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A propos d'une table de logarithmes

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L'article présente une table de logarithmes éditée en 1795. Cette présentation est accompagnée d'informations générales sur la fabrication et l'utilisation de telles tables.
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
A propos d'une table de logarithmes
Luc-Olivier Pochon
« .. at the very instant one knocks at the gate. John
Marr hastened down and it proved to be Mr. Briggs to
his great contentment. He brings Mr. Briggs into my
Lord’s chamber, where almost one quarter of an hour
was spent, each beholding the other with admiration,
before one word was spoken. »1 (Lilly, 1774:155)
Introduction
La fonction logarithme n'est pas plébiscitée par les lycéens. Souvent perçue, vaguement, à
travers l'exponentielle sa réciproque, les occasions de la mettre en oeuvre se présentent
rarement, trop rarement pour permettre au étudiants de se familiariser avec elle. La plupart du
temps l'utilisation des logarithmes se limite à la résolution numérique d'une équation
exponentielle (trouver le nombre de répétitions permettant de maximiser la probabilité de
l'apparition d'un événement, par exemple). Ils apparaissent aussi dans des formules utilisées
en physique ou chimie.
Pour leurs aînés, le logarithme était moins une fonction qu'une correspondance donnée par
une table de valeurs discrètes ou un ingrédient d'algorithme de calcul (dont les règles à
calcul). On peut imaginer qu'entre cette génération d'étudiants et l'actuelle, les logarithmes
scolaires ont connu une période scolaire plus faste. Entre consultation de tables et calculs
facilités par les premières calculatrices, certaines activités ont certainement permis à des
volées d'étudiants d'entrer en contact plus étroit avec cette notion toujours un peu mystérieuse.
Cet article ne va pas explorer plus avant cette hypothèse. Toutefois, en prenant comme
prétexte la description d'une vieille table de logarithmes2, il rassemble quelques bribes de
l'histoire de l'invention de cet instrument (matériel et intellectuel) susceptibles d'intéresser des
lycéens. Par ailleurs, cette « saga » donne un exemple de la façon dont naissent,
laborieusement, de nombreuses notions des mathématiques abstraites actuelles.
La table de logarithmes dont il est question, due à F. Callet, est le tirage de 1825 d'un ouvrage
édité en 1795. Elle a eu différents propriétaires dont il est difficile de trouver la trace. Son
dernier utilisateur a été Samuel Gagnebin. Héritée par son petit-fils Louis Gagnebin, elle m'a
été remise « pour en faire quelque chose ». Dont acte. Sa présentation suivra un bref rappel de
la notion de logarithmes, de quelques éléments d'histoire et d'un bref aperçu des tables de
logarithmes scolaires.
Les logarithmes, bref rappel
Pour parler de logarithmes, il faut tout d'abord fixé une base, par exemple 10 (on parle alors
de logarithmes vulgaires). Le logarithme de base 10 d'un nombre x est l'exposant, noté
actuellement log x, tel que 10 élevé à la puissance cet exposant vaille x. Plus simplement dit,
c'est chercher ? dans l'équation
10?=x
. En formule :
10log x=x
. En particulier log 10 = 1.
On définit de la même manière les logarithmes de base a à l'aide de l'équivalence :
y=logaxay=x
(a nombre positif)
1... à l'instant même on frappe à la porte, John Marr descend rapidement et constate avec plaisir que c'est M.
Briggs ; il le conduisit à la chambre de lord Napier, et il se passa alors presque un quart d'heure avant qu'un mot
ne fût prononcé, car chacun des deux interlocuteurs considérait l'autre avec admiration.
2 En raccourci, on nomme « table de logarithmes » un ouvrage constitué de différentes tables numériques dont
des tables de logarithmes.
1
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La principale propriété de la « prise du logarithme » est la transformation du produit en
somme. C'est elle qui justifie tous les développements ultérieurs. Au logarithme du produit ou
du quotient (opérations « compliquées ») de deux nombres correspond la somme ou la
différence (opérations «simples ») des logarithmes des nombres. En for mule s :
log(ab)=log a+log b
;
log(a/b)=log alog b
. Ces propriétés découlent de celles de
l'exponentielle, plus précisément de la relation
10log a+log b=10log a
10log b=ab
et de la
définition.
Un cas particulier est intéressant :
log 10 a=log 10 +log a=1+log a
. Il indique que la
connaissance des logarithmes des nombres de 1 à 10 suffit. Ou alors qu'il suffit de calculer les
logarithmes des nombres entiers. Ainsi, on détermine le logarithme3 de 1,25 ou de 12,5 à
partir du logarithme de 125 :
log 125 = 2,09691 ; log 12,5 = 1,09691 ; log 1,25 = 0,09691
De même, pour définir les logarithmes des nombres non entiers, jusqu'au millième par
exemple, on peut calculer les logarithmes des nombres entiers de 1 à 10000 (le logarithme de
9,105 possède la même mantisse4 que le logarithme de 9105). Pour calculer les logarithmes
jusqu'à la n-ième décimale, on peut déterminer des logarithmes des nombres entiers compris
entre 1 et
10n+1
.
Une propriété très utile relie les logarithmes de différentes bases : les logarithmes de base b
sont proportionnels aux logarithmes de base a. En formule :
.
Cette formule découle de la relation :
alogbxlogab=(alog ab)logbx=blogbx=x
; la définition de
logax
permet de déduire immédiatement que
logax=logbxlogab
qui est la formule
cherchée sous forme multiplicative. Ainsi connaissant les logarithmes de base a, on peut
calculer facilement les logarithmes de n'importe quelle autre base.
Importance et bref historique du développement du calcul des logarithmes
La mise au point de la notion de logarithmes, de l'élargissement de leur utilisation, du
perfectionnement des algorithmes de calcul et du calcul des tables constituent un travail de
longue haleine impliquant de nombreux mathématiciens, astronomes (ou astrologues), voire
simples calculateurs, qui y ont consacré une grande partie de leur carrière ou de leur vie.
Selon Jagger (2010), l'établissement de la table initiale et le calcul du logarithme du sinus de
5400 valeurs (90 x 60 : toutes le minutes des angles de 0 à 90 degrés) a pris 20 années à
Napier. Leur création est jalonnée de multiples péripéties, problèmes de financement des
publications, de diffusion des techniques, de discussion concernant le codage des angles : en
nombres décimaux ou en degrés, minutes et secondes, etc.
C'est en 1614 que « l'invention » des logarithmes est officiellement rendue publique avec la
parution de Mirifici logarithmorum canonis descriptio (ultérieurement la Descriptio). Cet
ouvrage est l'oeuvre de John Napier (1550-1617) (orthographié Néper en français pour rendre
compte de la prononciation anglaise), physicien et astronome écossais, baron de Merchiston,
et inventeur par ailleurs de différentes méthodes et outils de calcul (dont les « bâtons de
Néper »). Un deuxième ouvrage de Napier concernant les logarithmes est posthume, publié
par son fils en 1969, Mirifici logarithmorum canonis constructio ( l a Constructio). Il y
explique en détail comment les tables de la Descriptio ont été calculées5.
3 Dans ce document, comme tous ceux de l'époque, le signe de l'égalité est utilisé sans autre précaution et
avertissement.
4 La partie entière de la valeur d'un logarithme est la caractéristique. Elle se déduit directement de l'ordre de
grandeur du nombre. La partie décimale est la mantisse. C'est elle qui est principalement tabulée dans les tables
de logarithmes.
5 Cet ouvrage a certainement été écrit avant la Descriptio. Le terme « nombres artificiels » y est utilisé pour
désigner les logarithmes.
2
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Les logarithmes étaient spécialement destinés aux calculs astronomiques et à la navigation.
Les nombres tabulés dans les tables imaginées par Napier permettent de remplacer la
multiplication par le sinus6 d'un angle (lors de la résolution de triangles y compris sphériques)
par une addition. La table de Napier n'était donc pas une table de « pures » logarithmes, mais
les logarithmes de sinus d'angles, valeurs que Napier avait repris en partie d'autres tables
(Roegel, 2010).
En outre, ces logarithmes ne correspondent pas à la définition actuelle (voir plus loin). Il a
fallu attendre 1633, année le mathématicien anglais Henry Briggs publie son ouvrage
Trigonometria Britannica7, pour que leur définition atteigne sa maturité et offre des facilités
de calcul étendue8. Mais il ne s'agit pas encore de la fonction logarithme actuelle. La notion
de fonction, comme objet mathématique, est due (avec les notations encore utilisées de nos
jours) à Leonard Euler (1707-1783)9. Jusqu'alors les correspondances présentées dans des
tables n'étaient pas symbolisées et leurs propriétés n'étaient pas étudiées systématiquement.
Par la suite, d'autres contributeurs publièrent des tables de logarithmes du sinus en utilisant les
logarithmes de base 10 (ou logarithmes « vulgaires ») définis par Briggs. Tous les
contributeurs, mais Briggs principalement, ont également fait oeuvre « d'évangélistes » pour
inciter les mathématiciens, astronomes et navigateurs à utiliser les tables de logarithmes. La
saga est agrémentée des problèmes, notamment financiers, d'édition et de diffusion.
Du point de vue historique encore, si le lien entre progressions géométriques et arithmétiques
a été abordé par de nombreux mathématiciens (Roegel, 2010), les premières tables de
correspondance sont dues à Napier et Jost Bürgi. Ce dernier, astronome suisse qui a travaillé
aux côtés de Kepler, élabore des tables trigonométriques et une table de logarithmes (en fait
d'antilogarithmes) qui ne sera publiée qu'en 1620 bien que conçue entre 1603 et 1611 (dès
1588 selon Voellmy & Extermann (1972) et le dictionnaire historique de la Suisse10).
Revenons à l'oeuvre de Napier. La Descriptio était composée d'une table de logarithmes,
d'une explication de leur nature et des exemples d'utilisation. La table des logarithmes des
sinus d'angles est composée de sept colonnes :
Colonne 1 : les angles de 0° à 45° par pas de 1' ; chaque page couvre 30', l'angle n'est pas
répété ;
Colonne 7 : les angles décroissants de 90° à 45° ;
Colonnes 2 et 6 : le sinus de l'angle mentionné respectivement à gauche et à droite ;
Colonnes 3 et 5 : le logarithme du sinus de l'angle ;
Colonne 4 : la différence des colonnes 3 et 5, c'est-à-dire le logarithme du rapport sin sur cos.
Ainsi de gauche à droite on peut lire : l'angle ; sinus ; log sin ; log tg ; log cos ; cos ; angle
complémentaire. Et de droite à gauche on peut lire : angle ; sinus ; log sin ; log ctg ; log cos ;
cos ; angle complémentaire. Cette disposition, vraisemblablement reprise des tables
trigonométriques, est également utilisée dans l'exemplaire qui nous occupe.
Les valeurs des sinus sont exprimées par des entiers compris entre 0 à 10'000'000 (rayon du
cercle servant à déterminer la valeur des sinus). En notant λ la « fonction » définie par Napier,
on a les valeurs :
λ(0)=Infinitum
;
λ(107)=0
;
λ(1)=161'180'896
;
6 Le sinus d'un angle était alors défini comme la moitié de la longueur de la corde inscrite dans le double de
l'angle.
7 Briggs a publié un premier extrait des tables en 1617, puis des tables plus complètes sous le titre Arithmetica
logarithmica en 1624.
8 Jagger (2003) dans l'article dont est tiré une partie de ces informations historiques qualifie la définition des
logarithmes selon Napier plutôt lourde et maladroite. Il apparaît que ce jugement dépréciatif n'est pas mérité au
vu de l'objectif poursuivi par Napier qui défriche un terrain à la fois théorique et pratique.
9 Le premier exposé rigoureux (c'est-à-dire répondent aux exigences logiques actuelles) est du à A. L. Cauchy
(1789-1857).
10 http://www.hls-dhs-dss.ch/textes/f/F24730.php
3
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λ(106)=23'025'842
;
λ(10) (1)−λ(106)=138'155'054
et les propriétés :
λ(a b)=λ(a)+λ(b)−λ (1)
;
λ( a
b)=λ(a)−λ (b)+λ (1)
;
λ ( a b
c)=λ(a)+λ (b)−λ (c)
On voit que l'usage de ces logarithmes avec des nombres décimaux n'était pas des plus aisé.
Idée de base de Napier
Le logarithme d'un sinus est, selon une formulation de Napier, un nombre qui augmente
également dans des temps égaux tandis que le sinus décroit proportionnellement. Les deux
mouvements ayant lieu dans le même temps et commençant à la même vitesse. Ainsi Napier
imagine deux mobiles A et B partant à la même vitesse, A se déplaçant à une vitesse uniforme
et B à une vitesse diminuant en proportion de la distance parcourue. Le dispositif est résumé
dans le schéma de la figure 1 où s est le sinus et y est le logarithme de s.
fig 1. Dispositif illustrant le raisonnement de Napier
En notation actuelle11 on a :
y=vt
;
x ' =Cx ; x ' (0)=v
;
v=107
on en tire :
s=107x=107et
;
y=λ( s)=107t
.
En égalant les valeurs de t, on trouve la définition du logarithme de Napier en termes actuels :
λ(s)=107(ln 107ln s)
.
Etablissement d'une table
Une technique pour l'établissement d'une table de logarithmes sera illustrée 12 pour la base 10.
La première opération consiste à établir une table de correspondance (table initiale) entre une
suite arithmétique et une suite géométrique d'une raison bien choisie jusqu'à dépasser la
valeur de la base, ici 10. Avec la raison a = 1,01 on obtient la table du tableau 1. En prenant a
= 1,00001 la table initiale serait plus étendue et permettrait d'améliorer la précision des
calculs.
n1 2 3 4 ... 11 12 ... 231 232
1,01n
1,01 1,020
1
1,030
3
1,040
6
... 1,115
7
1,126
8
... 9,9595 10,0591
Tableau 1. Table de logarithmes initiale
11 Le calcul différentiel permettant le passage à la limite, plus tardif, est du à Newton et Leibniz. Fermat est aussi
parfois cité pour son algorithme permettant de calculer la tangente à une courbe (méthode des maximis et
minimis) en 1636 (public dès 1667).
12 Inspiré de http://fr.wikipedia.org/wiki/Table_de_logarithmes. La table initiale utilisée par Napier est constituée
des nombres (1 − 10−7)n pour n de 1 à 100. On pourrait calculer les logarithmes nombre après nombre par
approximations successives. Par exemple pour calculer x= log(2) on part de la définition 2 = 10x qui permet
d'affirmer que x<1. On pose x = y/10. Donc 2 = 10y/10 puis en utilisant les propriétés des exposants fractionnaires :
210 = 10y ; 1024 = 10y et donc 3<y<4. Ainsi y = 3+z/10 et donc x = 0,3... etc. Cette méthode manque de
systématique (demande plus que des additions et multiplications) et est certainement trop laborieuse (pas assez
mécanique) pour établir de grandes tables (et par des calculateurs peu instruits).
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La première ligne de la table donne les logarithmes de base a = 1,01 de la seconde. On obtient
loga10
par interpolation linéaire en ajoutant à 231 le rapport
10 ,05919,9595
109,9595
.
Finalement, on trouve
loga10=231 ,41
.
Comme selon la normalisation souhaitée log 10 doit valoir 1, il faut diviser les valeurs de n
par 231,41. Ainsi la deuxième et la troisième ligne du tableau 2 offrent une première table de
logarithmes de base 10 qu'il suffira de compléter par interpolation.
n 1 2 3 4 ... 11 12 ... 231 231,41
x=1,01n
1,01 1,0201 1,0303 1,0406 ... 1,1157 1,1268 ... 9,9595 10
log x 0,00432 0,00864 0,01296 0,01729 ... 0,04753 0,05186 ... 0,99824 1
Tableau 2. Logarithmes de base 10 de la suite des puissance de 1,01
Pour calculer log 2, par exemple, on commence par situer l'intervalle des xla valeur 2 se
trouve (entre
1,0169
et
1,0170
, tableau 3).
n 1 2 3 ... 69 69,66 70 ... 231 231,41
x=1,01n
1,01 1,0201 1,0303 ... 1,9869 2 2,0068 ... 9,9595 10
log x 0,00432 0,00864 0,01296 ... 0,29818 0,30102 0,30250 ... 0,99824 1
Tableau 3. Calcul de log 2
Puis on procède à une interpolation (linéaire)13 :
log 2=0,29818+(0,302500,29818)(21,9869)
2,00681,9869 =0,30102
La valeur de n correspondante, calculée également par interpolation, vaut14 :
n=69+21,9869
2,00681,9869 =69 ,66
.
Les tables de logarithmes « scolaires »
Dès les derniers degrés de l'école obligatoire, les élèves étaient pourvus d'un ouvrage
rassemblant tables et formulaires (la tendance actuelle est plutôt de munir les élèves, pour
chaque discipline, d'un mémento spécifique) que l'on décrit rapidement pour mémoire.
Table de logarithmes « Voellmy »
En 1939 l'ouvrage d'Erwin Voellmy « Fünfstellige Logarithmen und Zahlentafeln » est publié
par Orell Füssli sous les auspice de la Société suisse des professeurs de mathématiques et de
physique. Elle connaîtra plus de dix éditions.
En 1948 une version française est adaptée par Jean-Paul Extermann. Publiée par Payot,
toujours sous l'auspice de la Société suisse des professeurs de mathématiques et de physique15,
elle connaîtra huit éditions sous les noms d'auteurs Voellmy et Extermann. Son titre
« Logarithmes a cinq décimales et tables Numériques » devient, lors de la 3e édition,
« Tables Numériques et Logarithmes à cinq décimales » vraisemblablement pour marquer
l'évolution des techniques de calcul pour lesquelles l'intérêt des logarithmes a diminué. Les
éditions successives jusqu'à la huitième subissent peu de changements. Les couvertures des
13 La valeur trouvée approche au 100'000-ième de la valeur effective.
14 On peut aussi l'obtenir directement de log 2 multiplié par la constante 231,41 ; les valeurs trouvées concordent
au millième près.
15 Adoptée par la Commission romande des manuels de mathématiques qui en établit un avant-propos dont sont
tirées ces quelques informations historiques.
5
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
premières éditions, puis une page de garde pour les éditions ultérieures, présentait le portrait
de Jost Bürgi (1552-1632) déjà mentionné précédemment. Le contenu de la huitième et
dernière édition est donné en annexe. Les logarithmes occupent les vingt pages de la première
partie de l'ouvrage. Y sont données les mantisses des logarithmes de base 10 des nombres
entiers de 1 à 11'009 avec 5 décimales avec des indications concernant l'interpolation.
Quelques pages sont consacrées aux changements de base et aux logarithmes naturels. De
plus, 50 pages sont encore consacrées aux logarithmes des fonctions trigonométriques.
Les éditions suivantes
L'ouvrage contenant les tables numériques utilisé dans les écoles à partir de 1974 est édité par
la Commission romande de mathématique (avec une deuxième édition en 1978). Il s'intitule
« Tables numériques et formulaires » (CRM, 1974). Le terme de « logarithmes » a disparu du
titre bien qu'une table de logarithmes y occupe encore une place non négligeable. Cet ouvrage
introduit des formulaires en logique, langage ensembliste, structures algébriques, statistiques
et élargit ceux d'analyse et de géométrie vectorielle.
En 1985 paraît une édition profondément remaniée (CRM, 1985) avec la diminution des
tables qui sont devenues caduques par l'utilisation des calculatrices, et une augmentation de la
partie formulaire ce qu'indique le titre de l'ouvrage : « Formulaires et tables ». Une seule table
concerne les logarithmes. Sur une seule page figure les logarithmes naturels des nombres de 1
à 10 par pas de 0,1. En même temps que la fonction logarithme sont tabulées la fonction
exponentielle et les fonctions hyperboliques.
Description de l'ouvrage de F. Callet
L'ouvrage rel plein cuir est usagé certes, mais encore vaillant. Les textes et tables sont
clairement lisibles et facilement consultables bien que l'ouvrage d'une épaisseur de 5 cm
environ soit fort de quelques 800 pages (seules les 118 premières, d'explications, sont
numérotées). Il n'y a pas de table des matières, le titre de la première page en faisant en
quelque sorte office (figure 2) :
Tables portatives de logarithmes contenant les logarithmes des nombres de 1 jusqu'à
108,000 ; les logarithmes des sinus et tangentes de seconde en seconde pour les cinq
premiers degrés, de dix en dix secondes pour tous les degrés du quart de cercle ; et, suivant
la nouvelle Division centésimale, de dix-millième en dix-millième, précédées d'un discours
préliminaires sur l'Explication, l'Usage et la Sommation des Logarithmes, et sur leur
Application à l'Astronomie, à la Navigation, à la Géométrie-Pratique, et aux Calculs
d'Intérêts ; suivies de nouvelles Tables plus approchées, et de plusieurs autres utiles à la
recherche de Longitudes en mer, etc.
Sans approfondir, on pourra se demander de quel roi Firmin Didot16 était-il l'imprimeur. Par
contre, il est à peu près certain que le tirage de 1825 diffère peu de l'édition de 1795 puisque
l'auteur est décédé en 1798.
Avant d'aller plus avant dans cette description, il est utile de savoir qu'à la fin du 18e siècle un
projet ambitieux sous la direction de Gaspard Riche de Prony vise à établir des tables de
logarithmes et de trigonométries d'une précision encore inégalée. Cet énorme travail fut mené
à bien par le Bureau du Cadastre en un temps record (moins de 3 ans). En 1801, les tables
étaient complètes mais leur volume rendait leur publication si coûteuse qu'elle n'ont jamais vu
le jour malgré plusieurs tentatives d'impression. Le gouvernement révolutionnaire, puis le
Directoire, qui avaient passé un marc avec la maison Firmin Didot (c'est ce qui relie les
table de F. Callet à ce gigantesque projet), ne purent pas financer ce travail. De Prony se
16 La dynastie des Didot, comme de nombreux imprimeurs, a oeuvré au développement, la mise au point ou le
perfectionnement de divers artefacts liés aux métiers de l'imprimerie : caractères Didot, point typographique, etc.
Les informations techniques nécessaires à la compréhension de l'avertissement de l'éditeur ont été fournies par
Jean Mentha, typographe.
6
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
borna à publier une Notice sur les grandes tables logarithmiques et trigonométriques
adaptées au nouveau système métrique et décimal (Paris, 1824).
fig 2. Page de titre de l'ouvrage
7
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Une forme réduite de ces tables a paru en 1891, quelques 50 ans après la mort de de Prony.
Par ailleurs, ce travail semble avoir eu quelques influences, dont l'étendue reste à étudier, sur
la publication en 1827 des tables de logarithmes de C. Babbage (pour les nombres entiers de 1
à 108 000)17.
L'article de Grattan-Guinness (2003) qui rend compte de ce travail ne mentionne pas les tables
portatives de F. Callet dont il est question ici. Par contre, dans l'avertissement de F. Callet il
est fait référence au travail de Prony alors en cours.
A propos de la réalisation des tables
Une question se pose de savoir qui a effectué les calculs. Il semble que l'on sait peu de choses
sur la réalisation des premières tables. Cela reste un mystère ; dans quelle mesure le travail
était-il fait solitairement ou en groupe (Campbell-Kelly, Croarken, Flood & Robson, 2003:9) ?
Napier et Briggs se sont certainement faits aider, mais ont tout de même effectué une grande
partie des calculs eux-mêmes. Ensuite de nombreuses tables étaient éditées en reprenant les
valeur de tables anciennes plus ou moins complétées.
La démarche de Prony qui débute en 1790 présente un cas bien répertorié (Grattan-Guinness,
2003). D'une part la précision voulue fait que les calculs ont été complètement refaits. Ensuite
l'organisation était industrielle influencée par les travaux d'Adam Smith (notamment de son
ouvrage : Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations). Le Bureau du
Cadastre était une vraie usine à calcul. Le personnel était divisé en trois sections : la première
était constituée de mathématiciens (dont A.M. Legendre et Lazare Carnot) qui choisissaient
les formules et les algorithmes, définissaient la précision le choix des angles, etc. La
deuxième section était constituée des calculateurs (dont A.M. Parseval) qui préparaient les
formats de pages, déterminaient l'ordre des différences qu'il fallait calculer. Les calculs étaient
exécutés par un nombreux personnel (entre 60 et 80 personnes) (des perruquiers que la
révolution avait mis au chômage, semble-t-il) formés à exécuter des opérations arithmétiques
élémentaires. Les pages calculées revenaient à la deuxième section qui faisait des vérifications
selon des méthodes élaborées ou choisies par la première. Les tables étaient calculées deux
fois selon deux méthodes différentes et les résultats comparés. Lorsque le système a été
suffisamment rôdé vers 1794, le bureau produisait en moyenne 700 résultats par jour.
L'ouvrage qui nous occupe est avare à ce propos. On peut penser qu'il réorganise une partie
des tables de Gardiner (1783) (voir ci-après). Par contre, les nouvelles tables (logarithmes
hyperboliques, tables centésimales) sont peut-être calculées par Callet et collaborateurs.
Certaines peuvent aussi être reprises des tables établies par le Bureau du Cadastre sous la
direction de de Prony. Pour le moins, il est fait mention dans l'avertissement d'une vérification
par comparaison avec les tables établies par le Bureau du Cadastre.
Mais revenons au contenu de l'ouvrage qui débute par un avertissement de l'éditeur et de
l'auteur. Il sera suivi par 118 pages d'explications des logarithmes, de descriptions des tables
et d'exemples d'utilisation. Cela représente environ 15% de l'ouvrage. Le reste est constitué
des tables.
L'avertissement
L'avertissement de Firmin Didot se déroule sur une page et demi. Tout d'abord il précise qu'il
est l'acquéreur du fonds d'Alexandre Jombert jeune (son beau-frère) et écoulait rapidement
des tables de Gardiner revue par le C.18 Callet. Cette table (Callet & Gardiner, 1783) est
consultable sur Internet19.
17 Cette valeur 108 000 est le nombre de secondes contenues dans 30 degrés.
18 C. pour Citoyen.
19 On note dans l'introduction que l'ouvrage est une version portative des grandes tables de Gardiner (format
grand in-quarto) consacrées au travail en cabinet ou destinées à meubler les bibliothèques !
8
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Les soins multipliés et pénibles qu'Alex. Jombert avoit employés à la correction des épreuves
étoient encore présens à ma mémoire : il avoit porté le scrupule jusqu'à vérifier par ses yeux
chaque faute indiquée sur les épreuves, à l'instant même l'ouvrier compositeur la
corrigeoit : et, malgré tant de précautions, il s'étoit encore glissé une vingtaine de fautes dans
son édition, qui est sans contredit la plus correcte de toutes celles qui ont paru. Cette édition,
imprimée en 1783 par Fr. Ambr. Didot, mon père, au nombre de six mille exemplaires, étoit
épuisée aux trois quarts ; et pour la remplacer, je me voyois contraint, ou de prendre les
mêmes soins, ou de hasarder une édition inférieure, édition qu'il eût fallu renouveller encore
dix ans après, et toujours avec la même incertitude de correction.
Firmin Didot explique ensuite les différentes techniques envisagée pour cette nouvelle édition
en conservant les pages en composant de telle manière que des corrections puissent être
facilement apportées20.
... l'intérêt général engagera tous les mathématiciens, de quelque pays qu'ils soient, à
m'indiquer les fautes qui auront sans doute échappé, quoique les épreuves, avant de souder et
fixer les pages, aient été lues plusieurs fois avec attention, et que depuis elles aient encore été
relues deux fois. Je ferai publier dans les journaux les fautes qui auront été reconnues, et je
m'engage même à en fournir les feuillets corrigés aux personnes qui auroient des
exemplaires incorrects.
Il explique ensuite pourquoi il a nommé son procédé stéréotype21 et espère pouvoir rendre
service aux « littérateurs », comme il a été utile aux mathématiciens, en « stéréotypant »
Virgile, Horace et les bons auteurs de l'antiquité. Il apparaît également qu'il publie à la même
époque les tables centésimales calculées par le Bureau du cadastre.
Le mot de l'éditeur est suivi de deux pages et demi de l'avertissement de F. Callet. Celui-ci
évoque les travaux de Napier et de Briggs dont l'ouvrage de 1624 avec trente « chiliades »
(c'est-à-dire trente paquets de 1000 nombres) de logarithmes à 14 décimales (1 à 20000 et
90000 à 100000). Il rappelle que l'ouvrage a été complété par un autre précurseur, Adrien
Vlacq, qui calcula par ailleurs de nombreuses autres tables. Il note qu'au début du siècle (le
18e) « les logarithmes ont étendu leur usage sur toutes les branches des mathématiques » et
que la rareté des tables de Briggs et Vlacq commence à se faire sentir22. Il rappelle aussi qu'en
1724 Scherwin publia des tables (logarithmes, sinus, tangentes, etc.) précédées d'un discours
sur les méthodes utilisées où apparaissent les noms de Wallis, Halley, Sharp, etc. Après deux
éditions, Gardiner en publie une troisième en 1741.
En 1770, une nouvelle édition des tables de Gardiner, complétée, est imprimée par Jean
Aubert d'Avignon. J.-F. Callet note à ce propos :
« Les Astronomes, et plus particulièrement les Marins, firent remarquer à Al. Jombert que les
tables de Gardiner, pour eux d'une utilité indispensable étoient d'un service incommode en
mer à cause de leur volume (volume grand-in 4°), et l'engagèrent à donner une version
portative ».
Callet ne cite pas l'édition de 1783 de Gardiner que lui même a perfectionnée et propose
directement en onze points les augmentations faites dans cette édition (on ne connaît pas non
plus si des différences notables existent entre l'édition de 1795 et ce tirage de 1825, ce qui
20 L'éditeur insiste sur les difficultés rencontrées. Le problème est vraisemblablement de trouver une manière de
conserver sans « accident » les pages composées de centaines de caractères mobiles (habituellement enserrés par
une large ficelle).
21 C'est une variante de la technique du « clichage », procédé qui est apparu dans le premier quart du 18e siècle.
A partir de la page composée signe par signe on effectue un cliché négatif dans du plâtre ou une matière molle
(du carton) qui servira de moule à une forme imprimante monobloc réalisée dans un alliage plomb-étain-
antimoine. Cette nouvelle forme est plus facile à utiliser et à conserver que la composition initiale, mais il n'est
plus possible de la corriger.
22 On en déduit que la familiarisation aux logarithmes a pris presque un siècle !
9
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
n'est vraisemblablement pas le cas vu le décès de F. Callet en 1798). Parmi ses nouveautés on
trouve l'ajout de 5000 logarithmes pour aller jusqu'à 108 000 (nombre de secondes dans 30
degrés), des colonnes supplémentaires dans les tables donnant la possibilité de passer de la
numération sexagésimale à la décimale et vice-versa, des tables les calculs sont poussés
avec un grand nombre de chiffres significatifs, des tables de conversions diverses, etc. Les
autres nouveautés seront précisées dans cet article au fur et à mesure des descriptions des
tables.
Si Callet ne dit mot de l'édition portative fort ressemblante publiée en 1783, par contre, il
mentionne le parti tiré des conférences avec les C. C.23 Lagrange, Laplace, Lalande, Prony,
Cousin, etc. Il cite notamment un travail de comparaison des tables centésimales avec celles
calculées par le Bureau du Cadastre.
A ce propos, l'auteur mentionne le travail considérable effectué par ce Bureau et donne le
contenu des tables qui, selon lui, seront bien utiles. Cette remarque confirme que
« l'avertissement » date de l'édition de 1795 ou d'un tirage d'avant 1800 puisque Callet est
décédé en 1798. Il ne saura pas que les tables calculées par de Prony ne seront pas éditées et
que son ouvrage restera une référence et verra une nouvelle édition par J. Dupuis en (selon
wikipedia) 1857.
A noter que l'ensemble de l'ouvrage ne comprend qu'une page de figures géométriques pour
fixer les notations employées dans la résolution des triangles (y compris sphériques).
Précis élémentaire sur l'explication des logarithmes et sur leur application
Ce sont 118 pages (par la suite référées à « L'explication ») qui vont décrire les tables : leur
construction, leur lecture, leur usage. On reprend ici chaque partie, parfois succinctement,
parfois en décrivant plus amplement les tables associées. A ce propos, une première
consultation de l'ouvrage est quelque peu déroutante. En effet, l'ordre de présentation des
tables n'est pas le même que celui des tables elles-mêmes sans renvoi d'aucune sorte. Il est
vraisemblable que ce désordre apparent (mais dans une premier temps on peut penser qu'il
s'agit d'erreurs ou d'omissions) est sûrement lié à des contingences pratiques de réalisation de
l'ouvrage plusieurs fois enrichi de nouvelles tables.
Définition et manière de les exprimer
Mise à part la notation (L. n pour log n)24, la définition correspond à celle utilisée
habituellement (voir plus haut). Il est bien expliqué que seule la parte décimale (le terme
mantisse n'est pas utilisé) fera l'objet des tables, la caractéristique (partie entière) se déduisant
facilement directement de l'ordre de grandeur du nombre. Le notation des logarithmes
négatifs (ramenés à des nombres entiers) fait l'objet d'un développement particulier. A titre
d'exemple log 0,045 (= -1,34678) est noté 5 décimales) 8.65322), c'est-à-dire son
complémentaire à 10. Dans ce cas, un point de séparation est mis à la place de virgule. Cette
notation relativement complexe à gérer n'intervient pas dans les tables de nombres entiers.
Propriétés des logarithmes
Les propriétés habituelles de logarithmes sont exposées et démontrées y compris des cas
particuliers comme :
L.(am
bn
cp
fq
gr
hs)=mL. a+nL. b+pL. cqL. frL. gsL. h
23 C.C. pour Citoyens.
24 Parfois aussi Log. . A noter le point collé à la notation sin., co-sin. etc. qui, se trouvant à la même hauteur que
le signe du produit, pourrait signifier une sorte de multiplication. Etant collé à l'expression de la fonction, il peut
aussi faire office d'une abréviation. Mais on trouve aussi la notation 'sinus.'. Parfois la notation est modifiée en
fonction de l'espace disponible, dans les en-têtes de colonne, par exemple.
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Ce qui laisse penser qu'à l'époque les manipulation formelles n'étaient pas encore familières
aux utilisateurs des tables.
Invention des logarithmes mode de calcul
Il s'agit en fait de la méthode utilisée pour le calcul effectif des logarithmes. Dans cette
présentation, il est tout d'abord calculé les puissances fractionnaires (racines) de 10 à la
puissance
101/2n
pour n de 1 à 60. Cette suite de nombres est nommée « suite des puissances
sous-doubles de 10 ». On a ainsi une première table des logarithmes de 60 nombres que l'on
peut symboliser25 par
pn=1/2n
et
Pn=101/2n
. Avec cette notation, on a
pn=log Pn
.
Il note ensuite qu'en tronquant les développements décimaux des
Pn
(selon la règle
empirique suivante : on prend le double de décimale qu'il y a de 0 dans le début du
développement décimal)
Pn+11
vaut
(Pn1)/ 2
(pour n plutôt « grand », à partir de H''
selon la notation de Callet, c'est-à-dire
P34
). C'est aussi la relation qui lie
pn+1
et
pn
.
Cela implique que tous les rapports
pn:(Pn1)
sont égaux26.
« ... c'est-à-dire, que quand un nombre ne surpasse l'unité que d'une très petite quantité, le
rapport du logarithme de ce nombre à ce même nombre, diminué de l'unité, est un rapport
constant. En divisant m'' par M''-1 on trouve que ce rapport est 0,43429 44819 03251 8276. »
Il n'utilise pas un raisonnement que le calcul infinitésimal aurait permis à l'époque et qu'il ne
maîtrise vraisemblablement pas encore. Il note toutefois que depuis l'invention du calcul
infinitésimal, il existe des moyens plus expéditifs pour calculer les logarithmes mais que la
présentation faite suffit à comprendre la disposition et l'usage des tables. Il précise que cet
autre calcul sera présenté ultérieurement.
Le rapport constant est désigné par le terme « module des tables » et symbolisé par la lettre k.
Callet signale qu'on augmente la précision en prenant pour calculer ce rapport, par exemple,
Z'' et z'' (
P78
et
p78
dans notre notation).
L'auteur offre l'exemple du calcul du logarithme de 3 selon la méthode qu'il attribue à
Napier27. Tout d'abord il s'agit de chercher les racines sous-doubles de 3 jusqu'à la 60-ième
(pour la précision souhaitée). Soit
Z=31/260
.
Le calcul (!) donne Z = 1,00000 00000 00000 00095 28942 64074 58932 141. Cette valeur est
proche de 1, donc L. Z / (Z - 1) = k . D'où : L. Z = (Z - 1) · k .
Par la propriété des logarithmes on a aussi :
L. Z=L. 3(1/260 )
et donc finalement on obtient
L. 3 = 0,47712 12547 19662 4373.
25 Callet utilise les lettres de l'alphabet, puis celles-ci avec prime (') puis seconde (''), il utilise également la
majuscule pour le nombre et la minuscule pour son log. Ainsi il désigne par Z ce que l'on note
P26
, par z
p26
, par A'
P27
et a'
p27
.
26 Cela correspond à l'approximation linéaire de log en 1 dont la pente vaut log e. La valeur donnée par Callet
coïncide avec le résultat offert par une calculatrice offrant 15 chiffres significatifs. A noter que Callet travaille
toujours en terme d'égalité. Le terme « approximation » n'est jamais utilisé, parfois celui de « précision ».
27 Il est vraisemblable que Napier a mis au point diverses méthodes pour calculer les logarithmes. Les ouvrages
cités précédemment avancent la méthode basée sur des interpolations à partir d'une table initiale. C'est aussi cette
méthode, à partir de la table des puissances sous-doubles de 10, que l'auteur propose, dans une pratique courante,
pour le calcul de logarithmes. Cela permet de se passer du fastidieux calcul de la suite des puissances sous-
doubles du nombre dont on cherche le logarithme. Cette méthode est peut-être réservée aux déterminations de
haute précision.
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Disposition des tables de logarithmes
Cette rubrique donne la manière de lire les tables accompagnée d'exemples28.
Les deux tables de logarithmes principales sont présentées dans cette partie. Celles-ci
occupent le quart de la partie de l'ouvrage consacrée aux tables (168 pages). Elles sont notées
tirage 1825 et bénéficient des améliorations déjà indiquées ci-dessus : le calcul de 5000
logarithmes supplémentaires pour aller jusqu'au logarithme de 108 000 (nombre de secondes
dans 30 degrés) et l'ajout de colonnes supplémentaires dans les tables qui facilitent le passage
de la numération sexagésimale à la décimale et vice-versa. De plus des valeurs notées S et T
dans l'entête de chaque page permettent de déterminer le sinus et la tangente des petits angles.
La première table donne une première chiliade de logarithmes (en 5 pages), plus précisément
les logarithmes des nombres de 1 à 1200. La deuxième table donne les logarithmes des
nombres de 1020 à 10800.
La première table (figure 3) se lit sans peine, les pages sont composées de 4 triplets de
colonnes. Côte à côte : un nombre de secondes (''), le nombre (N.) son logarithme (Log.). La
dernière entête contient également un nombre de minute ('). Ainsi, les nombres de la colonne
N. sont aussi en secondes les angles donnés en minutes et secondes par le nombre figurant à
côté de Log. dans l'entête et le nombre de la première colonne.
La deuxième table est d'une lecture plus subtile (figure 4).
Cas 1, chercher le logarithme d'un nombre compris entre 1020 et 10'800 : C'est le cas le plus
simple ; le nombre et son logarithme se trouvent côte à côte dans les colonnes nommées N. et
0. Les trois premiers chiffres de la mantisse du logarithme (suivis d'un point) ne sont pas
répétés. Exemple : la mantisse du logarithme de 1223 vaut 0874267 (et log 1223 =
3,0874267)
Cas 2, chercher le logarithme d'un nombre compris entre 10'200 et 108'000 : Dans ce cas la
colonne N. donne la dizaine des nombres et les colonnes à droite représentent les unités. Par
exemple le logarithme de 12236 se lit dans la colonne nommée 6 de la ligne 1223 de la
colonne N. C'est-à-dire que la mantisse de log 12236 vaut : 0876395.
Cas 3, chercher le logarithme d'un nombre compris entre 102'000 et 1'080'000 : Dans ce cas la
colonne N. donne la centaine des nombres et les colonnes à droite représentent les dizaines.
L'unité s'obtient par interpolation à l'aide des petites tables tout à droite dans la colonne
intitulée « dif. et p. ». Par exemple le logarithme de 122367 se trouve « entre » les colonnes
nommées 6 et 7 dont la différence est 355. La petite table intitulée 355 donne les valeur des
interpolation pour chaque dixième. On en déduit que la mantisse de log 122367 vaut :
0876395 +249 = 0876644.
Une nouveauté de cette édition réside dans la conversion des degrés, minutes et secondes en
secondes. Deux cas sont mentionnés :
Cas 1, chercher en seconde la mesure d'un angle inférieure à 3° : La première colonne donne
l'angle en degrés (l'intitulé), minutes (la première valeur de la colonne) et secondes (valeurs
subséquentes de la première colonne). Le nombre de secondes se lit en regard de cette
dernière valeur dans la troisième colonne. Par exemple : 0° 20' 23'' vaut : 1223'' .
Cas 2, chercher en seconde la mesure d'un angle supérieure à 3° : La deuxième colonne donne
l'angle en degrés (l'intitulé), la minute (les nombres plus grand dans la deuxième colonne) et
la dizaine de secondes (les autres valeurs de la deuxième colonne). Le nombre de dizaines de
secondes se lit en regard de cette dernière valeur dans la troisième colonne. Il suffit de
28 On notera en passant la grande lisibilité des tables due notamment à l'utilisation des chiffres médiévaux ou
elzéviriens qui débordent de manière variable sur la hampe ou le jambage et cela bien que les imprimeurs Didot
aient introduit les chiffres (chiffres Didot) alignés sur la ligne de base et de même hauteur que les majuscules.
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multiplier ce nombre par 10 et d'y ajouter les unités des secondes. Par exemple : 21' 43''
vaut : 1210 x 10 + 3 = 12103.
fig 3. Chiliade 1, première page des logarithmes de 1 à 1200
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fig 4. Une page de la table principale de logarithmes : logarithmes de 1200 à 1259
Les opérations inverses sont dans tous les cas sont évidemment possibles et décrites en détail
dans ce chapitre des explications. De nombreux exemples de recherches de logarithmes à
partir des tables de même que l'opération inverse figurent également dans ces explications.
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Définition des sinus, tangentes, etc. Manière de les calculer
La section commence par la définition de sinus, co-sinus, etc. Pour le sinus, c'est la définition
actuelle exprimée en toute lettre : « le sinus d'un arc est la longueur de la perpendiculaire
abaissée depuis l'arc se termine sur le rayon qui passe par le point cet arc prend
naissance ».
L'auteur distingue le sinus d'un arc et le sinus d'un angle qui est rapport entre le sinus de l'arc
qui mesure l'angle et le rayon. Le co-sinus est le sinus de l'arc ou de l'angle complémentaire.
Tout d'abord des formules sont démontrées qui permettent de calculer l'ensemble des
fonctions trigonométrique29 à partir du sinus ou du co-sinus. En suivant la méthode d'Euler, il
démontre la formule qui permet d'obtenir le développement de cos. z (sans calcul différentiel
en utilisant la formule du binôme) (la même chose est faite pour sinus)30 :
cos. n a =(cos. a+sin. a
1)n(cos. a sin. a
1)n
2
1
Le développement est particularisé dans le cas suivant sur lequel les tables sont construites :
cos. mπ
2n =1m2
n21,2337005501361698273543+...
Une remarque signale qu'avant Néper on travaillait avec les tables de trigonométrie contenant
les sinus naturels avec lesquelles on obtenait laborieusement les solutions relatives à la
géographie, à l'astronomie, etc. mais que depuis la découverte de Néper on a substitué aux
sinus, co-sinus etc. naturels leurs logarithmes (parfois appelés sinus, co-sinus, etc. artificiels)
ce qui permet d'effectuer les calculs plus rapidement.
Disposition des tables des sinus, tangentes, etc.
Cette section donne la disposition des tables et des exemples de calculs de « fonctions »
trigonométriques. L'ordre des tables ne suit pas l'ordre des présentations ce qui provoque
quelques hésitations.
Deux tables du tirage de 1825 donnent les logarithmes des sinus, co-sinus, tangentes et co-
tangentes. La première (figure 5) donne les valeurs pour les cinq premiers degrés de seconde
en seconde (division sexagésimal du degré habituel). Sinus et cosinus figurent sur les pages
de gauches, tangentes et co-tangentes sur les pages de droite. Le degré est noté dans l'entête
supérieur et le degrés complémentaire en bas de page. Puis la page est divisée en 8 colonnes.
La première numérote les secondes, les 6 suivantes donnent les valeurs du logarithme du
sinus (resp. tangente) pour 6 minutes différentes (il y a donc 6 minutes par page), la dernière
colonne avec l'angle noté en bas de page est l'angle complémentaire. Ainsi la lecture de la
table de droite à gauche donne les informations concernant le cosinus (resp. la cotangente) de
l'angle complémentaire.
Si l'on prend dans la première page la 5e colonnes (intitulée 3') à la 15e ligne on y trouve le
logarithme du sinus de 0° 3' 14''. A noter le point (.) dans l'écriture des logarithmes. En fait sin
3' = sin 1/20 = 0,000872665, son log vaut -3,0591526. En ajoutant 10 on trouve 6,940847
(c'est aussi le log du cos de 89° 56' 46''). Le point (.) est utilisé à la place de la virgule pour
indiquer qu'il s'agit du complément d'un logarithme négatif. Les utilisateurs des logarithmes
faisaient preuve d'une belle habileté pour utiliser ces tables !
29 Les termes fonctions ou fonctions trigonométriques n'apparaissent jamais dans l'ouvrage, on les utilise ici par
commodité pour raccourcir certaines formulations.
30 Dans le document original le '.' de la multiplication et celui terminant le nom des « fonctions » sont placés sur
la même ligne de base. Cela induit a pensé que la « prise » du sinus (par exemple) était assimilé à une opération.
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
fig 5. sin de 0° et 89° de seconde en seconde
La deuxième table (figure 6) constitue le tiers de la totalité de l'ouvrage. Elle donne les
valeurs des mêmes « fonctions » de dix en dix secondes pour tous les degrés du quart de
cercle.
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Chaque page comprend le degré noté dans l'entête de la page, le degré complémentaire à 89°
(!) dans le pied de la page et onze colonnes. Comme dans les tables de Napier décrite la table
peut être lue de gauche à droite pour un angle et de droite à gauche pour le complémentaire.
fig 6. sinus., co-sin., tang., co-tang. de 8° 40' à 8° 50' et de 81° 10' à 81° 20' de 10 secondes en 10 secondes
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Les colonnes sont : le nombre de minutes, les dizaines de seconde, le logarithme du sinus. Le
logarithme du sinus est suivi, légèrement décalé de la différence avec la valeur en dessous.
Cette différence permet à l'aide de tables des parties proportionnelles (qui servent à de
multiples usages) de faire des interpolation linéaire (voir ci-dessous). Les colonne suivantes
donnent le logarithme du co-sinus, les différences de cosinus, le logarithme de la tangente, les
différences communes aux tangentes et co-tangentes, le logarithme de la co-tangente. Puis
suivent les colonnes des secondes complémentaires, puis des minutes complémentaires.
Exemple : recherche du logarithme du sinus de 81° 11' 20' on trouve selon la table :
9.99484.43
Vérification : l'angle vaut 81,1888888889° ; le sinus de cet angle vaut 0,988198695 et le
logarithme du sinus -0,005155723963. En prenant le complémentaire à 10 on trouve une
valeur qui correspond : 9.99484427.
Formules logarithmiques
Parmi les différentes formules proposées, on trouve le développement de de log (1+x) en série
de x et la série inverse (recherche de n en fonction de L. n).
Sommation des logarithmes
Une manière de calculer la somme des logarithmes de nombres consécutifs est proposée.
Cette technique est utile pour calculer des probabilités (notamment les coefficients du
binôme).
Manière de calculer les logarithmes des sinus, tangentes, etc.
Des développements permettant de calculer directement les logarithmes de sinus, co-sinus,
etc. sont proposés utilisant le calcul des différences finies. Cette section est assez étendue. La
longueur et la richesse des développement est peut-être lié à la nouveauté de la méthode.
Application des logarithmes
Les sections suivantes sont rassemblées par une entête de page commune : Application des
logarithmes. Les sections concernées sont les suivantes : Règle conjointe (utilisée pour
l'application de proportions successives) ; Intérêt composé ; Formules de trigonométrie
(résolution des triangles) ; Problèmes d'astronomie sphérique (application des formules de la
section précédente) ; Problèmes relatifs à la navigation ; Problèmes divers (problèmes faisant
intervenir des triangles, cercles, etc. et la recherche d'aires, par exemple).
Une annexe développe en une page un exemple de calcul de la réduction de la distance
apparente à la distance vraie.
Usages des tables approchées Usage des tables I, II et III
Les tables qui suivent la table principale, marquées I, II et III, permettent de calculer à l'aide
de quelques manipulations des logarithmes hyperboliques et vulgaires avec une grandes
précision comme l'intitulé le précise : « Tables de logarithmes vulgaires et de logarithmes
hyperboliques à 20 décimales et autres à 61 décimales pour les logarithmes vulgaires et à 48
pour les logarithmes hyperboliques (tirage 1825) ». La nouveauté est l'ajout des logarithmes
hyperboliques (népériens). Pour chaque table, les logarithmes vulgaires figurent sur les pages
de gauche et les logarithmes népériens sur les pages de droite.
Disposition et usage des tables centésimales
Nouveauté de cette édition une table de logarithme des « fonctions » trigonométriques avec
l'angle exprimé selon la nouvelle division (figure 7). L'unité de cette division est l'angle droit,
divisé en 100 degrés. L'intitulé de cette table est : « Table des logarithmes des sinus, cosinus
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
et tangentes de minute en minute, ou de dix-millième en dix-millième pour les 100 degrés du
quart de cercle suivant la nouvelle division (tirage 1821) »31.
fig 7. Sin., Tan, Cos. artificiels 0,48 à 0,49 et de 0,51 à 0,52
31 Ces degrés sont à multiplier par π/2 pour obtenir l'angle en radians et par 90 pour obtenir des degrés usuels.
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
fig 8. Sinus., Cosinus, L.sin., L.cos. De 0,150 à 0,200 et de 0,800 à 0,850
Chaque page est dédiée à un seul degré noté en entête de deux manières (par exemple : 48
deg. ou 0,48), sur le pied de page est noté l'angle complémentaire. La table est constituée de 2
20
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
fois 8 colonnes et de 51 lignes. Les 8 colonnes sont : les millièmes d'angles, le logarithme du
sinus, les différences, le logarithme de la tangente, les différences, le logarithme du co-sinus,
les différences, le nombre de millièmes complémentaires. Les différences comme plus plus
haut servent aux interpolations en utilisant les tables de partages proportionnelles. La
présentation est donc identique à celle des tables associée à la division habituelle, mais moins
soignée. En effet, l'ordre des colonnes n'est pas toujours le même (on trouve : Sin., Tang., DS,
DT, Cos.).
Pour comprendre cette table cherchons le logarithme du sinus de 0,48. En radian on trouve
0,753982 (ou 43,2°) ; le sinus vaut 0,68455 ; et son logarithme vaut -0,164597. Selon la
notation des logarithmes négatifs 9.83 (se lit en entête de colonne) suivi de 54033 (en regard
de 0 millième).
Une deuxième table (figure 8) donne les sinus naturels et leurs logarithmes avec 15 figures
(décimales). Les intitulés des colonnes sont Arcs, Sinus., Cosinus., Log. sin., L. cos., Arcs
La lecture de cette table est un peu plus délicate dans la mesure seule la fin du
développement décimal du logarithme est donnée. A titre d'exemple cherchons le logarithme
0,150 (c'est-à-dire 0,23561945 rad). Son sinus vaut 0,23344537 et le logarithme selon la
notation des logarithmes négatifs 9.36818(52534144). Le début se lit dans la table précédente
et cette deuxième table ne donne que les 8 dernières décimales (mises entre parenthèses ici) !
Liste des tables
On donne ici la liste des tables principales dans l'ordre elle figure dans l'ouvrage. La
plupart, toutes celles mentionnées dans l'Explication, ont déjà été décrites précédemment, on
se contente d'en rappeler les titre.
Table des logarithmes des nombres depuis un jusqu'à cent huit mille
Cette table (tirage 1825) contient comme nouveauté de l'édition des colonnes permettant
d'effectuer les conversions degrés, minutes, secondes en secondes. Ce sont aussi les premières
table de l'Explication.
Tables de logarithmes vulgaires et de logarithmes hyperboliques à 20 décimales et autres à
61 décimales pour les logarithmes vulgaires et à 48 pour les logar. hyperb.
Cette édition innove : les tables en logarithmes vulgaires sont accompagnées par les
logarithmes népériens (appelés logarithmes hyperboliques) des mêmes nombres. Ces tables
sont aussi notées tirage 1825. Dans l'Explication, ce sont les troisièmes tables mentionnées
sous le titre : Usages des tables approchées Usage des tables I, II et III.
Table pour convertir les logarithmes vulgaires en logarithmes hyperboliques
Cette table est nouvelle liée à la nouveauté de l'usage des logarithmes népériens. Elle est
mentionnée dans l'Avertissement. Elle est suivie d'une table pour convertir les logarithmes
hyperboliques en logarithmes vulgaires.
Table des logarithmes des sinus, cosinus et tangentes de minute en minute, ou de dix-millième
en dix-millième, pour les 100 degrés du quart de cercle suivant la nouvelle division
Ces tables de tirage 1825 sont nouvelles et ce sont les dernières décrites dans l'Explication. Si
la subdivision de l'angle en décimales est déjà relativement utilisées (dès Briggs), la prise du
quart de cercle comme unité et sa division en 100 degrés semble d'un usage récent peut-être
relationné aux conventions concernant les poids et mesures après la Révolution.
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Sinus naturels et leurs logarithmes avec 15 figures
Cette table nouvelle complète la table précédente. Elle est suivie d'une table (nouvelle
également) pour convertir les parties décimales du quart de cercle en deg. min. et sec. et de la
table permettant l'opération inverse.
Tables des parties proportionnelles
Cette table est nouvelle, elle sert à efectuer les interpolation de toutes les tables des sinus
artificiels qui ne possèdent pas, comme les tables des logarithmes, de petites table associées
(le nombre de différences possible est trop élevé).
L'usage de cette table est détaillé dans l'Explication avec l'exemple suivant qui se réfère à la
figure 9.
« Exemple. Je veux le produit de 5927 par 6.
Je cherche 27 dans l'une des petites tables supérieures, et à l'aide des deux colonnes
marquées 1 ; je trouve ce nombre dans la petite table qui est en tête de la page troisième ; je
suis à l'oeil la ligne 27 ; j'y vois 62 dans la colonne 6 ; j'écris à part 62, et je ne retiens rien.
Passant à la grande table de la même page , j'y cherche 59 à l'une des deux colonnes
marquées 1 : l'ayant trouvée, je vois sur la ligne 59 et dans la colonne 6, le nombre 355 que
j'écris tel qu'il est à gauche de 62 ; j'ai 35562. C'est le produit de 5927 par 6. »
Table des logarithmes des sinus et tangentes de seconde en seconde pour les cinq premiers
degrés, de dix secondes en dix secondes pour tous les degrés du quart de cercle
Ces tables (tirage 1825) sont les deuxièmes décrites dans l'Explication. La première qui
augmente la précision pour les petits angles, est nouvelle dans cette édition.
Des logarithmes logistiques
La tables est précédée d'une définition de ces logarithmes ; le logarithme logistique d'un
nombre de seconde est l'excès du log de 3600'' sur le log de ce nombre de secondes.
Ces logarithmes permettent de calculer plus rapidement la quatrième proportionnelle lorsque
le premier terme est 60 minutes ce qui arrive continuellement en astronomie selon l'auteur
(dans cette table le logarithme de 60 est 0).
L'ouvrage se termine par un recueil de tables propres à faciliter la méthode de Borda pour
déterminer les longitudes en mer.
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
fig 9. Parties proportionnelles
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Brèves remarques conclusives
Ce bref aperçu concernant les logarithmes montre tout d'abord qu'il a fallu plusieurs dizaines
d'années avant que cette « technologie » ne soit largement adoptée. Cela fournit un bel
exemple de ce long murissement sociétal explicité par Engeström (1987) (et d'autres :
Koestler, Kuhn, Stengers, etc.) dans le cadre de la théorie de l'activité. Après l'apparition
d'une « invention »32, il reste un long chemin à parcourir pour changer les habitudes des
utilisateurs, les convaincre et les conduire à l'adopter. Le fait que les premières tables avec
leurs explications étaient produites en latin explique aussi cette difficulté d'adoption33. On
note aussi que des tables étaient produites pour le plaisir du calcul sans grande préoccupation
des besoins et des connaissances des utilisateurs finals.
Il permet aussi de se représenter l'énorme travail que l'établissement des tables demandait tout
d'abord aux calculateurs mais aussi à toute la chaîne de l'édition. Les utilisateurs, navigateurs
et astronomes, ne sont pas en reste d'exploits quant à l'utilisation de ces tables en jonglant
avec les logarithmes négatifs, les interpolations, les conversions diverses, etc.
Par contre, sans les tables, la situation était bien pire. Ce qui conduit Laplace 34 à estimer que
l'invention des logarithmes doublait en quelque sorte la durée de la vie des astronomes. A
noter en passant, conséquence logique des moyens de l'époque, que la mécanisation du calcul
a tout d'abord été utilisée pour produire des tables et non pour effectuer les calculs
spécifiques.
Du point de vue « théorique », on constate que bien que l'ouvrage ait paru après la mort de
Euler, de Newton et de Leibniz, il est peu fait appel au calcul infinitésimal. La notion abstraite
de fonction n'est pas non plus évoquée. Les écritures L., Log., sin., co-sin., terminées par un
point, semblent avant tout abréger des opérations effectuées valeur par valeur35. A noter
toutefois que le point peut apparaître lorsque le terme est écrit en entier (par exemple co-
sinus.). L'opération prise du sinus (du logarithme, etc.) pourrait aussi s'apparenter à une sorte
d'opération (le point figure dans les deux cas sur la même ligne de base). Par contre,
contrairement au signe de la multiplication, il est collé au premier terme.
De façon plus générale, il pourrait y avoir un intérêt à étudier avec plus de détails les liens
entre le « monde des tables » (techniques, personnages, etc.) et celui d'autres domaines
mathématiques. L'Explication offre quelques pistes à ce propos. Dans le chapitre dédié aux
« nouveaux » calculs des sinus (et autres « fonctions trigonométrique ») naturels et artificiels,
la méthode des séries (basée davantage sur le développement du binôme que sur le calcul
infinitésimal) développée par Euler est présentée. Mais, force est de constater que dans la
littérature mathématique, les références historiques concernant ces mathématiques appliquées
sont nettement moins nombreuses que pour les mathématiques abstraites. Briggs et Callet, par
exemple, sont absents dans les archives d'histoire des mathématiques en particulier de « Mac
Tutor »36. Callet n'a droit qu'à une brève notice sur wikipedia. William Gardiner n'est connu
sur le web qu'à travers les tables offertes par des sites marchands ou les bibliothèques virtuels
(projet Gutenberg, Google livres). On omet aussi dans les biographies de mathématiciens
connus (Legendre, Parseval) les travaux qu'ils ont menés comme « simples » calculateurs.
32 Engeström propose deux périodes caractérisant une « invention », d'abord un moment de tension (désigné sous
le terme de double contrainte) puis un élan créatif favorisé par des modèles externes (qualifiés de marche-pied).
Ces étapes bien documentées dans le cadre de l'établissement de la table périodique des éléments de Mendeleïev
resteraient à étudier pour les logarithmes.
33 Toutefois, la première table de Napier a été rapidement traduite en anglais par E. Wright sur demande de la
East India Company.
34 http://www.apmep.fr/IMG/pdf/LMBlogarithmes.pdf
35 La notation n'est pas stabilisée, on trouve par exemple 'co-sin.', 'Co-sinus.', 'Cosinus.' à quelques pages
d'intervalle. La notation dépend parfois de la place à disposition. L'abréviation peut aussi bien désigner le sinus
naturel que l'artificiel (c'est-à-dire le logarithme du sinus).
36 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Finalement, il est intéressant de relever des aspects socio-politico-économiques sous-jacents à
l'établissement de tables numériques. Certains sont peut-être anecdotiques ; par exemple, en
pleine révolution, il est encore possible d'être l'imprimeur du roi. D'autres concernent l'histoire
de l'adoption d'unités de mesure. Par exemple, la division décimale de l'angle date d'avant la
révolution. Par contre, la définition centésimale de l'angle est lié à la réforme des poids et
mesures de la révolution (en même temps que le grade et le mètre vers 1794). D'autres enfin
peuvent concerner les conditions de travail ou l'organisation des entreprises.
Il y aurait de quoi de trouver des sujets pour une pédagogie basée sur des centres d'intérêt.
Bibliographie
Bell, E.T. (1961). Les grands mathématiciens. Paris : Payot, Bibliothèque scientifique.
Callet, F. (1795). Tables portatives de logarithmes contenant les logarithmes des nombres de
1 jusqu'à 108,000 [...]. Edition stéréotype, gravée, fondue et imprimée par Firmin Didot.
Paris : Firmin Didot, imprimeur du roi, de l'institut, etc. (tirage 1825).
Campbell-Kelly, M., Croarken, M., Flood, R. & Robson, E. (Eds)(2003). The History of
Mathematical Tables, From Sumer to Spreadsheets. Oxford : Oxford University Press.
Commission romande de mathématique (A. Olza, F. Taillard, E. Vautravers, J.C. Diethelm)
(1974). Tables numériques et formulaires. Lausanne : Editions SPES. (2e édition en 1978).
Commission romande de mathématique (1985). Formulaires et tables : mathématique,
physique, chimie. Genève : Edition du Tricorne.
Engeström, Yrjö (1987). Learning by Expanding: An Activity-theoretical Approach to
Developmental Research. Orienta-Konsultit Oy.
Gardiner, W., Callet, J.-F. (1783). Tables portatives de logarithmes publiées à Londres par
Gardiner augmentées et perfectionnées dans leur disposition par M. Callet [...]. Imprimeur
Fr. Amb. Didot l'aîné. (https://archive.org/details/tablesportative00gardgoog)
Grattan-Guinness, I. (2003). The computation factory : de Prony's project for making tables in
the 1790s. In M. Campbell-Kelly, M. Croarken, R. Flood & E. Robson (Eds). The History of
Mathematical Tables, From Sumer to Spreadsheets, 105-122. Oxford University Press.
Jagger, G. (2003). The making of logarithm tables. In M. Campbell-Kelly, M. Croarken, R.
Flood & E. Robson (Eds). The History of Mathematical Tables, From Sumer to Spreadsheets.
49-78. Oxford : Oxford University Press.
Kleiner, C.-A. & Mentha, J. (2014). Un oeil des oeils, Jean Mentha, une vie de typographe.
Hauterive (CH) : Nouvelles éditions/Attinger.
Koestler, A. (1989/1964). The Act of Creation. London : Penguin Books, Arkana. (voir aussi
sa trilogie : Les somnambules, Le cri d'Archimède, Le cheval dans la locomotive).
Kuhn, T.S. (1962). The Structure of Scientific Revolutions. University of Chicago Press.
Lilly, W. (1681). William Lilly's history of his life and times. London: T. Davies. (1774 reprint
sous le titre The lives of those eminent antiquaries Elias Ashmole, esquire, and Mr. William
Lilly, written by themselves, edited by Charles Burnham ed.) (ce document est publié dans le
cadre du Projet Gutenberg).
Roegel, D. (2010). Napier’s ideal construction of the logarithms. INRIA: Research Report
2010, inria-00543934.
(nouvelle version 2012 : http://profmarino.it/Nepero/napier1619construction.pdf)
Service géographique de l'armée (1891). Table des logarithmes à huit décimales des nombres
entiers de 1 à 120 000 et des sinus et tangentes de dix secondes d'arc en dix secondes d'arc
25
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
dans le système de la division centésimale du quadrant. Paris : Imprimerie nationale (publié
par ordre du Ministère de la guerre).
Stengers, I. (1993). L’invention des sciences modernes. Paris : La Découverte.
Voellmy, E. & Extermann, J.P. (1972). Tables numériques et logarithmes. Lausanne : Payot.
(8e édition).
Mathématiciens, astronomes et typographes principaux cités
Henry Briggs (1561-1631), mathématicien anglais qui a calculé la première table de
logarithmes vulgaires (de base 10).
Jost Bürgi (1552-1632), horloger et constructeur d'instruments suisse. Il travailla près de
trente ans avec Kepler à Prague (il fabriqua notamment le sextant utilisé par Kepler)
(http://www.hls-dhs-dss.ch/textes/f/F24730.php).
[Jean-] François Callet (1744-1798), mathématicien français.
Lazare Nicolas Marguerite, Comte Carnot (1753-1823), politicien, ingénieur et mathématicien
français. (wikipedia).
Leonard Euler (1707-1783), mathématicien, physicien (mécanique, hydrodynamique, etc.),
etc. « suisse ». Il passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne (sur le
wikipedia en russe il est désigné comme mathématicien suisse, allemand et russe).
Pierre de Fermat (1605(?)-1665), magistrat, mathématicien (« le prince des amateurs »), poète
français surtout connu pour son « dernier théorème ». Il a découvert l'algorithme du passage à
la limite pour calculer la tangente à une courbe (méthode des maximis et minimis) en 1636
(mais connue seulement quelques 30 ans plus tard). (wikipedia).
Samuel Gagnebin (1882-1983), mathématicien, physicien et philosophe neuchâtelois qui a eu
de nombreux contacts à travers la revue Dialectica : notamment F. Gonseth, J. Piaget, F.
Fiala, Jean Rossel (dont les trois premiers nommés sont parmi les membres fondateur de la
CIEAEM) et d'autres acteurs de la scène pédagogique, Pierre Bovet notamment. A ne pas
confondre avec son contemporain Samuel Gagnebin (1876-1967) né au Kansas.
William Gardiner (?-?), auteur de tables de logarithmes.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), philosophe, mathématicien, logicien, diplomate,
juriste, bibliothécaire et philologue allemand. (wikipedia).
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français auteur de nombreuses
contributions en mathématiques (polynômes de Legendre, transformation de Legendre, etc.).
(wikipedia).
William Lilly (1602-1681), célèbre astrologue anglais. (wikipedia).
John Napier (1550-1617), physicien et astronome écossais, baron de Merchiston est
« l'inventeur » officiel des logarithmes. (wikipedia).
Isaac Newton (1643-1727), philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et
théologien anglais. (wikipedia).
Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836), mathématicien français connu par son
théorème fondamental de la théorie des séries de Fourier (égalité de Parseval). (wikipedia).
Firmin Didot (1764-1836), membre d'une dynastie d'imprimeurs, éditeurs et typographes qui a
oeuvré durant trois siècles. Il existe actuellement une imprimerie Firmin-Didot à Mesnil-sur-
l'Estrée faisant partie du groupe CPI. (http://www.firmin-didot.fr/).
(c) SENS et l'auteur, 2015
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Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
Annexe : Description des contenus de tables de logarithmes scolaires
« Tables numériques et logarithmes » de Voellmy et Extermann37
L'ouvrage est divisé en 10 parties. La première partie donne en 20 pages les mantisses des
logarithmes décimaux des nombres entiers de 1 à 11'009 avec 5 décimales (avec des
indications concernant l'interpolation) et des information sur le changement de base et les
logarithmes naturels.
La deuxième partie concerne les tables de conversion des divisions de l'angle entre degrés,
radians et grades. Puis suivent (troisième partie) en une cinquantaine de pages les logarithmes
des fonctions trigonométriques de minute en minute pour tous les degrés du quart de cercle
(division sexagésimal). Cette table est précédée d'informations sur le calcul de ces
logarithmes. La quatrième partie propose les valeurs « naturelles » des fonctions
trigonométriques à quatre décimales avec la longueur des cordes, arcs et flèches.
La cinquième partie donne les carrés des 100 premiers nombres entiers puis de 1,000 à 9,999.
La sixième partie fournit les tables des inverse, racine carrée, cube, racine cubique, logarithme
naturel des nombres entiers de 1 à 1000 avec toujours des indications sur l'interpolation à
utiliser linéaire ou quadratique, voire l'insuffisance de cette dernière.
La septième partie est consacrée à des tables diverses permettant de calculer la circonférence
et la surface du cercle, la surface et le volume de la sphère, les erreurs dans les calculs relatifs
aux petits angles (arc, sinus, tangente), le périmètre de l'ellipse. D'autres tables donnent le
logarithmes à 8 décimales de quelques facteurs de capitalisation, les puissances du nombre e,
les factorielles et leurs logarithmes, les coefficients binomiaux et plus petits diviseurs des
nombres composés inférieurs à 2000 et non divisibles par 2, 3 et 5.
Finalement d'autres tables concernent les sciences actuarielles : valeur acquise à la fin de la ne
année par un capital unité, valeur actuelle d'un capital unité à la fin de la n-ième année, valeur
acquise à la fin de la n-ième année par n versements unités faits au début de chaque année,
valeur actuelle d'une rente-unité certaine payable au début de chaque année pendant n années,
amortissement annuel et constant d'un capital unité, nombres de commutation et primes pures
calculés d'après les tables de mortalité de la population suisse 1948-1953.
La huitième donne des tables scientifiques : constantes physiques et astronomiques, éléments
chimiques, système périodique des éléments, carte nationale de la Suisse. Quant à la partie
suivante (neuvième partie) elle se consacre aux formules d'algèbre (identités, proportions,
moyennes, nombres complexes, déterminants, équations du premier et second degré,
logarithmes, progressions, intérêts composés, annuités et rentes, analyse combinatoire,
binôme de Newton, calcul des probabilité, assurances sur la vie, théorie des erreurs, calcul
différentiel et intégral, séries) et de géométrie (géométrie plane, géométrie dans l'espace,
alphabet grec, trigonométrie rectiligne, trigonométrie sphérique, géométrie analytique plane,
éléments de calcul vectoriel).
La dernière partie est méthodologique. Elle est constituée de notices sur l'emploi des tables
avec notamment l'usage des interpolation linéaire et quadratique (formules de Bessel).
« Tables numériques et formulaires » de la CRM38
Dans cette édition « intermédiaire », les logarithmes n'occupent plus la première place.
Toutefois une table des « mantisses à cinq décimale des logarithmes de 1 à 9999 et des
mantisses à 7 décimales des logarithmes de 10'000 à 11'000 » occupe encore plus de
cinquante pages. Par ailleurs, les logarithmes naturels des nombres entiers k de 1 à 1000 sont
donnés en même temps que les valeurs de 1/k,k3 (les carrés font l'objet d'une table détaillée),
37 8e et dernière édition, Payot, Lausanne, 1972.
38 Edition SPES, Lausanne, 1974 (2e édition 1978).
27
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 46, Hiver 2014-15, Mathématiques
k
,
10k
,
10k
,
k
3
,
10k
3
,
100k
3
. Les logarithmes naturels figurent
également dans une table donnant l'exponentielle et les fonctions de trigonométrie
hyperbolique pour les nombres de 0 à 10 pour tous les centièmes jusqu'à 4, tous les 5
centièmes jusqu'à 8, puis tous les dixièmes noter encore les valeurs de
log ex
). Les
tables des logarithmes de fonctions trigonométriques n'y figurent plus. Cet ouvrage introduit
des formulaires en logique, langage ensembliste, structures algébriques, statistiques et élargit
ceux d'analyse et de géométrie vectorielle.
Cet ouvrage (en 2 éditions) marque un tournant que résume bien l'avant propos : « Certains
diront qu'à l'époque des ordinateurs, et surtout au moment de l'apparition des calculatrices de
poche évoluées, il pouvait paraître osé d'éditer ce livre de conception somme toute
traditionnelle. La Commission [romande de mathématiques] a pensé que pour nombre
d'utilisations ce moyen était encore plus pratique tout en restant le plus économique ; qu'il
présentait des aspects pédagogiques totalement absents d'une machine ... ».
« Formulaires et tables » de la CRM39
Dans cette édition profondément remaniée 154 pages sur 262 sont consacrées aux
mathématiques (une cinquantaine de pages sont consacrées à la physique : formulaire,
constantes, astronomie, etc. le reste à la chimie et biochimie). Avec tout d'abord les notions de
base, puis des pages consacrées à l'algèbre, l'algèbre linéaire, la trigonométrie, la géométrie, la
géométrie analytique, l'analyse, le calcul des probabilités et la statistique.
Parmi ces pages, une trentaine sont consacrées à des tables : fonctions diverses (carré, cube,
racines, ln et log des nombres de 1 à 30) ; factorisation des nombres composés inférieurs à
5000 et non divisibles par 2, 3 ou 5 ; nombres premiers inférieurs à 5000 ; nombres de
Pythagore ; fonctions trigonométriques (arguments en degrés) ; fonctions trigonométriques
(arguments en radians) ; logarithme naturel, exponentielle et fonctions hyperboliques pour les
nombres de 0 à 10 par pas de 0,1 (ce qui tient en une seule page) ; tables actuarielles (valeur
acquise à la fin de la n-ième année par un capital-unité ; etc.) ; arrangements sans répétition ;
coefficients binomiaux ; factorielles ; loi normale de Laplace-Gauss ; loi du chi-2 de Pearson ;
loi du t de Student-Fisher ; loi du F de Fisher ; table pour test de Mann-Whitney ; table pour le
test des signes ; table pour le test des rangs de Wilcoxon ; nombres aléatoires ; tables de
mortalité de la population suisse 1978-1983.
39 Edition du Tricorne, Genève, 1985.
28
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Scitation is the online home of leading journals and conference proceedings from AIP Publishing and AIP Member Societies
Article
This report explains the construction of logarithms by Napier, and provides reconstructions of the 1614 and 1616 tables.
Article
First published in 1987, Learning by Expanding challenges traditional theories that consider learning a process of acquisition and reorganization of cognitive structures within the closed boundaries of specific tasks or problems. Yrjö Engeström argues that this type of learning increasingly fails to meet the challenges of complex social change and fails to create novel artifacts and ways of life. In response, he presents an innovative theory of expansive learning activity, offering a foundation for understanding and designing learning as a transformation of human activities and organizations. The second edition of this seminal text features a substantive new introduction that illustrates the development and implementation of Engeström's theory since its inception.
Tables portatives de logarithmes contenant les logarithmes des nombres de 1 jusqu'à 108 Edition stéréotype, gravée
  • F Callet
Callet, F. (1795). Tables portatives de logarithmes contenant les logarithmes des nombres de 1 jusqu'à 108,000 [...]. Edition stéréotype, gravée, fondue et imprimée par Firmin Didot.