 畦s0, t0畧
可以用图形表示如下：
画 畦s畧
s场p
99
%%
//畦s, t畧t场町p
eeOO
yy
oo
畦t畧
畍
画 畦s0畧
s0场p
99
//
%%
畦s0, t0畧t0场p
eeOO
yy
oo
畦t0畧
畍0
首先，我们声称畍和畍0满足在n圩和在b圩。下面只证明该声称对于畍成立，因为
畍0的情形类似可证。
对于在n圩场 很显然S甲N在s圩且S甲N在t圩。
对于在b圩场 由畍的构造，N在t圩包含D在畍圩的所有子集，因此显然在b圩适合于
N在t圩。至于N在s圩，如果s甲X，则X一定是畦s畧或畦s, t畧，那么S畮X相应的是
畦t畧或画。但显然畦t畧,画 甲 N在s圩，因此畦u甲S番S畮X /甲N在u圩畧圽画 甲 N在s圩。
其次，注意到，畦s畧/甲N在s圩且畦s0, t0畧 甲 N0在s0圩。类似于命题圶圮圲圮圲 中相应证
明，可得s甲2p但s02p。因此在畍, s圩和在畍0, s0圩能被ML 公式2p所区分。
而且，类似于命题圶圮圲圮圲 中的相应证明，可以证得：任给ϕ甲NCL，畍, s ϕ
坩國 畍0, s0ϕ。因此在畍, s圩和在畍0, s0圩不能被NCL 公式所区分。
命题6.2.4. 在满足性质在圴圩 或在圵圩 的模型类上，NCL 的表达力都严格弱于ML。
坻 圹圸 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圲 表达力和框架可定义性
证明.类似于命题圶圮圲圮圲 的相应证明，可证：NCL 甖ML。只需证在相关的模
型类上有：NCL 甶甑dML。据前面的分析，考虑模型畍圽畨S, N, V 畩和畍0圽
畨S0, N0, V 0畩，其中
甏S圽畦s, t畧圬S0圽畦s0, t0畧
甏N在s圩 圽 畦画,畦s畧,畦s, t畧畧圬N在t圩 圽 畦畦t畧畧圬N0在s0圩 圽 畦畦s0畧,畦s0, t0畧畧圬N0在t0圩 圽
畦畦t0畧,画畧
甏V在p圩 圽 画圬V0在p圩 圽 画
如下图所示：
画 畦s, t畧 畦s畧 畦t畧 畦s0, t0畧 畦s0畧 畦t0畧 画
s场町p
^^OO==
t场町p
OO
s0场町p
ddOO
t0场町p
OO@@
畍 畍0
基于下列三个观察，我们就证明了该命题。
甏 畍 和畍0都满足在圴圩 和在圵圩。下面只需证该声称对于畍成立；畍0的证明类
似。
–对于在圴圩场 假定X甲N在s圩。那么X圽画或X圽畦s畧或X圽畦s, t畧。不难
得到畦u甲S番X甲N在u圩畧圽畦s畧 甲 N在s圩。类似地，可以证明在圴圩 也适用
于N在t圩。
–对于在圵圩场 假定X /甲N在s圩。那么X圽畦t畧。不难得到畦u甲S番X /甲
N在u圩畧圽畦s畧 甲 N在s圩。类似地，可以证明在圵圩 也适用于N在t圩。
甏在畍, s圩和在畍0, s0圩能被ML 公式2p区分：由pM圽画 甲 N在s圩，有畍, s 2p；
由pM0圽画/甲N0在s0圩，得畍0, s0甲2p。
甏在畍, s圩和在畍0, s0圩不能被NCL 公式区分，即任给ϕ甲NCL，都有畍, s ϕ
坩國 畍0, s0ϕ。证明类似于命题圶圮圲圮圲 中的相应部分。
然而，在满足性质在t圩的邻域模型类上，NCL 和ML 的表达力是一样的。这
一结果和克里普克语义下的结果类似：一旦框架是自反的，必然算子2是可以通
过非偶然算子圁定义的。不过，令人惊讶的是，在满足性质在c圩的邻域模型类上，
NCL 和ML 的表达力也是一样的。
坻 圹圹 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
命题6.2.5. 在满足在t圩的邻域模型的类上，NCL 和ML 具有同样的表达力。
证明.定义一 个翻译映射t场NCL 甡ML 和翻译映射t0场ML 甡NCL，使得
每个翻译都保持命题变元和布尔联结词，且t在圁ϕ圩 圽 2t在ϕ圩畟2町t在ϕ圩，t0在2ϕ圩 圽
圁t0在ϕ圩畞t0在ϕ圩。
由于命题圶圮圱圮圴圮圱，通过对ϕ甲NCL 作归纳，可以证明ϕ甤t在ϕ圩且
t在ϕ圩甲ML。因此NCL 甖ML。
只需证明：在满足在t圩的模型类畍t上，ML 甖NCL，即证明在?圩 场 任给
ϕ甲ML，都有畍tϕ甤t0在ϕ圩。为此，任给畍圽畨S, N, V 畩 甲 畍t，任给s甲 畍。
仅需考虑2ϕ的情形，即证：畍, s 2ϕ坩國 畍, s 圁t0在ϕ圩畞t0在ϕ圩。证明如下：
甏首先假设畍, s 2ϕ，据语义有ϕM甲N在s圩。由归纳假设有在t0在ϕ圩圩M甲
N在s圩，进而有在t0ϕ圩M甲N在s圩或在町t0在ϕ圩圩M甲N在s圩，即畍, s 圁t0在ϕ圩。同
时，由在t0在ϕ圩圩M甲N在s圩和性质在t圩，可得s甲在t0在ϕ圩圩M，即畍, s t0在ϕ圩，因
此畍, s 圁t0在ϕ圩畞t0在ϕ圩。
甏反之，假设畍, s 圁t0在ϕ圩畞t0在ϕ圩。由畍, s 圁t0在ϕ圩，可得在t0在ϕ圩圩M甲N在s圩
或在町t0在ϕ圩圩M甲N在s圩。如果在町t0在ϕ圩圩M甲N在s圩，据N在s圩满足性质在t圩，有
s甲在町t0在ϕ圩圩M，即畍, s 町t0在ϕ圩，矛盾于假设畍, s t0在ϕ圩。因此在t0在ϕ圩圩M甲
N在s圩。据这个和归纳假设，得ϕM甲N在s圩，即畍, s 2ϕ。
根据前面的分析，在?圩得证，从而整个命题得证。
命题6.2.6. 在满足性质在c圩的邻域模型的类上，NCL 和ML 有同样的表达力。
证明.定义t和tr 分别如同命题圶圮圲圮圵 中的翻译t和t0，除了tr在2ϕ圩 圽 圁tr在ϕ圩。
类似于命题圶圮圲圮圵 中的相应证明，可证NCL 甖ML。只需证明在甃圩：在满足
在c圩的模型类畍c上，有畍cϕ甤tr在ϕ圩。为此，任给畍圽畨S, N, V 畩 甲 畍c，任给
s甲S。只需考虑2ϕ的情形，即畍, s 2ϕ坩國 畍, s 圁tr在ϕ圩。
甏由命题圶圮圱圮圴圮圱，有圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ，因此不难证明“坯坮坬坹 坩坦”部分。
甏反之，假设畍, s 圁tr在ϕ圩，即在tr在ϕ圩圩M甲N在s圩或在町tr在ϕ圩圩M甲N在s圩。如
果在町tr在ϕ圩圩M甲N在s圩，由于N在s圩满足在c圩，有在tr在ϕ圩圩M甲N在s圩，从而总有
在tr在ϕ圩圩M甲N在s圩。据归纳假设，有ϕM甲N在s圩，即畍, s 2ϕ。
因此在甃圩得证，从而整个命题得证。
坻 圱地地 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圲 表达力和框架可定义性
框架可定义性
框架可定义性说的是语言定义框架性质的能力，换句话说，语言中的公式
刻画框架性质的能力。标准模态公式可以被用来刻画邻域框架的性质，例如，
p甡3p对应于性质在d圩 在坐坡坣坵坩坴圬 圲地地圷圬 坓坥坣坴坩坯坮 圲圮圴圩。值得注意的是，定义圶圮圱圮圲
中的所有邻域框架性质都不能被NCL 公式刻画。关于框架可定义性的定义，参
考定义圲圮圱圮圵。
命题6.2.7. 框架性质在n圩,在r圩,在i圩,在s圩,在c圩,在d圩,在t圩,在b圩,在圴圩,在圵圩 在NCL 中不是
可定义的。
证明.考虑下列框架畆1圽畨S1, N1畩圬畆2圽畨S2, N2畩圬畆3圽畨S3, N3畩圬畆4圽畨S4, N4畩场
畦s1畧
s1
OO
畆1
畦s2畧
s2
OO

画
畆2
畦t3畧
s3
;;
##
t3
bb
{{
画
畆3
畦s4, t4畧
s4
::
$$
//畦s4畧t4
dd
zz
oo
畦t4畧
畆4
首先，注意到：畆1满足在d圩和在t圩，但畆2不满足在d圩或在t圩；畆2满足在n圩圬 在s圩圬 在c圩圬
在b圩圬 在圴圩圬 在圵圩 所有这些性质，但畆3不满足其中的任一性质；畆3满足在r圩和在i圩，但
畆4不满足在r圩或在i圩。例如，畦s2畧 甲 N2在s2圩但画圽S2畮畦s2畧 甲 N2在s2圩，因此畆2不满
足在d圩；t3甲 畦t3畧，但畦u甲S3番 畦s3畧/甲N3在u圩畧圽畦s3, t3畧/甲N3在t3圩，因此畆3不满足
在b圩；TN4在s4圩 圽 画/甲N4在s4圩，因此畆4不满足在r圩。
其次，任给ϕ甲NCL圬畆1ϕ坩國 畆2ϕ坩國 畆3ϕ坩國 畆4ϕ。其证明如下：
假设畆1甲ϕ，则存在畍1圽畨F1, V1畩使得畍1, s1甲ϕ。定义V2是畆2上的赋
值，满足p甲V2在s2圩 坩國 p甲V1在s1圩，其中p是ϕ中出现的任意命题变元。对ϕ作归
纳，可以证明畍1, s1ϕ坩國 畍2, s2ϕ，其中唯一非平凡的情形圁ϕ的证明类似
于命题圶圮圲圮圲 中的相应部分。从这个可以推出畍2, s2甲ϕ，因此畆2甲ϕ。逆方向
的证明类似。从而有畆1ϕ坩國 畆2ϕ。
类似地，可以证明畆2ϕ坩國 畆3ϕ，以及畆3ϕ坩國 畆4ϕ。
如果存在NCL 公式集，比如圀，定义在d圩，那么因为畆1满足在d圩，有畆1圀。
坻 圱地圱 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
那么也应该有畆2圀，即畆2满足在d圩，矛盾。因此在d圩不是NCL 可定义的。题
设中其它性质的不可定义性证明类似可得。
6.3 最小的经典非偶然逻辑
这一部分提出非偶然逻辑在邻域语义下的一个公理系统，该系统既相对于所
有邻域框架的类是可靠且强完全的，也相对于所有满足性质在c圩的邻域框架的类
是可靠且强完全的。该逻辑也是可判定的。
定义6.3.1 在系统畃畃界圩.系统畃畃界 由下列公理模式TAUT 和圁Equ 所构成，且在
规则RE圁下封闭。
TAUT 所有重言式的特例
圁Equ 圁ϕ甤圁町ϕ
RE圁ϕ甤ψ
圁ϕ甤圁ψ
从圀到ϕ的一个推演，记为圀畠ϕ，是一个 NCL-公式的有穷序列，其中每个公
式都或者是某个公理的特例，或者是圀中的一个元素，或者是由序列中在前的公
式通过运用某个规则得出的。称ϕ是畃畃界 的一个内定理，如果存在畃畃界 中从空
集画到ϕ的一个推演。
下文将证明畃畃界 相对于所有邻域框架的类是可靠和强完全的，同时也相对
于所有满足在c圩的邻域框架的类是可靠和强完全的。为此，我们引入某些定义和
记法。令圀甒NCL。称圀是畃畃界 一致的，如果圀田甿；称圀是极大的，如果对
于每个ϕ，都有ϕ甲圀或者町ϕ甲圀；称圀是极大畃畃界 一致的，如果圀既是畃畃界
一致的又是极大的。回顾每个畃畃界 一致集都可以扩充为某个极大畃畃界 一致集
（林登鲍姆引理）。
定义6.3.2 在可靠性和强完全性圩.令S是一个逻辑系统，且畆是一类框架。
甏称S相对于畆是可靠的，如果任给ϕ，畠Sϕ蕴涵畆ϕ。
甏称S相对于畆是强完全的，如果任给公式集圀和公式ϕ，圀畆ϕ蕴涵
圀畠Sϕ。
现在构造畃畃界 的典范模型。
坻 圱地圲 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圳 最小的经典非偶然逻辑
定义6.3.3 在畃畃界 的典范模型圩.称畍c圽畨Sc, Nc, V c畩是畃畃界 的典范邻域模型，
如果
甏Sc是所有极大畃畃界 一致集的类；
甏Nc圽畦番ϕ番 番 圁ϕ甲s畧；
甏Vc在p圩 圽 畦s甲Sc番s甲 番p番畧。
其中，番ϕ番圽畦s甲Sc番ϕ甲s畧，被称为ϕ在畃畃界 中的证明集。
引理6.3.4 在真值引理圩.任给s甲Sc，任给ϕ甲NCL，都有畍c, s ϕ用甩 ϕ甲s。
即ϕMc圽番ϕ番。
证明.对ϕ甲NCL 作归纳。基始情形和布尔情形不难证明。只需考虑圁ϕ的情
形。
畍c, s 圁ϕ语义定义
用甩 ϕMc甲Nc在s圩或在町ϕ圩Mc甲Nc在s圩
归纳假设
用甩 番ϕ番 甲 Nc在s圩 坯坲 番町ϕ番 甲 Nc在s圩
定义Nc
用甩 圁ϕ甲s坯坲 圁町ϕ甲s
∆Equ
用甩 圁ϕ甲s
下面证明Nc是良定义的。
引理6.3.5. 如果番ϕ番 甲 Nc在s圩且番ϕ番圽番ψ番，则圁ψ甲s。
证明.假设条件都成立，要证圁ϕ甲s。由番ϕ番 甲 Nc在s圩有圁ϕ甲s。由于番ϕ番圽番ψ番，
得畠ϕ甤ψ：若不然，则町在ϕ甤ψ圩将是畃畃界 一致的。进而据林登鲍姆引理，
存在s甲Sc使得町在ϕ甤ψ圩甲s，由此ϕ甲s甶甬 ψ甲s，矛盾于番ϕ番圽番ψ番。由
畠ϕ甤ψ和RE圁，得畠圁ϕ甤圁ψ，因此有圁ψ甲s。
定理6.3.6. 畃畃界 相对于所有邻域框架的类是可靠且强完全的。
证明.可靠性据命题圶圮圱圮圴 显然。对于完全性，假设圀田ϕ，则圀畛 畦町ϕ畧是畃畃界
一致的。据林登鲍姆引理，存在s甲Sc使得圀畛 畦町ϕ畧 甒 s。进而由引理圶圮圳圮圴，
圀甲ϕ，为所求。
定理圶圮圳圮圶 表明畃畃界 是在邻域语义下的最小非偶然逻辑；这是我们称畃畃界
为“最小的经典非偶然逻辑”的原因。需要注意的是，该逻辑也被满足在c圩的所
有邻域框架的类所刻画。
坻 圱地圳 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
定理6.3.7. 畃畃界 相对于所有满足在c圩的邻域框架的类是可靠且强完全的。
证明.由于定理圶圮圳圮圶，我们只需证明Nc满足性质在c圩，即任给s甲Sc，Nc在s圩满
足在c圩。
令s甲Sc。假设X甲Nc在s圩。据Nc的定义，存在ϕ甲NCL 使得X圽番ϕ番 甲
Nc在s圩，进而圁ϕ甲s。由公理圁Equ，圁町ϕ甲s。再由Nc的定义，番町ϕ番 甲 Nc在s圩，
即S畮番ϕ番 甲 Nc在s圩，因此S畮X甲Nc在s圩。
由于圁ϕ甤2ϕ畟2町ϕ，而且经典模态逻辑是可判定的在坃坨坥坬坬坡坳圬 圱圹圸地圩，
畃畃界 也是可判定的。
命题6.3.8 在畃畃界 的可判定性圩.畃畃界 是可判定的。
回顾最小的经典模态逻辑E被定义如下在坣坦圮 坥圮坧圮圬 坃坨坥坬坬坡坳圬 圱圹圸地圬 坰圮 圲圳圱圩：
TAUT 所有重言式的特例
Def3 3ϕ甤 町2町ϕ
RE2ϕ甤ψ
2ϕ甤2ψ
不难发现，系统畃畃界 要严格地弱于系统E，因为前者的公理圯初始规则在后者中
都是可证圯可允许的，但反之不然。因此我们找到了一个比最小经典模态逻辑更
弱的系统。
6.4 邻域语义和克里普克语义
这一部分讨论非偶然逻辑的邻域语义和其克里普克语义之间的关系。结果表
明，NCL 的克里普克框架本质上是它的增强邻域框架：任给克里普克框架，都
存在一个逐点等值的增强邻域框架；反之，任给增强邻域框架，都存在一个逐点
等值的克里普克框架。因此NCL 的邻域语义可以被看成是NCL 的克里普克语
义的一个推广。
定理6.4.1. (Chellas, 1980, Thm. 7.9) 对于每个克里普克模型畍K圽畨S, R, V 畩，
都存在一个增强邻域模型畍N圽畨S, N, V 畩使得，任给s甲S，任给ϕ甲ML，都
有畍K, s ϕ用甩 畍N, s ϕ，即ϕMK圽ϕMN。反之亦然。
坻 圱地圴 坻

北京大学博士研究生学位论文圶圮圵 小结
由命题圶圮圲圮圲 的证明，存在一个从 NCL 到ML 的保真翻译。据上述定理，有
推论6.4.2. 对于每个克里普克模型畍K圽畨S, R, V 畩，都存在一个增强邻域模
型畍N圽畨S, N, V 畩使得，任给s甲S，任给ϕ甲NCL，都有畍K, s ϕ用甩
畍N, s ϕ，即ϕMK圽ϕMN。
推论6.4.3. 任给增强邻域模型畍N圽畨S, N, V 畩，都存在一个 克里普克模型
畍K圽畨S, R, V 畩使得，任给s甲S，任给ϕ甲NCL，都有畍N, s ϕ用甩
畍K, s ϕ，即ϕMN圽ϕMK。
上面两个推论有很好的应用。例如，据推论圶圮圴圮圲，圁在ϕ畞ψ圩甡圁ϕ在所有增
邻域框架的类上不是有效的，因为它在所有克里普克框架的类上不是有效的。再
例如，考虑第三章中非偶然逻辑的公理化系统畎畃界，该系统相对于所有克里普克
框架的类是可靠且强完全的。通过推论圶圮圴圮圳 和推论圶圮圴圮圲，不难证明
定理6.4.4. 畎畃界 相对于所有增强邻域框架的类是可靠和完全的。
6.5 小结
这一部分提出了非偶然逻辑的邻域语义，证明了非偶然逻辑在许多邻域模
型类上都严格弱于标准模态逻辑，而在其它的某些邻域模型类上两者表达力相
同。我们也证明了，通常的邻域性质在非偶然逻辑中都不可定义，进一步提出了
最小经典非偶然逻辑的一个可判定的公理化系统，该系统也刻画了另外一类邻域
框架。作为推论，非偶然逻辑在增强邻域框架和克里普克框架之间有一个一一对
应。
作为后续的工作，我们将证明公理系统畎畃界 相对于所有正规邻域框架3的
类是强完全的。我们进而将研究适合于NCL 邻域模型的互模拟概念，从而在标
准模态逻辑和一阶逻辑中刻画NCL，对此在坁坲坥坣坥坳 坡坮坤 坆坩坱坵坥坩坲坡圬 圲地地圹圻 坈坡坮坳坥坮 et
al.圬 圲地地圹圩 有参考价值。最后，可以将对非偶然逻辑的邻域研究提升到动态的层
次，对此在块坨坥坥坬坥坲圬 圲地圱地圻 坍坡 坡坮坤 坓坡坮坯圬 圲地圱圳圩 会有启发。
3称一个邻域框架F=hS, N i是正规的，如果F同时满足定义6.1.2 中的性质(n),(i)和(s)。换句
话说，如果任给s∈S，N(s)都是一个滤子（filter），即满足：(a)S∈N(s)；(b)如果X, Y ∈N(s)，则
X∩Y∈N(s)；(c)如果X∈N(s)且X⊆Y⊆S，则Y∈N(s)。这一定义来源于(Kudinov, 2014, p.
375)。注意，正规邻域框架不等于增强邻域框架(cf. e.g., Pacuit, 2007, p. 9)。
坻 圱地圵 坻

第六章非偶然逻辑和邻域语义北京大学博士研究生学位论文
坻 圱地圶 坻

结论
本论文从技术角度对非偶然算子进行了一个较为详尽的逻辑研究。首先，
第一章引入非偶然逻辑的语言和克里普克语义，其中非偶然逻辑是指以非偶然
算子为唯一初始模态词的逻辑。在回顾并简要评论文献中“如何用非偶然算子
去定义必然算子”的几个方案之后，文章提出了一个“几乎可定义模式”AD：
畲ψ甡在2ϕ甤圁ϕ畞圁在ψ甡ϕ圩圩。该模式告诉我们，在存在某个偶然命题的前提
下，必然算子2是可以通过非偶然算子圁来定义的。模式AD 在全文中起着至
关重要的作用。
第二章考察非偶然逻辑的模型论。受模式AD 的启发，我们找到了适合于非
偶然逻辑的互模拟概念，即所谓的“圁圭互模拟”，回答了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯
在圲地地圴圩 的第三个开问题，并利用圁圭互模拟得出了两个刻画片断：非偶然逻辑既是
标准模态逻辑在圁圭互模拟下不变的片断，同时也是一阶逻辑在圁圭互模拟下不变
的片断。我们还对比了标准模态逻辑和非偶然逻辑的相对表达力，证明了在自反
模型类上这两者的表达力相同，而在其它模型类上前者的表达力严格强于后者。
另外，我们还证明了，所有五个基本的一阶性质都不是非偶然逻辑可定义的，因
而也就都不是无知逻辑可定义的，这回答了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 提出
的第二个开问题。
第三章和第四章是本文最重要的工作。第三章建立了非偶然逻辑在各个框架
类上可靠且完全的公理系统。受模式AD 的启发，我们在典范模型构造中找到了
合适的典范关系，通过对该关系的适当修改，可以得到一种相当一致的方式去证
明所有这些系统的完全性。又一次受模式AD 的启发，我们找到了特征公理圁T
和圁B。在证明公理系统的完全性时，对称框架的情形非常复杂，证明中需要综
合运用“副本”和“对称闭包”的思想。这些可靠且完全的公理系统的构造及证
明回答了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 提出的第一个开问题。
坻 圱地圷 坻

结论北京大学博士研究生学位论文
由于非偶然逻辑在对称框架上的公理系统的完全性证明不能简单地推广到多
模态情形，第四章考虑了多模态的非偶然逻辑，并完成了该逻辑在对称框架上的
公理系统的完全性证明。在完全性证明过程中，除了用到“副本”和“对称闭包”
的思想，还需运用递归定义的方式一步一步地构造出所求的典范模型。
除了对非偶然算子的静态刻画，第五章也考虑了这一算子的动态影响，这一
考虑在认知语境下考虑更为自然。通过分别加入公开宣告算子和活动模型算子，
我们找到了合适的归约公理，从而得到了两个可靠且完全的公理系统。“知道是
否”算子（非偶然算子的认知对应物）的这两个动态变化分别用案例“泥孩谜题”
和“八卦协议”来说明。本文也与非偶然逻辑的已有工作做了较为详尽的对比和
比较。具体地说，本文对比了极小逻辑畎畃界 和坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圳圬
圲地地圴圩 的极小逻辑Ig，证明了虽然两者具有同样的内定理集，但前者比后者要
简单许多，从而体现出系统畎畃界 的优势。本文也对比了畎畃界畓圴和坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤
在圲地地圸圩 的系统LB，证明了虽然基于不同的语义，但这两个系统是等价的。本文
还证明了坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圴圩 的系统Ig 圫G4 实际上是不可靠的。
最后，第六章研究了非偶然逻辑的一个邻域语义，这一做法的主要原因是非
偶然逻辑不是正规模态逻辑，同时该逻辑在克里普克语义下的公理化问题非常困
难，且存在某种逻辑全知问题。我们探讨了该逻辑在该邻域语义下的一些性质，
包括其表达力和框架可定义性、一个最小的经典非偶然逻辑系统的建立，以及该
逻辑在增强框架上的邻域语义和克里普克语义之间的一一对应。同时，该邻域语
义也可被看作是坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 中拓扑语义的一个推广。
关于后续工作，列举一些如下。
第四章证明了，在集合Ag 有穷的情形下，畎畃界畂m相对于所有对称框架的类
是可靠且强完全的，方法是通过递归定义，一步一步地构造出所求的典范模型。
但是正如第四章末尾所提到的，如果Ag 被放宽到无穷的话，这一方法就可能不
适用了，因为按照当前方法，我们需要无穷多步来完成典范模型的构造，而且必
须是通过逐步地构造完成，然而，在模型的可能世界集不断地无规律变化的情形
下，这一构造是不可能完成的。因此我们需要运用新的方法，来证明畎畃界畂m在
Ag 无穷时相对于所有对称框架的类的强完全性。
考虑非偶然逻辑和邻域语义的结合。第六章提出了非偶然逻辑的一个邻域语
义，并得到了某些有趣的结果。然而，这只是一个开端，还有许多工作有待完成。
坻 圱地圸 坻

北京大学博士研究生学位论文
比如，非偶然逻辑在邻域语义下的互模拟概念是什么？由于非偶然逻辑在邻域语
义下也弱于标准模态逻辑，所需的互模拟概念也应该弱于标准模态逻辑在邻域语
义下的互模拟。有了这个互模拟概念，我们可以在标准模态逻辑中和一阶逻辑中
去分别刻画非偶然逻辑。
考虑非偶然逻辑和拓扑语义的结合。坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 的拓扑语义本质上是
将必然算子2解释为“内核”，再将非偶然算子圁解释为2ϕ畟2町ϕ，他的拓扑
模型对应于S4 的克里普克模型。还有其他的拓扑语义，可以不把2解释为内核，
但仍使圁的解释符合它的哲学直观——非偶然就是必然为真或必然为假，来给非
偶然逻辑赋予新的语义解释，提出新的拓扑逻辑。
考虑非偶然逻辑和概率相结合。偶然命题本身代表了某种概然发生的事件，
我们可以把偶然命题定义成概率位于区间在地,圱圩 的事件，而把必然命题定义成概
率为圱的事件，不可能命题定义成概率为地的事件，非偶然命题定义成概率或者
为圱，或者为地的事件。因此，可以探索非偶然逻辑的概率语义，从概率的角度
去探究非偶然逻辑。
考虑非偶然逻辑和三值逻辑相结合。日常语言表达中有许多偶然命题，比如
“明天将会下雨”，这类命题在当前情形下既不能被断定为真，也不能被断定为
假。这样的话，这类命题应该取真假之外的第三值。可以用三值逻辑的方式去研
究非偶然逻辑。关于三值逻辑，可参考如坕坲坱坵坨坡坲坴 在圲地地圲圩。
坻 圱地圹 坻

参考文献
何纯秀，李小五圮逻辑刻画场研究“理解”的新视角坛坊坝圮 厦门大学学报在哲学社会科
学版圩，第圴期，第圲圷圭圳圴 页圬 圲地圱地圮
坓圮 坁坫坡坭坡圬 坔圮 坍坵坲坡坩圬 坡坮坤 坙圮 坋坵坤坯圮 坎坯坮圭坩坧坮坯坲坡坮坣坥 坡坮坤 坫坮坯坷坬坥坤坧坥圮 坉坮 Proceedings
of the 2012 IEEE International Conference on Granular Computing (GrC-2012)圬
坉坅坅坅 坃坯坭坰坵坴坥坲 坓坯坣坩坥坴坹圬 坰坰圮 圲圱圭圲圵圬 圲地圱圲圮
坍圮 坁坬坯坮坩圬 坐圮 圓
坅坧坲圓坥圬 坡坮坤 坔圮 坊坡坧坥坲圮 坋坮坯坷坩坮坧 坷坨坥坴坨坥坲 坁 坯坲 坂圮 Synthese圬 圱圹地在圱圴圩场
圲圵圹圵坻圲圶圲圱圬 圲地圱圳圮
坃圮 坁坲坥坣坥坳 坡坮坤 坄圮 坆坩坧坵坥坩坲坡圮 块坨坩坣坨 坓坥坭坡坮坴坩坣坳 坦坯坲 坎坥坩坧坨坢坯坵坲坨坯坯坤 坓坥坭坡坮坴坩坣坳圿 IJCAI圬
坰坡坧坥坳 圶圷圱坻圶圷圶圬 圲地地圹圮
坍圮 坁坴坴坡坭坡坨圬 坈圮 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圬 坄圮 均坲坯坳坳坩圬 坡坮坤 块圮 坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫圮 坋坮坯坷坬坥坤坧坥 坡坮坤
坧坯坳坳坩坰圮 坉坮 ECAI 2014: 21st European Conference on Artificial Intelligence圬 坖坯坬圮
圲圶圳圬 坰坡坧坥坳 圲圱坻圲圶圬 坉坏坓 坐坲坥坳坳圬 圲地圱圴圮
坒圮 坊圮 坁坵坭坡坮坮圮 Notes on interactive epistemology圮 坃坯坷坬坥坳 坆坯坵坮坤坡坴坩坯坮 坦坯坲 坒坥坳坥坡坲坣坨
坩坮 坅坣坯坮坯坭坩坣坳 坷坯坲坫坩坮坧 坰坡坰坥坲圬 圱圹圸圹圮
坁圮 坂坡坬坴坡坧圬 坌圮 坓圮 坍坯坳坳圬 坡坮坤 坓圮 坓坯坬坥坣坫坩圮 坔坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坰坵坢坬坩坣 坡坮坮坯坵坮坣坥坭坥坮坴坳圬 坣坯坭坭坯坮
坫坮坯坷坬坥坤坧坥圬 坡坮坤 坰坲坩坶坡坴坥 坳坵坳坰坩坣坩坯坮坳圮 坉坮 Proc. of 7th TARK圬 坰坡坧坥坳 圴圳坻圵圶圮 坍坯坲坧坡坮
坋坡坵坦坭坡坮坮圬 圱圹圹圸圮
坐圮 坂坬坡坣坫坢坵坲坮圬 坍圮 坤坥 坒坩坪坫坥圬 坡坮坤 坙圮 坖坥坮坥坭坡圮 Modal Logic圮 坃坡坭坢坲坩坤坧坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹
坐坲坥坳坳圬 坃坡坭坢坲坩坤坧坥圬 圲地地圱圮 坃坡坭坢坲坩坤坧坥 坔坲坡坣坴坳 坩坮 坔坨坥坯坲坥坴坩坣坡坬 坃坯坭坰坵坴坥坲 坓坣坩坥坮坣坥 圵圳圮
坻 圱圱圱 坻

参考文献北京大学博士研究生学位论文
坁圮 坂坲坯坧坡坮圮 坁坲坩坳坴坯坴坬坥圧坳 坬坯坧坩坣 坯坦 坳坴坡坴坥坭坥坮坴坳 坡坢坯坵坴 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 Mind圬 圷圶在圳地圱圩场圴圹坻圶圱圬
圱圹圶圷圮
坂圮 坆圮 坃坨坥坬坬坡坳圮 Modal Logic: An Introduction圬 坃坡坭坢坲坩坤坧坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹 坐坲坥坳坳圬 圱圹圸地圮
坉圮 坃坩坡坲坤坥坬坬坩 坡坮坤 坆圮 坒坯坥坬坯坦坳坥坮圮 坉坮坱坵坩坳坩坴坩坶坥 坤坹坮坡坭坩坣 坥坰坩坳坴坥坭坩坣 坬坯坧坩坣圮 Synthese圬 圲地圱圴圮
坐坵坢坬坩坳坨坥坤 坯坮坬坩坮坥 圌坲坳坴 坍坡坲坣坨 圲地圱圴圮
坁圮 坆圮 坂圮 坃坯坳坴坡圭坌坥坩坴坥圮 Interactions of metaphysical and epistemic concepts圮 坐坨坄
坔坨坥坳坩坳圬 坕坮坩坶坥坲坳坩坴圓坥 坤坥 坎坥坵坣坨坞坡坴坥坬圬 坊坵坬坹 圲地地圷圮
坍圮 坃坲坥坳坳坷坥坬坬圮 坎坥坣坥坳坳坩坴坹 坡坮坤 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 Studia Logica圬 圴圷场圱圴圵坻圱圴圹圬 圱圹圸圸圮
坓圮 坄坥坭坲坩圮 坁 坣坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坰坲坯坯坦 坦坯坲 坡 坬坯坧坩坣 坷坩坴坨 坡坮 坡坬坴坥坲坮坡坴坩坶坥 坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圮
Studia Logica圬 圵圸在圱圩场圹圹坻圱圱圲圬 圱圹圹圷圮
坐圮 圓
坅坧坲圓坥圮 坑坵坥坳坴坩坯坮圭坥坭坢坥坤坤坩坮坧 坡坮坤 坦坡坣坴坩坶坩坴坹圮 Grazer Philosophische Studien圬 圷圷场圸圵坻
圱圲圵圬 圲地地圸圮
坒圮 坆坡坧坩坮圬 坊圮 坈坡坬坰坥坲坮圬 坙圮 坍坯坳坥坳圬 坡坮坤 坍圮 坖坡坲坤坩圮 Reasoning about knowledge. 坍坉坔
坐坲坥坳坳圬 坃坡坭坢坲坩坤坧坥圬 坍坁圬 坕坓坁圬 圱圹圹圵圮
坊圮 坆坡坮圬 坙圮 块坡坮坧圬 坡坮坤 坈圮 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坁坬坭坯坳坴 坮坥坣坥坳坳坡坲坹圮 坉坮 Advances in Modal
Logic圬 坖坯坬圮 圱地圬 坰坡坧坥坳 圱圷圸圭圱圹圶圬 圲地圱圴圮
坊圮 坆坡坮圬 坙圮 块坡坮坧圬 坡坮坤 坈圮 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坮坤 坋坮坯坷坩坮坧 块坨坥坴坨坥坲圮 The
Review of Symbolic Logic圬 坃坡坭坢坲坩坧坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹 坐坲坥坳坳圬 坖坯坬圮 圸圬 坉坳坳坵坥 地圱圬 坰坡坧坥坳
圷圵圭圱地圷圬 坍坡坲坣坨 圲地圱圵圮
坊圮 均坥坲坢坲坡坮坤坹 坡坮坤 块圮 均坲坯坥坮坥坶坥坬坤圮 坒坥坡坳坯坮坩坮坧 坡坢坯坵坴 坉坮坦坯坲坭坡坴坩坯坮 坃坨坡坮坧坥圮 Journal
of Logic, Language and Information圬 圶在圲圩场 圱圴圷坻圱圶圹圬 圱圹圹圷圮
坊圮 坈坡坬坰坥坲坮 坡坮坤 坙圮 坍坯坳坥坳圮 坔坯坷坡坲坤坳 坡 坴坨坥坯坲坹 坯坦 坫坮坯坷坬坥坤坧坥 坡坮坤 坩坧坮坯坲坡坮坣坥场 坰坲坥坬坩坭坩坮坡坲坹
坲坥坰坯坲坴圮 坉坮 坋圮 坁坰坴 在坥坤圮圩圬 Logics and Models of Concurrent Systems圬 坰坰圮 圴圵圹圭圴圷圶圬
坓坰坲坩坮坧坥坲圬 坂坥坲坬坩坮圬 圱圹圸圵圮
坻 圱圱圲 坻

北京大学博士研究生学位论文参考文献
坊圮 坈坡坬坰坥坲坮 坡坮坤 坙圮 坍坯坳坥坳圮 坁 坴坨坥坯坲坹 坯坦 坫坮坯坷坬坥坤坧坥 坡坮坤 坩坧坮坯坲坡坮坣坥 坦坯坲 坭坡坮坹 坡坧坥坮坴坳圮
Journal of Logic and Computation圬 坖坯坬圮 圷圬 坰坰圮 圷圹坻坬地圸圬 圱圹圹圷圮
坊圮 坈坡坮坳坥坮圮 A logic toolbox for modeling knowledge and information in multi-agent
systems and social epistemology圮 坐坨坄 坴坨坥坳坩坳圬 坒坯坳坫坩坬坤坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹圬 圲地圱圱圮
坈圮 坈圮 坈坡坮坳坥坮圬 坃圮 坋坵坰坫坥 坡坮坤 坅圮 坐坡坣坵坩坴圮 坎坥坩坧坨坢坯坵坲坨坯坯坤 坓坴坲坵坣坴坵坲坥坳场 坂坩坳坩坭坩坬坡坲坩坴坹
坡坮坤 坂坡坳坩坣 坍坯坤坥坬 坔坨坥坯坲坹圮 Logical Methods in Computer Science圬 圵在圲圩场圱圭圳圸圬 圲地地圹圮
坓圮 坈坡坲坴圬 坁圮 坈坥坩坦坥坴坺圬 坡坮坤 坄圮 坓坡坭坥坴圮 坋坮坯坷坩坮坧 坷坨坥坴坨坥坲圬 坫坮坯坷坩坮坧 坴坨坡坴圬 坡坮坤 坴坨坥 坣坡坲坤坩圭
坮坡坬坩坴坹 坯坦 坳坴坡坴坥 坳坰坡坣坥坳圮 Journal of Economic Theory圬 圷地在圱圩场圲圴圹坻圲圵圶圬 圱圹圹圶圮
坓圮 坈坥坤坥坴坮坩坥坭坩圬 坓圮 坈坥坤坥坴坮坩坥坭坩圬 坡坮坤 坁圮 坌坩坥坳坴坭坡坮圮 坁 坳坵坲坶坥坹 坯坦 坧坯坳坳坩坰坩坮坧 坡坮坤 坢坲坯坡坤圭
坣坡坳坴坩坮坧 坩坮 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮 坮坥坴坷坯坲坫坳圮 Networks圬 圱圸场圳圱圹坻圳圴圹圬 圱圹圸圸圮
坁圮 坈坥坩坦坥坴坺 坡坮坤 坄圮 坓坡坭坥坴圮 Universal Partition Structures圮 块坯坲坫坩坮坧 坰坡坰坥坲 在坉坳坲坡坥坬
坉坮坳坴坩坴坵坴坥 坯坦 坢坵坳坩坮坥坳坳 坲坥坳坥坡坲坣坨圩圬 坔坥坬 坁坶坩坶 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹圬 圱圹圹圳圮
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Metaphilosophy圬 圴圱场圲圷圹坻圲圹圱圬 圲地圱地圮
坊圮 坈坩坮坴坩坫坫坡圮 Knowledge and Belief圬 坃坯坲坮坥坬坬 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹 坐坲坥坳坳圬坉坴坨坡坣坡圬 坎坙圬 圱圹圶圲圮
坌圮 坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥圮 坔坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 Notre Dame Journal of Formal
Logic圬 圳圶在圲圩场圲圱圴坻圲圲圹圬 圱圹圹圵圮
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Journal of Formal Logic圬 圴圳在圲圩场圹圵坻圱圲圷圬 圲地地圲圮
坌圮 坈坵坭坢坥坲坳坴坯坮坥圮 坚坯坬坩坮 坡坮坤 坐坩坺坺坩场 坄坥圌坮坩坮坧 坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坦坲坯坭 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 Erken-
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在坥坤坳圮圩圬 Advances in Modal Logic圬 坖坯坬圮 圱地圬 坰坡坧坥坳 圳圷圳圭圳圸圶圬 圲地圱圴圮
坓圮 坋坵坨坮圮 坍坩坮坩坭坡坬 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣圮 Notre Dame Journal of Formal Logic圬
圳圶在圲圩场圲圳地坻圲圳圴圬 圱圹圹圵圮
坻 圱圱圳 坻

参考文献北京大学博士研究生学位论文
坃圮 坉圮 坌坥坷坩坳 坡坮坤 坈圮 坌坡坮坧坦坯坲坤圮 Symbolic Logic圮 坄坯坶坥坲圬 坎坥坷 坙坯坲坫圬 圱圹圳圲圮
坆圮 坌坩坵圬 坊圮 坓坥坬坩坧坭坡坮圬 坡坮坤 坐圮 均坩坲坡坲坤圮 坌坯坧坩坣坡坬 坄坹坮坡坭坩坣坳 坯坦 坂坥坬坩坥坦 坃坨坡坮坧坥 坩坮 坴坨坥
坃坯坭坭坵坮坩坴坹圮 Synthese圬 坖坯坬圮 圱圹圱圬 坉坳坳坵坥 圱圱圬 坰坰圮 圲圴地圳坻圲圴圳圱圬 圲地圱圴圮
坍圮 坍坡 坡坮坤 坋圮 坓坡坮坯圮 坈坯坷 坴坯 坕坰坤坡坴坥 坎坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坍坯坤坥坬坳圮 坉坮 坄圮 均坲坯坳坳坩 坡坮坤 坏圮
坒坯坹 坡坮坤 坈圮 坈坵坡坮坧 在坥坤坳圮圩圬 LORI 2013圬 坖坯坬圮 圸圱圹圶 坯坦 LNCS圬 坓坰坲坩坮坧坥坲圬 坈坥坩坤坥坬坢坥坲坧圬
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坄坥坰坡坲坴坭坥坮坴 坯坦 坍坡坴坨坥坭坡坴坩坣坳圬 坉坮坳坴坩坴坵坴坯 坓坵坰坥坲坩坯坲 坔坣坮坩坣坯圬 圲地地圴圮
坊圮 坍坣坃坡坲坴坨坹圮 坆坩坲坳坴圭坏坲坤坥坲 坴坨坥坯坲坩坥坳 坯坦 坩坮坤坩坶坩坤坵坡坬 坣坯坮坣坥坰坴坳 坡坮坤 坰坲坯坰坯坳坩坴坩坯坮坳圮 Machine
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坈圮 坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 坡坮坤 坒圮 坒坯坵坴坬坥坹圮 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坮坤 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坢坡坳坥坳 坦坯坲 坮坯坲坭坡坬
坭坯坤坡坬 坬坯坧坩坣坳圮 Logique et Analyse圬 坖坯坬圮 圹圬 坰坡坧坥坳 圳圱圸坻圳圲圸圬 圱圹圶圶圮
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坈圮 坍坯坮坴坧坯坭坥坲坹 坡坮坤 坒圮 坒坯坵坴坬坥坹圮 坍坯坤坡坬坩坴坩坥坳 坩坮 坡 坳坥坱坵坥坮坣坥 坯坦 坮坯坲坭坡坬 坮坯坮圭坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹
坭坯坤坡坬 坳坹坳坴坥坭坳圮 Logique et Analyse圬 圱圲场圲圲圵坻圲圲圷圬 圱圹圶圹圮
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坣坡坳坥 坳坴坵坤坹 坩坮 坫坮坯坷坬坥坤坧坥圬 坡坣坴坩坯坮圬 坡坮坤 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮圮 Distributed Computing圬
圱在圳圩场圱圶圷坻圱圷圶圬 圱圹圸圶圮
坅圮 坏坲圠坬坯坷坳坫坡圮 坌坯坧坩坣 坦坯坲 坲坥坡坳坯坮坩坮坧 坡坢坯坵坴 坫坮坯坷坬坥坤坧坥圮 Zeitschr. f. math. Logik und
Grundlagen d. Math., 坖坯坬圮 圳圵圬 圵圵圹坻圵圶圸圬 圱圹圸圹圮
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北京大学博士研究生学位论文参考文献
坅圮 坐坡坣坵坩坴圮 坎坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坓坥坭坡坮坴坩坣坳 坦坯坲 坍坯坤坡坬 坌坯坧坩坣场 坁坮 坉坮坴坲坯坤坵坣坴坩坯坮圮 http:
//web.pacuit.org/papers/nbhdesslli.pdf圬 坅坓坓坌坌坉 坌坥坣坴坵坲坥圬 圲地地圷圮
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坃圮 坐坩坺坺坩圮 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坬坯坧坩坣坳 坡坮坤 坰坲坯坰坯坳坩坴坩坯坮坡坬 坱坵坡坮坴坩圌坣坡坴坩坯坮坳圮 Manuscrito圬 圲圲场圲圸圳坻
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坃圮 坐坩坺坺坩圮 坁 坬坯坧坩坣 坯坦 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坷坩坴坨 坡 坰坲坯坰坯坳坩坴坩坯坮坡坬 坣坯坮坳坴坡坮坴圮 Logic and Philosophy
in Italy圬 坰坡坧坥坳 圱圴圱坻圱圵圴圬 圲地地圶圮
坃圮 坐坩坺坺坩圮 坎坥坣坥坳坳坩坴坹 坡坮坤 坲坥坬坡坴坩坶坥 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 Studia Logica圬 圸圵在圳圩场圳圹圵坻圴圱地圬 圲地地圷圮
坊圮 坐坬坡坺坡圮 坌坯坧坩坣坳 坯坦 坰坵坢坬坩坣 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮坳圮 坉坮 Proc. of the 4th ISMIS圬 坰坡坧坥坳 圲地圱坻圲圱圶圮
坏坡坫 坒坩坤坧坥 坎坡坴坩坯坮坡坬 坌坡坢坯坲坡坴坯坲坹圬 圱圹圸圹圮
坊圮 坐坬坡坺坡圮 坌坯坧坩坣坳 坯坦 坰坵坢坬坩坣 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮坳圮 Synthese圬 圱圵圸在圲圩场 圱圶圵坻圱圷圹圬 圲地地圷圮 坒坥坰坲坩坮坴
坯坦 坐坬坡坺坡圧坳 圱圹圸圹 坷坯坲坫坳坨坯坰 坰坡坰坥坲圮
坒圮 坒坡坭坡坮坵坪坡坭 坡坮坤 坓圮 坐圮 坓坵坲坥坳坨圮 坄坥坣坩坤坡坢坩坬坩坴坹 坯坦 坣坯坮坴坥坸坴圭坥坸坰坬坩坣坩坴 坳坥坣坵坲坩坴坹 坰坲坯坴坯坣坯坬坳圮
Journal of Computer Security圬 圱圳在圱圩场 圱圳圵坻圱圶圵圬 圲地地圵圮
坒圮 坒坡坭坡坮坵坪坡坭 坡坮坤 坓圮 坐圮 坓坵坲坥坳坨圮 坄坥坣坩坤坩坮坧 坫坮坯坷坬坥坤坧坥 坰坲坯坰坥坲坴坩坥坳 坯坦 坳坥坣坵坲坩坴坹 坰坲坯坴坯圭
坣坯坬坳圮 坉坮 TARK’05圬 坰坰圮 圲圱圹坻圲圳圵圬 圲地地圵圮
坒圮 坒坥坩坴坥坲圮 Knowledge in Action: Logical Foundations for Specifying and Implement-
ing Dynamical Systems圮 坔坨坥 坍坉坔 坐坲坥坳坳圬 圲地地圱圮
坄圮 坓坣坯坴坴圮 坁坤坶坩坣坥 坯坮 坭坯坤坡坬 坬坯坧坩坣圮 坉坮 坋圮 坌坡坭坢坥坲坴在坥坤坳圮圩圬 Philosophical Problems in
Logic: Some Recent Developments圬 坰坡坧坥坳 圱圴圳坻圱圷圳圬 圱圹圷地圮
坋圮 坓坥坧坥坲坢坥坲坧圮 Classical Propositional Operators圮 坏坸坦坯坲坤圬 坃坬坡坲坥坮坤坯坮 坐坲坥坳坳圬 圱圹圸圲圮
坔圮 坓坭坩坬坥坹圮 坒坥坬坡坴坩坶坥 坎坥坣坥坳坳坩坴坹圮 Journal of Symbolic Logic圬 圲圸圬 圱圱圳圭圱圳圴圬 圱圹圶圳圮
坃圮 坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤圮 坁 坮坯坴坥 坯坮 坬坯坧坩坣坳 坯坦 坩坧坮坯坲坡坮坣坥 坡坮坤 坢坯坲坤坥坲坳圮 Notre Dame Journal of
Formal Logic圬 圴圹在圴圩场圳圸圵坻圳圹圲圬 圲地地圸圮
坻 圱圱圵 坻

参考文献北京大学博士研究生学位论文
坁圮 坕坲坱坵坨坡坲坴圮 坂坡坳坩坣 坍坡坮坹圭坶坡坬坵坥坤 坌坯坧坩坣圮 坉坮 坄圮 坍圮 均坡坢坢坡坹 坡坮坤 坆圮 均坵坥坮坴坨坮坥坲 在坥坤坳圮圩圬
Handbook of Philosophical Logic圬 圲坮坤 坅坤坩坴坩坯坮圬 坖坯坬圮 圲圬 坋坬坵坷坥坲圬 坄坯坲坤坲坥坣坨坴圬 坰坰圮
圲圴圹坻圲圹圶圬 圲地地圲圮
坊圮 坶坡坮 坂坥坮坴坨坥坭圮 Logical dynamics of information and interaction圮 坃坡坭坢坲坩坤坧坥圬 坕坋
圻 坎坥坷 坙坯坲坫场 坃坡坭坢坲坩坤坧坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹 坐坲坥坳坳圬 圲地圱圱圮
块圮 坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 坡坮坤 坁圮 坌坯坭坵坳坣坩坯圮 坉坧坮坯坲坥 坡坴 坹坯坵坲 坰坥坲坩坬 圭 坴坯坷坡坲坤坳 坡 坬坯坧坩坣 坦坯坲 坩坧坮坯圭
坲坡坮坣坥圮 Proc. of 2nd AAMAS圬 坁坃坍圬 坰坰圮 圱圱圴圸坻圱圱圴圹圬 圲地地圳圮
块圮 坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 坡坮坤 坁圮 坌坯坭坵坳坣坩坯圮 坁 坬坯坧坩坣 坦坯坲 坩坧坮坯坲坡坮坣坥圮 Electronic Notes in
Theoretical Computer Science圬 圸圵在圲圩场圱圱圷坻圱圳圳圬 圲地地圴圮
坈圮 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坃坯坭坭坥坮坴坳 坴坯 坠坌坯坧坩坣坳 坯坦 坰坵坢坬坩坣 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮坳圧圮 Synthese圬
圱圵圸在圲圩场圱圸圱坻圱圸圷圬 圲地地圷圮
坈圮 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圬 块圮 坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫圬 坡坮坤 坂圮 坋坯坯坩圮 Dynamic Epistemic Logic圬 坖坯坬圮
圳圳圷 坯坦 Synthese Library圮 坓坰坲坩坮坧坥坲圬 圲地地圷圮
均圮 坈圮 坶坯坮 块坲坩坧坨坴圮 An Essay in Modal Logic. 坎坯坲坴坨 坈坯坬坬坡坮坤圬 坁坭坳坴坥坲坤坡坭圬 圱圹圵圱圮
均圮 坈圮 坶坯坮 块坲坩坧坨坴圮 坄坥坯坮坴坩坣 坌坯坧坩坣圮 Mind圬 坖坯坬圮 坌坘圬 坎坯圮 圲圳圷圬 圱圹圵圱圮
坙圮 块坡坮坧 坡坮坤 坑圮 坃坡坯圮 坏坮 坡坸坩坯坭坡坴坩坺坡坴坩坯坮坳 坯坦 坰坵坢坬坩坣 坡坮坮坯坵坮坣坥坭坥坮坴 坬坯坧坩坣圮 Synthese圬
圱圹地在圱坓圩场圱地圳坻圱圳圴圬 圲地圱圳圮
坙圮 块坡坮坧 坡坮坤 坊圮 坆坡坮圮 坋坮坯坷坩坮坧 坴坨坡坴圬 坫坮坯坷坩坮坧 坷坨坡坴圬 坡坮坤 坰坵坢坬坩坣 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮场
坐坵坢坬坩坣 坡坮坮坯坵坮坣坥坭坥坮坴 坬坯坧坩坣 坷坩坴坨 坋坶 坯坰坥坲坡坴坯坲坳圮 坉坮 Proc. of 23rd IJCAI圬 坰坡坧坥坳
圱圱圴圷坻圱圱圵圴圬 圲地圱圳圮
坙圮 块坡坮坧 坡坮坤 坊圮 坆坡坮圮 坃坯坮坤坩坴坩坯坮坡坬坬坹 坫坮坯坷坩坮坧 坷坨坡坴圮 坉坮 Advances in Modal Logic圬
坖坯坬圮 圱地圬 坰坡坧坥坳 圵圶圹坻圵圸圷圬 圲地圱圴圮
坙圮 块坡坮坧圬 坆圮 坓坩坥坴坳坭坡圬 坡坮坤 坊圮 坶坡坮 坅坩坪坣坫圮 坌坯坧坩坣 坯坦 坩坮坦坯坲坭坡坴坩坯坮 圍坯坷 坯坮 坣坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮
坣坨坡坮坮坥坬坳圮 坉坮 坁坮坤坲坥坡 坏坭坩坣坩坮坩圬 坓坥坢坡坳坴坩坡坮 坓坡坲坤坩坮坡圬 坡坮坤 块坡坭坢坥坲坴坯 坖坡坳坣坯坮坣坥坬坯坳圬
坥坤坩坴坯坲坳圬 Declarative Agent Languages and Technologies VIII圬 坖坯坬圮 圶圶圱圹 坯坦 Lecture
Notes in Computer Science圬 坰坡坧坥坳 圱圳地坻圱圴圷圮 坓坰坲坩坮坧坥坲 坂坥坲坬坩坮 坈坥坩坤坥坬坢坥坲坧圬 圲地圱圱圮
坻 圱圱圶 坻

北京大学博士研究生学位论文参考文献
均圮 块坨坥坥坬坥坲圮 坁均坍 坂坥坬坩坥坦 坒坥坶坩坳坩坯坮 坩坮 坍坯坮坯坴坯坮坥 坍坯坤坡坬 坌坯坧坩坣坳圮 Proc. of LPAR 2010圬
圲地圱地圮
坅圮 坚坯坬坩坮圮 坃坯坭坰坬坥坴坥坮坥坳坳 坡坮坤 坤坥圌坮坡坢坩坬坩坴坹 坩坮 坴坨坥 坬坯坧坩坣 坯坦 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 Notre Dame
Journal of Formal Logic圬 圴地在圴圩场圵圳圳坻圵圴圷圬 圱圹圹圹圮
坅圮 坚坯坬坩坮圮 坉坮圌坮坩坴坡坲坹 坥坸坰坲坥坳坳坩坢坩坬坩坴坹 坯坦 坮坥坣坥坳坳坩坴坹 坩坮 坴坥坲坭坳 坯坦 坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 坉坮 坋坲坩坳坴坩坮坡
坓坴坲坩坥坧坮坩坴坺圬 坥坤坩坴坯坲圬 Proceedings of the Sixth ESSLLI Student Session圬 坰坡坧坥坳 圳圲圵坻
圳圳圴圬 圲地地圱圮
坅圮 坚坯坬坩坮圮 坓坥坱坵坥坮坴 坬坯坧坩坣 坯坦 坡坲坩坴坨坭坥坴坩坣 坤坥坣坩坤坡坢坩坬坩坴坹圮 Vestnik Moskovskogo Universiteta圬
坓坥坲坩坹坡 圱场 坍坡坴坥坭坡坴坩坫坡圬 坍坥坫坨坡坮坩坫坡圬 坎坯圮 圶圬 坰坰圮 圴圳坻圴圸圬 圶圵圬 圲地地圱圮
坅圮 坚坯坬坩坮圮 坓坥坱坵坥坮坴坩坡坬 坲坥圍坥坸坩坶坥 坬坯坧坩坣坳 坷坩坴坨 坮坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坯坰坥坲坡坴坯坲圮 Mathematical
Notes圬 圷圲在圶圩场圷圸圴坻圷圹圸圬 圲地地圲圮 在坴坲坡坮坳坬坡坴坩坯坮 坦坲坯坭 坍坡坴坥坭坡坴坩坣坨坥坳坫坩坥 坚坡坭坥坴坫坩圬 坒坵坳坳坩坡坮
坁坣坡坤坥坭坹 坯坦 坓坣坩坥坮坣坥坳圬 圷圲在圶圩场 圸圵圳坻圭圸圶圸圬 圲地地圲圮圩
坒圮 坚坵坢坥坲圮 坓坥坭坡坮坴坩坣坳 坲坥坳坴坲坩坣坴坩坯坮坳 坯坮 坣坥坲坴坡坩坮坳 坣坯坭坰坬坥坭坥坮坴坩坺坥坲坳圮 坉坮 坓圮 坈坡坴坴坯坲坩 坡坮坤 坋圮
坉坮坯坵坥 在坥坤坳圮圩圬 Proceedings of the 13th International Congress of Linguists圬 坔坯坫坹坯圬
圱圹圸圲圮
坻 圱圱圷 坻

参考文献北京大学博士研究生学位论文
坻 圱圱圸 坻

附录A模型论的一些预备知识
这部分是正文中的第二章需要用到的一些预备知识。
定义A.0.1 在滤子、真滤子、超滤子圩.令S甶圽画.
称u是S上的一个滤滤滤子子子（filter），如果u甒 畐在S圩且
甏u包含全集为元素，即S甲u;
甏u在集合的交下封闭，即：如果X甲u且Y甲u,则X畜Y甲u;
甏u在扩集下封闭，即：如果X甲u且X甒Y甒S,则Y甲u.
称u是S上的一个真真真滤滤滤子子子（proper filter），如果u是S上的一个滤子，且u
是“一致”的，即：画/甲u.
称u是S上的一个超超超滤滤滤子子子（ultrafilter），如果u是S上的一个真滤子，且u
是“完全”的，即：任给X甒S,或者X甲u或者S畮X甲u.
定义A.0.2 在主超滤子圩.任给s甲S，称πs为由s所生成的主主主超超超滤滤滤子子子（principal
ultrafilter），如果πs圽畦X甒S番s甲X畧。主超滤子确实是超滤子。
定义A.0.3 在ML圭饱和圩.令畍圽畨S, R, V 畩是模型。称畍是ML-饱饱饱和和和的的的，如果
任给s甲S，任给圆甒ML，如果圆的每个有限子集在R在s圩中可满足，则圆自身
也在R在s圩中可满足。
命题A.0.4. 任给模型畍以及s甲 畍，ue在畍圩是ML-饱和模型，并且在畍, s圩甑2
在ue在畍圩, πs圩（其中ue在畍圩是畍的超滤扩充，见定义2.3.1）。
证明.参考坂坬坡坣坫坢坵坲坮 et al. 在圲地地圱圬 坐坲坯坰圮 圲圮圵圹圬 坐坲坯坰圮 圲圮圶圱圩。
令α甲FOL。称α在2-互模拟下不变，如果任给模型在畍, s圩,在畎, t圩使得
在畍, s圩甤2在畎, t圩，都有畍, s α当且仅当畎, t α圮
坻 圱圱圹 坻

附录坁模型论的一些预备知识北京大学博士研究生学位论文
定理A.0.5 在范甁本特姆刻画定理圩.令α甲FOL.α等价于某一ML-公式，当且仅
当，α在2-互模拟下不变。
证明.参考在坂坬坡坣坫坢坵坲坮 et al.圬 圲地地圱圬 坔坨坭圮 圲圮圶圸圩。
坻 圱圲地 坻

附录B与无知逻辑文献的对比
B.1 与van der Hoek &Lomuscio (2003) 的比较
这一部分完成命题圵圮圳圮圲 中省略的证明，即Ig 的公理圯初始规则在畎畃界 中都
是可证的圯可允许的。为此，只需证明：公理I2圬I3 和I4圬规则RI 和Sub 都是
畎畃界 可证的圯可允许的。因此，系统畎畃界 确实比坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圳圩
的系统Ig 更有优势，因为在推理能力不弱于后者的情况下，前者还更简单。
首先需要下面的引理。
引理B.1.1. 畠畎畃界 圁在χ畞ϕ圩畞圁在町χ畞ϕ圩甡圁ϕ
证明.
在i圩 在χ畞ϕ圩甤 町在χ甡 町ϕ圩TAUT
在ii圩 圁在χ畞ϕ圩甤圁町在χ甡 町ϕ圩RE圁,在i圩
在iii圩 圁在χ甡 町ϕ圩甤圁町在χ甡 町ϕ圩 圁Equ
在iv圩 圁在χ畞ϕ圩甤圁在χ甡 町ϕ圩Sub,在ii圩,在iii圩
在v圩 在町χ畞ϕ圩甤 町在町χ甡 町ϕ圩TAUT
在vi圩 圁在町χ畞ϕ圩甤圁在町χ甡 町ϕ圩 在v圩,类似于在i圩甀在iv圩
在vii圩 圁在χ甡 町ϕ圩畞圁在町χ甡 町ϕ圩甡圁町ϕ圁Con
在viii圩 圁在χ畞ϕ圩畞圁在町χ畞ϕ圩甡圁町ϕSub,在vii圩,在iv圩,在vi圩
在ix圩 圁ϕ甤圁町ϕ圁Equ
在x圩 圁在χ畞ϕ圩畞圁在町χ畞ϕ圩甡圁ϕSub,在viii圩,在ix圩
引理B.1.2. 畠畎畃界 圁ϕ甡圁在ϕ畞ψ圩畟圁在町ϕ畞χ圩
坻 圱圲圱 坻

附录坂与无知逻辑文献的对比北京大学博士研究生学位论文
证明.
在i圩 在ϕ畞ψ圩甤 町在ϕ甡 町ψ圩TAUT
在ii圩 圁在ϕ畞ψ圩甤圁町在ϕ甡 町ψ圩RE圁,在i圩
在iii圩 圁在ϕ甡 町ψ圩甤圁町在ϕ甡 町ψ圩 圁Equ
在iv圩 圁在ϕ畞ψ圩甤圁在ϕ甡 町ψ圩Sub,在ii圩,在iii圩
在v圩 在町ϕ畞χ圩甤 町在町ϕ甡 町χ圩TAUT
在vi圩 圁在町ϕ畞χ圩甤圁在町ϕ甡 町χ圩 在v圩,类似于在i圩甀在iv圩
在vii圩 圁ϕ甡圁在ϕ甡 町ψ圩畟圁在町ϕ甡 町χ圩 圁Dis
在viii圩 圁ϕ甡圁在ϕ畞ψ圩畟圁在町ϕ畞χ圩Sub,在vii圩,在iv圩,在vi圩
命题B.1.3. 公理I2 在畎畃界 中可证。
证明.
在i圩 圁ϕ甡圁在ϕ畞ψ圩畟圁在町ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 引理坂圮圱圮圲
在ii圩 圁ψ甡圁在ψ畞ϕ圩畟圁在町ψ畞ϕ圩引理坂圮圱圮圲
在iii圩 圁在ϕ畞ψ圩甤圁在ψ畞ϕ圩TAUT,RE圁
在iv圩 圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩畟圁在町ψ畞ϕ圩Sub,在ii圩,在iii圩
在v圩 在町ψ畞ϕ圩甤ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩TAUT
在vi圩 圁在町ψ畞ϕ圩甤圁在ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 RE圁,在v圩
在vii圩 圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩畟圁在ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 Sub,在iv圩,在vi圩
在viii圩 圁在ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 畞圁在町ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 甡圁町在ϕ畞ψ圩引理坂圮圱圮圱
在ix圩 圁在ϕ畞ψ圩甤圁町在ϕ畞ψ圩 圁Equ
在x圩 圁在ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 畞圁在町ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 甡圁在ϕ畞ψ圩Sub,在viii圩,在ix圩
在xi圩 圁ϕ畞圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩畟
在圁在ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩 畞圁在町ϕ畞 町在ϕ畞ψ圩圩圩 在i圩,在vii圩
在xii圩 圁ϕ畞圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩 在x圩,在xi圩
在xiii圩町圁在ϕ畞ψ圩甡 町圁ϕ畟 町圁ψ在xii圩,TAUT
坻 圱圲圲 坻

北京大学博士研究生学位论文坂圮圱 与坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫 圦 坌坯坭坵坳坣坩坯 在圲地地圳圩 的比较
命题B.1.4. 公理I3 在畎畃界 中可证。
证明.这一证明过程相当复杂。我们采用如下方法：首先证明畠畎畃界 圁ϕ畞 町圁在χ1畞
ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在χ2畞在ϕ甡ψ圩圩 甡 町圁在χ1畞ψ圩，然后证明畠畎畃界 圁ϕ畞 町圁在χ1畞
ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩甡圁ψ。其中，第一个内定理的证明需要用到第二个内定理，即
在?圩，但第二个定理的证明不需要用到第一个内定理，所以不存在循环论证的问
题。最后，I3 从两个被推导出的内定理直接可得。
第一个内定理的证明如下：
在i圩 圁ϕ畞圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩I圲
在ii圩 圁在ϕ畞ψ圩畞圁在χ1畞ψ圩甡圁在ψ畞ϕ畞χ1圩I圲
在iii圩 圁ϕ畞圁ψ畞圁在χ1畞ψ圩甡圁在ψ畞ϕ畞χ1圩 在i圩,在ii圩
在iv圩 圁在ψ畞ϕ畞χ1圩畞圁在町ψ畞ϕ畞χ1圩甡圁在ϕ畞χ1圩引理坂圮圱圮圱
在v圩 圁ϕ畞圁ψ畞圁在χ1畞ψ圩畞圁在町ψ畞ϕ畞χ1圩甡圁在ϕ畞χ1圩 在iii圩,在iv圩
在vi圩 圁在ϕ甡ψ圩甡圁在在ϕ甡ψ圩畞χ2圩畟圁在町在ϕ甡ψ圩畞χ1圩引理坂圮圱圮圲
在vii圩 圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在在ϕ甡ψ圩畞χ2圩甡圁在町在ϕ甡ψ圩畞χ1圩 在vi圩
在viii圩 圁在町ψ畞ϕ畞χ1圩甤圁在町在ϕ甡ψ圩畞χ1圩TAUT,RE圁
在ix圩 圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在在ϕ甡ψ圩畞χ2圩甡圁在町ψ畞ϕ畞χ1圩 在vii圩,在viii圩
在x圩 圁ϕ畞圁ψ畞圁在χ1畞ψ圩畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在在ϕ甡ψ圩畞χ2圩
甡圁在ϕ畞χ1圩 在v圩,在ix圩
在xi圩 圁ϕ畞圁ψ畞 町圁在ϕ畞χ1圩畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在在ϕ甡ψ圩畞χ2圩
甡 町圁在χ1畞ψ圩 在x圩
在xii圩 圁在χ1畞ϕ圩甤圁在ϕ畞χ1圩TAUT,RE圁
在xiii圩 圁在χ2畞在ϕ甡ψ圩圩 甤圁在在ϕ甡ψ圩畞χ2圩TAUT,RE圁
在xiv圩 圁ϕ畞圁ψ畞 町圁在χ1畞ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在χ2畞在ϕ甡ψ圩圩
甡 町圁在χ1畞ψ圩 在xi圩,在xii圩,在xiii圩
在xv圩 圁ϕ畞 町圁在χ1畞ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩甡圁ψ在?圩
在xvi圩 圁ϕ畞 町圁在χ1畞ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩畞 町圁在χ2畞在ϕ甡ψ圩圩
甡 町圁在χ1畞ψ圩 在xiv圩,在xv圩
坻 圱圲圳 坻

附录坂与无知逻辑文献的对比北京大学博士研究生学位论文
第二个内定理，即在?圩的证明如下：
在i圩町在χ1畞ϕ圩甤在ϕ甡 町χ1圩TAUT
在ii圩 圁町在χ1畞ϕ圩甤圁在ϕ甡 町χ1圩RE圁,在i圩
在iii圩 圁在χ1畞ϕ圩甤圁町在χ1畞ϕ圩 圁Equ
在iv圩 圁在χ1畞ϕ圩甤圁在ϕ甡 町χ1圩Sub,在ii圩,在iii圩
在v圩 圁ϕ甡圁在ϕ甡 町χ1圩畟圁在町ϕ甡在χ1畞ϕ圩圩 圁Dis
在vi圩 圁ϕ畞 町圁在ϕ甡 町χ1圩甡圁在町ϕ甡在χ1畞ϕ圩圩 在v圩
在vii圩 圁ϕ畞 町圁在χ1畞ϕ圩甡圁在町ϕ甡在χ1畞ϕ圩圩 Sub,在iv圩,在vi圩
在viii圩 圁ϕ畞圁在町ϕ甡在χ1畞ϕ圩圩 畞 町圁在χ1畞ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩
甡圁ψ引理圳.圱.圴
在ix圩 圁ϕ畞 町圁在χ1畞ϕ圩畞圁在ϕ甡ψ圩甡圁ψ在vii圩,在viii圩
命题B.1.5. 公理I4 在畎畃界 中可证。
证明.由命题坂圮圱圮圱圬 有
畠畎畃界 町圁χ甡 町圁在χ畞ψ圩畟 町圁在χ畞 町ψ圩
因此有该命题成立。
命题B.1.6. 初始规则RI 在畎畃界 中可允许。
证明.假设畠ϕ圮据GEN圁有畠圁ϕ圮只需证明畠 町圁χ甡 町圁在χ畞ϕ圩圬 等价地说，
畠圁在χ畞ϕ圩甡圁χ圮从假设畠ϕ可以得出畠 町ϕ甡 町χ圮然后再次使用GEN圁圬 可得
畠圁在町ϕ甡 町χ圩圮 运用公理圁Con，可得畠圁在町ϕ甡 町χ圩畞圁在ϕ甡 町χ圩甡圁町χ圬
进而由MP 可得畠圁在ϕ甡 町χ圩甡圁町χ圮注意到畠圁在χ畞ϕ圩甤圁在ϕ甡 町χ圩和
畠圁χ甤圁町χ可从圁Equ 得到。因此畠圁在χ畞ϕ圩甡圁χ圬为所求。
命题B.1.7. Sub 在畎畃界 中可允许。
证明.类似于命题圳圮圱圮圳 的证明。
坻 圱圲圴 坻

北京大学博士研究生学位论文坂圮圲 与坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 的比较
B.2 与Steinsvold (2008) 的比较
这部分证明系统畎畃界畓圴和坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 的系统LB 是等价的，即它们包含同样
的内定理。先证明，LB 中的公理圯初始规则在畎畃界畓圴中都是可证的圯可允许的。
前面已经证明了圁ϕ畞圁ψ甡圁在ϕ畞ψ圩在畎畃界 中可证（命题坂圮圱圮圳），因此该公式
当然也在更强的系统畎畃界畓圴中可证。
命题B.2.1. 公理N,Z,R在畎畃界畓圴中都是可证的。
证明.据TAUT圬GEN圁圬 圁Equ 和命题坂圮圱圮圳圮
命题B.2.2. 初始规则WM 在畎畃界畓圴中是可允许的。
证明.假设畠圁ϕ畞ϕ甡ψ圮据假设和GEN圁圬 有畠圁在圁ϕ畞ϕ甡ψ圩圮 由于畠圁在圁ϕ畞
ϕ甡ψ圩畞圁在圁ϕ畞ϕ圩畞在圁ϕ畞ϕ圩甡圁ψ（公理圁T），有畠圁在圁ϕ畞ϕ圩畞在圁ϕ畞ϕ圩甡圁ψ圮
另外，由公理w圁圴可得：畠圁ϕ甡圁圁ϕ畞圁ϕ圮利用命题坂圮圱圮圳 可得畠圁圁ϕ畞圁ϕ甡
圁在圁ϕ畞ϕ圩圮 从而有畠圁ϕ畞ϕ甡圁ψ圬为所求。
现在证明，系统LB 也能推导出系统畎畃界畓圴，换句话说，畎畃界畓圴中的公
理圯初始规则在LB 中都是可证圯可允许的。为此，只需证明，公理圁Con圬 圁Dis圬
圁T和w圁圴圬 初始规则GEN圁RE圁都是LB 中可证圯可允许的。下文将畠LB 简记为
畠圮
引理B.2.3. 如果畠圁ϕ畞ϕ甡ψ,则畠圁ϕ畞ϕ甡圁ψ.
证明.由规则WM 立得。
命题B.2.4. 公理圁Con 在LB 中是可证的。
证明.
在i圩 在在χ甡ϕ圩畞在町χ甡ϕ圩圩 甤ϕTAUT
在ii圩 圁在在χ甡ϕ圩畞在町χ甡ϕ圩圩 甤圁ϕSub,在i圩
在iii圩 圁在χ甡ϕ圩畞圁在町χ甡ϕ圩甡圁在在χ甡ϕ圩畞在町χ甡ϕ圩圩 R
在iv圩 圁在χ甡ϕ圩畞圁在町χ甡ϕ圩甡圁ϕSub,在ii圩,在iii圩
坻 圱圲圵 坻

附录坂与无知逻辑文献的对比北京大学博士研究生学位论文
命题B.2.5. 公理圁Dis 在LB 中是可证的。
证明.
在i圩ϕ甡在町ϕ甡χ圩TAUT
在ii圩 圁ϕ畞ϕ甡在町ϕ甡χ圩 在i圩
在iii圩 圁ϕ畞ϕ甡圁在町ϕ甡χ圩引理坂圮圲圮圳,在ii圩
在iv圩町ϕ甡在ϕ甡ψ圩TAUT
在v圩 圁町ϕ畞 町ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩 在iv圩,类似于在i圩甀在iii圩
在vi圩 圁ϕ畞 町ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩 在v圩,Z
在vii圩 圁ϕ甡圁在ϕ甡ψ圩畟圁在町ϕ甡χ圩 在iii圩,在vi圩
命题B.2.6. 公理圁T在LB 中是可证的。
证明.
在i圩ϕ畞在ϕ甡ψ圩甡ψTAUT
在ii圩 圁在ϕ畞在ϕ甡ψ圩圩 畞在ϕ畞在ϕ甡ψ圩圩 甡ψ在i圩
在iii圩 圁在ϕ畞在ϕ甡ψ圩圩 畞在ϕ畞在ϕ甡ψ圩圩 甡圁ψ引理坂圮圲圮圳,在ii圩
在iv圩 圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩甡圁在ϕ畞在ϕ甡ψ圩圩 R
在v圩 圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞ϕ畞在ϕ甡ψ圩甡圁ψ在iii圩,在iv圩
在vi圩町在ϕ甡ψ圩甡 町ψTAUT
在vii圩 圁町在ϕ甡ψ圩畞 町在ϕ甡ψ圩甡圁町ψ在vi圩,类似于在i圩甀在iii圩
在viii圩 圁在ϕ甡ψ圩畞 町在ϕ甡ψ圩甡圁ψ在vii圩,Z
在ix圩 圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞ϕ畞 町在ϕ甡ψ圩甡圁ψ在viii圩
在x圩 圁ϕ畞圁在ϕ甡ψ圩畞ϕ甡圁ψ在v圩,在ix圩
命题B.2.7. 公理w圁圴 在LB 中是可证的。
坻 圱圲圶 坻

北京大学博士研究生学位论文坂圮圲 与坓坴坥坩坮坳坶坯坬坤 在圲地地圸圩 的比较
证明.
在i圩 圁ϕ畞ϕ甡圁ϕTAUT
在ii圩 圁ϕ畞ϕ甡圁圁ϕ引理坂圮圲圮圳,在i圩
在iii圩 圁町ϕ畞 町ϕ甡圁町ϕTAUT
在iv圩 圁町ϕ畞 町ϕ甡圁ϕ在iii圩,Z
在v圩 圁町ϕ畞 町ϕ甡圁圁ϕ引理坂圮圲圮圳,在iv圩
在vi圩 圁ϕ畞 町ϕ甡圁圁ϕ在v圩,Z
在vii圩 圁ϕ甡圁圁ϕ在ii圩,在vi圩
命题B.2.8. 初始规则GEN圁在LB 中是可允许的。
证明.假设畠ϕ圬需证畠圁ϕ圮据假设有畠ϕ甤 甾圬然后由规则Sub 有畠圁ϕ甤圁甾圮
运用公理N和TAUT圬有畠圁甾圬因此有畠圁ϕ圮
命题B.2.9. 初始规则RE圁在LB 中是可允许的。
证明.从规则Sub 直接可得圮
坻 圱圲圷 坻

附录坂与无知逻辑文献的对比北京大学博士研究生学位论文
坻 圱圲圸 坻

附录C一些省略的证明
命题C.0.10. 圁-互类似甤∆是一个等价关系。
证明.只需证明：甤∆满足自反、对称、传递这三个性质。
自反性：任给畍圽畨S, R, V 畩且s甲S，要证在畍, s圩甤∆在畍, s圩。为此，定义
Z圽畦在w, w圩番w甲S畧，即Z是一个自身等同关系。只需证明Z是畍上的一个
圁圭互模拟关系。
因为s甲S，有在s, s圩甲Z，从而Z非空。假设wZw。首先，显然有：任给
p甲P，w甲V在p圩当且仅当w甲V在p圩，即条件（Inv）满足；如果wRt，且存在
t1, t2使得wRt1, wRt2且在t1, t2圩/甲Z，则显然存在t0圽t使得wRt0且tZt0（因为
t甲S），即条件（圁-Zig）满足；条件（圁-Zag）同理可证。
对称性：任给畍圽畨S, R, V 畩,畍0圽畨S0, R0, V 0畩且s甲S, s0甲S0。假设
在畍, s圩甤∆在畍0, s0圩，要证在畍0, s0圩甤∆在畍, s圩。由假设，存在畍和畍0的不交并
畍00 圽畨S00, R00 , V 00 畩上的圁圭互模拟关系Z使得sZs0。定义Z0圽畦在w, w0圩番在w0, w圩甲
Z畧，即Z0是Z的逆关系。只需证明Z0是畍00 上的一个 圁圭互模拟关系。
因为sZs0，即在s, s0圩甲Z，据Z0的定义，有在s0, s圩甲Z0，因而Z0非空。假设
在w, w0圩甲Z0。则在w0, w圩甲Z。据Z的条件（Inv），有：任给p甲P，w0甲V00在p圩
当且仅当w甲V00在p圩，即任给p甲P，w甲V00在p圩当且仅当w0甲V00在p圩，因此条
件（Inv）满足；如果wR00t，且存在t1, t2使得wR00t1, wR00 t2且在t1, t2圩/甲Z0，因
此在t2, t1圩/甲Z。由w0Zw 和Z的条件（圁-Zag），得：存在t0使得w0R00t0且t0Zt，
后者即tZ0t0，因此条件（圁-Zig）满足；条件（圁-Zag）运用Z的条件（圁-Zig）
类似可证。
传递性：任给畍圽畨SM, RM, V M畩,畎圽畨SN, RN, V N畩,畏圽畨SO, RO, V O畩
以及s甲 畍, t 甲 畎 , u 甲 畏。假设在畍, s圩甤∆在畎, t圩,在畎, t圩甤∆在畏, u圩，要证
在畍, s圩甤∆在畏, u圩。
坻 圱圲圹 坻

附录坃一些省略的证明北京大学博士研究生学位论文
由假设，存在畍和畎的不交并上的圁圭互模拟关系Z1使得sZ1t，且存在畎
和畏的不交并上的圁圭互模拟关系Z2使得tZ2u。我们需要找到畍和畏的不交并
上的一个 圁圭互模拟关系Z使得sZu。
定义Z圽畦在x, z圩番x甲SM, z 甲SO,存在y甲SN, xZ1y, yZ2z畧畛畦在x1, x2圩番
x1, x2甲SM, x1Z1x2畧畛畦在z1, z2圩番z1, z2甲SO, z1Z2z2畧畛畦在x1, x2圩番x1, x2甲SM,存在y1, y2甲
SN, y1Z2y2, x1Z1y1, x2Z1y2畧畛畦在z1, z2圩番z1, z2甲SO,存在y1, y2甲SN, y1Z1y2, y1Z2z1, y2Z2z2畧。
首先，由于sZ1t且tZ2u，据Z定义的第一部分，有sZu。我们只需证明Z
满足圁圭互模拟关系的三个条件。任给x甲SM, z 甲SO，假设xZz，则据Z定义
的第一部分，存在y甲SN，使得xZ1y, yZ2z。
Inv: 由于Z1, Z2都是圁圭互模拟，易得：任给p甲P，x甲VM在p圩当且 仅 当
y甲VN在p圩当且仅当z甲VO在p圩。
圁-Zig: 假定xRMx0，且存在x1, x2甲SM使得xRMx1, xRMx2且在x1, x2圩/甲Z，只
需证：存在z0甲SO使得zROz0且x0Zz0。由在x1, x2圩/甲Z和Z定义的第二部
分，得在x1, x2圩/甲Z1。据xZ1y和Z1的圁圭坚坩坧 条件，存在y0, y1, y2甲SN使得
yRNy0, yRNy1, yRNy2且x0Z1y0, x1Z1y1, x2Z1y2。由在x1, x2圩/甲Z, x1Z1y1, x2Z1y2
和Z定义的第四部分，得在y1, y2圩/甲Z2。进而据yZ2z和Z2的圁圭坚坩坧 条件，
可得：存在z0甲SO，使得zROz0且y0Z2z0。我们已经证明了x0Z1y0, y0Z2z0，
此时运用Z定义的第一部分，x0Zz0，为所求。
圁-Zag: 类似于圁-Zig 可证，此时需要运用Z的第三部分和第五部分，而非第二部
分和第四部分。
命题圳圮圳圮圷 的另一种证明：
命题C.0.11.
在畍+, s圩甤∆在畍c, f 在s圩圩.
证明.定义
Z圽畦在s, f 在s圩圩 番s甲S+畧.
只需证明Z是模型畍+畝 畍c上的一个 圁圭互模拟关系，即Z满足圁圭互模拟的三
个条件，如下：
坻 圱圳地 坻

北京大学博士研究生学位论文
Inv场任给p甲P，都有畍+, s p用甩 p甲f在s圩用甩 畍c, f在s圩p.
圁-Zig场假设sR+t，且存在不同的t1, t2使得sR+t1, sR+t2且在t1, t2圩/甲Z，要证：
存在t0使得f在s圩Rct0且tZt0。如果s /甲D，则据sR+t1，有s圽 在t1, t0
1圩；
据sR+t2，有s圽 在t2, t0
2圩。则有t1圽t2，矛盾于t1和t2不同的假设。所
以s甲D。由假设sR+t和命题圳圮圳圮圵圮圲，得f在s圩Rcf在t圩。由Z的定义，有
tZf在t圩。
圁-Zag场假设f在s圩Rct0，且存在t0
1, t0
2使得f在s圩Rct0
1, f 在s圩Rct0
2且在t0
1, t0
2圩/甲Z，要证：
存在t甲S+使得sR+t且tZt0。由假设f在s圩Rct0和命题圳圮圳圮圵圮圳，得：存在
u甲S+使得sR+u且f在u圩 圽 t0。由Z的定义，uZf 在u圩，即uZt0，u为所求
的t。
圴圮圳 节声称命题圴圮圳圮圳 等价于命题圳圮圳圮圳 的多主体版本，这里给出详细的证明。
命题C.0.12. 下列两个声称是等价的：
1. 任给s, t 甲Sc，任给i甲Ag，若sRc
it，且存在t0甲Sc使得tRc
it0，则tRc
is。
2. 任给s, t 甲Sc，任给i甲Ag，若sRc
it，且存在χ使得町圁iχ甲t，则tRc
is。
证明.令“存在t0甲Sc使得tRc
it0”为条件在圱圩，令“存在χ使得町圁iχ甲t”为条
件在圲圩。根据两个声称的表述，只需证：在圱圩 用甩 在圲圩。
在圱圩 圽甩在圲圩 场 据tRc
it和Rc
i的定义立得。
在圲圩 圽甩在圱圩 场 假设在圲圩，首先证明畦χ0番圁iχ0畞圁i在χ甡χ0圩甲t畧 畛 畦χ畧是一致
的。若不然，则存在χ0
1,甁 甁 甁 , χ0
n，使得畠χ0
1畞 甁 甁 甁 畞 χ0
n甡 町χ且任给j甲坛圱, n坝都
有，圁iχ0
j畞圁i在χ甡χ0
j圩甲t。据前者和规则GEN圁，有畠圁i在Vn
j=1 χ0
j甡 町χ圩，因此
圁i在Vn
j=1 χ0
j甡 町χ圩甲t。据命题圳圮圱圮圵，有圁iχ甲t，矛盾于假设。
因此畦χ0番圁iχ0畞圁i在χ甡χ0圩甲t畧畛畦χ畧是一致的。据林登鲍姆引理，存在
t0甲Sc使得畦χ0番圁χ0畞圁在χ甡χ0圩甲t畧 畛 畦χ畧 甒 t0，据这个和假设以及Rc
i的定义，
有tRc
it0且ψ甲t0。这就证明了在圱圩。
坻 圱圳圱 坻

附录坃一些省略的证明北京大学博士研究生学位论文
坻 圱圳圲 坻

致谢
首先，我要感谢我的导师周北海老师。他对我严格要求、细心指导。例如，
为了确定我的论文框架，他连续几天与我讨论，一聊就是好几个小时，每次都忘
记吃午饭的时间。在我没有完全理解他的观点时，他都会耐心地进行讲解。在此，
我谨向周北海老师表示真诚的感谢。
其次，我要特别感谢王彦晶老师。王老师是一位认真负责的好老师。他在学
习上给予了我很多的指导和帮助，包括教导我如何思考问题、撰写有质量的文
章、准备会议报告、参加学术会议。他渊博的知识、独到的见解、快速的反应能
力、对问题的准确判断，在与他讨论问题的时候都能够让人感觉到。我很喜欢和
他一起讨论问题，因为每次讨论我都会有所收获。同时，他也是一位好朋友。当
我在学习上有进步时，他会及时给我赞扬和鼓励。我在博士期间所取得的进步离
不开他的帮助和指导。本文的许多工作都要归功于他。
我也要特别感谢我在法国访学期间的外方导师坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨。无论
是逻辑专业知识的传授，还是英文写作的指导，坈坡坮坳 都给予了我许多无私的帮
助。他还特意送给我一些英文写作的书，要我学习。有一次，坈坡坮坳 写了一封很
长的邮件，告诉我英文论文的一些写作规则，比如，“不要把引用的文献（或公
式）放在句子的开头”，“坢坹 后面是跟作者而不是跟文献，坩坮 后面才是跟引用的文
献”，等等。我在英文论文写作方面的提高，与坈坡坮坳 的指导也分不开。他资助我
参加荷兰召开的国际会议坁坩坍坌 圲地圱圴 和德国举办的暑期学校坅坓坓坌坌坉 圲地圱圴，让我
有机会扩大自己的学术视野。同时，我也要感谢我在坌坏坒坉坁圬坃坎坒坓圭坕坮坩坶坥坲坳坩坴圓坥 坤坥
坌坯坲坲坡坩坮坥 的同事坐坥坴坡坲 坉坬坩坥坶、坓坯坰坨坩坡 坋坮坩坧坨坴 和坁坹坢坿坵坫坥 坿
坏坺坧坿坵坮，他们对我也给予了
许多关心和帮助。我还要特别感谢国家留学基金委坃坓坃“国家建设高水平大学公
派研究生项目”的资助。
另外，逻辑学教研室的刘壮虎老师、陈波老师、邢滔滔老师以及马丽、陈星
坻 圱圳圳 坻

致谢北京大学博士研究生学位论文
群、李熙、朱薇、李楷等多位同学也在学习、生活等各方面给了我指导和关心。
在此我一并对他们表示诚挚的感谢。
我也要感谢坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圬 块坩坥坢坥 坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫圬 坐坥坴坡坲 坉坬坩坥坶圬 坙坡坮坪坩坮坧
块坡坮坧（王彦晶老师）等人在论文写作上的合作，特别是要感谢王彦晶老师。我也
要感谢坐坨坩坬坩坰坰坥 坂坡坬坢坩坡坮坩，由于他我开始关注非偶然逻辑的研究工作。
我要特别感谢我的女朋友苏颖，感谢她一直以来的陪伴和关心。她是一个善
良可爱、温柔体贴、目光长远、考虑周到的女孩。正是她鼓励我出国访学，陪我
一起考出国英语，也正是她鼓励我多投学术论文，多参加国际学术会议。我去印
度参加国际会议坉坃坌坁圲地圱圵，她也一直陪在我身边，让我免去了许多烦恼。我能
出国留学，在学术上取得进步，离不开她的鼓励和支持。
最后，我也要特别感谢我的家人，父亲、母亲、弟弟，感谢他们一直以来对
我求学的支持，感谢他们多年来的付出，感谢他们对我的信任与爱。
坻 圱圳圴 坻

博士期间的科研成果
本人在博士期间的科研成果如下（包括已发表、已被接收、已投稿的文章）：
坛圱坝 坊坩坥 坆坡坮圬 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坡坮坤 坋坮坯坷坩坮坧
块坨坥坴坨坥坲圮 The Review of Symbolic Logic圬 坃坡坭坢坲坩坧坥 坕坮坩坶坥坲坳坩坴坹 坐坲坥坳坳圬 坖坯坬坵坭坥 圸圬
坉坳坳坵坥 地圱圬 坰坡坧坥坳 圷圵圭圱地圷圬 坍坡坲坣坨 圲地圱圵圮
坛圲坝 坊坩坥 坆坡坮 坡坮坤 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坎坥坩坧坨坢坯坲坨坯坯坤 坃坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹 坌坯坧坩坣圮 坉坮
Proceedings of 6th Indian Conference on Logic and its Applications (ICLA 2015)圬
坌坥坣坴坵坲坥 坎坯坴坥坳 坩坮 坃坯坭坰坵坴坥坲 坓坣坩坥坮坣坥圬 坖坯坬坵坭坥 圸圹圲圳圬 坰坡坧坥坳 圸圸圭圹圹圬 圲地圱圵圮 在坂坥坳坴 坐坡坰坥坲
坁坷坡坲坤圩
坛圳坝 坊坩坥 坆坡坮圬 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圮 坁坬坭坯坳坴 坎坥坣坥坳坳坡坲坹圮 Ad-
vances in Modal Logic圬 坖坯坬坵坭坥 圱地圬 坰坡坧坥坳 圱圷圸圭圱圹圶圬 圲地圱圴圬 坃坯坬坬坥坧坥 坐坵坢坬坩坣坡坴坩坯坮坳圮
坛圴坝 坈坡坮坳 坶坡坮 坄坩坴坭坡坲坳坣坨圬 坊坩坥 坆坡坮圬 块坩坥坢坥 坶坡坮 坤坥坲 坈坯坥坫圬 坐坥坴坡坲 坉坬坩坥坶圮 坓坯坭坥
坅坸坰坯坮坥坮坴坩坡坬 坌坯坷坥坲 坂坯坵坮坤坳 坯坮 坆坯坲坭坵坬坡圭坳坩坺坥 坩坮 坍坯坤坡坬 坌坯坧坩坣圮 Advances in Modal
Logic圬 坖坯坬坵坭坥 圱地圬 坰坡坧坥坳 圱圳圹圭圱圵圷圬 圲地圱圴圬 坃坯坬坬坥坧坥 坐坵坢坬坩坣坡坴坩坯坮坳圮
坛圵坝 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坊坩坥 坆坡坮圮 坃坯坮坤坩坴坩坯坮坡坬坬坹 坋坮坯坷坩坮坧 块坨坡坴圮 Advances in
Modal Logic圬 坖坯坬坵坭坥 圱地圬 坰坡坧坥坳 圵圶圹圭圵圸圷圬 圲地圱圴圬 坃坯坬坬坥坧坥 坐坵坢坬坩坣坡坴坩坯坮坳圮
坛圶坝 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坊坩坥 坆坡坮圮 坋坮坯坷坩坮坧 坔坨坡坴圬 坋坮坯坷坩坮坧 块坨坡坴圬 坡坮坤 坐坵坢坬坩坣
坃坯坭坭坵坮坩坣坡坴坩坯坮场 坐坵坢坬坩坣 坁坮坮坯坵坮坣坥坭坥坮坴 坌坯坧坩坣 坷坩坴坨 坋坶 坏坰坥坲坡坴坯坲坳圬 坩坮 Proceedings
of 23rd International Joint Conference on Artificial Intelligence圬 坰坡坧坥坳 圱圱圴圷圭圱圱圵圴圬
圲地圱圳圬 坁坁坁坉 坰坲坥坳坳圮
坛圷坝 坙坡坮坪坩坮坧 块坡坮坧 坡坮坤 坊坩坥 坆坡坮圮 坅坰坩坳坴坥坭坩坣 坉坮坦坯坲坭坡坴坩坶坥坮坥坳坳圮 坔坯 坡坰坰坥坡坲 坩坮 坴坨坥
Proceedings of the Second Asian Workshop on Philosophical Logic圬 坓坴坵坤坩坡 坌坯坧坩坣坡
坌坩坢坲坡坲坹圬 坓坰坲坩坮坧坥坲圮
坛圸坝 坊坩坥 坆坡坮圮 坌坯坧坩坣坳 坯坦 坓坴坲坯坮坧 坎坯坮坣坯坮坴坩坮坧坥坮坣坹圮 坓坵坢坭坩坴坴坥坤圬 圲地圱圵圮
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博士期间的科研成果北京大学博士研究生学位论文
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北京大学学位论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究
工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或
集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体
，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名： 日期： 年 月 日
学位论文使用授权说明
（必须装订在提交学校图书馆的印刷本）
本人完全了解北京大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：
按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；
学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服
务，在校园网上提供服务；
学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；
/□三年以后，在校园网上全文发布。
因某种特殊原因需要延迟发布学位论文电子版，授权学校□一年/□两年
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（保密论文在解密后遵守此规定）
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论文作者签名：
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导师签名：