Gibt es Revolutionen in der Mathematik?

Abstract

Der Mathematik wird ein Sonderstatus in wissenschaftstheoretischen Debatten zugeschrieben. Dieser wird an ihrer deduktiven Methode festgemacht. Die Mathematik scheint kumulativ Wissen anzuhäufen. Keine mathematische Theorie wurde jemals widerlegt, lediglich ihr Geltungsbereich wurde eingeschränkt – oder mit den Worten Hempels: " A mathematical theorem, once proved, is established once and for all " (Hempel 1945: 7). Dies führte dazu, dass viele Wissenschaftstheoreti-ker die Mathematik aus ihren Untersuchungen ausklammerten. Betrachtet man jedoch die Sprech-weise von Mathematikern und Historikern, so fällt auf, dass es auch innerhalb der Gemeinschaft der Mathematiker lebhafte Debatten und Diskussionen gibt. Diese Arbeit ist ein Plädoyer dafür wissenschaftstheoretisches Vokabular und Methoden bei der Beschreibung der Entwicklung der Mathematik zu nutzen. 1 Dies geschieht am Fallbeispiel des Begriffes Revolution. In (Kuhn 1973) hat Thomas Kuhn ein Modell für die Ent-wicklung von Wissenschaften, insbesondere am Bei-spiel der Physik, ausgearbeitet. Ein Kernkonzept ist hierbei das des Paradigmas. Eine hinreichende Annä-herung liefert die Vorstellung, ein Paradigma stehe " [e]inerseits […] für die ganze Konstellation von Mei-nungen, Werten, Methoden usw., die von den Mitglie-dern einer gegebenen Gemeinschaft geteilt werden. Andererseits bezeichnet er ein Element in dieser Konstellation, die konkreten Problemlösungen, die, als Vorbilder oder Beispiele gebraucht, explizite Regeln als Basis für die Lösung der übrigen Probleme der ‚norma-len Wissenschaft' ersetzen können " (Kuhn 1973: 186). Ein Kernkonzept von Kuhns Analyse des wissenschaft-lichen Fortschrittes ist die Unterscheidung zwischen

Full text

54 cog!to 01/2015
Gibt es Revolutionen in
der Mathematik?
Von Deniz Sarikaya
Der Mathematik wird ein Sonderstatus in wissenschaftstheoretischen Debatten zugeschrieben.
Dieser wird an ihrer deduktiven Methode festgemacht. Die Mathematik scheint kumulativ Wissen
anzuhäufen. Keine mathematische Theorie wurde jemals widerlegt, lediglich ihr Geltungsbereich
wurde eingeschränkt – oder mit den Worten Hempels: „A mathematical theorem, once proved, is
established once and for all“ (Hempel 1945: 7). Dies führte dazu, dass viele Wissenschaftstheoreti-
ker die Mathematik aus ihren Untersuchungen ausklammerten. Betrachtet man jedoch die Sprech-
weise von Mathematikern und Historikern, so fällt auf, dass es auch innerhalb der Gemeinschaft
der Mathematiker lebhafte Debatten und Diskussionen gibt. Diese Arbeit ist ein Plädoyer dafür
wissenschaftstheoretisches Vokabular und Methoden bei der Beschreibung der Entwicklung der
Mathematik zu nutzen.1 Dies geschieht am Fallbeispiel des Begriffes Revolution.
In (Kuhn 1973) hat Thomas Kuhn ein Modell für die Ent-
wicklung von Wissenschaften, insbesondere am Bei-
spiel der Physik, ausgearbeitet. Ein Kernkonzept ist
hierbei das des Paradigmas. Eine hinreichende Annä-
herung liefert die Vorstellung, ein Paradigma stehe
„[e]inerseits […] für die ganze Konstellation von Mei-
nungen, Werten, Methoden usw., die von den Mitglie-
dern einer gegebenen Gemeinschaft geteilt werden.
Andererseits bezeichnet er ein Element in dieser
Konstellation, die konkreten Problemlösungen, die, als
Vorbilder oder Beispiele gebraucht, explizite Regeln als
Basis für die Lösung der übrigen Probleme der ‚norma-
len Wissenschaft‘ ersetzen können“ (Kuhn 1973: 186).
Ein Kernkonzept von Kuhns Analyse des wissenschaft-
lichen Fortschrittes ist die Unterscheidung zwischen
zwei sich stets abwechselnden Phasen. In Phasen der
sogenannten Normalwissenschaft werden in Rückgri
auf den bestehenden Wissens- und Methodenkorpus
(also mit Rückgri auf das aktuelle Paradigma) Fragen
aufgeworfen und beantwortet. Wissen und Methoden
werden dabei stetig weiterentwickelt, man kann die
Wissensvermehrung daher als kumulativ beschreiben.
Dem gegenüber stehen revolutionäre Phasen: Unter
anderem durch zunehmende Anomalien und fehlende
Erklärungen erkennt die Wissenschafts- bzw. Fachge-
meinschaft die Grenzen des bestehenden Paradigmas,
es kommt zur Krise. Alternative Vorschläge für neue
Paradigmen tauchen nun auf, von denen sich schließ-
lich eines durchsetzt. Anschließend kehrt der Wissen-
schaftsbetrieb – mit einem neuen Paradigma – wieder
zur Normalwissenschaft zurück.
Michael Crowes formulierte in seiner Arbeit über Geset-
ze zur Histographie der Mathematik das Gesetz: „Revo-
lutions never occur in mathematics“ (Crowe 1975: 165).2
Crowe selbst schreibt über dieses Gesetz:
“[It] depends upon at least the minimal stipulation that
a necessary characteristic of a revolution is that some
previously existing entity (be it king, constitution, or
theory) must be overthrown and irrevocably discarded.
1 Dies heißt nicht, dass es noch keinerlei Betrachtungen
gab, in denen soziologische Aspekte der Mathematik
betrachtet wurden. Ein prominentes Beispiel im deutsch-
sprachigen Raum ist (Heintz 2000) oder (Löwe und Müller
2010).
2 Die Diskussion beschränkt sich zwar nicht auf Michael Cro-
we und Joseph Dauben, doch sind diese beiden Vertreter
die prominentesten, welche in der Diskussion zunächst
so widersprüchlich klingende Positionen vertreten. Die
Bezeichnung als „Crowe-Dauben-Debatte“ ist (Gilles 1992:
3) entnommen.
Die Crow-Dauben-Debatte
2 Die Diskussion beschränkt sich zwar nicht auf Michael Cro-
we und Joseph Dauben, doch sind diese beiden Vertreter
die prominentesten, welche in der Diskussion zunächst
so widersprüchlich klingende Positionen vertreten. Die
Bezeichnung als „Crowe-Dauben-Debatte“ ist (Gilles 1992:
3) entnommen.
Ein Plädoyer für eine
wissenschaftstheoretische Betrachtung
der Mathematik

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[…] The stress in law 10 on the preposition <in> is
crucial, for, as a number of earlier laws make clear,
revolution may occur in mathematical nomenclature,
symbolism, metamathematics (e.g. the metaphysics of
mathematics), methodology (e.g. standards of rigor),
and perhaps even in the historiography of mathemat-
ics” (Crowe 1975: 165).
Da nun Joseph Dauben in (Dauben 1992) zu einem an-
deren Resultat als Crowe gelangt, muss oensichtlich
eine andere Denition von Revolution in der Mathema-
tik vorliegen. Um den Dissens zu verstehen, müssen wir
unser Bild der Mathematik präzisieren. Caroline Dun-
more schreibt:
“Consider what goes to make up the tools of the
mathematician’s trade: there are concepts, terminol-
ogy and notation, denitions, axioms and theorems,
methods of proof and problem-solution, and problems
and conjectures but over and above all these there
are the meta mathematical values of the community
that dene the telos and methods of the subject, and
encapsulate general belief about its nature. […] The
rst-named components may be considered to be on
the object-level of mathematical realm, the set of ele-
ments that constitutes what mathematics actually is,
while the last is on the meta-level” (Dunmore 1992:
211).
Die Objekt-Ebene lässt keinen Spielraum für Revisio-
nen. In ihr werden Theoreme rein deduktiv aus Axio-
men mittels mechanischer Schlussregeln hergeleitet.
In der mathematischen Praxis gibt es zwar durchaus
Streitigkeiten über die Gültigkeit mathematischer
Sätze. So wird nicht bezweifelt, dass schon einmal ein
Mathematiker zugeben musste, dass er sich bei einem
vermeintlichen Beweis geirrt hat, auch nicht, dass im
Anschluss ein anderer Mathematiker einen Beweis für
das Gegenteil der Behauptung gefunden hat. Wenn wir
also sagen, dass es in der Objekt-Ebene keine Revisio-
nen gibt, so sprechen wir von einer Idealisierung. Die
hierbei zugrundeliegende Vorstellung ist die, dass man
jeden informalen (im Sinne eines Beweises wie er in ei-
nem mathematischen Journal publiziert werden würde)
Beweis in einen formalen (im Sinne einer Deduktion aus
festgelegten Axiomen mit genauen Denitionen) über-
führen könnte. Bei einem formalen Beweis bliebe nun
kein Spielraum für Diskussionen.
Die Meta-Ebene scheint um einiges dynamischer
zu sein als die Objekt-Ebene. Hier gibt es maßgebliche
Veränderungen. Ein Beispiel ist die Entwicklung der
Nicht-Euklidischen Geometrie. (Vgl. Zheng 1992). Seit
der Formulierung der Euklidischen Axiome war das so-
genannte Parallelenpostulat stets Objekt verschiedener
Debatten und wurde in Frage gestellt. Dies ist für eine
selbst evidente Wahrheit nicht hinzunehmen und führte
zu einer über 1800 Jahre andauernden Problemstellung
für die Mathematik. Bis zum Beginn des 19. Jahrhun-
derts und den Arbeiten von János Bolyai, Nikolai Lo-
bachevsky und Carl Friedrich Gauß gab es zwei Ant-
wortversuche: Zum einen das Parallelenpostulat aus
den anderen akzeptierten Axiomen zu schlussfolgern
und zum anderen ein neues selbstevidentes Axiom den
übrigen hinzuzufügen, aus dem das Parallelenpostu-
lat folgen würde (Vgl. Zheng 1992: 178 und Kline 1972:
863). Der Grund dafür, dass sich die Lösung der Prob-
lemstellung auf diese Versuche beschränkte, war ein
meta-mathematischer. Die mathematische Gemeinde
war fest davon überzeugt, dass die Euklidische Geome-
trie notwendige Tatsachen des Raumes aufzeigt. Das
führte dazu, dass niemand in Betracht zog, dass das
Parallelenpostulat nicht notwendigerweise wahr ist. So
entwickelte beispielsweise Giovanni Girolamo Saccheri
Anfang des 18. Jahrhunderts bei dem Versuch, das Pa-
rallelenpostulat indirekt zu beweisen (also aus dessen
Negation einen Widerspruch zu folgern), wichtige Sät-
ze der Nicht-Euklidischen Geometrie. Er zog jedoch nie
die Möglichkeit in Betracht, dass er niemals auf einen
Widerspruch stoßen könnte (vgl. Zheng 1992: 173). Bo-
lyai und Lobachevsky hatten zunächst mit derselben
Idee begonnen. Nachdem sich aus der Annahme, das
Parallelenpostulat sei falsch, in Verbindung mit den
restlichen Euklidischen Axiomen immer mehr mathe-
matische Theoreme ziehen ließen, kamen beide auf
eine bis dahin unvorstellbare Deutung: Es sei (mindes-
tens formal) möglich, dass es eine andere als die eukli-
dische Geometrie gebe.3 Die Konsequenzen für das Bild
der Mathematik waren weitreichend. Zheng spricht
vom allgemein akzeptierten Startpunkt der modernen
Mathematik (Zheng 1992: 176).
Bis dahin beschränkte sich die Mathematik auf die
Abstraktion von uns zugänglichen Objekten; aus der
Abstraktion vom Raum formte sich die euklidische
Geometrie. Nun löste sich die Mathematik von dieser
Bindung zur realen Welt; in der heutigen Mathematik
geht es darum, die logischen Konsequenzen (potentiell
beliebiger) Axiomensysteme zu betrachten.
In Kuhns Paradebeispiel, dem Wandel von der Phlogis-
tontheorie zur Sauerstochemie, ndet zwar eindeutig
die Revidierung eines bestehenden Konzeptes statt;
insofern ist es fragwürdig, ob es Revolutionen im Kuhn-
schen Sinne in der Mathematik gibt. So führt Giorello aus:
„One may ask whether there is a ‘phlogiston’ in math-
ematics. [...] I would be inclined to say ‘No.’ This, in
3 Unvorstellbar im Sinne der alten Sicht auf die Mathematik.
Historisch untermauert wird dies dadurch, dass die Idee
einer Nicht-Euklidischen Geometrie erst dann gemeinhin
akzeptiert wurde, als mit Gauß ein renommierter und ak-
zeptierter Mathematiker seinen Namen unter ein solches
Projekt setzte.
Über die Verwendung des
Revolutionsbegriffes

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our opinion, would constitute a dierence between a
mathematical revolution and a ‘revolution’ in Kuhn’s
sense“ (Giorello 1992: 168).
Der Revolutionsbegri ist allgemein jedoch deutlich
weiter gefasst. Bei (Gillert 1992) ndet sich die Un-
terscheidung zwischen zwei Typen von Revolutionen,
nämlich: Franko-Britische und Russische. Bei letzterer
wird eine Entität abgeschat, wie bei der namensge-
benden Russischen Revolution die Monarchie abge-
schat wurde. Bei der Französischen oder Britischen
Revolution hingegen blieb der Adel in einer essentiell
gewandelten Form erhalten, nämlich mit bedeutend
geringerer Macht und nur noch repräsentativer Funk-
tion.4
Zweifelsohne sind Franko-Britsche Revolutionen in
der Mathematik denkbar. Wir haben bereits den Wan-
del des Status der Euklidischen Geometrie beschrieben.
Wir sollten diese Art von Revolution auch als Revoluti-
on bezeichnen. Ähnliches tun wir auch in den Naturwis-
senschaften. So wird gemeinhin auch der Wandel von
der Newtonschen zur Einsteinschen Physik als Revo-
lution bezeichnet. Dennoch nutzen wir weiterhin die
Newtonsche Mechanik, da diese bei relativ zur Lichtge-
schwindigkeit geringen Geschwindigkeiten (zumindest
numerisch) ihre Gültigkeit bewahrt.
Wir haben also gesehen, dass die naheliegen-
de Vermutung, dass Revolutionen nicht innerhalb
der Entwicklung der Mathematik auftreten für eine
plausible Auslegung von Revolution abzulehnen ist.
4 (Gray 1992: 227) verweist darauf, dass die tatsächliche
Bestimmung und Trennung der Art der Revolution äußerst
problematisch ist. So wurden zwar die Monarchen in der
Russischen Revolution abgeschat, es blieben jedoch
ähnliche Machtstrukturen erhalten.
Von Deniz Sarikaya
Literatur
Crowe, Michael. 1975. „Ten ‘laws’ concerning patterns of
change in the history of mathematics.“ In: Historia
Mathematica 2 (2): 161-166.
Dauben, Joseph. 1992 (Erstveröentlichung 1984).
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two studies in the growth of knowledge.“ In: Gillies 1992:
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Gillies, Donald (Hrsg.). 1992. Revolutions in mathematics.
Oxford, New York: Clarendon Press; Oxford University
Press.
Giorello, Giulio. 1992. „The ‘nite structure’ of mathematical
revolutions: metaphysics, legitimacy, and rigour. The case
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In: Gillies 1992: 134-168.
Gray, Jeremy. 1992. „The nineteenth-century revolution in
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Heintz, Bettina. 2000. Die Innenwelt der Mathematik. Zur
Kultur und Praxis einer beweisenden Disziplin. Wien, New
York: Springer.
Hempel, Samuel Kuhn. 1945. „Geometry and Empirical
Science.“ In: The American Mathematical Monthly 52 (1):
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Kline, Morris. 1972. Mathematical thought from ancient to
modern times. New York: Oxford University Press.
Kuhn, Thomas S. 1973. Die Struktur wissenschaftlicher
Revolutionen. Frankfurt am Main: Suhrkamp.
Löwe, Benedikt und Müller, Thomas (Hrsg.). 2010.
PhiMSAMP. Philosophy of Mathematics: Sociological
Aspects and Mathematical Practice. College Publications,
London. Texts in Philosophy, volume 11.
Zheng, Yuxin. 1992. „Non-Euclidean geometry and
revolutions in mathematics.“ In: Gillies 1992: 169-182.
Zu unserem Gastautor:
Deniz Sarikaya studiert Philosophie und Mathematik an der Uni-
versität Hamburg. Darüber hinaus verbrachte er einige Zeit an der
Universiteit van Amsterdam und der University of British Colum-
bia. Seine akademischen Schwerpunkte sind vor allem Logik, Phi-
losophie der Mathematik und Wissenschaftstheorie.
Neben dem Studium versucht Deniz, Schüler_Innen zu einem Stu-
dium zu motivieren und an möglichst vielen Orten den Link zu
deinfachstudieren (www.deinfachstudieren.de) zu platzieren.
Derzeit versucht Deniz gerade, seinen Koffer für einen Aufenthalt
an der Universitat de Barcelona zu packen, wo er voraussichtlich
das Sommersemester 2015 verbringt.