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1349
Atti 16a Conferenza Nazionale ASITA - Fiera di Vicenza 6-9 novembre 2012
Figura 6. Mappa di inquadramento delle particelle catastali(aree verdi) all’interno
del foglio di mappa.
Confronto, su territorio campano, tra modello geoidico EGM2008
e modello di ondulazione da grigliati
M. Pepe, G. Prezioso, R. Santamaria
Università degli Studi di Napoli “Parthenope”, Dipartimento di Scienze Applicate
Centro Direzionale Isola C4, 80143 Napoli, Tel. 081 5476690
massimiliano.pepe@uniparthenope.it, pina.prezioso@uniparthenope.it, raffaele.santamaria@uniparthenope.it
Riassunto
L’accuratezza e la disponibilità del modello globale di ondulazione EGM2008, suggerisce
un’analisi dei dati per un suo impiego nel campo geodetico quale alternativa agli attuali modelli
locali. In questo lavoro, tale indagine è stata effettuata al fine di stimare, in territorio campano, le
differenze tra EGM2008 e ITALGEO 2005. Nel dettaglio, partendo dai grigliati I.G.M., è stato
sviluppato un algoritmo, in ambiente Matlab®, che ha consentito la realizzazione di un modello di
ondulazione su vasta area. Confrontando i valori del modello di ondulazione generato dai grigliati
con quelli EGM2008 è stato possibile stimare le differenze tra i due modelli. Dai risultati di tale
analisi si è desunto che in Campania il modello globale EGM2008, opportunamente traslato
verticalmente, può fornire un valido supporto altimetrico in numerose applicazioni.
Abstract
The accuracy and availability of the global geoidic model EGM2008, suggests an analysis of data
for its use in geodetic as an alternative to existing local models.
In this work, the research was conducted to estimate the differences between EGM2008 and
ITALGEO2005, in Campania region. In particular an algorithm in Matlab® was developed in order
to read and implement on a wide area, the grids containing the undulations geoidic provided by
I.G.M. and to make a comparison with the EGM2008 model.
Introduzione
I sistemi GNSS forniscono quote ellissoidiche rispetto all’ellissoide WGS84, mentre nel sistema
geodetico si adotta la quota ortometrica, ossia quella calcolata rispetto al livello medio del mare,
individuato per l’Italia continentale dal mareografo di Genova e per le isole da quello di Catania e
Cagliari. Per convertire le quote ellissoidiche in ortometriche, come è noto, occorre conoscere il
valore dell’ondulazione geoidica. A tal fine, nel corso degli anni, sono stati calcolati numerosi
modelli di geoide sia globali che locali.
Un esempio di modello globale è l’EGM2008 (Pavlis et al., 2008) calcolato da dati provenienti dal
satellite GRACE (Mayeret et al., 2007), dati topografici (Saleh et al., 2002; Pavlis et al., 2007) e da
osservazioni gravimetriche a terra (Pavlis et al., 2007 e 2008).
In letteratura, la validità locale di tale modello è stata ampiamente testata comparando i valori del
modello relativi al territorio di una nazione con altre tipologie di misure (GPS, livellazione, ecc.),
come nel caso della Turchia (Kotsakis et al., 2008), della Svezia (Ågrenm, 2008) o dell’area
mediterranea (Barzaghi et al., 2009).
Un qualsiasi modello globale può essere, inoltre, adattato localmente (Fiani et al., 2003) avendo a
disposizione un numero sufficiente di punti di cui siano note le quote in entrambi i sistemi
altimetrici.
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Atti 16a Conferenza Nazionale ASITA - Fiera di Vicenza 6-9 novembre 2012
I modelli locali, validi per aree di ampiezza limitata, raggiungono un’accuratezza maggiore di quelli
globali. In Italia, attualmente, viene utilizzato il modello ITALGEO2005 distribuito sotto forma di
grigliati I.G.M. e gestito da relativo software interpolatore che consente singole elaborazioni per
aree non superiori ad un foglio al 50.000 (Barbarella et al., 2005).
In questo lavoro, poiché il modello globale EGM2008 è liberamente disponibile si sono volute
stimare le differenze, su territorio campano, rispetto a quello locale ITALGEO2005 per verificare la
possibilità di impiegarlo come alternativa all’attuale geoide nazionale.
A tal fine, sono state implementate delle routine in Matlab® con cui è stato possibile generare un
grigliato unico per tutta la Campania e da esso un modello di ondulazione relativo all’intera regione.
I valori di ondulazione di tale modello sono stati confrontati con quelli estrapolati dal modello
EGM2008 non adattato. Infine, calcolato il valore medio delle differenze tra i due modelli, il
modello EGM2008 è stato traslato verticalmente ottenendo un modello di ondulazione regionale
impiegabile, gratuitamente, in varie applicazioni.
Modelli di geoide: EGM2008 e ITALGEO2005
Un modello di geoide è una descrizione numerica approssimata del geoide ottenuta, ad esempio,
mediante sviluppi in serie di opportune funzioni (armoniche sferiche) arrestati ad un grado più o
meno elevato.
Per la determinazione di tali modelli possono essere utilizzate osservazioni di diverse tipologie tra
cui le misure gravimetriche, il confronto tra posizionamenti GNSS e livellazione, misure di
deviazione della verticale, studio delle orbite dei satelliti.
Di interesse per questo studio è l’attuale modello globale di geoide EGM2008, rilasciato
pubblicamente dall’U.S. National Geospatial - Intelligence Agency (NGA) EGM Development
Team.
Il modello EGM2008 è disponibile on line, gratuitamente, all’indirizzo dell’NGA (Figura 1):
http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/egm08_gis.html
sotto forma di 32 file raster ESRI GRID ognuno dei quali contiene, con passo di 2,5’, i valori di
ondulazione del geoide relativi ad un’area di 45° x 45°.
Figura 1. Modello geoidico EGM2008.
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I modelli locali, validi per aree di ampiezza limitata, raggiungono un’accuratezza maggiore di quelli
globali. In Italia, attualmente, viene utilizzato il modello ITALGEO2005 distribuito sotto forma di
grigliati I.G.M. e gestito da relativo software interpolatore che consente singole elaborazioni per
aree non superiori ad un foglio al 50.000 (Barbarella et al., 2005).
In questo lavoro, poiché il modello globale EGM2008 è liberamente disponibile si sono volute
stimare le differenze, su territorio campano, rispetto a quello locale ITALGEO2005 per verificare la
possibilità di impiegarlo come alternativa all’attuale geoide nazionale.
A tal fine, sono state implementate delle routine in Matlab® con cui è stato possibile generare un
grigliato unico per tutta la Campania e da esso un modello di ondulazione relativo all’intera regione.
I valori di ondulazione di tale modello sono stati confrontati con quelli estrapolati dal modello
EGM2008 non adattato. Infine, calcolato il valore medio delle differenze tra i due modelli, il
modello EGM2008 è stato traslato verticalmente ottenendo un modello di ondulazione regionale
impiegabile, gratuitamente, in varie applicazioni.
Modelli di geoide: EGM2008 e ITALGEO2005
Un modello di geoide è una descrizione numerica approssimata del geoide ottenuta, ad esempio,
mediante sviluppi in serie di opportune funzioni (armoniche sferiche) arrestati ad un grado più o
meno elevato.
Per la determinazione di tali modelli possono essere utilizzate osservazioni di diverse tipologie tra
cui le misure gravimetriche, il confronto tra posizionamenti GNSS e livellazione, misure di
deviazione della verticale, studio delle orbite dei satelliti.
Di interesse per questo studio è l’attuale modello globale di geoide EGM2008, rilasciato
pubblicamente dall’U.S. National Geospatial - Intelligence Agency (NGA) EGM Development
Team.
Il modello EGM2008 è disponibile on line, gratuitamente, all’indirizzo dell’NGA (Figura 1):
http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/egm08_gis.html
sotto forma di 32 file raster ESRI GRID ognuno dei quali contiene, con passo di 2,5’, i valori di
ondulazione del geoide relativi ad un’area di 45° x 45°.
Figura 1. Modello geoidico EGM2008.
Tutti i modelli globali, compreso l’EGM2008, non tengono conto delle variazioni locali pertanto,
per meglio approssimare la superficie del geoide vengono calcolati, per aree limitate (ad es. per una
nazione), i modelli locali.
In Italia, il Politecnico di Milano, in collaborazione con l’Istituto Geografico Militare di Firenze,
calcola il modello ITALGEO valido per l’intero territorio nazionale e zone immediatamente
confinanti.
Tale modello deriva da misure gravimetriche integrate da osservazioni GPS/LEV (eseguite per il
collegamento della rete geodetica IGM95 alla rete di livellazione nazionale), misure di deviazione
della verticale (astronomiche) e tiene conto della conformazione topografica del terreno (DTM).
Nel corso degli anni, per i miglioramenti sia dei dati utilizzati che dei metodi di stima, ITALGEO è
stato rilasciato in versioni successive sempre più accurate la più recente delle quali è
ITALGEO2005. Tale modello fornisce, con passo di 2’, valori di ondulazione per un’area compresa
tra (Figura 2):
35 48
ϕ
°< < °
5 20
λ
°< < °
ITALGEO2005 è stato stimato con la classica tecnica remove-solve-restore
mentre le componenti
residue del geoide sono state calcolate usando l’approccio
Fast Collocation
. A tale modello di
geoide
viene attribuito un’accuratezza assoluta dell’ordine di 4 cm nella parte continentale e di circa
5 cm in Sicilia e Sardegna (Barzaghi, 2009).
Figura 2. ITALGEO05 (equidistanza = 1 m
).
Algoritmo per l’estensione su area vasta
ITALGEO2005 è implementato nei grigliati
*.gk
che sono dei file di testo suddivisi in due parti
(Tabella 3), la prima contenente le informazioni per il passaggio fra i vari
datum
(riga 3 – 264), la
seconda comprendente le indicazioni per il calcolo delle ondulazioni (riga 265 – 408) (Barbarella et
al., 2005).
In tali file i valori delle ondulazioni, riferite a coordinate geografiche, sono organizzati in modo da
formare una griglia 14x10, con passo costante di 2’. I grigliati, così come sono realizzati, non
coprono vaste aree pertanto, l’algoritmo implementato legge,
in primis
, tutti i grigliati forniti in
input e da essi genera un unico grigliato coprente l’intero territorio campano e che conserva la
stessa struttura dei file
*.gk
.
Nella costruzione di questo modello di ondulazioni su area vasta vi è una sovrapposizione di nodi;
infatti, come mostrato in Figura 4, considerando quattro grigliati relativi a quattro fogli al 50.000
adiacenti si osserva, per ciascuno di essi, una duplicazione di 4 righe e 4 colonne.
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Tabella 3. Struttura dei record contenti i valori altimetrici nei file gk.
Pertanto, al fine di snellire le dimensioni del file contenente il grigliato unico, e quindi rendere le
operazioni più fluide e rapide, si è proceduto ad un
editing
dei dati, ovvero all’eliminazione dei nodi
delle righe e delle colonne che si sovrapponevano.
Figura 4. Distribuzione spaziale
di quattro grigliati I.G.M. adiacenti.
Considerando che in molti casi si opera con coordinate piane del tipo (E, N, h), occorre che il
grigliato unico realizzato venga convertito in un grigliato in coordinate piane UTM-WGS84. Come
è noto, la trasformazione da coordinate geografiche a coordinate piane si può ottenere con diversi
sviluppi in serie delle formule di corrispondenza; in questa nota è stata implementata quella dovuta
ad Army (1973):
24
3
NORD = K1 + K2p + K3p
EST = K4p + K5p
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ [1]
ove i coefficienti K sono dati da:
0
K1 = SK
() ()
2
0
K2 = 0.5 K sin 1" N sin cos
ϕϕ
() () () () ()
4 3 224
0
1
K3 = K sin 1" N sin cos 5-tan +9 e'cos + 4 e'cos
24
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎣ ⎦⎣ ⎦
()
0
K4 = K sin1" N cos
ϕ
() () ()
33 2 2
0
1
K5 = K sin 1" N cos 1- tan +e' cos
6
ϕ ϕϕ
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎣ ⎦⎣ ⎦
Il valore di S, presente nel coefficiente K1, è dato da:
() () () ()
S = A' - B'sin 2 + C'sin 4 - D' sin 6 + E'sin 8
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
Record Parametri caratteristici del record
265-266 Commento ondulazioni geoidiche
267-406 Valori delle ondulazioni
407 Latitudine di riferimento per le ondulazioni
408 Longitudine di riferimento per le ondulazioni
409-410 Commento
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Tabella 3. Struttura dei record contenti i valori altimetrici nei file gk.
Pertanto, al fine di snellire le dimensioni del file contenente il grigliato unico, e quindi rendere le
operazioni più fluide e rapide, si è proceduto ad un
editing
dei dati, ovvero all’eliminazione dei nodi
delle righe e delle colonne che si sovrapponevano.
Figura 4. Distribuzione spaziale
di quattro grigliati I.G.M. adiacenti.
Considerando che in molti casi si opera con coordinate piane del tipo (E, N, h), occorre che il
grigliato unico realizzato venga convertito in un grigliato in coordinate piane UTM-WGS84. Come
è noto, la trasformazione da coordinate geografiche a coordinate piane si può ottenere con diversi
sviluppi in serie delle formule di corrispondenza; in questa nota è stata implementata quella dovuta
ad Army (1973):
24
3
NORD = K1 + K2p + K3p
EST = K4p + K5p
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ [1]
ove i coefficienti K sono dati da:
0
K1 = SK
() ()
2
0
K2 = 0.5 K sin 1" N sin cos
ϕϕ
() () () () ()
4 3 224
0
1
K3 = K sin 1" N sin cos 5-tan +9 e'cos + 4 e'cos
24
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎣ ⎦⎣ ⎦
()
0
K4 = K sin1" N cos
ϕ
() () ()
33 2 2
0
1
K5 = K sin 1" N cos 1- tan +e' cos
6
ϕ ϕϕ
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎣ ⎦⎣ ⎦
Il valore di S, presente nel coefficiente K1, è dato da:
() () () ()
S = A' - B'sin 2 + C'sin 4 - D' sin 6 + E'sin 8
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
Record Parametri caratteristici del record
265-266 Commento ondulazioni geoidiche
267-406 Valori delle ondulazioni
407 Latitudine di riferimento per le ondulazioni
408 Longitudine di riferimento per le ondulazioni
409-410 Commento
()()
23 45
5 81
A'=A 1-n+ n -n + n -n
4 64
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
()()
23 45
7 55
B'= 3tan 1-n+ n -n + n -n
2 8 64
ρ
⎛⎞
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎝⎠
()
2 23
3
C'= 15tan 1-n+ n -n
16 4
ρ
⎛⎞
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎝⎠
()
3 23
11
D' = 35 tan 1- n + n - n
48 6
ρ
⎛⎞
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
⎝⎠
[]
4
E' = 315 tan 1 - n
512
ρ
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
in cui
ϕ
latitudine del punto
λ
longitudine del punto
0
λ
longitudine del meridiano centrale
0
K coefficiente di contrazione (0.9996)
e
eccentricità
n
( )( )
a-b a+b
N
gran normale
ρ
raggio di curvatura del meridiano
p
0
-
λλ
La procedura indicata consente la creazione di un grigliato unico, ricoprente una vasta area, in
coordinate sia geografiche che piane.
A partire da questo grigliato, si è ricavato un modello tridimensionale delle ondulazioni mediante
triangolazione di Delaunay, la cui operazione duale è il diagramma di Voronoi che si ottiene
dall’unione dei bordi delle celle di Voronoi. In Figura 5 viene mostrato il modello delle ondulazioni
derivante dall’applicazione della triangolazione al grigliato I.G.M. 420.
Figura 5. Triangolazione di Delaunay per il grigliato 420 dell’I.G.M.
La triangolazione con grigliato unico, ottenuto dall’unione di 41 grigliati, ha permesso di ricavare il
modello di ondulazione dell’intera Regione Campania (Figura 6). In tale operazione l’editing sui
punti dei grigliati, descritto precedentemente, ha reso più celere l’elaborazione dei dati in quanto i
punti da trattare si sono ridotti da 5470 (140 x 41) a 3308.
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Atti 16a Conferenza Nazionale ASITA - Fiera di Vicenza 6-9 novembre 2012
Figura 6. Ondulazioni geoidiche in Campania.
Dal modello delle ondulazioni su vasta area, così realizzato, si evince che in Campania le
ondulazioni geoidiche oscillano tra i 45.0859 m e i 49.3889m.
Il passo successivo è stato quello di estrarre il valore dell’ondulazione in determinati punti mediante
un’interpolazione di tipo bilineare.
Nel dettaglio, considerando un punto di coordinate (x, y) all’interno di una maglia di quattro nodi,
ed indicando con j e k gli indici per cui si ha xj < x < xj+1 e yk < y <yk+1, l’interpolazione bilineare
sarà del tipo (Figura 7):
()()() () ()
1 11 1
z = 1- t 1- u z +t 1- u z +t u z + 1- t u z
j
,k j ,k j ,k j ,k
x,y
+ ++ +
[2]
ove
1
t=
j
j
j
x
-x
x
-x
+
1
u=
k
kk
y
-y
y
-y
+
Figura 7. Interpolazione bilineare.
Confronto tra modello su area vasta e EGM2008
Estrapolando il modello geoidico EGM2008 nell’area corrispondente alla regione Campania (Figura 8)
e confrontandone i valori di ondulazione con quelli ottenuti operando su area vasta da grigliati
I.G.M., sono state calcolate le differenze di ondulazione geoidica tra i due modelli.
Figura 8. Porzione di 45° x 45° del
modello EGM2008 relativo al territorio campano.
Una rappresentazione statistica dei valori delle differenze si può ottenere da quei parametri che
forniscono informazioni sulla caratteristica della distribuzione di una variabile monodimensionale;
questi parametri sono il momento di primo grado, o media, e la deviazione standard. Indicando con
la frequenza relativa i
f
si ha:
()
n
1 ii
i=1
m=
x
xf
∑
[3]
()
1
m
ii
vx x=−
[4]
()
n
22
i=1 ii
x
vf
σσ
==
∑
[5]
Nel caso in esame, le differenze di ondulazione hanno mostrato valori di media e deviazione
standard pari a:
()
1
m 0 217022726 m
x.=−
0 085145579m
.
σ
=
con valori minimi e massimi di:
min = - 0.76m
max = + 0.52 m
L’analisi dei dati statistici induce ad applicare, al modello EGM2008, una traslazione costante pari a
()
1
m
x
−, ottenendo un nuovo modello di geoide locale che presenta, rispetto a quello globale, valori
di differenza di ondulazione minima e massima di:
min = - 0.16m
max = + 0.22m
In Figura 9 sono rappresentate le isolinee delle differenze di ondulazione tra EGM2008 traslato e il
modello implementato su vasta area da grigliati I.G.M..
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Atti 16a Conferenza Nazionale ASITA - Fiera di Vicenza 6-9 novembre 2012
Figura 6. Ondulazioni geoidiche in Campania.
Dal modello delle ondulazioni su vasta area, così realizzato, si evince che in Campania le
ondulazioni geoidiche oscillano tra i 45.0859 m e i 49.3889m.
Il passo successivo è stato quello di estrarre il valore dell’ondulazione in determinati punti mediante
un’interpolazione di tipo bilineare.
Nel dettaglio, considerando un punto di coordinate (x, y) all’interno di una maglia di quattro nodi,
ed indicando con j e k gli indici per cui si ha xj < x < xj+1 e yk < y <yk+1, l’interpolazione bilineare
sarà del tipo (Figura 7):
()()() () ()
1 11 1
z = 1- t 1- u z +t 1- u z +t u z + 1- t u z
j
,k j ,k j ,k j ,k
x,y
+ ++ +
[2]
ove
1
t=
j
j
j
x
-x
x
-x
+
1
u=
k
kk
y
-y
y
-y
+
Figura 7. Interpolazione bilineare.
Confronto tra modello su area vasta e EGM2008
Estrapolando il modello geoidico EGM2008 nell’area corrispondente alla regione Campania (Figura 8)
e confrontandone i valori di ondulazione con quelli ottenuti operando su area vasta da grigliati
I.G.M., sono state calcolate le differenze di ondulazione geoidica tra i due modelli.
Figura 8. Porzione di 45° x 45° del
modello EGM2008 relativo al territorio campano.
Una rappresentazione statistica dei valori delle differenze si può ottenere da quei parametri che
forniscono informazioni sulla caratteristica della distribuzione di una variabile monodimensionale;
questi parametri sono il momento di primo grado, o media, e la deviazione standard. Indicando con
la frequenza relativa i
f
si ha:
()
n
1 ii
i=1
m=
x
xf
∑
[3]
()
1
m
ii
vx x=−
[4]
()
n
22
i=1 ii
x
vf
σσ
==
∑
[5]
Nel caso in esame, le differenze di ondulazione hanno mostrato valori di media e deviazione
standard pari a:
()
1
m 0 217022726 m
x.=−
0 085145579m
.
σ
=
con valori minimi e massimi di:
min = - 0.76m
max = + 0.52 m
L’analisi dei dati statistici induce ad applicare, al modello EGM2008, una traslazione costante pari a
()
1
m
x
−, ottenendo un nuovo modello di geoide locale che presenta, rispetto a quello globale, valori
di differenza di ondulazione minima e massima di:
min = - 0.16m
max = + 0.22m
In Figura 9 sono rappresentate le isolinee delle differenze di ondulazione tra EGM2008 traslato e il
modello implementato su vasta area da grigliati I.G.M..
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Atti 16a Conferenza Nazionale ASITA - Fiera di Vicenza 6-9 novembre 2012
Figura 9. Isolinee delle differenze di ondulazione
tra EGM2008 traslato e modello su area vasta.
Per verificare la validità del modello EGM2008 traslato, sono state valutate le quote di 163 vertici
primari della Regione Campania. Le differenze di quote confermano i valori minimi e massimi
evidenziati sopra con un errore medio di 4 cm e deviazione standard di 7 cm.
Conclusioni
In questo lavoro si è evidenziato che, per il territorio campano, il modello globale EGM2008,
opportunamente traslato, può essere utilizzato per calcoli speditivi e per posizionamenti in
real
time
, contenendo gli errori in maniera più efficace rispetto al dato grezzo di partenza e portandoli a
valori centimetrici.
Bibliografia
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U.S. Army Technical
Manual
TM
5-241-8, pag.64
Barbarella M., Ronci E. (2005), “Applicativo per l'utilizzo e l'integrazione del dato VERTO su aree
vaste”,
Bollettino SIFET
, 1/2005, pagg. 161-172
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External
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, International Association of Geodesy and International
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Fiani M., Prezioso G., Troisi S., Turturici L., Wirz M. (2003), “Una rete GPS per il monitoraggio
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Pavlis N.K., Factor J.K., Holmes S.A. (2007), “Terrain-related gravimetric quantities computed for
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1st International Symposium of the International Gravity Field Service (IGFS)
,
Turkey, Special Issue 18, pagg.318-323
Pavlis N. K., Holmes S.A., Kenyon S.C., Factor J.K. (2008), “An Earth Gravitational Model to
Degree 2160: EGM2008”,
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, Vienna, April 13-18, 2008
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DTM2002”,
3rd Meeting of the International Gravity and Geoid Commision of the International
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, edited by I. Tziavos, pagg. 207-22
