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DA AÇÃO AO CONCEITO: UMA EXPERIÊNCIA COM O JOGO TANGRAM NO
ENSINO FUNDAMENTAL
Daniela Cristina Vargas Lopes
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Rodrigo Sychocki da Silva
2
Temática: Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Resumo: A proposta do texto é apresentar o relato de uma pesquisa ocorrida na escola básica com alunos das
séries iniciais no ano de 2012. Através de um conjunto de atividades elaboradas com material concreto e digital
envolvendo o jogo Tangram, propomos uma abordagem dos conceitos de perímetro e área de figuras planas para
os alunos dos anos iniciais do ensino fundamental. A pesquisa se caracterizou por ser de caráter qualitativo e se
fundamenta na teoria dos níveis de Van Hiele para justificar os avanços na construção do conhecimento pelos
alunos. Ao final da investigação, disponibilizamos na internet a versão do jogo Tangram construído com o
auxílio do software Geogebra
3
e utilizado durante a realização do trabalho.
Palavras chaves: Área. Educação Matemática. Perímetro. Tangram. Van Hiele.
Introdução
Este texto consiste em relatar o desenvolvimento de uma pesquisa que ocorreu desde a
elaboração do material didático, acompanhado de experimentação e análise dos dados obtidos
com estudantes do 4º ano do ensino fundamental da Escola Ivanyr Euclínia Marchioro, na
cidade de Caxias do Sul (RS), durante o ano de 2012.
Inicialmente decidimos contextualizar qual a proposta da nossa pesquisa, onde
elaboramos a seguinte questão norteadora: Como é possível envolver os alunos das séries
iniciais em atividades que auxiliem na construção dos conceitos de perímetro e área de
figuras planas? Nossa hipótese para a pesquisa é que somente com a apresentação do assunto
pelo professor, sem a participação efetiva e construção ativa do conhecimento pelos alunos, a
aprendizagem desses conceitos da geometria ficam comprometidos para o futuro dos
estudantes.
Destacamos que os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) ressaltam a
importância da participação do aluno no seu processo de aprendizagem e construção dos
conceitos matemáticos. Isso significa que a aprendizagem se torna qualitativamente melhor
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Licencianda em Matemática. IFRS – Campus Caxias do Sul. daniela.lopes@caxias.ifrs.edu.br
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Mestre em Ensino de Matemática. IFRS – Campus Caxias do Sul. rodrigo.silva@caxias.ifrs.edu.br
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Software de geometria dinâmica, gratuito e disponível em http://www.geogebra.org/ (acesso em 03/05/2012).
quando o professor estabelece relações e faz com que o aluno pense, reflita e atue sobre os
elementos matemáticos envolvidos nas atividades.
Neste texto apresentamos uma sequência de atividades envolvendo o uso do jogo
Tangram, onde os alunos foram colocados diante de diversas situações didáticas importantes
para a construção dos conceitos envolvidos. Durante a nossa proposta foram usados materiais
concretos e também digitais, possibilitando que os alunos vivenciassem através da ação uma
variedade de situações que consideramos propícias para a aprendizagem.
Fundamentação teórica
Segundo Rodrigues (2007), o modelo da teoria de Van Hiele teve seu início em
observações feitas em sala de aula envolvendo o estudo das dificuldades apresentadas pelos
alunos nas aulas de geometria. A principal característica do modelo proposto por essa teoria é
que os alunos avançam de acordo com uma sequência de etapas o desenvolvimento e a
compreensão dos conceitos ligados à geometria.
Em Lorenzato (1995), encontramos os aspectos que caracterizam o modelo proposto
pela teoria de Van Hiele, que admite a existência de níveis de aprendizagem geométrica,
como também níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico, com as seguintes
características: em um nível inicial de visualização, as figuras são avaliadas somente pela sua
aparência. Neste nível podem ser encontrados os alunos que apenas conseguem reconhecer ou
reproduzir figuras através das formas e não pelas suas propriedades.
No nível seguinte, que consiste em realizar análises, os alunos percebem as
características das figuras e descrevem algumas propriedades delas; no próximo nível,
caracterizado pela ordenação, as propriedades das figuras são organizadas logicamente e a
construção das definições se baseia na percepção do aluno pelo necessário e suficiente. Nesta
etapa, as demonstrações podem ser acompanhadas, mas dificilmente são elaboradas pelos
alunos. Nos dois níveis seguintes estão os alunos que constroem argumentações e comparam
sistemas de representações, sendo capazes de organizar a sua aprendizagem.
Através dos níveis propostos pela teoria de Van Hiele, juntamente com uma realidade
escolar baseada em dificuldades na aprendizagem de matemática pelos alunos, encontramos
os subsídios teóricos necessários para elaborar, aplicar e analisar uma sequência de atividades
destinadas aos alunos do ensino fundamental e que abordem área e perímetro das figuras
planas.
Metodologia
A metodologia de pesquisa aqui presente se caracteriza por ser de cunho qualitativo,
uma vez que o acompanhamento da evolução dos alunos no decorrer da sequência de
atividades propostas se identificou conforme destaca Flick (2009):
A pesquisa qualitativa é uma atividade situada que posiciona o observador no
mundo. Ela consiste em um conjunto de práticas interpretativas e materiais que
tornam o mundo visível. Essas práticas transformam o mundo, fazendo dele uma
série de representações, incluindo notas de campo, entrevistas, conversas,
fotografias, gravações e anotações pessoais. Nesse nível, a pesquisa qualitativa
envolve a postura interpretativa e naturalística do mundo. Isso significa que os
pesquisadores desse campo estudam as coisas em seus contextos naturais, tentando
entender ou interpretar os fenômenos em termos dos sentidos que as pessoas lhes
atribuem. (FLICK, 2009, p.16)
Nossa proposta de ensino envolvendo conceitos de geometria e o uso do jogo Tangram
ocorreu nas seguintes etapas:
1º) Apresentação e discussão da lenda
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envolvendo o Tangram.
2º) Atividade de reconhecimento das formas geométricas na exploração do Tangram
feito de EVA
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seguido da construção das primeiras figuras.
3º) Construção e exposição de um mural com as figuras construídas no Tangram. Cada
aluno utilizando o seu próprio Tangram como molde, recortou e montou em papel colorido
uma imagem que foi colocada em um mural exposto na escola.
4º) Atividade de manipulação e exploração do Tangram virtual construído no
Geogebra. Nesse momento foi realizada a discussão sobre perímetro e área de figuras planas.
5º) Atividade de manipulação e exploração do Tangram virtual disponibilizado no
sistema Linux Educacional.
6º) Aplicação de um questionário investigativo, envolvendo os assuntos abordados no
decorrer das aulas anteriores.
4
Disponível em:
<http://www.mathema.com.br/default.asp?url=http://www.mathema.com.br/e_fund_a/mat_didat/tangram/_tangr
am.html>. Acesso em 05 mar. 2012.
5
Sigla de “Espuma Vinílica Acetinada”. É um tipo de espuma sintética muito usada para produtos infantis e
material escolar.
No que segue, vamos apresentar brevemente a sequência de atividades aplicadas, onde
através do referencial teórico escolhido foi possível posteriormente analisar e explorar a
produção dos alunos. Após a análise dos dados coletados durante a execução das atividades,
retomamos o questionamento apresentado na introdução desse artigo, a fim de tentar
respondê-lo ou verificar se a nossa sequência de atividades aponta algum caminho para a
construção dos conceitos de área e perímetro de figuras planas pelos alunos investigados.
Encaminhamento da proposta
Na atividade inicial envolvendo a lenda sobre o Tangram, notamos um grande
interesse dos alunos pelo assunto. Durante a exploração realizada com o Tangram feito de
EVA, percebemos que a manipulação do material concreto permitiu os alunos identificar as
diferentes formas geométricas (quadrado, triângulo e paralelogramo) e também serviu para
que eles enumerassem as várias possibilidades de montagem com a utilização das peças do
jogo. A próxima etapa da sequência de atividades consistiu em utilizar o Tangram virtual
construído com o software Geogebra. Em um momento inicial, os alunos manipularam o jogo
livremente, a fim de conhecer as ferramentas disponíveis e o modo de movimentar as figuras.
Na figura 1 podemos visualizar a interface do jogo virtual Tangram, onde as
ferramentas de “régua” (1) e “malha” (2) foram construídas com o objetivo de explorar com
os alunos os conceitos de perímetro e área das figuras planas. No início da discussão, foi
perguntado para os alunos que tipo de uso poderia ter essas ferramentas dentro do jogo.
Mesmo a régua apresentada no objeto virtual não possuir graduação, os alunos responderam
que ela servia para calcular o comprimento de um lugar até o outro. A função da ferramenta
“malha” não foi percebida inicialmente pelos alunos.
Figura 1: Tangram virtual. Disponível em: http://www.geogebratube.org/student/m23020.
Acesso em 01 dez. 2012.
Fonte: Os autores.
Ao arrastar e girar a malha sobre as figuras montadas no Tangram, a sobreposição da
malha sobre a imagem formada transmitia a ideia da mensuração da cobertura daquela figura.
Neste momento, os alunos testaram com a régua a medida da malha e verificaram que a
distância horizontal ou vertical entre duas linhas tracejadas da malha era igual a unidade
anteriormente definida para o cálculo do comprimento.
No momento da discussão envolvendo o perímetro das figuras, não houve dificuldade
por parte dos alunos ao perceber que a régua poderia ser usada para fazer essa medição.
Caracterizou-se então o perímetro como o tamanho da cerca que envolve uma figura plana.
Logo, na realização das medições dos contornos das figuras criadas por eles, ficou claro para
os alunos que eles estavam fazendo a medição do perímetro das figuras através do uso da
ferramenta régua.
Durante o trabalho envolvendo áreas, a contagem das unidades de área foi feita através
do uso da malha quadriculada. Os alunos realizaram a contagem dos quadrados que cabiam na
imagem e através disso sabiam afirmar qual o valor aproximado da área formada pela
imagem. Os alunos usaram amplamente o recurso de girar e mover a malha por cima da figura
montada, conforme mostra a figura 2, a fim de ajustar a melhor maneira de fazer a contagem
das unidades de área. No decorrer dessa etapa da atividade, alguns alunos se deram conta que
as figuras formadas pelas peças do Tangram constituíam uma peça única maior e que,
portanto a área de todas elas possuía a mesma medida de área.
Figura 2: Aluno X utilizando a ferramenta “régua” (Esq.) e “malha” (Dir.) no Tangram virtual.
Fonte: Os autores.
A próxima etapa da sequência de atividades consistiu em apresentar aos alunos outra
versão de Tangram, também virtual, que já estava instalada nos computadores da escola.
Trata-se de uma versão disponibilizada no sistema Linux Educacional. A interface do
software está apresentada conforme a figura 3.
Figura 3: Jogo Tangram já instalado no Linux Educacional.
Fonte: Os autores.
A última etapa da sequência de atividades consistiu na aplicação de um questionário,
onde o objetivo era possibilitar aos alunos um momento de reflexão e organização dos
conceitos envolvidos nas atividades. Os questionamentos propostos para a turma foram:
1) O que você aprendeu brincando com o Tangram?
2) Nós já conversamos sobre o que é a área de uma figura. Lembra? Pensando em
todas as figuras que você montou, você notou alguma semelhança ou diferença entre as áreas
delas?
3) Nós também já falamos sobre o perímetro de uma figura. Lembra? O que acontece
com o contorno de cada figura que você montou?
4) Você acha que existe alguma relação entre a área de cada figura montada e seu
contorno? Por quê?
5) Quando jogamos o Tangram virtual, apenas uma das peças podia ser “virada”, o
paralelogramo. Você consegue imaginar por que isto só acontece com ele?
6) Agora, com suas palavras, descreva como foi brincar com os dois tipos de
Tangram: em sala de aula e no laboratório de informática.
Análise dos resultados obtidos
A aplicação do questionário no final das atividades envolveu os alunos na tarefa de
organizar o conhecimento construído ao longo das aulas anteriores. O reconhecimento da
variação na medida do perímetro, tal como a realização da sua medição e a invariância na
medida da área das figuras construídas no Tangram foram destacadas por todos os alunos que
responderam o questionário. Isso mostra que a construção desses conceitos é essencial e
importante para os alunos quando feita nas séries iniciais. Ao mesmo tempo, a análise dos
questionários possibilitou observar que, segundo a teoria de Van Hiele, os alunos devem
necessariamente passar por diferentes etapas durante a construção dos conceitos abordados.
Quanto ao uso do jogo Tangram em diferentes formas, EVA e virtual, alguns alunos
colocaram nas respostas ter gostado mais de manipular um ou outro, inclusive ambos.
Acreditamos que as preferências de escolha ocorreram devido ao fato de cada um dos jogos
em sua particularidade envolverem os alunos de forma complementar na construção dos
conceitos matemáticos. No uso do Tangram virtual foi possível reforçar as relações
matemáticas previamente construídas no Tangram de EVA e a partir dessas, construir outras
novas relações. Na figura 4, apresentamos um exemplo de questionário respondido por uma
aluna Y. As questões usadas estão apresentadas no final da seção anterior desse texto.
Figura 4: Questionário respondido pela aluna Y.
Fonte: Os autores.
Agora retomamos a questão apresentada na introdução desse texto. A questão proposta
no início da pesquisa foi: “Como é possível envolver os alunos das séries iniciais em
atividades que auxiliem na construção dos conceitos de perímetro e área de figuras planas?”.
Acreditamos que a sequência de atividades elaboradas e aplicadas utilizando o jogo Tangram
respondeu satisfatoriamente a questão colocada, pois possibilitou aos alunos vivenciar
diversas situações onde se verificou a ocorrência da aprendizagem matemática em todos os
momentos.
Conclusões parciais
O relato apresentado nesse texto não pode ser considerado como uma pesquisa pronta
ou acabada. Trata-se de um processo de reflexão contínua sobre a prática do professor-
pesquisador em sala de aula. Acreditamos que a construção adequada dos conceitos nas séries
iniciais contribui para que a criança desenvolva o restante da matemática escolar de modo
sequencial e lógico.
Nessa pesquisa foi essencial conhecer e aplicar as ideias da teoria de Van Hiele onde
foi possível compreender quais as barreiras e avanços cognitivos por parte dos alunos durante
as atividades propostas. Ainda no decorrer da pesquisa, na forma de produto,
disponibilizamos
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na internet a versão do jogo Tangram construído no software Geogebra e
utilizada nesta investigação para que os demais professores-pesquisadores conheçam esse
objeto e assim possam elaborar suas próprias estratégias para o seu possível uso em sala de
aula.
Referências
BRASIL. Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Média e Tecnológica
(Semtec). Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, Brasília,
1997. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em 10
set. 2012.
FLICK, Uwe. Desenho da pesquisa qualitativa. 1º Ed. Porto Alegre, Artmed, 2009.
LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria?. A educação matemática em
revista. Geometria. Blumenau, número 04, p.03-13, 1995. Disponível em: <
www.sbempaulista.org.br/epem/anais/Comunicacoes_Orais%5Cco0109.doc >. Acesso em 10
set. 2012.
RODRIGUES, Alessandra Coelho. O Modelo de Van Hiele de Desenvolvimento do
Pensamento Geométrico. Trabalho de Conclusão de curso. Universidade Católica de
Brasília,
2007. Disponível em: <
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22007/AlessandraCoelhoRodrigues.pdf >. Acesso em
10 set. 2012.
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Disponível em: <http://www.geogebratube.org/student/m23020>. Acesso em 01 dez. 2012.