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기획특집 - 환경과 안전
현장과학교육 5(2) pp65~72 (2011년 8월)
시공간 그림을 활용한 특수 상대성 이론의 지도
김성원*
1)
이화여자대학교 과학교육과, 서울특별시 120-750
Teaching Methods for Special Relativity
Using Spacetime Diagram
Sung-Won Kim*
Department of Science Education, Ewha Womans University, Seoul 120-750, Korea
요 약
이 논문에서는 2009 개정 교육과정에 의해 고등학교 물리 I에 새로이 도입된 특수 상대성 이론을 현장 교사들이 쉽게 이해하고 학생들을 지도할 수
있도록 시공간 그림을 활용하는 방법을 소개하고 있다. 시공간 그림에서 간단한 기하학을 이용하여 특수 상대성 이론의 기본 개념인 동시성, 로렌츠
수축, 시간 팽창을 이해할 수 있음을 보여주고 있다.
주제어
: 특수 상대성 이론, 시공간 그림
서 론
특수 상대성 이론은 아인슈타인이 1905년에 발표한 이론으
로서 기존의 뉴턴 물리학과는 여러 가지로 다른 구조를 가지
고 있다. 이 이론이 100여 년 전에 발표되었음에도 불구하고
그동안 학교 교육과정에 반영되지 못하다가 현대과학에서의
상대성 이론의 중요성으로 인하여 2009 개정 교육과정에서야
반영되었다. 물론 그 적용 수준은 상대성 이론에 대한 깊은 이
해나 통찰을 요구하는 것은 아니고 그저 상대성 이론의 지식
과 그에 따른 현상에 대한 인식 수준에 불과하며 응용수준까
지는 요구하고 있지 않는 형편이다.
그러나 학교 현장에서는 아직도 상대성 이론과 같은 현대물
리학을 수업할 준비가 되어 있지 않은 상태이다. 이는 2009 개
정 교육과정의 적용시기를 무리하게 2011학년도로 앞당긴 행
정 지도 기관이나 감독 기관의 책임도 없지 않을 것이다. 하지
만 이미 도입된 교육과정에 따른 교육이 시작되고 있고, 교과
적용에 학년제의 개념이 없는 교육과정의 특성에 따라 고등학
교 1학년 학생들에게 고등학교 ‘과학’ 교과보다 먼저 심화선택
교과인 ‘물리 I’ 교과를 선택하여 수업을 진행시키고 있는 학교
들도 다수 있게 되었다.
이에 따라 본 논문에서는 물리 I 교과 중에서도 2009 개정
교육과정에서 처음 도입된 특수 상대성 이론을, 교사들이 가능
하면 쉽게 학생들을 지도할 수 있도록 시공간 그림을 통하여
특수 상대성 이론의 기본 개념들을 소개하겠다.
2009 개정 교육과정에서 나타난 물리 I의 특성
2009 개정 교육과정에서는 고등학교 과학과의 개정이 주로
이루어졌으며 예년의 7차, 2007 개정 교육과정과는 달리 물리
I, 물리 II와 같은 심화 과정을 고등학교 1학년에서도 수강을
할 수 있도록 허용하고 있다.
2009 개정 교육과정에서 물리 I 과목의 성격은 ‘물리 I’을 배
우는 학생들이 미래에 모두 물리학자나 전문 과학인이 되어야
한다고 가정하는 것은 아니지만 과학적 사고를 활용할 수 있는
능력과 창의적 사고능력이 민주주의 사회의 시민으로서 갖추어
야 할 소양’으로 규정하고 있다. 그리고, ‘최소한의 현대 물리
* 교신저자: sungwon@ewha.ac.kr
현장과학교육 5(2)
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그림 1. 시공간 그림. 왼편 그림은 보통의 시간-위치 그래프에 정지한
물체의 궤적을 그린 것이고 오른편 그림은 시공간 그림에서 정지한 물
체의 궤적, 즉 세계선을 그린 것이다.
내용을 도입함으로써, 학생들이 완전한 이해에 도달하지는 못
하더라도 정성적인 이해는 가능하도록’ 하고 있다.
물리 Ⅰ의 내용 중 ‘시공간과 우주’에서는 “우리가 살고 있
는 세상에 대한 거시적 관점을 얻게 하기 위하여, 가장 기본적
인 개념인 ‘시간’과 ‘공간’에 대한 현대적인 개념을 이해할 수
있게 제시하고, 이를 바탕으로 그 안에 놓인 물질들의 역학적
상호작용과 우주의 구성 및 진화의 문제를 알 수 있게 한다.”
고 기술하고 있다. 특별히 ‘특수 상대성 이론’ 단원에서는 빛의
속도일정, 시간지연, 길이수축, 동시성, 질량-에너지 동등성 등
특수 상대성 이론의 기본원리에 대해 이해’시키며 구체적으로
는 ‘특수 상대성 이론이 나오게 된 역사적인 배경과 함께 마이
컬슨-몰리 실험 소개, 빛의 속도 일정법칙 등 특수 상대성 이
론의 기본 가설 이해, 공간의 상대성과 시간의 상대성 도입,
특수 상대성 이론에서 나타나는 현상인 시간팽창, 길이수축,
동시성, 질량-에너지 동등성 소개 및 이를 뒷받침하는 관측이
나 실험의 예 제시’로 요구하고 있다(교육과학기술부, 2010).
특수 상대성 이론의 지도를 위한 시공간 그림
1. 시간, 공간, 시공간
아인슈타인의 상대성 이론을 이해하려면 먼저 시간과 공간
에 대한 기본 개념과 그들 사이의 관계를 파악해야 한다. 시간
과 공간은 우리들의 생활과 함께하는 물리량들이며 생활 용어
로도 흔히 사용되고 있다. 이들이 특별히 물리학적으로 다를
바 없으며 학생들을 지도할 때에 도입하기 위하여 시간은 ‘시
각과 시각의 간격’, 공간은 ‘위치와 위치의 간격’으로 정의를 내
릴 수 있다. 다른 한편으로는 시간은 ‘시각들의 집합’을 의미하
고 공간은 ‘위치들의 집합’으로 사용하기 때문에, 시간과 공간
은 각각 수학적인 일반적 공간의 차원으로서 역할을 하고 있
다. 그러나 실제로는 특별히 구별하지 않고 혼용하여 사용하
고 있으므로 앞뒤 맥락을 통하여 그것이 의미하는 바를 잘 파
악해야 한다.
1905년 특수 상대성 이론이 발표되기 전까지 물리학자들은
시간과 공간을 완전히 별개의 독립적인 물리량으로 보았다.
다시 말하자면 공간은 상대적인 물리량인 데 비해 시간은 절
대적인 양으로서 공간이나 다른 어떤 것의 변화에 의해 시간
이 변하지 않는다는 것이다. 그러나 아인슈타인은 이렇게 절대
적인 시간에게도 특수 상대성 이론을 성립하기 위하여 시간의
상대성을 도입하였다. 그렇지 않고서는 특수 상대성 이론의 가
설을 만족시키는 물리학을 만들 수 없었다. 이에 따라 상대적
인 물리량인 시간과 공간을 따로 분리하지 않고 시간과 공간
을 합쳐서 일반적인 4차원 공간, 즉 시공간(spacetime)이라 부
르게 된 것이다. 이 시공간은 모두 상대적이며(여기에서 상대
적이라는 의미는 관찰자에 따라 얼마든지 바뀔 수 있다는 의
미이다), 시간과 공간을 구별시킬 필요가 없는 4차원 공간으로
이해한 것이다.
그러나 시공간이 수학에서 말하는 일반적인 4차원 공간(유
클리드 4차원 공간)은 아니고 제한적인 4차원 공간이다. 시간
에 해당하는 차원은 특정 방향으로만 진행(예를 들어 과거에
서 미래로만 진행)한다는 한계가 있기 때문에 다른 세 개의
공간 차원과는 구별되는 ‘제한된 4차원 공간’이다. 따라서 이
를 민코브스키(Minkowski) 공간이라 부르며 유클리드 공간과
는 구별한다.
2. 시공간 그림
4차원의 시공간에서의 물체의 운동을 이해하고 설명하기 위
한 쉬운 방법 중 하나는 시공간 그림을 이용하는 것이다. 시공
간 그림은 1차원(시간)+1차원(공간)=2차원 공간으로 그리는 경
우와 1차원(시간)+2차원(공간)=3차원 공간으로 그리는 경우의
두 가지로 나뉜다. 실제로는 공간이 3차원이기 때문에 1차원
(시간)+3차원(공간)=4차원 그림을 그려야 맞지만 2차원 평면의
종이 위에 그릴 수 있는 한계는 3차원 공간 그림까지이다.
여기에서는 2차원 종이 위에 그릴 수 있는 두 가지 경우 중
에서 더 간단한 1+1 차원의 시공간의 경우를 다룬다. 2차원 시
공간 그림은 우리가 흔히 보는 위치-시간 그래프를 가로와 세
로를 바꾼 것이다. 즉 가로축은 공간으로 세로축은 시간으로
정한다. 움직이지 않는 물체의 궤적이 위치-시간 그래프에서
시공간 그림을 활용한 특수 상대성 이론의 지도
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그림 2. 시공간 그림에서 일정한 속도로 움직이는 물체들의 세계선과
빛의 세계선.
는 수평으로 그려지는 반면에 시공간 그림에서는 수직으로 그
려지는 것이 다를 뿐이다. 특별히 시공간 그림에서는 시간 축
도 공간 축처럼 길이 차원을 갖도록 시간에 빛의 속도를 곱하
여 길이 차원으로 나타낸다. 따라서 세로축은 빛의 속도×시간
축으로서 문자로는
로 표시하고 가로축은 공간 축으로서 문
자로
로 표시한다. 이때
는 빛의 속도이다. [그림 1]에서 왼
편 그림은 보통의 시간-위치 그래프에 정지한 물체의 궤적을
그린 것이고 오른편 그림은 시공간 그림에서 정지한 물체의
궤적을 그린 것이다.
3. 등속 운동 물체의 세계선
시공간 그림에서 한 점을 사건(event)이라고 하며 사건이
계속 이어지는 궤적을 세계선(world line)이라 한다. 정지해
있는 물체의 세계선은 수직선에 해당하며, 등속으로 움직이는
물체의 세계선은 수직선에 비해 일정 부분의 각도로 기울어진
직선이다([그림 2] 참조). 빛의 속도로 움직이는 물체의 세계선
은 시간 축에 대해 45도 각도로 기울어진 직선이다. 따라서 속
도가 빠른 물체일수록 그 물체의 세계선은 시간 축에 대한 기
울기도 점점 더 커져 빛의 세계선에 접근한다([그림 2] 참조).
만일 시간 축에 대한 세계선의 기울어진 각도를
라 할 때 그
물체의 속도
와의 관계는 다음과 같다.
≡
빛의 속도보다 느린 물체의 세계선은 공간 축에 대해 45도
보다 기울기가 크며 시간 축에 접근하는 직선이며, 빛의 속도
보다 빠른 물체의 경우는 반대로 공간 축에 대해 45도보다
기울기가 작아 공간 축에 가까운 직선이 된다. 전자를 시간
방향 곡선(timelike curve)
1)
이라 부르며 후자를 공간방향 곡
선(spacelike curve)라고 한다. 물론 모든 물체는 빛보다 느
리게 움직이므로 물체가 움직이는 세계선은 모두 시간방향
곡선이 되며, 공간방향 곡선을 그리는 물체는 실제로 존재하
지 않는 가상의 입자로 타키온(tachyon)이라 불린다. 일반적
으로 물체의 세계선은 그 물체의 속도가 빨라질수록 45도의
기울기에 접근하며, 느려질수록 수직선, 즉 시간 축에 가까워
진다.
4. 로렌츠 불변량
특수 상대성 이론에서는 정지 관찰자와 등속으로 움직이는
관찰자가 제 3의 물체의 운동을 서로 다르게 자기 입장에서 기
술하고자 하는 것이며 두 기술 사이의 상관성이 바로 특수 상
대성 이론이라 하겠다. 두 관찰자들이 제 3 물체의 시공간 좌표
를 각자 자기 좌표에서 다르게 읽는 데 이들 사이의 관계는 로
렌츠 변환이라는 것으로 표현된다. 그 관계식은 대부분의 일반
물리학 교과서에 소개되고 있으며 이 논문에서는 꼭 필요하지
않으므로 생략하겠다.
그러나 두 관찰자가 관찰하는 물리량 중에 변하지 않는 물
리량이 있다. 예를 들면 빛의 속도가 이에 해당한다. 두 관찰
자들에게 두 좌표 사이에 다음과 같은 양은 변하지 않고 일정
한 관계를 만족한다.
2)
물론 이 관계식은 로렌츠 변환에서 기
인한다.
′
′
일정
또는
′
′
일정
인 관계식으로 시공간 그림에서는 쌍곡선을 그린다. 이때
는 정지 관찰자가 보는 물체의 좌표이며
′′
은 움직이는 관
찰자가 보는 좌표이다. 물론 이 관계는 특수 상대성 이론을 성
립하기 위한 두 가설을 만족시킨다. 즉 두 식의 좌변의 양은 관
찰자에 관계없이 항상 일정하다.
1) 속도가 일정한 경우에는 직선이지만 속도가 변하는 경우에는 직선이 되지 못하므로 일반적으로 곡선이라 한다.
2) 이에 대한 증명은 고등학생들을 이해시키기에 어렵고 보통 고전역학 책에 소개되어 있으므로 생략하겠다.
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그림 4. 정지 관찰자의 특정시각에서의 공간을 의미하는 동시사건 선.
그림 3. 정지 관찰자의 동시 사건.
그림 5. 움직이는 관찰자의 동시 사건.
5. 동시성
동시성 개념은 상대성 이론에서 가장 중요한 개념 중 하나
이다. 먼저 ‘동시사건’을 이해해야 한다. 동시사건이란 같은 시
각에 벌어진 사건들을 말한다. 보통 동시사건을 다음과 같이
정의하고 있다. 한 관찰자로부터 같은 거리만큼 서로 반대로
떨어져 있는 두 지점에서 만일 빛의 속도로 관찰자를 향하여
각각 신호를 보냈다고 했을 때, 관찰자가 두 신호를 같은 시각
에 받았다면 두 지점에서 신호를 보낸 각각의 사건은 그 관찰
자에게는 동시 사건이 된다. 이를 시공간 그림에서 나타낸다
면 정지한 관찰자 A에게는 동시사건이 [그림 3]에서와 같으며
이 사건들을 이은 동시사건 선
3)
은 수평선이며 공간 축과 평행
이다. 따라서 A가 측정하는 특정 시각, 즉
에서의 동시사
건 선은 모두 공간 축과 평행이며 모두 같은 시각에 벌어진
사건을 모은 선이다. 이와 마찬가지로 A가 측정하였을 때
에서의 동시사건을 모은 선은 바로 A의 시각
를 잇
는 수평선으로 공간 축과 평행이다. 따라서 A의 동시 사건 선
들은 A의 입장에서 특정 시각에서의 공간이라고도 생각할 수
도 있다([그림 4] 참조).
한편 일정한 속도로 움직이는 관찰자 B의 세계선은 앞에서
기술한 것처럼 기울기가 공간 축에 대해 45도보다 큰 직선인
데, 정지 관찰자 A의 동시사건 선이 이 관찰자 B에게는 동시
사건들이 아니다. 왜냐하면 이 선상에 있는 같은 거리만큼 떨
어진 두 지점에서 B에게 빛 신호를 보낸다고 했을 때, B에게
는 같은 시각에 도달하지 못한다. 일정한 속도로 움직이는 관
찰자 B의 동시사건 선은 A의 동시사건 선과는 달리 공간 축과
평행인 수평선이 되지 못하고 B의 세계선을 향하여 같은 각도
로 기울어진 선이다([그림 5] 참조). 세계선과 동시사건 선이 같
은 각도로 서로 마주 보며 기울어진다는 것에 대한 증명은 부
록에 소개되어 있다. 그림에서 보듯이 기울어진 동시사건 선
에서 같은 거리만큼 떨어진 두 지점에서 빛 속도로 마주보며
B를 향해 신호를 보내면 B에게 같은 시각에 만나게 된다. 따
라서 B의 특정 시각에 동시에 벌어진 사건들을 모은 동시사건
선들은 이 동시 선들과 평행이 된다. 따라서 B의 동시 사건
선들은 B의 입장에서 특정 시각에서의 공간이라고도 생각할
수도 있다([그림 6] 참조).
이와 같이 동시성은 관찰자에 따라 동시사건들이 다르며 심
지어 사건들의 순서도 뒤바뀌게 된다. 예를 들어 [그림 7]에서
보듯이 정지 관찰자 A는 특정 사건
가 사건
보다 먼저 일어
난 사건이다. 예를 들어
는
에 발생했다고 가정하고,
는
동시사건 선이 위에 있으므로
에 발생했다고 할 수 있으
므로 사건 순서는
→
이다.
하지만 움직이는 관찰자 B에게는 이와 반대로
가 나중에
일어난 사건이 된다. 왜냐하면 B에게는 사건
가 포함된 동시
3) 2+1 차원 시공간에서는 동시사건 면이 된다.
시공간 그림을 활용한 특수 상대성 이론의 지도
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그림 6. 움직이는 관찰자의 특정시각에서의 공간을 의미하는 동시사건 선.
그림 7. 관찰자에 따라 발생하는 사건의 순서도 바뀐다.
사건 선은
가 포함된 동시사건 선보다 아래에 있기 때문이다.
예를 들어
는 A처럼
′
에 발생했다고 가정하고,
의 동시
사건 선은 아래에 있어
′
에 발생했다고 할 수 있으므로
사건 순서는
→
이다. 이처럼 사건들의 순서가 관찰자에 따
라 다른 것이 특수상대성 이론에서 나타나는 특이한 현상중의
하나이다.
동시시간 선은 때때로 좌표계를 정할 때도 사용한다. 먼저
정지 관찰자 A의 경우 그의 좌표계는 우리가 임의로 설정한 좌
표계와 평행하며 특별히 시간 좌표계(
)는 A의 세계선(수직선),
공간 좌표계(
)는 A의 동시시간 선(수평선)에서 하나를 택해
으로 한다. 그리고 움직이는 관찰자 B의 좌표계는 다음과
같이 정한다. B의 세계선을 시간 좌표계(
′
)로 하고 공간 좌표
계(
′
)는 B의 동시사건 선에서 하나를 택해 그 선을
′
으로
한다. 그러면 B의 좌표계는 직교하는 좌표계가 아니라 비스듬
한 좌표계가 된다.
6. 로렌츠 수축
아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 나타나는 특이한 현상
중의 하나는 로렌츠 수축이다. 로렌츠 수축은 정지하고 있는
관찰자 A와 함께 있는 물체를 움직이는 관찰자 B가 측정한다
면 원래 길이보다 줄어든다는 것을 말한다. 물론 측정하는 길
이의 방향과 B가 움직이는 방향은 같은 방향이어야 한다. 이
때 정지 관찰자 A가 자신과 같이 있는 물체를 측정하는 길이
를‘고유 길이(proper length)’라고 한다. 그리고 B의 속도가
빠를수록 점점 더 수축하는 비율은 늘어나 그 길이가 점점 작
아지다가 B가 빛의 속도로 움직일 때 그 길이는 0이 될 것이
다. 이러한 특이한 현상은 많은 학생들의 흥미와 호기심을 불
러일으키지만 이해하기 어려워하고 있다. 일반물리학에서는
로렌츠 수축에 대해 대부분 로렌츠 변환을 이용하여 증명하고
있다.
4)
그러나 이 변환을 이해하지 못하는 고교생들에게 시공
간 그림을 이용하여 로렌츠 변환을 보여 줄 수 있다(Taylor &
Wheeler, 1966).
시공간 그림 [그림 8]에서 정지한 관찰자의 자의 길이는
로서
이라고 하자. 이것을 움직이는 관찰자 B가 관찰하게 되
면 그 길이는
가 된다. 한편 B의 동시사건 선에서는
의 길
이를 측정하려면
′
–
′
ℓ
라는 불변 조건에서
이다. 따라서 B가 측정한 길이는
로 수축하여
보인다. 그 수축비율은 다음과 같이 알 수 있다.
[그림 8]에서
∠
라 하면
이다. 이제
의 길
이를 알기 위해
점의 위치를 좌표상에서 알면 된다.
는 직선
과 쌍곡선의 교점이므로 두 함수
와
에서
를 소거하면 구할 수 있다. 두 함수가 만나는 점은
로서
이다. 따라서 B가 관찰하는 길이는
로 일반적으로 로렌츠 수축에서 말하는 비율
만큼 수축된 값으로 측정된다.
4) 이에 대한 수식적 증명은 생략하겠다.
현장과학교육 5(2)
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그림 9. 시공간 그림에서 A가 측정하는 로렌츠 수축.
그림 8. 시공간 그림에서 B가 측정하는 로렌츠 수축. 그림 10. 시공간 그림에서 본 시간 팽창.
만일 반대로 B가 가지고 가는 자를 A가 관찰한다면 그 길
이 또한 수축하여 보일 것이다.
[그림 9]에서 보듯이 움직이는 관찰자 B가 가지고 가는 자는
로서 그 길이는
이다. 그러나 이것을 정지한 관찰자 A가 측
정하다면 그 길이는
로서 자신의 길이는
보다 작다.
물론 그 수축비율은 앞의 경우와 같다.
7. 시간 팽창
시간 팽창은 움직이는 물체의 시간을 측정하면 오히려 길게
팽창하여 늘어난 시간을 측정하는 현상을 말한다. [그림 10]에
서 움직이는 B의 좌표계에서
′
일 때, B 관찰자는 정지한
A의 시계가 아직
가 되지 않고
임을 본다. 이는 B에 비해
상대적으로 움직이는 A의 시계가 느리다는 것을 의미한다. 한
편 정지 관찰자 A는 자신의 시계에 의한 시간이
보다 길다고
본다. 이는 움직이는 B의 시계가 느리다고 보는 것과 같다. 이
시간 팽창에 대한 공식 유도는 로렌츠 수축의 경우와 비슷하다.
B가 측정하는 자신의 시계에 의한 특정 시간
를
라 하자.
그런데 A가 측정하는
에 해당하는 시간간격은
이다. 앞서
언급하였듯이 B가 보는 자신의
에 해당하는 A의 간격은 두
관찰자의 좌표사이의 관계인
′
′
일정
을 이용하여
가 된다. 이 길이는
보다 작으며 다른 말
로 하면 아직 시간
에 도달하지 못했다고 말할 수 있다. 이는
앞의 로렌츠 수축과도 비슷하나 길이는 수축하여 보인다고 할
수 있으나 움직이는 시간(B가 관찰할 경우 A는 상대적으로 움
직이는 것이므로)의 경우 느리다고 생각할 수 있다. 팽창 비율
은
와
의 길이를 비교하면 된다.
시공간에서 수직선과 움직이는 B의 세계선의 시간 축에 대
한 기울어진 각도를
라 하면 간단한 삼각함수와 기하를 이
용하여 필요한 선분의 길이를 아래와 같이 구한다.
∠ ∠
.
쌍곡선에서 e의 좌표를 알기 위해 불변 법칙을 이용하면
을 대입하여
시공간 그림을 활용한 특수 상대성 이론의 지도
71
부록그림 1. 정지 관찰자의 동시사건 선과 움직이는 관찰자의 동시
사건 선.
이다. 따라서 시간 팽창 비율은
이다. 이때
이다.
결론 및 제언
이 논문에서는 2009 개정 교육과정에 따라 고등학교 물리 I
과목에 도입된 특수 상대성 이론을 쉽게 지도할 수 있는 방법
을 소개한 것이다. 시공간 그림을 이용하여 시간과 공간 뿐만
아니라 특수 상대성 이론의 여러 현상인 동시성, 로렌츠 수축,
시간 팽창 등에 관하여 이해하고 필요한 수식도 유도하였다.
이러한 방법은 학생들이 관련 개념들을 쉽게 이해할 수 있도록
도와줄 것이다.
앞으로 이 시공간 그림을 이용하여 특수 상대성 이론의 응용
현상인 쌍둥이 역설이나 창고문제, 로켓문제 등 여러 가지로 적
용할 수 있다.
참고문헌
교육과학기술부(2010) 교육과학기술부 고시 제 2009-41호에
따른 고교 과학과 교육과정 해설서.
Taylor E F and Wheeler J A (1966) Spacetime Physics,
Freeman and Company, New York.
ABSTRACT
In this paper, we introduce the teaching methods for Special
Theory of Relativity by using spacetime diagram. It helps high
school teachers to understand and to teach students easily. They
can understand well the basic concepts of Special Relativity,
such as simultaneity, Lorentz contraction, time dilation using
simple geometry in spacetime diagram.
Key words:
Special Relativity, spacetime diagram
부록 A. 움직이는 관찰자의 동시사건 선
움직이는 관찰자의 동시 사건 선의 기울기가 움직이는 관찰
자의 세계선의 기울기와 같음을 다음의 간단한 기하학을 이용
하면 쉽게 알 수 있다. 이에 대해 필요한 수학적인 지식은 삼각
형의 내각의 합이
(180°)라는 것과, 삼각형에서 나타나는 삼
학함수의 사인법칙 정도면 충분하다. 물론 이에 대한 증명은
학생들에게 꼭 필요하지 않으나, 궁금해 하는 학생들에게 수업
시간 외의 특별활동에 직접 증명 해보도록 지도하거나 아니면
참고자료로 제공해 줄 수 있다.
증명과정은 먼저 정지관찰자 A의 동시사건 선을 기울여 B의
동시사건 선으로 만들고, 이때 생기는 두 삼각형의 사인법칙으
로부터 유도하는 과정이다. 따라서 그림에서 나타나는 여러 선
과 점을 소개해보자. 선분
는 정지관찰자의 세계선이고
는 A에게
와 동시사건 선이다. 물론
와
의 길이는 같으며
와
에서
에 있는 관찰자 A 에게 빛 신호를 보내면
에서 만
나는 것을 볼 수 있다. 빛의 경로인
와
는 수평과
(45°)
의 각도로 기울어져 있다.
이제 움직이는 관찰자 B의 세계선을
라 하고 이 세계선
은 수직선과
의 각도만큼 기울어져 있다. 물론 이 각도는 B
의 속도와 관련이 있다. 이 각도를 이용하여 몇 가지 길이를
점검하자.
이라 하면,
이다. 물론
∆
는 양쪽
각이 각각
인 직각이등변 삼각형이고
이므로
,
이다.
관찰자 B에게는
과 동시사건을 이루려면 A의 동시사건 선
을 일정한 각도만큼 기울여 선분
를 만들고
와
의 길이
를
로 같게 하면 된다. 그러면 B의 동시 사건을 동시성의 정의
로 보여줄 수 있다. 즉,
에 있던 B에게 같은 거리만큼 떨어진
와
에서 마주 보며 빛 속도로 신호를 보내면
에서 만나게
된다. 따라서 수평선에 대해 기울어진
는 움직이는 관찰자
B에게 사건
와 동시에 일어난 동시 사건들이다. 우리가 구하
현장과학교육 5(2)
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고자 하는 것은 수평선과 기울어진 B의 동시사건 선이 만드는
각도
이다.
∆
와
∆
를 생각해보자. 이 두 삼각형에서 선분의 길이
가
로 같고 각도가
∠ ∠
로 같다. 삼각형
에서 우리가 알아야할 각도는
∆
에서는
∠ ∠
이고
∆
에서는
∠
이다. 이제 두 삼각형에
서 사인법칙을 사용하면 각각
이다. 이 두 식에서
와
을 소거하고
라는 성
질을 이용하여 정리하면
가 된다. 마지막으로
과
를 이용하면
임을 알 수 있다.
즉, 움직이는 관찰자의 동시사건 선은 움직이는 관찰자의 세
계선의 기울기와 같은 각도로 마주 보며 기울어진 선이다.
